CN103338066B - 一种基于最小距离最大化准则的多路数据流传输方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于最小距离最大化准则的多路数据流传输方法，特征是利用球体填充格理论和递归构造思想分别设计可传输任意数据流数的满秩、秩亏和秩1最小距离预编码矩阵，且对每一特定信道实现，候选预编码矩阵数目与待传数据流数相同。与已有的相关设计方法相比，本发明方法不仅普适性较强，还具有更低的误码率性能，同时还具有简洁的构造流程和较小的工程实现成本，便于在诸如802.11n、TD-HSPA+、TD-LTE及TD-LTE-Advanced等新一代宽带无线和移动通信系统中实时实施。

Description

一种基于最小距离最大化准则的多路数据流传输方法

技术领域

本发明属于多输入多输出(MIMO)宽带无线和移动通信信号处理技术领域，具体涉及MIMO无线通信系统中基于最小距离最大化准则的线性预编码方法，适用于诸如802.11n、TD-HSPA+、TD-LTE及TD-LTE-Advanced等新一代宽带无线和移动通信系统。

背景技术

在许多宽带无线和移动应用中，发送端通常可以利用无差错的反馈链路完全获得特定用户的信道状态信息，特别是针对基于时分双工(TDD)的宽带移动通信系统，情况会变得更为简单，此时发送端可以仅通过信道互易性原理即可有效获得用户的全部信道状态信息。MIMO预编码技术则能够利用完全已知的信道状态信息，有效提升系统的频谱效率和链路可靠性。研究表明，若接收端采用非线性最大似然接收机，基于最小欧氏距离最大化准则的MIMO线性预编码方法将成为改善收发链路传输质量的有效措施。然而，从优化问题模型看，由于基于发送功率约束的最小距离预编码问题通常是非确定性多项式难题(NP-Hard)，即使在低维空间中发展高性能解法也极具技术挑战性，因此，通常难以获得高性能预编码器以便充分利用MIMO空间自由度，实现同时传输多路数据流的任务。当仅存在两路待传数据流时，《国际电气与电子工程师协会-信号处理汇刊》(IEEETransactionsonSignalProcessing,vol.52,no.3,pp.617–627,Mar.2004)所公开的“适合MIMO空分复用系统的最优最小距离预编码方法”(Optimalminimumdistance-basedprecoderforMIMOspatialmultiplexingsystems)一文中首次提出一种基于数值穷尽搜索的预编码方法，可获得适用于二相相移键控(BPSK)和四相相移键控(QPSK)等低阶数字调制方式的复值预编码矩阵。为了提高数据流传输能力，在《国际电气与电子工程师协会-信号处理专题期刊》(IEEEJournalofSelectedTopicsinSignalProcessing,vol.2,no.2,pp.135–146,Apr.2008)所公开的“利用交叉型矩阵结构拓展基于最小欧式距离的MIMO预编码方法”(ExtensionoftheMIMOprecoderbasedontheminimumEuclideandistance:across-formmatrix)一文中，结合使用双流传输最佳预编码方法成对地构造交叉型矩阵结构，从而获得可用于传输偶数维数据流的最小距离预编码器。近年来，在《国际电气与电子工程师协会-信号处理汇刊》(IEEETransactionsonSignalProcessing,vol.59,no.11,pp.5485–5498,Nov.2011)所公开的“一种低最大似然译码复杂度、满分集增益全速率MIMO预编码方法”(AlowML-decodingcomplexity，fulldiversity，full-rateMIMOprecoder)一文中将预编码矩阵限定为实矩阵，由此所提出的预编码方法可一定程度上降低实现复杂度，并仍可利用交叉型矩阵结构同时支持偶数维数据流的并行传输。然而，该方法仍需基于数值穷尽搜索策略计算模型参数，缺乏相应的闭合表达式，因而其计算复杂度受MIMO信道和信号空间维度、数值搜索精度和搜索步长等限制，计算复杂度较高，实时性较差，工程应用价值较低；同时，鉴于交叉型矩阵结构的固有约束，采用该结构的最小距离预编码器也无法支持任意维数据流传输。综上所述，为便于在新一代宽带无线和移动通信系统中有效实施，亟待发展可支持任意维数据流传输且实时性较高的低复杂度最小距离MIMO预编码方法。

发明内容

本发明的目的是提出一种基于最小距离最大化准则的多路数据流传输方法，以改善现有最小距离预编码方法中存在的模型参数计算复杂度高、无法支持任意维数据流传输，难以工程化应用于实际通信系统的问题。

本发明基于最小距离最大化准则的多路数据流传输方法，设发送端利用预编码矩阵传输发送功率为P₀的M路四相相移键控(QPSK)数据流x，多输入多输出(MIMO)平坦衰落信道的等效虚拟信道矩阵在发送端已知；其特征在于依次包含以下步骤：

第一步、利用奇异值分解定义式H＝U∑V^*对等效虚拟信道矩阵H进行奇异值分解，计算获得等效虚拟信道矩阵H的左奇异矩阵U，等效虚拟信道矩阵H的右奇异矩阵V以及等效虚拟信道矩阵H的对角矩阵∑，其中在等效虚拟信道矩阵H的对角矩阵∑中包含由大到小依次排列的信道奇异值σ_i,i＝1,2,...,M，V^*表示对矩阵V进行共轭转置操作；

第二步、根据数据流数M计算获得M维秩m生成矩阵L_M,m,m＝1,2,...,M和M维秩m格拉姆矩阵G_M,m,m＝1,2,...,M，具体操作子步骤为：

第1子步骤、当预编码矩阵的秩m满足秩1约束关系式m＝1时，令M维秩1生成矩阵L_M,1＝[1,2,...,2^M-1]，计算获得M维秩1格拉姆矩阵其中表示对矩阵L_M,1进行转置操作；

第2子步骤、当预编码矩阵的秩m满足秩亏约束关系式1＜m＜M时，若秩亏量K满足关系式M≥2K，则计算获得M维秩M-K格拉姆矩阵否则计算获得M维秩M-K格拉姆矩阵再利用乔里斯基分解定义式对M维秩M-K格拉姆矩阵G_M,M-K进行乔里斯基分解，计算获得M维秩M-K生成矩阵L_M,M-K；

第3子步骤、当预编码矩阵的秩m满足满秩约束关系式m＝M时，令M维秩M生成矩阵 $L_{M,M}=\left(\begin{array}{cc}{L}_{M-1,M-1}& a^T\\ 0& -1\end{array}\right),$ 其中辅助向量a＝[0,0,...,0,1]，0表示全0行向量；计算获得M维秩M格拉姆矩阵

第三步、利用特征值分解定义式对M维秩m格拉姆矩阵G_M,m,m＝1,2,...,M进行特征值分解，计算获得M维秩m格拉姆矩阵G_M,m的旋转矩阵B_m和M维秩m格拉姆矩阵G_M,m的对角矩阵Λ_m，该矩阵对角线包含由大到小依次排列的M维秩m格拉姆矩阵G_M,m的特征值λ_m,i,i＝1,2,...,M；

第四步、依据对角矩阵关系式计算获得M维秩m格拉姆矩阵G_M,m的对偶对角矩阵Ω_m,m＝1,2,...,M，然后依据最大最小距离选择关系式计算获得最大距离索引值n；

第五步、根据最大距离索引值n选择M维秩n格拉姆矩阵G_M,n，并利用对偶对角矩阵归一化关系式对M维秩n格拉姆矩阵G_M,n的对偶对角矩阵Ω_n进行功率归一化，根据预编码矩阵构造关系式F＝VΩ_nB_n计算获得预编码矩阵F，然后利用该预编码矩阵F与发送功率为P₀的M路四相相移键控数据流x相乘，构造出发送信号实现MIMO多路数据流传输。

区别于现有方法，本发明基于最小距离最大化准则的多路数据流传输方法实质上首先利用球体填充格理论构造可传输任意维数据流的满秩最小距离预编码器和秩1最小距离预编码器，然后借助于递归构造思想，组合利用低维满秩最小距离预编码器和秩1最小距离预编码器，再构造出高维秩亏最小距离预编码器，从而实现对任意维数据流的有效传输。值得注意的是，针对任意数据流数M，本发明方法提供了共计M个候选预编码码本，包括一个满秩码本，一个秩1码本和M-2个秩亏码本；然后根据MIMO信道的具体实现特征选择其中一个特定码本构造最佳最小距离预编码器，用于多路数据流传输。由此可见，本发明基于最小距离最大化准则的多路数据流传输方法不仅预编码器构造过程计算复杂度极低，且所需候选预编码码本数目较少。与现有的最小距离预编码方法相比，采用本发明方法不仅具有较强的普适性，还可表现出更为显著的性能复杂度优势，有利于在未来宽带无线和移动通信系统及大规模MIMO天线系统中实施应用。

附图说明

图1为本发明基于最小距离最大化准则的多路数据流传输方法的流程原理框图。

图2为多输入多输出(MIMO)收发链路信号处理过程示意图。

图3为当数据流数M＝4时应用本发明方法与采用交叉型矩阵结构方法以及最大化信噪比方法所获得的误码率对比曲线。

具体实施方式

实施例1：

本实施例以发送端采用QPSK调制方式为例，具体说明采用本发明基于最小距离最大化准则的多路数据流传输方法的操作过程。

本实施例中，设MIMO通信系统在发送端采用QPSK调制方式发送数据流数M＝4路数据流,令数据发送功率P₀＝1。发送端已知等效虚拟信道矩阵H的本次实现为

$H=\left[\begin{array}{cccc}0.1168-0.9194i& -0.1402-1.3011i& -0.7565-0.2256i& -0.1661-0.8189i\\ 0.4451+1.3852i& -0.1262-0.3841i& -0.4180+0.3831i& -0.2368-0.6402i\\ 0.2258+1.0666i& -0.4596-0.1347i& -0.6151+0.3386i& 1.3218-0.4387i\\ -0.8133-0.1984i& 1.4531+0.2385i& -1.0144-1.0804i& -0.2151-0.2769i\end{array}\right]$

图1显示了本发明基于最小距离最大化准则的多路数据流传输方法的流程原理框图。根据本实施例中MIMO通信系统的配置参数，发送端在获得有关等效虚拟信道矩阵、待传数据流数信息作为本发明基于最小距离最大化准则的多路数据流传输方法的输入信息以后，具体操作步骤如下：

第一步，计算信道奇异值步骤A1：利用奇异值分解定义式H＝U∑V^*对等效虚拟信道矩阵H进行奇异值分解，计算获得等效虚拟信道矩阵H的左奇异矩阵U，等效虚拟信道矩阵H的右奇异矩阵V以及等效虚拟信道矩阵H的对角矩阵∑，分别为：

$U=\left[\begin{array}{cccc}0.1217-0.1903i& 0.2769-0.6911i& 0.1166+0.5628i& -0.0619-0.2461i\\ -0.1230-0.4792i& 0.2313+0.1354i& 0.1438-0.4248i& -0.1122-0.6853i\\ -0.0333-0.4592i& 0.1733+0.5057i& 0.2389+0.4389i& -0.3824+0.3262i\\ 0.6872+0.1413i& 0.2680-0.1276i& 0.2508-0.3950i& -0.3980+0.2058i\end{array}\right]$

$V=\left[\begin{array}{cccc}-0.5523& 0.6077& -0.4276& -0.3779\\ 0.5269+0.1527i& 0.4478+0.0319i& -0.3400-0.4209i& 0.3347+0.3044i\\ -0.3991+0.4490i& -0.0758+0.2213i& -0.1786+0.0297i& 0.6634-0.3340i\\ 0.1513-0.1012i& 0.1643+0.5894i& -0.0431+0.6998i& 0.0918+0.3039i\end{array}\right]$

$\mathrm{\Σ}=\left[\begin{array}{cccc}2.9217& 0& 0& 0\\ 0& 2.2117& 0& 0\\ 0& 0& 1.4774& 0\\ 0& 0& 0& 0.6237\end{array}\right]$

其中在等效虚拟信道矩阵H的对角矩阵∑中包含由大到小依次排列的信道奇异值 ${\left\{{\mathrm{\σ}}_i\right\}}_{i=1}^4=\[2.9217,2.2117,1.4774,0.6237\],$ V^*表示对矩阵V进行共轭转置操作；

第二步，计算格拉姆矩阵步骤A2：根据数据流数M＝4计算获得四维秩m生成矩阵L_4,m,m＝1,2,3,4和四维秩m格拉姆矩阵G_4,m,m＝1,2,3,4，具体操作子步骤为：

第1子步骤，计算秩1格拉姆矩阵子步骤B1：当预编码矩阵的秩m满足秩1约束关系式m＝1时，令四维秩1生成矩阵L_4,1＝[1,2,4,8]，计算获得四维秩1格拉姆矩阵 $G_{4,1}=L_{4,1}^T{L}_{4,1},$ 即

$G_{4,1}=L_{4,1}^T{L}_{4,1}=\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 4& 8\\ 2& 4& 8& 16\\ 4& 8& 16& 32\\ 8& 16& 32& 64\end{array}\right]$

其中表示对矩阵L_4,1进行转置操作；

第2子步骤，计算秩亏格拉姆矩阵子步骤B2:当预编码矩阵的秩m满足秩亏约束关系式1＜m＜4时，因秩亏量K＝1,2,满足关系式M≥2K，于是计算获得M维秩M-K格拉姆矩阵 $G_{M,M-K}=\underset{k=1}{\overset{K}{\∪}}{G}_{2,1}\∪G_{M-2K,M-2K},$ 即

$G_{4,3}=\underset{k=1}{\overset{1}{\∪}}{G}_{2,1}\∪G_{2,2}=\left[\begin{array}{cccc}1.0& 0& 0& 2.0\\ 0& 1.0& -0.5& 0\\ 0& -0.5& 1.0& 0\\ 2.0& 0& 0& 4.0\end{array}\right],K=1$

$G_{4,2}=\underset{k=1}{\overset{2}{\∪}}{G}_{2,1}=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 2\\ 0& 1& 2& 0\\ 0& 2& 4& 0\\ 2& 0& 0& 4\end{array}\right],K=2$

再利用乔里斯基分解定义式对M维秩M-K格拉姆矩阵G_M,M-K进行乔里斯基分解，计算获得M维秩M-K生成矩阵L_M,M-K,即

$L_{4,3}=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0.5& 0.5& 0\\ 0& 0.866& -0.866& 0\\ 1.0& 0& 0& 2.0\end{array}\right],K=1$

$L_{4,2}=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 2\\ 0& 1& 2& 0\end{array}\right],K=2$

第3子步骤,计算满秩格拉姆矩阵子步骤B3:当预编码矩阵的秩m满足满秩约束关系式m＝4时，令四维秩4生成矩阵 $L_{4,4}=\left(\begin{array}{cc}{L}_{3,3}& a^T\\ 0& -1\end{array}\right),$ 其中辅助向量a＝[0,0,1]，0表示全0行向量，而

$L_{3,3}=\left[\begin{array}{ccc}-1& 1& 0\\ -1& -1& 1\\ 0& 0& -1\end{array}\right]$

计算获得四维秩4格拉姆矩阵

$G_{4,4}=L_{4,4}^T{L}_{4,4}/2=\left[\begin{array}{cccc}1.0& 0& -0.5& 0\\ 0& 1.0& -0.5& 0\\ -0.5& -0.5& 1.0& -0.5\\ 0& 0& -0.5& 1.0\end{array}\right]$

第三步，计算格拉姆矩阵特征值步骤A3：利用特征值分解定义式对四维秩m格拉姆矩阵G_4,m,m＝1,2,3,4进行特征值分解，计算获得四维秩m格拉姆矩阵G_4,m的旋转矩阵B_m和四维秩m格拉姆矩阵G_4,m的对角矩阵Λ_m分别为

$B_1=\left[\begin{array}{cccc}-0.1085& -0.2169& -0.4339& -0.8677\\ -0.9941& 0.0237& 0.0473& 0.0947\\ 0& 0.9759& -0.0976& -0.1952\\ 0& 0& 0.8944& -0.4472\end{array}\right],{\mathrm{\Λ}}_1=\left[\begin{array}{cccc}85& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right],m=1$

$B_2=\left[\begin{array}{cccc}0& -0.4472& -0.8944& 0\\ -0.4472& 0& 0& -0.8944\\ 0.8944& 0& 0& -0.4472\\ 0& 0.8944& -0.4472& 0\end{array}\right],{\mathrm{\Λ}}_2=\left[\begin{array}{cccc}5& 0& 0& 0\\ 0& 5& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right],m=2$

$B_3=\left[\begin{array}{cccc}-0.4472& 0& 0& -0.8944\\ 0& 0.7071& -0.7071& 0\\ 0& -0.7071& -0.7071& 0\\ 0.8944& 0& 0& -0.4472\end{array}\right],{\mathrm{\Λ}}_3=\left[\begin{array}{cccc}5& 0& 0& 0\\ 0& 1.5& 0& 0\\ 0& 0& 0.5& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right],m=3$

$B_4=\left[\begin{array}{cccc}-0.4082& -0.4082& 0.7071& -0.4082\\ 0.8165& -0.4082& 0& -0.4082\\ 0& -0.7071& -0.0000& 0.7071\\ -0.4082& -0.4082& -0.7071& -0.4082\end{array}\right],{\mathrm{\Λ}}_4=\left[\begin{array}{cccc}1.866& 0& 0& 0\\ 0& 1.0& 0& 0\\ 0& 0& 1.0& 0\\ 0& 0& 0& 0.134\end{array}\right],m=4$

第四步，选择最小距离最大化对偶对角矩阵步骤A4：依据对角矩阵关系式计算获得四维秩m格拉姆矩阵G_4,m的对偶对角矩阵Ω_m,m＝1,2,3,4，其对角线元素分别为

diag(Ω₁)＝[3.1555,0,0,0],diag(Ω₂)＝[0.7653,1.011,0,0]

diag(Ω₃)＝[0.7653,0.5537,0.4786,0],diag(Ω₄)＝[0.4675,0.4521,0.6769,0.5869]

然后依据最大最小距离选择关系式计算获得最大距离索引值n＝3；

第五步，构造最小距离预编码器步骤A5：根据最大距离索引值n＝3选择四维秩3格拉姆矩阵G_4,3，并利用对偶对角矩阵归一化关系式对四维秩3格拉姆矩阵G_4,3的对偶对角矩阵Ω₃进行功率归一化，可得其对角线元素为

diag(Ω₃)＝[0.7227,0.5229,0.4520,0]

根据预编码矩阵构造关系式F＝VΩ₃B₃计算获得预编码矩阵F为

$F={\mathrm{V\Ω}}_3{B}_3=\left[\begin{array}{cccc}0.1785& 0.3614& -0.0880& 0.3570\\ -0.1703-0.0494i& 0.2742+0.1463i& -0.0569+0.1227i& -0.3406-0.0987i\\ 0.1290-0.1451i& 0.0290+0.0723i& 0.0851-0.0913i& 0.2580-0.2902i\\ -0.0489+0.327i& 0.0745-0.0057i& -0.0470-0.4416i& -0.0978+0.0654i\end{array}\right]$

然后利用该预编码矩阵F与发送功率为P₀的M路四相相移键控数据流x相乘，构造出发送信号实现MIMO多路数据流传输。

图2给出了多输入多输出(MIMO)收发链路信号处理过程示意图，用于表征采用预编码器的多天线无线通信系统的简化系统模型以及本发明基于最小距离最大化准则的多路数据流传输方法输出的最佳预编码矩阵的使用方法。在发送端的信源发生步骤C1中，M路四相相移键控(QPSK)数据流x满足单位功率约束,即E[∣x∣²]＝I，其中符号E代表期望算子，I表征为一个M×M单位阵；经过预编码步骤C2时，根据本发明基于最小距离最大化准则的多路数据流传输方法输出的最佳预编码矩阵F，进行发送信号星座图成形，该成形信号Fx馈入物理信道，经过信道传输步骤C3，使发送信号经MIMO等效虚拟信道矩阵H传输，再经过噪声干扰步骤C4，叠加循环对称复高斯噪声z，到达接收端的信号y则可以表达为y＝HFx+z，接收端在最大似然接收步骤C5中利用最大似然接收机最终获得原始数据流的恢复信号。

为了进一步反映利用本发明基于最小距离最大化准则的多路数据流传输方法所能够达到的系统性能，本实施例令发送功率P₀＝1，采用MIMO瑞利平坦衰落信道，且假设发送端精确已知MIMO信道状态信息(CSI)，利用100000次蒙特卡洛(MonteCarlo)仿真实验，验证在随机信道环境中本发明方法的有效性及其误码率(BER)性能。

图3为当数据流数M＝4时应用本发明方法与采用交叉型矩阵结构方法以及最大化信噪比方法所获得的误码率对比曲线。其中，为便于对比分析本发明方法的性能，交叉型矩阵结构方法选自《国际电气与电子工程师协会-信号处理汇刊》(IEEETransactionsonSignalProcessing,vol.59,no.11,pp.5485–5498,Nov.2011)所公开的“一种低最大似然译码复杂度、满分集增益全速率MIMO预编码方法”(AlowML-decodingcomplexity，fulldiversity，full-rateMIMOprecoder)一文，而最大化信噪比方法则选自国际电气与电子工程师协会-信号处理汇刊》2002年刊载文献“适合MIMO信道的最大化信噪比空时模式设计”(Maximum-SNRspatial-temporalformattingdesignsforMIMOchannels.IEEETransactionsonSignalProcessing,vol.50,no.12,pp.3036–3042,Dec.2002)一文。需要指出的是，最大化信噪比方法选择使用256正交幅度调制(256-QAM)产生信号源。从图3中本发明方法BER性能曲线D1，交叉型矩阵结构方法BER性能曲线D2以及最大化信噪比方法BER性能曲线D3的对比可以看出，本发明方法具有较交叉型矩阵结构方法和最大化信噪比方法更优越的误码率性能，特别是在中高信噪比(SNR)区域。该图也反映出，当待传数据流较多时，使用最大化信噪比方法将无法获得令人满意的性能结果，必须采用本发明方法和交叉型矩阵结构方法等BER性能较理想的多流传输方法。然而，交叉型矩阵结构方法由于其构造机理限制，只能适用于数据流数为偶数的多流数据传输场景，而本发明方法则适用于任意数据流数目，且其最小距离预编码矩阵构造过程更为简洁高效，候选码本集合较小，适合在新一代MIMO宽带无线和移动通信系统中实施。

Claims (1)

1.一种基于最小距离最大化准则的多路数据流传输方法，设发送端利用预编码矩阵传输发送功率为P₀的M路四相相移键控数据流x，多输入多输出平坦衰落信道的等效虚拟信道矩阵在发送端已知；其特征在于依次包含以下步骤：

第一步、利用奇异值分解定义式H＝U∑V^*对等效虚拟信道矩阵H进行奇异值分解，计算获得等效虚拟信道矩阵H的左奇异矩阵U，等效虚拟信道矩阵H的右奇异矩阵V以及等效虚拟信道矩阵H的对角矩阵∑，其中在等效虚拟信道矩阵H的对角矩阵∑中包含由大到小依次排列的信道奇异值σ_i,i＝1,2,...,M，V^*表示对矩阵V进行共轭转置操作；

第二步、根据数据流数M计算获得M维秩m生成矩阵L_M,m,m＝1,2,...,M和M维秩m格拉姆矩阵G_M,m,m＝1,2,...,M，具体操作子步骤为：

第1子步骤、当预编码矩阵的秩m满足秩1约束关系式m＝1时，令M维秩1生成矩阵L_M,1＝[1,2,...,2^M-1]，计算获得M维秩1格拉姆矩阵其中表示对矩阵L_M,1进行转置操作；

第2子步骤、当预编码矩阵的秩m满足秩亏约束关系式1＜m＜M时，若秩亏量K满足关系式M≥2K，则计算获得M维秩M-K格拉姆矩阵否则计算获得M维秩M-K格拉姆矩阵再利用乔里斯基分解定义式对M维秩M-K格拉姆矩阵G_M,M-K进行乔里斯基分解，计算获得M维秩M-K生成矩阵L_M,M-K；

第3子步骤、当预编码矩阵的秩m满足满秩约束关系式m＝M时，令M维秩M生成矩阵 $L_{M,M}=\left(\begin{array}{cc}{L}_{M-1,M-1}& a^T\\ 0& -1\end{array}\right),$ 其中辅助向量a＝[0,0,...,0,1]，0表示全0行向量；计算获得M维秩M格拉姆矩阵

第三步、利用特征值分解定义式对M维秩m格拉姆矩阵G_M,m,m＝1,2,...,M进行特征值分解，计算获得M维秩m格拉姆矩阵G_M,m的旋转矩阵B_m和M维秩m格拉姆矩阵G_M,m的对角矩阵Λ_m，该矩阵对角线包含由大到小依次排列的M维秩m格拉姆矩阵G_M,m的特征值λ_m,i,i＝1,2,...,M；

第四步、依据对角矩阵关系式计算获得M维秩m格拉姆矩阵G_M,m的对偶对角矩阵Ω_m,m＝1,2,...,M，然后依据最大最小距离选择关系式计算获得最大距离索引值n；

第五步、根据最大距离索引值n选择M维秩n格拉姆矩阵G_M,n，并利用对偶对角矩阵归一化关系式对M维秩n格拉姆矩阵G_M,n的对偶对角矩阵Ω_n进行功率归一化，根据预编码矩阵构造关系式F＝VΩ_nB_n计算获得预编码矩阵F，然后利用该预编码矩阵F与发送功率为P₀的M路四相相移键控数据流x相乘，构造出发送信号实现MIMO多路数据流传输。