CN103117848A - 一个七维超混沌系统 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一个七维超混沌系统，通过引进不同的变量，提出了一个新的七维超混沌系统，调整参数R可以使系统产生不同拓扑结构的吸引子。由于存在两个比较大的正李雅普诺夫指数，混沌系统具有复杂的动力学行为。其包括：反向比例电路、第一积分电路、第二积分电路、第三积分电路、第四积分电路、第五积分电路、第六积分电路、第七积分电路；第一运放、第二运放、第三运放、第四运放、第五运放、第六运放和第七运放的输出端依次输出作为超混沌系统的个状态变量x₁、x₂、x₃、x₄、x₅、x₆、x₇，此简单的七维超混沌系统，其超混沌吸引子能在所有方向上都表现出不同的吸引子结构，系统只有一个平衡点，并且电路实现简单，将在雷达、保密通信、电子对抗等领域有着广泛的应用前景及重要的应用价值。

Description

一个七维超混沌系统

技术领域

本发明涉及一个七维超混沌系统。属于电子及通信领域。

背景技术

普通信号源可以产生不同的周期信号，并已应用于信息工程领域，但其不利于信息加密等特殊领域的要求。混沌信号具有内在随机性、初值敏感性、宽带、遍历性和有界性等特点，能够产生类似白噪声的宽带信号，因此混沌信号在保密通信等领域有着广泛的应用前景。自1963年Lorenz发现第一个混沌数学模型以来，混沌在非线性领域的研究取得了重大发展。近几年来，混沌在保密通信中得到了广泛的应用。而对于只具有一个正Lyapunov指数的混沌系统信号作加密信号，其保密信号比较容易被破译；而具有两个及更多个Lyapunov指数的混沌动力学系统性质更复杂，因此，超混沌信号作为混沌加密信号具有极其广泛的应用前景。近年来，各种构造混沌及超混沌系统的方法引起了人们的注意。文献对Lorenz、Chen、Lü等混沌系统引入一个反馈控制器构成四阶及六阶超混沌系统进行了研究，而目前对只有一个平衡点的七阶混沌系统进行超混沌研究却鲜有报道。

现在技术中的超混沌系统的不足之处在于：电路实现复杂，系统含有多个平衡点，而七阶的超混沌系统较少。

发明内容

本发明所要解决的技术问题是提供一个七维超混沌系统。

为了解决上述技术问题，本发明提供了一个七维超混沌系统，反向比例电路、第一积分电路、第二积分电路、第三积分电路、第四积分电路、第五积分电路、第六积分电路、第七积分电路；第一运放、第二运放、第三运放、第四运放、第五运放、第六运放和第七运放的输出端依次输出作为超混沌系统的个状态变量x₁、x₂、x₃、x₄、x₅、x₆、x₇；

上述七维超混沌系统所对应方程为：

${\stackrel{\·}{x}}_1=-(16+a)x_1+A(-x_2{x}_3+3x_3{x}_4+8x_6{x}_7)-4$

${\stackrel{\·}{x}}_2=-(10+a)x_2+R(14/5x_1{x}_3-6/5x_3{x}_5+36/5x_4{x}_6)$

${\stackrel{\·}{x}}_3=-(2+a)x_3-R(6x_1{x}_2+10x_1{x}_4+2x_2{x}_5+14x_4{x}_7)$

${\stackrel{\·}{x}}_4=-(26+a)x_4+R(-14/13x_1{x}_3-4/13x_2{x}_6+38/13x_3{x}_7)$

${\stackrel{\·}{x}}_5=-(8+a)x_5+R(x_1{x}_6+2x_2{x}_3)---\left(1\right)$

${\stackrel{\·}{x}}_6=-(8+a)x_6-R(4x_1{x}_5+12x_1{x}_7+8x_2{x}_4)$

${\stackrel{\·}{x}}_7=-(40+a)x_7-R(4/5x_1{x}_6+6/5x_3{x}_4)$

本发明的效果及作用

(1)本发明实现了提供一个七维超混沌系统，其中a，R∈R⁺；

(2)采用本发明的超混沌系统的硬件电路，验证了该超混沌系统输出信号具有较大的动态范围，此外，减少超混沌系统电路中的电容值，可以使输出的信号频谱向高频方向移动，表明该超混沌信号源具有不同频段范围的宽频段特性，预示其在雷达，保密通信，电子对抗等领域有着广泛的应用价值。

(3)本发明提出了只具有一个平衡点的七维超混沌系统，实现了超混沌信号输出的具有较大的动态范围。理论分析，数值仿真和电路实验等研究结果也验证了此系统的有效性。

附图说明

为了使本发明的内容更容易被清楚的理解，下面根据的具体实施例并结合附图，对本发明作进一步详细的说明，其中

图1为七阶超混沌系统二维及三维混沌吸引子；

图2为七阶超混沌系统Lyapunov指数谱图；

图3为七阶超混沌系统功率谱密度图；

图4为七维超混沌系统电路原理图

具体实施方式

本实施例的一个七维超混沌系统的数学模型可描述为：

${\stackrel{\·}{x}}_1=-(16+a)x_1+A(-x_2{x}_3+3x_3{x}_4+8x_6{x}_7)-4$

${\stackrel{\·}{x}}_2=-(10+a)x_2+R(14/5x_1{x}_3-6/5x_3{x}_5+36/5x_4{x}_6)$

${\stackrel{\·}{x}}_3=-(2+a)x_3-R(6x_1{x}_2+10x_1{x}_4+2x_2{x}_5+14x_4{x}_7)$

${\stackrel{\·}{x}}_4=-(26+a)x_4+R(-14/13x_1{x}_3-4/13x_2{x}_6+38/13x_3{x}_7)$

${\stackrel{\·}{x}}_5=-(8+a)x_5+R(x_1{x}_6+2x_2{x}_3)---\left(1\right)$

${\stackrel{\·}{x}}_6=-(8+a)x_6-R(4x_1{x}_5+12x_1{x}_7+8x_2{x}_4)$

${\stackrel{\·}{x}}_7=-(40+a)x_7-R(4/5x_1{x}_6+6/5x_3{x}_4)$

其中a，R∈R⁺，令

-(16+a)x₁+A(-x₂x₃+3x₃x₄+8x₆x₇)-4＝0

-(10+a)x₂+R(14/5x₁x₃-6/5x₃x₅+36/5x₄x₆)＝0

-(2+a)x₃-R(6x₁x₂+10x₁x₄+2x₂x₅+14x₄x₇)＝0       (2)

-(26+a)x₄+R(-14/13x₁x₃-4/13x₂x₆+38/13x₃x₇)＝0

-(8+a)x₅+R(x₁x₆+2x₂x₃)＝0

-(8+a)x₆-R(4x₁x₅+12x₁x₇+8x₂x₄)＝0

可出计算出系统的只有唯一平衡点为P₀(4/(16+a)，0，0，0，0，0，0)，在平衡点处对系统进行线性化，可以得到对应的Jacobian矩阵为：

$J_0=\left(\begin{array}{ccc}{A}_1& 0& 0\\ 0& A_2& 0\\ 0& 0& A_3\end{array}\right)---\left(3\right)$

其中

A₁＝(-(16+a))

$A_2=\left(\begin{array}{ccc}-(a+10)& -56/(80+5a)A& 0\\ 24/(16+a)A& -(a+2)& 40/(16+a)A\\ 0& 56/(13a+203)& -(a+16)\end{array}\right)$

$A_3=\left(\begin{array}{ccc}-(a+8)& -16/(16+a)A& 0\\ 16/(16+a)A& -(a+8)& 48/(16+a)A\\ 0& 16/(5a+80)A& -(a+40)\end{array}\right)$

为了求平衡点P₀(4/(16+a)，0，0，0，0，0，0)处所相对应的特征值，令

det(J₀-λI)＝0，       (4)

当a＝0.2，A＝200时，λ₁＝-16.2，λ₂＝-38.6，λ₃＝-33.764，λ₄＝33.764，λ₅＝-56.6，λ₆＝59.689，λ₇＝-59.689，因为λ₄，λ₄为正根，根据Routh-Hurwitz条件，该平衡点是不稳定的鞍点。

由于

$\▿V=\frac{\∂{\stackrel{\·}{x}}_1}{\∂x_1}+\frac{\∂{\stackrel{\·}{x}}_2}{\∂x_2}+\frac{\∂{\stackrel{\·}{x}}_3}{\∂x_3}+\frac{\∂{\stackrel{\·}{x}}_4}{\∂x_4}+\frac{\∂{\stackrel{\·}{x}}_5}{\∂x_5}+\frac{\∂{\stackrel{\·}{x}}_6}{\∂x_6}+\frac{\∂{\stackrel{\·}{x}}_7}{\∂x_7}=-(16+10+2+26+8+8+40+7*a)=-110-7a---\left(5\right)$

当a＝0.2；R＝200时，

▽V＝-111.2＜0         (6)

则系统是耗散的，且以指数形式收敛

$\frac{\mathrm{dV}}{\mathrm{dt}}=e^{-111.2t}---\left(7\right)$

可以看出体积元V₀在时刻t时收缩为体积元V₀e^-111.2t，即意味着当t→∞时，包含系统轨线的每个体积元以指数率-111.2收缩到零。因此，所有系统轨线最终会被限制在一个体积元为零的集合上，且它渐进运动固定在一个吸引子上。

此超混沌系统输出混沌信号二维相图如图1所示，其李雅谱诺夫指数谱如图2所示，功率谱密度如图3所示，可以判断混沌信号是混沌的，混沌吸引子的拓扑结构具有不同的结构。

此混沌系统电路设计较为简单，采用线性电阻、线性电容、运算放大器、模拟乘法器来实现。运算放大器采用LF353，是用来进行加减运算，模拟乘法器采用AD633来实现，是完成系统中的非线性项的.乘法器AD633的容许电压仅为±10V，本发明所提出的混沌系统的电路原理图如图4所示。

上述实施例仅仅是为清楚地说明本发明所作的举例，而并非是对本发明的实施方式的限定，对于所属领域的普通技术人员来说，在上述说明的基础上还可以做出其它不同形式的变化或变动。

Claims (3)

1.一个七维超混沌系统，其特征包括：反向比例电路、第一积分电路、第二积分电路、第三积分电路、第四积分电路、第五积分电路、第六积分电路、第七积分电路；第一运放、第二运放、第三运放、第四运放、第五运放、第六运放和第七运放的输出端依次输出作为超混沌系统的个状态变量x₁、x₂、x₃、x₄、x₅、x₆、x₇。 

2.根据权利要求1所述的七维超混沌系统，其特征在于，所述七维超混沌系统所对应方程为： 

其中a，R∈R⁺，x₁，x₂，x₃，x₄，x₅，x₆，x₇为状态变量，a＝0.2，R＝200。 

3.根据权利要求1所述的七维超混沌系统，其特征在于：所述第一电容(C₁)、第二电容(C₂)、第三电容(C₃)、第四电容(C₄)、第五电容(C₅)、第六电容(C₇)和第七电容(C₇)的电容值相等，C₁＝C₂＝C₃＝C₄＝C₅＝C₆＝C₇＝1μF且通过同时调节各电容的电容值，可以调整超混沌系统的所述七个状态变量x₁，x₂，x₃，x₄，x₅，x₆，x₇的振荡频率。 

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