CN102998180A - 一种采用残余强度构建损伤岩石本构关系的方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种采用残余强度构建损伤岩石本构关系的方法，该方法进行岩石室内三轴压缩试验，测取岩样的轴压σ₁、围压σ₃、峰值强度应变ε_1c、残余强度σ_r，计算岩石弹性模量E和泊松比μ，并根据三轴压缩试验结果进行数据回归，计算岩块的单轴抗压强度σ_ci和经验强度参数m_i；然后建立了能够反映岩石峰后软化特征的三维损伤统计本构关系；最后根据岩石全应力-应变曲线几何特性的四个边界条件，求解本构关系参数n和F₀，利用Matlab软件绘制本构关系曲线。这种本构关系能够充分反映岩石的峰后软化和残余强度特征，很好的描述岩石破裂过程的全应力-应变关系，使理论公式更符合岩石材料的实际情况，并且该法能够简易实现，广泛应用于岩石材料的理论分析，具有实用价值。

Description

一种采用残余强度构建损伤岩石本构关系的方法

技术领域

本发明涉及构建损伤岩石本构关系的方法，特别是涉及一种采用残余强度构建损伤岩石本构关系的方法。

背景技术

本构关系是表征材料力学性质的数学关系。为了预测物体在荷载的作用下的力学响应，必须先确定物体的组成材料符合的本构关系。本构关系是研究材料力学性能的理论基础。

岩石是一种含原始损伤和缺陷的非匀质材料，岩石的宏观破坏现象可以看作是许多微细观破坏的平均效用的叠加。

现有的技术方案中关于构建岩石损伤本构关系主要有两方面途径。一方面是以试验为基础，假设在荷载作用下岩石损伤变量和应力-应变服从某种特定的关系模式，然后用该模型来模拟岩石试验得到的实测全应力-应变关系曲线，求其参数。实际岩石损伤不仅受到岩石内部随机分布的缺陷支配，还受到岩石内部应力应变状态控制，因而此类本构关系存在一定的局限性。另一方面是从岩石微元强度服从随机分布的特点出发，推导损伤变量与应力应变状态关系，从而建立岩石统计损伤本构关系，并用它来模拟实验结果，但在研究中假定微元破坏符合Drucker-Prager准则时，因结果偏为保守而缺乏合理性；假定微元破坏符合Mohr-Coulomb准则时，因Mohr-Coulomb准则无法描述拉应力区、低应力区和高应力区的破坏强度，依此建立的本构关系亦有一定的局限性。E.Hoek等提出的Hoek-Brown经验强度准则(Hoek，E.，Carranza C.T.，Corkum，B..Hoek-Brown Failure Criterion2002Edition[C]//Proceedings of the North American Rock Mechanics SocietyMeeting.Toronto：[s.n.]，2002：267-273.)综合考虑多种因素影响，能较好的反映岩体的非线性破坏特征，弥补了Drucker-Prager准则和Mohr-Coulomb准则的不足，而且能解释低应力区、拉应力区及最小主应力对强度的影响，由于Hoek-Brown经验强度准则是岩土工程界一个较新理论，应用并不广泛。

另外，由于摩擦和围压的影响，岩石全应力-应变曲线中后期的岩样仍具有一定的残余强度，表现为黏聚力为零的纯摩擦，多数情况下，峰后残余强度试验值曲线近似为水平直线，而岩石微元破坏后仍继续传递部分压应力和剪应力的特征。岩石随着围压的增大，残余强度的增加幅度比峰值强度大，残余强度逐渐成为影响岩石全应力-应变曲线峰后段的主要因素，而现有技术方案中，均未采用考虑到的残余强度的影响，因此，无法建立与实际情况精准吻合的损伤岩石本构关系。

发明内容

鉴于已有技术方案的不足，本发明提出一种采用残余强度构建损伤岩石本构关系的方法，基于岩石应变强度理论以及岩石微元强度服从Weibull随机分布的假设，考虑岩石峰后残余强度对损伤变量的影响，在微元破坏符合Hoek-Brown屈服准则条件下，建立了能够反映岩石峰后软化特征的三维损伤统计本构关系；然后，依据岩石试验全应力-应变曲线的几何特征，求解出本构关系参数的数学表达式。

本发明的目的通过以下技术方案来实现：

一种采用残余强度构建损伤岩石本构关系的方法，该方法包括了以下步骤：

(1)采用岩石室内三轴压缩试验，测取岩样的轴压σ₁、围压σ₃、峰值强度应变ε_1c、残余强度σ_r，计算岩石弹性模量E和泊松比μ，所述岩石弹性模量为：

E＝(σ₁-σ₃)₍₅₀₎/ε_h(50)

式中：(σ₁-σ₃)₍₅₀₎是实际主应力差的50％，单位为Pa；ε_h(50)是(σ₁-σ₃)₍₅₀₎对应的轴向压缩应变。

(2)根据三轴压缩试验结果进行数据回归，计算岩块的单轴抗压强度σ_ci，经验强度参数m_i，对完整岩块取经验强度参数时，取s＝1、α＝0.5、m_b＝m_i，则霍克-布朗(Hoek-Brown)准则变为：

${\mathrm{\σ}}_1^{\′}={\mathrm{\σ}}_3^{\′}+{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{ci}}\sqrt{(m_i\frac{{\mathrm{\σ}}_3^{\′}}{{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{ci}}}+1)}$

式中：σ_ci为岩石单轴抗压强度；σ′₁和σ′₃分别为最大和最小主应力；m_i为经验强度参数。

令：x＝σ′₃，y＝(σ′₁-σ′₃)²

则：y＝mσ_cix+sσ_ci

那么，岩石单轴抗压强度σ_ci计算公式为：

${\mathrm{\σ}}_{\mathrm{ci}}=\sqrt{\frac{\mathrm{\Σy}}{n}-\frac{\mathrm{\Σxy}-\frac{\mathrm{\Σx\Σy}}{n}}{\mathrm{\Σ}{x}^2-\frac{{\left(\mathrm{\Σx}\right)}^2}{n}}\·\frac{\mathrm{\Σx}}{n}}$

完整岩块经验参数m_i计算公式为：

$m_i=\frac{1}{{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{ci}}}\left[\frac{\mathrm{\Σxy}-\frac{\mathrm{\Σx\Σy}}{n}}{\mathrm{\Σ}{x}^2-\frac{{\left(\mathrm{\Σx}\right)}^2}{n}}\right]$

(3)计算名义应力σ和有效应力σ^*关系为：

${\mathrm{\σ}}^{*}=\frac{\mathrm{\σ}}{1-\sqrt{\frac{{\mathrm{\σ}}_r}{{\mathrm{\σ}}_{1c}}}D}$

式中：σ_r为岩石残余强度，σ_1c为岩石峰值强度，D为损伤变量。

(4)建立损伤岩石的本构关系，在单轴压缩或三轴压缩试验的岩石试样的任意一个截面中取一个微元，此微元尺寸既充分大到足以包含许多微观的裂隙、孔洞等缺陷，也充分小到可以当作连续损伤力学的质点概念来考虑，同时假设：

(a)微元符合广义胡克定理；

(b)微元屈服遵循Hoek-Brown准则；

(c)微元强度严格服从Weibull随机分布；

则岩石微元强度概率密度函数为：

$P\left(F\right)=\frac{n}{F_0}{\left(\frac{F}{F_0}\right)}^{n-1}\exp [-{\left(\frac{F}{F_0}\right)}^n]$

式中：n和F₀为Weibull分布参数。

根据广义胡克定律，基于Weibull分布的岩石损伤软化本构关系表示为：

${\mathrm{\σ}}_1=E{\mathrm{\ϵ}}_1\{1-\mathrm{\δ}+\mathrm{\δexp}[-{\left(\frac{F}{F_0}\right)}^n\left]\right\}+\mathrm{\μ}({\mathrm{\σ}}_2+{\mathrm{\σ}}_3)$

用有效应力不变量表示的Hoek-Brown准则为：

$\left\{\begin{array}{c}f\left({\mathrm{\σ}}^{*}\right)=\frac{1}{3}m{\mathrm{\σ}}_{1c}{I}_1^{*}+4J_2^{*}{\cos }^2{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{\σ}}+{\mathrm{m\σ}}_{1c}\sqrt{J_2^{*}}(\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{\σ}}+\frac{1}{\sqrt{3}}\sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{\σ}})=s{\mathrm{\σ}}_{1c}^2\\ I_1^{*}={\mathrm{\σ}}_1^{*}+{\mathrm{\σ}}_2^{*}+{\mathrm{\σ}}_3^{*}\\ J_2^{*}=\frac{1}{6}[{({\mathrm{\σ}}_1^{*}-{\mathrm{\σ}}_2^{*})}^2+{({\mathrm{\σ}}_2^{*}-{\mathrm{\σ}}_3^{*})}^2+{({\mathrm{\σ}}_1^{*}-{\mathrm{\σ}}_3^{*})}^2]\end{array}\right.$

式中：

为有效应力第一不变量；

为有效应力偏量第二不变量；θ_σ为洛德角。

对于岩石微元破坏时服从Hoek-Brown准则，令

得到三维应力状态下岩石损伤软化统计本构方程为：

${\mathrm{\σ}}_1={\mathrm{E\ϵ}}_1\{1-\mathrm{\δ}+\mathrm{\δexp}[-{\left(\frac{\frac{1}{3}m{\mathrm{\σ}}_{1c}{I}_1^{*}+4J_2^{*}{\cos }^2{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{\σ}}+m{\mathrm{\σ}}_{1c}\sqrt{J_2^{*}}\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{\σ}}+\frac{1}{\sqrt{3}}m{\mathrm{\σ}}_{1c}\sqrt{J_2^{*}}\sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{\σ}}}{F_0}\right)}^n\left]\right\}+$

$\mathrm{\μ}({\mathrm{\σ}}_2+{\mathrm{\σ}}_3)$

其中

和

的值为：

$\left\{\begin{array}{c}{I}_1^{*}=\frac{{\mathrm{E\ϵ}}_1({\mathrm{\σ}}_1+{\mathrm{\σ}}_2+{\mathrm{\σ}}_3)}{{\mathrm{\σ}}_1-\mathrm{\μ}({\mathrm{\σ}}_2+{\mathrm{\σ}}_3)}\\ J_2^{*}=\frac{E^2{\mathrm{\ϵ}}_1^2({\mathrm{\σ}}_1^2+{\mathrm{\σ}}_2^2+{\mathrm{\σ}}_3^2-{\mathrm{\σ}}_1{\mathrm{\σ}}_2-{\mathrm{\σ}}_2{\mathrm{\σ}}_3-{\mathrm{\σ}}_1{\mathrm{\σ}}_3)}{3{[{\mathrm{\σ}}_1-\mathrm{\μ}({\mathrm{\σ}}_2+{\mathrm{\σ}}_3)]}^2}\end{array}\right.$

在常规三轴试验中，σ₁＞σ₂＝σ3，此时θ_σ＝30°，则岩石损伤软化统计本构方程为：

${\mathrm{\σ}}_1={\mathrm{E\ϵ}}_1\{1-\mathrm{\δ}+\mathrm{\δexp}[-{(\frac{m{\mathrm{\σ}}_c{\mathrm{\σ}}_{1}E{\mathrm{\ϵ}}_1}{F_0{\mathrm{\σ}}_1-2\mathrm{\μ}{F}_0{\mathrm{\σ}}_3}+\frac{{\mathrm{\σ}}_1^2{E}^2{\mathrm{\ϵ}}_1^2-2{\mathrm{\σ}}_1{\mathrm{\σ}}_3{E}^2{\mathrm{\ϵ}}_1^2+{\mathrm{\σ}}_3^2{E}^2{\mathrm{\ϵ}}_1^2}{F_0{\mathrm{\σ}}_1^2-4\mathrm{\μ}{F}_0{\mathrm{\σ}}_1{\mathrm{\σ}}_3+4F_0{\mathrm{\μ}}^2{\mathrm{\σ}}_3^2})}^n\left]\right\}{+2\mathrm{\μ\σ}}_3$

(5)求解本构关系参数n和F₀，其中n主要反映了岩石脆性特征以及岩石材料内部微元强度的分布集中程度，F₀主要反映了岩石宏观统计平均强度的大小，根据岩石全应力-应变曲线几何条件，得到下面四个边界条件，

①ε＝0，σ＝0；

②ε＝0， $\frac{\mathrm{d\σ}}{\mathrm{d\ϵ}}=E;$

③σ＝σ_1c，ε＝ε_1c；

④σ＝σ_1c， $\frac{d{\mathrm{\σ}}_1}{d{\mathrm{\ϵ}}_1}=0.$

由于本构方程已经满足边界条件①和②，将边界条件③④代入式本构方程整理后得：

$n=-\frac{{\mathrm{\σ}}_{1c}-2\mathrm{\μ}{\mathrm{\σ}}_3}{{\mathrm{\σ}}_{1c}-2\mathrm{\μ}{\mathrm{\σ}}_3+\mathrm{\δE}{\mathrm{\ϵ}}_{1c}-E{\mathrm{\ϵ}}_{1c}}\·\frac{m{\mathrm{\σ}}_c{\mathrm{\σ}}_{1c}({\mathrm{\σ}}_{1c}-2\mathrm{\μ}{\mathrm{\σ}}_3)+E{\mathrm{\ϵ}}_{1c}{({\mathrm{\σ}}_{1c}-{\mathrm{\σ}}_3)}^2}{m{\mathrm{\σ}}_c{\mathrm{\σ}}_{1c}({\mathrm{\σ}}_{1c}-3\mathrm{\μ}{\mathrm{\σ}}_3)+2E{\mathrm{\ϵ}}_{1c}{({\mathrm{\σ}}_{1c}-{\mathrm{\σ}}_3)}^2}\·\frac{1}{\ln \frac{{\mathrm{\σ}}_{1c}-2\mathrm{\μ}{\mathrm{\σ}}_3+\mathrm{\δE}{\mathrm{\ϵ}}_{1c}-E{\mathrm{\ϵ}}_{1c}}{\mathrm{\δE}{\mathrm{\ϵ}}_{1c}}}$

$F_0={\left[\frac{F_c^n}{-\ln \frac{{\mathrm{\σ}}_{1c}-2\mathrm{\μ}{\mathrm{\σ}}_3+\mathrm{\δE}{\mathrm{\ϵ}}_{1c}-E{\mathrm{\ϵ}}_{1c}}{\mathrm{\δE}{\mathrm{\ϵ}}_{1c}}}\right]}^{\frac{1}{n}}$

所述三轴压缩试验的围压最小值从零开始，最大值到岩石单轴抗压强度的一半终止，进行阶梯布置试验，且试验有效数据不少于5组。

本发明的优点在于：

(1)本发明实现简单，只需根据岩石室内三轴压缩试验结果，测取岩样的轴压σ₁、围压σ₃、峰值强度应变ε_1c、残余强度σ_r，计算岩石弹性模量E和泊松比μ，通过数学运算，就可以得到损伤岩石本构关系。因此，容易推广使用。

(2)本发明在构建损伤岩石本构关系中，考虑到岩石微元破坏后还可以继续传递部分压应力和剪应力，因此这种本构关系能够充分反映岩石的峰后软化和残余强度特征，很好的描述岩石破裂过程的全应力-应变关系，使理论公式更符合岩石材料的实际情况。

(3)本发明可广泛应用于岩石材料的理论分析，而且大型地下空间工程、铁路和公路隧道工程、城市轨道交通工程、边坡工程、采矿工程在理论分析和数值计算中也可采用此本构关系，进行围岩稳定分析和工程风险评判。本发明在岩土工程界很有实用价值。

附图说明

图1：参数n与本构方程的关系图。

图2：参数F₀与本构方程的关系图。

图3：岩石全应力-应变示意图。

图4：斑状二长花岗岩本构关系曲线图(0MPa围压)。

图5：斑状二长花岗岩本构关系曲线图(5MPa围压)。

图6：斑状二长花岗岩本构关系曲线图(10MPa围压)。

图7：斑状二长花岗岩本构关系曲线图(15MPa围压)。

图8：斑状二长花岗岩本构关系曲线图(20MPa围压)。

具体实施方式

下面结合附图对本发明一种采用残余强度构建损伤岩石本构关系的方法进行详细说明，该方法包括以下工艺步骤：

(1)进行岩石室内三轴压缩试验，三轴压缩试验的围压最小值从零开始，最大值到岩石单轴抗压强度的一半终止，进行阶梯布置，且试验有效数据不少于5组。测取岩样的轴压σ₁、围压σ₃、峰值强度应变ε_1c、残余强度σ_r，计算岩石弹性模量E和泊松比μ。计算弹性模量E时，采用下式：

E＝(σ₁-σ₃)₍₅₀₎/ε_h(50)

式中：(σ₁-σ₃)₍₅₀₎是实际主应力差的50％，单位为Pa；ε_h(50)是(σ₁-σ₃)₍₅₀₎对应的轴向压缩应变。

(2)根据三轴压缩试验结果进行数据回归，计算岩块的单轴抗压强度σ_ci，经验强度参数m_i。对完整岩块取经验强度参数时，取s＝1、α＝0.5、m_b＝m_i，则Hoek-Brown准则变为：

${\mathrm{\σ}}_1^{\′}={\mathrm{\σ}}_3^{\′}+{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{ci}}\sqrt{(m_i\frac{{\mathrm{\σ}}_3^{\′}}{{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{ci}}}+1)}$

式中：σ_ci为岩石单轴抗压强度；σ′₁和σ′₃分别为最大和最小主应力；m_i为经验强度参数。

令：x＝σ′₃，y＝(σ′₁-σ′₃)²

则：y＝mσ_cix+sσ_ci

那么，岩石单轴抗压强度σ_ci计算公式为：

${\mathrm{\σ}}_{\mathrm{ci}}=\sqrt{\frac{\mathrm{\Σy}}{n}-\frac{\mathrm{\Σxy}-\frac{\mathrm{\Σx\Σy}}{n}}{\mathrm{\Σ}{x}^2-\frac{{\left(\mathrm{\Σx}\right)}^2}{n}}\·\frac{\mathrm{\Σx}}{n}}$

完整岩块经验参数m_i计算公式为：

$m_i=\frac{1}{{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{ci}}}\left[\frac{\mathrm{\Σxy}-\frac{\mathrm{\Σx\Σy}}{n}}{\mathrm{\Σ}{x}^2-\frac{{\left(\mathrm{\Σx}\right)}^2}{n}}\right]$

(3)根据Lemaitre应变等价理论，求得名义应力σ和有效应力σ^*关系为：

${\mathrm{\σ}}^{*}=\frac{\mathrm{\σ}}{1-\sqrt{\frac{{\mathrm{\σ}}_r}{{\mathrm{\σ}}_{1c}}}D}$

式中：σ_r为岩石残余强度，σ_1c为岩石峰值强度，D为损伤变量。

(4)建立本构关系。在单轴压缩或三轴压缩试验的岩石试样的任意一个截面中取一个微元，此微元尺寸既充分大到足以包含许多微观的裂隙、孔洞等缺陷，也充分小到可以当作连续损伤力学的质点概念来考虑，同时假设：

(a)微元符合广义胡克定理；

(b)微元屈服遵循Hoek-Brown准则；

(c)微元强度严格服从Weibull随机分布。

则岩石微元强度概率密度函数为：

$P\left(F\right)=\frac{n}{F_0}{\left(\frac{F}{F_0}\right)}^{n-1}\exp [-{\left(\frac{F}{F_0}\right)}^n]$

式中：n和F₀为Weibull分布参数。

根据广义胡克定律，令

基于Weibull分布的岩石损伤软化本构关系表示为：

${\mathrm{\σ}}_1=E{\mathrm{\ϵ}}_1\{1-\mathrm{\δ}+\mathrm{\δexp}[-{\left(\frac{F}{F_0}\right)}^n\left]\right\}+\mathrm{\μ}({\mathrm{\σ}}_2+{\mathrm{\σ}}_3)$

用有效应力不变量表示的Hoek-Brown准则为：

$\left\{\begin{array}{c}f\left({\mathrm{\σ}}^{*}\right)=\frac{1}{3}m{\mathrm{\σ}}_{1c}{I}_1^{*}+4J_2^{*}{\cos }^2{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{\σ}}+{\mathrm{m\σ}}_{1c}\sqrt{J_2^{*}}(\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{\σ}}+\frac{1}{\sqrt{3}}\sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{\σ}})=s{\mathrm{\σ}}_{1c}^2\\ I_1^{*}={\mathrm{\σ}}_1^{*}+{\mathrm{\σ}}_2^{*}+{\mathrm{\σ}}_3^{*}\\ J_2^{*}=\frac{1}{6}[{({\mathrm{\σ}}_1^{*}-{\mathrm{\σ}}_2^{*})}^2+{({\mathrm{\σ}}_2^{*}-{\mathrm{\σ}}_3^{*})}^2+{({\mathrm{\σ}}_1^{*}-{\mathrm{\σ}}_3^{*})}^2]\end{array}\right.$

式中：

为有效应力第一不变量；

为有效应力偏量第二不变量；θ_σ为洛德角。

对于岩石微元破坏时服从Hoek-Brown准则，得到三维应力状态下岩石损伤软化统计本构方程为：

${\mathrm{\σ}}_1={\mathrm{E\ϵ}}_1\{1-\mathrm{\δ}+\mathrm{\δexp}[-{\left(\frac{\frac{1}{3}m{\mathrm{\σ}}_{1c}{I}_1^{*}+4J_2^{*}{\cos }^2{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{\σ}}+m{\mathrm{\σ}}_{1c}\sqrt{J_2^{*}}\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{\σ}}+\frac{1}{\sqrt{3}}m{\mathrm{\σ}}_{1c}\sqrt{J_2^{*}}\sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{\σ}}}{F_0}\right)}^n\left]\right\}+$

$\mathrm{\μ}({\mathrm{\σ}}_2+{\mathrm{\σ}}_3)$

其中

和

的值为：

$\left\{\begin{array}{c}{I}_1^{*}=\frac{{\mathrm{E\ϵ}}_1({\mathrm{\σ}}_1+{\mathrm{\σ}}_2+{\mathrm{\σ}}_3)}{{\mathrm{\σ}}_1-\mathrm{\μ}({\mathrm{\σ}}_2+{\mathrm{\σ}}_3)}\\ J_2^{*}=\frac{E^2{\mathrm{\ϵ}}_1^2({\mathrm{\σ}}_1^2+{\mathrm{\σ}}_2^2+{\mathrm{\σ}}_3^2-{\mathrm{\σ}}_1{\mathrm{\σ}}_2-{\mathrm{\σ}}_2{\mathrm{\σ}}_3-{\mathrm{\σ}}_1{\mathrm{\σ}}_3)}{3{[{\mathrm{\σ}}_1-\mathrm{\μ}({\mathrm{\σ}}_2+{\mathrm{\σ}}_3)]}^2}\end{array}\right.$

在常规三轴试验中，σ₁＞σ₂＝σ₃，此时θ_σ＝30°，则岩石损伤软化统计本构方程为：

${\mathrm{\σ}}_1={\mathrm{E\ϵ}}_1\{1-\mathrm{\δ}+\mathrm{\δexp}[-{(\frac{m{\mathrm{\σ}}_c{\mathrm{\σ}}_{1}E{\mathrm{\ϵ}}_1}{F_0{\mathrm{\σ}}_1-2\mathrm{\μ}{F}_0{\mathrm{\σ}}_3}+\frac{{\mathrm{\σ}}_1^2{E}^2{\mathrm{\ϵ}}_1^2-2{\mathrm{\σ}}_1{\mathrm{\σ}}_3{E}^2{\mathrm{\ϵ}}_1^2+{\mathrm{\σ}}_3^2{E}^2{\mathrm{\ϵ}}_1^2}{F_0{\mathrm{\σ}}_1^2-4\mathrm{\μ}{F}_0{\mathrm{\σ}}_1{\mathrm{\σ}}_3+4F_0{\mathrm{\μ}}^2{\mathrm{\σ}}_3^2})}^n\left]\right\}$

$+2\mathrm{\μ}{\mathrm{\σ}}_3$

(5)求解本构关系参数n和F₀，其中n主要反映了岩石脆性特征以及岩石材料内部微元强度的分布集中程度(见图1)，F₀主要反映了岩石宏观统计平均强度的大小(见图2)。根据岩石全应力-应变曲线几何条件(见图3)，可以得到下面四个边界条件，

①ε＝0，σ＝0；

②ε＝0， $\frac{\mathrm{d\σ}}{\mathrm{d\ϵ}}=E;$

③σ＝σ_1c，ε＝ε_1c；

④σ＝σ_1c， $\frac{d{\mathrm{\σ}}_1}{d{\mathrm{\ϵ}}_1}=0.$

方程已满足边界条件①和②，将边界条件③④代入本构方程整理后得：

$n=-\frac{{\mathrm{\σ}}_{1c}-2\mathrm{\μ}{\mathrm{\σ}}_3}{{\mathrm{\σ}}_{1c}-2\mathrm{\μ}{\mathrm{\σ}}_3+\mathrm{\δE}{\mathrm{\ϵ}}_{1c}-E{\mathrm{\ϵ}}_{1c}}\·\frac{m{\mathrm{\σ}}_c{\mathrm{\σ}}_{1c}({\mathrm{\σ}}_{1c}-2\mathrm{\μ}{\mathrm{\σ}}_3)+E{\mathrm{\ϵ}}_{1c}{({\mathrm{\σ}}_{1c}-{\mathrm{\σ}}_3)}^2}{m{\mathrm{\σ}}_c{\mathrm{\σ}}_{1c}({\mathrm{\σ}}_{1c}-3\mathrm{\μ}{\mathrm{\σ}}_3)+2E{\mathrm{\ϵ}}_{1c}{({\mathrm{\σ}}_{1c}-{\mathrm{\σ}}_3)}^2}\·\frac{1}{\ln \frac{{\mathrm{\σ}}_{1c}-2\mathrm{\μ}{\mathrm{\σ}}_3+\mathrm{\δE}{\mathrm{\ϵ}}_{1c}-E{\mathrm{\ϵ}}_{1c}}{\mathrm{\δE}{\mathrm{\ϵ}}_{1c}}}$

$F_0={\left[\frac{F_c^n}{-\ln \frac{{\mathrm{\σ}}_{1c}-2\mathrm{\μ}{\mathrm{\σ}}_3+\mathrm{\δE}{\mathrm{\ϵ}}_{1c}-E{\mathrm{\ϵ}}_{1c}}{\mathrm{\δE}{\mathrm{\ϵ}}_{1c}}}\right]}^{\frac{1}{n}}$

(6)利用Matlab软件绘制本构关系曲线。

下面结合实施例对本发明做进一步说明。

(1)岩石材料

试验材料为取自京张铁路北京八达岭地下车站工程区的斑状二长花岗岩，其主要矿物是半自形-它形碱性长石(60％)和石英(25％)，另有不足1％的铁质矿物(磁铁矿和赤铁矿)。灰色、褐色的长条状矿物为长石；亮白色的它形粒矿物为石英；黑色、褐红色的不透明矿物为磁铁矿或赤铁矿。岩石主要呈细粒花岗结构，可见斑晶(极少)，局部石英含量较少时，由长石形成交织结构。

(2)本构关系

试验采用TAW-200型微机控制电液伺服刚性岩石三轴压力试验系统，分别进行了围压为0MPa、5MPa、10MPa、15MPa、20MPa的单轴和常规三轴试验，根据试验结果，计算出不同围压时Weibull随机分布和本构方程参数，取值见表1。将参数代入本构方程，求得本构关系，并利用Matlab绘制本构曲线，见附图(图4-图8)。

表1本构方程参数取值

应当理解，以上借助优选实施例对本发明的技术方案进行的详细说明是示意性的而非限制性的。本领域的普通技术人员在阅读本发明说明书的基础上可以对各实施例所记载的技术方案进行修改，或者对其中部分技术特征进行等同替换；而这些修改或者替换，并不使相应技术方案的本质脱离本发明各实施例技术方案的精神和范围。

Claims (2)

1.一种采用残余强度构建损伤岩石本构关系的方法，其特征在于：该方法包括以下步骤： 

(1)采用岩石室内三轴压缩试验，测取岩样的轴压σ₁、围压σ₃、峰值强度应变ε_1c、残余强度σ_r，计算岩石弹性模量E和泊松比μ，所述岩石弹性模量为： 

E＝(σ₁-σ₃)₍₅₀₎/ε_h(50)

式中：(σ₁-σ₃)₍₅₀₎是实际主应力差的50％，单位为Pa；ε_h(50)是(σ₁-σ₃)₍₅₀₎对应的轴向压缩应变。 

(2)根据三轴压缩试验结果进行数据回归，计算岩块的单轴抗压强度σ_ci，经验强度参数m_i，对完整岩块取经验强度参数时，取s＝1、α＝0.5、m_b＝m_i，则霍克-布朗(Hoek-Brown)准则变为： 

式中：σ_ci为岩石单轴抗压强度；σ′₁和σ′₃分别为最大和最小主应力；m_i为经验强度参数。 

令：x＝σ′₃，y＝(σ′₁-σ′₃)²

则：y＝mσ_cix+sσ_ci

那么，岩石单轴抗压强度σ_ci计算公式为： 

完整岩块经验参数m_i计算公式为： 

(3)计算名义应力σ和有效应力σ^*关系为： 

式中：σ_r为岩石残余强度，σ_1c为岩石峰值强度，D为损伤变量。 

(4)建立损伤岩石的本构关系，在单轴压缩或三轴压缩试验的岩石试样的任意一个截面中取一个微元，此微元尺寸既充分大到足以包含许多微观的裂隙、孔洞等缺陷，也充分小到可以当作连续损伤力学的质点概念来考虑，同时假设： 

(a)微元符合广义胡克定理； 

(b)微元屈服遵循Hoek-Brown准则； 

(c)微元强度严格服从Weibull随机分布； 

则岩石微元强度概率密度函数为： 

式中：n和F₀为Weibull分布参数。 

根据广义胡克定律，基于Weibull分布的岩石损伤软化本构关系表示为： 

用有效应力不变量表示的Hoek-Brown准则为： 

式中：

为有效应力第一不变量；

为有效应力偏量第二不变量；θ_σ为洛德角。 

对于岩石微元破坏时服从Hoek-Brown准则，令

得到三维应力状态下岩石损伤软化统计本构方程为： 

其中

和

的值为： 

在常规三轴试验中，σ₁＞σ₂＝σ₃，此时θ_σ＝30°，则岩石损伤软化统计本构方程为： 

(5)求解本构关系参数n和F₀，其中n主要反映了岩石脆性特征以及岩石材料内部微元强度的分布集中程度，F₀主要反映了岩石宏观统计平均强度的大小，根据岩石全应力-应变曲线几何条件，得到下面四个边界条件， 

①ε＝0，σ＝0； 

②ε＝0，

③σ＝σ_1c，ε＝ε_1c； 

④σ＝σ_1c，

由于本构方程已经满足边界条件①和②，将边界条件③④代入式本构方程整理后得： 

。

2.根据权利要求1所述的采用残余强度构建损伤岩石本构关系的方法，其特征在于：所述三轴压缩试验的围压最小值从零开始，最大值到岩石单轴抗压强度的一半终止，进行阶梯布置试验，且试验有效数据不少于5组。 

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