CN103092078A - 多阶段间歇生产过程的全程优化方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种多阶段间歇生产过程的全程优化方法，包括以下步骤：S1：采集一个多阶段生产过程的多批生产数据并进行预处理，所述生产数据包括过程参数和产品质量属性数据；S2：采用递进PLS方法建立过程参数与产品质量属性数据之间的PLS模型；S3：确定优化目标，结合所述PLS模型计算产品质量属性符合优化目标的贝叶斯后验预测概率，选择贝叶斯后验预测概率最大的过程参数组合作为优化结果。应用本发明的优化方法，可为多阶段生产过程的每一阶段提供符合既定质量目标的最优工艺操作，最终达到稳定并提高产品质量的目的。

Description

多阶段间歇生产过程的全程优化方法

技术领域

本发明属于生产过程控制与优化领域，特别涉及一种多阶段间歇生产过程的全程优化方法。

背景技术

间歇过程在现代制造业占有重要地位，广泛应用于药品、化工产品、生物制品、农产品等高附加值产品的加工制造领域。在实际生产中，由多个过程单元或工序按照一定顺序组成的间歇过程，称为多阶段间歇过程。多阶段间歇过程的主要目的在于提高产品的性能，保证产品质量的稳定性，以增强产品的市场竞争力。与间歇过程单元不同，多阶段间歇生产过程的控制与优化因其复杂的本质而更具有挑战性。

一般来说，多阶段间歇过程主要具有以下特点：（1）间歇过程单元是多阶段间歇过程的基本单位，无稳定工作点，运行时间有限。（2）不同过程单元之间具有复杂的相互作用关系，一个单元的输出是与其相连的单元的输入，下游单元的操作受到上游单元的影响；不同的过程参数和过程单元之间可能存在临时的、不可预知的作用关系。（3）最终产品的质量是原料经多个阶段加工的累积作用结果；过程参数和过程单元对产品质量的影响程度，会随着多阶段生产过程的进行而发生变化。（4）来自原料质量的波动或某一过程单元的扰动，会随生产过程的进行传递到最终产品的质量，造成最终产品批次间的差异。

以产品质量为导向的多阶段间歇过程优化控制的难点，在于如何构建过程参数与产品质量之间的关系模型，以体现产品质量在多阶段生产过程中的传递规律；以及如何利用模型建立有效的优化控制策略，以应对原料波动和过程单元扰动，提高并稳定产品质量。经文献检索发现，俄罗斯化学物理研究所的Alexey Pomerantsev在《Chemometricsand Intelligent Laboratory Systems》（81，165-179，2006）上撰文“Processcontrol and optimization with simple interval calculation method（SIC方法在过程优化与控制中的应用）”，提出利用递进PLS（偏最小二乘回归）建模进行质量预测，利用PLS通路建模和SIC方法进行多阶段生产过程的参数优化。但PLS通路建模和SIC方法结合操作步骤繁琐，并且SIC自身理论不完备，使得优化存在一定经验性；且由于其优化目标是最大化某一质量指标，忽略了产品质量的连续性。

发明内容

本发明的目的是提供一种多阶段间歇生产过程的全程优化方法，以优化生产过程中每个阶段的工艺参数，为产品质量符合既定目标提供持续最优的保证。

为了实现上述目的，本发明提供了一种多阶段间歇生产过程的全程优化方法，包括以下步骤：

S1：采集一个多阶段生产过程的多批生产数据并进行预处理，所述生产数据包括过程参数和产品质量属性数据；

S2：采用递进PLS方法建立过程参数与产品质量属性数据之间的PLS模型；

S3：确定优化目标，结合所述PLS模型计算产品质量属性符合优化目标的贝叶斯后验预测概率，选择贝叶斯后验预测概率最大的过程参数组合作为优化结果。

作为优选，步骤S1具体包括：

S101：采集数据：

采集一个多阶段生产过程的m批生产数据，每批生产数据分别包括n个过程参数和q个产品质量属性数据，则过程参数组成大小为m×n的矩阵X，产品质量属性数据组成大小为m×q的矩阵Y；

S102：数据预处理及样本划分：

对所有生产数据进行归一化预处理以消除量纲差异，并采用样本划分方法将全部样本划分为校正集和验证集，其中校正集数据用于建立PLS模型，验证集数据用于验证PLS模型；

S103：重组数据：

若所述多阶段生产过程由k个阶段组成，则将每个阶段的过程参数分别以矩阵X_j表示，其中1≤j≤k，则过程参数矩阵X分解为k个矩阵X₁～X_k；在第j个阶段，将矩阵X₁～X_j重组形成联合矩阵X_(j)：

X_(j)=(X₁,X₂,...,X_j)    (1)

形成的k个联合矩阵用于多阶段过程模型的建立。

作为进一步地优选，步骤S2具体包括：

S201：选择最优潜变量因子数：

结合化学计量学指标，采用交叉验证的方法选择最优潜变量因子数p，其中所述化学计量学指标包括校正误差均方根、交叉验证误差均方根、预测误差均方根和/或预测残差平方和；

S202：建立PLS模型：

采用PLS的方法建立联合矩阵X_(j)和产品质量属性数据矩阵Y之间的PLS潜变量回归模型，其表述形式为：

XY_j：Y_j＝T_jV_j+E_j      (2)

其中T_j为得分矩阵，V_j为内部回归系数矩阵，E_j为模型误差矩阵；

T_j由权重矩阵W_j和载荷矩阵P_j计算得到，计算方法如下：

$T_j=X_{\left(j\right)}{W}_j{\left(P_j^T{W}_j\right)}^{-1}---\left(3\right)$

V_j由普通最小二乘法估计得到，计算方法如下：

$V_j={\left({T_j}^T{T}_j\right)}^{-1}{T_j}^{T}Y---\left(4\right)$

在生产过程中，随着过程阶段的递进，建立k个PLS模型，即XY₁，XY₂,…XY_k；

S203：存储模型参数：

存储在第j个阶段进行PLS建模时的参数W_j、P_j、T_j、V_j，供优化计算使用。

作为进一步地优选，步骤S3具体包括：

S301：确定优化目标；

优化目标指对产品质量属性数据的要求和规定，用于设定每个产品质量属性数据的控制上限和/或控制下限，优化目标以O来表示；优化从第2个阶段开始，假定第j个阶段为待优化阶段，则优化问题转化为根据如下表达式进行优化目标的确定：

$x_{\mathrm{jopt}}=\arg \max P(\widehat{y_j}\∈O|\mathrm{Data},x_j)x_j\∈L_j---\left(5\right)$

其中j表示第j个阶段为待优化阶段，Data表示所有能够利用的信息和数据，L_j是第j个阶段所有可控工艺参数的组合，P(·)代表产品质量属性数据满足优化目标的贝叶斯后验预测概率，所述优化目标的确定是在L_j内找到具有最大P(·)值的一组过程参数的组合X_jopt；

S302：构建过程参数全排列矩阵：

对于一个新的生产过程，过程参数和产品质量属性数据分别以向量x和y来表示；假定第j个阶段为待优化阶段，则第j个阶段中的过程参数x_j首先被分解为可观测过程参数x_jobs和可控过程参数x_jcon，其中，可控过程参数是优化调节的对象；因此，将第j个阶段中的可观测过程参数x_jobs和前j-1个阶段中已发生的过程参数x_(j-1)组合形成固定参数向量x_jfixed；根据第j个阶段中可控过程参数的优化范围和控制精度，将各可控参数进行全排列，然后将其中每个排列组合与x_jfixed重组形成全排列矩阵，形式如下：

$D_j=\left(\begin{array}{cc}{x}_{\mathrm{jfixed}}& x_{\mathrm{jcon}-1}\\ x_{\mathrm{jfixed}}& x_{\mathrm{jcon}-2}\\ \·& \·\\ \·& \·\\ \·& \·\\ x_{\mathrm{jfixed}}& x_{\mathrm{jcon}-N}\end{array}\right)---\left(6\right)$

其中N为全排列组合的数目；

S303：计算贝叶斯后验预测概率：

假定向量d为D_j中的一行，其贝叶斯后验预测概率的计算方法如下：

首先假设公式（2）中的PLS潜变量回归模型中的参数V_j和E_j服从Jeffreys无信息先验分布，即：

p(V_j,E_j)∝p(V_j)p(E_j)   (7)

则参数V_j和E_j的先验密度满足如下形式：

p(V_j,E_j)∝|E_j|^-(q+1)/2      (8)

PLS模型XY_j的预测值

的后验预测密度通过Studentt分布获得，即：

$\tilde{y}|\mathrm{Data},t~t_q^v(t^T{V}_j,{H_j}^{-1})---\left(9\right)$

其中v表示自由度：v=m–p–q+1    (10)

$t={\left({W_j}^T{P}_j\right)}^{-1}{W_j}^T{d}^T---\left(11\right)$

$H_j=\frac{v{S_j}^{-1}}{1+t^T{\left({T_j}^T{T}_j\right)}^{-1}t}---\left(12\right)$

S_j＝(Y-T_jV_j)^T(Y-T_jV_j)             (13)

预测值

的后验预测分布通过以下方法获得：首先从正态分布N（0，H^-1）中随机抽取向量u，利用χ²分布在自由度为v时产生独立随机数c，则的一个仿真估计值由以下公式计算：

$\tilde{y}=t^T{V}_j+u\sqrt{(v/c)}---\left(14\right)$

重复运行上述预测值的后验预测分布的估计方法，逼近预测值

的后验预测分布；计算分布中满足优化目标O的预测值的比例，即为向量d的贝叶斯后验预测概率P(·)；

S304：运行全程优化：

计算D_j中每个行向量的贝叶斯后验预测概率，选择P(·)值最大的x_jcon作为第j阶段的优化结果；从第2阶段开始，运行上述优化过程，直至过程结束，完成多阶段生产过程的全程优化。

与现有技术相比，本发明的多阶段间歇生产过程的全程优化方法具有以下有益效果：本发明将贝叶斯方法应用于生产过程优化，并解决了在PLS潜变量空间推导计算贝叶斯后验概率的技术问题，当过程参数数据存在高度共线性时，该方法同样适用；应用本发明的优化方法，可为多阶段生产过程的每一阶段提供符合既定质量目标的最优工艺操作，最终达到稳定并提高产品质量的目的。

附图说明

图1为本发明的多阶段间歇生产过程的全程优化方法的流程示意图；

图2为本发明具体实施例中PLS模型XY₆最优潜变量因子数的选择示意图；

图3为本发明具体实施例中验证集48批生产过程的仿真优化结果示意图；

图4为本发明具体实施例中验证集第1、7、15、30和44批次仿真优化前后的概率轨迹对比示意图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明的具体实施例进行详细说明

一种中药栀子提取液的制备工艺，其主要包括提取、浓缩、醇沉、收醇、水沉、精制六个工艺单元，是典型的多阶段批次生产过程。通过六个阶段的生产操作，将有效成分栀子苷从栀子药材转移到栀子提取液中，杂质成分被不断去除。栀子药材和栀子提取液中的栀子苷含量由HPLC法测定。工艺目标是尽量避免多阶段生产过程中栀子苷的损失，同时使栀子提取液中栀子苷含量在一定范围内保持稳定。

以上述栀子提取液的生产过程为例，采用本发明的多阶段间歇生产过程的全程优化方法，实现上述工艺目标的步骤如下：

（1）第一阶段S1：数据采集与预处理

第一步S101：数据采集：

采集162批栀子提取液多阶段生产过程历史数据，每批包括22个过程参数，以x₁至x₂₂表示，每个阶段的过程参数分布如表1所示，质量属性数据为栀子提取液中栀子苷的浓度；将过程参数组成162×22的矩阵X，将产品质量属性数据组成大小为162×1的矩阵Y。

表1栀子提取液生产过程阶段及过程参数信息

第二步S102：数据预处理及样本划分：

对所有生产数据进行归一化预处理，将所有数据归一化至-1到1之间，以消除量纲差异；采用Kennard-Stone算法将全部样本划分为校正集114批和验证集48批，其中校正集数据用于建立PLS模型，验证集数据用于验证PLS模型；当然也可以采用其他样本划分方法进行样本划分。

第三步S103：数据重组：

由于栀子提取液的生产过程由六个阶段组成，所以将过程参数矩阵X分解为6个矩阵块，即X₁到X₆。在第j个阶段（1≤j≤6），矩阵X₁到X_j重组形成联合矩阵X_(j)：

X_(j)=(X_1,X_2,..._,X_j)    (1)

本例中，形成的6个联合矩阵用于多阶段过程模型的建立。

（2）第二阶段S2：递进PLS建模

第四步S201：最优潜变量因子数目的选择：

采用交叉验证的方法（如留一交叉验证或K折交叉验证等），结合校正误差均方根（RMSEC）、交叉验证误差均方根（RMSECV）、预测误差均方根（RMSEP）、预测残差平方和（PRESS）等化学计量学指标选择最优潜变量因子数；例如可以采用留一交叉验证的方法，以模型XY₆为例，其最优潜变量因子数的选择如图3所示，RMSEC、RMSEP、可解释的X矩阵和Y矩阵信息百分比稳定在第7个潜变量因子，因此选择7个潜变量因子建立模型XY₆。

第五步S202：递进PLS模型的建立：

采用PLS的方法建立过程参数联合矩阵X_(j)和栀子苷浓度Y之间的PLS潜变量回归模型XY_j，其表述形式为：

XY_j:Y_j＝T_jV_j+E_j      (2)

其中为T_j为得分矩阵，V_j为内部回归系数矩阵，E_j为模型误差矩阵。

本例中T_j由NIPALS算法分解得到的权重矩阵W_j和载荷矩阵P_j计算得到，计算方法如下：

$T_j=X_{\left(j\right)}{W}_j{\left(P_j^T{W}_j\right)}^{-1}---\left(3\right)$

V_j由普通最小二乘法估计得到，计算方法如下：

$V_j={\left({T_j}^T{T}_j\right)}^{-1}{T_j}^{T}Y---\left(4\right)$

在生产过程中，随着过程阶段的递进，可以建立6个PLS模型，即XY₁到XY₆。对每一个建立的模型，采用RMSEC、RMSECV、RMSEP、相关系数r和相对预测偏差（RPD）等指标来评价模型的性能，结果如表2所示。

表2递进PLS模型的性能评价

第六步S203：PLS模型参数存储；

存储在第j个阶段进行PLS建模时的参数W_j、P_j、T_j、V_j，供优化计算使用。

（3）第三阶段S3：全程优化

第七步S301：优化目标的确定：

本实施例中，162批栀子提取液中栀子苷浓度分布在1到-1之间，其分布范围较宽，低浓度的提取液意味着多阶段生产过程中存在栀子苷的损失；因此优化目标考虑使栀子提取液稳定在一个较高的栀子苷浓度水平；本实施例中，设定优化目标为[0.5，1]，以O来表示。优化从第2阶段开始，假定第j个阶段为待优化阶段，则优化问题转化为如下表达式：

$x_{\mathrm{jopt}}=\arg \max P(\widehat{y_j}\∈O|\mathrm{Data},x_j)x_j\∈L_j---\left(5\right)$

其中Data代表所有可以利用的信息和数据，L_j是第j阶段所有可能的可控工艺参数的组合，P(·)代表质量属性数据满足产品目标的贝叶斯后验预测概率，优化目标是在L_j内找到具有最大P(·)值一组工艺参数的组合x_jopt。

第八步S302：过程参数全排列矩阵的构建：

对于一个新的待优化生产过程，过程参数和质量属性数据分别以向量x和y来表示；假定第j个阶段为待优化阶段，则第j个阶段中的过程参数x_j首先被分解为可观测过程参数x_jobs和可控过程参数x_jcon，其中，可观测过程参数仅能被测量，而不能被控制。只有可控过程参数是优化调节的对象；因此，将第j个阶段中的可观测过程参数x_jobs和前j-1个阶段中已发生的过程参数x_(j-1)组合形成固定参数向量x_jfixed。根据第j个阶段中可控过程参数的优化范围和控制精度，将各可控参数进行全排列，然后将其中每一个排列组合与x_jfxed重组形成全排列矩阵，形式如下：

$D_j=\left(\begin{array}{cc}{x}_{\mathrm{jfixed}}& x_{\mathrm{jcon}-1}\\ x_{\mathrm{jfixed}}& x_{\mathrm{jcon}-2}\\ \·& \·\\ \·& \·\\ \·& \·\\ x_{\mathrm{jfixed}}& x_{\mathrm{jcon}-N}\end{array}\right)---\left(6\right)$

以醇沉阶段为例，醇沉工艺中四个可控过程参数x₁₀-x₁₃，按照其各自的控制精度和控制范围，全排列方式为11×10×11×37，则全排列组合数N为44770。44770个x_3con分别与x_3fixed重组形成全排列矩阵D₃。

第九步S303：贝叶斯后验预测概率的计算：

假定向量d为D_j中的某一行，其贝叶斯后验预测概率的计算方法如下：

首先假设公式（2）中的PLS潜变量回归模型中的参数V_j和E_j服从Jeffreys无信息先验分布，即：

p(V_j,E_j)∝p(V_j)p(E_j)    (7)

则参数V_j和E_j的先验密度满足如下形式：

p(V_j,E_j)∝|E_j|^-(q+1)/2      (8)

PLS模型XY_j的预测值

的后验预测密度可通过Student t分布获得，即：

$\tilde{y}|\mathrm{Data},t~t_q^v(t^T{V}_j,{H_j}^{-1})---\left(9\right)$

其中v表示自由度：v=m-p-q+1    (10)

$t={\left({W_j}^T{P}_j\right)}^{-1}{W_j}^T{d}^T---\left(11\right)$

$H_j=\frac{v{S_j}^{-1}}{1+t^T{\left({T_j}^T{T}_j\right)}^{-1}t}---\left(12\right)$

S_j＝(Y-T_jV_j)^T(Y-T_jV_j)           (13)

预测值

的后验预测分布可以通过Monte-Carlo仿真的方法进行逼近：首先从正态分布N（0，H^-1）中随机抽取向量u，利用χ²分布在自由度为v时产生独立随机数c，则

的一个仿真估计值可以由以下公式计算：

$\tilde{y}=t^T{V}_j+u\sqrt{(v/c)}---\left(14\right)$

本例中，上述Monte-Carlo仿真运行次数设定为10000，由此可获得预测值

的后验预测分布。计算分布中满足质量目标O的预测值的比例，即为向量d的贝叶斯后验预测概率P(·)。

第十步S304：全程优化运行及结果：

计算D_j中每一行向量的贝叶斯后验预测概率，选择P(·)值最大的x_jcon作为第j阶段的优化结果。从第2阶段开始，运行上述优化过程，直至过程结束，完成多阶段生产过程的全程优化。本例对验证集中48批生产过程进行了仿真优化，以优化后的过程参数代入模型XY₆对栀子提取液中栀子苷的浓度进行预测，结果附图3所示，有47批的栀子苷浓度预测值落在目标范围之内，显示了本方法良好的优化性能。

贝叶斯后验概率的大小反映了过程状态符合优化目标的程度，因此多阶段过程（优化或非优化）进行至每一阶段的P(·)值相连形成的概率轨迹。本例中，选择批次1、7、15、30和44五个批次，绘制其优化前后的的概率轨迹，结果如附图4所示。未优化的批次随着阶段递进，概率轨迹的变化没有规律。而使用本发明的优化方法后，规律轨迹随阶段递进，呈现递增趋势，表明符合既定质量目标的概率不断增加。概率轨迹可以帮助过程管理人员或操作人员监控生产过程的状态。

以上实施例仅为本发明的示例性实施例，不用于限制本发明，本发明的保护范围由权利要求书限定。本领域技术人员可以在本发明的实质和保护范围内，对本发明做出各种修改或等同替换，这种修改或等同替换也应视为落在本发明的保护范围内。

Claims (4)

1.一种多阶段间歇生产过程的全程优化方法，其特征在于，包括以下步骤：

S1：采集一个多阶段生产过程的多批生产数据并进行预处理，所述生产数据包括过程参数和产品质量属性数据；

S2：采用递进PLS方法建立过程参数与产品质量属性数据之间的PLS模型；

S3：确定优化目标，结合所述PLS模型计算产品质量属性符合优化目标的贝叶斯后验预测概率，选择贝叶斯后验预测概率最大的过程参数组合作为优化结果。

2.根据权利要求1所述的多阶段间歇生产过程的全程优化方法，其特征在于，

步骤S1具体包括：

S101：采集数据：

采集一个多阶段生产过程的m批生产数据，每批生产数据分别包括n个过程参数和q个产品质量属性数据，则过程参数组成大小为m×n的矩阵X，产品质量属性数据组成大小为m×q的矩阵Y；

S102：数据预处理及样本划分：

对所有生产数据进行归一化预处理以消除量纲差异，并采用样本划分方法将全部样本划分为校正集和验证集，其中校正集数据用于建立PLS模型，验证集数据用于验证PLS模型；

S103：重组数据：

若所述多阶段生产过程由k个阶段组成，则将每个阶段的过程参数分别以矩阵X_j表示，其中1≤j≤k，则过程参数矩阵X分解为k个矩阵X₁～X_k；在第j个阶段，将矩阵X₁～X_j重组形成联合矩阵X_(j)：

X_(j)=(X₁,X₂，...,X_j)    (1)

形成的k个联合矩阵用于多阶段过程模型的建立。

3.根据权利要求2所述的多阶段间歇生产过程的全程优化方法，其特征在于，

步骤S2具体包括：

S201：选择最优潜变量因子数：

结合化学计量学指标，采用交叉验证的方法选择最优潜变量因子数p，其中所述化学计量学指标包括校正误差均方根、交叉验证误差均方根、预测误差均方根和/或预测残差平方和；

S202：建立PLS模型：

采用PLS的方法建立联合矩阵X_(j)和产品质量属性数据矩阵Y之间的PLS潜变量回归模型，其表述形式为：

XY_j：Y_j＝T_jV_j+E_j    (2)

其中T_j为得分矩阵，V_j为内部回归系数矩阵，E_j为模型误差矩阵；

T_j由权重矩阵W_j和载荷矩阵P_j计算得到，计算方法如下：

$T_j=X_{\left(j\right)}{W}_j{\left(P_j^T{W}_j\right)}^{-1}---\left(3\right)$

V_j由普通最小二乘法估计得到，计算方法如下：

$V_j={\left({T_j}^T{T}_j\right)}^{-1}{T_j}^{T}Y---\left(4\right)$

在生产过程中，随着过程阶段的递进，建立k个PLS模型，即XY₁，XY₂,…XY_k；

S203：存储模型参数：

存储在第j个阶段进行PLS建模时的参数W_j、P_j、T_j、V_j，供优化计算使用。

4.根据权利要求3所述的多阶段间歇生产过程的全程优化方法，其特征在于，

步骤S3具体包括：

S301：确定优化目标：

根据如下表达式进行优化目标的确定：

$x_{\mathrm{jopt}}=\arg \max P(\widehat{y_j}\∈O|\mathrm{Data},x_j)x_j\∈L_j---\left(5\right)$

其中j表示第j个阶段为待优化阶段，Data表示所有能够利用的信息和数据，L_j是第j个阶段所有可控工艺参数的组合，P(·)代表产品质量属性数据满足优化目标的贝叶斯后验预测概率，所述优化目标的确定是在L_j内找到具有最大P(·)值的一组过程参数的组合X_jopt；

S302：构建过程参数全排列矩阵：

对于一个新的生产过程，过程参数和产品质量属性数据分别以向量x和y来表示；假定第j个阶段为待优化阶段，则第j个阶段中的过程参数x_j首先被分解为可观测过程参数x_jobs和可控过程参数x_jcon，其中，可控过程参数是优化调节的对象；因此，将第j个阶段中的可观测过程参数x_jobs和前j-1个阶段中已发生的过程参数x_(j-1)组合形成固定参数向量x_jfixed；根据第j个阶段中可控过程参数的优化范围和控制精度，将各可控参数进行全排列，然后将其中每个排列组合与x_jfixed重组形成全排列矩阵，形式如下：

$D_j=\left(\begin{array}{cc}{x}_{\mathrm{jfixed}}& x_{\mathrm{jcon}-1}\\ x_{\mathrm{jfixed}}& x_{\mathrm{jcon}-2}\\ \·& \·\\ \·& \·\\ \·& \·\\ x_{\mathrm{jfixed}}& x_{\mathrm{jcon}-N}\end{array}\right)---\left(6\right)$

其中N为全排列组合的数目；

S303：计算贝叶斯后验预测概率：

假定向量d为D_j中的一行，其贝叶斯后验预测概率的计算方法如下：

首先假设公式（2）中的PLS潜变量回归模型中的参数V_j和E_j服从Jeffreys无信息先验分布，即：

p(V_j,E_j)∝p(V_j)p(E_j)    (7)

则参数V_j和E_j的先验密度满足如下形式：

p(V_j,E_j)∝|E_j|^-(q+1)/2      (8)

PLS模型XY_j的预测值

的后验预测密度通过Student t分布获得，即：

$\tilde{y}|\mathrm{Data},t~t_q^v(t^T{V}_j,{H_j}^{-1})---\left(9\right)$

其中v表示自由度：v=m-p-q+1    (10)

$t={\left({W_j}^T{P}_j\right)}^{-1}{W_j}^T{d}^T---\left(11\right)$

$H_j=\frac{v{S_j}^{-1}}{1+t^T{\left({T_j}^T{T}_j\right)}^{-1}t}---\left(12\right)$

S_j＝(Y-T_jV_j)^T(Y-T_jV_j)          (13)

预测值

的后验预测分布通过以下方法获得：首先从正态分布N（0，H^-1）中随机抽取向量u，利用χ²分布在自由度为v时产生独立随机数c，则

的一个仿真估计值由以下公式计算：

$\tilde{y}=t^T{V}_j+u\sqrt{(v/c)}---\left(14\right)$

重复运行上述预测值的后验预测分布的估计方法，逼近预测值

的后验预测分布；计算分布中满足优化目标O的预测值的比例，即为向量d的贝叶斯后验预测概率P(·)；

S304：运行全程优化：

计算D_j中每个行向量的贝叶斯后验预测概率，选择P(·)值最大的x_jcon作为第j阶段的优化结果；从第2阶段开始，运行上述优化过程，直至过程结束，完成多阶段生产过程的全程优化。

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