CN103199987A - 一个含四个参数的三维混沌系统 - Google Patents

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Abstract

本发明涉及一个三维混沌系统，通过引进四个参数，提出了一个新的三维混沌系统，调整参数可以使系统产生不同拓扑结构的吸引子，混沌系统具有复杂的动力学行为。其包括：反向比例电路、第一积分电路、第二积分电路、第三积分电路的输出端依次输出作为混沌系统的三个状态变量x、y、z；第一反向、第二反向和第三反向电路的输出端依次输出作为混沌系统的三个状态变量-x、-y、-z。此简单的三维混沌系统，其电路实现简单，将在雷达、保密通信、电子对抗等领域有着广泛的应用前景及重要的应用价值。

Description

一个含四个参数的三维混沌系统
技术领域
本发明涉及一个含四个参数的三维混沌系统，属于电子通信领域。
背景技术
近年来，随着人们对混沌吸引子动力学行为的不断探索，以及对混沌系统的自适应同步、广义投影同步和反同步等同步技术的深入研究，混沌在工程领域的应用取得了重大进展，并在混沌加密、保密通信、混沌雷达等领域成为研究热点。其信号作为混沌加密信号具有极其广泛的应用前景。近年来，各种构造混沌及超混沌系统的方法引起了人们的注意。
本发明提出的三维混沌系统，对系统的一些基本动力学特性进行了数值模拟和理论分析。如初值敏感性、平衡点、耗散性、Poincaré映射等行为。通过对Lyapunov指数谱及分岔图的分析，并进一步研究了系统参数敏感性。
发明内容
本发明所要解决的技术问题是提供一个含四个参数的三维混沌系统。
为了解决上述技术问题，本发明提供了一个三维混沌系统，其包括：反向比例电路、第一积分电路、第二积分电路、第三积分电路的输出端依次输出作为混沌系统的三个状态变量                                                
Figure 580236DEST_PATH_IMAGE001
、
Figure 478922DEST_PATH_IMAGE002
、
Figure 392652DEST_PATH_IMAGE003
；第一反向、第二反向和第三反向电路的输出端依次输出作为混沌系统的三个状态变量
Figure 385884DEST_PATH_IMAGE004
、
Figure 232618DEST_PATH_IMAGE005
、
Figure 833363DEST_PATH_IMAGE006
。
上述三维混沌系统所对应方程为：
Figure 209288DEST_PATH_IMAGE007
Figure 22523DEST_PATH_IMAGE008
                                                                                                                            (1)
Figure 989342DEST_PATH_IMAGE009
其中a,b,c,d为正实数。
本发明的效果及作用
(1) 本发明实现了提供一个含四个参数的三维混沌系统，其中，参数
Figure 229831DEST_PATH_IMAGE010
。
(2)采用本发明的混沌系统的硬件电路，验证了该超混沌系统输出信号具有较大的动态范围并具有较好的分叉特性，此外，减少超混沌系统电路中的电容值，可以使输出的信号频谱向高频方向移动，表明该超混沌信号源具有不同频段范围的宽频段特性，预示其在雷达，保密通信，电子对抗等领域有着广泛的应用价值。
 (3)本发明提出了一个含四个参数的三维混沌系统，实现了混沌信号输出的具有较大的动态范围。理论分析，数值仿真和电路实验等研究结果也验证了此系统的有效性。
附图说明
为了使本发明的内容更容易被清楚的理解，下面根据的具体实施例并结合附图，对本发明作进一步详细的说明。
图1为混沌系统二维及三维相图(a)
Figure 101841DEST_PATH_IMAGE011
；(b) 
Figure 718767DEST_PATH_IMAGE012
3；(c) 
Figure 540092DEST_PATH_IMAGE013
；(d) 
Figure 404012DEST_PATH_IMAGE014
。
图2为混沌系统
Figure 310788DEST_PATH_IMAGE015
不同初值响应.。
图3为混沌系统Poincaré映射，截面为(a) x0=0, (b)y0=1 , (c)z0=16。
图4为混沌系统随参数
Figure 996984DEST_PATH_IMAGE016
变化Lyapunov指数谱。(b) 分岔图。
图5为混沌系统随参数变化分岔图。
图6为混沌系统随参数
Figure 769954DEST_PATH_IMAGE017
变化Lyapunov指数谱。
图7为混沌系统随参数变化分岔图。
图8为混沌系统随参数
Figure 60438DEST_PATH_IMAGE018
变化Lyapunov指数谱。
图9为混沌系统随参数
Figure 374132DEST_PATH_IMAGE018
变化分岔图。
图10为混沌系统随参数
Figure 65008DEST_PATH_IMAGE019
变化Lyapunov指数谱。
图11为混沌系统随参数变化分岔图。
图12为混沌系统电路原理图。
具体实施方式
通过构建一一个含四个参数的三维混沌系统, 其数学模型描述为
Figure 608488DEST_PATH_IMAGE008
                                                                                                                                (1)
Figure 735844DEST_PATH_IMAGE009
其中
Figure 370087DEST_PATH_IMAGE010
,
Figure 654307DEST_PATH_IMAGE020
为状态变量，当
Figure 690396DEST_PATH_IMAGE021
，初始条件为[1 1 1 ]T时，图1
Figure 988653DEST_PATH_IMAGE022
为系统(1)轨迹的二维及三维相图。从图1可以看出，混沌系统具有复杂的动力学行为。
1 基本的动力学特性
1．1 平衡点、耗散性.
令系统(1)方程的右边等于0，即平衡点可以解下面代数方程求得：
Figure 828302DEST_PATH_IMAGE023
Figure 932524DEST_PATH_IMAGE024
                                                                                                                                 (2)
Figure 557541DEST_PATH_IMAGE025
当
Figure 278897DEST_PATH_IMAGE021
时，很明显，系统有平衡平衡点
Figure 356574DEST_PATH_IMAGE026
，另外一个平衡点为
Figure 998908DEST_PATH_IMAGE027
。在平衡点处 ，对系统(1)进行线性化，其雅可比矩阵为下述(3)式所示
                        
Figure 695655DEST_PATH_IMAGE029
                                                    (3)
为了求平衡点
Figure 791786DEST_PATH_IMAGE026
，相对应的特征值，令
                    
Figure 221500DEST_PATH_IMAGE030
                                                                                                     (4)
可得到平衡点
Figure 758791DEST_PATH_IMAGE026
相应的特征值
Figure 366490DEST_PATH_IMAGE031
，根据
Figure 936536DEST_PATH_IMAGE032
条件，可知平衡点
Figure 123935DEST_PATH_IMAGE026
是不稳定的鞍点。同理，可知平衡点
Figure 312471DEST_PATH_IMAGE033
为稳定点。
由于
Figure 605918DEST_PATH_IMAGE034
=，                                                                                                (5)
因为
Figure 198890DEST_PATH_IMAGE036
，则此混沌系统为耗散系统并且以指数形式收敛如下述(6)式所示：
Figure 710774DEST_PATH_IMAGE037
                                                                                                                                  (6)
可见，当
Figure 909543DEST_PATH_IMAGE038
时，系统轨线的每个体积元以指数率
Figure 201984DEST_PATH_IMAGE039
收缩到零。
1.2 初值灵敏度、Poincaré 映射.
当参数
Figure 465607DEST_PATH_IMAGE021
时，系统x(t)的时域序列对初值具有很强的敏感性，如当x0的初值相差0.000001，其它初值不变，可得其初值敏感性如图2所示，从图2可以看出，在48s 可以发现，其序列变得完全不同，充分说明了系统对初值的敏感性。 
Poincaré映射反映了系统的折叠与分岔特性, 图3为系统(1)在不同截面时的Poincaré映射。
1.3 李雅普诺夫指数及其维数
李雅普诺夫指数是混沌系统的一个重要特征。相邻轨道之间的混沌吸引子显示出按指数率分离的趋势。目前，有许多种方法可以计算最大李雅普诺夫指数，使用单变量分解法，可以得到系统(1)三个Lyapunonov指数分别为：
Figure 878002DEST_PATH_IMAGE040
其中有一个正的Lyapunov 指数，一个为零，其余一个是负值，表明此系统有奇怪吸引子，它的运动是混沌的，Lyapunov 维数可按下式计算为：
Figure 529564DEST_PATH_IMAGE041
Figure 109371DEST_PATH_IMAGE043
                                                 (7)  
因此，可以看出Lyapunov维数是分数维，表明此系统具有混沌的特性。
1.4. 系统参数敏感性分析
本节通过对Lyapunov指数谱和分岔图的分析， 研究系统参数对混沌行为的敏感特性。
当参数
Figure 658164DEST_PATH_IMAGE044
分别在
Figure 949468DEST_PATH_IMAGE045
；
Figure 216502DEST_PATH_IMAGE046
； ；
Figure 474494DEST_PATH_IMAGE048
区间内变化，图4~图11分别为系统随着变化的分岔图和Lyapunov指数谱，可以看出，系统(1)处于混沌状态。 
通过上述岔图和Lyapunov指数谱图详细分析可以看出，系统参数有非常大的敏感性，而且不同参数的影响也各不相同，随着参数的变化，系统经历不同历程。所以该系统在保密通信等领域中有着广泛的应用前景。
此混沌系统电路设计较为简单，采用线性电阻、线性电容、运算放大器、模拟乘法器来实现。运算放大器采用LM741，是用来进行加减运算，模拟乘法器采用AD633来实现，是完成系统中的非线性项的．运算放大器LM741的容许电压为±18V，乘法器AD633的容许电压仅为±10V，本发明所提出的混沌系统的电路原理图如图12所示，其中，
Figure 425449DEST_PATH_IMAGE049
，其它元件值如图12所示。
上述实施例仅仅是为清楚地说明本发明所作的举例，而并非是对本发明的实施方式的限定，对于所属领域的普通技术人员来说，在上述说明的基础上还可以做出其它不同形式的变化或变动。

Claims (3)

1.一个含四个参数的三维混沌系统，其特征包括：反向比例电路、第一积分电路、第二积分电路、第三积分电路的输出端依次输出作为混沌系统的三个状态变量                                                
Figure 263193DEST_PATH_IMAGE001
、
Figure 290054DEST_PATH_IMAGE002
、；第一反向、第二反向和第三反向电路的输出端依次输出作为混沌系统的三个状态变量
Figure 44701DEST_PATH_IMAGE004
、、。
2.根据权利要求1所述的含四个参数的三维混沌系统，其特征在于，所述三维混沌系统所对应方程为：
Figure 716881DEST_PATH_IMAGE007
Figure 203357DEST_PATH_IMAGE008
                                                                                                                               (1)
Figure 760240DEST_PATH_IMAGE009
    其中，
Figure 745383DEST_PATH_IMAGE010
为状态变量，参数
Figure 616387DEST_PATH_IMAGE011
为正实数。
3.根据权利要求1所述的含四个参数的三维混沌系统，其特征在于：所述第一电容(C1) 、第二电容(C2) 、第三电容(C3)的电容值相等，
Figure 285266DEST_PATH_IMAGE012
且通过同时调节各电容的电容值，可以调整混沌系统的所述三个状态变量
Figure 872105DEST_PATH_IMAGE001
、、
Figure 96204DEST_PATH_IMAGE003
的振荡频率。
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