CN113381198B - 主焦馈电式射电望远镜指向精度提升机构及自调节方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了主焦馈电式射电望远镜指向精度提升机构及自调节方法，首先通过数值计算方法计算出主反射面变形后的焦点位置相对变形前焦点位置的位移量；然后，通过X、Y、Z三个方向的调整实现主反射面变形后主焦接收机的位置自适应调整；接着，针对主反射面上一些因遮挡效果等因素导致的变形极不规则的地方，通过主焦接收机绕Z轴转动以及微型促动器对喇叭口进行微调的方式，以满足主焦馈电式大型射电望远镜较高的指向精度要求，很好地解决了主焦馈电式大型射电望远镜在受到非均匀日照产生热变形后的指向精度问题。

Description

主焦馈电式射电望远镜指向精度提升机构及自调节方法

技术领域

本发明属于大型射电望远镜技术领域，具体涉及一种主焦馈电式射电望远镜指向精度的提升机构及其自动调节主焦馈电式射电望远镜指向精度的方法。

背景技术

指向精度是射电望远镜最重要的性能指标之一，特别是大口径、高频段射电望远镜，一般要求指向偏差小于天线半功率宽度的10％。射电望远镜指向精度受到其结构自身重力、风载、温度等外部因素的影响。对于结构自身造成的影响，一般会在设计阶段加以考虑，从而尽量减小误差的产生；对于风载，一般会考虑在极限载荷等情况下进行结构保全分析。然而对于温度载荷，由于射电望远镜长期暴露在外界自然环境中，长期受到非均匀日照、周期性变化气温等的影响，其结构内外表面不断以辐射、对流和传导等方式与周围环境进行热交换，且由于大型射电望远镜观测时间的变化、观测目标的不同，其受到非均匀日照后的遮挡效果的变化等因素，使得其主反射面的热变形无规律可循，因此由于非均匀日照的影响，提高大型射电望远镜的指向精度成为一个难题。

发明内容

本发明的目的在于主焦馈电式大型射电望远镜在受到非均匀日照产生热变形后的指向精度问题，提供一种主焦馈电式射电望远镜指向精度提升机构及自调节方法。

本发明主焦馈电式射电望远镜指向精度提升机构，包括二轴移动平台、转台、主焦接收机、伸缩套筒和Z向滚珠丝杠；所述的转台由二轴移动平台驱动；所述的Z向滚珠丝杠包括螺杆和与螺杆构成螺旋副的螺母；Z向滚珠丝杠的螺杆与转台构成转动副，并与刹车电机的输出轴固定；刹车电机的底座固定在转台底面；Z向滚珠丝杠的螺母与伸缩套筒固定；伸缩套筒与转台构成滑动副；所述的主焦接收机包括旋转电机、减速器、促动器平台、促动器和喇叭口；旋转电机的底座固定在伸缩套筒底部；旋转电机的输出轴与促动器平台通过减速器连接；所述的喇叭口与促动器平台通过沿喇叭口周向均布的多个促动器连接；馈源固定在主焦接收机的喇叭口上，二轴移动平台固定在主焦馈电式射电望远镜的主反射面上；

所述的减速器包括两个双联齿轮；所述的双联齿轮由固定在一起且轮齿错位排布的两个齿轮组成；其中一个双联齿轮与旋转电机的输出轴固定，另一个双联齿轮与促动器平台固定；其中一个双联齿轮的两个齿轮与另一个双联齿轮的两个齿轮分别啮合；

所述的促动器平台与伸缩套筒底部构成转动副，具体为促动器平台与伸缩套筒之间设置滚珠。

优选地，所述的二轴移动平台包括支架、Y向联接板、X向桁架、X向滚轮、X向联接板、Y向滚轮、X向滚珠丝杠和Y向滚珠丝杠；所述的X向滚珠丝杠和Y向滚珠丝杠均包括螺杆和与螺杆构成螺旋副的螺母；Y向滚珠丝杠的螺杆与支架底面构成转动副，Y向滚珠丝杠的螺母与Y向联接板固定；Y向联接板顶部铰接有Y向滚轮，Y向滚轮与支架构成滚动摩擦副；X向桁架与Y向联接板底面固定；X向滚珠丝杠的螺杆与X向桁架底面构成转动副，X向滚珠丝杠的螺母与X向联接板固定；X向联接板顶部铰接有X向滚轮，X向滚轮与X向桁架构成滚动摩擦副；转台与X向联接板固定；Y向滚珠丝杠和X向滚珠丝杠的螺杆与两个驱动电机的输出轴分别固定，Y向滚珠丝杠上的驱动电机的壳体固定在支架上，X向滚珠丝杠上的驱动电机的壳体固定在X向桁架上；驱动电机由控制器控制。

该主焦馈电式射电望远镜指向精度提升机构提升主焦馈电式射电望远镜指向精度的方法，具体如下：

步骤一、将馈源固定在主焦接收机的喇叭口上，二轴移动平台固定在主焦馈电式射电望远镜的主反射面上，使喇叭口上的馈源位于主反射面的焦点位置处。

步骤二、主反射面变形导致焦点位置发生变化后，为求出变形后的焦点位置，先假设主反射面的焦点位置不变，拟合出最佳的拟合抛物面位置，然后根据拟合抛物面与主反射面原抛物面上对应点之间的位移误差推断出主反射面变形后焦点在X轴上的位移量Δx、Y轴上的位移量Δy和Z轴上的位移量Δz。

步骤三、驱动电机驱动二轴移动平台带动转台、Z向滚珠丝杠、伸缩套筒和主焦接收机一起在X轴上移动Δx，并一起在Y轴上移动Δy。然后，刹车电机驱动Z向滚珠丝杠带动伸缩套筒和主焦接收机一起在Z轴上移动Δz。接着，各促动器对喇叭口进行角度调整，且旋转电机经减速器驱动促动器平台、各促动器和喇叭口一起旋转，与各促动器对喇叭口的角度调整进行配合，使喇叭口上的馈源位于拟合抛物面的焦点位置处。旋转电机旋转和各促动器角度调整配合的过程具体如下：①各促动器对喇叭口进行位置调整，并根据喇叭口上的馈源反馈精度找出喇叭口的最佳位置；②旋转电机带动喇叭口旋转一个步进角度，且旋转电机上的编码器对旋转电机的旋转角度进行反馈，然后执行步骤①；③重复步骤②，直到喇叭口旋转一周后，得到不同角度下喇叭口的最佳位置，然后对各角度下喇叭口上馈源的反馈精度进行对比，选出喇叭口的最佳角度和该角度下喇叭口的最佳位置。

优选地，主反射面变形后焦点的位移量具体计算过程如下：

原抛物面方程为：

x²+y²＝4fz (1)

其中，x、y和z分别为原抛物面上的点在坐标系的X轴、Y轴和Z轴上的坐标，f为原抛物面的焦距。

设主反射面变形后拟合抛物面的方程为：

x′²+y′²＝4fz′ (2)

其中，x′、y′和z′分别为拟合抛物面上的点在坐标系的X轴、Y轴和Z轴上的坐标。

设光束垂直抛物面入射，光线照射到原抛物面的点A(x₀，y₀，z₀)上，点A(x₀，y₀，z₀)对应到拟合抛物面上的点为点A′(x₁，y₁，z₁)。

计算点A′(x₁，y₁，z₁)处的偏导f_x和偏导f_y：

设入射光线的向量为(0，0，a)，a为焦点到原抛物面上点A(x₀，y₀，z₀)的距离，则入射光线与拟合抛物面在点A′处的法线之间的夹角β计算式为：

由反射定律得，反射光线与入射光线的夹角等于法线和入射光线夹角的2倍，入射角、反射角和法线在一个平面内，所以有：

入射光线和点A′法线所在平面的法向量为：

则点A′代入入射光线和点A′法线所在平面的平面方程，得：

-af_yx₁+af_xy₁＝0 (7)

拟合抛物面的准面方程为：

z＝-f (8)

拟合抛物面的焦点与点A′的距离L₂等于点A′到拟合抛物面准面的距离，即L₂＝z₁+f。

设点A′到过焦点且垂直于Z轴的平面的距离为L₁，则L₁＝f-z₁，得：

L₁+L₂＝2f (9)

式中：

L₁＝L₂ cos 2β (10)

联立式(9)、(10)和拟合抛物面的焦点与A′点的距离L₂的计算式，则有；

即：

联立式(5)、(7)和(12)，求得拟合抛物面上的点A′(x₁，y₁，z₁)。

从而求出拟合抛物面的焦点相对原抛物面的焦点在X轴、Y轴和Z轴上的位移量分别为：

Δx＝x₁-x₀，Δy＝y₁-y₀，Δz＝z₁-z₀。

本发明具有的有益效果是：

1、本发明首先通过数值计算方法计算出主反射面变形后的焦点位置相对变形前焦点位置的位移量；然后，通过X、Y、Z三个方向的调整实现主反射面变形后主焦接收机的位置自适应调整；接着，针对主反射面上一些因遮挡效果等因素导致的变形极不规则的地方，通过主焦接收机绕Z轴转动以及微型促动器对喇叭口进行微调的方式，以满足主焦馈电式大型射电望远镜较高的指向精度要求，很好地解决了主焦馈电式大型射电望远镜在受到非均匀日照产生热变形后的指向精度问题。而且，由于安装多个促动器，即便单个促动器损坏或者失效，可以将其拆除回收修复，单个促动器的损坏并不会对整个系统造成较大影响。

2、主焦接收机的Z向平移依靠Z向滚珠丝杠和伸缩套筒实现；Z向滚珠丝杠由刹车电机驱动，由于刹车电机具有自锁功能，可保证主焦接收机不受重力的影响而滑动。

附图说明

图1为本发明指向精度提升机构整体结构的一个侧视图；

图2为本发明指向精度提升机构整体结构的另一个侧视图；

图3为本发明中伸缩套筒与Z向滚珠丝杠和促动器平台的装配示意图；

图4为本发明中齿轮的结构示意图；

图5为本发明中促动器平台上促动器的分布图；

图6为本发明中主反射面的原抛物面、变形曲面以及拟合抛物面的示意图。

具体实施方式

以下结合附图对本发明作进一步说明。

如图1、2、3和5所示，主焦馈电式射电望远镜指向精度提升机构，包括二轴移动平台、转台5、主焦接收机7、伸缩套筒14和Z向滚珠丝杠15；转台5由二轴移动平台驱动；Z向滚珠丝杠15包括螺杆和与螺杆构成螺旋副的螺母；Z向滚珠丝杠15的螺杆与转台5构成转动副，并与刹车电机的输出轴固定；刹车电机的底座固定在转台5底面；Z向滚珠丝杠15的螺母与伸缩套筒14固定；伸缩套筒14与转台5构成滑动副；由于刹车电机具有自锁功能，可保证装置不受重力的影响而滑动；主焦接收机7包括旋转电机、减速器、促动器平台8、促动器12和喇叭口9；旋转电机的底座固定在伸缩套筒14底部；旋转电机的输出轴与促动器平台8通过减速器连接；喇叭口9与促动器平台8通过沿喇叭口9周向均布的多个促动器12连接；馈源固定在主焦接收机7的喇叭口9上，二轴移动平台固定在主焦馈电式射电望远镜的主反射面上；喇叭口9的中心轴线与Z轴重合，各促动器12伸缩可对喇叭口9角度进行高精度调整；由于安装多个促动器12，即便是单个促动器12损坏或者失效，可以将其拆除回收修复，单个促动器12的损坏并不会对整个系统造成较大影响。

减速器包括两个双联齿轮；如图4所示，双联齿轮由固定在一起且轮齿错位排布的两个齿轮17组成；其中一个双联齿轮与旋转电机的输出轴固定，另一个双联齿轮与促动器平台8固定；其中一个双联齿轮的两个齿轮17与另一个双联齿轮的两个齿轮17分别啮合。双联齿轮的两个齿轮17轮齿错位排布，消除了两个双联齿轮的齿轮传动间隙，从而提高了主焦接收机7转动的精度。

促动器平台8与伸缩套筒14底部构成转动副，具体为促动器平台8与伸缩套筒14之间设置滚珠16，在促动器平台8绕Z轴旋转时，滚珠16可协同促动器平台8一起绕Z轴旋转，减小摩擦力，提高旋转效率。

其中，二轴移动平台、旋转电机、刹车电机和促动器12均由控制器控制。

作为一个优选实施例，如图2和3所示，二轴移动平台包括支架1、Y向联接板2、X向桁架3、X向滚轮4、X向联接板6、Y向滚轮10、X向滚珠丝杠11和Y向滚珠丝杠13；X向滚珠丝杠11和Y向滚珠丝杠13均包括螺杆和与螺杆构成螺旋副的螺母；Y向滚珠丝杠13的螺杆与支架1底面构成转动副，Y向滚珠丝杠13的螺母与Y向联接板2固定；Y向联接板2顶部铰接有Y向滚轮10，Y向滚轮10与支架1构成滚动摩擦副；X向桁架3与Y向联接板2底面固定；X向滚珠丝杠11的螺杆与X向桁架3底面构成转动副，X向滚珠丝杠11的螺母与X向联接板6固定；X向联接板6顶部铰接有X向滚轮4，X向滚轮4与X向桁架3构成滚动摩擦副；转台5与X向联接板6固定；Y向滚珠丝杠13和X向滚珠丝杠11的螺杆与两个驱动电机的输出轴分别固定，Y向滚珠丝杠13上的驱动电机的壳体固定在支架1上，X向滚珠丝杠11上的驱动电机的壳体固定在X向桁架3上；驱动电机由控制器控制。

本发明构建该主焦馈电式射电望远镜指向精度提升机构，旨在提升主焦馈电式射电望远镜指向精度；当主焦馈电式径射电望远镜在长期受到非均匀温度、载荷后，主反射面发生了热变形，主反射面反射的焦点必然发生了变化，导致指向精度降低，主焦接收机7接收由主反射面反射来的信号效率就会大大降低，从而会降低运算效率和时间效率。针对主反射面因日照产生的热变形而导致的指向精度低的问题，本发明首先采用数值计算的方法计算出变形后主反射面的焦点位置，然后通过该主焦馈电式射电望远镜指向精度提升机构的二轴移动平台和伸缩套筒14对主焦接收机7的位置进行调整，对于主反射面上一些因遮挡效果等因素导致的变形极不规则的地方，无法通过数值计算的方法精准计算其变形量，此时采用促动器12微调的方法进行精调。

该主焦馈电式射电望远镜指向精度提升机构提升主焦馈电式射电望远镜指向精度的方法，具体如下：

步骤一、将馈源固定在主焦接收机7的喇叭口9上，二轴移动平台固定在主焦馈电式射电望远镜的主反射面上，使喇叭口9上的馈源位于主反射面的焦点位置处。

步骤二、主反射面变形导致焦点位置发生变化后，为求出变形后的焦点位置，先假设主反射面的焦点位置不变，拟合出最佳的拟合抛物面位置，然后根据拟合抛物面与主反射面原抛物面上对应点之间的位移误差推断出主反射面变形后焦点在X轴上的位移量Δx、Y轴上的位移量Δy和Z轴上的位移量Δz。

步骤三、驱动电机驱动二轴移动平台带动转台5、Z向滚珠丝杠15、伸缩套筒14和主焦接收机7一起在X轴上移动Δx，并一起在Y轴上移动Δy。然后，刹车电机驱动Z向滚珠丝杠15带动伸缩套筒14和主焦接收机7一起在Z轴上移动Δz。接着，各促动器12对喇叭口9进行角度调整，且旋转电机经减速器驱动促动器平台8、各促动器12和喇叭口9一起旋转，与各促动器12对喇叭口9的角度调整进行配合，使喇叭口9上的馈源位于拟合抛物面的焦点位置处。旋转电机旋转和各促动器12角度调整配合的过程具体如下：①各促动器对喇叭口进行位置调整，并根据喇叭口上的馈源反馈精度找出喇叭口的最佳位置；②旋转电机带动喇叭口9旋转一个步进角度，且旋转电机上的编码器对旋转电机的旋转角度进行反馈，然后执行步骤①；③重复步骤②，直到喇叭口9旋转一周后，得到不同角度下喇叭口的最佳位置，然后对各角度下喇叭口上馈源的反馈精度进行对比，选出喇叭口的最佳角度和该角度下喇叭口的最佳位置。

综上所述，本发明在主焦馈电式射电望远镜受到热变形时，通过多方位多角度协同调整的方法，提高喇叭口上的馈源接收主反射面反射信号的精度，从而提高主焦馈电式大型射电望远镜的指向精度。

作为一个优选实施例，主反射面变形后焦点的位移量具体计算过程如下：

如图6所示，原抛物面方程为：

x²+y²＝4fz (1)

其中，x、y和z分别为原抛物面上的点在坐标系的X轴、Y轴和Z轴上的坐标，f为原抛物面的焦距。

设主反射面变形后拟合抛物面的方程为：

x′²+y′²＝4fz′ (2)

其中，x′、y′和z′分别为拟合抛物面上的点在坐标系的X轴、Y轴和Z轴上的坐标。

设光束垂直抛物面入射，光线照射到原抛物面的点A(x₀，y₀，z₀)上，点A(x₀，y₀，z₀)对应到拟合抛物面上的点为点A′(x₁，y₁，z₁)。

计算点A′(x₁，y₁，z₁)处的偏导f_x和偏导f_y：

设入射光线的向量为(0，0，a)，a为焦点到原抛物面上点A(x₀，y₀，z₀)的距离，则入射光线与拟合抛物面在点A′处的法线之间的夹角β计算式(通过A′处的法向量和入射光线的向量乘积公式推导)为：

由反射定律得，反射光线与入射光线的夹角等于法线和入射光线夹角的2倍，入射角、反射角和法线在一个平面内，所以(通过点A′和焦点所在向量与入射光线的向量乘积公式推导)有：

入射光线和点A′法线所在平面的法向量为：

则点A′代入入射光线和点A′法线所在平面的平面方程，得：

-af_yx₁+af_xy₁＝0 (7)

拟合抛物面的准面方程为：

z＝-f (8)

抛物面是由抛物线绕中心轴旋转一周得到的，已知抛物线的焦点到抛物线上一点的距离等于抛物线上一点到准线的距离。同理，抛物面的焦点到抛物面上一点的距离等于抛物面上一点到准面的距离。则有，拟合抛物面的焦点与点A′的距离L₂等于点A′到拟合抛物面准面的距离，即L₂＝z₁+f。

设点A′到过焦点且垂直于Z轴的平面(相平面)的距离为L₁，则L₁＝f-z₁，得：

L₁+L₂＝2f (9)

式中：

L₁＝L₂ cos 2β (10)

联立式(9)、(10)和拟合抛物面的焦点与A′点的距离L₂的计算式，则有；

即：

联立式(5)、(7)和(12)，求得拟合抛物面上的点A′(x₁，y₁，z₁)。

由于原抛物面已知，则求出拟合抛物面的焦点相对原抛物面的焦点在X轴、Y轴和Z轴上的位移量分别为：

Δx＝x₁-x₀，Δy＝y₁-y₀，Δz＝z₁-z₀。

Claims (4)

1.主焦馈电式射电望远镜指向精度提升机构，包括二轴移动平台、转台、主焦接收机、伸缩套筒和Z向滚珠丝杠，其特征在于：所述的转台由二轴移动平台驱动；所述的Z向滚珠丝杠包括螺杆和与螺杆构成螺旋副的螺母；Z向滚珠丝杠的螺杆与转台构成转动副，并与刹车电机的输出轴固定；刹车电机的底座固定在转台底面；Z向滚珠丝杠的螺母与伸缩套筒固定；伸缩套筒与转台构成滑动副；所述的主焦接收机包括旋转电机、减速器、促动器平台、促动器和喇叭口；旋转电机的底座固定在伸缩套筒底部；旋转电机的输出轴与促动器平台通过减速器连接；所述的喇叭口与促动器平台通过沿喇叭口周向均布的多个促动器连接；馈源固定在主焦接收机的喇叭口上，二轴移动平台固定在主焦馈电式射电望远镜的主反射面上；

所述的减速器包括两个双联齿轮；所述的双联齿轮由固定在一起且轮齿错位排布的两个齿轮组成；其中一个双联齿轮与旋转电机的输出轴固定，另一个双联齿轮与促动器平台固定；其中一个双联齿轮的两个齿轮与另一个双联齿轮的两个齿轮分别啮合；

所述的促动器平台与伸缩套筒底部构成转动副，具体为促动器平台与伸缩套筒之间设置滚珠。

2.根据权利要求1所述的主焦馈电式射电望远镜指向精度提升机构，其特征在于：所述的二轴移动平台包括支架、Y向联接板、X向桁架、X向滚轮、X向联接板、Y向滚轮、X向滚珠丝杠和Y向滚珠丝杠；所述的X向滚珠丝杠和Y向滚珠丝杠均包括螺杆和与螺杆构成螺旋副的螺母；Y向滚珠丝杠的螺杆与支架底面构成转动副，Y向滚珠丝杠的螺母与Y向联接板固定；Y向联接板顶部铰接有Y向滚轮，Y向滚轮与支架构成滚动摩擦副；X向桁架与Y向联接板底面固定；X向滚珠丝杠的螺杆与X向桁架底面构成转动副，X向滚珠丝杠的螺母与X向联接板固定；X向联接板顶部铰接有X向滚轮，X向滚轮与X向桁架构成滚动摩擦副；转台与X向联接板固定；Y向滚珠丝杠和X向滚珠丝杠的螺杆与两个驱动电机的输出轴分别固定，Y向滚珠丝杠上的驱动电机的壳体固定在支架上，X向滚珠丝杠上的驱动电机的壳体固定在X向桁架上；驱动电机由控制器控制。

3.根据权利要求1或2所述的主焦馈电式射电望远镜指向精度提升机构提升主焦馈电式射电望远镜指向精度的方法，其特征在于：该方法具体如下：

步骤一、将馈源固定在主焦接收机的喇叭口上，二轴移动平台固定在主焦馈电式射电望远镜的主反射面上，使喇叭口上的馈源位于主反射面的焦点位置处；

步骤二、主反射面变形导致焦点位置发生变化后，为求出变形后的焦点位置，先假设主反射面的焦点位置不变，拟合出最佳的拟合抛物面位置，然后根据拟合抛物面与主反射面原抛物面上对应点之间的位移误差推断出主反射面变形后焦点在X轴上的位移量Δx、Y轴上的位移量Δy和Z轴上的位移量Δz；

步骤三、驱动电机驱动二轴移动平台带动转台、Z向滚珠丝杠、伸缩套筒和主焦接收机一起在X轴上移动Δx，并一起在Y轴上移动Δy；然后，刹车电机驱动Z向滚珠丝杠带动伸缩套筒和主焦接收机一起在Z轴上移动Δz；接着，各促动器对喇叭口进行角度调整，且旋转电机经减速器驱动促动器平台、各促动器和喇叭口一起旋转，与各促动器对喇叭口的角度调整进行配合，使喇叭口上的馈源位于拟合抛物面的焦点位置处；旋转电机旋转和各促动器角度调整配合的过程具体如下：①各促动器对喇叭口进行位置调整，并根据喇叭口上的馈源反馈精度找出喇叭口的最佳位置；②旋转电机带动喇叭口旋转一个步进角度，且旋转电机上的编码器对旋转电机的旋转角度进行反馈，然后执行步骤①；③重复步骤②，直到喇叭口旋转一周后，得到不同角度下喇叭口的最佳位置，然后对各角度下喇叭口上馈源的反馈精度进行对比，选出喇叭口的最佳角度和该角度下喇叭口的最佳位置。

4.根据权利要求3所述的主焦馈电式射电望远镜指向精度提升机构提升主焦馈电式射电望远镜指向精度的方法，其特征在于：主反射面变形后焦点的位移量具体计算过程如下：

原抛物面方程为：

x²+y²＝4fz (1)

其中，x、y和z分别为原抛物面上的点在坐标系的X轴、Y轴和Z轴上的坐标，f为原抛物面的焦距；

设主反射面变形后拟合抛物面的方程为：

x′²+y′²＝4fz′ (2)

其中，x′、y′和z′分别为拟合抛物面上的点在坐标系的X轴、Y轴和Z轴上的坐标；

设光束垂直抛物面入射，光线照射到原抛物面的点A(x₀，y₀，z₀)上，点A(x₀，y₀，z₀)对应到拟合抛物面上的点为点A′(x₁，y₁，z₁)；

计算点A′(x₁，y₁，z₁)处的偏导f_x和偏导f_y：

设入射光线的向量为(0，0，a)，a为焦点到原抛物面上点A(x₀，y₀，z₀)的距离，则入射光线与拟合抛物面在点A′处的法线之间的夹角β计算式为：

由反射定律得，反射光线与入射光线的夹角等于法线和入射光线夹角的2倍，入射角、反射角和法线在一个平面内，所以有：

入射光线和点A′法线所在平面的法向量为：

则点A′代入入射光线和点A′法线所在平面的平面方程，得：

-af_yx₁+af_xy₁＝0 (7)

拟合抛物面的准面方程为：

z＝-f (8)

拟合抛物面的焦点与点A′的距离L₂等于点A′到拟合抛物面准面的距离，即L₂＝z₁+f；

设点A′到过焦点且垂直于Z轴的平面的距离为L₁，则L₁＝f-z₁，得：

L₁+L₂＝2f (9)

式中：

L₁＝L₂cos 2β (10)

联立式(9)、(10)和拟合抛物面的焦点与A′点的距离L₂的计算式，则有；

即：

联立式(5)、(7)和(12)，求得拟合抛物面上的点A′(x₁，y₁，z₁)；

从而求出拟合抛物面的焦点相对原抛物面的焦点在X轴、Y轴和Z轴上的位移量分别为：

Δx＝x₁-x₀，Δy＝y₁-y₀，Δz＝z₁-z₀。

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