CN102843230B - 四维自治超混沌系统数学模型及其实现电路 - Google Patents

Abstract

本发明公开一种四维自治超混沌系统数学模型，是按照下述方程构建的：其中是系统状态变量，为系统参数。与现有的混沌技术相比，本发明结构简单，便于实现。该模型具有两个正的Lyapunov指数，是一个超混沌系统，具有丰富的动力学行为。该实现电路结构简单，便于集成，对混沌系统在保密通信和信息处理等领域中的发展有很大的促进作用。

Description

四维自治超混沌系统数学模型及其实现电路

技术领域

本发明涉及保密通信技术领域，具体涉及一种超混沌系统的数学模型及电路实现方法。

背景技术

混沌是某些确定性非线性动力学系统中对初始条件极端敏感的运动，是普遍存在的混乱无序、类随机、难以预测而又有一定规则的现象。由于混沌系统具有高度的复杂性、类噪声、非周期性、连续宽带频谱和隐蔽性强等特点，使得混沌系统在信息安全和保密通信等领域有着广泛的应用前景。20世纪90年代以来，混沌理论与其他应用学科相互渗透、相互促进、综合发展，特别是其在保密通信领域中广泛的应用前景，使得混沌学得到了空前发展。混沌系统的形成，混沌的判定，混沌特征的分析，混沌的控制与应用已成为非线性领域和通信领域的研究热点。

开发新的混沌系统，并研究其动力学特性，可以挖掘混沌信号产生的本质，拓展混沌研究的范围，使混沌系统更好地应用到各个不同的领域。Lyapunov指数是衡量系统混沌行为复杂性的一个重要指标。目前，已有很多学者对低维混沌系统在理论上和实验上进行了大量研究。但是低维混沌系统只有一个正的Lyapunov指数，其产生的混沌信号在保密通信中易被辨识，抗破译性能不够理想。随着攻击技术的提高，基于低维混沌系统的混沌保密通信技术已经不能满足日益增长的安全性需要。超混沌系统是一种更符合自然现象和自然规律的非线性系统，其具有两个或两个以上正的Lyapunov指数，因此具有比低维混沌系统更复杂的混沌动力学行为。将超混沌系统应用于保密通信中，保密性更强，可以大大提高抗破译能力。因此，设计新的超混沌系统并分析其动力学行为将为混沌系统在保密通信等领域中的应用开拓新的研究基础和发展前景。

发明内容

本发明的目的是提供一种具有两个正Lyapunov指数的四阶超混沌系统，并提供该系统的实现电路，该系统能够产生丰富的力学行为，该电路实现简单，易于集成。

本发明的技术方案是以下述方式实现的：一种四维自治超混沌系统数学模型，是按照下述方程构建的：

其中是系统状态变量，为系统参数。

一种四维自治超混沌系统实现电路，包括第一通道电路、第二通道电路、第三通道电路和第四通道电路，还包括第一模拟乘法器A1、第二模拟乘法器A2、第三模拟乘法器A3和第一模拟乘法器A4，第四模拟乘法器A1的一端分别接受第二反相积分器U5的输出端和第三反相器U9的输出端的两路输入信号，第一模拟乘法器A1的另一端并接在所述第一反相加法器U1的反相输入端；第二模拟乘法器A2的一端分别接受第一反相器U3的输出端和第三反相器U9的输出端的两路输入信号，第二模拟乘法器A2的另一端并接在第二反相加法器U4的反相输入端；第三模拟乘法器A3的一端分别接受第一反相积分器U2的输出端和第二反相器U6的输出端的两路输入信号，第三模拟乘法器A3的另一端并接在所述第三反相加法器U7的反相输入端；第四模拟乘法器A4的一端分别接受第二反相器U6的输出端和第三反相器U9的输出端的两路输入信号，第四模拟乘法器A4的另一端并接在第四反相加法器U10的反相输入端。

所述第一通道电路包括第一反相加法器U1、第一电阻R1，第二电阻R2、第三电阻R3，所述第一电阻R1、第二电阻R2、第三电阻R3的一端分别接收三路输入信号，第一电阻R1、第二电阻R2、第三电阻R3的另一端并接在第一反相加法器U1的反相输入端，第一反相加法器U1的正向输入端接地，第一反相加法器U1的输出端和反相输入端之间并接有第四电阻R4，第一反相加法器U1的输出端还通过第五电阻R5与第一反相积分器U2的反相输入端相接，第一反相积分器U2的正向输入端接地，第一反相积分器U2的输出端和反相输入端之间并接有第一电容C1，第一反相积分器U2的输出端和第二反相加法器U4的反相输入端之间并接有第八电阻R8，第一反相积分器U2的输出端与第三乘法器A3的输入端相接，第一反相积分器U2的输出端还通过第六电阻R6与第一反相器U3的反相输入端相接，第一反相器U3的正向输入端接地，第一反相器U3的输出端和反相输入端之间并接有第七电阻R7，第一反相器U3的输出端和第一电阻R1、第二乘法器A2的一端相接，将输出信号反馈到输入端。

所述第二通道电路包括第二反相加法器U4、第二反相积分器U5、第二反相器U6、第八电阻R8、第九电阻R9、第十电阻R10、第十一电阻R11。第八电阻R8、第九电阻R9、第十电阻R10、第十一电阻R11的一端分别接收四路输入信号，第八电阻R8、第九电阻R9、第十电阻R10、第十一电阻R11的另一端并接在第二反相加法器U4的反相输入端，第二反相加法器U4的正向输入端接地，第二反相加法器U4的输出端和反相输入端之间并接有第十二电阻 R12，第二反相加法器U4的输出端通过第十三电阻R13与第二反相积分器 U5的反相输入端相接，第二反相积分器U5的正向输入端接地，第二反相积分器U5的输出端和反相输入端之间并接有第二电容C2，第二反相积分器U5的输出端和第一反相加法器U1的反相输入端并接有第三电阻R3，第二反相积分器U5的输出端与第一乘法器A1的输入端相接，第二反相积分器U5的输出端通过第十四电阻R14与第二反相器U6的反相输入端相接，第二反相器U6的正向输入端接地，第二反相器U6的输出端和反相输入端之间并接有第十五电阻R15，第二反相器U6的输出端还和第九电阻R9、第三乘法器A3、第四乘法器A4的一端相接，将输出信号反馈到输入端。

所述第三通道电路包括第三反相加法器U7、第三反相积分器U8、第三反相器U9、第十六电阻R16、第十七电阻R17，第十六电阻R16的一端分别和第三反相器U9的输出端、第一乘法器A1的输入端相接，第十六电阻R16另一端和第三反相加法器U7的反相输入端相接，第十七电阻R17的一端和第三乘法器A3的输出端相接，第三反相加法器U7的正向输入端接地，第三反相加法器U7的输出端和反相输入端之间并接有第十八电阻 R18，第三反相加法器U7的输出端通过第十九电阻R19与第三反相积分器 U8的反相输入端相接，第三反相积分器U8的正向输入端接地，第三反相积分器U8的输出端和反相输入端之间并接有第三电容C3，第三反相积分器U8的输出端通过第二十电阻R20与第三反相器U9的反相输入端相接，第三反相器U9的正向输入端接地，第三反相器U9的输出端和反相输入端之间并接有第二十一电阻R21，第三反相器U9的输出端分别和第十六电阻R16、第一乘法器A1、第二乘法器A2、第四乘法器A4的一端相接，将输出信号反馈到输入端。

所述第四通道电路包括第四反相加法器U10、第四反相积分器U11、第四反相器U12、第二十二电阻R22、第二十三电阻 R23，第二十二电阻R22、第二十三电阻 R23的一端分别接收两路输入信号，第二十二电阻R22、第二十三电阻 R23的另一端并接在第四反相加法器U10的反相输入端，第四反相加法器U10的正向输入端接地，第四反相加法器 U10的输出端和反相输入端之间并接有第二十四电阻R24，所述第四反相加法器U10的输出端通过第二十五电阻R25与第四反相积分器U11的反相输入端相接，第四反相积分器U11的正向输入端接地，第四反相积分器U11的输出端和反相输入端之间并接有第四电容C4，第四反相积分器U11的输出端和第四反相加法器U10的反相输入端并接有第二十二电阻R22，第四反相积分器U11的输出端和第二反相加法器U4的反相输入端并接有第十一电阻R11，第四反相积分器 U11的输出端通过第二十六电阻R26与第四反相器U12的反相输入端相接，该第四反相器U12的正向输入端接地，第四反相器U12的输出端和反相输入端之间并接有第二十七电阻R27。

与现有的混沌技术相比，本发明结构简单，便于实现。该模型具有两个正的Lyapunov指数，是一个超混沌系统，具有丰富的动力学行为。该实现电路结构简单，便于集成，对混沌系统在保密通信和信息处理等领域中的发展有很大的促进作用。

附图说明

 图1是本发明的实现电路。

图2是本发明的Lyapunov指数图。

图3是本发明的超混沌吸引子在x-y平面上相图的计算机模拟结果。

图4是本发明的超混沌吸引子在x-y平面上相图的电路仿真结果。

图5是本发明的超混沌吸引子在y-z平面上相图的计算机模拟结果。

图6是本发明的超混沌吸引子在y-z平面上相图的电路仿真结果。

图7是本发明的超混沌吸引子在z-w平面上相图的计算机模拟结果。

图8是本发明的超混沌吸引子在z-w平面上相图的电路仿真结果。

图9是本发明的超混沌吸引子在x-w平面上相图的计算机模拟结果。

图10是本发明的超混沌吸引子在x-w平面上相图的电路仿真结果。

具体实施方式

如图1所示，一种四维自治超混沌系统数学模型，是按照下述方程构建的：

                            （1）

其中是系统状态变量，为系统参数。当参数a=27,b=1.5,c=5,d=43,r=0.5时，系统出现超混沌行为。所述数学模型中，电路的时间响应频率可以通过按相同比例调节第一、第二、第三电容的电容值得以实现。所述数学模型的 Lyapunov指数分别为 0.458472, 0.205068, -0.024474,-32.279369,即具有两个正的Lyapunov指数。

使用本模型的时候，输入，求出其导数，之后利用MATLAB软件可计算出Lyapunov指数。

考虑到状态变量处于一个较大的动力学变化范围，超出了合理的电压提供范围，可以通过变量转换来解决。一个适当的转换可以表示为：，，，。在这个尺度变换下，原系统可转化为式(2) ：

                          （2）                                 

系统(2)中的状态变量具有类似的动力学变化范围，并且没有超出典型的电压提供极限，容易用电路实现。

如图1所示，一种四维自治超混沌系统实现电路， 包括第一通道电路、第二通道电路、第三通道电路和第四通道电路，还包括第一模拟乘法器A1、第二模拟乘法器A2、第三模拟乘法器A3和第一模拟乘法器A4，第四模拟乘法器A1的一端分别接受第二反相积分器U5的输出端和第三反相器U9的输出端的两路输入信号，第一模拟乘法器A1的另一端并接在所述第一反相加法器U1的反相输入端；第二模拟乘法器A2的一端分别接受第一反相器U3的输出端和第三反相器U9的输出端的两路输入信号，第二模拟乘法器A2的另一端并接在第二反相加法器U4的反相输入端；第三模拟乘法器A3的一端分别接受第一反相积分器U2的输出端和第二反相器U6的输出端的两路输入信号，第三模拟乘法器A3的另一端并接在所述第三反相加法器U7的反相输入端；第四模拟乘法器A4的一端分别接受第二反相器U6的输出端和第三反相器U9的输出端的两路输入信号，第四模拟乘法器A4的另一端并接在第四反相加法器U10的反相输入端。

所述第一通道电路包括第一反相加法器U1、第一电阻R1，第二电阻R2、第三电阻R3，所述第一电阻R1、第二电阻R2、第三电阻R3的一端分别接收三路输入信号，第一电阻R1、第二电阻R2、第三电阻R3的另一端并接在第一反相加法器U1的反相输入端，第一反相加法器U1的正向输入端接地，第一反相加法器U1的输出端和反相输入端之间并接有第四电阻R4，第一反相加法器U1的输出端还通过第五电阻R5与第一反相积分器U2的反相输入端相接，第一反相积分器U2的正向输入端接地，第一反相积分器U2的输出端和反相输入端之间并接有第一电容C1，第一反相积分器U2的输出端和第二反相加法器U4的反相输入端之间并接有第八电阻R8，第一反相积分器U2的输出端与第三乘法器A3的输入端相接，，第一反相积分器U2的输出端还通过第六电阻R6与第一反相器U3的反相输入端相接，第一反相器U3的正向输入端接地，第一反相器U3的输出端和反相输入端之间并接有第七电阻R7，第一反相器U3的输出端和第一电阻R1、第二乘法器A2的一端相接，将输出信号反馈到输入端。

所述第二通道电路包括第二反相加法器U4、第二反相积分器U5、第二反相器U6、第八电阻R8、第九电阻R9、第十电阻R10、第十一电阻R11，第八电阻R8、第九电阻R9、第十电阻R10、第十一电阻R11的一端分别接收四路输入信号，第八电阻R8、第九电阻R9、第十电阻R10、第十一电阻R11的另一端并接在第二反相加法器U4的反相输入端，第二反相加法器U4的正向输入端接地，第二反相加法器U4的输出端和反相输入端之间并接有第十二电阻 R12，第二反相加法器U4的输出端通过第十三电阻R13与第二反相积分器 U5的反相输入端相接，第二反相积分器U5的正向输入端接地，第二反相积分器U5的输出端和反相输入端之间并接有第二电容C2，第二反相积分器U5的输出端和第一反相加法器U1的反相输入端并接有第三电阻R3，第二反相积分器U5的输出端与第一乘法器A1的输入端相接，第二反相积分器U5的输出端通过第十四电阻R14与第二反相器U6的反相输入端相接，第二反相器U6的正向输入端接地，第二反相器U6的输出端和反相输入端之间并接有第十五电阻R15，第二反相器U6的输出端还和第九电阻R9、第三乘法器A3、第四乘法器A4的一端相接，将输出信号反馈到输入端。

所述第三通道电路包括第三反相加法器U7、第三反相积分器U8、第三反相器U9、第十六电阻R16、第十七电阻R17。第十六电阻R16的一端分别和第三反相器U9的输出端以及第一乘法器A1的输入端相接，另一端和第三反相加法器U7的反相输入端相接，第十七电阻R17的一端和第三乘法器A3的输出端相接，另一端和第三反相加法器U7的反相输入端相接，第三反相加法器U7的正向输入端接地，第三反相加法器U7的输出端和反相输入端之间并接有第十八电阻 R18，第三反相加法器U7的输出端通过第十九电阻R19与第三反相积分器 U8的反相输入端相接，第三反相积分器U8的正向输入端接地，第三反相积分器U8的输出端和反相输入端之间并接有第三电容C3，第三反相积分器U8的输出端通过第二十电阻R20与第三反相器U9的反相输入端相接，第三反相器U9的正向输入端接地，第三反相器U9的输出端和反相输入端之间并接有第二十一电阻R21，第三反相器U9的输出端分别和第十六电阻R16、第一乘法器A1、第二乘法器A2、第四乘法器A4的一端相接，将输出信号反馈到输入端。

所述第四通道电路包括第四反相加法器U10、第四反相积分器U11、第四反相器U12、第二十二电阻R22、第二十三电阻 R23，第二十二电阻R22、第二十三电阻 R23的一端分别接收两路输入信号，第二十二电阻R22、第二十三电阻 R23的另一端并接在第四反相加法器U10的反相输入端，第四反相加法器U10的正向输入端接地，第四反相加法器 U10的输出端和反相输入端之间并接有第二十四电阻R24，所述第四反相加法器U10的输出端通过第二十五电阻R25与第四反相积分器U11的反相输入端相接，第四反相积分器U11的正向输入端接地，第四反相积分器U11的输出端和反相输入端之间并接有第四电容C4，第四反相积分器U11的输出端和第四反相加法器U10的反相输入端并接有第二十二电阻R22，第四反相积分器U11的输出端和第二反相加法器U4的反相输入端并接有第十一电阻R11，第四反相积分器 U11的输出端通过第二十六电阻R26与第四反相器U12的反相输入端相接，该第四反相器U12的正向输入端接地，第四反相器U12的输出端和反相输入端之间并接有第二十七电阻R27。

本发明的实现电路由第一、第二、第三、第四通道电路和四个模拟乘法器组成。第一、第二、第三、第四通道电路分别实现数学模型的四个函数。4个模拟乘法器用于实现数学模型中的四个二次乘积项。

本发明中，所述四个通道电路包括四个反相加法器，四个反相积分器，四个反相器及二十七个电阻和四个电容。四个模拟乘法器的输出信号分别作为第一、第二、第三、第四通道电路的一路输入信号。所述第一通道电路的输出信号反馈到输入端作为一路输入信号，该输出信号分别作为所述第一通道电路的一路输入信号和第二模拟乘法器的一路输入信号。所述第一通道电路中，第一反相积分器的输出信号分别作为第二通道电路中的一路输入信号和第三模拟乘法器的一路输入信号。所述第二通道电路的输出信号分别作为所述第二通道电路的一路输入信号和第三模拟乘法器的一路输入信号以及第四模拟乘法器的一路输入信号。所述第二通道电路中，第二反相积分器的输出信号分别作为第一通道电路中的一路输入信号和第一模拟乘法器的一路输入信号。所述第三通道电路的输出信号分别作为所述第三通道电路的一路输入信号和第一模拟乘法器、第二模拟乘法器、第四模拟乘法器的一路输入信号。所述第四通道电路中，第四反相积分器的输出信号分别作为第二通道电路中的一路输入信号和第四通道电路中的一路输入信号。

数学模型（1）的实现电路中的四个反相加法器，四个反相积分器，四个反相器型号相同，均选择为LM741运算放大器。四个模拟乘法器均选择为AD633乘法器，AD633的输出比例系数为1，电源供电电压为。电路中的电阻参数选择为：

，

，，，，，，，，，，，。

电容值为：。

在实现电路中，所述第一通道的输入为x,-y和-yz，输出为x;所述第二通道电路的输入为-x,y,xz和-w，输出为y；所述第三通道电路的输入为z和-xy，输出为z；所述第四通道电路的输入为-w和yz，输出为w。四组电路实现所述数学模型构建的四阶自治超混沌系统，所述硬件实现电路的结构简单，便于集成。

所述超混沌吸引子的Lyapunov指数图如图2所示：Lyapunov指数分别为 0.458472, 0.205068, -0.024474,-32.279369，即具有两个正的Lyapunov指数，所描述数学模型（1）为超混沌系统。

图3、图5、图7、图9分别为所述超混沌系统在二维相平面x-y,y-z,z-w,x-w上的计算机模拟图形。图4、图6、图8、图10分别为所述超混沌系统在二维相平面x-y,y-z,z-w, x-w上的电路仿真图形。其中，图4、图6、图10纵轴和横轴坐标均为500mv/div，图8的纵轴坐标为500mv/div,横轴坐标为200mv/div。相比较所述超混沌系统计算机模拟图形与电路仿真图形，两者图形一致，说明由本发明电路产生的超混沌吸引子满足要求。

Claims (1)

1.一种四维自治超混沌系统实现电路，其特征在于：包括第一通道电路、第二通道电路、第三通道电路和第四通道电路，还包括第一模拟乘法器A1、第二模拟乘法器A2、第三模拟乘法器A3和第四模拟乘法器A4，第四模拟乘法器A4的一端分别接受第二反相积分器U5的输出端和第三反相器U9的输出端的两路输入信号，第一模拟乘法器A1的另一端并接在第一反相加法器U1的反相输入端；第二模拟乘法器A2的一端分别接受第一反相器U3的输出端和第三反相器U9的输出端的两路输入信号，第二模拟乘法器A2的另一端并接在第二反相加法器U4的反相输入端；第三模拟乘法器A3的一端分别接受第一反相积分器U2的输出端和第二反相器U6的输出端的两路输入信号，第三模拟乘法器A3的另一端并接在所述第三反相加法器U7的反相输入端；第四模拟乘法器A4的一端分别接受第二反相器U6的输出端和第三反相器U9的输出端的两路输入信号，第四模拟乘法器A4的另一端并接在第四反相加法器U10的反相输入端；

其中，所述第一通道电路包括第一反相加法器U1、第一电阻R1，第二电阻R2、第三电阻R3，所述第一电阻R1、第二电阻R2、第三电阻R3的一端分别接收三路输入信号，第一电阻R1、第二电阻R2、第三电阻R3的另一端并接在第一反相加法器U1的反相输入端，第一反相加法器U1的正向输入端接地，第一反相加法器U1的输出端和反相输入端之间并接有第四电阻R4，第一反相加法器U1的输出端还通过第五电阻R5与第一反相积分器U2的反相输入端相接，第一反相积分器U2的正向输入端接地，第一反相积分器U2的输出端和反相输入端之间并接有第一电容C1，第一反相积分器U2的输出端和第二反相加法器U4的反相输入端之间并接有第八电阻R8，第一反相积分器U2的输出端与第三乘法器A3的输入端相接，第一反相积分器U2的输出端还通过第六电阻R6与第一反相器U3的反相输入端相接，第一反相器U3的正向输入端接地，第一反相器U3的输出端和反相输入端之间并接有第七电阻R7，第一反相器U3的输出端和第一电阻R1、第二乘法器A2的一端相接，将输出信号反馈到输入端；

所述第二通道电路包括第二反相加法器U4、第二反相积分器U5、第二反相器U6、第八电阻R8、第九电阻R9、第十电阻R10、第十一电阻R11，第八电阻R8、第九电阻R9、第十电阻R10、第十一电阻R11的一端分别接收四路输入信号，第八电阻R8、第九电阻R9、第十电阻R10、第十一电阻R11的另一端并接在第二反相加法器U4的反相输入端，第二反相加法器U4的正向输入端接地，第二反相加法器U4的输出端和反相输入端之间并接有第十二电阻 R12，第二反相加法器U4的输出端通过第十三电阻R13与第二反相积分器 U5的反相输入端相接，第二反相积分器U5的正向输入端接地，第二反相积分器U5的输出端和反相输入端之间并接有第二电容C2，第二反相积分器U5的输出端和第一反相加法器U1的反相输入端并接有第三电阻R3，第二反相积分器U5的输出端与第一乘法器A1的输入端相接，第二反相积分器U5的输出端通过第十四电阻R14与第二反相器U6的反相输入端相接，第二反相器U6的正向输入端接地，第二反相器U6的输出端和反相输入端之间并接有第十五电阻R15，第二反相器U6的输出端还和第九电阻R9、第三乘法器A3、第四乘法器A4的一端相接，将输出信号反馈到输入端；

所述第三通道电路包括第三反相加法器U7、第三反相积分器U8、第三反相器U9、第十六电阻R16、第十七电阻R17，第十六电阻R16的一端分别和第三反相器U9的输出端、第一乘法器A1的输入端相接，第十六电阻R16另一端和第三反相加法器U7的反相输入端相接，第十七电阻R17的一端和第三乘法器A3的输出端相接，第三反相加法器U7的正向输入端接地，第三反相加法器U7的输出端和反相输入端之间并接有第十八电阻 R18，第三反相加法器U7的输出端通过第十九电阻R19与第三反相积分器 U8的反相输入端相接，第三反相积分器U8的正向输入端接地，第三反相积分器U8的输出端和反相输入端之间并接有第三电容C3，第三反相积分器U8的输出端通过第二十电阻R20与第三反相器U9的反相输入端相接，第三反相器U9的正向输入端接地，第三反相器U9的输出端和反相输入端之间并接有第二十一电阻R21，第三反相器U9的输出端分别和第十六电阻R16、第一乘法器A1、第二乘法器A2、第四乘法器A4的一端相接，将输出信号反馈到输入端；

所述第四通道电路包括第四反相加法器U10、第四反相积分器U11、第四反相器U12、第二十二电阻R22、第二十三电阻 R23，第二十二电阻R22、第二十三电阻 R23的一端分别接收两路输入信号，第二十二电阻R22、第二十三电阻 R23的另一端并接在第四反相加法器U10的反相输入端，第四反相加法器U10的正向输入端接地，第四反相加法器 U10的输出端和反相输入端之间并接有第二十四电阻R24，所述第四反相加法器U10的输出端通过第二十五电阻R25与第四反相积分器U11的反相输入端相接，第四反相积分器U11的正向输入端接地，第四反相积分器U11的输出端和反相输入端之间并接有第四电容C4，第四反相积分器U11的输出端和第四反相加法器U10的反相输入端并接有第二十二电阻R22，第四反相积分器U11的输出端和第二反相加法器U4的反相输入端并接有第十一电阻R11，第四反相积分器 U11的输出端通过第二十六电阻R26与第四反相器U12的反相输入端相接，该第四反相器U12的正向输入端接地，第四反相器U12的输出端和反相输入端之间并接有第二十七电阻R27。