CN103606133B - 一种基于解析稀疏表示的图像去噪方法 - Google Patents

Abstract

一种基于解析稀疏表示的图像去噪方法，首先利用带噪图像通过子集追踪算法学习得到解析字典，然后利用Bregman距离作为目标函数，采用加权分裂Bregman算法进行源信号的估计，得到最终的去噪图像，达到图像去噪的目的。本发明提供的图像去噪方法能提高图像的质量、提供更加准确的目标和背景信息，达到较理想的去噪效果，在目标检测、光学成像、安全监控系统等军事领域和非军事领域均有广泛的应用。

Description

一种基于解析稀疏表示的图像去噪方法

技术领域

本发明涉及一种基于解析稀疏表示的图像去噪方法。

背景技术

通常，图像在获取和传输过程中会受到噪声的污染，为了后续的处理，很有必要进行去噪处理。去噪的目的就是尽可能地滤除噪声，同时最大限度地保留源图像的信息，以提高图像的质量。目前，图像去噪处理方法一般可分为空间域处理和变换域处理。经典的空间域去噪处理有均值滤波、中值滤波、维纳滤波等。变换域去噪的基本思想是将含噪图像通过某种变换，将图像从空间域变换到变换域，对变换域的系数进行处理，再进行反变换得到去噪图像。图像的稀疏表示便是一种变换，将图像变换到稀疏域。经过稀疏表示后，图像信号主要集中在少数系数较大的原子上，而噪声散布在系数较小的原子上，因此可以利用少数系数较大的原子恢复源图像信号。

信号的稀疏表示大多采用综合稀疏模型（Synthesis Sparse Model），即在满足一定的近似条件下，用少量过完备字典中的原子的线性组合来表示信号。在综合稀疏模型中，信号由少数原子构成的子空间来表示，使得信号稀疏表示受个别原子影响较大。解析稀疏模型（Analysis Sparse Model）克服了综合稀疏模型稀疏表示性能较差的缺点。假设输入信号x∈Rⁿ，解析字典为Ω∈R^p×n，也称之为解析算子(Analysis Operator)，与综合字典不同，其行向量ω_i ^T为解析字典的原子((·)^T表示转置运算)。Ω一般也是过完备字典，但与综合字典不同，它的行数大于列数，即p>n。信号x的解析稀疏模型定义为

l:＝p-||Ωx||₀ (1)

上式中Ωx为x的解析稀疏表示系数，l为共稀疏度，它是向量Ωx中零的个数，也就是Ω中与x正交的原子的个数，其数值越大，解析稀疏表示系数就越稀疏。在解析稀疏模型中信号用所有与之正交的原子构成的子集来表示，所以信号稀疏表示受个别原子影响小，具有较好的稀疏表示性能，能很好地应用于图像去噪处理。但是这些方法大多采用计算量很大的贪婪类追踪算法来估计源信号，因此这些方法并不是最优的。

发明内容

本发明的目的在于针对现有图像去噪方法存在的不足，提出了一种基于解析稀疏表示的图像去噪方法，该方法分别利用子集追踪和加权分裂Bregman算法学习解析字典和估计源信号，实现图像去噪并提高图像质量。

为了达到上述目的，本发明采用下述技术方案：

一种基于解析稀疏表示的图像去噪方法，其特征在于首先利用带噪图像通过子集追踪算法学习得到解析字典，然后利用Bregman距离作为目标函数，采用加权分裂Bregman算法进行源信号的估计，得到最终的去噪图像，达到图像去噪的目的。

上述去噪方法的具体步骤如下：

①从带噪图像重叠抽取出K个大小的图像子块，将各子块按列排列得到训练数据矩阵Y∈R^n×K。

②对Y利用子集追踪算法训练得到解析字典Ω∈R^p×n。子集追踪算法中迭代次数设为N，共稀疏度设为l。

③采用加权分裂Bregman算法进行源信号的估计，该算法的优化函数为：

$\underset{z_i,x_i}{\min }{\left|\right|z_i\left|\right|}_{w_i,1}+\frac{\mathrm{\λ}}{2}{\left|\right|y_i-x_i\left|\right|}_2^{2}s.t.z_i={\mathrm{\Ωx}}_i---\left(2\right)$

其中y_i为Y的第i列，x_i为y_i所对应的源信号的估计，z_i为x_i的解析稀疏表示，λ为可调节的系数，加权l₁范数为 ${\left|\right|z_i\left|\right|}_{w_i,1}={\mathrm{\Σ}}_{j=1}^p{w}_{\mathrm{ij}}\left|z_{\mathrm{ij}}\right|,w_i={\left[\begin{array}{ccc}{w}_{i1}& \·\·\·& w_{\mathrm{ip}}\end{array}\right]}^T\∈R^p$ 为加权系数。具体源信号的估计的迭代步骤为：

$\left(a\right)x_i^{t+1}=\underset{x_i}{\min }\frac{\mathrm{\λ}}{2}{\left|\right|y_i-x_i\left|\right|}_2^2+{\frac{{\mathrm{\γ}}_1}{2}\left|\right|z_i^t-{\mathrm{\Ωx}}_i-b^t\left|\right|}_2^2---\left(3\right)$

对上式求导并令导数为零，得到x_i的迭代公式如下

$x_i^{t+1}={\left(\mathrm{\λI}{{+\mathrm{\γ}}_1\mathrm{\Ω}}^T\mathrm{\Ω}\right)}^{-1}({\mathrm{\λy}}_i+{\mathrm{\γ}}_1{\mathrm{\Ω}}^T(z_i^t-b^t))---\left(4\right)$

$\left(b\right)z_i^{t+1}=\underset{z_i}{\min }{\left|\right|z_i\left|\right|}_{w_i,1}{+\frac{{\mathrm{\γ}}_2}{2}\left|\right|z_i-{\mathrm{\Ωx}}_i^{t+1}-b^t\left|\right|}_2^2---\left(5\right)$

同样对上式求导并令导数为零可得到z_i中第j个元素的更新公式为

$z_{\mathrm{ij}}^{t+1}=\left\{\begin{array}{cc}{({\mathrm{\&Omega;x}}_i^{t+1}+b^t)}_{\mathrm{ij}}-\frac{w_{\mathrm{ij}}}{{\mathrm{\&gamma;}}_2}& {({\mathrm{\&Omega;x}}_i^{t+1}+b^t)}_{\mathrm{ij}}>\frac{w_{\mathrm{ij}}}{{\mathrm{\&gamma;}}_2}\\ 0& -\frac{w_{\mathrm{ij}}}{{\mathrm{\&gamma;}}_2}<{({\mathrm{\&Omega;x}}_i^{t+1}+b^t)}_{\mathrm{ij}}<\frac{w_{\mathrm{ij}}}{{\mathrm{\&gamma;}}_2}\\ {\left({\mathrm{\&Omega;x}}_i^{t+1}{+b}^t\right)}_{\mathrm{ij}}+\frac{w_{\mathrm{ij}}}{{\mathrm{\&gamma;}}_2}& {\left({\mathrm{\&Omega;x}}_i^{t+1}{+b}^t\right)}_{\mathrm{ij}}<-\frac{w_{\mathrm{ij}}}{{\mathrm{\&gamma;}}_2}\end{array}---\right.\left(6\right)$

上式中权值w_i的更新公式为

$w_{\mathrm{ij}}^{t+1}=\frac{{\mathrm{\&delta;}}^{t+1}}{{\mathrm{\&delta;}}^{t+1}+\left|z_{\mathrm{ij}}^t\right|}---\left(7\right)$

在上式中，当δ^t+1→0时z_i加权的l₁范数近似等于其l₀范数，所以在算法中可以使δ^t+1的数值随着t的增大而减小，即，δ^t+1＝βδ^t，0<β<1。δ初值可以取std(z)其中std(□)表示求矩阵或向量中元素的标准差。由于观测信号中一般包含噪声，δ^t+1存在下限，即 ${\mathrm{\&delta;}}^{t+1}\&GreaterEqual;\sqrt{\frac{p}{n}}{\mathrm{\&sigma;}}_e,$ 所以 ${\mathrm{\&delta;}}^{t+1}=\max ({\mathrm{\&beta;\&delta;}}^t,\sqrt{\frac{p}{n}}{\mathrm{\&sigma;}}_e),$ 其中σ_e为观测信号噪声的标准差。

$\left(c\right)b^{t+1}=b^t+{\mathrm{\&Omega;x}}_i^{t+1}-z_i^{t+1}---\left(8\right)$

迭代时x_i，z_i和b_i的初值均设为零向量，算法跌代停止条件为

④将第3步得到的所有x_i，按列顺序存储可得到源信号的估计X∈R^n×K。

⑤将X中每列排列为大小的图像子块，去噪图像由这些子图像拼接而成，重叠的区域由平均得到。

本发明方法与现有技术相比较，具有如下显著的特点和优点：

本发明提供的基于解析稀疏的图像去噪方法是首先利用带噪图像通过子集追踪算法学习得到解析字典，然后利用Bregman距离作为目标函数，采用加权分裂Bregman算法进行源信号的估计，得到最终的降噪图像，达到图像降噪的目的。具体特点和优点为：

(1)针对现有稀疏表示去噪中采用计算量较大的贪婪类追踪算法的不足，将加权分裂Bregman应用到图像去噪，为源信号的估计提供了较快速的迭代方法。

(2)对现有图像去噪技术存在的不足，提出了基于解析稀疏表示的图像去噪方法。

(3)对分裂Bregman算法的优化函数进行加权处理，使得信号在变换域更加稀疏，提高了算法的性能。

(4)利用待去噪的带噪图像采用子集追踪算法学习得到的解析字典具有自适应特性，能有效的提取信号的特征，从而有效的去除噪声。

本发明提供的图像去噪方法能提高图像的质量、提供更加准确的目标和背景信息，达到较理想的去噪效果。在目标检测、光学成像、安全监控系统等军事领域和非军事领域均有广泛的应用。

附图说明

图1为本发明采用子集追踪算法学习得到的63×49解析字典，训练数据由噪声标准差为5的丽娜（Lena）图像得到。

图2为本发明采用子集追踪算法学习得到的63×49解析字典，训练数据由噪声标准差为5的房屋（House）图像得到。

图3为本发明采用子集追踪算法学习得到的63×49解析字典，训练数据由噪声标准差为5的辣椒（Peppers）图像得到。

图4为本发明采用子集追踪算法学习得到的63×49解析字典，训练数据由噪声标准差为5的分段常数（PWC）图像得到。

具体实施方式

本基于解析稀疏表示的图像去噪方法，首先利用带噪图像通过子集追踪算法学习得到解析字典，然后利用Bregman距离作为目标函数，采用加权分裂Bregman算法进行源信号的估计，得到最终的去噪图像，达到图像去噪的目的。

具体步骤为：

①从带噪图像重叠抽取出K个大小的图像子块，将各子块按列排列得到训练数据矩阵Y∈R^n×K。

②对Y利用子集追踪算法训练得到解析字典Ω∈R^p×n。子集追踪算法中迭代次数设为N，共稀疏度设为l。

③采用加权分裂Bregman算法估计源信号，该算法的优化函数为：

$\underset{z_i,x_i}{\min }{\left|\right|z_i\left|\right|}_{w_i,1}+\frac{\mathrm{\&lambda;}}{2}{\left|\right|y_i-x_i\left|\right|}_2^{2}s.t.z_i={\mathrm{\&Omega;x}}_i$

其中y_i为Y的第i列，x_i为y_i所对应的源信号的估计，z_i为x_i的解析稀疏表示，λ为可调节的系数，加权l₁范数为 ${\left|\right|z_i\left|\right|}_{w_i,1}={\mathrm{\&Sigma;}}_{j=1}^p{w}_{\mathrm{ij}}\left|z_{\mathrm{ij}}\right|,w_i={\left[\begin{array}{ccc}{w}_{i1}& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& w_{\mathrm{ip}}\end{array}\right]}^T\&Element;R^p$ 为加权系数。具体估计源信号的迭代步骤为：

$\left(a\right)x_i^{t+1}=\underset{x_i}{\min }\frac{\mathrm{\&lambda;}}{2}{\left|\right|y_i-x_i\left|\right|}_2^2+{\frac{{\mathrm{\&gamma;}}_1}{2}\left|\right|z_i^t-{\mathrm{\&Omega;x}}_i-b^t\left|\right|}_2^2$

对上式求导并令导数为零，得到x_i的迭代公式如下

$x_i^{t+1}={\left(\mathrm{\&lambda;I}{{+\mathrm{\&gamma;}}_1\mathrm{\&Omega;}}^T\mathrm{\&Omega;}\right)}^{-1}({\mathrm{\&lambda;y}}_i+{\mathrm{\&gamma;}}_1{\mathrm{\&Omega;}}^T(z_i^t-b^t))$

$\left(b\right)z_i^{t+1}=\underset{z_i}{\min }{\left|\right|z_i\left|\right|}_{w_i,1}{+\frac{{\mathrm{\&gamma;}}_2}{2}\left|\right|z_i-{\mathrm{\&Omega;x}}_i^{t+1}-b^t\left|\right|}_2^2$

同样对上式求导并令导数为零可得到z_i中第j个元素的更新公式为

$z_{\mathrm{ij}}^{t+1}=\left\{\begin{array}{cc}{({\mathrm{\&Omega;x}}_i^{t+1}+b^t)}_{\mathrm{ij}}-\frac{w_{\mathrm{ij}}}{{\mathrm{\&gamma;}}_2}& {({\mathrm{\&Omega;x}}_i^{t+1}+b^t)}_{\mathrm{ij}}>\frac{w_{\mathrm{ij}}}{{\mathrm{\&gamma;}}_2}\\ 0& -\frac{w_{\mathrm{ij}}}{{\mathrm{\&gamma;}}_2}<{({\mathrm{\&Omega;x}}_i^{t+1}+b^t)}_{\mathrm{ij}}<\frac{w_{\mathrm{ij}}}{{\mathrm{\&gamma;}}_2}\\ {\left({\mathrm{\&Omega;x}}_i^{t+1}{+b}^t\right)}_{\mathrm{ij}}+\frac{w_{\mathrm{ij}}}{{\mathrm{\&gamma;}}_2}& {\left({\mathrm{\&Omega;x}}_i^{t+1}{+b}^t\right)}_{\mathrm{ij}}<-\frac{w_{\mathrm{ij}}}{{\mathrm{\&gamma;}}_2}\end{array}\right.$

上式中权值w_i的更新公式为

$w_{\mathrm{ij}}^{t+1}=\frac{{\mathrm{\&delta;}}^{t+1}}{{\mathrm{\&delta;}}^{t+1}+\left|z_{\mathrm{ij}}^t\right|}$

在上式中，当δ^t+1→0时z_i加权的l₁范数近似等于其l₀范数，所以在算法中可以使δ^t+1的数值随着t的增大而减小，即，δ^t+1＝βδ^t，0<β<1。δ初值可以取std(z)其中std(□)表示求矩阵或向量中元素的标准差。由于观测信号中一般包含噪声，δ^t+1存在下限，即 ${\mathrm{\&delta;}}^{t+1}\&GreaterEqual;\sqrt{\frac{p}{n}}{\mathrm{\&sigma;}}_e,$ 所以 ${\mathrm{\&delta;}}^{t+1}=\max ({\mathrm{\&beta;\&delta;}}^t,\sqrt{\frac{p}{n}}{\mathrm{\&sigma;}}_e),$ 其中σ_e为观测信号噪声的标准差。

$\left(c\right)b^{t+1}=b^t+{\mathrm{\&Omega;x}}_i^{t+1}-z_i^{t+1}$

迭代时x_i,z_i和b_i的初值均设为零向量，算法跌代停止条件为

④将第3步得到的所有x_i，按列顺序存储可得到源信号的估计X∈R^n×K。

⑤将X中每列排列为大小的图像子块，去噪图像由这些子图像拼接而成，重叠的区域由平均得到。

表1和表2给出了本发明去噪方法去噪结果的客观评价指标。为评价去噪方法的性能，表1中采用了峰值信噪比（PSNR）衡量去噪图像的质量，表2给出算法运行的时间。表中比较了加权分裂Bregman算法（WSBI）和反向贪婪追踪算法（BGP）的源信号估计性能。

从表中可以看出，本图像去噪方法能取得很好的去噪效果，有效地降低图像中的噪声信号。从表1可知，在噪声较大条件下本发明提出的算法优于反向贪婪追踪算法。由表2可知，本发明的加权分裂Bregman算法耗时远远小于反向贪婪追踪算法。总之，客观评价指标表明本发明方法更好地降低图像中的噪声信号并较快速的恢复了原图像的信息，提高了图像的质量。

表1图像去噪性能比较（峰值信噪比，单位分贝）

表2图像去噪时间比较(秒)

Claims (1)

1.一种基于解析稀疏表示的图像去噪方法，其特征是步骤如下：

①从带噪图像重叠抽取出K个大小的图像子块，将各子块按列排列得到训练数据矩阵Y∈R^n×K；

②对Y利用子集追踪算法训练得到解析字典Ω∈R^p×n，p为字典的行数，子集追踪算法中迭代次数设为N，共稀疏度设为l；

③采用加权分裂Bregman算法进行源信号的估计，该算法的优化函数为：

$\begin{array}{ccc}\underset{z_i,x_i}{min}\left|\right|z_i|{|}_{w_i,1}+\frac{\mathrm{\&lambda;}}{2}||y_i-x_i|{|}_2^2& s.t.& z_i={\mathrm{\&Omega;x}}_i\end{array}$

其中y_i为Y的第i列，x_i为y_i所对应的源信号的估计，z_i为x_i的解析稀疏表示，λ为可调节的系数，加权l₁范数为w_i＝[w_i1 … w_ip]^T∈R^p为加权系数；

源信号估计的迭代步骤为：

(a) $x_i^{t+1}=\underset{x_i}{min}\frac{\mathrm{\&lambda;}}{2}\left|\right|y_i-x_i|{|}_2^2+\frac{{\mathrm{\&gamma;}}_1}{2}||z_i^t-{\mathrm{\&Omega;x}}_i-b^t|{|}_2^2$

上式中t为迭代次数，γ₁为拉格朗日常数，b为辅助算子，对上式求导并令导数为零，得到x_i的迭代公式如下：

$x_i^{t+1}={(\mathrm{\&lambda;}I+{\mathrm{\&gamma;}}_1{\mathrm{\&Omega;}}^T\mathrm{\&Omega;})}^{-1}({\mathrm{\&lambda;y}}_i+{\mathrm{\&gamma;}}_1{\mathrm{\&Omega;}}^T(z_i^t-b^t\left)\right)$

(b) $z_i^{t+1}=\underset{z_i}{min}\left|\right|z_i|{|}_{w_i,1}+\frac{{\mathrm{\&gamma;}}_2}{2}||z_i-{\mathrm{\&Omega;x}}_i^{t+1}-b^t|{|}_2^2$

上式中γ₂为拉格朗日常数，同样对上式求导并令导数为零可得到z_i中第j个元素的更新公式为：

$z_{ij}^{t+1}=\left\{\begin{array}{cc}{\left({\mathrm{\&Omega;x}}_i^{t+1}+b^t\right)}_{ij}-\frac{w_{ij}}{{\mathrm{\&gamma;}}_2}& {\left({\mathrm{\&Omega;x}}_i^{t+1}+b^t\right)}_{ij}>\frac{w_{ij}}{{\mathrm{\&gamma;}}_2}\\ 0& -\frac{w_{ij}}{{\mathrm{\&gamma;}}_2}<{\left({\mathrm{\&Omega;x}}_i^{t+1}+b^t\right)}_{ij}<\frac{w_{ij}}{{\mathrm{\&gamma;}}_2}\\ {\left({\mathrm{\&Omega;x}}_i^{t+1}+b^t\right)}_{ij}+\frac{w_{ij}}{{\mathrm{\&gamma;}}_2}& {\left({\mathrm{\&Omega;x}}_i^{t+1}+b^t\right)}_{ij}<-\frac{w_{ij}}{{\mathrm{\&gamma;}}_2}\end{array}\right.$

上式中权值w_ij的更新公式为

$w_{ij}^{t+1}=\frac{{\mathrm{\&delta;}}^{t+1}}{{\mathrm{\&delta;}}^{t+1}+\left|z_{ij}^t\right|}$

上式中，δ^t+1＝βδ^t，0＜β＜1，δ的初值取std(z)，其中std()表示求矩阵或向量中元素的标准差，当δ^t+1→0时z_i加权的l₁范数近似等于其l₀范数，所以在算法中δ^t+1的数值随着t的增大而减小，由于观测信号中一般包含噪声，δ^t+1存在下限，即所以其中σ_e为观测信号噪声的标准差；

(c) $b^{t+1}=b^t+{\mathrm{\&Omega;x}}_i^{t+1}-z_i^{t+1}---\left(8\right)$

迭代时x_i，z_i和b的初值均设为零向量，算法跌代停止条件为ρ取10^-4；

④将第3步得到的所有x_i，按列顺序存储可得到源信号的估计X∈R^n×K；

⑤将X中每列排列为大小的图像子块，去噪图像由这些子图像拼接而成，重叠的区域由平均得到。