CN103547051B - 一种无极灯用谐振变换器谐振参数设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种无极灯用谐振变换器谐振参数设计方法，对于由半桥逆变电路、串并联谐振回路和耦合线圈组成的高频LCCL谐振变换器，其中半桥逆变电路由开关管Q₁和Q₂组成，串并联谐振回路由谐振电感<i>L_r</i>、谐振电容<i>C_r</i>、隔直电容<i>C_b</i>和激励电感<i>L_c</i>组成，耦合线圈由激励电感<i>L_c</i>和无极灯灯管等离子体放电环组成，当<i>C_b</i>和<i>L_c</i>值确定后，按如下公式确定谐振参数<i>L_r</i>和<i>C_r</i>：，；式中<i>L_eq</i>、<i>R_eq</i>分别为耦合线圈副边灯管等离子体放电环映射到原边的等效电感和等效电阻，<i>f</i>表示谐振变换器工作频率，，，<i>f_o</i>表示谐振回路固有谐振频率。该方法可以保证当电路固有谐振频率发生变化时，无极灯依然可以实现ZVS软开关，并输出最大功率。<i />

Description

一种无极灯用谐振变换器谐振参数设计方法

技术领域

本发明涉及谐振变换器设计技术领域，特别是一种无极灯用谐振变换器谐振参数设计方法。

背景技术

提高开关频率可以减小电感、变压器等磁性元件的体积和重量，提高变换器的功率密度。然而随着开关频率的提高，由此带来开关管的损耗严重影响了电路的工作效率以及开关器件的使用寿命。高频谐振变换器利用其自身的谐振特性，可以实现开关管的零电压开通(zerovoltageswitching，ZVS)或者零电流关断(zerocurrentswitching，ZCS)，具有开关损耗小、效率高、EMI小等优点。因此，高频谐振变换器的应用十分广泛，无极灯电子镇流器则是谐振变换器在照明领域的典型应用。高频谐振变换器的性能好坏与谐振回路结构及其参数的设计是否合理有很大的关系，因此，对这种电路的设计主要围绕谐振回路来进行。传统谐振变换器谐振回路的参数设计大都是以基波分析法为基础，在分析和设计时所采用的固有谐振频率表达式都是假设变换器工作在开路状态得到的，忽略了负载等效电阻的影响，并不符合无极灯负载的实际工作情况，而且也没有考虑谐振回路参数变化导致电路固有谐振点发生偏移时无极灯的工作状态。

发明内容

本发明的目的在于克服现有技术的不足，提供一种无极灯用谐振变换器谐振参数设计方法，该方法可以保证当电路固有谐振频率发生变化时，无极灯依然可以实现ZVS软开关，并输出最大功率。

为实现上述目的，本发明的技术方案是：一种无极灯用谐振变换器谐振参数设计方法，对于由半桥逆变电路、串并联谐振回路和耦合线圈组成的高频LCCL谐振变换器，其中半桥逆变电路由开关管Q₁和Q₂组成，串并联谐振回路由谐振电感L _r 、谐振电容C _r 、隔直电容C _b 和激励电感L _c 组成，耦合线圈由所述激励电感L _c 和无极灯灯管等离子体放电环组成，当隔直电容C _b 和激励电感L _c 确定后，按如下公式确定谐振电感L _r 和谐振电容：

；

；

其中，L _eq 、R _eq 分别为耦合线圈副边灯管等离子体放电环映射到耦合线圈原边的等效电感和等效电阻，L _eq ≈L _c ，f表示谐振变换器的工作频率，U _dc 表示半桥逆变电路输入电压，U _o 表示谐振变换器输出电压，，，f _o 表示谐振回路固有谐振频率。

进一步的，所述谐振电感L _r 和谐振电容C _r 按如下方法确定：

利用等离子体放电环和激励电感线圈之间的耦合关系，把耦合线圈副边灯管等离子体放电环映射到耦合电感原边，并进行等效变换，得到高频LCCL谐振变换器的等效电路模型；

根据高频LCCL谐振变换器的等效电路模型，推导出谐振回路输出电压的三个极值点对应的频率f ₁ 、f ₂ 、f ₃ ，从低到高分别为：

(1)

根据无极灯工作特性，把谐振变换器工作频率选择在最高频率f ₃ 附近；

通常取C _b >>C _r ，则最高频率f ₃ 用f ₀ 表示为，且定义如下电路参数：，，，，，；

选取Z ₀ 作为基准值，则输入阻抗的标幺值为：

(2)

谐振回路的电压增益为：

(3)

式中，U ₀ 是谐振回路输出电压，U _in 是谐振回路输入电压；

谐振回路的输入有功功率为：

(4)

式中，Re表示实部，u _in 为谐振回路输入电压，i _in 为谐振回路输入电流，Z(f)为谐振回路输入阻抗。

当f=f ₀ 时，Re[u _in ²/Z(f)]有最大值，此时谐振回路的输出功率最大，即：

(5)

令功率比值

(6)

式中P _o 为谐振变换器实际工作时谐振回路的输出功率；由式(3)和式(6)，得到：

(7)

则谐振电感：

(8)

假设开关管两端的并联电容分别为C ₁和C ₂，其中包含开关管的寄生电容，得到在电容C ₂两端的电压u _in从U _dc下降到0的时间段t _f 内有：

(9)

式中，T为半桥逆变电路工作周期，t _f 为电容C ₂两端的电压u _in从U _dc下降到0的时间间隔，为电容C _b 两端的电压；

解得：

(10)

式中，j是谐振回路输入阻抗的阻抗角；

为了实现开关管的ZVS，必须满足t _f ≤t _d (t _d 为半桥工作死区时间)；由此得到保证开关管实现ZVS的最小频率比值β _min；假设变换器固有谐振频率的变化范围是，则与此对应的β范围是；若要保证固有谐振频率偏移后开关管仍可以实现ZVS，必须满足下式：

(11)

为了使频率比值β的取值兼顾最大功率和式(11)的开关管ZVS条件，分两种情况：

（1）若β ₁时，，则可取β ₁；

（2）若β ₁时，，则需重新选择β的取值；

令，则可得

(12)

将α和β代入式(6)并进行化简得到谐振电容：

(13)。

相较于现有技术，本发明的有益效果是考虑了实际工作中无极灯用谐振变换器固有谐振频率的变化情况，提供了一种兼顾最大输出功率和开关管ZVS的谐振参数设计方法，该方法保证当电路的固有谐振频率发生适当变化时，开关管仍然能够实现ZVS软开关，并具有最大功率输出，有效提高了谐振变换器的工作效率。

附图说明

图1是本发明实施例中高频LCCL谐振变换器的电路结构示意图。

图2是本发明实施例中高频LCCL谐振变换器的工作波形示意图。

图3是本发明实施例中高频LCCL谐振变换器的等效电路示意图。

图4是本发明实施例中不同负载等效电阻R _eq 下频率f ₀ 、f ₃ 和f ₄ 的曲线图。

图5是本发明实施例中不同负载下的阻抗标幺值曲线图。

图6是本发明实施例中谐振回路的电压增益曲线图（Q值不变，改变α值）。

图7是本发明实施例中谐振回路的电压增益曲线图（α值不变，改变Q值）。

具体实施方式

本发明无极灯用谐振变换器谐振参数设计方法，对于由半桥逆变电路、串并联谐振回路和耦合线圈组成的高频LCCL谐振变换器（如图1所示），其中半桥逆变电路由开关管Q₁和Q₂组成，串并联谐振回路由谐振电感L _r 、谐振电容C _r 、隔直电容C _b 和激励电感L _c 组成，耦合线圈由所述激励电感L _c 和无极灯灯管等离子体放电环组成，等离子体放电环和匝数为Nc的激励电感线圈之间可等效成一个耦合系数为k的变压器，其中激励电感线圈相当于变压器的原边绕组，等离子体放电环相当于变压器副边的单匝绕组，当隔直电容C _b 和激励电感L _c 确定后，按如下公式确定谐振电感L _r 和谐振电容C _r ：

；

；

式中，L _eq 、R _eq 分别为耦合线圈副边灯管等离子体放电环映射到耦合线圈原边的等效电感和等效电阻，L _eq ≈L _c ，f表示谐振变换器的工作频率，U _dc 表示半桥逆变电路输入电压，U _o 表示谐振变换器输出电压，，，f _o 表示谐振回路固有谐振频率。

具体的，所述谐振电感L _r 和谐振电容C _r 按如下方法确定：

高频LCCL谐振变换器工作时，电路中的有效成分都是正弦量，本发明采用基波分析法对电路特性进行分析设计，对电路进行如下假设：

1）变换器中所有的元件都是理想元件；

2）开关管Q₁和Q₂交替导通，谐振回路的输入电压u _in 是一个占空比为0.5、幅值等于U _dc 的方波；

3）变换器的工作频率f接近谐振回路固有谐振频率f ₀ ；

4）电容C _b 远远大于电容C _r 。

利用等离子体放电环和激励电感线圈之间的耦合关系，把耦合线圈副边灯管等离子体放电环映射到耦合电感原边，并进行等效变换，得到如图3所示的高频LCCL谐振变换器的等效电路模型；其中，u _in 和i _in 分别为谐振回路的输入电压和电流，L _r 、C _r 分别为谐振电感和谐振电容，C _b 为隔直电容，C _b 》C _r ，L _eq 、R _eq 分别为耦合线圈副边灯管等离子体放电环映射到耦合线圈原边的等效电感和等效电阻，且L _eq ≈L _c ；

根据图3可以推导出谐振回路输出电压的三个极值点对应的频率f ₁ 、f ₂ 、f ₃ ，从低到高分别为：

(1)

根据无极灯工作特性，把谐振变换器工作频率选择在最高频率f ₃ 附近；

当C _b >>C _r ，最高频率f ₃ 用f ₀ 表示为，且定义如下电路参数：，，，，，；

由于多阶谐振回路的分析和推导十分复杂，以往对多阶谐振回路的分析大多建立在变换器开路的基础上，其推导的固有谐振频率为。频率f ₀ 、f ₃ 和f ₄ 在不同负载等效电阻R _eq 下的值如图4所示(n _c =0.05)。从图4中可以看出，当R _eq 较大时，这三条曲线几乎重合；当R _eq 较小时，f ₀ 与f ₃ 的曲线几乎重合，而f ₄ 与f ₃ 的曲线相差较大。

本发明分析的电路结构主要应用于无极灯电子镇流器。由无极灯的负载特性可知，启动时灯电阻很大，负载近似于开路；灯点亮时，灯电阻急剧变小。因此，必须考虑负载电阻变化对固有谐振频率的影响。图4中圆点标示位置为本发明实施例中所采用负载对应的固有谐振频率，此时f ₀ 与f ₄ 相差7kHz。在固有谐振频率（β=1）附近，谐振回路特性随频率变化较大，因此，在对变换器进行分析和设计时必须要考虑R _eq 的影响。

选取Z ₀ 作为基准值，则输入阻抗的标幺值为：

(2)

根据式(2)可以得到不同负载下的阻抗标幺值曲线(n _c =0.05)如图5所示。可以看出，空载(Q→∞)时曲线有两个极值点β _c 和β _l 。当β小于β _c 时，变换器电路工作在容性区域；当β大于β _l 时，变换器电路工作在感性区域；当β介于两者之间时，要根据阻抗角大小来判断电路的工作状态。令式(3)中阻抗标幺值的虚部等于0，可以得到感性区域和容性区域的分界线Q ₀ (α,β,n _c )（见图7）。当Q值大于Q ₀ (α,β,n _c )时，电路工作在容性状态；当Q值小于Q ₀ (α,β,n _c )时，电路工作在感性状态。

通常取C _b >>C _r ，在谐振回路中其容抗忽略不计，则推导出谐振回路的电压增益为：

(3)

式中，U ₀ 是谐振回路输出电压，U _in 是谐振回路输入电压。

下面分两种情况进行讨论：

（1）Q值不变，改变α的取值，得到一族电压增益与频率比值β的曲线，如图6所示。在每条曲线峰值的左边，增益呈上升趋势，且变化相对较为平缓，即频率的变化对增益的影响相对较小；在峰值右边，增益呈下降趋势，且变化相对较为剧烈，即频率的变化对增益的影响相对较大。同时，α值越大，对于同一β，电压增益越小。也就是说，如果α值较大，电压调节能力较弱，输入电压较小时，有可能达不到所需要的输出电压。当β=1时，图6中所有曲线同时达到峰值。这也就是说，对于同一个Q值，无论α取值为多少，电压增益M _u 均取得最大值，此时工作频率恰好等于频率f ₀ 。

（2）α值不变，改变Q的取值，得到一族电压增益与频率比值β的曲线，如图7所示。可以看出，当Q≥(0.5)^1/2时，在β=1处，增益曲线有极大值，为。当Q→∞时，电压增益为。当Q值取Q ₀ (α,β,n _c )，电压增益分界线近似为。在β _c 与β _l 之间，这条分界线划分了变换器工作状态的容性区域和感性区域。图中阴影部分是容性区域。工作在感性区域是变换器开关管实现ZVS的必要条件。Q值越小，谐振回路的感性区域越大，电路越容易在较大频率变化范围内实现软开关；Q值越大，电压增益的最大值越高，符合无极灯启动时负载电阻很大，并且需要高压启动的特性。

谐振回路的输入有功功率为：

(4)

其中，Re表示实部，u _in 为谐振回路输入电压，i _in 为谐振回路输入电流，Z(f)为谐振回路输入阻抗。

当f=f ₀ 时，Re[u_in ²/Z(f)]有最大值，此时谐振回路的输出功率最大，即：

(5)

令功率比值

(6)

式中P _o 为谐振变换器实际工作时谐振回路的输出功率；由式(3)和式(6)，得到：

(7)

则谐振电感：

(8)

为使开关管实现ZVS，必须为开关管的驱动设定合理的死区时间。假设开关管两端的并联电容分别为C ₁和C ₂，其中包含开关管的寄生电容，得到在电容C ₂两端的电压u _in从U _dc下降到0的时间段t _f 内有：

(9)

式中，T为半桥逆变电路工作周期，t _f 为电容C ₂两端的电压u _in从U _dc下降到0的时间间隔，为电容C _b 两端的电压；

解得：

(10)

式中，j是谐振回路输入阻抗的阻抗角；

为了实现开关管的ZVS，必须满足t _f ≤t _d (t _d 为半桥工作死区时间)；由此得到保证开关管实现ZVS的最小频率比值β _min；假设变换器固有谐振频率的变化范围是，则与此对应的β范围是；若要保证固有谐振频率偏移后开关管仍可以实现ZVS，必须满足下式：

(11)

由式(6)可以看出，ρ越接近于1，谐振回路的输出功率就越接近于最大输出功率。因此，实际参数设计时频率比值β的取值必须兼顾最大功率和式(11)的开关管ZVS条件，分两种情况：

（1）若β ₁时，，则可取β ₁；

（2）若β ₁时，，则需重新选择β的取值；

令，则可得

(12)

将α和β代入式(6)并进行化简得到谐振电容：

(13)。

以上是本发明的较佳实施例，凡依本发明技术方案所作的改变，所产生的功能作用未超出本发明技术方案的范围时，均属于本发明的保护范围。

Claims (2)

1.一种无极灯用谐振变换器谐振参数设计方法，对于由半桥逆变电路、串并联谐振回路和耦合线圈组成的高频LCCL谐振变换器，其中半桥逆变电路由开关管Q₁和Q₂组成，串并联谐振回路由谐振电感L_r、谐振电容C_r、隔直电容C_b和激励电感L_c组成，耦合线圈由所述激励电感L_c和无极灯灯管等离子体放电环组成，其特征在于：当隔直电容C_b和激励电感L_c确定后，按如下公式确定谐振电感L_r和谐振电容C_r：

$L_r=L_{eq}\mathrm{\&alpha;}=\frac{R_{eq}{U}_{dc}}{\sqrt{2}{\mathrm{\&pi;}}^2{\mathrm{fU}}_o};$

$C_r=\frac{L_r+L_{eq}+\sqrt{{(L_r+L_{eq})}^2-\frac{2{\left(2\mathrm{\&pi;}\frac{f}{\mathrm{\&beta;}}\right)}^2{L_r}^2{L_{eq}}^2}{{R_{eq}}^2}}}{2{\left(2\mathrm{\&pi;}\frac{f}{\mathrm{\&beta;}}\right)}^2{L}_r{L}_{eq}};$

其中，L_eq、R_eq分别为耦合线圈副边灯管等离子体放电环映射到耦合线圈原边的等效电感和等效电阻，L_eq≈L_c，f表示谐振变换器的工作频率，U_dc表示半桥逆变电路输入电压，U_o表示谐振回路输出电压有效值，f_o表示谐振回路固有谐振频率。

2.根据权利要求1所述的一种无极灯用谐振变换器谐振参数设计方法，其特征在于：所述谐振电感L_r和谐振电容C_r按如下方法确定：

利用等离子体放电环和激励电感线圈之间的耦合关系，把耦合线圈副边灯管等离子体放电环映射到耦合线圈原边，并进行等效变换，得到高频LCCL谐振变换器的等效电路模型；

根据高频LCCL谐振变换器的等效电路模型，推导出谐振回路输出电压的三个极值点对应的频率f₁、f₂、f₃，从低到高分别为：

$\left\{\begin{array}{c}{f}_1\&ap;\frac{\sqrt{\frac{1}{L_{eq}{C}_b}-\frac{1}{2{R_{eq}}^2{\left(\frac{C_r{C}_b}{C_r+C_b}\right)}^2}}}{2\mathrm{\&pi;}}\\ f_2\&ap;\frac{\sqrt{\frac{1}{L_{eq}{C}_r}-\frac{1}{2{R_{eq}}^2{\left(\frac{C_r{C}_b}{C_r+C_b}\right)}^2}}}{2\mathrm{\&pi;}}\\ f_3\&ap;\frac{\sqrt{\frac{L_r+L_{eq}}{L_r{L}_{eq}{C}_r}-\frac{1}{2{R_{eq}}^2{\left(\frac{C_r{C}_b}{C_r+C_b}\right)}^2}}}{2\mathrm{\&pi;}}\end{array}\right.---\left(1\right)$

根据无极灯工作特性，把谐振变换器工作频率选择在离最高频率f₃一设定距离的范围内；

取C_b>>C_r，则最高频率f₃用f₀表示为 $f_0=\frac{\sqrt{\frac{L_r+L_{eq}}{L_r{L}_{eq}{C}_r}-\frac{1}{2{R_{eq}}^2{C_r}^2}}}{2\mathrm{\&pi;}},$ 且定义如下电路参数： $\mathrm{\&alpha;}=\frac{L_r}{L_{eq}},\mathrm{\&beta;}=\frac{f}{f_0},L=\frac{L_r{L}_{eq}}{L_r+L_{eq}},Q=R_{eq}\sqrt{\frac{C_r}{L}},$ $n_c=\frac{C_r}{C_b},Z_0=\sqrt{\frac{L}{C_r}}=\sqrt{\frac{L_r{L}_{eq}}{C_r(L_r+L_{eq})}};$

选取Z₀作为基准值，则输入阻抗的标幺值为：

$\begin{array}{c}\left|Z_n\right|=\left|\frac{Z\left(f\right)}{Z_0}\right|=\\ |j\mathrm{\&beta;}\sqrt{1-\frac{1}{2Q^2}}(\mathrm{\&alpha;}+1)+\frac{1}{j\mathrm{\&beta;}\sqrt{1-\frac{1}{2Q^2}}}//\\ (\frac{n_c}{j\mathrm{\&beta;}\sqrt{1-\frac{1}{2Q^2}}}+j\mathrm{\&beta;}\sqrt{1-\frac{1}{2Q^2}}(\frac{1}{\mathrm{\&alpha;}}+1)//Q)|\end{array}---\left(2\right)$

其中，Z(f)表示谐振回路输入阻抗；

谐振回路的电压增益为：

$M_u=\frac{U_o}{U_{in}}=\frac{1}{(\mathrm{\&alpha;}+1)\sqrt{{\left(\right({\mathrm{\&beta;}}^2-\frac{{\mathrm{\&beta;}}^2}{2Q^2})-1)}^2+\frac{({\mathrm{\&beta;}}^2-\frac{{\mathrm{\&beta;}}^2}{2Q^2})}{Q^2}}}---\left(3\right)$

式中，U_o是谐振回路输出电压有效值，U_in是谐振回路输入电压有效值；

谐振回路的输入有功功率P为：

$P=\mathrm{Re}\&lsqb;u_{in}{i}_{in}\&rsqb;=\mathrm{Re}\&lsqb;\frac{u_{in}^2}{Z\left(f\right)}\&rsqb;---\left(4\right)$

其中，Re表示实部，u_in为谐振回路输入电压瞬时值，i_in为谐振回路输入电流；

当f＝f₀时，Re[u_in ²/Z(f)]有最大值，此时谐振回路的输出功率最大，最大输出功率P_max为：

$P_{\max }=\mathrm{Re}\&lsqb;\frac{u_{in}^2}{Z\left(f_0\right)}\&rsqb;\&ap;U_{in}^2\frac{Q^2}{{(\mathrm{\&alpha;}+1)}^2{R}_{eq}}---\left(5\right)$

令功率比值ρ为：

$\mathrm{\&rho;}=\frac{P_o}{P_{\max }}=P_o\frac{{(\mathrm{\&alpha;}+1)}^2{R}_{eq}}{U_{in}^2{Q}^2}---\left(6\right)$

式中P_o为谐振变换器实际工作时谐振回路的输出功率；由式(3)和式(6)，得到：

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\&alpha;}\&ap;\frac{R_{eq}{U}_{dc}}{\sqrt{2}{\mathrm{\&pi;}}^2{\mathrm{fU}}_o{L}_{eq}}\\ P\&ap;\frac{1}{{\mathrm{\&beta;}}^2}\end{array}\right.---\left(7\right)$

则谐振电感：

$L_r=L_{eq}\mathrm{\&alpha;}=\frac{R_{eq}{U}_{dc}}{\sqrt{2}{\mathrm{\&pi;}}^2{\mathrm{fU}}_o}---\left(8\right)$

假设开关管两端的并联电容分别为C₁和C₂，其中包含开关管的寄生电容，得到在电容C₂两端的电压u_in从U_dc下降到0的时间段t_f内有：

$\left\{\begin{array}{c}{u}_{in}(\frac{T}{2}+\frac{t_f}{2})-u_{in}(\frac{T}{2}-\frac{t_f}{2})=0-U_{dc}=\frac{1}{C_2}{\&Integral;}_{\frac{T}{2}-\frac{t_f}{2}}^{\frac{T}{2}+\frac{t_f}{2}}-\frac{C_2}{C_1+C_2}{i}_{in}\left(t\right)dt\\ u_{in}\left(t\right)=L_r\frac{{\mathrm{di}}_{in}\left(t\right)}{dt}+u_{C_b}+L_{eq}\frac{d(i_{in}-C_r\frac{d(u_o+u_{C_b})}{dt}-\frac{u_o}{R_{eq}})}{dt}\end{array}\right.---\left(9\right)$

式中，T为半桥逆变电路工作周期，t_f为电容C₂两端的电压u_in从U_dc下降到0的时间间隔，u_Cb≈U_dc/2为电容C_b两端的电压，u_o为谐振回路输出电压瞬时值；

解得：

式中，是谐振回路输入阻抗的阻抗角；

为了实现开关管的ZVS，必须满足t_f≤t_d，t_d为半桥工作死区时间；由此得到保证开关管实现ZVS的最小频率比值β_min；假设变换器固有谐振频率的变化范围是(f₀-Δf，f₀+Δf)，则与此对应的β范围是若要保证固有谐振频率偏移后开关管仍可以实现ZVS，必须满足下式：

$\frac{f}{f_0+\mathrm{\&Delta;}f}\&GreaterEqual;{\mathrm{\&beta;}}_{\min }---\left(11\right)$

为了使频率比值β的取值兼顾最大功率和式(11)的开关管ZVS条件，分两种情况：

(1)若β＝1时， $\frac{f}{f_0+\mathrm{\&Delta;}f}\&GreaterEqual;{\mathrm{\&beta;}}_{\min },$ 则取β；

(2)若β＝1时， $\frac{f}{f_0+\mathrm{\&Delta;}f}<{\mathrm{\&beta;}}_{\min },$ 则重新选择β的取值；

令 $\frac{f}{f_0+\mathrm{\&Delta;}f}={\mathrm{\&beta;}}_{\min },$ 则可得

$\mathrm{\&beta;}=\frac{f}{f_0}=\frac{f}{\frac{f}{{\mathrm{\&beta;}}_{\min }}-\mathrm{\&Delta;}f}---\left(12\right)$

将α和β代入式(6)并进行化简得到谐振电容：

$C_r=\frac{L_r+L_{eq}+\sqrt{{(L_r+L_{eq})}^2-\frac{2{\left(2\mathrm{\&pi;}\frac{f}{\mathrm{\&beta;}}\right)}^2{L_r}^2{L_{eq}}^2}{{R_{eq}}^2}}}{2{\left(2\mathrm{\&pi;}\frac{f}{\mathrm{\&beta;}}\right)}^2{L}_r{L}_{eq}}---\left(13\right).$