CN103292734B - 相位测量系统中伽玛值标定方法 - Google Patents

Abstract

本发明属于精密三维测量领域，具体是一种相位测量系统伽玛值标定方法。本发明在理想的伽玛畸变模型的基础上，建立了考虑投影仪离焦现象的伽玛非线性响应模型，并在此基础上提出了一种新的易于实施的伽玛标定方法，步骤为①分别将相移数为L、γ′分别取1和大于1的正整数的两组光栅图像投射到被测目标上，并分别用工业相机拍摄得到两组光栅图像；②对于每一组光栅图像，计算k次谐波的幅值再分别计算得到和③分别计算相机图像中每个像素的γ和σ；④对相机图像中每个像素的γ取平均值，作为相位测量系统标定出的γ值。本发明能够有效消除系统伽玛非线性引起的相位误差。

Description

相位测量系统中伽玛值标定方法

技术领域

本发明属于精密三维测量领域，具体是关于相位测量系统(PMP系统)中伽玛值标定方法。

背景技术

相位测量轮廓术(PMP)因其成本低、柔性高和硬件简单等特点被广泛应用于3D形貌测量。在实际的PMP系统中，传感器噪声和投影仪-相机系统的伽玛非线性响应是影响其测量精度的主要因素。与传感器噪声引起的随机误差相比，伽玛非线性响应会使理想的正弦光栅图像产生畸变，从而导致周期性的相位误差。在普通的PMP系统中，这种由伽玛非线性响应引起的周期性误差可以通过增加相移数来抑制，但是在快速PMP系统中，要求相移次数应尽可能的少，通常采用三步相移法，此时由伽玛非线性响应引起的相位误差将严重影响系统的测量精度。

为减少三步相移法中由伽玛非线性响应引起的相位误差，国内外相关研究单位已提出多种算法，如：双三步相移算法，预先标定投影系统非线性，直接修正投影仪的非线性变形等。上述几种方法可以在一定程度上提高测量精度，但仍不能完全消除相位误差。

2004年，Guo等[Guo，H.，He H.，Chen M.Gamma correction for digitalfringe projection profilometry.Applied optics，2004.43(14)：2906-2914.]提出了一种通过对光栅图像进行静态分析得到系统伽玛值的方法对相位误差进行消除，该方法可以减小相位误差，但是由于投影仪的实际伽玛值非常复杂，并不是一个单一的值，而该方法只能使用单一的伽玛值对相位误差进行补偿，且要求投影仪的gamma值是固定不变的，因此存在一定的局限性。

2007年，Song Zhang等[Zhang，S.，Yau S.，Generic nonsinusoidal phaseerror correction for three-dimensional shape measurement using a digital videoprojector.Applied optics，2007.46(1)：36-43.]提出了一种通用的相位误差补偿算法，该算法无需标定出系统的gamma值，也不要求伽玛值固定不变，通过直接分析拍摄标准平板得到的光栅图像，得到相位误差查找表，测量过程中使用上述误差查找表对相位误差进行补偿，该算法具有通用性强、简单、精确等优点。

2007年，Baker等[Baker，M.，Xi J.，Chicharo J.Neural network digitalfringe calibration technique for structured light profilometers.Appliedoptics，2007.46(8)：1233-1243.]尝试使用神经网络训练来消除光栅图像的非正弦性，该方法仅需拍摄一幅光栅图像，并通过对光栅图像的某一行进行训练，得到非正弦化的光栅图像和理想光栅图像间的映射关系，从而消除光栅图像非正弦化带来的相位误差。2008年，Baker等[Baker，M.，Xi J.，ChicharoJ..Elimination of Gamma Non-linear Luminance Effects for Digital VideoProjection Phase Measuring Profilometers.2008.496-501]又提出通过改变系统硬件来抑制拍摄的光栅图像高次谐波的方法，此方法简单直接。

2008年，Chen等[Chen，X.，Xi J.，Jin Y.Phase error compensation methodusing smoothing spline approximation for a three-dimensional shapemeasurement system based on gray-code and phase-shift light projection.Optical Engineering，2008.47：113601.]提出了一种使用光滑样条曲线逼近(smoothing spline approximation，SSA)的方法对光栅图像非正弦性引起的相位误差进行补偿，实验结果显示，该方法可以使测量得到的三维数据的水波纹减小65％。2009年，Pan等[Pan，B.，Qian K.，Lei H.et al.Phase erroranalysis and compensation for nonsinusoidal waveforms in phase-shifting digitalfringe projection profilometry.Optics Letters，2009.34(4)：416-418.]在对光栅图像的相位误差进行理论分析的基础上，提出了一种基于迭代思想的相位误差补偿算法，该算法也取得了较好的效果，但是由于迭代需要花费较长的时间，该方法的效率较低。

尽管这些方法可以将相位误差减少到一定的程度，但是通常数字光学投影仪为了获得较大的亮度而采用较大的光圈，导致投影仪的景深较小，因此，在PMP系统中，只有一小部分测量空间处于投影仪的最佳聚焦区域，大部分的测量空间处于不同程度的离焦状态。虽然投影仪离焦现象可以抑制高频谐波，减少相位误差，但是由于不同区域的离焦程度不同导致相位误差在整个测量空间中的分布不稳定。现有的相位误差补偿和γ校正方法均没有考虑投影仪离焦的影响，因此目前尚缺乏完善的系统非线性响应模型和响应的伽玛标定方法。

发明内容

本发明的目的在于考虑投影仪离焦对系统非线性响应模型的影响，提出一种易于实施的、高精度的伽玛值标定方法。

本发明提供的一种相位测量系统中伽玛值标定方法，包括下述步骤：

(1)分别将相移数为L两组光栅图像投射到被测目标上，γ′表示自定义的预先编码到投影光栅图像中伽玛值，第一组图像的γ′₁＝1，第二组图像的γ′₂取值为大于1的正整数，并分别用工业相机拍摄得到两组光栅图像；

(2)对于每一组光栅图像，计算k次谐波的幅值再分别计算得到和式中，表示k次谐波的幅值，k＝1，2，L为相移数；

(3)利用第一组光栅图像计算得到的幅值建立公式I，利用第二组光栅图像计算得到的幅值建立公式II，再利用公式I和公式II，计算得到相机图像每个像素的γ和σ；

$\frac{{\tilde{B}}_2}{{\tilde{B}}_1}=\frac{T\left(2f_0\right)}{T\left(f_0\right)}\frac{B_2}{B_1}=\exp (-6{\mathrm{\π}}^2{\mathrm{\σ}}^2{f_0}^2)\frac{\mathrm{\γ}-1}{\mathrm{\γ}+2}.$ 公式I

$\frac{{{\tilde{B}}_2}^{\′}}{{{\tilde{B}}_1}^{\′}}=\frac{T\left(2f_0\right)}{T\left(f_0\right)}\frac{{B_2}^{\′}}{{B_1}^{\′}}=\exp (-6{\mathrm{\π}}^2{\mathrm{\σ}}^2{f_0}^2)\frac{\mathrm{\γ}/{\mathrm{\γ}}_2^{\′}-1}{\mathrm{\γ}/{\mathrm{\γ}}_2^{\′}+2}.$ 公式II

式中，σ是分布的标准差，f₀为光栅图像的基础频率，γ为相机图像中每个像素的伽马值；

(4)对相机图像中的每个像素的γ取平均值，得到并将平均值作为相位测量系统标定出的γ值。

作为上述技术方案的改进，步骤(2)中，利用公式III计算k次谐波的幅值

${\tilde{B}}_k=\frac{1}{L}{\left\{\right[\underset{l=1}{\overset{L}{\mathrm{\Σ}}}{I}_l^C\sin \left(k\frac{2\mathrm{\πl}}{L}\right){\text{]}}^2+{\left[\underset{l=1}{\overset{L}{\mathrm{\Σ}}}{I}_l^C\cos \left(k\frac{2\mathrm{\πl}}{L}\right)\right]}^2\}}^{1/2},$ 公式III

式中，L为相移数，l＝1，2，..L的整数，l表示相移的序号，为实际拍摄的第l幅光栅图像中每一个像素的灰度值。

为快速PMP系统建立完善的系统非线性响应模型，并提出一种易于实施的、高精度的伽玛标定方法。在实际的PMP系统中，投影仪-相机系统的伽玛非线性响应会使理想的正弦光栅图像产生畸变，从而导致周期性的相位误差，是影响PMP系统测量精度的主要因素。本发明在理想的伽玛畸变模型的基础上，建立了考虑投影仪离焦现象的伽玛非线性响应模型，并在此基础上提出了一种新的易于实施的伽玛标定方法，能够有效消除系统伽玛非线性引起的相位误差。

附图说明

图1是光栅图像采集过程示意图；

图2是光栅图像灰度分布非正弦化过程示意图。

具体实施方式

在典型的快速相位测量系统中，拍摄光栅图像的过程为(如图1)：

1)计算机生成理想的光强呈正弦分布的光栅图像I_n(x，y)，并通过VGA信号传送给投影仪；

2)投影仪投射出经过gamma变形的光栅图像到被测物体；

3)被测物体表面将投射到物体表面的光栅图像和环境光a₁(x，y)反射到空间中；

4)CCD相机拍摄被测物体表面反射的光线，得到最终的光栅图像并存储在计算机中。

上述过程中第二步中的gamma变形会引起光栅图像灰度的非线性变换(如图2)，从而引起严重的相位误差，进而影响相位测量系统的测量精度。本发明在理想的伽玛畸变模型的基础上，通过理论推导，建立了考虑投影仪离焦现象的伽玛非线性响应模型，并在此基础上提出了一种新的伽玛标定方法。

下面结合附图对本发明的具体实施方式作进一步说明。在此需要说明的是，对于这些实施方式的说明用于帮助理解本发明，但并不构成对本发明的限定。此外，下面所描述的本发明各个实施方式中所涉及到的技术特征只要彼此之间未构成冲突就可以相互组合。

第一步考虑投影仪离焦现象的伽玛非线性响应模型

在为PMP系统建立系统非线性响应模型时，本发明在理想的伽玛畸变模型的基础上，通过理论推导，逐步深入不断完善伽玛畸变模型。其具体步骤为：

首先分析不考虑投影仪离焦现象时的伽玛畸变模型，即理想的伽玛畸变模型。

通常，快速PMP中使用的正弦光栅图像可以表示为：

$I_n^P(x,y)=A^P(x,y)+B^P(x,y)\cos (2\mathrm{\πfx}+{\mathrm{\δ}}_n),---\left(1\right)$

其中(x，y)是图像的像素坐标，A^P(x，y)和B^P(x，y)为常数，在本实例中，A^P(x，y)和B^P(x，y)均为0.5。f为光栅图像的频率。代表当前光栅图像的相位移。其中，N为标准相移模式下光栅图像的总数，n＝1，2…N。

如果不考虑系统伽玛非线性的影响，相机拍摄的图像可以表示为：

$I_n^C(x,y)=A^C(x,y)+B^C(x,y)\cos (\mathrm{\φ}(x,y)+{\mathrm{\δ}}_n),---\left(2\right)$

其中，A^C(x，y)为一组光栅图像的平均值，B^C(x，y)为调制光的光强，是待求的相位值，它可以通过最小二乘法来求解：

$\mathrm{\φ}(x,y)=-\arctan (\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{I}_n^C(x,y)\sin \left({\mathrm{\δ}}_n\right)/\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{I}_n^C(x,y)\cos \left({\mathrm{\δ}}_n\right)),---\left(3\right)$

由φ(x，y)＝2πfx可知，φ(x，y)与x相关。为了方便论述，下文中将省略(x，y)。

如果PMP系统存在伽玛非线性响应，则不能用方程(2)-(3)式来计算A^C，B^C和φ。因为，投影仪的伽玛非线性响应会在实际投影出的光栅图像中引入高次谐波。实际投影出的光栅图像在数学上可表示为：

$I_n^P={[A^P+B^P\cos (\mathrm{\φ}+{\mathrm{\δ}}_n)]}^{\mathrm{\γ}},---\left(4\right)$

其中γ是投影仪的伽马值，为归一化的光栅图像。将方程(4)利用二次多项式 ${(1+x)}^t={\mathrm{\Σ}}_{m=0}^t\left[\left(\begin{array}{c}t\\ m\end{array}\right)x^m\right]$ 来进行展开，其中，m为二次多项式中x的次数，取值为0到t的整数。A^P，B^P均取0.5，则实际投影的光栅图像可表示为：

$I_n^P=A+\underset{k=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{B}_k\cos \left[k(\mathrm{\φ}+{\mathrm{\δ}}_n)\right],---\left(5\right)$

其中，可将B_k视为k次谐波项的幅值。求解得到：

$A=0.5B_0,B_k={0.5}^{\mathrm{\γ}-1}\underset{m=0}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}\left(b_{k,m}\right)---\left(6\right)$

其中：

$b_{k,m}={0.5}^{2m+k}\left(\begin{array}{c}\mathrm{\γ}\\ 2m+k\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}2m+k\\ m\end{array}\right).---\left(7\right)$

根据推导，B_k+1/B_k的比值可表示为：

$\frac{B_{k+1}}{B_k}=\frac{\mathrm{\γ}-k}{\mathrm{\γ}+k+1},---\left(8\right)$

其中B_k≠0。

式(5)为理想的伽马模型，本发明在理想模型的基础上考虑了投影仪离焦现象提出了全新的伽玛畸变模型。

通过分析理想状态下的gamma变形后的光栅图像灰度分布可知上述模型忽略了投影仪离焦现象带来的影响。在实际的PMP系统中，投影仪为了保证投影亮度而采用较大的光圈。因此，在PMP系统中，从投影仪的某一个像素发射的光线经镜头后不能理想的聚焦到一点，而是形成一个弥散圆。一般模糊的图像不仅是由该像素所形成的弥散圆而产生的，它同样会受到相邻像素所产生的弥散圆叠加的影响。这种现象可以用投影仪的点扩散函数来表示。

虽然点扩散函数与镜头系统相关，但是通常可以采用二维高斯函数来表示：

$G(x,y)=\frac{1}{2\mathrm{\π}{\mathrm{\σ}}^2}\exp (-\frac{x^2+y^2}{2{\mathrm{\σ}}^2}),---\left(9\right)$

其中σ是分布的标准差，它决定了图像的模糊程度。

在大多数PMP系统中，由于投影仪亮度较高，通常要调小相机的光圈，使它更接近于小孔成像模型。相比投影仪所产生的离焦，相机产生的离焦可以忽略。因此，实际拍摄的离焦图像可表示为：

$I_n^C={\mathrm{\αI}}_n^P*G(x,y),---\left(10\right)$

其中，α∈[0，1]是被测物体的反射率。这种卷积相当于低通滤波器，可以抑制高次谐波，从而减少相位计算误差。为了证明公式10的空间频率衰减的特性，可采用投影仪的光学传递函数来进行分析，光学传递函数是由点扩散函数经傅立叶变换得来的。实际系统中，条纹是垂直或水平的，因此可以把问题归结为一维问题。光学传递函数可以表示为：

$T\left(f\right)={\∫}_{-\∞}^{\∞}G\left(x\right)\exp \left(i2\mathrm{\πfx}\right)\mathrm{dx}=\exp (-2{\mathrm{\π}}^2{\mathrm{\σ}}^2{f}^2)---\left(11\right)$

从上式可以看出，尽管σ倒置了，高斯滤波器经傅立叶变换后仍然是一个高斯函数。对于表面的灰度呈正弦变化的物体，其图像灰度等于物体灰度乘以光学传递函数。因此，实际拍摄的光栅图像可以表示为：

$I_n^C={\mathrm{\αI}}_n^{P}T\left(f\right)=\tilde{A}+\underset{k=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{\tilde{B}}_k\cos \left[k(\mathrm{\φ}+{\mathrm{\δ}}_n)\right]---\left(12\right)$

其中和分别为直流分量和k次谐波的幅值，α∈[0，1]是被测物体的反射率，A为常数，本发明中取为0.5。k为正整数，f₀为光栅图像的基础频率，T(kf₀)为频率为kf₀部分的光学传递函数，B_k为k次谐波项的幅值。公式(12)为考虑投影仪离焦现象的伽玛畸变模型，即所需建立的系统非线性响应模型。

第二步基于上述模型提出伽玛标定方法进行伽马标定

在考虑投影仪离焦现象时的伽玛畸变模型下，本发明提出了一种新的伽玛标定方法。下面对该方法的理论和具体步骤进行详述。

在实际的PMP图像中，很少发现高于三次谐波的高频谐波误差。因此，本文中的方程(12)所包含的最高频谐波为三次(以下的推导也适用于更高次谐波和其它的相移算法)。

由 ${\tilde{B}}_k=\mathrm{\αT}\left({\mathrm{kf}}_0\right)B_k$ 可知：

$p=\frac{{\tilde{B}}_2}{{\tilde{B}}_1}=\frac{T\left(2f_0\right)}{T\left(f_0\right)}\frac{B_2}{B_1}\∈\left(\mathrm{0,1}\right),---\left(13\right)$

p代表二次谐波的幅值和基波幅值的比值。

从公式(11)可以推得：

$\frac{T\left(2f_0\right)}{T\left(f_0\right)}=\exp (-6{\mathrm{\π}}^2{\mathrm{\σ}}^2{f_0}^2).---\left(14\right)$

通过方程(8)、(13)和(14)，可以得到：

$\frac{{\tilde{B}}_2}{{\tilde{B}}_1}=\frac{T\left(2f_0\right)}{T\left(f_0\right)}\frac{B_2}{B_1}=\exp (-6{\mathrm{\π}}^2{\mathrm{\σ}}^2{f_0}^2)\frac{\mathrm{\γ}-1}{\mathrm{\γ}+2}.---\left(15\right)$

由方程(15)可知其中有三个未知参数：二次谐波与一次谐波(基波)幅值的比值离焦程度σ和γ值。因此，只要确定出和σ，便可计算出γ值。其中σ可以通过多种途径来估算，但是，这些方法均比较复杂，本发明将σ当作一个未知参数，然后增加系统的约束来计算系统的γ值。

根据离散傅里叶级数(DFS)可知，和可表示为：

${\tilde{B}}_k=\frac{1}{L}{\left\{\right[\underset{l=1}{\overset{L}{\mathrm{\Σ}}}{I}_l^C\sin \left(k\frac{2\mathrm{\πl}}{L}\right){\text{]}}^2+{\left[\underset{l=1}{\overset{L}{\mathrm{\Σ}}}{I}_l^C\cos \left(k\frac{2\mathrm{\πl}}{L}\right)\right]}^2\}}^{1/2},---\left(16\right)$

其中，k＝1，2，L为相移数。高次谐波对一次谐波(基波)的影响取决于相移数L，L值越大，高次谐波所引起的相位误差越小。因此，利用较大的相移数，通过方程(16)，可以估算出

从公式(15)和(16)可知，将任意不等于1的正整数(如：γ′＝2，γ′表示自定义的预先编码到投影的光栅图像中伽玛值)预先编码到投影的光栅图像中，则可表示为：

$\frac{{{\tilde{B}}_2}^{\′}}{{{\tilde{B}}_1}^{\′}}=\frac{T\left(2f_0\right)}{T\left(f_0\right)}\frac{{B_2}^{\′}}{{B_1}^{\′}}=\exp (-6{\mathrm{\π}}^2{\mathrm{\σ}}^2{f_0}^2)\frac{\mathrm{\γ}/{\mathrm{\γ}}^{\′}-1}{\mathrm{\γ}/{\mathrm{\γ}}^{\′}+2}.---\left(17\right)$

这样，联立方程(15)和(17)便可计算整幅图像中每一个像素的γ和σ。在实际计算中每个像素的γ值都会有微小的不同，因此计算出整幅图像中每个像素的γ后，再取平均值作为最终标定出的γ值。标定完成后，便可将γ值预先编码在计算机生成的光栅图像中，从而消除测量时的伽玛非线性误差。

具体操作步骤为：

(1)将一个白色平板作为被测目标，分别将两组γ′＝1和γ′＝2的相移数L＝16的光栅图像(共32幅)投射到白色平板上，并分别用工业相机拍摄得到两组光栅图像。被测目标并不局限于白色平板，只要是非黒色物体即可。

(2)根据公式(16)分别计算得到和

(3)根据公式(15)和(17)，计算出相机图像中每个像素的γ和σ。

(4)对相机图像中的每个像素的γ取平均值，得到并将平均值作为最终标定出的伽马值。

然后将最终标定出的伽马值预先编码在计算机生成的光栅图像中，即测量时，使用预先编码后的光栅图像即可有效消除gamma非线性引起的相位误差，从而提高相位测量的精度。

以上所述为本发明的较佳实施例而已，但本发明不应该局限于该实施例和附图所公开的内容。所以凡是不脱离本发明所公开的精神下完成的等效或修改，都落入本发明保护的范围。

Claims (2)

1.一种相位测量系统中伽玛值标定方法，包括下述步骤：

（1）分别将相移数为L两组光栅图像投射到被测目标上，γ'表示自定义的预先编码到投影光栅图像中伽玛值，第一组图像的γ′₁＝1，第二组图像的γ'₂取值为大于1的正整数，并分别用工业相机拍摄得到两组光栅图像；

（2）对于每一组光栅图像，计算k次谐波的幅值再分别计算得到和式中，表示k次谐波的幅值，k=1,2，L为相移数，

（3）利用第一组光栅图像计算得到的幅值建立公式I，利用第二组光栅图像计算得到的幅值建立公式II，再利用公式I和公式II，计算得到相机图像每个像素的γ和σ；

$\frac{{\tilde{B}}_2}{{\tilde{B}}_1}=\frac{T\left(2f_0\right)}{T\left(f_0\right)}\frac{B_2}{B_1}=\exp (-6{\mathrm{\π}}^2{\mathrm{\σ}}^2{f_0}^2)\frac{\mathrm{\γ}-1}{\mathrm{\γ}+2}.$         公式I

$\frac{{{\tilde{B}}_2}^{\′}}{{{\tilde{B}}_1}^{\′}}=\frac{T\left(2f_0\right)}{T\left(f_0\right)}\frac{{B_2}^{\′}}{{B_1}^{\′}}=\exp (-6{\mathrm{\π}}^2{\mathrm{\σ}}^2{f_0}^2)\frac{\mathrm{\γ}/{\mathrm{\γ}}_2^{\′}-1}{\mathrm{\γ}/{\mathrm{\γ}}_2^{\′}+2}.$          公式II

式中，σ是分布的标准差，f₀为光栅图像的基础频率，γ为所求的伽马值B₁B′₁；B′₂；

（4）对相机图像中的每个像素的γ取平均值，得到并将平均值作为相位测量系统标定出的γ值。

2.根据权利要求1所述的相位测量系统中伽玛值标定方法，其特征在于，步骤（2）中，利用公式III计算k次谐波的幅值

${\tilde{B}}_k=\frac{1}{L}\{\[\underset{l=1}{\overset{L}{\Σ}}{I}_l^{C}sin\left(k\frac{2\mathrm{\π}l}{L}\right){\]}^2+{\[\underset{l=1}{\overset{L}{\Σ}}{I}_l^{C}cos\left(k\frac{2\mathrm{\π}l}{L}\right){\]}^2\}}^{1/2},$          公式III

式中，L为相移数，l=1,2,..L的整数，l表示相移的序号，为实际拍摄的第l幅光栅图像中每一个像素的灰度值。