CN103199982A - 一种具有平方项的三维混沌系统 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一个具有平方项的三维混沌系统，其包括：反向比例电路、第一积分电路、第二积分电路和第三积分电路；第一运放，第二运放和第三运放的输出端依次输出作为混沌系统的三个状态变量x(x1)，y(x2)，z(x3)，此三阶混沌系统具有三个参数，一个平方项，将在雷达、保密通信、电子对抗等领域有着广泛的应用前景及重要的应用价值。

Description

一种具有平方项的三维混沌系统

技术领域

本发明涉及一种具有平方项的三维混沌系统。

背景技术

普通信号源可以产生不同的周期信号，并已应用于信息工程领域，但其不利于信息加密等特殊领域的要求。混沌信号具有内在随机性、初值敏感性、宽带、遍历性和有界性等特点，能够产生类似白噪声的宽带信号，因此混沌信号在保密通信等领域有着广泛的应用前景。混沌系统所产生的混沌信号是各类信息系统调制解调的重要组成部分，对于用电路实现可调的混沌信号具有重要的理论意义和应用价值。

自1963年Lorenz提出第一个混沌系统以来，国内外从多学者提出并构造了大量的混沌系统。这些混沌系统一般在调节系统参数时动力学特性会发生变化，即使在局部调节参数时，系统的动力学特性变化不大，一般很难确保输出混沌信号的动态范围呈现线性变化。

现在技术中的混沌系统的不足之处在于：含参数少，具有平方项的混沌系统较少。

发明内容

本发明所要解决的技术问题是提供一种具有平方项的三维混沌系统。

为了解决上述技术问题，本发明提供了一种具有平方项的三维混沌系统，其特征包括：反向比例电路，第一积分电路，第二积分电路和第三积分电路；

所述第一积分电路包括：第一运放(U_1B)反向输入端和输出端之间的第一电容(C₁)以及一端与第一运放(U_1B)的反向输入端相连的第三电阻(R₃)；第三电阻(R₃)的另一端与运放(U_1A)的输出端相连。

所述第二积分电路包括：第三运放(U_3A)的反向输入端和输出端之间的第二电容(C₂)以及一端与第三运放(U3A)的反向输入端相连的第九电阻(R₉)；第九电阻(R₉)的另一端与第二运放(U_2B)的输出端相连。

所述第三积分电路包括：第四运放(U_4B)的反向输入端和输出端之间的第三电容(C₃)以及一端与第四运放(U_4B)的反向输入端相连的第十六电阻(R₁₆)；第十六电阻(R₁₆)的另一端与第四运放(U_4A)的输出端相连。

所述反向比例电路包括：第一运放(U_1A)，设于第一运放(U_1A)的反向输入端和输出端之间的第二电阻(R₂)以及设于第一运放(U1_A)反向输入端的第一电阻(R₁₅)；；

第二运放(U_2B)的反向输入端串接第六电阻(R₆)、(R₈)，设于第一运放(U_2B)的反向输入端和输出端之间的第七电阻(R₇)；

第四运放(U_4A)，反向输入端串接第十二电阻(R₁₂)、(R₁₃)、(R₁₄)，设于第四运放(U_4A)的反向输入端和输出端之间的第十五电阻(R₁₅)；第二运放(U_2A)、第三运放(U_3B)和第五运放(U_5A)的输出端依次输出作为三阶混沌系统的三个状态x、y、z；

上述具有平方项的三维混沌系统所对应方程为：

$\stackrel{\·}{x}=\mathrm{az}$

$\stackrel{\·}{y}=-\mathrm{by}+z---\left(2\right)$

$\stackrel{\·}{z}=-\mathrm{cz}+y+y^2$

本发明的效果及作用

(1)本发明实现了一种具有平方项的三维混沌系统，其中a、b和c均为实数；

(2)采用本发明的混沌系统的硬件电路，验证了该混沌系统输出信号具有较大的动态范围，此外，减少混沌系统电路中的电容值，可以使输出的信号频谱向高频方向移动，表明该混沌信号源具有不同频段范围的宽频段特性，预示其在雷达，保密通信，电子对抗等领域有着广泛的应用价值。

(3)本发明提出了具有平方项的三维混沌系统，在该系统中引入三个参数，实现了混沌信号输出的具有较大的动态范圈。理论分析，数值仿真和电路实验等研究结果也验证了此系统的有效性。

附图说明

为了使本发明的内容更容易被清楚的理解，下面根据的具体实施例并结合附图，对本发明作进一步详细的说明，其中

图1为混沌信号时域波形；

图2为混沌系统产生的混沌吸引子二维及三维相图；

图3为混沌系统Poincaré截面(a)x0＝0；(b)y0＝0；(c)z0＝0；

图4为混沌系统参数a∈[1.8，3]时，图4(a)LE指数谱，(b)xmax岔图

图5为混沌系统参数b＝[1.4，3.8]时，图5(a)LE指数谱，(b)xmax岔图

图6为混沌系统参数c∈[0.81，1.5]时，图6(a)LE指数谱，(b)xmax岔图

图7为三阶混沌系统电路原理图

图8为三阶混沌系统PCB实物图

具体实施方式

本实施例的一种具有平方项的三维混沌系统的数学模型可描述为：

$\stackrel{\·}{x}=\mathrm{az}$

$\stackrel{\·}{y}=-\mathrm{by}+z---\left(1\right)$

$\stackrel{\·}{z}=-\mathrm{cx}+y+y^2$

其中a、b和c均为实数。令

az＝0

-by+z＝0   (2)

-cx+y+y²＝0，

可解得方程(2)存在1个平衡点：P₀(0，0，0)，在平衡点S*＝(x*，y*，z*)对式(2)进行线性化处理，得其雅可比矩阵为：

$J=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& a\\ 0& -b& 1\\ -c& 2y+1& 0\end{array}\right]---\left(3\right)$

其特征根方程为：

f(λ)＝λ³+Aλ²+Bλ+C   (4)

当a＝2，b＝2，c＝1时，方程(4)特征根为λ₁＝-2.3146，λ_2，3＝0.1573±1.3052，由于λ1，λ2为一对实部为负的共轭复根，且λ₃大于零，由劳斯-霍尔维茨判据可知，P₀是不稳定的。当a＝2，b＝2，c＝1时，混沌系统可生成如图2所示的混沌吸引子，相应的李雅谱诺夫指数为λ₁＝0.0775，λ₂＝0，λ₃＝-2.074，其李雅谱诺夫维数：

$D_L=j+\frac{1}{|{\mathrm{\λ}}_{j+1}|}\underset{i=1}{\overset{j}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\λ}}_i=2+\frac{{\mathrm{\λ}}_1+{\mathrm{\λ}}_2}{|{\mathrm{\λ}}_3|}=2+\frac{0.0775+0}{|-2.074|}=2.3737.---\left(5\right)$

此混沌系统输出混沌信号的时域波形如图1所示，其轨线是非周期性的，貌似随机行为，其Poincaré映射，岔图分别如图3、图4、图5、图6所示，从吸引子的相轨图，李雅谱诺夫指数和时域波形等可以判断混沌信号是混沌的，混沌吸引子的拓扑结构具有单翼环状结构。

此混沌系统电路设计较为简单，选择型号LM741运放芯片，乘法器为AD633；具有较大的输出动态范围，便于在实验中观察调幅参数对混沌信号源输出信号的调整范围；本发明所提出的混沌系统的电路原理图如图7所示。

上述实施例仅仅是为清楚地说明本发明所作的举例，而并非是对本发明的实施方式的限定，对于所属领域的普通技术人员来说，在上述说明的基础上还可以做出其它不同形式的变化或变动。

Claims (3)

1.一种具有平方项的三维混沌系统，其特征包括：反向比例电路，第一积分电路，第二积分电路和第三积分电路； 

所述第一积分电路包括：第一运放(U_IB)反向输入端和输出端之间的第一电容(C₁)以及一端与第一运放(U_IB)的反向输入端相连的第三电阻(R₃)；第三电阻(R₃)的另一端与运放(U_1A)的输出端相连。 

所述第二积分电路包括：第三运放(U_3A)的反向输入端和输出端之间的第二电容(C₂)以及一端与第三运放(U3A)的反向输入端相连的第九电阻(R₉)；第九电阻(R₉)的另一端与第二运放(U_2B)的输出端相连。 

所述第三积分电路包括：第四运放(U_4B)的反向输入端和输出端之间的第三电容(C₃)以及一端与第四运放(U_4B)的反向输入端相连的第十六电阻(R₁₆)；第十六电阻(R₁₆)的另一端与第四运放(U_4A)的输出端相连。 

所述反向比例电路包括：第一运放(U_1A)，设于第一运放(U_1A)的反向输入端和输出端之间的第二电阻(R₂)以及设于第一运放(U1_A)反向输入端的第一电阻(R₁₅)；； 

第二运放(U_2B)的反向输入端串接第六电阻(R₆)、(R₈)，设于第一运放(U_2B)的反向输入端和输出端之间的第七电阻(R₇)； 

第四运放(U_4A)，反向输入端串接第十二电阻(R₁₂)、(R₁₃)、(R₁₄)，设于第四运放(U_4A)的反向输入端和输出端之间的第十五电阻(R₁₅)； 

第二运放(U_2A)、第三运放(U_3B)和第五运放(U_5A)的输出端依次输出作为三阶混沌系统的三个状态x、y、z； 

上述三维混沌系统所对应方程为： 

其中，参数a＝2，b＝2，c＝1。 

2.根据权利要求1所述的三阶混沌系统，其特征在于：R₂、R₃、R₄、R₅、R₆、R₇、R₈、R₉、R₁₀、R₁₁、R₁₃、R₁₄、R₁₅、R₁₆、R₁₇、R₁₈的阻值为10kΩ，R₁、R₈的阻值5kΩ，R₁₂的阻值1kΩ。 

3.根据权利要求1所述的幅度可调的三阶混沌系统，其特征在于：所述第一电容(C1)，第二电容(C2)和第三电容(C3)的电容值相等，C₁＝C₂＝C₃＝1μF且通过同时调节各电容的电容值， 可以调整三阶混沌系统的所述三个状态变量x、y和z的振荡频率。 

Images