CN103246757A - 一种压缩弹簧的优化设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种压缩弹簧的优化设计方法，首先确定压缩弹簧的设计变量、质量的目标函数、刚度和强度部分的约束条件，然后按如下步骤进行优化设计：（1）试验设计优化阶段；（2）优化值传递步骤；（3）梯度法优化阶段。本发明提供的压缩弹簧的优化设计方法，首先运用试验设计进行初步寻优，并将试验设计所得的初步优化解作为后续梯度法的初始值进一步深入优化，然后利用梯度法的高寻优速度最终取得全局优化解，在提高压缩弹簧优化效率的同时能够避免陷入局部解、提升优化精度。此方法优化速度快、精度高，在满足压缩弹簧的强度、刚度等约束条件的前提下进一步减小了质量，在实际使用中取得了良好的效果。

Description

一种压缩弹簧的优化设计方法

技术领域

本发明涉及一种基于试验设计（Design of Experiments，简称DOE）和梯度法（Gradient Optimization，简称GO）的压缩弹簧优化设计方法，属于机械设计与自动化领域。

背景技术

压缩弹簧广泛使用在一些机械中，如内燃机、压缩机等，因而弹簧性能的好坏直接影响到机器的工作性态（能源的充分利用、速度的提高以及大批生产的经济性）。压缩弹簧的优化设计目标是在满足其刚度、强度约束条件的同时尽量减小弹簧整体质量。弹簧的传统设计方法通常是根据最大工作载荷、所允许的变形和结构方面的要求等来确定弹簧丝的直径、弹簧中径、工作圈数等，这种方法需要进行多次反复运算，才能获得满足设计要求的可行方案，还不是最优方案。

发明内容

发明目的：为了克服现有技术中存在的不足，本发明提供一种基于试验设计和梯度法的压缩弹簧优化设计方法，该方法运用试验设计进行初步寻优，并将试验设计所得的初步优化解作为后续梯度法的初始值进一步深入优化，利用梯度法的高寻优速度最终取得全局优化解，提高压缩弹簧的优化效率，并且能够避免陷入局部解、提升优化精度。

技术方案：为实现上述目的，本发明采用的技术方案为：

一种压缩弹簧的优化设计方法，首先确定压缩弹簧的设计变量、质量的目标函数、刚度和强度部分的约束条件，然后按如下步骤进行优化设计：

（1）试验设计优化阶段：运用试验设计在可行域中对压缩弹簧的设计变量进行初步寻优，获得一组初步优化解；

（2）优化值传递步骤：从步骤（1）中获得的一组初步优化解中，选出令目标函数值最优的一个初步优化解，作为梯度法中各变量的初始值；

（3）梯度法优化阶段：基于步骤（2）获得的初始值，首先采用梯度法对目标函数进行优化，并反复在初始值周围的局部区域寻找新的初始值进行迭代，并对改进后的目标函数继续进行优化，最后得到令目标函数最优的全局最优解。

上述步骤（2）为本方法的一个关键步骤，其将试验设计和梯度法联系在一起，一方面解决了试验设计的精度受试验点数制约的问题，另一方面能够避免设计者由于初始值的选定所导致的梯度法陷入局部解的问题，在效率和精度方面都使得压缩弹簧的优化设计得到了改善。

试验设计和梯度法均存在多种可选择算法，下面以拉丁超立方设计（试验设计）和序列二次规划法（梯度法）的组合从原理上对本发明的可行性进行验证。

优化问题模型

miny＝f(x)

s.t.c_i(x)=0  i∈E＝{1，2，…，m_e}        （1）

c_i(x)≥0  i∈I＝{m_e+1，…，m}

试验设计优化阶段--拉丁超立方设计

用已知的累积分布函数

描述每一个输入变量x_i(i＝1，2，…，n)，并将第i个输入变量x_i的累积分布函数

的范围分为N个非搭接的区间S_ij(j=1，2，…，N)，每个区间由概率P_ij表征：

P_ij=P(x_i∈S_ij)        （2）

并且：

$\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{P}_{\mathrm{ij}}=1$ (i＝1，2，…，n)     （3）

在等概率区间的情况下P_ij=1/N。

在拉丁超立方抽样过程中，区间S_ij由代表性参数代表，而代表性参数采用随机选取的方法选取：首先在(0，1)区间内生成N个随机数U_j(j=1,2,…,N)，运用下式将随机数U_j变换为第j个区间中的随机数Q_j：

$Q_j=[U_j+(j-1)]/N=\frac{U_j}{N}+\frac{j-1}{N}$ j=1,2,…,N        （4）

显然有式（5）成立：

(j-1)/N<Q_j<j/N     （5）

其中，(j-1)/N和j/N是第j个区间的下界和上界，因此每个区间上仅生成一个随机数Q_j，求得随机数Q_j后即可求得相应的随机变量取值如下：

$X_{\mathrm{ji}}=F_{\mathrm{ji}}^{-1}\left(Q_j\right)$ i＝1，2，…，n   （6）

其中，

表示第i个输入变量的逆累积分布函数。

从试验设计优化阶段所有计算得到的y值中找到令y→min时的输入变量x_i的取值，并将它作为梯度法优化阶段的各设计变量的初始值x_k(k=1，2，…，n)。

梯度法优化阶段--序列二次规划法

x_k是序列二次规划法中各输入变量的初始值，我们可以获得二次规划的子问题：

$\min \&dtri;f{\left(x_k\right)}^{T}d+\frac{1}{2}{d}^T{H}_{k}d$

$s.t.c_i\left(x_k\right)+\&dtri;c_i{\left(x_k\right)}^{T}d=0$ i∈E    （7）

$c_i\left(x_k\right)+\&dtri;c_i{\left(x_k\right)}^{T}d\&GreaterEqual;0$ i∈I

①Hessian矩阵H_k在NLPQL中利用DFGS变尺度算法进行更新：

p^k=a^kd $q={\&dtri;}^{T}f\left(x^{k+1}\right)-{\&dtri;}^{T}f\left(x^k\right)$

②搜索方向S^(k)用式（9）求解：

$S^{\left(k\right)}=-H^k\&dtri;f\left(x\right)---\left(9\right)$

③步长α^(k)沿S^(k)进行精确的一维搜索，如式（10）：

$f(x^{\left(k\right)}+{\mathrm{\&alpha;}}^{\left(k\right)}{S}^{\left(k\right)})=\underset{\mathrm{\&alpha;}\&GreaterEqual;o}{\min }f(x^{\left(k\right)}+\mathrm{\&alpha;}{S}^{\left(k\right)})---\left(10\right)$

由此可以计算得到下一个迭代点为X_k+1=X_k+α^(k)S^(k)，经过若干次迭代之后令y→min，此时x_k即为全局最优解。

作为一种具体的压缩弹簧应用类型，所述压缩弹簧的设计变量、质量的目标函数和约束条件如下：

$\left\{\begin{array}{c}X={\left[\begin{array}{ccc}d& n& D_2\end{array}\right]}^T={\left[\begin{array}{ccc}{x}_1& x_2& x_3\end{array}\right]}^T\\ \min f\left(X\right)=M\\ g_i\left(X\right)\&GreaterEqual;0,i=\mathrm{1,2,3},...,n\\ X_{\min }\&le;X\&le;X_{\max }\end{array}\right.$

其中，压缩弹簧的设计变量为X=[d n D₂]^T=[x₁ x₂ x₃]^T，d为压缩弹簧的钢丝直径，n为压缩弹簧的工作圈数，D₂为压缩弹簧的中径；压缩弹簧的质量的目标函数为minf(X)；压缩弹簧的刚度和强度部分的约束条件g_i(X)≥0i＝1,2,3,…,n和X_min≤X≤X_max，X_min为设计变量的下限，X_max为设计变量的上限。

有益效果：本发明提供的压缩弹簧的优化设计方法，首先利用试验设计在可行域中进行均匀的初步寻优，然后从所有的试验点中选出令目标函数综合最优的一个初步优化解，并将这个初步优化解作为梯度法的初始值进行进一步深入优化，最终获得令压缩弹簧质量最小的全局优化解。此方法优化速度快、精度高，在满足大量约束条件的同时减小了压缩弹簧的质量，在实际使用中取得了良好的效果。

附图说明

图1为圆柱螺旋压缩弹簧简图；

图2为本发明的流程图；

图3为f(X)的Pareto图；

图4为梯度法优化阶段可行性验证图。

具体实施方式

下面结合附图和实例对本发明作更进一步的说明。

建立压缩弹簧的优化模型

本发明以如图1所示的内燃机气门弹簧为例，弹簧材料为65Mn，最大工作载荷P_max=40N，最小工作载荷为0，载荷变化频率f_r=25H_z，弹簧寿命为104h,压缩弹簧的钢丝直径d的取值范围为1~4mm，压缩弹簧的中径D₂的取值范围为10~30mm，压缩弹簧的工作圈数n不应小于4.5圈，弹簧旋绕比C不小于4，弹簧一端固定，一端自由，工作温度为50℃，弹簧变形量不小于10mm。

本发明的优化目标是使弹簧质量最小，圆柱螺旋弹簧的质量表达式为：

$M=\mathrm{\&gamma;}(n+n_2)\mathrm{\&pi;}{D}_2\frac{\mathrm{\&pi;}}{4}{d}^2---\left(1\right)$

式中：γ为弹簧密度，对于65Mn钢γ=7.8×10^-6kg/mm³；n₂为死圈数，此处取n₂=2。

根据上述参数可以建立压缩弹簧的优化数学模型为：

①确定设计变量：

根据弹簧性能和结构上的要求，取d、n及D₂为设计变量，即：

X=[d n D₂]^T=[x₁ x₂ x₃]^T    （2）

②确定目标函数：

$\min f\left(X\right)=M=1.925\&times;{10}^{-5}(x_2+2)x_1^2{x}_3---\left(3\right)$

③确定约束条件：

[1]强度约束： $g_1=350-163x_1^{-2.86}{x}_3^{0.86}\&GreaterEqual;0---\left(4\right)$

[2]刚度约束： $g_2=x_1^{-4}{x}_2{x}_3^3-2.5\&times;{10}^3\&GreaterEqual;0---\left(5\right)$

[3]稳定性约束： $g_3=3.7x_3-(x_2+1.5)x_1-4.4\&times;{10}^{-3}{x}_1^{-4}{x}_2{x}_3^3\&GreaterEqual;0---\left(6\right)$

[4]不发生共振约束：g₄=3.56×10⁵x₁x₂ ^-1x₃ ^-2-375≥0    （7）

[5]弹簧旋绕比约束：g₅=x₃x₁ ^-1-4.0≥0          （8）

1.0≤d≤4.0

[6]对d、n、D₂的取值约束：4.5≤n≤50    （9）

10≤D₂≤30

由上可知，圆柱螺旋压缩弹簧的优化设计是一个三维非线性不等式约束优化问题，共有5个非线性不等式约束和6个线性不等式约束。

压缩弹簧优化设计

（1）试验设计优化阶段

利用Isight软件平台建立优化模型，开始试验设计（DOE）分析。

①制定试验计划：选择试验阶段的300个样本点、确定试验设计方法；

表1试验设计阶段均匀选取的样本点

试验点序号	x1	x2	x3	试验点序号	x1	x2	x3
								1	1	21.54	11.538	51	3.508	35.09	19.431
2	1.01	13.63	24.916	52	3.518	29.61	17.893
								3	1.02	11.04	19.565	53	3.528	8.3	15.485
4	1.03	38.13	24.515	54	3.538	29.3	25.05
								5	1.04	47.41	13.88	55	3.548	5.87	14.013
6	1.05	47.57	10.669	56	3.559	37.37	26.589
								7	1.06	14.85	10.268	57	3.569	49.7	17.759
8	1.07	8.61	29.799	58	3.579	9.67	29.064
								9	1.08	12.11	18.829	59	3.589	26.26	23.579
10	1.09	20.78	23.645	60	3.599	30.67	16.221
								11	1.1	9.22	16.355	61	3.609	39.96	15.686
12	1.11	43.15	15.017	62	3.619	7.54	18.227
								13	1.12	29.15	13.746	63	3.629	27.33	19.231
14	1.13	6.02	25.117	64	3.639	44.52	19.365
								15	1.14	18.35	27.993	65	3.649	25.65	14.615
16	1.151	30.37	12.609	66	3.659	16.98	22.174
								17	1.161	17.74	11.806	67	3.669	40.87	15.619
18	1.171	30.52	26.054	68	3.679	20.33	13.679
								19	1.181	4.8	20.301	69	3.689	43	20.836
20	1.191	5.26	26.388	70	3.699	27.17	11.94
								21	1.201	40.57	23.779	71	3.709	49.85	21.572
22	1.211	23.22	27.86	72	3.719	19.72	18.294
								23	1.221	24.43	18.629	73	3.729	8.91	20.033
24	1.231	28.24	14.214	74	3.739	45.43	19.967
								25	1.241	15	16.689	75	3.749	28.7	28.729
26	1.251	36.46	17.023	76	3.759	11.65	10.87

27	1.261	45.89	19.097	77	3.769	13.17	13.478
								28	1.271	13.33	29.331	78	3.779	31.59	11.003
29	1.281	11.96	14.816	79	3.789	35.39	22.375
								30	1.291	12.72	28.863	80	3.799	37.67	11.271
31	1.301	6.17	26.99	81	3.809	39.2	29.732
								32	1.311	49.09	20.435	82	3.819	24.28	20.167
33	1.321	30.22	17.358	83	3.829	39.8	29.666
								34	1.331	11.2	25.719	84	3.839	4.96	12.676
35	1.341	26.11	22.91	85	3.849	13.78	18.361
								36	1.351	27.02	13.278	86	3.86	10.59	15.418
37	1.361	45.59	25.518	87	3.87	38.43	18.896
								38	1.371	18.96	17.291	88	3.88	15.3	24.849
39	1.381	16.67	14.415	89	3.89	9.98	22.107
								40	1.391	38.89	21.171	90	3.9	10.43	19.632
41	1.401	40.11	13.545	91	3.91	17.59	26.455
								42	1.411	12.26	16.957	92	3.92	48.78	11.739
43	1.421	16.22	23.11	93	3.93	26.72	12.341
								44	1.431	23.07	28.796	94	3.94	36.91	27.592
45	1.441	12.87	11.07	95	3.95	26.87	10.736
								46	1.452	31.28	11.204	96	3.96	35.54	25.184
47	1.462	34.93	10.201	97	3.97	36	23.846
								48	1.472	11.5	27.191	98	3.98	39.65	25.385
49	1.482	44.83	23.311	99	3.99	11.35	24.582
								50	1.492	14.7	28.997	100	4	36.61	14.883

注：篇幅限制，仅列出其中的100个试验点。

②执行试验：按已制定好的试验计划进行试验操作，获得一组初步优化解；

③结果分析：对获得的初步优化解进行分析，获得如图3所示的Pareto图，Pareto图能够反映各个设计变量对目标函数的贡献程度，很明显能够看出在压缩弹簧的质量优化过程中x₁、x₂以及两者的差值x₁-x₂的影响占主导因素。

（2）优化值传递步骤

根据Pareto图从步骤（1）中获得的一组初步优化解中，选出令目标函数最优的一个初步优化解，作为梯度法的初始值，这样可以避免因初始值选择不当造成的梯度法陷入局部解的问题，为设计者减轻负担；梯度法的的初始值如表2所示。

表2梯度法的初始值

x1	x2	x3	f	g1	g2	g3	g4	g5
									1.01	6.93	13.411	0.002351723	-1127.219647	13563.16894	-29.57154335	1604.373142	9.278217822

（3）梯度法优化阶段

①如表2所示，梯度法的的初始值为：

X=[1.01 6.93 13.411]^T；

②基于该初始值，采用梯度法对目标函数f(X)进行优化，并反复在初始值周围的局部区域寻找新的初始值进行迭代，并对改进后的目标函数继续进行优化，每次优化后得到一个可行优化解，将可行优化解按图4（1为最差，9为最优）进行可行性验证（DesignFeasibility），获得如表3所示的梯度法优化阶段的可行优化解；

③根据可行程度进行排列，并选取令目标函数最优的一个优化解作为全局优化解：

X=[x₁ x₂ x₃]=[1.6899 7.5994 13.9151]

由此，得到了令压缩弹簧质量的全局最优解，如表4所示。

表3梯度优化阶段可行优化解

注：仅罗列可行性>7的可行解，且按优化程度从低到高排列。

表4压缩弹簧全局优化解

应用结果比较

表5为本案的优化结果与现有的利用二次规划法（NLPQL）进行优化的结果之间的对比。

表5优化结果比较

注：由于对比需要表中优化结果未圆整

由上表可见，本案所用的优化设计方法在保证强度和刚度等性能依然优秀的前提下，质量优化程度达到了41.47%，较大程度的减少了材料的损耗。根据实际，当设计变量分别取d=1.7、n=7.5、D₂=14时弹簧质量最小。

本发明在均匀的试验设计基础上，进一步利用试验设计所得的初步优化解作为梯度法各设计变量的初始点进行深度优化，并最终取得全局优化解。用此方法不仅能避免陷入局部优化解，而且优化速度快，精度高，适合工程的实际应用，

以上所述仅是本发明的优选实施方式，应当指出：对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以做出若干改进和润饰，这些改进和润饰也应视为本发明的保护范围。

Claims (2)

1.一种压缩弹簧的优化设计方法，其特征在于：首先确定压缩弹簧的设计变量、质量的目标函数、刚度和强度部分的约束条件，然后按如下步骤进行优化设计： 

（1）试验设计优化阶段：运用试验设计在可行域中对压缩弹簧的设计变量进行初步寻优，获得一组初步优化解； 

（2）优化值传递步骤：从步骤（1）中获得的一组初步优化解中，选出令目标函数最优的一个初步优化解，作为梯度法的初始值； 

（3）梯度法优化阶段：基于步骤（2）获得的初始值，首先采用梯度法对目标函数进行优化，并反复在初始值周围的局部区域寻找新的初始值进行迭代，并对改进后的目标函数继续进行优化，最后得到令目标函数最优的全局最优解。 

2.根据权利要求1所述的压缩弹簧的优化设计方法，其特征在于：所述压缩弹簧的设计变量、质量的目标函数和约束条件如下： 

其中，压缩弹簧的设计变量为X=[d n D₂]^T=[x₁ x₂ x₃]^T，d为压缩弹簧的钢丝直径，n为压缩弹簧的工作圈数，D₂为压缩弹簧的中径；压缩弹簧的质量的目标函数为minf(X)；压缩弹簧的刚度和强度部分的约束条件g_i(X)≥0i＝1,2,3,…,n和X_min≤X≤X_max，X_min为设计变量的下限，X_max为设计变量的上限。 

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