CN103206668A - 用于投射式led汽车近光灯的自由曲面透镜 - Google Patents

Abstract

本发明提供了用于投射式LED汽车近光灯的自由曲面透镜，该自由曲面透镜由两个面构成，其中第一面为圆形平面，第二面为自由曲面，由折射定律得出自由曲面上点的法向量，利用这个法向量得切平面，通过确定切平面与下一点的经过透镜第一面折射后入射到自由曲面上的光线的交点得到自由曲面上点的坐标，由前一点的切平面与下一点的法向量所在的直线相交得到下一点，通过迭代得到自由曲面在坐标平面上的曲线各点的坐标，将得到的点坐标拟合成曲线后，绕Z轴旋转360°即得到最终的透镜自由曲面。本发明通过透镜的自由曲面来控制光线的走向及分配，使其照明区域符合国家标准对汽车近光灯的光分布与照度要求。

Description

用于投射式LED汽车近光灯的自由曲面透镜

技术领域

本发明属于LED照明技术领域，具体涉及一种投射式LED汽车近光灯的自由曲面透镜。

背景技术

传统的前照灯光源有白炽灯、卤素灯及高强度气体放电灯（HID），白炽灯和卤素灯使用寿命短，HID虽然使用寿命较长，但是能耗极大。而LED光源具有寿命长、体积小、节能环保、响应时间短、设计自由度大等传统光源无法比拟的优点，因此成为汽车前照灯的第四代光源。

前照灯是汽车在夜间行驶时照明前方道路的灯具，它的配光设计是影响汽车照明质量和效果的关键因素。在汽车前照灯的设计上，国家标准GB25991-2010对汽车前照灯的配光图形做了规定，目的是防止汽车前照灯干扰对面驶来车辆而造成交通事故。对近光灯来说，要求在车灯前25m远的照明面上产生一水平线和水平线右侧向上15°的明暗截止线。近光照明面可分为四个区域：ZONEⅠ（Ⅰ区）为具有较大扩散、均匀度良好的基底配光，满足整个路面范围内的最低照明需求；ZONEⅡ、Ⅲ、Ⅳ为具有光能量较为集中、射程较远的中心配光，满足本车道和右边路面（以车辆右行标准为例）较远处的照明需求。在Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ和Ⅳ区内，应无影响良好可见度的横向照度变化。

早期的LED投射式系统都是采用多个LED光源，每个LED光源都有独立的光学系统，这种光学系统占用体积大，不利于散热，能量损失严重，而且配光镜一般采用消球差的非球面透镜，无法将光线均匀发散，使边缘区域光能分配较少。

发明内容

本发明是针对传统LED汽车近光灯以非球面透镜作为配光镜时，光线分布及其走向控制不够合理的弊端，提出一种可以合理分配光线及光能的用于投射式LED汽车近光灯的自由曲面透镜，提高了光能利用率，增大了视野范围，并符合汽车近光灯的配光要求。

本发明通过如下技术方案实现：

投射式LED汽车近光灯自由曲面透镜，由透明材料制成，透明材料为PMMA。自由曲面透镜包括两个面，第一面为平面（入射面），第二面为自由曲面（出射面）。该自由曲面的形状由如下方法确定：

用于投射式LED汽车近光灯的自由曲面透镜，其特征在于该自由曲面透镜由透明材料制成，自由曲面透镜由两个面构成，即入射面和出射面，其中入射面为圆形平面，出射面为自由曲面。

进一步的，所述自由曲面的形状确定如下：

以投射式LED汽车近光灯的椭球反射器的第二焦点为坐标原点建立直角坐标系，以过原点并平行于自由曲面透镜入射面的平面为XOY平面，以所述自由曲面透镜厚度方向（即垂直于入射面）所在直线为Z轴，在XOY平面选取一条过原点的直线为X轴，由于该自由曲面透镜是以Z轴为旋转轴对称的，所以为了描述的简洁性，以下的计算选择在XOZ平面内进行；

目标照明面与所述坐标原点距离为H，且目标照明面根据汽车用LED前照灯的国家标准（GB25991-2010）分为Ⅰ区、Ⅱ区、Ⅲ区和Ⅳ区，每个区域都有对应的照度要求值，Ⅲ区为眩光区，其最大照度不能超过0.7lx，将椭球反射器的第二焦点发出的光线按照角度θ₁、θ₂、θ₃分为3个部分分别投射到照明面上的除Ⅲ区以外的其他3个区域；

根据国家标准的要求给定整个照明面的光分布为P₀，光源的中心光强为I₀，从椭球反射器第二焦点发出的光与Z轴方向夹角为θ₁的那部分光线入射到透镜后照射在离照明面中心距离为r₁的位置，与Z轴线夹角小于θ₁的那部分光线经透镜后照射在照明面的位置与照明面中心距离小于r₁，将第一部分光线对应的角度θ₁等分成i份，每一个θ₁在半径r₁上也相应的分成i份,这样相应的得到了数组θ₁(i)和数组r₁(i)，那么第一区域出射光和照明面上的照度的能量守恒表达式为：

$2\mathrm{\π}{\∫}_0^{{\mathrm{\θ}}_1\left(i\right)}{I}_0\cos \mathrm{\θ}\sin \mathrm{\θ}\·\mathrm{d\θ}=2\mathrm{\π}{\∫}_0^{r_1\left(i\right)}{P}_0\·r\·\mathrm{dr}---\left(1\right);$

同理，从椭球反射器第二焦点发出的光与Z轴方向夹角为θ₁～θ₂之间的那部分光线入射到透镜后照射在离照明面中心距离为r₁～r₂的位置，将这部分光线等分成j份，对应每一个角度在半径上也分成j份，这样相应的得到了数组θ₂(j)和数组r₂(j)，则该区域出射光和照明面上的照度的能量守恒表达式为：

$2\mathrm{\π}{\∫}_{{\mathrm{\θ}}_1}^{{\mathrm{\θ}}_2}{I}_0\cos \mathrm{\θ}\sin \mathrm{\θ}\·\mathrm{d\θ}=2\mathrm{\π}{\∫}_{r_1}^{r_2\left(j\right)}{P}_0\·r\·\mathrm{dr}---\left(2\right);$

同理，从椭球反射器第二焦点发出的光与Z轴方向夹角为θ₂～θ₃之间的那部分光线入射到透镜后照射在离照明面中心距离为r₂～r₃的位置，将这部分光线等分成ｋ份，对应每一个角度在半径上也分成ｋ份，这样就得到了数组θ₃(k)和数组r₃(k)，可得该区域出射光和照明面上的照度的能量守恒表达式为

$2\mathrm{\π}{\∫}_{{\mathrm{\θ}}_2}^{{\mathrm{\θ}}_3\left(k\right)}{I}_0\cos \mathrm{\θ}\sin \mathrm{\θ}\·\mathrm{d\θ}=2\mathrm{\π}{\∫}_{r_2}^{r_3\left(k\right)}{P}_0\·r\·\mathrm{dr}---\left(3\right);$

通过上述三个表达式，分别得到各区域半径与出射光角度之间的关系式如下：

$r_1\left(i\right)=\sqrt{\frac{I_0}{P_0}\·{\sin }^2{\mathrm{\θ}}_1\left(i\right)}---\left(4\right)$

$r_2\left(j\right)=\sqrt{\frac{I_0}{P_0}\·({\sin }^2{\mathrm{\θ}}_2\left(j\right)-{\sin }^2{\mathrm{\θ}}_1)+{r_1}^2}---\left(5\right)$

$r_3\left(k\right)=\sqrt{\frac{I_0}{P_0}\·({\sin }^2{\mathrm{\θ}}_3\left(k\right)-{\sin }^2{\mathrm{\θ}}_2)+{r_2}^2}---\left(6\right);$

由折射定律得出所述自由曲面上点的法向量，利用这个法向量得到切平面，通过确定切平面与下一点的经过透镜第一面折射后入射到自由曲面上的光线的交点得到自由曲面上点的坐标，由前一点的切平面与下一点的法向量所在的直线相交得到下一点，通过迭代得到自由曲面在坐标平面上的曲线各点的坐标，将得到的点坐标拟合成曲线后，绕Z轴旋转360°即得到最终的透镜自由曲面。

设置自由曲面透镜入射面与椭球反射器第二焦点的距离f=10mm，则自由曲面透镜入射面根据折射定律有：

$\frac{\sin \mathrm{\θ}}{{\sin \mathrm{\θ}}^{\′}}=\frac{n^{\′}}{n}---\left(7\right)$

光线从空气入射到自由曲面介质中，空气的折射率为n=1，而自由曲面透镜使用材料PMMA制成，折射率n′=1.4935；θ为入射光线的角度（即从椭球反射器第二焦点发出的光与Z轴方向夹角），θ′为折射光线的角度（即经过自由曲面透镜入射面后折射的光与Z轴方向夹角），入射光线与自由曲面透镜入射面的交点坐标值为(f·tan(θ),f),且折射光线的斜率值为cot(θ′)，利用点斜式即可得到折射光线的方程；

光线在经过自由曲面透镜的出射面时又发生折射，折射定律的矢量形式表示为

${[1+n^2-2n(\stackrel{\→}{\mathrm{Out}}\·\stackrel{\→}{\mathrm{In}})]}^{1/2}\·\stackrel{\→}{N}=\stackrel{\→}{\mathrm{Out}}-n\·\stackrel{\→}{\mathrm{In}}---\left(8\right),$

其中：n为自由曲面介质折射率，

为入射光线单位向量，为出射光线单位向量，

为自由曲面在光线入射点的单位法向量；

在确定自由曲面形状时，首先确定一个初始点，该初始点一般设置在Z轴上，数值大小为自由曲面透镜的厚度h与透镜入射面与椭球反射器第二焦点的距离f的和，即初始点的坐标为（0，h+f）。设入射光线与自由曲面透镜入射面的交点A坐标为（x′,f），光线经过入射面折射后照射到自由曲面上的点B坐标为(x,z)，光线经过透镜折射后投射到照明面上的点C坐标为(r,H)，其中H=25m,r根据能量守恒定律由式（4）、（5）、（6）决定；于是能得到入射光线

与出射光线

的单位向量，再利用折射定律（式8）即得到B点的法向向量，从而确定该点的切平面，该切平面与下一点的经过入射面折射后入射到自由曲面上的光线相交从而确定自由曲面的下一点；由前一点的切平面与下一点的法向量所在的直线相交得到下一点，通过机迭代即得到各点的坐标；将得到的点坐标拟合成曲线后，绕Z轴旋转360°即得到最终的透镜自由曲面。

本发明具有如下有益效果：本发明提供了一种投射式LED汽车近光灯的透镜，通过透镜的自由曲面来控制光线的走向及分配，使其照明区域符合国家标准对汽车近光灯的光分布与照度要求。本发明可以合理分配光线及光能的用于投射式LED汽车近光灯的自由曲面透镜，提高了光能利用率，增大了视野范围。

附图说明

图1为实施方式中从椭球第二焦点出来的光线投射到照明面时的光线划分区域图。

图2为实施方式中透镜的坐标轮廓图。

图3为实施方式中透镜的正视图。

图4为实施方式中透镜的侧视图。

图5为实施方式中透镜的三维立体图。

图6为实施方式中投射式近光灯系统的正视图。

图7为实施方式中投射式近光灯系统的侧视图。

具体实施方式

以下结合附图和实例对本发明的实施作进一步说明，但本发明的实施不限于此。

(1)确定初始条件并对目标照明区域进行划分，结果如图1所示。

图6、图7分别为投射式LED近光灯系统的正视图和侧视图，投射式LED近光灯系统包括LED光源201，椭球反射器202，挡板203和自由曲面透镜204。根据椭球反射器的光学特性，将LED光源以与光轴垂直的方式放置在椭球反射器的第一焦点；将挡板放置在椭球反射器的第二焦点，且与自由曲面透镜的焦点重合。由于光源发出的光线经反射后会在椭球反射器的第二焦点处会聚，因而可以将从第二焦点出射的光线看作是一点光源出射。以投射式LED汽车近光灯的椭球反射器的第二焦点为坐标原点建立直角坐标系，以所述自由曲面透镜厚度方向（垂直于第一面）所在直线为Z轴，以与所述圆形平面平行的直线为X轴。

首先目标照明面与该近光系统的距离为25m，根据GB25991-2010，目标照明区域分为4个区（Ⅰ区、Ⅱ区、Ⅲ区、Ⅳ区），Ⅲ区为眩光区，其照度值不超过0.7lx，将经椭球反射器反射后出射的光线分为3个部分分别投射到目标照明区域的除Ⅲ区以外的其他3个区域。根据照明区域的照度分布，将照明区域的长度分成3部分，由于近光要求其区域长度达到3960mm，因而我们将最大的半径设置为r₃=4m,第一部分半径设为r₁=500mm,第二部分半径设置为r₂=2250mm；由于LED的光场分布近似为朗伯体分布，故经反射器反射后的光线能够被利用的角度并不是90°，又根据前照灯近光灯的尺寸不宜过大，因而我们选择利用光线角度大约为65°。将这65度的光线分为3个部分，θ₁,θ₂,θ₃将0～θ₁，θ₁～θ₂，θ₂～θ₃的光线平均分成100份，这样就形成了θ₁(100),θ₂(100),θ₃(100)的数组；然后将所有光线分别投射到照明区域的对应位置。

（2）根据能量守恒定律建立经过椭球反射器后的能量与投射到照明面的能量的关系等式

设光源的总能量为100lm，则给定光分布为P₀=3.9789lx，光源的中心光强为I₀=31.8310cd，考虑方向为θ₁的光入射到的照明面的位置为r₁，与轴线夹角小于θ₁的光入射的位置坐标也小于r₁，将第一部分光线θ₁等分成i份，对应每一个θ₁在半径r₁上也分成i份,这样就得到了数组θ₁(i)和r₁(i)，那么第一区域出射光和照明面上的照度的能量守恒表达式为：

$2\mathrm{\π}{\∫}_0^{{\mathrm{\θ}}_1\left(i\right)}{I}_0\cos \mathrm{\θ}\sin \mathrm{\θ}\·\mathrm{d\θ}=2\mathrm{\π}{\∫}_0^{r_1\left(i\right)}{P}_0\·r\·\mathrm{dr}---\left(9\right)$

角度为θ₁～θ₂之间的光线入射到照明面的位置为r₁～r₂,将这部分光线等分成j份，对应每一个角度在半径上也分成j份，这样就得到了数组θ₂(j)和r₂(j)，则该区域出射光和照明面上的照度的能量守恒表达式为：

$2\mathrm{\π}{\∫}_{{\mathrm{\θ}}_1}^{{\mathrm{\θ}}_2}{I}_0\cos \mathrm{\θ}\sin \mathrm{\θ}\·\mathrm{d\θ}=2\mathrm{\π}{\∫}_{r_1}^{r_2\left(j\right)}{P}_0\·r\·\mathrm{dr}---\left(10\right)$

同理，角度为θ₂～θ₃之间的光线入射到照明面的位置为r₂～r₃,将这部分光线等分成ｋ份，对应每一个角度在半径上也分成ｋ份，这样就得到了数组θ₃(k)和r₃(k)，可得该区域出射光和照明面上的照度的能量守恒表达式为

$2\mathrm{\π}{\∫}_{{\mathrm{\θ}}_2}^{{\mathrm{\θ}}_3\left(k\right)}{I}_0\cos \mathrm{\θ}\sin \mathrm{\θ}\·\mathrm{d\θ}=2\mathrm{\π}{\∫}_{r_2}^{r_3\left(k\right)}{P}_0\·r\·\mathrm{dr}---\left(11\right)$

通过这三个表达式，可以分别得到各区域半径与出射光角度之间的关系式如下：

$r_1\left(i\right)=\sqrt{\frac{I_0}{P_0}\·{\sin }^2{\mathrm{\θ}}_1\left(i\right)}---\left(12\right)$

$r_2\left(j\right)=\sqrt{\frac{I_0}{P_0}\·({\sin }^2{\mathrm{\θ}}_2\left(j\right)-{\sin }^2{\mathrm{\θ}}_1)+{r_1}^2}---\left(13\right)$

$r_3\left(k\right)=\sqrt{\frac{I_0}{P_0}\·({\sin }^2{\mathrm{\θ}}_3\left(k\right)-{\sin }^2{\mathrm{\θ}}_2)+{r_2}^2}---\left(14\right)$

将r₁=500mm,r₂=2250mm带入上述3个式子中，分别得到r₁序列，r₂序列，r₃序列。

(3)由折射定律求出所述曲面上点的法向量，利用这个法向量求得切平面，通过求切平面与下一点的经过第一面折射后入射到自由曲面上的光线的交点得到曲线上点的坐标。

设置自由曲面透镜入射面与椭球反射器第二焦点的距离f=10mm，则自由曲面透镜入射面根据折射定律有：

$\frac{\sin \mathrm{\θ}}{{\sin \mathrm{\θ}}^{\′}}=\frac{n^{\′}}{n}---\left(15\right)$

光线从空气入射到自由曲面介质中，空气的折射率为n=1，而自由曲面透镜使用材料PMMA制成，折射率n′=1.4935。设入射光线与自由曲面透镜入射面的交点A坐标为（x′,f），光线经过入射面折射后照射到自由曲面上的点B坐标为(x,z)，光线经过透镜折射后投射到照明面上的点C坐标为(r,H)，A点坐标值可求得为(f·tan(θ),f),且折射光线AB的斜率值为cot(θ′)，利用点斜式即可得到AB的直线方程。

光线在经过自由曲面透镜第二面时发生折射，折射定律的矢量形式可表示为

${[1+n^2-2n(\stackrel{\→}{\mathrm{Out}}\·\stackrel{\→}{\mathrm{In}})]}^{1/2}\·\stackrel{\→}{N}=\stackrel{\→}{\mathrm{Out}}-n\·\stackrel{\→}{\mathrm{In}}---\left(16\right)$

其中：n为自由曲面介质折射率，

为入射光线单位向量，为出射光线单位向量，

为自由曲面在光线入射点的单位法向量。

在计算自由曲面面型时，首先确定一个计算的初始点（0.0215，0.01），设光线经过第一面折射后入射到自由曲面上的点B坐标为(x,z),光线经过透镜折射后投射到屏幕上的点C坐标为(r,H)，其中H=25m,r根据能量守恒定律由式（12）、（13）、（14）决定。于是，入射光线与出射光线

的单位向量均可求得，再利用折射定律（式16）即可得到B点的法向向量，从而确定该点的切平面，该切平面与下一点的经过第一面折射后入射到自由曲面上的光线相交从而确定自由曲面的下一点。由前一点的切平面与下一点的法向量所在的直线相交得到下一点，通过计算机迭代即可得到各点的坐标。从而确定了自由曲面上的每个点的坐标。

(4)利用机械建模软件将得到的点拟合成曲面

如图2，将得到的点坐标拟合成曲线后，绕Z轴旋转360°即得到最终的透镜自由曲面。图3～5分别为自由曲面透镜正视图、侧视图、立体图，自由曲面透镜包括入射面101，自由曲面102。

通过采用上述技术方案后，能合理地控制光线分布及走向，使光型视野范围更广，亮点区域显著，照明效果好。

Claims (3)

1.用于投射式LED汽车近光灯的自由曲面透镜，其特征在于该自由曲面透镜由透明材料制成，自由曲面透镜由两个面构成，即入射面和出射面，其中入射面为圆形平面，出射面为自由曲面。

2.根据权利要求1所述的用于投射式LED汽车近光灯的自由曲面透镜，其特征在于，所述自由曲面的形状确定如下：

以投射式LED汽车近光灯的椭球反射器的第二焦点为坐标原点建立直角坐标系，以过原点并平行于自由曲面透镜入射面的平面为XOY平面，以所述自由曲面透镜厚度方向所在直线为Z轴，在XOY平面选取一条过原点的直线为X轴，由于该自由曲面透镜是以Z轴为旋转轴对称的，所以为了描述的简洁性，以下的计算选择在XOZ平面内进行；

目标照明面与所述坐标原点距离为H，且目标照明面根据汽车用LED前照灯的国家标准GB25991-2010分为Ⅰ区、Ⅱ区、Ⅲ区和Ⅳ区，每个区域都有对应的照度要求值，Ⅲ区为眩光区，其最大照度不能超过0.7lx，将椭球反射器的第二焦点发出的光线按照角度θ₁、θ₂、θ₃分为3个部分分别投射到照明面上的除Ⅲ区以外的其他3个区域；

根据所述国家标准的要求给定整个照明面的光分布为P₀，光源的中心光强为I₀，从椭球反射器第二焦点发出的光与Z轴方向夹角为θ₁的那部分光线入射到透镜后照射在离照明面中心距离为r₁的位置，与Z轴线夹角小于θ₁的那部分光线经透镜后照射在照明面的位置与照明面中心距离小于r₁，将第一部分光线对应的角度θ₁等分成i份，每一个θ₁在半径r₁上也相应的分成i份,这样相应的得到了数组θ₁(i)和数组r₁(i)，那么第一区域出射光和照明面上的照度的能量守恒表达式为：

$2\mathrm{\π}{\∫}_0^{{\mathrm{\θ}}_1\left(i\right)}{I}_0\cos \mathrm{\θ}\sin \mathrm{\θ}\·\mathrm{d\θ}=2\mathrm{\π}{\∫}_0^{r_1\left(i\right)}{P}_0\·r\·\mathrm{dr}---\left(1\right);$

同理，从椭球反射器第二焦点发出的光与Z轴方向夹角为θ₁～θ₂之间的那部分光线入射到透镜后照射在离照明面中心距离为r₁～r₂的位置，将这部分光线等分成j份，对应每一个角度在半径上也分成j份，这样相应的得到了数组θ₂(j)和数组r₂(j)，则该区域出射光和照明面上的照度的能量守恒表达式为：

$2\mathrm{\π}{\∫}_{{\mathrm{\θ}}_1}^{{\mathrm{\θ}}_2}{I}_0\cos \mathrm{\θ}\sin \mathrm{\θ}\·\mathrm{d\θ}=2\mathrm{\π}{\∫}_{r_1}^{r_2\left(j\right)}{P}_0\·r\·\mathrm{dr}---\left(2\right);$

同理，从椭球反射器第二焦点发出的光与Z轴方向夹角为θ₂～θ₃之间的那部分光线入射到透镜后照射在离照明面中心距离为r₂～r₃的位置，将这部分光线等分成ｋ份，对应每一个角度在半径上也分成ｋ份，这样就得到了数组θ₃(k)和数组r₃(k)，可得该区域出射光和照明面上的照度的能量守恒表达式为

$2\mathrm{\π}{\∫}_{{\mathrm{\θ}}_2}^{{\mathrm{\θ}}_3\left(k\right)}{I}_0\cos \mathrm{\θ}\sin \mathrm{\θ}\·\mathrm{d\θ}=2\mathrm{\π}{\∫}_{r_2}^{r_3\left(k\right)}{P}_0\·r\·\mathrm{dr}---\left(3\right);$

通过上述三个表达式，分别得到各区域半径与出射光角度之间的关系式如下：

$r_1\left(i\right)=\sqrt{\frac{I_0}{P_0}\·{\sin }^2{\mathrm{\θ}}_1\left(i\right)}---\left(4\right)$

$r_2\left(j\right)=\sqrt{\frac{I_0}{P_0}\·({\sin }^2{\mathrm{\θ}}_2\left(j\right)-{\sin }^2{\mathrm{\θ}}_1)+{r_1}^2}---\left(5\right)$

$r_3\left(k\right)=\sqrt{\frac{I_0}{P_0}\·({\sin }^2{\mathrm{\θ}}_3\left(k\right)-{\sin }^2{\mathrm{\θ}}_2)+{r_2}^2}---\left(6\right);$

由折射定律得出所述自由曲面上点的法向量，利用这个法向量得到切平面，通过确定切平面与下一点的经过透镜入射面折射后入射到自由曲面上的光线的交点得到自由曲面上点的坐标，由前一点的切平面与下一点的法向量所在的直线相交得到下一点，通过迭代得到自由曲面在坐标平面上的曲线各点的坐标，将得到的点坐标拟合成曲线后，绕Z轴旋转360°即得到最终的透镜自由曲面。

3.根据权利要求2所述的用于投射式LED汽车近光灯的自由曲面透镜，其特征在于，

设置自由曲面透镜入射面与椭球反射器第二焦点的距离f=10mm，则自由曲面透镜入射面根据折射定律有：

$\frac{\sin \mathrm{\θ}}{{\sin \mathrm{\θ}}^{\′}}=\frac{n^{\′}}{n}---\left(7\right)$

光线从空气入射到自由曲面介质中，空气的折射率为n=1，而自由曲面透镜使用材料PMMA制成，折射率n′=1.4935；θ为入射光线的角度即从椭球反射器第二焦点发出的光与Z轴方向夹角，θ′为折射光线的角度即经过自由曲面透镜入射面后折射的光与Z轴方向夹角，入射光线与自由曲面透镜入射面的交点坐标值为(f·tan(θ),f),且折射光线的斜率值为cot(θ′)，利用点斜式即可得到折射光线的方程；

光线在经过自由曲面透镜的出射面时又发生折射，折射定律的矢量形式表示为

${[1+n^2-2n(\stackrel{\→}{\mathrm{Out}}\·\stackrel{\→}{\mathrm{In}})]}^{1/2}\·\stackrel{\→}{N}=\stackrel{\→}{\mathrm{Out}}-n\·\stackrel{\→}{\mathrm{In}}---\left(8\right),$

其中：n为自由曲面介质折射率，

为入射光线单位向量，

为出射光线单位向量，

为自由曲面在光线入射点的单位法向量；

在确定自由曲面形状时，首先确定一个初始点，该初始点设置在Z轴上，数值大小为自由曲面透镜的厚度h与透镜入射面与椭球反射器第二焦点的距离f的和，即初始点的坐标为（0，h+f）；设入射光线与自由曲面透镜入射面的交点A坐标为（x′,f），光线经过入射面折射后照射到自由曲面上的点B坐标为(x,z),光线经过透镜折射后投射到照明面上的点C坐标为(r,H)，其中H=25m，r根据能量守恒定律由式（4）、（5）、（6）决定；于是能得到入射光线

与出射光线

的单位向量，再利用折射定律（式8）即得到B点的法向向量，从而确定该点的切平面，该切平面与下一点的经过入射面折射后入射到自由曲面上的光线相交从而确定自由曲面的下一点；由前一点的切平面与下一点的法向量所在的直线相交得到下一点，通过机迭代即得到各点的坐标；将得到的点坐标拟合成曲线后，绕Z轴旋转360°即得到最终的透镜自由曲面。

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