CN103513235B - 晴空飞机尾流稳定段雷达散射特性计算方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供一种晴空飞机尾流稳定段雷达散射特性计算方法。技术方案是首先计算飞机尾流介电常数分布、飞机尾流内部电场分布，然后计算由散射积分方程导出的高振荡积分得到飞机尾流的雷达散射截面。本发明的计算量和存储量与常规电磁散射特性计算方法相比得以成量级地下降，通过该本发明可以计算得到飞机尾流的雷达散射截面与入射波频率的关系等，为相关雷达探测技术的发展提供理论和模型支撑。

Description

晴空飞机尾流稳定段雷达散射特性计算方法

技术领域

本发明属于雷达目标特性技术领域，涉及飞机尾流这类特殊的超大电尺寸非均匀介质目标的雷达散射特性的计算，可为飞机尾流散射机理研究和雷达探测技术发展提供技术支撑。

背景技术

飞机尾流是飞机飞行时在其后方形成的一种强烈的螺旋状气流，具有空间尺度大、持续时间长、旋转强烈等特点，对后续飞机的飞行安全具有严重影响（发生翻滚、抖动、失速等）。为了保证飞行安全，国际民航组织于1970年代初期建立了一套飞机安全间隔标准，该标准不区分天气条件，依靠前机和后机的大小、速度、重量等参数来确定飞行间隔。在通常情况下，这些飞行间隔过于保守，限制了机场的起降机次和运输能力；但在某些情况下这些距离又偏小，给飞行安全带来很大隐患。由于在机场和航空母舰的进港/离港航线上飞机起降密集，尾流的影响更大，因此其已成为制约机场吞吐量、航空母舰飞机起降密度的主要因素之一，飞机尾流的实时探测也已成为航空安全领域亟需解决的关键技术问题之一。

飞机尾流雷达散射特性是尾流雷达探测的理论依据，研究方法通常包括实验测量和理论计算两类，其中理论计算因具有代价较小、参数可调、便于机理分析等优点而受到广泛关注。按飞机飞行时的天气条件，一般可将飞机尾流分为晴空、云雾、降雨条件下的飞机尾流三类，其中后两者的散射一般认为是由粒子（云雾滴、雨滴）散射导致，晴空尾流的雷达散射则主要是空气折射指数不均匀所致。晴空飞机尾流散射特性一般按非均匀介质目标进行研究，但是飞机尾流的电尺寸特别巨大（在翼展和机高方向达百米量级，在飞机飞行方向上甚至达千米量级）且结构复杂，这使得尾流雷达散射特性的理论研究长期以来因面临着建模困难、计算量巨大等技术瓶颈而进展缓慢。正是因为如此，人们当前对尾流散射特性的认识不够深入，使得现有探测方法和探测实验的研究具有很大的盲目性，探测实验的很多结果也无法在机理层面给出合理的解释。从这点来看，飞机尾流电磁散射特性不明确的现状已严重制约了飞机尾流雷达探测技术的发展，加强尾流雷达散射特性快速计算方案的研究具有重要的理论价值和应用前景。

发明内容

本发明要解决的技术问题是：针对飞机尾流电磁散射特性计算量、存储量巨大的问题，提出一种晴空飞机尾流稳定段雷达散射特性快速计算方法，可以计算得到尾流的窄带和宽带特性，为尾流回波模拟提供基础。

本发明技术方案一种晴空飞机尾流稳定段雷达散射特性快速计算方法，其特征包括下述步骤：计算飞机尾流介电常数分布，计算飞机尾流内部电场分布，然后计算由散射积分方程导出的高振荡积分得到飞机尾流的雷达散射截面。

采用本发明可取得以下技术效果：本发明在解决了飞机尾流介电常数分布建模、飞机尾流内部电场分布获取和高振荡积分快速精确计算三个关键技术问题的基础上，提出了一种系统的飞机尾流雷达散射特性计算方法，其计算量和存储量与常规电磁散射特性计算方法相比得以成量级地下降。通过该计算解决方案可以计算得到飞机尾流的雷达散射截面与入射波频率的关系等，为相关雷达探测技术的发展提供理论和模型支撑。

附图说明

下面结合说明书附图和具体实施对本发明作进一步更详细的说明。

图1是飞机尾流散射特性计算解决方法流程图；

图2是雷达与飞机尾流的几何关系；

图3是飞机尾流涡对的速度模型；

图4是飞机尾流与背景空气的相对介电常数差异的分布；

图5是飞机尾流的雷达散射截面与入射波频率的关系。

具体实施方式

为了更好地理解本发明的技术方案，下面结合附图对本发明的实施方式作进一步描述。

图1是飞机尾流雷达散射特性计算解决方案流程图。第一步，建立雷达与尾流的坐标系；第二步，计算飞机尾流与背景空气的相对介电常数差异的分布；第三步，计算飞机尾流内部总电场；第四步，计算Hertz矢量对应的高振荡积分；第五步，计算飞机尾流远场散射场；第六步，计算飞机尾流的雷达散射截面。下面对各步分别进行介绍。

第一步：建立雷达与飞机尾流的坐标系

建立雷达与飞机尾流的三个坐标系如图2所示。首先以飞机尾流两个涡核连线的中心为坐标原点O′，飞机飞行方向为x′轴，以涡核O_L和O_R的中心连线为y′轴，建立右手坐标系O′x′y′z′，称为尾流坐标系。以雷达发射天线为坐标原点O_t，以发射天线水平极化方向为x_t轴，发射波束指向为z_t轴，建立坐标系O_tx_ty_tz_t，并设z_t轴与z′轴相交于z₀点，称为发射天线坐标系。接收天线坐标系O_rx_ry_rz_r的定义类似发射天线坐标系，不再赘述。本发明以尾流坐标系作为参考坐标系，如非特别指明，相应的坐标均指尾流坐标系中的坐标。

第二步：计算飞机尾流与背景空气的相对介电常数差异的分布

这一步主要包括三部分：1、计算飞机尾流因其密度分布导致的与背景空气的第一介电常数差异2、计算飞机尾流因水蒸气浓度分布导致的与背景空气的第二介电常数差异3、将第一介电常数差异和第二介电常数差异求和得到飞机尾流与背景空气总的介电常数差异的分布具体而言，计算步骤如下1、2、3所示。

1、计算飞机尾流因其密度分布导致的与背景空气的介电常数差异

在飞机尾流的稳定段，飞机尾流内部的密度分布随时间的变化可忽略，因此其导致的尾流介电常数分布亦认为不随时间变化，本步骤计算飞机尾流因其密度分布导致的与背景空气的介电常数差异时忽略了时间参数t。

首先建立飞机尾流坐标系，如图3所示。飞机尾流通常由两个涡构成，分别称为左涡和右涡，每个涡的特征通常由涡心位置、涡核半径来描述。以两涡涡心的连线为x轴，以两涡的对称轴为y轴，x轴和y轴的交点为坐标原点o。左涡的涡心为涡核半径为r_c，其中r_c＝0.052b₀，为飞机尾流的涡间距，b为飞机翼展；右涡的涡心为涡核半径也为r_c。两涡具有相同的下沉速度V_d。对于空间中坐标为(x，y)的某点r，其距左涡涡心和右涡涡心的距离分别为r_L和r_R，左涡和右涡对其的诱导速度分别为V_L和V_R，诱导速度的合速度为V，具体表达式将在下面的公式（三）中说明。

①、计算尾流内部某点r处的流函数ψ(r)。

尾流内部某点r处的流函数ψ(r)按下式进行计算：

ψ(r)＝-V_dx+ψ_L(r)+ψ_R(r)+C(-)

其中

●为飞机尾流的下沉速度，为飞机翼根处涡环量，M为飞机质量，g为重力加速度，ρ为背景空气的密度，υ为飞机飞行速度；x为点r的横坐标；

●ψ_L(r)和ψ_R(r)分别按下式进行计算：

${\mathrm{\&psi;}}_L\left(r\right)=\frac{{\mathrm{\&Gamma;}}_0}{4\mathrm{\&pi;}}\left\{\begin{array}{cc}{r}_L^2/r_c^2-1+\ln r_c^2,& r_L<r_c,\\ \ln r_L^2,& r_L\&GreaterEqual;r_c,\end{array}\right.$ （二）

${\mathrm{\&psi;}}_R\left(r\right)=-\frac{{\mathrm{\&Gamma;}}_0}{4\mathrm{\&pi;}}\left\{\begin{array}{cc}{r}_R^2/r_c^2-1+\ln r_c^2,& r_R<r_c,\\ \ln r_R^2,& r_R\&GreaterEqual;r_c,\end{array}\right.$

●常数C为：

$C=(-\frac{b_0}{2}+r_c)\&CenterDot;V_d+\frac{{\mathrm{\&Gamma;}}_0}{2\mathrm{\&pi;}}\ln \frac{b_0-r_c}{r_c}$

②、计算尾流内某点r处的速度V(r)：

$V\left(r\right)=-V_d\hat{y}+V_L\left(r\right)+V_R\left(r\right)$ （三）

其中表示y方向单位矢量，V_L(r)和V_R(r)分别是由左涡和右涡诱导的速度分量，其速度大小按下式计算：

$V_L\left(r\right)=\frac{{\mathrm{\&Gamma;}}_0}{2\mathrm{\&pi;}{r}_L}\left\{\begin{array}{cc}{r}_L^2/r_c^2,& r_L<r_c,\\ 1,& r_L\&GreaterEqual;r_c;\end{array}\right.$ （四）

$V_R\left(r\right)=\frac{{\mathrm{\&Gamma;}}_0}{2\mathrm{\&pi;}{r}_R}\left\{\begin{array}{cc}{r}_R^2/r_c^2,& r_R<r_c,\\ 1,& r_R\&GreaterEqual;r_c.\end{array}\right.$

左涡和右涡诱导速度的方向分别为顺时针和逆时针方向，且均垂直矢径，如图1所示。

③、利用下式计算飞机尾流因密度分布导致的与背景空气的介电常数差异 $\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&epsiv;}}_r^d\left(r\right):$

${\mathrm{\&Delta;\&epsiv;}}_r^d\left(r\right)=1.552\&times;{10}^{-6}\frac{p_a(T_a+{4668q}_a)}{{\mathrm{\&gamma;RT}}_a^2}(\frac{1}{2}{V}_d^2-\frac{1}{2}{\left|V\left(r\right)\right|}^2-H\left(r\right)\mathrm{\&psi;}\left(r\right)\frac{{\mathrm{\&Gamma;}}_0}{{\mathrm{\&pi;r}}_c^2})$ （五）

其中p_a为背景空气的压强，T_a为背景空气的绝对温度，q_a为背景空气的水蒸气浓度，γ为绝热系数（对空气一般取γ＝1.4），R为空气的热力学常数，一般取R＝287，上述参数利用现有技术均可获得；|·|表示对矢量取模值；标识函数H(r)按如下方法获取：

2、计算飞机尾流因其水蒸气分布导致的与背景空气的介电常数差异

在飞机尾流的稳定段，飞机尾流内部与水蒸气浓度分布相关的介电常数分布与时间t相关，设空气流过机翼后刚形成尾流的时刻为0时刻。下面采用有限时域差分方法求解对流扩散方程，得到飞机尾流坐标系内某离散点r_i，j处、时间t_n上的水蒸气浓度变化量Q(r_i，j，t_n)，进而据此计算飞机尾流因其水蒸气分布导致的与背景空气的介电常数差异这里面涉及的离散点r_i，j和时间t_n在步骤①中将说明。

①、利用蛙跳格式对对流扩散方程进行离散，得到关于水蒸气浓度变化量Q(r_i，j，t_n)的离散方程：

$\begin{array}{c}\frac{Q(r_{i,j},t_{n+1})-Q(r_{i,j},t_{n-1})}{2\mathrm{\&Delta;t}}+u_{i,j}\frac{Q(r_{i+1,j},t_n)-Q(r_{i-1,j},t_n)}{{2\mathrm{\&Delta;x}}_{i,j}}\\ +{\mathrm{\&upsi;}}_{i,j}\frac{Q(r_{i,j+1},t_n)-Q(r_{i,j-1},t_n)}{2\mathrm{\&Delta;}{y}_{i,j}}=-{\mathrm{\&upsi;}}_{i,j}{m}_q,\end{array}$ （六）

其中，r_i，j为空间某离散点（i和j分别为x方向和y方向网格的序号，网格划分规则在下面步骤A中将说明），u_i，j和υ_i，j为离散点r_i，j处尾流在x和y方向的速度，t_n＝nΔt表示第n个时间点（n＝0，1，2，...，Δt，为时间步长），Q(r_i，j，t_n)表示离散点r_i，j处、时间t_n上的水蒸气浓度变化量，Δx_i，j和Δy_i，j为离散点r_i，j处和y方向的空间离散步长，m_q为水蒸气浓度对高度的变化率，一般取m_q＝-8×10^-8。求解公式（六）所使用的网格划分、时间步长和边界条件如下A、B、C所述。

A、网格划分

考虑到涡核附近的速度场变化大，远离涡核处的速度场变化小，所以在涡核附近的空间采用细网格，远离涡核的空间采用粗网格，网格划分方案如下。

y方向网格：两涡核连线（即y＝0）下方的空间步长为

${\mathrm{\&Delta;y}}_{i,j}=y_0\&CenterDot;{\left({\mathrm{\&eta;}}_y\right)}^{N_1^y-j},1\&le;j\&le;N_1^y$

其中y₀为y方向最小网格间距，取作y₀＝0.001，η_y为y方向的网格伸缩因子，取作η_y＝1.0015，为y＝0下方网格节点数（表示对变量取整）。在y＝0上方网格采用与下方网格对称的分布，因此，y方向的总网格数为 $N^y={2N}_1^y.$

方向网格：两涡核连线的中位置（x＝0）左方网格的空间步长为

${\mathrm{\&Delta;x}}_{i,j}=\left\{\begin{array}{cc}{x}_0\&CenterDot;{\left({\mathrm{\&eta;}}_x\right)}^{N_1^x-i},& 1\&le;i\&le;N_1^x,\\ x_0\&CenterDot;{\left({\mathrm{\&eta;}}_x\right)}^{i-N_1^x},& N_1^x\&le;i\&le;N_1^x+N_2^x\end{array}\right.$

其中x₀为x方向的最小网格间距，取作x₀＝0.001，η_x为x方向的网格伸缩因子，取作η_x＝1.0015，为左涡核左侧 $(x<-\frac{b_0}{2})$ 的网格节点数，为左涡核到x＝0之间的网格节点数。在x＝0右侧的网格采用与左侧对称的分布，因此，x方向的总网格数为 $N^x=2(N_1^x+N_2^x).$

B、时间步长

考虑到蛙跳格式的稳定性，求解中采用的时间步长为

$\mathrm{\&Delta;t}=\frac{1}{4}\frac{{\mathrm{\&Delta;}}_{\min }}{V_{\max }}$

其中Δ_min＝min(Δx_i，j，Δy_i，j)表示所有离散网格上空间离散步长的最小值， $V_{\max }=\max \left(\sqrt{u_{i,j}^2+{\mathrm{\&upsi;}}_{i,j}^2}\right)$ 为所有离散网格上尾流速度的最大值。

C、边界条件

空间上采用周期性边界条件，即

$\begin{array}{cc}Q\left(r_{N^x,j}{t}_n\right)=Q(r_{1,j},t_n),& Q(r_{N^x-1,j},t_n)=Q(r_{2,j},t_n)\\ Q(r_{{i,N}^y},t_n)=Q(r_{i,2},t_n)+\stackrel{\&OverBar;}{Q\left(r_n\right)},& Q(r_{i,1},t_n)=Q(r_{i{,N}^y-1},t_n)-\stackrel{\&OverBar;}{Q\left(t_n\right)},\end{array}$

其中 $\stackrel{\&OverBar;}{Q\left(t_n\right)}=<Q(r_{i,N^y},t_n)>-<Q(r_{i,2},t_n)>,$ <·>表示在x方向各节点上对变量′·′求均值。

时间上的初始条件为

Q(r_i，j，t_n)|_n＝0＝0.

在A、B、C给定参数情况下采用时间步进方法迭代求解公式，可得到飞机尾流在不同时间点t_n＝nΔt上的水蒸气浓度变化量Q(r_i，j，t_n)。

②、从空气介质的介电常数公式出发，根据下式计算与水蒸气浓度分布相关的介电常数分布：

${\mathrm{\&Delta;\&epsiv;}}_r^V(r_{i,j},t_n)=1.207\&times;{10}^{-2}\frac{p_a}{T_a^2}Q(r_{i,j},t_n)$ （七）

3、计算飞机尾流与背景空气总的介电常数差异

对于飞机尾流坐标系内某离散点r_i，j，按第一步计算得到该点因密度分布导致的第一介电常数差异它随时间的变化可忽略，即在飞机尾流的稳定段有按第二步计算离散点r_i，j处、时间t_n＝nΔt上飞机尾流由水蒸气浓度分布导致的第二介电常数差异第一介电常数和第二介电常数相加得到尾流内r_i，j处、时刻t_n＝nΔt上飞机尾流与背景空气总的介电常数差异：

${\mathrm{\&Delta;\&epsiv;}}_r(r_{i,j},t_n)={\mathrm{\&Delta;\&epsiv;}}_r^d(r_{i,j},t_n)+{\mathrm{\&Delta;\&epsiv;}}_r^V(r_{i,j},t_n).$ （八）

第三步：计算飞机尾流内部总电场

采用展向为二维高斯分布的锥形波来近似入射雷达波，入射雷达波的入射电场按下式计算：

$E_i\left(r_t\right)=\frac{A}{\left|r_t\right|}{e}^{{-(\sin \mathrm{\&theta;}/\sin {\mathrm{\&theta;}}_h)}^2}{e}^{\mathrm{ik}\left|r_t\right|}\hat{p},$ (九）

其中r_t为发射天线到飞机尾流上某点的矢径，θ为r_t与波束轴线的夹角，θ_h定义为E_i(r_t)的取值等于其峰值的e^-1倍时所在的θ，k为入射雷达波的波数，A为一个衡量入射雷达波强度的常量，与后续计算的雷达散射截面的值无关，为入射雷达波极化的单位矢量。

本发明采用Born近似来得到尾流内部电场分布，此时，尾流内部总电场按下式获得：

E(r_t)＝E_i(r_t).（十）

第四步：计算Hertz矢量对应的高振荡积分

在远场情况下入射雷达波波束截取的尾流尺度与发射距离与探测距离相比是小量，因此飞机尾流散射计算对应的Hertz矢量Π按下式进行计算：

$\mathrm{\&Pi;}=\frac{A\hat{p}{I}^{\&prime;}}{4\mathrm{\&pi;}{R}_t{R}_r},$ （十一）

其中I′为一个三维高振荡积分：

$I^{\&prime;}={\text{\&Integral;\&Integral;\&Integral;}}_{V^{\&prime;}}{\mathrm{\&Delta;\&epsiv;}}_r\left(r^{\&prime;}\right)e^{-\frac{x_t^2+y_t^2}{{R_t}^2{\sin }^2{\mathrm{\&theta;}}_h}}{e}^{\mathrm{ik}\left(\right|r_t|+|r_r\left|\right)d^3{r}^{\&prime;}}$ （十二）

R_t为发射距离，即发射天线中心与尾流坐标系原点间距离，R_r为探测距离，即接收天线中心与尾流坐标系原点间距离，|r_t|为尾流内某点到发射天线中心的距离，|r_t|为尾流内某点到接收天线中心的距离，x_t和y_t为尾流内某点在发射坐标系中x和y方向的坐标，V′为入射雷达波波束与尾流的相交体积（即积分域）。V′按如下方法求取：由于展向为高斯分布的波束在θ＝3θ_h处的电场强度为波束最大增益方向的0.01％左右，所以在θ＝3θ_h以外的散射可忽略不计。根据入射雷达波波束的空间几何关系，求出发射坐标系内θ＝3θ_h所代表圆锥面方程在尾流轴线上截取的区间[x′₁，x′₂]，该区间即为积分域在x′轴上的投影。在飞机尾流的横截面上，飞机尾流与背景空气介质的相对介电常数差异Δε_r在离尾流坐标系原点1.5倍翼展之外的区域非常小，因此可以将体积作为三维高振荡积分公式（十二）的积分域。在得到积分域之后，公式（十二）所示的高振荡积分可以利用文献“JianbingLi,XuesongWang,TaoWang,ChunShen.Delaminatingquadraturemethodformulti-dimensionalhighlyoscillatoryintegrals.AppliedMathematicsandComputation,209:327-338,2009”中的方法进行快速精确计算。

第五步：计算飞机尾流远场散射场

对于探测尾流而言，接收天线一般位于尾流的远场，此时接收天线处的散射电场E_s和散射磁场H_s可简化为如下形式

$E_s={-k}^2\hat{o}\&times;(\hat{o}\&times;\mathrm{\&Pi;})$ （十三）

$H_s=\mathrm{\&omega;}{\mathrm{k\&epsiv;}}_0\hat{o}\&times;\mathrm{\&Pi;}$

其中“×”表示两矢量的叉乘，为接收天线所在方向的单位矢径，r是接收天线处的位置矢量，k为入射雷达波的波数，ω为入射雷达波角频率，ε₀为真空介电常数。

第六步：计算飞机尾流的雷达散射截面

首先计算接收天线处的散射功率密度其中E_s和H_s如公式（十三）所示；再计算尾流处的入射雷达波功率密度S_i：

$S_i=\frac{{k\left|E_i\left(R_t\right)\right|}^2}{{2\mathrm{\&omega;\&mu;}}_0}.$ （十四）

其中μ₀为真空磁导率，E_i(R_t)为取|r_t|＝R_t和θ＝0时公式（九）右边计算得到的值；然后计算飞机尾流的尾流的雷达散射截面σ：

$\mathrm{\&sigma;}=4\mathrm{\&pi;}{R}_r^2\frac{S_s}{S_i}.$ （十五）

图4是Boeing747飞机尾流与背景空气总的相对介电常数差异Δε_r在稳定段开始后时间t＝40s时的分布，横坐标为飞机翼展方向（单位：m），纵坐标为飞机机高方向（单位：m），色棒指示总的相对介电常数差异Δε_r的数值，相关的参数为：飞机质量M＝250000kg，飞机翼展b＝68m，飞机飞行速度υ＝133m·s^-1，背景空气的压强p_a＝100000pa，背景空气的绝对温度T_a＝288K，水蒸气浓度相对高度的变化率为m_q＝-8×10^-8kg·m^-1·kg^-1。从图中可以看出，两个涡心附近的Δε_r比较大，同时Δε_r也是时域演变的。

图5给出了飞机尾流在下述参数下计算得到不同频率点上的单站雷达散射截面：入射雷达波的波束宽度为1.5度，俯仰角10度，波束垂直于尾流轴向入射到尾流中心（即雷达波束轴线通过尾流坐标系原点且垂直于z轴），探测距离为10km，入射波频率为1MHz-10GHz内对数等间隔采样的200个频率点，其他参数与图4的相同。图中横坐标为入射波频率（单位：Hz），纵坐标为雷达散射截面（RadarCrossSection，简称RCS，单位：dBsm），黑色粗线为根据NASA科学家K.Shariff在文献“K.Shariff,A.Wray.Analysisoftheradarreflectivityofaircraftvortexwakes.JournalofFluidDynamics.463:121-161,2002.”中提出的方法计算得到的结果，6个圆圈所表示数据为美国MIT林肯实验室于1992年在太平洋的夸贾林环礁附近进展的6个不同雷达频率上的雷达探测实验得到的飞机尾流雷达散射截面（数据来自NASA科学家K.Shariff文献），4根带标志细线为本发明计算得到的稳定段开始后时间t分别为5s、10s、20s和40s时飞机尾流雷达散射截面计算结果。从图中发现本发明计算结果在低频段与NASA的计算结果吻合较好，但NASA结果在高频段与MIT林肯实验室的实验结果明显不符；在高频段本发明计算结果小于MIT林肯实验室的实验结果，但随着稳定段开始后时间t的增加逐渐接近其实验结果。

Claims (1)

1.一种晴空飞机尾流稳定段雷达散射特性计算方法，其特征在于，包括下述步骤：

第一步、建立飞机尾流坐标系:

首先以飞机尾流两个涡核连线的中心为坐标原点O′，飞机飞行方向为x′轴，以涡核O_L和O_R的中心连线为y′轴，建立右手坐标系O′x′y′z′，称为尾流坐标系；以雷达发射天线为坐标原点O_t，以发射天线水平极化方向为x_t轴，发射波束指向为z_t轴，建立坐标系O_tx_ty_tz_t，并设z_t轴与z′轴相交于z₀点，称为发射天线坐标系；接收天线坐标系O_rx_ry_rz_r的定义类似发射天线坐标系；本发明以尾流坐标系作为参考坐标系，如非特别指明，相应的坐标均指尾流坐标系中的坐标；

在尾流坐标系中，飞机尾流由两个涡构成，分别称为左涡和右涡；以两涡涡心的连线为x轴，以两涡的对称轴为y轴，x轴和y轴的交点为坐标原点o；左涡的涡心为涡核半径为r_c，其中r_c＝0.052b₀，为飞机尾流的涡间距，b为飞机翼展；右涡的涡心为涡核半径也为r_c；两涡具有相同的下沉速度V_d；对于空间中坐标为(x，y)的某点r，其距左涡涡心和右涡涡心的距离分别为r_L和r_R，左涡和右涡对其的诱导速度分别为V_L和V_R，诱导速度的合速度为V；

第二步：计算飞机尾流与背景空气的相对介电常数差异的分布：

I、计算飞机尾流第一介电常数差异

①、计算尾流内部某点r处的流函数ψ(r)：

ψ(r)＝-V_dx+ψ_L(r)+ψ_R(r)+C

其中：

为飞机尾流的下沉速度，为飞机翼根处涡环量，M为飞机质量，g为重力加速度，ρ为背景空气的密度，υ为飞机飞行速度，x为点r的横坐标；

ψ_L(r)和ψ_R(r)分别按下式进行计算：

$\begin{array}{c}{\mathrm{\&psi;}}_L\left(r\right)=\frac{{\mathrm{\&Gamma;}}_0}{4\mathrm{\&pi;}}\left\{\begin{array}{cc}{r}_L^2/r_c^2-1+{\mathrm{lnr}}_c^2,& r_L<r_c,\\ {\mathrm{lnr}}_L^2,& r_L\&GreaterEqual;r_c,\end{array}\right.\\ {\mathrm{\&psi;}}_R\left(r\right)=-\frac{{\mathrm{\&Gamma;}}_0}{4\mathrm{\&pi;}}\left\{\begin{array}{cc}{r}_R^2/r_c^2-1+{\mathrm{lnr}}_c^2,& r_R<r_c,\\ {\mathrm{lnr}}_R^2,& r_R\&GreaterEqual;r_c,\end{array}\right.\end{array}$

这里，r_L和r_R分别表示点r到左涡心和右涡心的距离；

常数C为：

$C=(-\frac{b_0}{2}+r_c)\&CenterDot;V_d+\frac{{\mathrm{\&Gamma;}}_0}{2\mathrm{\&pi;}}ln\frac{b_0-r_c}{r_c}$

②、计算尾流内某点r处的速度V(r)：

$V\left(r\right)=-V_d\hat{y}+V_L\left(r\right)+V_R\left(r\right)$

其中表示y方向单位矢量，V_L(r)和V_R(r)分别是由左涡和右涡诱导的速度分量，其速度大小按下式计算：

$\begin{array}{c}{V}_L\left(r\right)=\frac{{\mathrm{\&Gamma;}}_0}{2{\mathrm{\&pi;r}}_L}\left\{\begin{array}{cc}{r}_L^2/r_c^2,& r_L<r_c,\\ 1,& r_L\&GreaterEqual;r_c;\end{array}\right.\\ V_R\left(r\right)=\frac{{\mathrm{\&Gamma;}}_0}{2{\mathrm{\&pi;r}}_R}\left\{\begin{array}{cc}{r}_R^2/r_c^2,& r_R<r_c,\\ 1,& r_R\&GreaterEqual;r_c\&CenterDot;\end{array}\right.\end{array}$

左涡和右涡诱导速度的方向分别为顺时针和逆时针方向，且均垂直涡的半径；

③、利用下式计算第一介电常数差异

${\mathrm{\&Delta;\&epsiv;}}_r^d\left(r\right)=1.552\&times;{10}^{-6}\frac{p_a(T_a+4668q_a)}{{\mathrm{\&gamma;RT}}_a^3}(\frac{1}{2}{V}_d^2-\frac{1}{2}|V\left(r\right){|}^2-H\left(r\right)\mathrm{\&psi;}\left(r\right)\frac{{\mathrm{\&Gamma;}}_0}{{\mathrm{\&pi;r}}_c^2})$

其中p_a为背景空气的压强，T_a为背景空气的绝对温度，q_a为背景空气的水蒸气浓度，γ为绝热系数，R为空气的热力学常数；|·|表示对矢量取模值；标识函数H(r)按如下方法获取：

II、计算飞机尾流第二介电常数差异

①、尾流区域的网格划分

y方向网格：两涡核连线下方即y＝0的空间步长为

${\mathrm{\&Delta;y}}_{i,j}=y_0\&CenterDot;{\left({\mathrm{\&eta;}}_y\right)}^{N_1^y-j},1\&le;j\&le;N_1^y$

其中y₀为y方向最小网格间距，η_y为y方向的网格伸缩因子，为y＝０下方网格节点数，〈·〉表示对变量取整)；在y＝0上方网格采用与下方网格对称的分布，y方向的总网格数为 $N^y=2N_1^y;$

方向网格：两涡核连线的中间点位置即x＝0的左方网格的空间步长为

${\mathrm{\&Delta;x}}_{i,j}=\left\{\begin{array}{cc}{x}_0\&CenterDot;{\left({\mathrm{\&eta;}}_x\right)}^{N_1^x-i},& 1\&le;i\&le;N_1^x,\\ x_0\&CenterDot;{\left({\mathrm{\&eta;}}_x\right)}^{i-N_1^x},& N_1^x\&le;i\&le;N_1^x+N_2^x\end{array}\right.$

其中x₀为x方向最小网格间距，取x₀＝0.001，η_x为x方向网格伸缩因子， $N_1^x=<\lg ({\mathrm{\&eta;}}_x-\frac{b0(1-{\mathrm{\&eta;}}_x)}{x_0})/{\mathrm{lg\&eta;}}_x>$ 为左涡核左侧即 $x<-\frac{b_0}{2}$ 的网格节点数，为左涡核到x＝0间的网格节点数；在x＝0右侧的网格采用与左侧对称的分布，x方向的总网格数为 $N^x=2(N_1^x+N_2^x);$

②、基于上述网格，利用时间步进的蛙跳格式求解关于Q(r_i，j，t_n)的离散方程：

$\begin{array}{c}\frac{Q\left(r_{i,j},t_{n+1}\right)-Q\left(r_{i,j},t_{n-1}\right)}{2\mathrm{\&Delta;}t}+u_{i,j}\frac{Q\left(r_{i+1,j},t_n\right)-Q\left(r_{i-1,j},t_n\right)}{2{\mathrm{\&Delta;x}}_{i,j}}\\ +{\mathrm{\&upsi;}}_{i,j}\frac{Q\left(r_{i,j+1},t_n\right)-Q\left(r_{i,j-1},t_n\right)}{2{\mathrm{\&Delta;y}}_{i,j}}=-{\mathrm{\&upsi;}}_{i,j}{m}_q,\end{array}$

其中，r_i，j为网格点，u_i，j和υ_i，j为网格点r_i，j处尾流在x和y方向的速度，t_n＝nΔt表示第n个时间点，n＝0，1，2，...，Δt为时间步长，Q(r_i，j，t_n)表示网格点r_i，j处、时间t_n上的水蒸气浓度变化量，Δx_i，j和Δy_i，j为离散网格点r_i，j处x和y方向的空间离散步长，m_q为水蒸气浓度对高度的变化率；

时间上初始条件为

Q(r_i，j，t_n)|_n＝0＝0.

时间步长为

$\mathrm{\&Delta;}t=\frac{1}{4}\frac{{\mathrm{\&Delta;}}_{min}}{V_{max}}$

其中为各网格上尾流速度最大值，表示各有网格上空间步长最小值；

●空间边界条件为周期性边界条件：

$\begin{array}{c}Q\left(r_{i,j},t_n\right){|}_{i=N^x}=Q\left(r_{2,j},t_n\right),\\ Q\left(r_{i,j},t_n\right){|}_{i=1}=Q\left(r_{N^x-1,j},t_n\right)\\ Q\left(r_{i,j},t_n\right){|}_{j=N^y}=Q\left(r_{i,2},t_n\right)+\stackrel{\&OverBar;}{Q\left(t_n\right)},\\ Q\left(r_{i,j},t_n\right){|}_{j=1}=Q\left(r_{i,N^y-1},t_n\right)-\stackrel{\&OverBar;}{Q\left(t_n\right)},\end{array}$

这里 表示在x方向各节点上对变量Q求均值；

③、根据求解得到的Q(r_i，j，t_n)按下式计算第二介电常数差异

${\mathrm{\&Delta;\&epsiv;}}_r^v(r_{i,j},t_n)=1.207\&times;{10}^{-2}\frac{p_a}{T_a^2}Q(r_{i,j},t_n)$

III、计算飞机尾流与背景空气总的介电常数差异：

第一介电常数差异和第二介电常数差异相加得到尾流内r_i，j处、时刻t_n＝nΔt上飞机尾流与背景空气总的介电常数差异：

${\mathrm{\&Delta;\&epsiv;}}_r(r_{i,j},t_n)={\mathrm{\&Delta;\&epsiv;}}_r^d(r_{i,j},t_n)+{\mathrm{\&Delta;\&epsiv;}}_r^v(r_{i,j},t_n);$

第三步：计算Hertz矢量对应的高振荡积分：

飞机尾流散射计算对应的Hertz矢量∏按下式进行计算：

$\mathrm{\&Pi;}=\frac{A\hat{p}{I}^{\&prime;}}{4{\mathrm{\&pi;R}}_t{R}_r},$

其中：为入射雷达波极化的单位矢量，A为一个衡量入射雷达波强度的常量；

I′为一个三维高振荡积分：

$I^{\&prime;}=\&Integral;\&Integral;{\&Integral;}_{V^{\&prime;}}{\mathrm{\&Delta;\&epsiv;}}_r\left(r^{\&prime;}\right)e^{-\frac{x_t^2+y_t^2}{{R_t}^2{\sin }^2{\mathrm{\&theta;}}_h}}{e}^{ik\left(\left|r_t\right|+\left|r_r\right|\right)}{d}^3{r}^{\&prime;}---\left(1\right)$

Δε_r为飞机尾流与背景空气总的介电常数差异，R_t为发射距离，即发射天线中心与尾流坐标系原点间距离，R_r为探测距离，即接收天线中心与尾流坐标系原点间距离，|r_t|为尾流内某点到发射天线中心的距离，|r_r|为尾流内某点到接收天线中心的距离，x_t和y_t为尾流内某点在发射坐标系中x和y方向的坐标，V′为入射雷达波波束与尾流的相交体积，θ_h定义为E_i(r_t)的取值等于其峰值的e^-1倍时所在的θ，E_i(r_t)为入射雷达波的入射电场，r_t为发射天线到飞机尾流上某点的矢径，θ为r_t与雷达波束轴线的夹角；

第四步：计算飞机尾流雷达散射截面

远场散射电场E_S和散射磁场H_S按下式计算：

$E_s=-k^2\hat{o}\&times;(\hat{o}\&times;\mathrm{\&Pi;})$

$H_s={\mathrm{\&omega;k\&epsiv;}}_0\hat{o}\&times;\mathrm{\&Pi;}$

其中“×”表示两矢量的叉乘，为接收天线所在方向的单位矢径，r是接收天线处的位置矢量，k为入射雷达波的波数，ω为入射雷达波角频率，ε₀为真空介电常数；

由散射功率密度按下式计算飞机尾流的尾流的雷达散射截面σ：

$\mathrm{\&sigma;}=4{\mathrm{\&pi;R}}_r^2\frac{S_s}{S_i}$

其中S_i为入射雷达波功率密度，μ₀为真空磁导率。