CN103488905A - 一种螺旋多层超导电缆交流损耗的计算方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供一种螺旋多层超导电缆交流损耗的计算方法，包括以下步骤：计算超导电缆中各导电层电流；计算超导电缆中各导电层的磁场；计算各导电层的临界电流退化率；计算超导电缆交流损耗。本发明通过考虑螺旋分层等特殊结构影响，可对不同结构尺寸的高温超导电缆交流损耗实现归一化计算；建立螺旋多层高温超导电缆等效电路模型，该等效电路模型具有内部物理关系清晰直观，令超导电缆交流损耗求解过程快速且准确的特点，计算结果可以直观显示超导电缆内部各导电层电流分布、磁场分布及各层交流损耗分布特征。

Description

一种螺旋多层超导电缆交流损耗的计算方法

技术领域

本发明属于超导电工技术领域，具体涉及一种螺旋多层超导电缆交流损耗的计算方法。

背景技术

随着我国经济和社会的快速发展，人们对电能的需求量日益增长，电力系统不断向更大规模方向发展，各区域电网之间联络越来越紧密，对电能品质和供电可靠性提出更高要求，对电气设备的环保和节能要求更严格。

由于传统电力电缆中存在着电阻，使得不少电能转化为热能消耗在输电过程中。据统计，采用常规电力电缆进行输电，约有15%的电能损耗在输电线路上。仅在我国，每年的电力损失即达1000多亿度。采用无阻和高临界电流密度的高温超导材料作为导体的超导电缆，因其损耗低、传输容量大、无电磁辐射和无线电干扰、节约输电空间以及环境友好等诸多优点，被认为是电力工业新技术的突破口，蕴涵巨大的经济和社会效益。

冷绝缘高温超导电缆结构紧凑，具有体积小、容量大、损耗低、无电磁污染等优点，在未来的高温超导输电领域将得到大规模的应用。由于高温超导电缆运行在大载流、高传输容量下，超导带材中的铜稳定层等其他材料会因交流磁场而产生磁滞和涡流损耗，这些交流损耗累积到一定程度后会引起温度升高，对超导电缆运行产生影响，因此直接关系到超导电缆的运行成本及稳定性。只有当超导电缆的交流损耗足够低时，超导电缆相比于常规电缆的优越性才能充分体现出来，所以高温超导电缆交流损耗是其电力应用研究的最重要内容之一。建立高温超导电缆交流损耗计算方法理论，对推进高温超导电缆输电系统安全可靠运行有着重要的意义。

超导体交流损耗最基本的方法是对超导体内产生的感应电场E和感生电流密度J进行积分，结合E-J求解麦克斯韦方程的过程。但是超导体内E-J关系复杂，很难准确的描述。Bean临界电流模型及Norris方程的提出使得超导体的交流损耗计算复杂度大幅降低，后来许多学者又对Bean临界电流模型进行了改进和拓展。事实证明工频下Bean模型计算超导体的交流损耗仍然是最简单有效的一种模型。关于高温超导带材交流损耗的计算国内外已经做了很多工作，但有关高温超导电缆交流损耗的计算方法还不多。

螺旋多层冷绝缘高温超导电缆结构复杂，目前其交流损耗的研究更多是关于实验测量方面，理论计算只是用经验公式或计算模型进行估算，并且在计算过程中未全面考虑重要状态变量对计算结果的影响，因此冷绝缘高温超导电缆交流损耗计算缺少一种系统、简单实用的方法。

发明内容

为了克服上述现有技术的不足，本发明提供一种螺旋多层超导电缆交流损耗的计算方法，通过建立螺旋多层高温超导电缆等效电路模型，实现导电层（包括导体层和屏蔽层）冷绝缘高温超导电缆各层电流及磁场分布，然后根据超导电缆导电层分流情况，计算获得超导电缆交流损耗。

为了实现上述发明目的，本发明采取如下技术方案：

本发明提供一种螺旋多层超导电缆交流损耗的计算方法，所述方法包括以下步骤：

步骤1：计算超导电缆中各导电层电流；

步骤2：计算超导电缆中各导电层的磁场；

步骤3：计算各导电层的临界电流退化率；

步骤4：计算超导电缆交流损耗。

所述步骤1中，通过建立螺旋多层高温超导电缆等效电路模型，进而计算超导电缆中各导电层电流，所述导电层包括导体层和屏蔽层。

建立的螺旋多层高温超导电缆等效电路模型为：将超导电缆第i层导电层等效为等效自感L_i和等效电阻r_i的串联，导电层与导电层之间等效互感为M_ij；其中下标i和j均为导电层编号，且i,j＝1,2,…,n，n为导电层层数，其中导体层层数为m层，屏蔽层为n-m层；

其中，等效自感L_i为环向磁通自感L_ci和轴向磁通自感L_ai之和，即：

L_i＝L_ci+L_ai   （1）

其中，L_ci和L_ai分别表示为：

$L_{\mathrm{ci}}=\frac{{\mathrm{\μ}}_0}{2\mathrm{\π}}\ln \left(\frac{R_s}{R_i}\right)---\left(2\right)$

$L_{\mathrm{ai}}={\mathrm{\μ}}_0\frac{{\mathrm{\πR}}_i^2}{P_i^2}---\left(3\right)$

其中，μ₀为真空磁导率，R_i为第i层导电层的半径，R_s为屏蔽层最外层半径，P_i为第i层导电层的节距；

于是，超导电缆第i层的等效自感L_i表示为：

$L_i=L_{\mathrm{ai}}+L_{\mathrm{ci}}={\mathrm{\μ}}_0\frac{{\mathrm{\πR}}_i^2}{P_i^2}+\frac{{\mathrm{\μ}}_0}{2\mathrm{\π}}\ln \left(\frac{R_s}{R_i}\right)---\left(4\right)$

等效互感M_ij为环向磁通互感M_cij和轴向磁通互感M_aij之和，即：

M_ij＝M_cij+M_aij   （5）

其中，M_cij和M_aij分别表示为：

$M_{\mathrm{cij}}=\frac{{\mathrm{\μ}}_0}{2\mathrm{\π}}\ln \left(\frac{R_s}{\max \{R_i,R_j\}}\right)---\left(6\right)$

$M_{\mathrm{aij}}={\mathrm{\μ}}_0\mathrm{\π}\frac{{\left(\min \right\{R_i,R_j\left\}\right)}^2}{P_i{P}_j}---\left(7\right)$

其中，R_j为第j层导电层的半径；P_j为第j层导电层的节距；

若第i层导电层和第j层导电层的绕制方向相反，则M_cij乘以-1；

于是，超导电缆第i层与第j层的等效互感M_ij表示为：

$M_{\mathrm{ij}}=M_{\mathrm{aij}}+M_{\mathrm{cij}}={\mathrm{\μ}}_0\mathrm{\π}\frac{{\left(\min \right\{R_i,R_j\left\}\right)}^2}{P_i{P}_j}+\frac{{\mathrm{\μ}}_0}{2\mathrm{\π}}\ln \left(\frac{R_s}{\max \{R_i,R_j\}}\right)---\left(8\right)$

根据螺旋多层高温超导电缆等效电路模型，设第i层导电层单位长度复数形式的电压为

第i层导电层单位长度复数形式的传输电流为

传输电流的角速度为ω，则第i层导体层复数形式的电压表示为：

${\stackrel{\·}{V}}_{\mathrm{ci}}=(r_i+{\mathrm{j\ωL}}_i){\stackrel{\·}{I}}_i+\mathrm{j\ω}\underset{j=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{M}_{\mathrm{ij}}{\stackrel{\·}{I}}_j-\mathrm{j\ω}\underset{j=m+1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{M}_{\mathrm{ij}}{\stackrel{\·}{I}}_j,i=\mathrm{1,2}...,m,i\≠j---\left(9\right)$

其中，r_i和L_i分别为第i层导电层的电阻和自感，为第j层导电层单位长度复数形式的传输电流；

则第i层屏蔽层复数形式的电压表示为：

${\stackrel{\·}{V}}_{\mathrm{si}}=(r_i+{\mathrm{j\ωL}}_i){\stackrel{\·}{I}}_i+\mathrm{j\ω}\underset{j=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{M}_{\mathrm{ij}}{\stackrel{\·}{I}}_j-\mathrm{j\ω}\underset{j=m+1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{M}_{\mathrm{ij}}{\stackrel{\·}{I}}_j,i=m+1,...,n,i\≠j---\left(10\right)$

导体层电流

和屏蔽层电流

相等，满足：

$({\stackrel{\·}{I}}_{\mathrm{con}}=\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{\stackrel{\·}{I}}_i)=({\stackrel{\·}{I}}_{\mathrm{sh}}=\underset{i=m+1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\stackrel{\·}{I}}_i)---\left(11\right)$

通过求解方程（9）～（11），即可的到

和

其中，i＝1,2,…,n；

导体层单位长度电感比单位长度电阻大两个数量级，即电感支配着各层电流的分布，在角频率为ω的正弦电流激励下，忽略导电层电阻r_i，将螺旋多层高温超导电缆等效电路模型写成如下矩阵形式：

将式（12）进行变换，可求得各导电层电流：

其中，I₁、…、I_m、I_m+1、…、I_n分别为各导电层电流。

所述步骤2中，根据各导电层电流分布，确定各导电层的磁场分布；

高温超导电缆中的导电层为螺旋结构，导电层中的每根超导带材螺旋缠绕，等效为长直圆形螺线管，附图2是超导电缆第i层电流与磁场分布矢量图。图中仅以单根超导带材表示。

等效为长直圆形螺线管，电流沿超导带材呈螺旋状流动，电流流动的方向既有轴向，即z方向，又有环向方向，即θ方向，但轴向电流只在导电层的外部产生环向磁场B_θ，环向电流在导电层内部产生轴向磁场B_z，则有：

$\begin{array}{cc}{B}_z=\frac{{\mathrm{\&mu;}}_{0}I}{P}& R<R_m---\left(14\right)\end{array}$

$\begin{array}{cc}{B}_{\mathrm{\&theta;}}=\frac{{\mathrm{\&mu;}}_{0}I}{2\mathrm{\&pi;R}}& R<R_m---\left(15\right)\end{array}$

其中，P为超导带材缠绕的螺旋节距，R为所求磁场处到超导电缆轴线的径向距离，I为通过单根超导带材的电流，R_m为第m层导电层半径；

定义第i层导电层的超导带材厚度的中心磁场表示整个第i层导电层超导带材上的磁场，即为第i层导电层内R＝R_ic处的磁场，其中i＝1,2,…,n，R_ic为第i层导电层导体中心到超导电缆轴线的径向距离；超导电缆z方向磁场由流过第i层导电层以外的各导电层j的电流和分布在R＞R_ic区域内的第i层导电层自身电流所决定，其中，j＞i,j＝1,2,…,n；超导电缆θ方向磁场由流过第i层导电层以内的各导电层k的电流和分布在R＜R_ic区域内的第i导电层自身电流决定，k＜i,k＝1,2,…,n；

根据磁场叠加原理，第i层导电层感应的磁场轴向分量和θ方向分量分别为：

$B_{\mathrm{iz}}={\mathrm{\&mu;}}_0(\underset{j=i+1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&epsiv;}}_j\frac{I_j}{P_j}+\frac{1}{2}{\mathrm{\&epsiv;}}_i\frac{I_i}{P_i})---\left(16\right)$

$B_{\mathrm{i\&theta;}}={\mathrm{\&mu;}}_0\left(\frac{1}{2\mathrm{\&pi;}{R}_{\mathrm{ic}}}\right)\underset{k=1}{\overset{i-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{I}_k+\frac{1}{2}\&CenterDot;\frac{I_i}{2\mathrm{\&pi;}{R}_{\mathrm{io}}}---\left(17\right)$

其中，B_iz和B_iθ分别为第i层导电层感应的轴向磁场分量和θ方向分量；ε_i和ε_j分别为描述第i层和第j层导电层缠绕方向的符号函数，若第i层和第j层导电层均以相同的方向缠绕，则取相同的符号，否则取相反的符号；I_i、I_j分别为第i、j层导电层单位长度传输电流；R_io为第i层导电层外边界到超导电缆中心轴线的径向距离；

超导电缆中第i层导电层的磁场表示为：

$B_i=\sqrt{B_{\mathrm{iz}}^2+B_{\mathrm{i\&theta;}}^2}---\left(18\right)$

其中，B_i为超导电缆中第i层导电层的磁场。

所述步骤3中，根据各导电层电流分布和磁场分布，计算磁场B_i下第i层导电层的临界电流退化率λ_i，表示为：

λ_i＝I_ciI_ci(B＝0)   （19）

其中，I_ci为磁场B_i下第i层导电层的直流临界电流，I_ci(B＝0)表示磁场B_i为0时第i层导电层的直流临界电流。

所述步骤4中的超导电缆交流损耗包括超导电缆总交流传输损耗和超导电缆总交变外场损耗。

第i层导电层的交流传输损耗表示为：

$P_{\mathrm{self},i}=\frac{{\mathrm{\&mu;}}_0{\mathrm{fI}}_{\mathrm{ci}}^2}{2\mathrm{\&pi;}{H}_i^2\cos \left({\mathrm{\&theta;}}_i\right)}[(2-I_i{H}_i)I_i{H}_i+2(1-I_i{H}_i)\&CenterDot;\ln (1+I_i{H}_i)]---\left(20\right)$

其中，P_self,i为第i层导电层的交流传输损耗，f为传输电流频率，θ_i为第i层导电层的绕向角，I_i＝I_pi/I_ci，I_pi为第i层导电层的传输电流峰值，I_ci＝λ_iN_iI_c，其中I_c为单根超导带材在无磁场下的临界电流，N_i为第i层导电层的超导带材根数，H_i＝(D_i1-D_i2)/D_i1，D_i1和D_i2分别为第i层导电层的外径和内径；

超导电缆总交流传输损耗等于各导电层的交流传输损耗之和，即：

$P_{\mathrm{self},i}=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{P}_{\mathrm{self},i}---\left(21\right)$

其中，P_self为超导电缆总交流传输损耗。

超导电缆总交变外场损耗计算过程如下：

1）当I_ci＜I_pi时，第i层导电层在平行磁场B_pi下的交变外场损耗P_ext,i表示为：

$P_{\mathrm{ext},i}=\left\{\begin{array}{cc}{\mathrm{CS}}_i\frac{{\mathrm{fB}}_{\mathrm{pi}}^2}{{3\mathrm{\&mu;}}_0}[{({\mathrm{\&beta;}}_i+I_i)}^3+{({\mathrm{\&beta;}}_i-I_i)}^2]& I_i\&le;{\mathrm{\&beta;}}_i\&le;1\\ {\mathrm{CS}}_i\frac{{\mathrm{fB}}_{\mathrm{pi}}^2}{{3\mathrm{\&mu;}}_0}[{2\mathrm{\&beta;}}_i(3+I_i^3)-4(1-I_i^3)+{12I}_i^2\frac{{(1-I_i)}^2}{{\mathrm{\&beta;}}_i-I_i}-{8i}^2\frac{{(1-I_i)}^3}{{({\mathrm{\&beta;}}_i-I_i)}^2}]& I_i<1\&le;{\mathrm{\&beta;}}_i\\ {\mathrm{CS}}_s\frac{{\mathrm{fB}}_{\mathrm{pi}}^2}{{3\mathrm{\&mu;}}_0}[{(I_i+{\mathrm{\&beta;}}_i)}^3+]{(I_i-{\mathrm{\&beta;}}_i)}^3& {\mathrm{\&beta;}}_i\&le;I_i\&le;1\end{array}\right.---\left(22\right)$

其中，CS_i为第i层导电层中超导带材的有效截面积，S_i=4N_iab/cos(θ_i)，4ab为单根超导带材横截面积，C与超导带材截面几何形状有关的拟合参数；β_i＝B_i/B_pi，B_pi为第i层导电层中超导带材的穿透磁场，B_pi＝μ₀J_cib，其中J_ci为考虑磁场B_i下导电层的临界电流退化率λ_i后第i层导电层中超导带材临界电流密度，且J_ci＝λ_iJ_cN_i，b为超导带材厚度的一半；

2）当I_ci＞I_pi时，第i层导电层在平行磁场B_pi下的交变外场损耗P_ext,i表示为：

超导电缆总交变外场损耗等于各导电层的交变外场损耗之和，即：

$P_{\mathrm{ext}}=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{P}_{\mathrm{ext},i}---\left(24\right)$

其中，P_ext为超导电缆总交变外场损耗。

所述超导电缆交流损耗等于超导电缆总交流传输损耗和超导电缆总交变外场损耗之和，即：

P_loss＝P_ext+P_self   （25）

其中，P_loss为超导电缆交流损耗。

与现有技术相比，本发明的有益效果在于：

（1）通过考虑螺旋分层等特殊结构影响，可对不同结构尺寸的冷绝缘高温超导电缆交流损耗实现分层的归一化计算；

（2）建立螺旋多层高温超导电缆等效电路模型，该等效电路模型具有内部物理关系清晰直观，令超导电缆交流损耗求解过程快速且准确的特点，计算结果可以直观显示超导电缆内部各导电层电流分布、磁场分布及各层交流损耗分布特征；

（3）超导电缆交流损耗计算过程中考虑了传输电流和交变磁场的相互作用关系，超导带材不同缠绕间隙和螺旋缠绕时的机械应力对高温超导电缆交流损耗的相互影响，使交流损耗计算结果更加符合实际；

（4）考虑了超导带材在总磁场下临界电流退化率，导电层不同缠绕间隙和超导带材螺旋缠绕时的机械应力对高温超导电缆交流损耗的影响；

（5）可以同时实现螺旋多层冷绝缘高温超导电缆各层电流分布、磁场分布及交流损耗分布特性的瞬态计算，可以定量地分析电流分布、磁场分布对超导电缆交流损耗的影响；

（6）只需知道超导电缆的结构参数，便可计算得到超导电缆内部各层和总体的交流损耗，实现了超导电缆交流损耗的通用化快速准确计算。

附图说明

图1是螺旋多层超导电缆交流损耗的计算方法流程图；

图2是超导电缆单层磁场分量示意图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明作进一步详细说明。

如图1，本发明提供一种螺旋多层超导电缆交流损耗的计算方法，超导电缆导电层包括导体层和屏蔽层，每层导体层和屏蔽层均由若干根超导带材螺旋并联绕制构成。该计算方法包括以下步骤：

步骤1：计算超导电缆中各导电层电流；

步骤2：计算超导电缆中各导电层的磁场；

步骤3：计算各导电层的临界电流退化率；

步骤4：计算超导电缆交流损耗。

所述步骤1中，通过建立螺旋多层高温超导电缆等效电路模型，进而计算超导电缆中各导电层电流，所述导电层包括导体层和屏蔽层。

建立的螺旋多层高温超导电缆等效电路模型为：将超导电缆第i层导电层等效为等效自感L_i和等效电阻r_i的串联，导电层与导电层之间等效互感为M_ij；其中下标i和j均为导电层编号，且i,j＝1,2,…,n，n为导电层层数，其中导体层层数为m层，屏蔽层为n-m层；

其中，等效自感L_i为环向磁通自感L_ci和轴向磁通自感L_ai之和，即：

L_i＝L_ci+L_ai   （1）

其中，L_ci和L_ai分别表示为：

$L_{\mathrm{ci}}=\frac{{\mathrm{\&mu;}}_0}{2\mathrm{\&pi;}}\ln \left(\frac{R_s}{R_i}\right)---\left(2\right)$

$L_{\mathrm{ai}}={\mathrm{\&mu;}}_0\frac{{\mathrm{\&pi;R}}_i^2}{P_i^2}---\left(3\right)$

其中，μ₀为真空磁导率，R_i为第i层导电层的半径，R_s为屏蔽层最外层半径，P_i为第i层导电层的节距；

于是，超导电缆第i层的等效自感L_i表示为：

$L_i=L_{\mathrm{ai}}+L_{\mathrm{ci}}={\mathrm{\&mu;}}_0\frac{{\mathrm{\&pi;R}}_i^2}{P_i^2}+\frac{{\mathrm{\&mu;}}_0}{2\mathrm{\&pi;}}\ln \left(\frac{R_s}{R_i}\right)---\left(4\right)$

等效互感M_ij为环向磁通互感M_cij和轴向磁通互感M_aij之和，即：

M_ij＝M_cij+M_aij   （5）

其中，M_cij和M_aij分别表示为：

$M_{\mathrm{cij}}=\frac{{\mathrm{\&mu;}}_0}{2\mathrm{\&pi;}}\ln \left(\frac{R_s}{\max \{R_i,R_j\}}\right)---\left(6\right)$

$M_{\mathrm{aij}}={\mathrm{\&mu;}}_0\mathrm{\&pi;}\frac{{\left(\min \right\{R_i,R_j\left\}\right)}^2}{P_i{P}_j}---\left(7\right)$

其中，R_j为第j层导电层的半径；P_j为第j层导电层的节距；

若第i层导电层和第j层导电层的绕制方向相反，则M_cij乘以-1；

于是，超导电缆第i层与第j层的等效互感M_ij表示为：

$M_{\mathrm{ij}}=M_{\mathrm{aij}}+M_{\mathrm{cij}}={\mathrm{\&mu;}}_0\mathrm{\&pi;}\frac{{\left(\min \right\{R_i,R_j\left\}\right)}^2}{P_i{P}_j}+\frac{{\mathrm{\&mu;}}_0}{2\mathrm{\&pi;}}\ln \left(\frac{R_s}{\max \{R_i,R_j\}}\right)---\left(8\right)$

根据螺旋多层高温超导电缆等效电路模型，设第i层导电层单位长度复数形式的电压为

第i层导电层单位长度复数形式的传输电流为传输电流的角速度为ω，则第i层导体层复数形式的电压表示为：

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_{\mathrm{ci}}=(r_i+{\mathrm{j\&omega;L}}_i){\stackrel{\&CenterDot;}{I}}_i+\mathrm{j\&omega;}\underset{j=1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}{M}_{\mathrm{ij}}{\stackrel{\&CenterDot;}{I}}_j-\mathrm{j\&omega;}\underset{j=m+1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{M}_{\mathrm{ij}}{\stackrel{\&CenterDot;}{I}}_j,i=\mathrm{1,2}...,m,i\&NotEqual;j---\left(9\right)$

其中，r_i和L_i分别为第i层导电层的电阻和自感，

为第j层导电层单位长度复数形式的传输电流；

则第i层屏蔽层复数形式的电压表示为：

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_{\mathrm{si}}=(r_i+{\mathrm{j\&omega;L}}_i){\stackrel{\&CenterDot;}{I}}_i+\mathrm{j\&omega;}\underset{j=1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}{M}_{\mathrm{ij}}{\stackrel{\&CenterDot;}{I}}_j-\mathrm{j\&omega;}\underset{j=m+1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{M}_{\mathrm{ij}}{\stackrel{\&CenterDot;}{I}}_j,i=m+1,...,n,i\&NotEqual;j---\left(10\right)$

导体层电流和屏蔽层电流相等，满足：

$({\stackrel{\&CenterDot;}{I}}_{\mathrm{con}}=\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\stackrel{\&CenterDot;}{I}}_i)=({\stackrel{\&CenterDot;}{I}}_{\mathrm{sh}}=\underset{i=m+1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\stackrel{\&CenterDot;}{I}}_i)---\left(11\right)$

通过求解方程（9）～（11），即可的到

和

，其中，i＝1,2,…,n；

导体层单位长度电感比单位长度电阻大两个数量级，即电感支配着各层电流的分布，在角频率为ω的正弦电流激励下，忽略导电层电阻r_i，将螺旋多层高温超导电缆等效电路模型写成如下矩阵形式：

将式（12）进行变换，可求得各导电层电流：

其中，I₁、…、I_m、I_m+1、…、I_n分别为各导电层电流。

所述步骤2中，根据各导电层电流分布，确定各导电层的磁场分布；

冷绝缘高温超导电缆中的导电层为螺旋结构，导电层中的每根超导带材螺旋缠绕，等效为长直圆形螺线管，电流沿超导带材呈螺旋状流动，电流流动的方向既有轴向，即z方向，又有环向方向，即θ方向，但轴向电流只在导电层的外部产生环向磁场B_θ，环向电流在导电层内部产生轴向磁场B_z，则有：

$\begin{array}{cc}{B}_z=\frac{{\mathrm{\&mu;}}_{0}I}{P}& R<R_m---\left(14\right)\end{array}$

$\begin{array}{cc}{B}_{\mathrm{\&theta;}}=\frac{{\mathrm{\&mu;}}_{0}I}{2\mathrm{\&pi;R}}& R<R_m---\left(15\right)\end{array}$

其中，P为超导带材缠绕的螺旋节距，R为所求磁场处到超导电缆轴线的径向距离，I为通过单根超导带材的电流，R_m为第m层导电层半径；

对于多导体层结构的超导电缆，各层之间产生的磁场相互影响，从而引起临界电流的退化，各层超导带材所承受的磁场大小各不相同，因此临界电流退化率也不同，因此有必要对各层磁场进行计算。定义第i层导电层的超导带材厚度的中心磁场表示整个第i层导电层超导带材上的磁场，即为第i层导电层内R＝R_ic处的磁场，其中i＝1,2,…,n，R_ic为第i层导电层导体中心到超导电缆轴线的径向距离；超导电缆z方向磁场由流过第i层导电层以外的各导电层j的电流和分布在R＞R_ic区域内的第i层导电层自身电流所决定，其中，j＞i,j＝1,2,…,n；超导电缆θ方向磁场由流过第i层导电层以内的各导电层k的电流和分布在R＜R_ic区域内的第i导电层自身电流决定，k＜i,k＝1,2,…,n；

根据磁场叠加原理，第i层导电层感应的磁场轴向分量和θ方向分量分别为：

$B_{\mathrm{iz}}={\mathrm{\&mu;}}_0(\underset{j=i+1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&epsiv;}}_j\frac{I_j}{P_j}+\frac{1}{2}{\mathrm{\&epsiv;}}_i\frac{I_i}{P_i})---\left(16\right)$

$B_{\mathrm{i\&theta;}}={\mathrm{\&mu;}}_0\left(\frac{1}{2\mathrm{\&pi;}{R}_{\mathrm{ic}}}\right)\underset{k=1}{\overset{i-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{I}_k+\frac{1}{2}\&CenterDot;\frac{I_i}{2\mathrm{\&pi;}{R}_{\mathrm{io}}}---\left(17\right)$

其中，B_iz和B_iθ分别为第i层导电层感应的轴向磁场分量和θ方向分量；ε_i和ε_j分别为描述第i层和第j层导电层缠绕方向的符号函数，若第i层和第j层导电层均以相同的方向缠绕，则取相同的符号，否则取相反的符号；I_i、I_j分别为第i、j层导电层单位长度传输电流；R_io为第i层导电层外边界到超导电缆中心轴线的径向距离；

超导电缆中第i层导电层的磁场表示为：

$B_i=\sqrt{B_{\mathrm{iz}}^2+B_{\mathrm{i\&theta;}}^2}---\left(18\right)$

其中，B_i为超导电缆中第i层导电层的磁场。

所述步骤3中，根据各导电层电流分布和磁场分布，计算磁场B_i下第i层导电层的临界电流退化率λ_i，表示为：

λ_i＝I_ciI_ci(B＝0)  （19）

其中，I_ci为磁场B_i下第i层导电层的直流临界电流，I_ci(B＝0)表示磁场B_i为0时第i层导电层的直流临界电流。

根据高温超导带材临界电流在磁场下的临界电流退化率曲线（实验测得），通过插值拟合的方式，获得高温超导电缆各层的临界电流退化率λ_i(i＝1,2,…,n)，从而获得各层实际的临界电流。临界电流退化率为超导电缆交流损耗计算过程中的重要参数，直接影响交流损耗计算结果，本发明充分考虑到各导电层超导带材受其他层超导带材产生的交流磁场的影响，因此主要采用交流背景磁场下的超导带材临界电流退化率，使计算结果更贴近实际，计算更准确。

所述步骤4中的超导电缆交流损耗包括超导电缆总交流传输损耗和超导电缆总交变外场损耗。

第i层导电层的交流传输损耗表示为：

$P_{\mathrm{self},i}=\frac{{\mathrm{\&mu;}}_0{\mathrm{fI}}_{\mathrm{ci}}^2}{2\mathrm{\&pi;}{H}_i^2\cos \left({\mathrm{\&theta;}}_i\right)}[(2-I_i{H}_i)I_i{H}_i+2(1-I_i{H}_i)\&CenterDot;\ln (1+I_i{H}_i)]---\left(20\right)$

其中，P_self,i为第i层导电层的交流传输损耗，f为传输电流频率，θ_i为第i层导电层的绕向角，I_i＝I_pi/I_ci，I_pi为第i层导电层的传输电流峰值，I_ci＝λ_iN_iI_c，其中I_c为单根超导带材在无磁场下的临界电流，N_i为第i层导电层的超导带材根数，H_i＝(D_i1-D_i2)/D_i1，D_i1和D_i2分别为第i层导电层的外径和内径；

超导电缆总交流传输损耗等于各导电层的交流传输损耗之和，即：

$P_{\mathrm{self},i}=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{P}_{\mathrm{self},i}---\left(21\right)$

其中，P_self为超导电缆总交流传输损耗。

超导电缆中的超导带材在传输交流电流的同时，还处在其它带材所产生的变化磁场中，将这一磁场称为交变外场。超导带材在交变外场中将产生磁滞损耗，我们称之为交变外场损耗。交变外场损耗由Bean模型很容易计算得到。这里为了考虑更加全面，即考虑交变外场和传输电流的相互作用，Carr和Magnusson将Bean模型扩展为包含传输电流的情况，即平行外场下，传输交流电流的超导带材的磁滞损耗，可以由Carr公式和Magnusson公式计算得到。

超导电缆总交变外场损耗计算过程如下：

1）当I_ci＜I_pi时，第i层导电层在平行磁场B_pi下的交变外场损耗P_ext,i表示为：

$P_{\mathrm{ext},i}=\left\{\begin{array}{cc}{\mathrm{CS}}_i\frac{{\mathrm{fB}}_{\mathrm{pi}}^2}{{3\mathrm{\&mu;}}_0}[{({\mathrm{\&beta;}}_i+I_i)}^3+{({\mathrm{\&beta;}}_i-I_i)}^2]& I_i\&le;{\mathrm{\&beta;}}_i\&le;1\\ {\mathrm{CS}}_i\frac{{\mathrm{fB}}_{\mathrm{pi}}^2}{{3\mathrm{\&mu;}}_0}[{2\mathrm{\&beta;}}_i(3+I_i^3)-4(1-I_i^3)+{12I}_i^2\frac{{(1-I_i)}^2}{{\mathrm{\&beta;}}_i-I_i}-{8i}^2\frac{{(1-I_i)}^3}{{({\mathrm{\&beta;}}_i-I_i)}^2}]& I_i<1\&le;{\mathrm{\&beta;}}_i\\ {\mathrm{CS}}_s\frac{{\mathrm{fB}}_{\mathrm{pi}}^2}{{3\mathrm{\&mu;}}_0}[{(I_i+{\mathrm{\&beta;}}_i)}^3+]{(I_i-{\mathrm{\&beta;}}_i)}^3& {\mathrm{\&beta;}}_i\&le;I_i\&le;1\end{array}\right.---\left(22\right)$

其中，CS_i为第i层导电层中超导带材的有效截面积，S_i=4N_iab/cos(θ_i)，4ab为单根超导带材横截面积，C与超导带材截面几何形状有关的拟合参数；β_i＝B_i/B_pi，B_pi为第i层导电层中超导带材的穿透磁场，B_pi＝μ₀J_cib，其中J_ci为考虑磁场B_i下导电层的临界电流退化率λ_i后第i层导电层中超导带材临界电流密度，且J_ci＝λ_iJ_cN_i，b为超导带材厚度的一半；

2）当I_ci＞I_pi时，第i层导电层在平行磁场B_pi下的交变外场损耗P_ext,i表示为：

超导电缆总交变外场损耗等于各导电层的交变外场损耗之和，即：

$P_{\mathrm{ext}}=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{P}_{\mathrm{ext},i}---\left(24\right)$

其中，P_ext为超导电缆总交变外场损耗。

所述超导电缆交流损耗等于超导电缆总交流传输损耗和超导电缆总交变外场损耗之和，即：

P_loss＝P_ext+P_self   （25）

其中，P_loss为超导电缆交流损耗。

本发明根据超导带材在磁场下的临界电流退化率，并考虑磁场与传输电流相互作用对交流损耗的影响，从冷绝缘高温超导电缆各层电流分布、各层磁场分布结果计算超导电缆实际运行电流，从而获得超导电缆交流传输损耗和交变外场损耗，最后，实现超导电缆各导电层损耗和总交流损耗的快速准确计算。

最后应当说明的是：以上实施例仅用以说明本发明的技术方案而非对其限制，尽管参照上述实施例对本发明进行了详细的说明，所属领域的普通技术人员应当理解：依然可以对本发明的具体实施方式进行修改或者等同替换，而未脱离本发明精神和范围的任何修改或者等同替换，其均应涵盖在本发明的权利要求范围当中。

Claims (9)

1.一种螺旋多层超导电缆交流损耗的计算方法，其特征在于：所述方法包括以下步骤：

步骤1：计算超导电缆中各导电层电流；

步骤2：计算超导电缆中各导电层的磁场；

步骤3：计算各导电层的临界电流退化率；

步骤4：计算超导电缆交流损耗。

2.根据权利要求1所述的螺旋多层超导电缆交流损耗的计算方法，其特征在于：所述步骤1中，通过建立螺旋多层高温超导电缆等效电路模型，进而计算超导电缆中各导电层电流，所述导电层包括导体层和屏蔽层。

3.根据权利要求2所述的螺旋多层超导电缆交流损耗的计算方法，其特征在于：建立的螺旋多层高温超导电缆等效电路模型为：将超导电缆第i层导电层等效为等效自感L_i和等效电阻r_i的串联，导电层与导电层之间等效互感为M_ij；其中下标i和j均为导电层编号，且i,j＝1,2,…,n，n为导电层层数，其中导体层层数为m层，屏蔽层为n-m层；

其中，等效自感L_i为环向磁通自感L_ci和轴向磁通自感L_ai之和，即：

L_i＝L_ci+L_ai   （1）

其中，L_ci和L_ai分别表示为：

$L_{\mathrm{ci}}=\frac{{\mathrm{\&mu;}}_0}{2\mathrm{\&pi;}}\ln \left(\frac{R_s}{R_i}\right)---\left(2\right)$

$L_{\mathrm{ai}}={\mathrm{\&mu;}}_0\frac{{\mathrm{\&pi;R}}_i^2}{P_i^2}---\left(3\right)$

其中，μ₀为真空磁导率，R_i为第i层导电层的半径，R_s为屏蔽层最外层半径，P_i为第i层导电层的节距；

于是，超导电缆第i层的等效自感L_i表示为：

$L_i=L_{\mathrm{ai}}+L_{\mathrm{ci}}={\mathrm{\&mu;}}_0\frac{{\mathrm{\&pi;R}}_i^2}{P_i^2}+\frac{{\mathrm{\&mu;}}_0}{2\mathrm{\&pi;}}\ln \left(\frac{R_s}{R_i}\right)---\left(4\right)$

等效互感M_ij为环向磁通互感M_cij和轴向磁通互感M_aij之和，即：

M_ij＝M_cij+M_aij   （5）

其中，M_cij和M_aij分别表示为：

$M_{\mathrm{cij}}=\frac{{\mathrm{\&mu;}}_0}{2\mathrm{\&pi;}}\ln \left(\frac{R_s}{\max \{R_i,R_j\}}\right)---\left(6\right)$

$M_{\mathrm{aij}}={\mathrm{\&mu;}}_0\mathrm{\&pi;}\frac{{\left(\min \right\{R_i,R_j\left\}\right)}^2}{P_i{P}_j}---\left(7\right)$

其中，R_j为第j层导电层的半径；P_j为第j层导电层的节距；

若第i层导电层和第j层导电层的绕制方向相反，则M_cij乘以-1；

于是，超导电缆第i层与第j层的等效互感M_ij表示为：

$M_{\mathrm{ij}}=M_{\mathrm{aij}}+M_{\mathrm{cij}}={\mathrm{\&mu;}}_0\mathrm{\&pi;}\frac{{\left(\min \right\{R_i,R_j\left\}\right)}^2}{P_i{P}_j}+\frac{{\mathrm{\&mu;}}_0}{2\mathrm{\&pi;}}\ln \left(\frac{R_s}{\max \{R_i,R_j\}}\right)---\left(8\right)$

根据螺旋多层高温超导电缆等效电路模型，设第i层导电层单位长度复数形式的电压为

第i层导电层单位长度复数形式的传输电流为

传输电流的角速度为ω，则第i层导体层复数形式的电压

表示为：

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_{\mathrm{ci}}=(r_i+{\mathrm{j\&omega;L}}_i){\stackrel{\&CenterDot;}{I}}_i+\mathrm{j\&omega;}\underset{j=1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}{M}_{\mathrm{ij}}{\stackrel{\&CenterDot;}{I}}_j-\mathrm{j\&omega;}\underset{j=m+1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{M}_{\mathrm{ij}}{\stackrel{\&CenterDot;}{I}}_j,i=\mathrm{1,2}...,m,i\&NotEqual;j---\left(9\right)$

其中，r_i和L_i分别为第i层导电层的电阻和自感，I_j为第j层导电层单位长度复数形式的传输电流；

则第i层屏蔽层复数形式的电压表示为：

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_{\mathrm{si}}=(r_i+{\mathrm{j\&omega;L}}_i){\stackrel{\&CenterDot;}{I}}_i+\mathrm{j\&omega;}\underset{j=1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}{M}_{\mathrm{ij}}{\stackrel{\&CenterDot;}{I}}_j-\mathrm{j\&omega;}\underset{j=m+1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{M}_{\mathrm{ij}}{\stackrel{\&CenterDot;}{I}}_j,i=m+1,...,n,i\&NotEqual;j---\left(10\right)$

导体层电流

和屏蔽层电流

相等，满足：

$({\stackrel{\&CenterDot;}{I}}_{\mathrm{con}}=\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\stackrel{\&CenterDot;}{I}}_i)=({\stackrel{\&CenterDot;}{I}}_{\mathrm{sh}}=\underset{i=m+1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\stackrel{\&CenterDot;}{I}}_i)---\left(11\right)$

通过求解方程（9）～（11），即可的到

和

其中，i＝1,2,…,n；

导体层单位长度电感比单位长度电阻大两个数量级，即电感支配着各层电流的分布，在角频率为ω的正弦电流激励下，忽略导电层电阻r_i，将螺旋多层高温超导电缆等效电路模型写成如下矩阵形式：

将式（12）进行变换，可求得各导电层电流：

其中，I₁、…、I_m、I_m+1、…、I_n分别为各导电层电流。

4.根据权利要求1所述的螺旋多层超导电缆交流损耗的计算方法，其特征在于：所述步骤2中，根据各导电层电流分布，确定各导电层的磁场分布；

冷绝缘高温超导电缆中的导电层为螺旋结构，导电层中的每根超导带材螺旋缠绕，等效为长直圆形螺线管，电流沿超导带材呈螺旋状流动，电流流动的方向既有轴向，即z方向，又有环向方向，即θ方向，但轴向电流只在导电层的外部产生环向磁场B_θ，环向电流在导电层内部产生轴向磁场B_z，则有：

$\begin{array}{cc}{B}_z=\frac{{\mathrm{\&mu;}}_{0}I}{P}& R<R_m---\left(14\right)\end{array}$

$\begin{array}{cc}{B}_{\mathrm{\&theta;}}=\frac{{\mathrm{\&mu;}}_{0}I}{2\mathrm{\&pi;R}}& R<R_m---\left(15\right)\end{array}$

其中，P为超导带材缠绕的螺旋节距，R为所求磁场处到超导电缆轴线的径向距离，I为通过单根超导带材的电流，R_m为第m层导电层半径；

定义第i层导电层的超导带材厚度的中心磁场表示整个第i层导电层超导带材上的磁场，即为第i层导电层内R＝R_ic处的磁场，其中i＝1,2,…,n，R_ic为第i层导电层导体中心到超导电缆轴线的径向距离；超导电缆z方向磁场由流过第i层导电层以外的各导电层j的电流和分布在R＞R_ic区域内的第i层导电层自身电流所决定，其中，j＞i,j＝1,2,…,n；超导电缆θ方向磁场由流过第i层导电层以内的各导电层k的电流和分布在R＜R_ic区域内的第i导电层自身电流决定，k＜i,k＝1,2,?,n；

根据磁场叠加原理，第i层导电层感应的磁场轴向分量和θ方向分量分别为：

$B_{\mathrm{iz}}={\mathrm{\&mu;}}_0(\underset{j=i+1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&epsiv;}}_j\frac{I_j}{P_j}+\frac{1}{2}{\mathrm{\&epsiv;}}_i\frac{I_i}{P_i})---\left(16\right)$

$B_{\mathrm{i\&theta;}}={\mathrm{\&mu;}}_0\left(\frac{1}{2\mathrm{\&pi;}{R}_{\mathrm{ic}}}\right)\underset{k=1}{\overset{i-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{I}_k+\frac{1}{2}\&CenterDot;\frac{I_i}{2\mathrm{\&pi;}{R}_{\mathrm{io}}}---\left(17\right)$

其中，B_iz和B_iθ分别为第i层导电层感应的轴向磁场分量和θ方向分量；ε_i和ε_j分别为描述第i层和第j层导电层缠绕方向的符号函数，若第i层和第j层导电层均以相同的方向缠绕，则取相同的符号，否则取相反的符号；I_i、I_j分别为第i、j层导电层单位长度传输电流；R_io为第i层导电层外边界到超导电缆中心轴线的径向距离；

超导电缆中第i层导电层的磁场表示为：

$B_i=\sqrt{B_{\mathrm{iz}}^2+B_{\mathrm{i\&theta;}}^2}---\left(18\right)$

其中，B_i为超导电缆中第i层导电层的磁场。

5.根据权利要求1所述的螺旋多层超导电缆交流损耗的计算方法，其特征在于：所述步骤3中，根据各导电层电流分布和磁场分布，计算磁场Bi下第i层导电层的临界电流退化率λ_i，表示为：

λ_i＝I_ciI_ci(B＝0)   （19）

其中，I_ci为磁场B_i下第i层导电层的直流临界电流，I_ci(B＝0)表示磁场B_i为0时第i层导电层的直流临界电流。

6.根据权利要求1所述的螺旋多层超导电缆交流损耗的计算方法，其特征在于：所述步骤4中的超导电缆交流损耗包括超导电缆总交流传输损耗和超导电缆总交变外场损耗。

7.根据权利要求6所述的螺旋多层超导电缆交流损耗的计算方法，其特征在于：第i层导电层的交流传输损耗表示为：

$P_{\mathrm{self},i}=\frac{{\mathrm{\&mu;}}_0{\mathrm{fI}}_{\mathrm{ci}}^2}{2\mathrm{\&pi;}{H}_i^2\cos \left({\mathrm{\&theta;}}_i\right)}[(2-I_i{H}_i)I_i{H}_i+2(1-I_i{H}_i)\&CenterDot;\ln (1+I_i{H}_i)]---\left(20\right)$

其中，P_self,i为第i层导电层的交流传输损耗，f为传输电流频率，θ_i为第i层导电层的绕向角，I_i＝I_pi/I_ci，I_pi为第i层导电层的传输电流峰值，I_ci＝λ_iN_iI_c，其中I_c为单根超导带材在无磁场下的临界电流，N_i为第i层导电层的超导带材根数，H_i＝(D_i1-D_i2)/D_i1，D_i1和D_i2分别为第i层导电层的外径和内径；

超导电缆总交流传输损耗等于各导电层的交流传输损耗之和，即：

$P_{\mathrm{self},i}=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{P}_{\mathrm{self},i}---\left(21\right)$

其中，P_self为超导电缆总交流传输损耗。

8.根据权利要求6所述的螺旋多层超导电缆交流损耗的计算方法，其特征在于：超导电缆总交变外场损耗计算过程如下：

1）当I_ci＜I_pi时，第i层导电层在平行磁场B_pi下的交变外场损耗P_ext,i表示为：

$P_{\mathrm{ext},i}=\left\{\begin{array}{cc}{\mathrm{CS}}_i\frac{{\mathrm{fB}}_{\mathrm{pi}}^2}{{3\mathrm{\&mu;}}_0}[{({\mathrm{\&beta;}}_i+I_i)}^3+{({\mathrm{\&beta;}}_i-I_i)}^2]& I_i\&le;{\mathrm{\&beta;}}_i\&le;1\\ {\mathrm{CS}}_i\frac{{\mathrm{fB}}_{\mathrm{pi}}^2}{{3\mathrm{\&mu;}}_0}[{2\mathrm{\&beta;}}_i(3+I_i^3)-4(1-I_i^3)+{12I}_i^2\frac{{(1-I_i)}^2}{{\mathrm{\&beta;}}_i-I_i}-{8i}^2\frac{{(1-I_i)}^3}{{({\mathrm{\&beta;}}_i-I_i)}^2}]& I_i<1\&le;{\mathrm{\&beta;}}_i\\ {\mathrm{CS}}_s\frac{{\mathrm{fB}}_{\mathrm{pi}}^2}{{3\mathrm{\&mu;}}_0}[{(I_i+{\mathrm{\&beta;}}_i)}^3+]{(I_i-{\mathrm{\&beta;}}_i)}^3& {\mathrm{\&beta;}}_i\&le;I_i\&le;1\end{array}\right.---\left(22\right)$

其中，CS_i为第i层导电层中超导带材的有效截面积，S_i=4N_iab/cos(θ_i)，4ab为单根超导带材横截面积，C与超导带材截面几何形状有关的拟合参数；β_i＝B_i/B_pi，B_pi为第i层导电层中超导带材的穿透磁场，B_pi＝μ₀J_cib，其中J_ci为考虑磁场B_i下导电层的临界电流退化率λ_i后第i层导电层中超导带材临界电流密度，且J_ci＝λ_iJ_cN_i，b为超导带材厚度的一半；

2）当I_ci＞I_pi时，第i层导电层在平行磁场B_pi下的交变外场损耗P_ext,i表示为：

超导电缆总交变外场损耗等于各导电层的交变外场损耗之和，即：

$P_{\mathrm{ext}}=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{P}_{\mathrm{ext},i}---\left(24\right)$

其中，P_ext为超导电缆总交变外场损耗。

9.根据权利要求6所述的螺旋多层超导电缆交流损耗的计算方法，其特征在于：所述超导电缆交流损耗等于超导电缆总交流传输损耗和超导电缆总交变外场损耗之和，即：

P_loss＝P_ext+P_self   （25）

其中，P_loss为超导电缆交流损耗。

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