CN103150597A - 一种基于正弦函数多涡卷混沌吸引子产生方法 - Google Patents

Abstract

在JERK混沌系统的基础上，本发明提出了一个最简单而新颖的方法，采用正弦函数，通过系统变换，可以产生一维、二维及三维混沌系统，通过设置不同时间参数，可以产生不同数量的多涡卷混沌吸引子，对通信系统具有一定的应用价值。

Description

一种基于正弦函数多涡卷混沌吸引子产生方法

技术领域

本发明涉及通信技术领域，具体涉及一种基于正弦函数多涡卷混沌吸引子产生方法。

背景技术

上世纪90年代初，基于Chua电路归一化状态方程，Suykens和Vandewalle通过增加非线性函数曲线的转折点发现了多涡卷混沌吸引子。相比于传统的单涡卷和双涡卷混沌系统，多涡卷或多翼混沌系统呈现出更为复杂的吸引子拓扑结构，在电子、通信、系统控制等领域具有广阔的应用前景。因此，多涡卷混沌系统的理论分析和相应的电路实现成为混沌研究的一个热点.

已有很多文献在Chua电路方程、Colpitts电路方程或Lorenz系统族方程等模型框架下，通过引入不同的多转折点分段线性或非线性函数，获得了不同的多涡卷混沌系统产生模型，并从物理电路中生成了各种网格涡卷、多涡卷或多翼混沌或超混沌吸引子。多涡卷混沌系统的主要设计思想是，利用分段线性或者非线性函数改造已有混沌系统中的部分线性或者非线性项，或者在已有混沌系统中直接引入分段线性或者非线性函数，可以有效增加混沌系统的指数2平衡点数量，从而在一维、二维和三维空间上形成相应数量的多涡卷吸引子.典型的分段线性函数有锯齿波函数、阶梯函数、饱和函数、三角波函数和滞后函数等。近几年来，禹思敏等人在类Lorenz系统族方程上，利用多段非线性偶函数替换原系统方程中的非线性二次项，获得了多翼类Lorenz混沌吸引子；Yalcin、吕金虎、Mohamed和张朝霞等人分别采用一阶时滞控制、阈值控制、非自治系统阈值控制、多角正弦函数等方法生成了不同类型的多涡卷混沌吸引子.

上述文献一般是围绕吸引子涡卷数量进行设计，然而针对简易方程产生多涡卷吸引子的研究却鲜有报道，吸引子涡卷数量的增加可以使得吸引子的拓扑结构变得更为复杂，同样地，通过改变涡卷位置的分布可以致使吸引子的拓扑结构变得奇异多变，由此实现正弦函数的一维、二维及三维多涡卷系统能满足实际应用的需要。

发明内容

有鉴于此，为了解决上述问题，为此，本发明提出了基于正弦函数的多涡卷混沌吸引子产生方法。本发明的目的是这样实现的：基于正弦函数多涡卷混沌吸引子产生方法，其特征在于：包括一个JERK混沌系统；对所述的混沌系统进行适当变换，并利用正弦函数，可以产生一维、二维及三维多涡卷混沌吸引子。

引入正弦函数为

f(x)＝sin(2πbx)       (1)

其中，参数b为正常数。

进一步，根据JERK混沌系统为

${\stackrel{\·}{x}}_1=x_2$

${\stackrel{\·}{x}}_2=x_3---\left(2\right)$

${\stackrel{\·}{x}}_3=-{\mathrm{ax}}_2-{\mathrm{ax}}_3$

其中，参数a为正常数。

对JERK混沌系统(1)进行变换，产生一维涡卷混沌吸引子系统方程为：

${\stackrel{\·}{x}}_1=x_2$

${\stackrel{\·}{x}}_2=x_3---\left(3\right)$

${\stackrel{\·}{x}}_3=-{\mathrm{ax}}_2-{\mathrm{ax}}_3+\mathrm{af}\left(x_1\right)$

其中，函数f(x₁)为由方程(1)决定。

产生二维涡卷混沌吸引子系统方程为：

${\stackrel{\·}{x}}_1=x_2-f_2\left(x_2\right)$

${\stackrel{\·}{x}}_2=x_3---\left(4\right)$

${\stackrel{\·}{x}}_3=-{\mathrm{ax}}_1-{\mathrm{bx}}_2-{\mathrm{cx}}_3+a(f_1\left(x_1\right)+f_2\left(x_2\right))$

其中，函数f₁(x₁)，f₂(x₂)为：

f₁(x₁)＝sin(2πbx₁)      (5)

f₂(x₂)＝sin(2πbx₂)      (6)

产生三维涡卷混沌吸引子系统方程为：

${\stackrel{\·}{x}}_1=x_2-f_2\left(x_2\right)$

${\stackrel{\·}{x}}_2=x_3-f_3\left(x_3\right)---\left(7\right)$

${\stackrel{\·}{x}}_3=-{\mathrm{ax}}_2-{\mathrm{ax}}_3+a(f_1\left(x_1\right)+f_2\left(x_2\right)+f_3\left(x_3\right))$

其中，函数f₁(x₁)，f₂(x₂)同(5)、(6)式，函数f₃(x₃)为：

f₃(x₃)＝sin(2πbx₃)     (8)

通过与所述能产生一维、二维及三维混沌系统及对应参数a，b及时间t的值，从而控制涡卷数量。

对于现有技术，本发明的装置及方法具有如下优点：一个最简单而新颖的三维混沌系统，提出了通过正弦函数实现吸引子涡卷数量控制方法，实现对产生控制混沌信号涡卷数量进行了有效的控制。

本发明的其他优点，目标，和特征在某种程度上将在随后的说明书中进行阐述，并且在某种程度上，基于对下文的考察研究对本领域技术人员而言将是显而易见的，或者可以从本发明的实践中得到教导，本发明的目标和其他优点可以通过下面的说明书、权利要求书、以及附图中所特别指出的结构来实现和获得。

附图说明

为了使本发明的目的，技术方案和优点更加清楚，下面将结合附图对本发明作进一步的详细描述：

图1为本发明正弦函数的时域示意图；

图2为一维系统(3)的5涡卷混沌吸引子相图。

图3为二维系统(4)的11涡卷混沌吸引子相图；上图为(x₁，x₂)相图，下图为(x₁，x₃)相图。

图4为三维系统(7)的多涡卷混沌吸引子相图；(a)(x1，x2)(b)(x1，x3)(c)(x2，x3)(d)(x1，x2，x3)。

具体实施方式

以下将参照附图，对本发明的优选实施例进行详细的描述。

本发明提出了一种基于正弦函数混沌系统多涡卷混沌吸引子产生方法。

本发明的目的是这样实现的：基于正弦函数多涡卷混沌吸引子产生方法，其特征在于：包括一个JERK混沌系统；对所述的混沌系统进行适当变换，并利用正弦函数，可以产生一维、二维及三维多涡卷混沌吸引子。

引入正弦函数为

f(x)＝sin(2πbx)      (1)

其中，参数b为正常数。

进一步，根据JERK混沌系统为

${\stackrel{\·}{x}}_1=x_2$

${\stackrel{\·}{x}}_2=x_3---\left(2\right)$

${\stackrel{\·}{x}}_3=-{\mathrm{ax}}_2-{\mathrm{ax}}_3$

其中，参数a为正常数。

对JERK混沌系统(1)进行变换，产生一维涡卷混沌吸引子系统方程为：

${\stackrel{\·}{x}}_1=x_2$

${\stackrel{\·}{x}}_2=x_3---\left(3\right)$

${\stackrel{\·}{x}}_3=-{\mathrm{ax}}_2-{\mathrm{ax}}_3+\mathrm{af}\left(x_1\right)$

其中，函数f(x₁)为由方程(1)决定。当参数a＝0.3，t＝1000时，可以产生5涡卷混沌吸引子如图2所示。

产生二维涡卷混沌吸引子系统方程为：

${\stackrel{\·}{x}}_1=x_2-f_2\left(x_2\right)$

${\stackrel{\·}{x}}_2=x_3---\left(4\right)$

${\stackrel{\·}{x}}_3=-{\mathrm{ax}}_1-{\mathrm{bx}}_2-{\mathrm{cx}}_3+a(f_1\left(x_1\right)+f_2\left(x_2\right))$

其中，函数f₁(x₁)，f₂(x₂)为：

f₁(x₁)＝sin(2πbx₁)      (5)

f₂(x₂)＝sin(2πbx₂)      (6)

当参数a＝0.3，b＝0.25，t＝3000时，可以产生11涡卷混沌吸引子如图3所示。

产生三维涡卷混沌吸引子系统方程为：

${\stackrel{\·}{x}}_1=x_2-f_2\left(x_2\right)$

${\stackrel{\·}{x}}_2=x_3-f_3\left(x_3\right)---\left(7\right)$

${\stackrel{\·}{x}}_3=-{\mathrm{ax}}_2-{\mathrm{ax}}_3+a(f_1\left(x_1\right)+f_2\left(x_2\right)+f_3\left(x_3\right))$

其中，函数f₁(x₁)，f₂(x₂)同(5)、(6)式，函数f₃(x₃)为：

f₃(x₃)＝sin(2πbx₃)      (8)

当参数a＝b＝0.65，t＝2000时，可以产生多涡卷混沌吸引子分别如图4所示。

从图2、图3及图4可以看出，通过上述变形的一维、二维及三维混沌系统及对应正弦函数，设置不同参数a，b及时间t的值，从而可以控制涡卷数量。

Claims (4)

1.一种基于正弦函数多涡卷混沌吸引子产生方法，其特征在于：包括一个JERK混沌系统；对所述的混沌系统进行适当变换，并利用正弦函数，可以产生一维、二维及三维多涡卷混沌吸引子。

2.如权利要求1所述的多涡卷混沌信号产生方法，其特征在于：引入正弦函数为

f(x)＝sin(2πbx)      (1)

其中，参数b为正常数。

3.如权利要求1所述的多涡卷混沌信号产生方法，其特征在于：JERK混沌系统为

${\stackrel{\·}{x}}_1=x_2$

${\stackrel{\·}{x}}_2=x_3---\left(2\right)$

${\stackrel{\·}{x}}_3=-{\mathrm{ax}}_2-{\mathrm{ax}}_3$

其中，参数a为正常数。

对JERK混沌系统(1)进行变换，产生一维涡卷混沌吸引子系统方程为：

${\stackrel{\·}{x}}_1=x_2$

${\stackrel{\·}{x}}_2=x_3---\left(3\right)$

${\stackrel{\·}{x}}_3=-{\mathrm{ax}}_2-{\mathrm{ax}}_3+\mathrm{af}\left(x_1\right)$

其中，函数f(x₁)为由方程(1)决定。

产生二维涡卷混沌吸引子系统方程为：

${\stackrel{\·}{x}}_1=x_2-f_2\left(x_2\right)$

${\stackrel{\·}{x}}_2=x_3---\left(4\right)$

${\stackrel{\·}{x}}_3={-\mathrm{ax}}_1-{\mathrm{bx}}_2-{\mathrm{cx}}_3+a(f_1\left(x_1\right)+f_2\left(x_2\right))$

其中，函数f₁(x₁)，f₂(x₂)为：

f₁(x₁)＝sin(2πbx₁)      (5)

f₂(x₂)＝sin(2πbx₂)      (6)

产生三维涡卷混沌吸引子系统方程为：

${\stackrel{\·}{x}}_1=x_2-f_2\left(x_2\right)$

${\stackrel{\·}{x}}_2=x_3-f_3\left(x_3\right)---\left(7\right)$

${\stackrel{\·}{x}}_3=-{\mathrm{ax}}_2-{\mathrm{ax}}_3+a(f_1\left(x_1\right)+f_2\left(x_2\right)+f_3\left(x_3\right))$

其中，函数f₁(x₁)，f₂(x₂)同(5)、(6)式，函数f₃(x₃)为：

f₃(x₃)＝sin(2πbx₃)      (8)

4.如权利要求1所述的多涡卷混沌信号产生方法，其特征在于：还包括通过与所述能产生一维、二维及三维混沌系统及对应参数a，b及时间t的值，从而控制涡卷数量。

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