CN103488817B - 一种变形大型单反射面天线的馈源位置补偿方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种变形大型单反射面天线的馈源位置补偿方法，主要解决单反射面天线因热变形引起的电性能下降问题。其方案是：（1）根据天线结构参数，建立未变形单反射面天线有限元模型；（2）计算在其上加载温度载荷后发生变形的节点坐标；（3）提取变形后主反射面的节点坐标和单元信息，建立天线热变形主反射面的电磁模型；（4）在天线热变形主反射面的电磁模型中，计算未补偿时的电性能；（5）利用遗传算法，对变形后主反射面的变形参量进行优化，由变形参量得馈源位置及指向，计算天线补偿后的电性能；（6）比较补偿前后天线的电性能，判断电性能提高量是否满足要求，是，为最佳馈源位置；否，重新设置优化参数再计算，直至满足要求。

Description

一种变形大型单反射面天线的馈源位置补偿方法

技术领域

本发明属于天线技术领域，具体是一种变形大型单反射面天线的补偿方法，用于指导变形大型单反射面天线的馈源位置调整，使其电性能达到最优。

背景技术

随着大口径、高频段的反射面天线日益广泛应用到通信和宇宙探索等领域中，天线结构与电磁性能之间的关系越来越密切，即使天线结构设计合理，但是由于热、重力、风等作用引起反射面的微小变形，也会对高频段天线的电性能产生严重的影响。在过去只要通过Ruze公式，由可接受的电性能损耗指标计算出加工反射面表面均方根误差，随着工作频率的增高，现有的制造工艺越来越难以实现这个反射面均方根误差。

为降低变形对单反射面天线电性能的影响，国内外学者提出了众多的反射面变形补偿方法。这就使得在工程中不需要拘泥与单反射面天线的形状与与原设计曲面完全一致，只需要实际单反射面天线与原设计曲面为同族的近似抛物面，就可保证电性能。但是多数研究人员对变形单反射面天线的变形进行分析，得到的数学表达式不仅比较繁琐、求解复杂，而且不能反映反射面的真实变形情况，这就使以上补偿方法在实际应用中因补偿计算代价大，难以进行有效应用。

因此，有必要根据天线结构和反射面节点位移的分析，来对变形反射面天线的变形参数进行研究，以确定变形曲面方程，然后根据这些变形参数来确定变形反射面天线的馈源最佳位置和指向以补偿天线的电性能，这一过程即为一种变形大型单反射面天线的馈源位置补偿方法。

发明内容

针对上述补偿方法存在的不足，本发明的目的在于提供一种变形大型单反射面天线的馈源位置补偿方法，该方法针对单反射天线，通过改变馈源的位置及其指向以改善变形单反射面天线的电性能。

为了实现上述目的，本发明提供的补偿方法包括如下步骤：

（1）根据单反射面天线的结构参数、工作频率及材料属性，在ANSYS中建立未变形单反射面天线有限元模型，提取未变形单反射面天线有限元模型主反射面的节点坐标；

（2）根据单反射面天线所处环境的温度载荷，在ANSYS软件中对未变形单反射面天线有限元模型加载温度载荷，然后计算在该温度载荷下的变形单反射面天线有限元模型的各个节点坐标；

（3）提取变形单反射面天线有限元模型主反射面的节点坐标，在FEKO软件中建立单反射面天线热变形主反射面的电磁模型；

（4）在补偿前单反射面天线热变形主反射面的电磁模型中，以未变形单反射面天线设计焦点为馈源位置，在此位置建立点源代替馈源；设置FEKO求解方法和求解参数，在补偿前单反射面天线热变形主反射面的电磁模型中，计算补偿前变形单反射面天线的电性能；

（5）利用遗传优化算法，对变形单反射面天线中变形主反射面的六个变形参量进行优化，由六个变形参量计算单反射面天线热变形主反射面补偿后的馈源位置和焦轴指向，计算得到的馈源位置建立点源，使点源的指向与计算得到的焦轴指向一致；设置FEKO求解方法和求解参数，在补偿后单反射面天线热变形主反射面的电磁模型中，计算补偿后变形单反射面天线的电性能；

（6）比较补偿前与补偿后的变形单反射面天线的电性能，判断变形单反射面天线补偿前后的电性能提高量是否满足要求，如满足要求，则计算得到的变形单反射面天线馈源位置为能够补偿单反射面天线电性能的最佳馈源位置；否则，重新设置优化参数，重复步骤（5），直至满足要求。

所述单反射面天线的结构参数包括口径和焦距。

所述单反射面天线的材料属性包括单反射面天线背架材料和单反射面天线面板的密度、热传导率、比热、泊松比、弹性模量和热膨胀系数。

所述补偿前的变形单反射面天线的电性能为未补偿变形单反射面天线的天线增益；所述补偿后的变形单反射面天线的电性能为补偿后变形单反射面天线增益。

所述步骤（5）中，计算单反射面天线热变形主反射面补偿后的电性能按如下过程进行：

（5a）利用步骤（1）提取的未变形单反射面天线有限元模型主反射面的节点坐标和步骤（3）提取的变形单反射面天线有限元模型主反射面的节点坐标，利用遗传算法，对吻合抛物面的顶点相对于原坐标系O-xyz中的位移Δx、Δy、Δz和吻合抛物面绕原坐标系的旋转参量φ_x、φ_y及焦距变化量Δf六个变形参量进行优化；由变形单反射面天线对吻合抛物面得到轴向均方根误差，令轴向均方根误差最小来确定吻合抛物面的六个变形参量，由六个变形参量确定馈源的焦轴指向，进而得到新焦点的位置；

（5b）在步骤（3）得到的单反射面天线热变形主反射面的电磁模型中，以步骤（5a）中得到的吻合抛物面焦点位置建立点源代替馈源，旋转馈源指向与（5a）中得到的焦轴指向重合，设置FEKO求解方法和求解参数，在单反射面天线热变形主反射面的电磁模型中，计算单反射面天线热变形主反射面补偿后的电性能。

所述步骤（5a）中，得到新焦点的位置通过下述方法实现：

5a-1）设未变形单反射面天线上一点P(x_p，y_p，z_p)，在吻合抛物面上对应点P₀(x_p，y_p，z₀)，在变形单反射面天线上对应点P₁(x_p，y_p，z₁)；

未变形单反射面天线的母线方程是：

$z_p=\frac{x_p^2+y_p^2}{4f}$

由于吻合抛物面是由未变形单反射面天线的顶点移动、整体旋转及改变焦距得到的，因此得到P₀点z轴的轴向坐标近似值为：

$z_0=\frac{{(x_p-\mathrm{\Δx})}^2+{(y_p-\mathrm{\Δy})}^2}{4(f+\mathrm{\Δf})}+\mathrm{\Δz}+y_p{\mathrm{\φ}}_x-x_p{\mathrm{\φ}}_y$

Δx、Δy、Δz为吻合抛物面顶点在原坐标系O-xyz中的位移，φ_x、φ_y分别为吻合抛物面的焦轴绕原坐标轴O-xyz中x、y轴的转角，f为焦距，Δf为焦距变化量；

5a-2）采用变形单反射面天线上点P₁与吻合抛物面上点P₀的轴向误差δ来构造条件方程组：

${\mathrm{\δ}}_i=z_{1i}-z_{0i}=z_1-[\frac{{(x_{\mathrm{pi}}-\mathrm{\Δx})}^2+{(y_{\mathrm{pi}}-\mathrm{\Δy})}^2}{4(f+\mathrm{\Δf})}+\mathrm{\Δz}+y_{\mathrm{pi}}{\mathrm{\φ}}_x-x_{\mathrm{pi}}{\mathrm{\φ}}_y]$

式中：i=1，2，…，N，N为主反射面的节点数；

5a-3）建立如下优化数学模型计算最优馈源位置参数：

$\mathrm{Min}:\mathrm{Rms}=\sqrt{\frac{\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\δ}}_i^2}{N}}$

式中，Rms为轴向均方根误差，利用遗传算法来对优化数学模型进行优化，来确定吻合抛物面的六个变形参量Δx、Δy、Δz、φ_x、φ_y以及Δf；

5a-4）由六个变形参量Δx、Δy、Δz、φ_x、φ_y及Δf，可知新焦点的位置(x_F，y_F，z_F)：

由φ_x、φ_y确定馈源的焦轴指向，吻合抛物面焦轴指向由未变形单反射面天线焦轴绕其坐标轴x轴、y轴先后旋转φ_x、φ_y角度得到。

相对于现有技术，本发明具有以下特点：

（1）馈源用一个点源来替代，省去了设计馈源时需要馈源和天线匹配这一繁琐的设计过程，并且使用点源便于快速调整馈源位置和指向，使计算变形反射面电性能的时间大大缩短。

（2）馈源位置补偿方法只需要移动馈源位置和旋转馈源指向就可以有效提升变形单反射面天线的电性能，在工程上简单实用。

附图说明

图1为本发明的总流程图；

图2为在ANSYS软件中建立的未变形单反射面天线有限元模型；

图3为在FEKO软件中建立的天线热变形主反射面的电磁模型；

图4为未变形、吻合和热变形抛物面的几何关系图；

图5为调整馈源位置前后变形单反射面天线的增益方向图。

具体实施方式

以下参照附图对本发明作进一步详细描述。

本发明一种变形大型单反射面天线的馈源位置补偿方法，方法步骤如图1所示：

步骤1在ANSYS中建立未变形单反射面天线有限元模型

根据未变形单反射面天线的结构参数、工作频率及材料属性，在ANSYS中建立未变形单反射面天线有限元模型，其中，结构参数包括口径和焦距；材料属性包括单反射面天线背架材料和单反射面天线面板的密度、热传导率、比热、泊松比、弹性模量和热膨胀系数。图2为在ANSYS中建立的未变形单反射面天线有限元模型。单反射面天线面板单元类型为Shell63，单元边长大小为100mm，单元形状为四边形。单反射面天线背架单元类型为Beam188。

未变形单反射面天线的主反射面母线为标准抛物线，母线方程为根据实际的单反射面天线的主反射面、背架、周边桁架结构参数及材料属性，在ANSYS中建立未变形单反射面天线有限元模型。同时，提取未变形单反射面天线有限元模型主反射面的节点坐标。

步骤2在未变形天线有限元模型加载温度载荷，计算各个节点的坐标

在步骤1中建立的ANSYS未变形单反射面天线有限元模型施加温度载荷，然后计算在变形单反射面天线有限元模型中的各个节点坐标。ANSYS软件是融结构、热分析等于一体的大型通用有限元分析软件，而ANSYS的热分析可用有限元法计算各节点的温度，并可以解出由各个节点温度引起的节点变形量。

步骤3提取变形天线节点单元信息，建立变形主反射面的电磁模型

编写APDL宏文件，提取施加温度载荷后变形单反射面天线有限元模型中主反射面节点坐标和单元信息，保存成名为BXZM.asc的ASCII码格式的文件。把BXZM.asc文件导入FEKO中，在FEKO中建立天线热变形主反射面的电磁模型，图3为在FEKO软件中建立的天线热变形主反射面的电磁模型。

APDL的全称是ANSYSParametricDesignLanguage，用户可以利用APDL将ANSYS命令组织起来，编写出参数化的用户程序，从而实现有限元分析的全过程。宏是具有某种特殊功能的命令组合，宏文件在ANSYS中可以当作自定义的ANSYS命令进行使用；除执行一系列ANSYS命令外，宏还可以调用GUI函数或者把值传递给参数。

FEKO是一款电磁仿真软件，包含高频计算方法，如物理光学法(PO)、几何光学法(GO)等，能够利用较少的资源快速求解超电大尺寸问题。

步骤4计算变形主反射面未补偿时的天线电性能

在步骤3中建立的天线热变形主反射面的电磁模型上，以未变形单反射面天线设计焦点为馈源位置，在此位置建立点源代替馈源电磁模型。将导入的未变形天线有限元模型单元细化，使其单元边长大小为λ/6，单元形状为三角形。其中：λ=c/f为电磁波波长，光速c为3.0×10⁸m/s，天线工作频率f为5GHz，由此可求得：λ=0.06m。

在FEKO电磁软件中用一个点源来替代馈源电磁模型，点源格式由六列数据组成，第一列为馈源所辐射出场强分量θ角度，第二列为馈源所辐射的方位角角度，第三列为馈源场强分量θ的幅值，第四列为馈源场强θ分量的相位，第五列为馈源场强分量的幅值，第六列为馈源场强分量的相位。

在FEKO中设置变形单反射面天线求解算法为物理光学法。物理光学法是一种高频近似计算思想，可以计算电大尺寸天线的电性能。本例利用FEKO软件中物理光学法来计算天线的增益。在FEKO中将补偿前单反射面天线热变形主反射面的电磁模型点源的频率设置为5GHz，设置远场的θ起始角度均为-1.5°、终止角度均为1.5°，步长为0.01°。

步骤5求解对天线热变形主反射面的电磁模型补偿后的电性能

步骤5a由变形单反射面天线拟合后得到馈源的最佳位置

图4为未变形、吻合和变形抛物面的几何关系图，其中a为未变形单反射面天线，b为变形单反射面天线，c为吻合抛物面。P点为未变形单反射面天线上一点，P₀点为吻合抛物面上P点的对应点，P₁点为变形单反射面天线上P点对应点，δ为变形单反射面天线上点P₁对于吻合抛物面上点P₀的轴向坐标差值。F为未变形单反射面天线设计焦点，F₀为补偿后的新的馈源位置。

利用步骤3得到的未变形单反射面天线主反射面的节点坐标及施加温度载荷后变形单反射面天线节点坐标，使用遗传算法，对吻合抛物面的顶点相对于原坐标系中的位移Δx、Δy、Δz和吻合抛物面绕原坐标系的旋转参量φ_x、φ_y以及焦距变换量Δf六个变形参量进行优化。其中，φ_x、φ_y分别为吻合抛物面的焦轴绕坐标轴O-xyz中x、y的转角，f为焦距，Δf为焦距变化量。由变形单反射面天线对吻合抛物面的轴向均方根误差，令轴向均方根误差最小来确定吻合抛物面的六个变形参量。然后根据六个变形参量Δx、Δy、Δz、Δf，得到新的馈源位置(x_F，y_F，z_F)和新的焦轴指向

具体方法如下：

5a-1）设未变形单反射面天线上一点P(x_p，y_p，z_p)，在吻合抛物面上对应点P₀(x_p，y_p，z₀)，在变形单反射面天线上对应点P₁(x_p，y_p，z₁)；

未变形单反射面天线的母线方程是：

$z_p=\frac{x_p^2+y_p^2}{4f}$

由于吻合抛物面是由未变形单反射面天线的顶点移动、整体旋转及改变焦距得到的，因此得到P₀点Z轴的轴向坐标近似值为：

$z_0=\frac{{(x_p-\mathrm{\Δx})}^2+{(y_p-\mathrm{\Δy})}^2}{4(f+\mathrm{\Δf})}+\mathrm{\Δz}+y_p{\mathrm{\φ}}_x-x_p{\mathrm{\φ}}_y$

Δx、Δy、Δz为吻合抛物面顶点在原坐标系O-xyz中的位移，φ_x、φ_y分别为吻合抛物面的焦轴绕原坐标轴O-xyz中x、y轴的转角，f为焦距，Δf为焦距变化量；

5a-2）采用变形单反射面天线上点P₁与吻合抛物面上点P₀的轴向误差δ来构造条件方程组：

${\mathrm{\δ}}_i=z_{1i}-z_{0i}=z_1-[\frac{{(x_{\mathrm{pi}}-\mathrm{\Δx})}^2+{(y_{\mathrm{pi}}-\mathrm{\Δy})}^2}{4(f+\mathrm{\Δf})}+\mathrm{\Δz}+y_{\mathrm{pi}}{\mathrm{\φ}}_x-x_{\mathrm{pi}}{\mathrm{\φ}}_y]$

式中：i=1，2，…，N，N为主反射面的节点数；

5a-3）建立如下优化数学模型计算最优馈源位置参数：

$\mathrm{Min}:\mathrm{Rms}=\sqrt{\frac{\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\δ}}_i^2}{N}}$

式中，Rms为轴向均方根误差，利用遗传算法来对优化数学模型进行优化，来确定变形单反射面天线六个变形参量Δx、Δy、Δz、φ_x、φ_y以及Δf；

5a-4）由六个变形参量Δx、Δy、Δz、φ_x、φ_y及Δf，可知新焦点的位置(x_F，y_F，z_F)：

由φ_x、φ_y确定馈源的焦轴指向，吻合抛物面焦轴由未变形单反射面天线焦轴绕其坐标轴x轴、y轴先后旋转φ_x、φ_y角度得到。

步骤5b计算天线热变形主反射面的电磁模型补偿后的电性能

在天线热变形主反射面的电磁模型中，拟合后得到的吻合面焦点处建立点源，旋转点源焦轴指向和得到的新的焦轴指向重合。将导入后的单元细化，使其单元的边长大小为λ/6。设置FEKO求解方法和求解参数，在补偿后单反射面天线热变形主反射面的电磁模型中，计算天线热变形主反射面补偿后的电性能。本例利用FEKO软件中物理光学法来计算天线的增益。在FEKO中将补偿后单反射面天线热变形主反射面的电磁模型点源的频率设置为5GHz，设置远场的θ起始角度均为-1.5°、终止角度均为1.5°，步长为0.01°。

步骤6对比天线热变形主反射面的电磁模型补偿前后的电性能

对比步骤5b中和步骤4中计算出的电性能，看电性能的提高量是否满足要求。如果满足，则得到能够补偿天线电性能的最佳馈源位置；如未满足，重新设置优化参数，转到步骤5a重新计算，直到满足补偿要求，得到最佳馈源位置以补偿变形单反射面天线的电性能。在遗传算法中重新设置优化参数，即重新确定优化变量的起始值和遗传算法中的岛屿数目、子种群大小以及遗传代数，使优化计算的结果达到全局最优。

本发明的优点可通过以下仿真进一步说明：

1.ANSYS中未变形单反射面天线有限元模型的建立

未变形单反射面天线的结构参数、工作频率及材料属性，在ANSYS中建立未变形单反射面天线有限元模型。单反射面天线面板单元类型为Shell63，单元边长大小为100mm，单元形状为四边形。单反射面天线背架单元类型为Beam188。其中单反射面天线的结构参数及其工作频率如表1所示，单反射面天线面板和背架的材料属性分别如表2、表3所示。

表1单反射面天线的结构参数及其工作频率

表2单反射面天线面板的材料属性

表3单反射面天线背架的材料属性

2.仿真结果

利用以上建立的变形单反射面天线的有限元模型，通过调整点源的位置和指向对变形单反射面天线的电性能进行补偿，图5为补偿前和补偿后的变形单反射天线的增益方向图。表4为极低温度载荷下调整馈源位置前后天线电性能及其变化量，在本例中天线的电性能即为天线增益。天线增益为天线在最大辐射方向上远区某点的功率密度与输入功率相同的无方向性天线在同一点的功率密度之比。极低温度载荷为-30℃下的热浸透，而热浸透即在单反射面天线有限元模型上整体施加-30℃。

表4调整馈源位置前后天线增益及其变化量

由图5可以看出，补偿前的增益为37.499dB，补偿后的增益为38.108dB，则补偿后比补偿前增益提高了0.609dB，满足实际工程中对增益改善的要求，即增益提高量不低于0.5dB。所以优化后得到馈源的位置即为能够补偿天线电性能的最佳馈源位置。

通过该实施例所得到的补偿结果，证明采用本发明的方法可用于进行单反射面天线电性能的补偿。

Claims (6)

1.一种变形大型单反射面天线的馈源位置补偿方法，其特征在于，该方法包括下述步骤：

(1)根据单反射面天线的结构参数、工作频率及材料属性，在ANSYS中建立未变形单反射面天线有限元模型，提取未变形单反射面天线有限元模型主反射面的节点坐标；

(2)根据单反射面天线所处环境的温度载荷，在ANSYS软件中对未变形单反射面天线有限元模型加载温度载荷，然后计算在该温度载荷下的变形单反射面天线有限元模型的各个节点坐标；

(3)提取变形单反射面天线有限元模型主反射面的节点坐标，在FEKO软件中建立单反射面天线热变形主反射面的电磁模型；

(4)在补偿前单反射面天线热变形主反射面的电磁模型中，以未变形单反射面天线设计焦点为馈源位置，在此位置建立点源代替馈源；设置FEKO求解方法和求解参数，在补偿前单反射面天线热变形主反射面的电磁模型中，计算补偿前变形单反射面天线的电性能；

(5)利用遗传优化算法，对变形单反射面天线中变形主反射面的六个变形参量进行优化，由六个变形参量计算单反射面天线热变形主反射面补偿后的馈源位置和焦轴指向，计算得到的馈源位置建立点源，使点源的指向与计算得到的焦轴指向一致；设置FEKO求解方法和求解参数，在补偿后单反射面天线热变形主反射面的电磁模型中，计算补偿后变形单反射面天线的电性能；

(6)比较补偿前与补偿后的变形单反射面天线的电性能，判断变形单反射面天线补偿前后的电性能提高量是否满足要求，如满足要求，则计算得到的变形单反射面天线馈源位置为能够补偿单反射面天线电性能的最佳馈源位置；否则，重新设置优化参数，重复步骤(5)，直至满足要求。

2.根据权利要求1所述的一种变形大型单反射面天线的馈源位置补偿方法，其特征在于，所述单反射面天线的结构参数包括口径和焦距。

3.根据权利要求1所述的一种变形大型单反射面天线的馈源位置补偿方法，其特征在于，所述单反射面天线的材料属性包括单反射面天线背架材料和单反射面天线面板的密度、热传导率、比热、泊松比、弹性模量和热膨胀系数。

4.根据权利要求1所述的一种变形大型单反射面天线的馈源位置补偿方法，其特征在于，所述补偿前的变形单反射面天线的电性能为未补偿变形单反射面天线的天线增益；所述补偿后的变形单反射面天线的电性能为补偿后变形单反射面天线增益。

5.根据权利要求1所述的一种变形大型单反射面天线的馈源位置补偿方法，其特征在于，所述步骤(5)中，计算单反射面天线热变形主反射面补偿后的电性能按如下过程进行：

(5a)利用步骤(1)提取的未变形单反射面天线有限元模型主反射面的节点坐标和步骤(3)提取的变形单反射面天线有限元模型主反射面的节点坐标，利用遗传算法，对吻合抛物面的顶点相对于原坐标系O-xyz中的位移Δx、Δy、Δz和吻合抛物面绕原坐标系的旋转参量φ_x、φ_y及焦距变化量Δf六个变形参量进行优化；由变形单反射面天线对吻合抛物面得到轴向均方根误差，令轴向均方根误差最小来确定吻合抛物面的六个变形参量，由六个变形参量确定馈源的焦轴指向，进而得到新焦点的位置；

(5b)在步骤(3)得到的单反射面天线热变形主反射面的电磁模型中，以步骤(5a)中得到的吻合抛物面焦点位置建立点源代替馈源，旋转馈源指向与(5a)中得到的焦轴指向重合，设置FEKO求解方法和求解参数，在单反射面天线热变形主反射面的电磁模型中，计算单反射面天线热变形主反射面补偿后的电性能。

6.根据权利要求5所述的一种变形大型单反射面天线的馈源位置补偿方法，其特征在于，所述步骤(5a)中，得到新焦点的位置通过下述方法实现：

5a-1)设未变形单反射面天线上一点P(x_p,y_p,z_p),在吻合抛物面上对应点P₀(x_p,y_p,z₀)，在变形单反射面天线上对应点P₁(x_p,y_p,z₁)；

未变形单反射面天线的母线方程是：

$z_p=\frac{x_p^2+y_p^2}{4f}$

由于吻合抛物面是由未变形单反射面天线的顶点移动、整体旋转及改变焦距得到的，因此得到P₀点z轴的轴向坐标近似值为：

$z_0=\frac{{(x_p-\mathrm{\Δ}x)}^2+{(y_p-\mathrm{\Δ}y)}^2}{4(f+\mathrm{\Δ}f)}+\mathrm{\Δ}z+y_p{\mathrm{\φ}}_x-x_p{\mathrm{\φ}}_y$

Δx、Δy、Δz为吻合抛物面顶点在原坐标系O-xyz中的位移，φ_x、φ_y分别为吻合抛物面的焦轴绕原坐标轴O-xyz中x、y轴的转角，f为焦距，Δf为焦距变化量；

5a-2)采用变形单反射面天线上点P₁与吻合抛物面上点P₀的轴向误差δ来构造条件方程组：

${\mathrm{\δ}}_i=z_{1i}-z_{0i}=z_1-\[\frac{{\left(x_{pi}-\mathrm{\Δ}x\right)}^2+{\left(y_{pi}-\mathrm{\Δ}y\right)}^2}{4\left(f+\mathrm{\Δ}f\right)}+\mathrm{\Δ}z+y_{pi}{\mathrm{\φ}}_x-x_{pi}{\mathrm{\φ}}_y\]$

式中：i＝1,2,…,N，N为主反射面的节点数；

5a-3)建立如下优化数学模型计算最优馈源位置参数：

Find:X＝[Δx,Δy,Δz,φ_x,φ_y,Δf]

$Min:Rms=\sqrt{\frac{\underset{i=1}{\overset{N}{\Σ}}{\mathrm{\δ}}_i^2}{N}}$

式中，Rms为轴向均方根误差，利用遗传算法来对优化数学模型进行优化，来确定吻合抛物面的六个变形参量Δx、Δy、Δz、φ_x、φ_y以及Δf；

5a-4)由六个变形参量Δx、Δy、Δz、φ_x、φ_y及Δf，可知新焦点的位置(x_F,y_F,z_F)：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_F=\mathrm{\Δ}x+(f+\mathrm{\Δ}f)\·{\mathrm{\φ}}_y\\ y_F=\mathrm{\Δ}y-(f+\mathrm{\Δ}f)\·{\mathrm{\φ}}_x\\ z_F=f+\mathrm{\Δ}f+\mathrm{\Δ}z\end{array}\right.$

由φ_x、φ_y确定馈源的焦轴指向，吻合抛物面焦轴指向由未变形单反射面天线焦轴绕其坐标轴x轴、y轴先后旋转φ_x、φ_y角度得到。