CN103346798A - 一种以低于奈奎斯特频率的采样频率进行信号采集方法 - Google Patents
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Abstract
本发明公开了一种低于Nyquist频率的信号采集方法，首先针对输入信号选择合适的变换基矩阵，用该变换基矩阵对信号进行稀疏表示以确定信号的稀疏度k，然后由稀疏度计算出压缩采样的采样次数M，然后分M个信道分别对信号以fNYQ/M进行采样，接着对每个信道的采样值进行积分，即得到M个测量值，然后重构端通过求解优化问题重构出原始信号。本发明以压缩感知理论为基础，能够以远低于Nyquist频率的频率对稀疏信号或者可稀疏表示的信号进行压缩采样，突破了经典的Nyquist采样定理对采样频率的限制，同时该方法实施简单，降低了数据采集、存储、传输以及处理的压力。
Description
技术领域
本发明涉及一种以低于奈奎斯特(Nyquist)频率的采样频率进行信号采集方法，能够以远低于Nyquist频率的采样频率对稀疏信号或者可稀疏表示的信号进行压缩采样，并重构出原始信号。
背景技术
Nyquist采样定理是现代通讯与信号处理的基础，该定理指出在进行模拟/数字信号转换过程中，当采样频率大于等于信号最高频率2倍时，采样之后的数字信号完整地保留了原始信号中的信息，一般实际应用中保证采样频率为信号最高频率的5～10倍。
对于宽带信号，由于其本身频率比较高，如果采用Nyquist采样定理直接对信号进行采样，则需要的采样频率就非常高，现有的模数转换器件的最高频率为1GHz，所以很难满足高频率的要求。另外信号经模数转换器之后，一般先要存储，然后再进行数据通信和处理，高速采样就对存储器的存储速度、数字信号处理器的处理速度要求很高，所以宽带信号采用Nyquist采样定理进行采样将给宽带信号的采集、存储、传输以及处理带来巨大的压力。
另外，由于Nyquist采样定理只开发利用了被采集信号的最少的先验信息，即信号的带宽，并没有利用信号本身具有的一些结构特点，如冗余等。
通常所处理的信号，虽然信号本身并不稀疏，但是在某些变换基下可以稀疏表示。压缩感知作为一个新兴理论，就是利用信号的这种稀疏特性以远低于Nyquist频率对信号进行采样。压缩感知理论指出，只要信号可以在某个变换域下稀疏表示，就可以用一个与该变换基矩阵不相关的观测矩阵将高维信号投影到一个低维空间，然后通过求解优化问题来从这些少量的投影中重构出原始高维信号。
发明内容
(一)要解决的技术问题
有鉴于此，本发明的目的是提供一种以低于奈奎斯特频率的采样频率进行信号采集方法，能够以远低于Nyquist频率的采样频率对信号进行采样和重构，突破经典Nyquist采样定理对采样频率的限制，降低给宽带信号的采集、存储、传输以及处理带来的压力。
(二)技术方案
为达到上述目的，本发明提供了一种以低于奈奎斯特频率的采样频率进行信号采集方法，包括：数据发送端确定原始输入信号x的稀疏度k，根据该稀疏度k计算出压缩采样的采样次数M，利用M个信道分别对原始输入信号x以频率fNYQ/M进行采样，其中fNYQ为原始输入信号x的奈奎斯特频率，并对每个信道的采样值进行积分得到M个测量值y，然后将这M个测量值y发送到数据接收端；以及数据接收端对这M个测量值y进行正交匹配追踪算法求解，将接收到的测量值y恢复为原始输入信号x的稀疏表示，再通过反变换得到原始输入信号x。
上述方案中，所述数据发送端确定原始输入信号x的稀疏度k，包括：数据发送端根据原始输入信号x的特征选择变换基矩阵，用该变换基矩阵对原始输入信号x进行稀疏表示，然后求出该原始输入信号x在该变换基矩阵下的稀疏度k。
上述方案中，所述数据发送端根据原始输入信号x的特征选择变换基矩阵的步骤中，对于光滑的原始输入信号，采用傅里叶变换基矩阵；对于单一点状的奇异信号，采用小波变换基矩阵。所述光滑的原始输入信号包括信号是连续变化的正弦信号、余弦信号、指数信号或抽样脉冲；所述单一点状的奇异信号包括信号是非连续变化的冲激信号、矩形脉冲或尖峰信号。
上述方案中，所述数据发送端根据稀疏度k计算出压缩采样的采样次数M的步骤中，压缩采样的采样次数M满足以下两个条件：
a、M≥k·ln(N/k)，其中N为高维的原始输入信号的维数，k为原始输入信号在相关变换基下的稀疏度；
b、N＝A×M，A为大于等于1的整数，即高维的原始输入信号的维数是压缩采样的采样次数M的整数倍。
上述方案中，所述数据发送端对每个信道的采样值进行积分得到M个测量值y的步骤中，积分周期是每个信道采样周期的A倍。
上述方案中，所述数据接收端对M个测量值y进行正交匹配追踪算法求解，将接收到的测量值y恢复为原始输入信号x的稀疏表示，包括：根据数学运算式y＝Φx，由原始输入信号x求解得到的测量值y，其中原始输入信号x是一个N×1的向量，测量值y是一个M×1的向量，观测矩阵Φ是一个M×N的托普利兹矩阵，该矩阵由A＝N/M个M×M的单位矩阵按行的方向合并而成；已知测量值y和观测矩阵Φ，要求解原始输入信号x，由于原始输入信号x是稀疏的，所以能够通过求解最优化l1-范数来得到原始输入信号x，正交匹配追踪算法就是一种通过多次迭代由测量值y和观测矩阵Φ求解得到原始输入信号x的方法。
上述方案中，所述数据接收端通过反变换得到原始输入信号x，包括：根据对原始输入信号x稀疏表示时选择的变换基矩阵，对求解正交匹配追踪算法得到的原始信号稀疏表示进行反变化，若对原始输入信号x稀疏表示时选择的变换基矩阵是傅里叶变换基矩阵，则反变换为离散傅里叶变换，若对原始输入信号x稀疏表示时选择的变换基矩阵是小波变换基矩阵，则反变换为离散小波变换。
(三)有益效果
本发明提供的这种以低于奈奎斯特频率的采样频率进行信号采集方法，以压缩感知理论为基础，充分利用信号在变换域的稀疏特性，能够以远低于Nyquist频率的频率对稀疏信号或者可稀疏表示的信号进行压缩采样，突破了经典的Nyquist采样定理对采样频率的限制，同时该方法只用低速采样和积分两个步骤，实施简单，降低了数据采集、存储、传输以及处理的压力。
附图说明
为了更进一步说明本发明的内容，以下结合附图对本发明做详细描述，其中：
图1是本发明提供的以低于奈奎斯特频率的采样频率进行信号采集的方法流程图；
图2是依照本发明实施例进行信号采集的示意图；
图3是依照本发明实施例进行信号重构的示意图；
图4是依照本发明实施例50Hz、100Hz、150Hz和200Hz的正弦信号及其频域表示，其中左边为原始信号图，右边为傅里叶变换后的稀疏表示图；
图5是依照本发明实施例信号的采样及重构效果图，(a)为原始信号、(b)采样值、(c)重构信号、(d)重构信号与原始信号的误差。
具体实施方式
为使本发明的目的、技术方案和优点更加清楚明白，以下结合具体实施例，并参照附图，对本发明进一步详细说明。
如图1所示，图1是本发明提供的以低于奈奎斯特频率的采样频率进行信号采集的方法流程图，该方法在压缩感知理论基础上，以远低于Nyquist频率的频率高概率的实现信号的采集，包括以下步骤：
数据发送端确定原始输入信号x的稀疏度k，根据该稀疏度k计算出压缩采样的采样次数M，利用M个信道分别对原始输入信号x以频率fNYQ/M进行采样，其中fNYQ为原始输入信号x的奈奎斯特频率，并对每个信道的采样值进行积分得到M个测量值y，然后将这M个测量值y发送到数据接收端；以及
数据接收端对这M个测量值y进行正交匹配追踪算法求解，将接收到的测量值y恢复为原始输入信号x的稀疏表示，再通过反变换得到原始输入信号x。
其中，所述数据发送端确定原始输入信号x的稀疏度k，包括：数据发送端根据原始输入信号x的特征选择变换基矩阵，用该变换基矩阵对原始输入信号x进行稀疏表示，然后求出该原始输入信号x在该变换基矩阵下的稀疏度k。所述数据发送端根据原始输入信号x的特征选择变换基矩阵的步骤中，对于光滑的原始输入信号，采用傅里叶变换基矩阵；对于单一点状的奇异信号，采用小波变换基矩阵。所述光滑的原始输入信号包括正弦信号、余弦信号、指数信号或抽样脉冲等连续变化的信号；所述单一点状的奇异信号包括冲激信号、矩形脉冲或尖峰信号等非连续变化的信号。
所述数据发送端根据稀疏度k计算出压缩采样的采样次数M的步骤中，压缩采样的采样次数M满足以下两个条件：a、M≥k·ln(N/k)，其中N为高维的原始输入信号的维数，k为原始输入信号在相关变换基下的稀疏度；b、N＝A×M，A为大于等于1的整数，即高维的原始输入信号的维数是压缩采样的采样次数M的整数倍。所述数据发送端对每个信道的采样值进行积分得到M个测量值y的步骤中，积分周期是每个信道采样周期的A倍。
所述数据接收端对M个测量值y进行正交匹配追踪算法求解，将接收到的测量值y恢复为原始输入信号x的稀疏表示，是根据数学表达式y＝Φx，由测量值y和观测矩阵Φ通过多次迭代求解原始输入信号x的过程，包括：根据数学运算式y＝Φx，由原始输入信号x求解得到的测量值y，其中原始输入信号x是一个N×1的向量，测量值y是一个M×1的向量，观测矩阵Φ是一个M×N的托普利兹矩阵，该矩阵由A＝N/M个M×M的单位矩阵按行的方向合并而成；已知测量值y和观测矩阵Φ，要求解原始输入信号x，由于原始输入信号x是稀疏的，所以能够通过求解最优化l1-范数来得到原始输入信号x，正交匹配追踪算法就是一种通过多次迭代由测量值y和观测矩阵Φ求解得到原始输入信号x的方法。
所述数据接收端通过反变换得到原始输入信号x，包括：根据对原始输入信号x稀疏表示时选择的变换基矩阵，对求解正交匹配追踪算法得到的原始信号稀疏表示进行反变化，若对原始输入信号x稀疏表示时选择的变换基矩阵是傅里叶变换基矩阵，则反变换为离散傅里叶变换，若对原始输入信号x稀疏表示时选择的变换基矩阵是小波变换基矩阵，则反变换为离散小波变换。
基于图1所示的本发明提供的以低于奈奎斯特频率的采样频率进行信号采集的方法流程图，图2至图5以频率为50Hz、100Hz、150Hz和200Hz的正弦信号(信号长度为N＝256)为例，对本发明进一步详细说明。其中，图2是依照本发明实施例进行信号采集的示意图，图3是依照本发明实施例进行信号重构的示意图，具体分为以下三个步骤：
步骤1：数据发送端对原始输入信号x进行稀疏表示；
由于是正弦信号，所以数据发送端采用傅里叶变换基矩阵对原始输入信号进行稀疏表示，如图4所示，左边为原始输入信号图，右边为信号傅里叶变换后的稀疏表示图，可以发现，该原始输入信号只有8个非零值，其他值都为零，即该信号的稀疏度k＝8；
步骤2：数据发送端对原始输入信号x在fNYQ/M的采样频率下进行采样；
首先确定压缩采样的采样次数M的值，由于M要满足两个条件：(a)M≥k·ln(N/k)，其中N为原始高维信号的维数，k为信号在相关变换基下的稀疏度；(b)N＝A×M，A为大于等于1的整数，所以这里取M＝32，A＝8；接着分32个信道分别对原始输入信号x在fNYQ/32(fNYQ＝400Hz)采样频率下进行采样，每个信道得到的采样值为8个，并对每个信道的8个采样值进行积分，积分周期是每个信道采样周期的A倍，这样就可以得到32个测量值y，直接把这个32个测量值y发送到数据接收端；如图5(a)所示，为原始信号图；如图5(b)所示，为得到的32个采样值。
步骤3：数据接收端重构出原始输入信号x；
数据接收端利用正交匹配追踪算法，将接收到的低维数据(即测量值y)重构为原始高维数据，经过步骤1和2之后得到的测量值y等价于如下数学运算式y＝Φx，由原始输入信号x求解得到的测量值y，其中原始输入信号x是一个N×1的向量，测量值y是一个M×1的向量，观测矩阵Φ是一个M×N的托普利兹矩阵，该矩阵由A＝N/M个M×M的单位矩阵按行的方向合并而成；已知测量值y和观测矩阵Φ，要求解原始输入信号x，由于原始输入信号x是稀疏的，所以能够通过求解最优化l1-范数来得到原始输入信号x，正交匹配追踪算法就是一种通过多次迭代由测量值y和观测矩阵Φ求解得到原始输入信号x的方法。
如图5的(c)所示为重构出的信号，误差为10-14数量级，非常小，图5(d)所示为重构出的信号与原始信号的差值，量级为10-13，可见该方法可以以远低于Nyquist频率的频率实现信号的压缩采样，并能非常好的由极少采样值恢复出原始高维信号。
以上所述的具体实施例，对本发明的目的、技术方案和有益效果进行了进一步详细说明，所应理解的是，以上所述仅为本发明的具体实施例而已，并不用于限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内，所做的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。
Claims (8)
1.一种以低于奈奎斯特频率的采样频率进行信号采集方法，其特征在于，包括：
数据发送端确定原始输入信号x的稀疏度k，根据该稀疏度k计算出压缩采样的采样次数M，利用M个信道分别对原始输入信号x以频率fNYQ/M进行采样，其中fNYQ为原始输入信号x的奈奎斯特频率，并对每个信道的采样值进行积分得到M个测量值y，然后将这M个测量值y发送到数据接收端；以及
数据接收端对这M个测量值y进行正交匹配追踪算法求解，将接收到的测量值y恢复为原始输入信号x的稀疏表示，再通过反变换得到原始输入信号x。
2.根据权利要求1所述的以低于奈奎斯特频率的采样频率进行信号采集方法，其特征在于，所述数据发送端确定原始输入信号x的稀疏度k，包括：
数据发送端根据原始输入信号x的特征选择变换基矩阵，用该变换基矩阵对原始输入信号x进行稀疏表示，然后求出该原始输入信号x在该变换基矩阵下的稀疏度k。
3.根据权利要求2所述的以低于奈奎斯特频率的采样频率进行信号采集方法，其特征在于，所述数据发送端根据原始输入信号x的特征选择变换基矩阵的步骤中，对于光滑的原始输入信号，采用傅里叶变换基矩阵；对于单一点状的奇异信号，采用小波变换基矩阵。
4.根据权利要求3所述的以低于奈奎斯特频率的采样频率进行信号采集方法，其特征在于，所述光滑的原始输入信号包括信号是连续变化的正弦信号、余弦信号、指数信号或抽样脉冲；所述单一点状的奇异信号包括信号是非连续变化的冲激信号、矩形脉冲或尖峰信号。
5.根据权利要求1所述的以低于奈奎斯特频率的采样频率进行信号采集方法，其特征在于，所述数据发送端根据稀疏度k计算出压缩采样的采样次数M的步骤中，压缩采样的采样次数M满足以下两个条件：
a、M≥k·ln(N/k)，其中N为高维的原始输入信号的维数，k为原始输入信号在相关变换基下的稀疏度；
b、N＝A×M，A为大于等于1的整数，即高维的原始输入信号的维数是压缩采样的采样次数M的整数倍。
6.根据权利要求5所述的以低于奈奎斯特频率的采样频率进行信号采集方法，其特征在于，所述数据发送端对每个信道的采样值进行积分得到M个测量值y的步骤中，积分周期是每个信道采样周期的A倍。
7.根据权利要求1所述的以低于奈奎斯特频率的采样频率进行信号采集方法，其特征在于，所述数据接收端对M个测量值y进行正交匹配追踪算法求解，将接收到的测量值y恢复为原始输入信号x的稀疏表示，包括：
根据数学运算式y＝Φx，由原始输入信号x求解得到的测量值y，其中原始输入信号x是一个N×1的向量，测量值y是一个M×1的向量，观测矩阵Φ是一个M×N的托普利兹矩阵，该矩阵由A＝N/M个M×M的单位矩阵按行的方向合并而成；已知测量值y和观测矩阵Φ，要求解原始输入信号x，由于原始输入信号x是稀疏的，所以能够通过求解最优化l1-范数来得到原始输入信号x，正交匹配追踪算法就是一种通过多次迭代由测量值y和观测矩阵Φ求解得到原始输入信号x的方法。
8.根据权利要求7所述的以低于奈奎斯特频率的采样频率进行信号采集方法，其特征在于，所述数据接收端通过反变换得到原始输入信号x，包括：
根据对原始输入信号x稀疏表示时选择的变换基矩阵，对求解正交匹配追踪算法得到的原始信号稀疏表示进行反变化，若对原始输入信号x稀疏表示时选择的变换基矩阵是傅里叶变换基矩阵，则反变换为离散傅里叶变换，若对原始输入信号x稀疏表示时选择的变换基矩阵是小波变换基矩阵，则反变换为离散小波变换。
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