CN103150419A - 用解析函数表示的翼型及其生成方法 - Google Patents

Abstract

一种用解析函数表示的翼型及其生成方法，涉及叶轮机械的叶片或机翼及其制作方法。现有翼型一般采用正向设计法，即先确定翼型，然后用坐标数据库近似地描述其形状，无法通过更改坐标数据生成新的翼型，即不能实现反向设计。本发明提供一种用解析函数生成翼型的方法，函数中所有参数都有明确的几何意义，通过调整参数值，可按预期的方向生成翼型或翼型族，甚至能生成尾缘有厚度的翼型，实现反向设计，且函数图像能精确反映翼型形状，不会产生误差，另外函数式也比数据库简单，便于使用。利用上、下型线两个解析函数式进行组合可生成更复杂的翼型，还可通过调整参数值让解析函数逼近现有翼型，以得到已有翼型的近似表达式。

Description

用解析函数表示的翼型及其生成方法

技术领域

本发明涉及叶轮机械的叶片或机翼及其制作方法，尤其是叶片或机翼的翼型及其生成方法。

背景技术

目前，叶片或机翼的翼型型线一般由坐标数据库确定，即给出一系列坐标数据，然后按顺序用圆滑曲线连接数据表示的图像点阵，以此方法生成翼型型线。有很少的翼型可用多项式的图像近似表示，但是由于多项式中的参数没有明确的几何意义，且当多项式中的参数值发生变化时，图像会发生难以预知的变化，甚至无法表达翼型形状。问题是，一组坐标数据只能表示一个翼型；多项式中的参数值一般是给定的，因此一个多项式也只能表示一个翼型，无法表示一个翼型族。更进一步的问题是，通常只能先改变翼型形状，然后用坐标数据或多项式近似地描述翼型型线，此方式存在较大的误差，且无法通过更改坐标数据或多项式来生成可预期的翼型，即反向设计难以实现。

发明内容

为了克服叶片或机翼翼型制作中现有技术的不足，本发明提供一种用解析函数表示的翼型及其生成方法，当函数中的参数值发生变化时，就能生成一个新的翼型，并且所有参数的几何意义十分明确，通过调整参数值，可按预期的方向生成翼型，实现反向设计，且用一个带参变量的解析函数就能表达一个翼型族。

本发明解决其技术问题所采用的技术方案是：翼型的上型线用解析函数

$y_u=p_u{x}^{a_u}{(1-x)}^{b_u}+\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{q}_{\mathrm{ui}}{x}^{c_{\mathrm{ui}}}{(1-x)}^{d_{\mathrm{ui}}}$

表示，或者用其代数变换式表示，或者用其坐标变换式表示，或者用其参数方程表示，或者用其极坐标式表示；且对应于上型线，翼型的下型线分别用解析函数

$y_l=p_l{x}^{a_l}{(1-x)}^{b_l}-\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{q}_{\mathrm{li}}{x}^{c_{\mathrm{li}}}{(1-x)}^{d_{\mathrm{li}}}$

或者其代数变换式，或者其坐标变换式，或者其参数方程，或者其极坐标式表示；在以上两式中，x、y分别代表横坐标和纵坐标，下标u、l分别代表翼型的上、下型线，上型线参数p_u、a_u、b_u与q_ui、c_ui、d_ui(i＝1，2，3，...，N)和下型线参数p_l、a_l、b_l与p_lj、a_lj、b_lj(j＝1，2，3，...，N)的取值均为大于0的常数，N为大于或等于1的整数，翼型的弦长为单位弦长。

当N＝2时的技术方案为，翼型的上型线用解析函数

$y_u=p_u{x}^{a_u}{(1-x)}^{b_u}+q_u{x}^{c_u}{(1-x)}^{d_u}+r_u{x}^{e_u}{(1-x)}^{f_u}$

表示，或者用其代数变换式表示，或者用其坐标变换式表示，或者用其参数方程表示，或者其极坐标式表示；且对应于上型线，翼型的下型线分别用解析函数

$y_l=p_l{x}^{a_l}{(1-x)}^{b_l}-q_l{x}^{c_l}{(1-x)}^{d_l}-r_l{x}^{e_l}{(1-x)}^{f_l}$

或者用其代数变换式，或者其坐标变换式，或者其参数方程，或者其极坐标式表示；在以上两式中，x、y分别代表横坐标和纵坐标，下标u、l分别代表翼型的上、下型线，上型线参数p_u、q_u、r_u、a_u、b_u、c_u、d_u、e_u、f_u和下型线参数p_l、q_l、r_l、a_l、b_l、c_l、d_l、e_l、f_l的取值均为大于0的常数，翼型的弦长为单位弦长。

向参数赋值，可分别得到翼型上、下型线的函数表达式，在同一个坐标系中绘出它们的图像，可生成新的翼型。利用上、下型线两个解析函数式进行组合可生成复杂的翼型，还可通过调整参数值让解析函数逼近现有翼型，给出已有翼型的近似表达式。

当N＝1时，且翼型上、下型线对应的参数取值相同，翼型型线函数可简化为以下形式

y＝px^a(1-x)^b±qx^c(1-x)^d

该式取正号时表示上型线，取负号时表示下型线。式中参数p、q、a、b、c、d均为大于0的常数。从几何意义上观察，该式的第一项表示翼型的中弧线，由3个参数控制中弧线的形状：系数p控制整体中弧线的高低，x的指数a主要控制前端中弧线的高低，(1-x)的指数b主要控制后端中弧线的高低；该式第二项表示翼型的厚度，由3个参数控制厚度变化趋势：系数q控制整体厚度趋势，x的指数c主要控制前端厚度，(1-x)的指数d主要控制后端厚度。这些特征说明，给定的解析函数的参数具有明确的几何意义，通过调整参数，容易获得预期形状的翼型。

当N＝2时，且翼型上、下型线对应的参数取值相同，相当于在上式又追加了一个厚度项，则翼型型线函数表达式为

y＝px^a(1-x)^b±qx^c(1-x)^d±rx^e(1-x)^f

该式各项均取正号时表示上型线，后两项均取负号时该式表示下型线。第三项的作用是将尖尾缘翼型变换为尾缘有厚度的翼型，其中的各个参数与第二项对应的参数的几何意义相近。

在以上各式中，翼型的前缘均在原点。平移坐标轴，使得原点位于弦长的中点，则上式表示的翼型型线表达式可变换为以下形式

y＝p(1+2x)^a(1-2x)^b±q(1+2x)^c(1-2x)^d±r(1+2x)^e(1-2x)^f

这是两个函数式，各项取正号时该式表示上型线，后两项取负号时该式表示下型线，式中参数p、q、a、b、c、d、e、f均为大于0的常数，r为大于或等于0的常数。

进一步，还可将上式表示成参数方程形式：

$\left\{\begin{array}{c}x=\frac{1}{2}\cos \mathrm{\θ}\\ y=p{(1+\cos \mathrm{\θ})}^a{(1-\cos \mathrm{\θ})}^b\±q{(1+\cos \mathrm{\θ})}^c{(1-\cos \mathrm{\θ})}^d\±r{(1+\cos \mathrm{\θ})}^e{(1-\cos \mathrm{\θ})}^f\end{array}\right.$

式中θ为参变量，是翼型型线上相应点的逆时针方位角，各项取正号时该方程组表示上型线，第二个参数方程的后两项均取负号时该方程组表示下型线，式中参数p、q、a、b、c、d、e、f均为大于0的常数，r为大于或等于0的常数。特别地，当r＝0，且c＝1/2，d＝k+1/2(k为大于或等于0的常数)时，上式可变换为以下形式

$\left\{\begin{array}{c}x=\frac{1}{2}\cos \mathrm{\θ}\\ y=p{(1+\cos \mathrm{\θ})}^a{(1-\cos \mathrm{\θ})}^b+q{\sin \mathrm{\θ}(1-\cos \mathrm{\θ})}^k\end{array}\right.$

式中θ为参变量，是翼型型线上相应点的逆时针方位角，式中参数p、q、a、b、k均为大于0的常数。式中的sinθ在上半平面(0＜θ＜π)为正，在下半平面(π≤θ＜2π)为负，所以能起到消除正负号的作用，形成0≤θ＜2π范围的单闭曲线。

用解析函数表示的翼型的生成方法是：先确定上述相应函数，或者其代数变换式，或者其坐标变换式，或者其参数方程，或者其极坐标式的具体表达式，然后再分别按该相应函数，或者其代数变换式，或者其坐标变换式，或者其参数方程，或者其极坐标式的具体表达式生成翼型。确定具体表达式的方法是向参数赋值。

本发明的有益效果是，可利用两个解析函数分别表达翼型的上、下型线，通过更改解析函数中几何意义明确的参数值，可容易、快速地生成相应的翼型或翼型族，并实现由函数生成翼型的反向设计。特别是，翼型可由解析函数精确定义，不必用多项式或坐标数据库近似表达，大幅度减少了误差，还简化了翼型的表达方式。

附图说明

下面结合附图和实施例对本发明进一步说明。

图1是用解析函数生成的翼型图像实施例之一。

图2是用解析函数生成的翼型图像实施例之二。

图3是用解析函数生成的翼型图像实施例之三。

图4是用解析函数生成的翼型图像实施例之四。

图5是用解析函数生成的翼型图像实施例之五。

图6是用解析函数生成的翼型图像实施例之六。

图7是用解析函数生成的翼型图像实施例之七。

图8是用解析函数生成的翼型图像实施例之八。

具体实施方式

针对上述每一组解析函数，作为实施例给出具有确定的参数值的一些具体表达式，并绘制对应的翼型图像。

实施例之一：将分别表示上、下型线的解析函数

y＝0.4x^1.0(1-x)^1.0+0.3x^0.5(1-x)^1.5+0.07x^1.5(1-x)^0.5

y＝0.5x^1.2(1-x)^1.1-0.4x^0.6(1-x)^1.7-0.11x^1.3(1-x)^0.6

代入绘图软件中，并合并图像，可生成如图1所示的翼型。

实施例之二：将分别表示上、下型线的解析函数

y＝0.3x^3.0(1-x)^0.8+0.25x^0.5(1-x)^1.5

y＝0.3x^3.0(1-x)^0.8-0.25x^0.5(1-x)^1.5

代入绘图软件中，并合并图像，可生成如图2所示的翼型。

实施例之三：将分别表示上、下型线的解析函数

y＝0.3x^0.7(1-x)^1.3+0.25x^0.5(1-x)^1.5+0.05x^1.6(1-x)^0.5

y＝0.3x^0.7(1-x)^1.3-0.25x^0.5(1-x)^1.5-0.05x^1.6(1-x)^0.5

代入绘图软件中，并合并图像，可生成如图3所示的翼型。

实施例之四：将分别表示上、下型线的解析函数

y＝0.4x¹(1-x)¹+0.3x^0.5(1-x)^2.5+0.05x^1.2(1-x)^0.5

y＝0.4x¹(1-x)¹-0.3x^0.5(1-x)^2.5-0.05x^1.2(1-x)^0.5

代入绘图软件中，并合并图像，可生成如图4所示的翼型。

实施例之五：将分别表示上、下型线的解析函数

y＝0.1(1+2x)^1.0(1-2x)^1.0+0.05(1+2x)^0.5(1-2x)^1.5+0.01(1+2x)^1.5(1-2x)^0.5

y＝0.1(1+2x)^1.0(1-2x)^1.0-0.05(1+2x)^0.5(1-2x)^1.5-0.01(1+2x)^1.5(1-2x)^0.5

代入绘图软件中，并合并图像，可生成如图5所示的翼型。

实施例之六：将分别表示上、下型线的解析函数

y＝0.1(1+2x)^1.5(1-2x)^0.9+0.05(1+2x)^0.5(1-2x)^1.5+0.01(1+2x)^1.5(1-2x)^0.5

y＝0.1(1+2x)^1.5(1-2x)^0.9-0.05(1+2x)^0.5(1-2x)^1.5-0.01(0+2x)^1.5(1-2x)^0.5

代入绘图软件中，并合并图像，可生成如图6所示的翼型。

实施例之七：将分别表示上、下型线的解析函数参数方程

$\left\{\begin{array}{c}x=\frac{1}{2}\cos \mathrm{\θ}\\ y=0.1{(1+\cos \mathrm{\θ})}^{2.4}{(1-\cos \mathrm{\θ})}^{2.0}+0.05{(1+\cos \mathrm{\θ})}^{0.5}{(1-\cos \mathrm{\θ})}^{1.5}+0.01{(1+\cos \mathrm{\θ})}^{1.5}{(1-\cos \mathrm{\θ})}^{0.5}\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{c}x=\frac{1}{2}\cos \mathrm{\θ}\\ y=0.1{(1+\cos \mathrm{\θ})}^{2.4}{(1-\cos \mathrm{\θ})}^{2.0}-0.05{(1+\cos \mathrm{\θ})}^{0.5}{(1-\cos \mathrm{\θ})}^{1.5}-0.01{(1+\cos \mathrm{\θ})}^{1.5}{(1-\cos \mathrm{\θ})}^{0.5}\end{array}\right.$

代入绘图软件中(0≤θ＜π)，并合并图像，可生成如图7所示的翼型。

实施例之八：将解析函数参数方程

$\left\{\begin{array}{c}x=\frac{1}{2}\cos \mathrm{\θ}\\ y=0.15{(1+\cos \mathrm{\θ})}^{1.3}{(1-\cos \mathrm{\θ})}^{1.5}+0.05{\sin \mathrm{\θ}(1-\cos \mathrm{\θ})}^{1.5}\end{array}\right.$

代入绘图软件中(0≤θ＜2π)，可生成如图8所示的翼型。

Claims (10)

1.一种用解析函数表示的翼型，其特征是：翼型的上型线用解析函数

$y_u=p_u{x}^{a_u}{(1-x)}^{b_u}+\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{q}_{\mathrm{ui}}{x}^{c_{\mathrm{ui}}}{(1-x)}^{d_{\mathrm{ui}}}$

表示，或者用其代数变换式表示，或者用其坐标变换式表示，或者用其参数方程表示，或者用其极坐标式表示；

且对应于上型线，翼型的下型线分别用解析函数

$y_l=p_l{x}^{a_l}{(1-x)}^{b_l}-\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{q}_{\mathrm{li}}{x}^{c_{\mathrm{li}}}{(1-x)}^{d_{\mathrm{li}}}$

或者其代数变换式，或者其坐标变换式，或者其参数方程，或者其极坐标式表示；

式中，x、y分别代表横坐标和纵坐标，下标u、l分别代表翼型的上、下型线，上型线参数p_u、a_u、b_u与q_ui、c_ui、d_ui(i＝1，2，3，...，N)和下型线参数p_l、a_l、b_l与p_lj、a_lj、b_lj(j＝1，2，3，...，N)的取值均为大于0的常数，N为大于或等于1的整数，翼型的弦长为单位弦长。

2.根据权利要求1所述的用解析函数表示的翼型，其特征是：翼型的上型线用解析函数

$y_u=p_u{x}^{a_u}{(1-x)}^{b_u}+q_u{x}^{c_u}{(1-x)}^{d_u}+r_u{x}^{e_u}{(1-x)}^{f_u}$

表示，或者用其代数变换式表示，或者用其坐标变换式表示，或者用其参数方程表示，或者用其极坐标式表示；

且对应于上型线，翼型的下型线分别用解析函数

$y_l=p_l{x}^{a_l}{(1-x)}^{b_l}-q_l{x}^{c_l}{(1-x)}^{d_l}-r_l{x}^{e_l}{(1-x)}^{f_l}$

或者其代数变换式，或者其坐标变换式，或者其参数方程，或者其极坐标式表示；

在以上两式中，x、y分别代表横坐标和纵坐标，下标u、l分别代表翼型的上型线、下型线，上型线参数p_u、q_u、r_u、a_u、b_u、c_u、d_u、e_u、f_u和下型线参数p_l、q_l、r_l、a_l、b_l、c_l、d_l、e_l、f_l的取值均为大于0的常数，翼型的弦长为单位弦长。

3.根据权利要求1或2所述的用解析函数表示的翼型，其特征是：翼型型线用解析函数y＝px^a(1-x)^b±qx^c(1-x)^d±rx^e(1-x)^f

表示，各项取正号时该式表示上型线，后两项取负号时该式表示下型线，式中，x、y分别代表横坐标和纵坐标，参数p、q、r、a、b、c、d、e、f均为大于0的常数。

4.根据权利要求1所述的用解析函数表示的翼型，其特征是：翼型型线用解析函数

y＝px^a(1-x)^b±qx^c(1-x)^d

表示，该式取正号时表示上型线，取负号时表示下型线，式中，x、y分别代表横坐标和纵坐标，参数p、q、a、b、c、d均为大于0的常数。

5.根据权利要求1或2所述的用解析函数表示的翼型，其特征是：翼型型线用解析函数y＝p(1+2x)^a(1-2x)^b±q(1+2x)^c(1-2x)^d±r(1+2x)^e(1-2x)^f

表示，各项取正号时该式表示上型线，后两项取负号时该式表示下型线，式中，x、y分别代表横坐标和纵坐标，参数p、q、a、b、c、d、e、f均为大于0的常数，r为大于或等于0的常数。

6.根据权利要求1或2所述的用解析函数表示的翼型，其特征是：翼型型线用参数方程形式的解析函数

$\left\{\begin{array}{c}x=\frac{1}{2}\cos \mathrm{\θ}\\ y=p{(1+\cos \mathrm{\θ})}^a{(1-\cos \mathrm{\θ})}^b\±q{(1+\cos \mathrm{\θ})}^c{(1-\cos \mathrm{\θ})}^d\±r{(1+\cos \mathrm{\θ})}^e{(1-\cos \mathrm{\θ})}^f\end{array}\right.$

表示，各项取正号时该方程组表示上型线，第二个参数方程的后两项均取负号时该方程组表示下型线，式中x、y分别代表横坐标和纵坐标，θ为参变量，参数p、q、a、b、c、d、e、f均为大于0的常数，r为大于或等于0的常数。

7.根据权利要求1或2所述的用解析函数表示的翼型，其特征是：翼型型线用参数方程形式的解析函数

$\left\{\begin{array}{c}x=\frac{1}{2}\cos \mathrm{\θ}\\ y=p{(1+\cos \mathrm{\θ})}^a{(1-\cos \mathrm{\θ})}^b+q{\sin \mathrm{\θ}(1-\cos \mathrm{\θ})}^k\end{array}\right.$

表示，式中x、y分别代表横坐标和纵坐标，θ为参变量，参数p、q、a、b、k均为大于0的常数。

8.用解析函数表示的翼型的生成方法，其特征是：包括以下步骤

1)先确定解析函数

$y_u=p_u{x}^{a_u}{(1-x)}^{b_u}+\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{q}_{\mathrm{ui}}{x}^{c_{\mathrm{ui}}}{(1-x)}^{d_{\mathrm{ui}}}$

$y_l=p_l{x}^{a_l}{(1-x)}^{b_l}-\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{q}_{\mathrm{li}}{x}^{c_{\mathrm{li}}}{(1-x)}^{d_{\mathrm{li}}}$

或者其代数变换式，或者其坐标变换式，或者其参数方程，或者其极坐标式的具体表达式；

2)按该函数，或者其代数变换式，或者其坐标变换式，或者其参数方程，或者其极坐标式的具体表达式生成翼型；

在以上两式中，x、y分别代表横坐标和纵坐标，下标u、l分别代表翼型的上、下型线，上型线参数p_u、a_u、b_u与q_ui、c_ui、d_ui(i＝1，2，3，...，N)和下型线参数p_l、a_l、b_l与p_lj、a_lj、b_lj(j＝1，2，3，...，N)的取值均为大于0的常数，N为大于或等于1的整数，翼型的弦长为单位弦长。

9.根据权利要求8所述的用解析函数表示的翼型的生成方法，其特征是：

先确定解析函数

y＝px^a(1-x)^b±qx^c(1-x)^d±rx^e(1-x)^f

或者其代数变换式，或者其坐标变换式，或者其参数方程，或者其极坐标式的具体表达式；然后再按该函数，或者其代数变换式，或者其坐标变换式，或者其参数方程，或者其极坐标式的具体表达式生成翼型；

上式各项取正号时表示上型线，后两项取负号时上式表示下型线，式中x、y分别代表横坐标和纵坐标，参数p、q、a、b、c、d、e、f均为大于0的常数，r为大于或等于0的常数。

10.根据权利要求8或9所述的用解析函数表示的翼型的生成方法，其特征是：先确定参数方程形式的解析函数

$\left\{\begin{array}{c}x=\frac{1}{2}\cos \mathrm{\θ}\\ y=p{(1+\cos \mathrm{\θ})}^a{(1-\cos \mathrm{\θ})}^b\±q{(1+\cos \mathrm{\θ})}^c{(1-\cos \mathrm{\θ})}^d\±r{(1+\cos \mathrm{\θ})}^e{(1-\cos \mathrm{\θ})}^f\end{array}\right.$

的具体表达式；

然后再按该函数的具体表达式生成翼型；

式中各项取正号时该方程组表示上型线，第二个参数方程的后两项均取负号时该方程组表示下型线，

式中x、y分别代表横坐标和纵坐标，θ为参变量，参数p、q、a、b、c、d、e、f均为大于0的常数，r为大于或等于0的常数。

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