CN102980449A - 一种多枚导弹协同作战的控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供一种控制多枚导弹协同作战的方法，其可准确控制多枚导弹的位置、攻击时间、攻击角度和攻击速度；该方法为：从多枚导弹中选取一枚作为领弹，并将剩余的导弹定义为从弹；为领弹和从弹指定一虚拟导引点，设计各导引点的运动轨迹；在圆弧坐标系中，确定导引点的运动规律；建立导弹和导引点相对运动模型；根据多导弹协同作战时对位置、攻击角度、攻击时间和攻击速度的协同要求，设计导弹与虚拟点之间的相对距离x_r、y_r和z_r；基于相对动力学理论设计跟踪控制器，使导弹以设计的所述相对距离跟踪虚拟点飞行，从而实现协同作战。具有应用方便、使用灵活的特点，具有广阔的军事应用前景。

Description

一种多枚导弹协同作战的控制方法

技术领域

本发明涉及一种控制多枚导弹协同作战时实现飞行位置、攻击时间、攻击角度和攻击速度协同的方法，属于制导技术领域。

背景技术

随着科学技术的发展，现代战场上的主要武器不再是常规的枪炮，而是多平台、协同作战的各类精确制导武器。多导弹协同作战克服了传统单枚导弹作战难以满足现代战争多体系、多系统对抗作战要求的弊端，是未来导弹的发展方向之一。

在多导弹协同作战的过程中，位置协同可以增强其突防能力，而以理想的攻击速度从不同角度同时命中目标则可以大大增强其对目标的打击能力。从目前已公开的相关文献来看，对导弹的攻击角度进行约束的制导控制方法较多，对导弹的攻击时间进行约束、对攻击角度和攻击时间同时进行约束的制导控制方法比较少。现有技术[1]（参见Jung B,Kim Y.Guidance law for anti-ship missilesusing impact angle and impact time.AIAA Guidance,Navigation,and ControlConference and Exhibit.USA:Colorado,2006:1-13）、现有技术[2]（参见LeeJ I，JeonI S,Tahk M J.Guidance law to control impact time and angle.IEEE Transactions onAerospace and Electronic Systems,2007,43(1):301-310）和现有技术[3]（参见NathanH,Balakrishnan S N.Impact time and angle guidance with sliding mode control.AIAAGuidance,Navigation,and Control Conference.USA:Chicago,2009:1-22）分别基于比例导引律、最优控制理论和滑膜控制理论提出了可同时控制多枚导弹攻击角度和攻击时间的制导方法。但同时考虑多弹位置、攻击角度、攻击时间和攻击速度协同的控制方法目前还未见到。

发明内容

本发明的目的是为了解决多导弹协同作战时同时增强突防能力和对目标的打击能力的问题。提出一种能够控制导弹实现飞行位置、攻击时间、攻击角度和攻击速度协同的方法。

实现本发明的技术方案如下：

一种多枚导弹协同作战的控制方法，

步骤一、从多枚导弹中选取一枚作为领弹，并将剩余的导弹定义为从弹；为领弹和从弹指定一虚拟导引点，在圆弧坐标系中，设计各导引点的运动轨迹；

该步骤的具体过程为：

步骤101、从多枚导弹中选取一枚作为领弹，设定领弹的初始位置为

理想攻击速度为

领弹末端攻击目标时的弹道倾角和弹道偏角分别为

和

步骤102、建立圆弧坐标系TX₁Y₁Z₁，原点在目标T点，TX₁轴与初始弹目线TM₀重合，指向M₀为正，TZ₁轴垂直于初始弹目线TM₀与领弹末端速度矢量

构成的平面，指向外为正，TY₁轴垂直于TX₁轴和TZ₁轴；

步骤103、为领弹指定一虚拟导引点，该导引点初始坐标为

导引点的终点为目标T所在位置；同时令导引点按照速率

在TX₁Y₁平面内运动，其运动的轨迹为圆弧线；

步骤104、设导引点的初始速度矢量与TX₁轴的夹角为

任一时刻导引点速度矢量与TX₁轴的夹角为

此时有：

$T_G=\frac{l}{V_G}---\left(4\right)$

式中，R为圆弧轨迹的半径，l为圆弧的弧长，t为任一时刻，T_G为导引点运动时间，

为导引点到达目标时的速度矢量与TX₁轴的夹角；

步骤105、令导引点到达目标时的速度矢量方向为

和

根据

和

确定单位速度矢量在地面坐标系的投影为

$\left[\begin{array}{c}{f}_{\mathrm{TX}}\\ f_{\mathrm{TY}}\\ f_{\mathrm{TZ}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\cos {\mathrm{\θ}}_M^{*}\cos {\mathrm{\ψ}}_{V_M}^{*}\\ \sin {\mathrm{\θ}}_M^{*}\\ -\cos {\mathrm{\θ}}_M^{*}\sin {\mathrm{\ψ}}_{V_M}^{*}\end{array}\right]---\left(6\right)$

将此矢量投影到圆弧坐标系，得到导引点末端攻击速度在圆弧坐标系的投影为

$\left[\begin{array}{c}{f}_{{\mathrm{TX}}_1}\\ f_{{\mathrm{TY}}_1}\\ f_{{\mathrm{TZ}}_1}\end{array}\right]=L_{\mathrm{yd}}\left[\begin{array}{c}{f}_{\mathrm{TX}}\\ f_{\mathrm{TY}}\\ f_{\mathrm{TZ}}\end{array}\right]---\left(7\right)$

式中，L_yd为地面坐标系向圆弧坐标系转换的矩阵；

计算导引点末端速度矢量与圆弧坐标系的TX₁轴之间的夹角

为

步骤106、根据步骤105计算出的

利用所述式（1）～（5）计算出R、l、

和T_G，确定领弹相对应导引点的圆弧轨迹已经确定；

步骤107、针对每一从弹，根据其初始的弹目线和设定的从弹的理想末段攻击速度矢量，按照步骤102的方式建立圆弧坐标系；

步骤108、为每一从弹指定一虚拟导引点，根据上述领弹导引点圆弧轨迹的确定方式，在从弹所对应的圆弧坐标系内确定从弹导引点的轨迹；

该步骤为：令从弹的攻击时间要和领弹的攻击时间相等，即令各从弹的理想攻击时间

根据

和每一从弹的理想攻击速度可确定其对应导引点的运动轨迹长度；根据每一从弹理想的末端攻击速度矢量可确定其对应导引点初始速度矢量的方向

根据式（1）、（2）、（4），可唯一确定导引点的初始位置此时，从弹的导引点运动轨迹确定。

步骤二、确定导引点的运动规律；

该运动规律表示为：

式中，

为导引点在圆弧坐标系中的位置；

表示导引点位置

相对于时间的一阶导数；

根据坐标系之间的转换关系，可得到导引点在地面坐标系中的运动模型为：

式中，(X_G,Y_G,Z_G)为导引点在地面坐标系中的位置；表示导引点位置(X_G,Y_G,Z_G)相对于时间的一阶导数；i_1X、i_1Y、i_1Z、j_1X、j_1Y、j_1Z分别表示圆弧坐标系中TX₁轴和TY₁轴上单位矢量在地面坐标系三个轴上的投影。

步骤三、建立导弹和导引点相对运动模型；

步骤201、在地面坐标系中，建立导弹的运动学方程为：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{X}}_M=V_M\cos {\mathrm{\θ}}_M\cos {\mathrm{\ψ}}_{V_M}\\ {\stackrel{\·}{Y}}_M=V_M\sin {\mathrm{\θ}}_M\\ {\stackrel{\·}{Z}}_M=-V_M\cos {\mathrm{\θ}}_M\sin {\mathrm{\ψ}}_{V_M}\end{array}\right.---\left(11\right)$

式中，(X_M,Y_M,Z_M)为导弹在地面坐标系中的位置，

表示导弹位置(X_M,Y_M,Z_M)相对于时间的一阶导数，V_M为导弹的飞行速度，θ_M和分别为导弹的弹道倾角和弹道偏角；

步骤202、根据式（10）和（11），可得到在地面坐标系中，表征导引点和导弹相对运动的方程为：

步骤203、引入导弹的弹道坐标系MX₂Y₂Z₂作为参考坐标系，其为固连在导弹上的运动坐标系，其原点为导弹的质心，MX₂轴与导弹的速度矢量重合，MY₂轴在竖直平面内垂直于MX₂轴向上，MZ₂与其余两轴构成右手坐标系；

步骤204、设x_r、y_r和z_r为导引点在参考坐标系中的坐标，基于参考坐标系与地面坐标系之间的转换矩阵L_cd，可得：

$\left[\begin{array}{c}{X}_G-X_M\\ Y_G-Y_M\\ Z_G-Z_M\end{array}\right]=L_{\mathrm{cd}}\left[\begin{array}{c}{x}_r\\ y_r\\ z_r\end{array}\right]---\left(13\right)$

式中，

$L_{\mathrm{cd}}=\left[\begin{array}{ccc}\cos {\mathrm{\θ}}_M\cos {\mathrm{\ψ}}_{V_M}& -\sin {\mathrm{\θ}}_M\cos {\mathrm{\ψ}}_{V_M}& \sin {\mathrm{\ψ}}_{V_M}\\ \sin {\mathrm{\θ}}_M& \cos {\mathrm{\θ}}_M& 0\\ -\cos {\mathrm{\θ}}_M\sin {\mathrm{\ψ}}_{V_M}& \sin {\mathrm{\θ}}_M\sin {\mathrm{\ψ}}_{V_M}& \cos {\mathrm{\ψ}}_{V_M}\end{array}\right].$

步骤四、根据多导弹协同作战时对位置、攻击角度、攻击时间和攻击速度的协同要求，设计导弹与虚拟点之间的相对距离x_r、y_r和z_r；

该步骤的具体过程为：

步骤301、将导弹的飞行状态分成三个阶段，分别为协同飞行阶段、过渡飞行阶段及末段攻击阶段；

步骤302、设计导弹协同飞行时，导弹与虚拟点之间相对距离x_r、y_r和z_r；

该步骤的具体过程为：

设领弹距目标的距离为r_c，令从弹的弹目距离等于领弹的弹目距离r_c，即

${(X_{M_i}-X_T)}^2+{(Y_{M_i}-Y_T)}^2+{(Z_{M_i}-Z_T)}^2={r_c}^2---\left(14\right)$

将式（13）代入式（14），并假设x_r＝y_r＝z_r＝u，令

$c_1=\cos {\mathrm{\θ}}_M\cos {\mathrm{\ψ}}_{V_M}-\sin {\mathrm{\θ}}_M\cos {\mathrm{\ψ}}_{V_M}+\sin {\mathrm{\ψ}}_{V_M},$ c₂＝sinθ_M+cosθ_M、

$c_3=\cos {\mathrm{\θ}}_M\sin {\mathrm{\ψ}}_{V_M}-\sin {\mathrm{\θ}}_M\sin {\mathrm{\ψ}}_{V_M}-\cos {\mathrm{\ψ}}_{V_M},$

f₁＝c₁(X_G-X_T)+c₂(Y_G-Y_T)-c₃(Z_G-Z_T)、f₂＝(X_G-X_T)²+(Y_G-Y_T)²+(Z_G-Z_T)²-r_c ²，此时式（14）变换为：

3u²-2f₁u+f₂＝0          （15）

求解式（15）得：

$u=x_r=y_r=z_r=\frac{1}{3}{f}_1\±\frac{1}{3}\sqrt{f_1^2-3f_2}---\left(16\right)$

当f₂≤0，即从弹对应的导引点距目标的距离小于等于领弹距目标的距离，式（16）中的x_r、y_r和z_r一定有解；由式（16）解得的x_r、y_r和z_r有两个值，可根据实际情况选择其中之一作为导弹引导飞行时，导弹与虚拟点之间相对距离x_r、y_r和z_r；

步骤303、设计导弹末段飞行时，导弹与虚拟点之间相对距离x_r、y_r和z_r，实现多枚导弹按设定的攻击角度攻击目标；

该步骤的具体过程为：

在地面坐标系中，有：

${\stackrel{\→}{V}}_G={\stackrel{\→}{V}}_M+{\stackrel{\→}{V}}_r---\left(17\right)$

式中，

为导引点与导弹的相对速度；当导弹以固定的相对距离(x_r、y_r和z_r为常数)跟随导引点飞行时，有

将

代入式（17）可得：

${\stackrel{\→}{V}}_G={\stackrel{\→}{V}}_M---\left(18\right)$

根据式（18）可知，当导弹以固定的相对距离跟随导引点飞行时，导弹和导引点的速度大小和方向均相同；

将导弹视线角看作攻击角，根据理想攻击角

可得到理想视线在地面坐标系的投影，为：

$\left[\begin{array}{c}{f}_{\mathrm{SX}}\\ f_{\mathrm{SY}}\\ f_{\mathrm{SZ}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\cos q_y^{*}\cos q_z^{*}\\ \sin q_y^{*}\\ -\cos q_y^{*}\sin q_z^{*}\end{array}\right]---\left(19\right)$

理想视线在参考坐标系的投影即为导弹与导引点之间的相对距离，根据地面坐标系和参考坐标系之间的转换关系，可得：

$\left[\begin{array}{c}{x}_r\\ y_r\\ z_r\end{array}\right]=L_{\mathrm{cd}}^{-1}\left[\begin{array}{c}{f}_{\mathrm{SX}}\\ f_{\mathrm{SY}}\\ f_{\mathrm{SZ}}\end{array}\right]=L_{\mathrm{cd}}^{-1}\left[\begin{array}{c}\cos q_y^{*}\cos q_z^{*}\\ \sin q_y^{*}\\ -\cos q_y^{*}\sin q_z^{*}\end{array}\right]---\left(20\right)$

由于导弹理想的末端攻击速度方向事先给定为

和

因此，在计算式（20）中的转换矩阵L_cd时，导弹的弹道倾角和弹道偏角为

和

在导弹飞行末段，当导弹以如式（20）所示的固定距离跟随导引点飞行时，导弹最终将以理想攻击角

和

命中目标，实现攻击角度的协同。

步骤304、设计过渡段飞行时，导弹与虚拟点之间相对距离x_r、y_r和z_r；

该步骤的具体过程为：

设多枚导弹协同飞行阶段在t₁时刻结束、t₂时刻进入末段攻击；

设

x_r(t)=at⁵+bt⁴+ct³+dt²+et+f          （21）

根据已知的t₁和t₂时刻的值x_r(t₁)、

x_r(t₂)、

即可确定式（21）中的系数a、b、c、d、e和f，从而确定过渡段x_r的变化规律；

根据确定x_r的方式确定y_r和z_r的变化规律；

步骤五、基于相对动力学理论设计跟踪控制器，使导弹以设计的相对距离跟踪虚拟点飞行，从而实现协同作战。

有益效果

本发明中的方法可以控制多枚导弹在飞行前段从不同的方向同步接近目标，从而大大增强了突防概率，在飞行末段，可以实现多枚导弹以理想的攻击速度、理想的攻击角度同时命中目标，大大增强了对目标的打击能力。此方法可应用于多种类型的导弹上，既可用来攻击高价值点固定目标也可用来攻击运动目标。因此，本发明中的方法具有应用灵活、功能较强的特点，具有广阔的军事应用前景。

附图说明

图1为本发明的总体示意图；

图2为三枚导弹协同攻击目标弹道图；

图3为三枚导弹速度随时间变化图；

图4为三枚导弹俯仰方向视线角随时间变化图；

图5为三枚导弹偏航方向视线角随时间变化图；

图6为三枚导弹的弹目距离随时间变化图。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施例对本发明进行详细说明。

当前，在多枚导弹协同作战研究领域中，如何控制各导弹在攻击目标的过程中能够实现位置协同、攻击时间和攻击角度协同以及攻击速度协同是提高导弹的突防能力、增强导弹对目标的打击能力的重要问题。

在本发明中：首先为协同作战的每枚导弹引入虚拟导引点并设计了导引点的圆弧运动轨迹。接着针对导弹协同作战的要求：在攻击过程中，几枚导弹同步接近目标；在攻击末端，几枚导弹从不同的角度以要求的速度同时命中目标，设计了导弹与虚拟导引点之间的相对距离的变化规律。最后设计跟踪控制器控制导弹以设定的相对距离跟踪虚拟导引点飞行，从而实现多导弹位置、攻击时间、攻击角度和攻击速度的协同。

对使用符号的注释：本发明中凡是出现符号上面带“.”的表达式，其采用课本上的表达式，即为对该符号的求导，例如下文中

为X_M对时间的求导；凡是出现符号上带有“..”的表达式，其也采用课本上的表达式，即对该符号进行两次求导，例如下文出现的

其表示x_r对时间进行两次求导。

本发明控制多枚导弹协同作战的方法，具体的过程为：

步骤一、从多枚导弹中选取一枚作为领弹，并将剩余的导弹定义为从弹；为领弹和从弹指定一虚拟导引点，在圆弧坐标系中，设计各导引点的运动轨迹；

该步骤的具体过程为：

步骤101，多枚导弹协同作战攻击一个高价值点目标，为每枚导弹指定一个虚拟导引点。综合考虑导弹的弹道特性、协同飞行和协同攻击的要求，本发明设计了一种导引点圆弧轨迹。选多枚导弹中的一枚为领弹，设定领弹的初始位置为

理想攻击速度（末端攻击速度）为领弹末端攻击目标时的弹道倾角和弹道偏角分别为

和

（代表了领弹末端速度矢量的方向）。

步骤102、建立圆弧坐标系TX₁Y₁Z₁，原点在目标T点，TX₁轴与初始弹目线TM₀重合，指向M₀为正，TZ₁轴垂直于初始弹目线TM₀与领弹末端速度矢量构成的平面，指向外为正，TY₁轴垂直于TX₁轴和TZ₁轴，按右手坐标系确定。

步骤103、为领弹指定一虚拟导引点，领弹相对应的导引点的初始位置在TX₁轴上，其坐标为

导引点的终点为目标T所在位置，起点与终点之间是圆弧，由此可见，此圆弧轨迹位于TX₁Y₁平面。导引点按均匀的速率运动，令导引点的运动速度V_G等于

步骤104、假设导引点的初始速度矢量与TX₁轴的夹角为

任一时刻导引点速度矢量与TX₁轴的夹角为

此时有：

$T_G=\frac{l}{V_G}---\left(4\right)$

式中，R为圆弧轨迹的半径，l为圆弧的弧长，t为任一时刻，T_G为导引点运动时间，为导引点到达目标时的速度矢量与TX₁轴的夹角。

步骤105、当领弹以固定的相对距离跟随导引点飞行时，领弹的速度矢量等于导引点的速度矢量，因此，当给定领弹末端理想的速度矢量方向——和

后，设计导引点轨迹时，要求导引点到达目标时的速度矢量方向也为

和

和为速度矢量与地面坐标系之间的夹角，因此，根据

和可确定单位速度矢量在地面坐标系的投影为

$\left[\begin{array}{c}{f}_{\mathrm{TX}}\\ f_{\mathrm{TY}}\\ f_{\mathrm{TZ}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\cos {\mathrm{\θ}}_M^{*}\cos {\mathrm{\ψ}}_{V_M}^{*}\\ \sin {\mathrm{\θ}}_M^{*}\\ -\cos {\mathrm{\θ}}_M^{*}\sin {\mathrm{\ψ}}_{V_M}^{*}\end{array}\right]---\left(6\right)$

将此矢量投影到圆弧坐标系，得到导引点末端攻击速度在圆弧坐标系的投影为

$\left[\begin{array}{c}{f}_{{\mathrm{TX}}_1}\\ f_{{\mathrm{TY}}_1}\\ f_{{\mathrm{TZ}}_1}\end{array}\right]=L_{\mathrm{yd}}\left[\begin{array}{c}{f}_{\mathrm{TX}}\\ f_{\mathrm{TY}}\\ f_{\mathrm{TZ}}\end{array}\right]---\left(7\right)$

式中，L_yd为地面坐标系向圆弧坐标系转换的矩阵。

计算导引点末端速度矢量与圆弧坐标系的TX₁轴之间的夹角

为

步骤106、知道

后，根据式（5）就可以求得虚拟点初始速度矢量与圆弧坐标系的TX₁轴之间的夹角然后再根据式（1）～（4），可确定R、l、

和T_G，至此，领弹相对应导引点的圆弧轨迹已经确定。

步骤107、针对每一从弹，根据其初始的弹目线和设定的从弹的理想末段攻击速度矢量，按照步骤102的方式建立圆弧坐标系。

步骤108、为每一从弹指定一虚拟导引点，根据上述领弹导引点圆弧轨迹的确定方式，在从弹所对应的圆弧坐标系内确定从弹导引点的轨迹；

在圆弧坐标系内确定导引点的轨迹。需要说明的是，为了实现攻击时间协同，从弹的攻击时间要和领弹的攻击时间（等于其对应导引点的攻击时间T_G）相等，即各导弹的理想攻击时间

根据

和每一从弹的理想攻击速度可确定其对应导引点的运动轨迹长度，根据每一从弹理想的末端攻击速度方向可确定其对应导引点初始速度矢量的方向

综合（1）、（2）、（4）式，可唯一确定导引点的初始位置

此时，从弹的导引点运动轨迹确定。控制领弹和从弹跟随各自导引点飞行，即可实现攻击时间的协同。

步骤二、在圆弧坐标系中，确定导引点的运动规律；

该运动规律表示为：

式中，

为导引点在圆弧坐标系中的位置。

根据坐标系之间的转换关系，可得到导引点在地面坐标系中的运动模型为：

式中，(X_G,Y_G,Z_G)为导引点在地面坐标系中的位置，i_1X、i_1Y、i_1Z、j_1X、j_1Y、j_1Z分别表示圆弧坐标系中TX₁轴和TY₁轴上单位矢量在地面坐标系三个轴上的投影。

步骤三、建立导弹和导引点相对运动模型；

步骤201、在地面坐标系中，建立导弹的运动学方程为：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{X}}_M=V_M\cos {\mathrm{\θ}}_M\cos {\mathrm{\ψ}}_{V_M}\\ {\stackrel{\·}{Y}}_M=V_M\sin {\mathrm{\θ}}_M\\ {\stackrel{\·}{Z}}_M=-V_M\cos {\mathrm{\θ}}_M\sin {\mathrm{\ψ}}_{V_M}\end{array}\right.---\left(11\right)$

式中，(X_M,Y_M,Z_M)为导弹在地面坐标系中的位置，V_M为导弹的飞行速度，θ_M和

分别为导弹的弹道倾角和弹道偏角。

步骤202、根据公式（10）和（11），可得到在地面坐标系中，表征导引点和导弹相对运动的方程为：

步骤203、引入导弹的弹道坐标系MX₂Y₂Z₂作为参考坐标系，其为固连在导弹上的运动坐标系，其原点为导弹的质心，MX₂轴与导弹的速度矢量重合，MY₂轴在竖直平面内垂直于MX₂轴向上，MZ₂与其余两轴构成右手坐标系。

步骤204、设x_r、y_r和z_r为导引点在参考坐标系中的坐标，表征了导弹与导引点之间的相对距离。基于参考坐标系与地面坐标系之间的转换矩阵L_cd，可得：

$\left[\begin{array}{c}{X}_G-X_M\\ Y_G-Y_M\\ Z_G-Z_M\end{array}\right]=L_{\mathrm{cd}}\left[\begin{array}{c}{x}_r\\ y_r\\ z_r\end{array}\right]---\left(13\right)$

式中，

$L_{\mathrm{cd}}=\left[\begin{array}{ccc}\cos {\mathrm{\θ}}_M\cos {\mathrm{\ψ}}_{V_M}& -\sin {\mathrm{\θ}}_M\cos {\mathrm{\ψ}}_{V_M}& \sin {\mathrm{\ψ}}_{V_M}\\ \sin {\mathrm{\θ}}_M& \cos {\mathrm{\θ}}_M& 0\\ -\cos {\mathrm{\θ}}_M\sin {\mathrm{\ψ}}_{V_M}& \sin {\mathrm{\θ}}_M\sin {\mathrm{\ψ}}_{V_M}& \cos {\mathrm{\ψ}}_{V_M}\end{array}\right]$

步骤四、根据多导弹协同作战时对位置、攻击角度、攻击时间和攻击速度的协同要求，设计导弹与虚拟点之间的相对距离x_r、y_r和z_r。

此步又具体分为：

步骤301、将导弹的飞行状态分成三个阶段，分别为协同飞行阶段、过渡飞行阶段及末段攻击阶段；

步骤302、设计导弹协同飞行时，导弹与虚拟点之间相对距离x_r、y_r和z_r；为了实现位置协同、多枚导弹在某一时间段内从不同的方向同步靠近目标，设计相对距离x_r、y_r和z_r，使几枚导弹在每一时刻都处于一个以目标为球心的球面上，逐渐飞向目标，从而增大导弹的突防概率。

假设领弹距目标的距离为r_c，其他导弹（称作从弹）根据领弹发送的位置信息来调节与各自响应导引点的相对距离x_r、y_r和z_r，使从弹与目标之间的距离也为r_c，从而实现多枚导弹从不同的方向同时逼近目标。

邻弹与其导引点之间的相对距离可事先设定。从弹与导引点之间的相对距离通过计算获得。令从弹的弹目距离等于领弹的弹目距离r_c，即

${(X_{M_i}-X_T)}^2+{(Y_{M_i}-Y_T)}^2+{(Z_{M_i}-Z_T)}^2={r_c}^2---\left(14\right)$

将式（13）代入式（14），并假设x_r＝y_r＝z_r＝u，令

$c_1=\cos {\mathrm{\θ}}_M\cos {\mathrm{\ψ}}_{V_M}-\sin {\mathrm{\θ}}_M\cos {\mathrm{\ψ}}_{V_M}+\sin {\mathrm{\ψ}}_{V_M},$ c₂＝sinθ_M+cosθ_M、

$c_3=\cos {\mathrm{\θ}}_M\sin {\mathrm{\ψ}}_{V_M}-\sin {\mathrm{\θ}}_M\sin {\mathrm{\ψ}}_{V_M}-\cos {\mathrm{\ψ}}_{V_M},$

f₁＝c₁(X_G-X_T)+c₂(Y_G-Y_T)-c₃(Z_G-Z_T)、f₂＝(X_G-X_T)²+(Y_G-Y_T)²+(Z_G-Z_T)²-r_c ²，

此时式（14）变换为：

3u²-2f₁u+f₂＝0          （15）

求解式（15）得：

$u=x_r=y_r=z_r=\frac{1}{3}{f}_1\±\frac{1}{3}\sqrt{f_1^2-3f_2}---\left(16\right)$

只要f₂≤0，即从弹导引点距目标的距离小于等于领弹距目标的距离，式（16）中的x_r、y_r和z_r一定有解。由式（16）解得的x_r、y_r和z_r有两个值，可根据实际情况选择其中之一。

步骤303、设计导弹末段飞行时，导弹与虚拟点之间相对距离x_r、y_r和z_r，实现多枚导弹按设定的攻击角度攻击目标；

在地面坐标系中，有：

${\stackrel{\→}{V}}_G={\stackrel{\→}{V}}_M+{\stackrel{\→}{V}}_r---\left(17\right)$

式中，

为导引点与导弹的相对速度。当导弹以固定的相对距离(x_r、y_r和z_r为常数)跟随导引点飞行时，有

代入式（17）可得：

${\stackrel{\→}{V}}_G={\stackrel{\→}{V}}_M---\left(18\right)$

根据式（18）可知，当导弹以固定的相对距离跟随导引点飞行时，导弹和导引点的速度大小和方向均相同。

通常将视线角看作攻击角。根据理想攻击角

可得到理想视线在地面坐标系的投影，为：

$\left[\begin{array}{c}{f}_{\mathrm{SX}}\\ f_{\mathrm{SY}}\\ f_{\mathrm{SZ}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\cos q_y^{*}\cos q_z^{*}\\ \sin q_y^{*}\\ -\cos q_y^{*}\sin q_z^{*}\end{array}\right]---\left(19\right)$

理想视线在参考坐标系的投影即为导弹与导引点之间的相对距离，根据地面坐标系和参考坐标系之间的转换关系，可得：

$\left[\begin{array}{c}{x}_r\\ y_r\\ z_r\end{array}\right]=L_{\mathrm{cd}}^{-1}\left[\begin{array}{c}{f}_{\mathrm{SX}}\\ f_{\mathrm{SY}}\\ f_{\mathrm{SZ}}\end{array}\right]=L_{\mathrm{cd}}^{-1}\left[\begin{array}{c}\cos q_y^{*}\cos q_z^{*}\\ \sin q_y^{*}\\ -\cos q_y^{*}\sin q_z^{*}\end{array}\right]---\left(20\right)$

由于导弹理想的末端攻击速度方向事先给定，为

和

因此，在计算式（20）中的转换矩阵L_cd时，导弹的弹道倾角和弹道偏角为

和

在导弹飞行末段，当导弹以如式（20）所示的固定距离跟随导引点飞行时，导弹最终将以理想攻击角

和

命中目标，实现攻击角度的协同。

步骤304、设计过渡段飞行时，导弹与虚拟点之间相对距离x_r、y_r和z_r；

导弹发射后即开始位置协同，其与导引点间的相对距离x_r、y_r和z_r根据式（16）确定，为了实现攻击角度协同，在飞行末段，x_r、y_r和z_r需按照式（20）确定，因此在位置协同结束后，x_r、y_r和z_r需按照一定的规律过渡至末段的值。为了避免导弹控制指令变化过于剧烈、减小导弹的需用过载，可令x_r、

y_r、

z_r、和

在过渡段连续变化。假设多弹位置协同在t₁时刻结束、t₂时刻进入末段攻击。为保证在t₁、t₂时刻x_r、y_r和z_r以及其一阶、二阶导数连续变化，以x_r为例，设

x_r(t)=at⁵+bt⁴+ct³+dt²+et+f          （21）

根据已知的t₁和t₂时刻的值x_r(t₁)、

x_r(t₂)、

即可确定式（21）中的系数a、b、c、d、e和f，从而确定过渡段x_r的变化规律。过渡段y_r和z_r确定类似于x_r，在此不再叙述。

需要说明的是，由式（18）可知，在飞行末段，当导弹以固定的相对距离跟踪导引点飞行时，导弹的速度即等于导引点的速度，因此，令导引点按照以理想攻击速度匀速飞行，则可实现攻击末端导弹以理想速度攻击目标，并且速度矢量方向与导引点的速度矢量方向相同，为事先设定的末端攻击速度方向。

在步骤一的步骤Ⅰ中已说明：领弹和从弹相对应的导引点的飞行时间相同，因此，只要设计控制器控制领弹和从弹跟随导引点飞行，在导引点到达目标时，领弹和从弹引爆战斗部对目标进行攻击，便可实现攻击时间的协同。

步骤五、基于相对动力学理论设计跟踪控制器，使导弹以设计的相对距离跟踪虚拟点飞行。

假设导弹具有闭环互解耦自动驾驶仪，且视其为一阶系统，则有：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{V}}_M=\frac{1}{{\mathrm{\τ}}_v}(V_{\mathrm{MC}}-V_M)\\ {\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_M=\frac{1}{{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{\θ}}}({\mathrm{\θ}}_{\mathrm{MC}}-{\mathrm{\θ}}_M)\\ {\stackrel{\·}{\mathrm{\ψ}}}_{V_M}=\frac{1}{{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{\ψ}}}({\mathrm{\ψ}}_{V_{\mathrm{MC}}}-{\mathrm{\ψ}}_{V_M})\end{array}\right.---\left(22\right)$

式中，τ_v、τ_ψ和τ_θ为导弹马赫数自动驾驶仪、弹道偏角和弹道倾角自动驾驶仪的时间常数。V_MC、θ_MC和

分别为导弹的速度指令、弹道倾角指令和弹道偏角指令。控制器最后输出速度指令V_MC、弹道倾角指令θ_MC和弹道偏角指令

控制导弹以相对距离x_r、y_r和z_r跟随导引点飞行。

引入符号

代表在步骤四中设计的理想的相对距离。根据式（13），可定义相对位置误差为

$E=\left[\begin{array}{c}{X}_G-X_M\\ Y_G-Y_M\\ Z_G-Z_M\end{array}\right]{-L}_{\mathrm{cd}}\left[\begin{array}{c}{x}_r^{*}\\ y_r^{*}\\ z_r^{*}\end{array}\right]---\left(23\right)$

记 $L_{{\mathrm{\θ}}_M}=\frac{{\mathrm{dL}}_{\mathrm{cd}}}{{\mathrm{d\θ}}_M},$ $L_{{\mathrm{\θ}}_M{\mathrm{\θ}}_M}=\frac{{\mathrm{dL}}_{{\mathrm{\θ}}_M}}{{\mathrm{d\θ}}_M},$ $L_{{\mathrm{\θ}}_M{\mathrm{\ψ}}_{V_M}}=\frac{{\mathrm{dL}}_{{\mathrm{\θ}}_M}}{{\mathrm{d\ψ}}_{V_M}},$ $L_{{\mathrm{\ψ}}_{V_M}}=\frac{{\mathrm{dL}}_{\mathrm{cd}}}{{\mathrm{d\ψ}}_{V_M}},$ $L_{{\mathrm{\ψ}}_{V_M}{\mathrm{\θ}}_M}=\frac{{\mathrm{dL}}_{{\mathrm{\ψ}}_M}}{{\mathrm{d\θ}}_M},$ $L_{{\mathrm{\ψ}}_{V_M}{\mathrm{\ψ}}_{V_M}}=\frac{d{L}_{{\mathrm{\ψ}}_{V_M}}}{{\mathrm{d\ψ}}_{V_M}}.$

对式（23）求导得

$\stackrel{\·}{E}=\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{X}}_G-{\stackrel{\·}{X}}_M\\ {\stackrel{\·}{Y}}_G-{\stackrel{\·}{Y}}_M\\ {\stackrel{\·}{Z}}_G-{\stackrel{\·}{Z}}_M\end{array}\right]-{\stackrel{\·}{L}}_{\mathrm{cd}}\left[\begin{array}{c}{x}_r^{*}\\ y_r^{*}\\ z_r^{*}\end{array}\right]-L_{\mathrm{cd}}\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_r^{*}\\ {\stackrel{\·}{y}}_r^{*}\\ {\stackrel{\·}{z}}_r^{*}\end{array}\right]---\left(24\right)$

式中， $L_{\mathrm{cd}}=L_{{\mathrm{\θ}}_M}{\mathrm{\θ}}_M+L_{{\mathrm{\ψ}}_{V_M}}{\mathrm{\ψ}}_{V_M}.$ 进一步求导得

$\stackrel{\·\·}{E}=\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\·\·}{X}}_G-{\stackrel{\·\·}{X}}_M\\ {\stackrel{\·\·}{Y}}_G-{\stackrel{\·\·}{Y}}_M\\ {\stackrel{\·\·}{Z}}_G-{\stackrel{\·\·}{Z}}_M\end{array}\right]-{\stackrel{\·\·}{L}}_{\mathrm{cd}}\left[\begin{array}{c}{x}_r^{*}\\ y_r^{*}\\ z_r^{*}\end{array}\right]-{2\stackrel{\·}{L}}_{\mathrm{cd}}\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_r^{*}\\ {\stackrel{\·}{y}}_r^{*}\\ {\stackrel{\·}{z}}_r^{*}\end{array}\right]-L_{\mathrm{cd}}\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\·\·}{x}}_r^{*}\\ {\stackrel{\·\·}{y}}_r^{*}\\ {\stackrel{\·\·}{z}}_r^{*}\end{array}\right]---\left(25\right)$

式中

$L_{\mathrm{cd}}=L_{{\mathrm{\θ}}_M}{\mathrm{\θ}}_M+L_{{\mathrm{\θ}}_M}{\mathrm{\θ}}_M+L_{{\mathrm{\ψ}}_{V_M}}{\mathrm{\ψ}}_{V_M}+L_{{\mathrm{\ψ}}_{V_M}}{\mathrm{\ψ}}_{V_M}$

$L_{{\mathrm{\θ}}_M}=L_{{\mathrm{\θ}}_M{\mathrm{\θ}}_M}{\mathrm{\θ}}_M+L_{{\mathrm{\θ}}_M{\mathrm{\ψ}}_{V_M}}{\mathrm{\ψ}}_{V_M}$

$L_{{\mathrm{\ψ}}_{V_M}}=L_{{\mathrm{\ψ}}_{V_M}{\mathrm{\θ}}_M}{\mathrm{\θ}}_M+L_{{\mathrm{\ψ}}_{V_M}{\mathrm{\ψ}}_{V_M}}{\mathrm{\ψ}}_{V_M}$

对式（11）和（22）求导，然后代入式（25）可得

$\stackrel{\·\·}{E}=F_1-F_2-F_3-\mathrm{GU}---\left(26\right)$

式中

$U={\left[\begin{array}{ccc}{V}_{\mathrm{MC}}& {\stackrel{\·}{\mathrm{\ψ}}}_{V_{\mathrm{MC}}}& {\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_{\mathrm{MC}}\end{array}\right]}^T$

$F_1=\left[\begin{array}{c}{X}_{\·G}\\ Y_{\·G}\\ Z_G\end{array}\right]-({\stackrel{\·}{L}}_{{\mathrm{\θ}}_M}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_M+{\stackrel{\·}{L}}_{{\mathrm{\ψ}}_{V_M}}{\stackrel{\·}{\mathrm{\ψ}}}_{V_M})\left[\begin{array}{c}{x}_r^{*}\\ y_r^{*}\\ z_r^{*}\end{array}\right]-2{\stackrel{\·}{L}}_{\mathrm{cd}}\left[\begin{array}{c}\underset{\·}{\overset{\·}{x_r^{*}}}\\ \underset{\·}{y_r^{*}}\\ z_r^{*}\end{array}\right]-L_{\mathrm{cd}}\left[\begin{array}{c}\underset{\·}{\overset{\·}{x_r^{*}}}\\ \underset{\·}{y_r^{*}}\\ z_r^{*}\end{array}\right]$

F₂＝[k₁ k₂ k₃]^T

$k_1=-\frac{1}{{\mathrm{\τ}}_v}{V}_M\cos {\mathrm{\θ}}_M\cos {\mathrm{\ψ}}_{V_M}-V_M{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_M\sin {\mathrm{\θ}}_M\cos {\mathrm{\ψ}}_{V_M}-V_M{\stackrel{\·}{\mathrm{\ψ}}}_{V_M}\cos {\mathrm{\θ}}_M\sin {\mathrm{\ψ}}_{V_M}$

$k_2=-\frac{1}{{\mathrm{\τ}}_v}{V}_M\sin {\mathrm{\θ}}_M+V_M{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_M\cos {\mathrm{\θ}}_M$

$k_3=\frac{1}{{\mathrm{\τ}}_v}{V}_M\cos {\mathrm{\θ}}_M\sin {\mathrm{\ψ}}_{V_M}+V_M{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_M\sin {\mathrm{\θ}}_M\sin {\mathrm{\ψ}}_{V_M}-V_M{\stackrel{\·}{\mathrm{\ψ}}}_{V_M}\cos {\mathrm{\θ}}_M\cos {\mathrm{\ψ}}_{V_M}$

$a_1=-x_r^{*}\sin {\mathrm{\θ}}_M\cos {\mathrm{\ψ}}_{V_M}-y_r^{*}\cos {\mathrm{\θ}}_M\cos {\mathrm{\ψ}}_{V_M}$

$a_2=-x_r^{*}\cos {\mathrm{\θ}}_M\sin {\mathrm{\ψ}}_{V_M}+y_r^{*}\sin {\mathrm{\θ}}_M\sin {\mathrm{\ψ}}_{V_M}+z_r^{*}\cos {\mathrm{\ψ}}_{V_M}$

$a_3=x_r^{*}\cos {\mathrm{\θ}}_M-y_r^{*}\sin {\mathrm{\θ}}_M$

$a_4=x_r^{*}\sin {\mathrm{\θ}}_M\sin {\mathrm{\ψ}}_{V_M}+y_r^{*}\cos {\mathrm{\θ}}_M\sin {\mathrm{\ψ}}_{V_M}$

$a_5=-x_r^{*}\cos {\mathrm{\θ}}_M\cos {\mathrm{\ψ}}_{V_M}+y_r^{*}\sin {\mathrm{\θ}}_M\cos {\mathrm{\ψ}}_{V_M}-z_r^{*}\sin {\mathrm{\ψ}}_{V_M}$

$F_3=\left[\begin{array}{c}-\frac{1}{{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{\θ}}}{a}_1{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_M-\frac{1}{{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{\ψ}}}{a}_2{\stackrel{\·}{\mathrm{\ψ}}}_{V_M}\\ -\frac{1}{{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{\θ}}}{a}_3{\mathrm{\θ}}_M\\ -\frac{1}{{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{\θ}}}{a}_4{\mathrm{\θ}}_M-\frac{1}{{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{\ψ}}}{a}_5{\stackrel{\·}{\mathrm{\ψ}}}_{V_M}\end{array}\right]$

$G=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{{\mathrm{\τ}}_v}\cos {\mathrm{\θ}}_M\cos {\mathrm{\ψ}}_{V_M}& \frac{1}{{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{\ψ}}}{a}_2& \frac{1}{{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{\θ}}}{a}_1\\ \frac{1}{{\mathrm{\τ}}_v}\sin {\mathrm{\θ}}_M& 0& \frac{1}{{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{\θ}}}{a}_3\\ -\frac{1}{{\mathrm{\τ}}_v}\cos {\mathrm{\θ}}_M\sin {\mathrm{\ψ}}_{V_M}& \frac{1}{{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{\ψ}}}{a}_5& \frac{1}{{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{\θ}}}{a}_4\end{array}\right]$

令

$U=G^{-1}(F_1-F_2-F_3+k_{e_1}\stackrel{\·}{E}+k_{e_2}E)---\left(27\right)$

式中，

$k_{e_1}=\mathrm{diag}(k_{11},k_{12},k_{13}),$ $k_{e_2}=\mathrm{diag}(k_{21},k_{22},k_{23})$

为系数矩阵，则可得到相对误差动力学闭环方程：

$\stackrel{\·\·}{E}+k_{e_1}\stackrel{\·}{E}+k_{e_2}E=0---\left(28\right)$

如式（27）所示的导弹的跟踪控制律满足渐近稳定性质，使误差E趋于零，实现导弹对导引点按设定相对距离的跟踪飞行。

以下对基于虚拟点轨迹设计的控制方法的验证。

假设三枚导弹协同攻击一艘静止的舰艇，舰艇的初始位置在地面坐标系的原点即为(0m,0m,0m)。导弹M_i(i＝1,2,3,下同)的初始位置(X_M0,Y_M0,Z_M0)、初始速度

初始弹道倾角

弹道偏角

及导弹M_i的理想攻击角

和如表1所示。以导弹1作为领弹，导弹2和导弹3作为从弹，领弹和从弹的理想攻击速度均取为

并取其理想的末段速度方向与理想的视线重合。领弹对应的导引点初始位置取值为(19km,0,19km)。

表1导弹初始参数及攻击参数

在领弹距目标的距离大于15km时三枚导弹进行位置协同。取r_e=10m(小于战斗部威力半径)，即当三个导引点同时到达目标、三枚导弹距导引点（目标）的距离为10m时，引爆战斗部，实现对目标的攻击。三枚导弹的时间常数设为τ_v=3s、τ_θ=1s、τ_ψ=1，相对误差动力学方程系数矩阵取为

和

考虑到导弹的能量限制，对导弹的飞行状态进行限幅：160m/s≤V_MC≤320m/s、 $-1\mathrm{rad}/s\≤{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_{\mathrm{MC}}\≤1\mathrm{rad}/s,$ $-1\mathrm{rad}/s\≤{\stackrel{\·}{\mathrm{\ψ}}}_{V_{\mathrm{MC}}}\≤1\mathrm{rad}/s.$ 三枚导弹协同作战时的弹道以及其他特征如图2-6所示。

综上所述，以上仅为本发明的较佳实施例而已，并非用于限定本发明的保护范围。凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (5)

1.一种多枚导弹协同作战的控制方法，其特征在于，具体步骤为： 

步骤一、从多枚导弹中选取一枚作为领弹，并将剩余的导弹定义为从弹；为领弹和从弹指定一虚拟导引点，在圆弧坐标系中，设计各导引点的运动轨迹； 

步骤二、确定导引点的运动规律； 

步骤三、建立导弹和导引点相对运动模型； 

步骤四、根据多导弹协同作战时对位置、攻击角度、攻击时间和攻击速度的协同要求，设计导弹与虚拟点之间的相对距离x_r、y_r和z_r； 

步骤五、基于相对动力学理论设计跟踪控制器，使导弹以设计的所述相对距离跟踪虚拟点飞行，从而实现协同作战。 

2.根据权利要求1所示的控制方法，其特征在于，所述步骤一的具体过程为： 

步骤101、从多枚导弹中选取一枚作为领弹，设定领弹的初始位置为 

理想攻击速度为

领弹末端攻击目标时的弹道倾角和弹道偏角分别为

和

步骤102、建立圆弧坐标系TX₁Y₁Z₁，原点在目标T点，TX₁轴与初始弹目线TM₀重合，指向M₀为正，TZ₁轴垂直于初始弹目线TM₀与领弹末端速度矢量

构成的平面，指向外为正，TY₁轴垂直于TX₁轴和TZ₁轴； 

步骤103、为领弹指定一虚拟导引点，该导引点初始坐标为导引点的终点为目标T所在位置；同时设定导引点按照速率在TX₁Y₁平面内运动，其运动的轨迹为圆弧线； 

步骤104、设导引点的初始速度矢量与TX₁轴的夹角为

任一时刻导引点速度矢量与TX₁轴的夹角为

此时有： 

式中，R为圆弧轨迹的半径，l为圆弧的弧长，t为任一时刻，T_G为导引点运动时间，为导引点到达目标时的速度矢量与TX₁轴的夹角； 

步骤105、令导引点到达目标时的速度矢量方向也为

和

根据

和确定单位速度矢量在地面坐标系的投影为 

将此矢量投影到圆弧坐标系，得到导引点末端攻击速度在圆弧坐标系的投影为 

式中，L_yd为地面坐标系向圆弧坐标系转换的矩阵； 

计算导引点末端速度矢量与圆弧坐标系的TX₁轴之间的夹角

为 

步骤106、根据步骤105计算出的

利用所述式（1）～（5）计算出R、l、

和T_G，确定领弹相对应导引点的圆弧轨迹已经确定； 

步骤107、针对每一从弹，根据其初始的弹目线和设定的从弹的理想末段攻击速度矢量，按照步骤102的方式建立圆弧坐标系； 

步骤108、为每一从弹指定一虚拟导引点，根据上述领弹所对应的导引点圆 弧轨迹的确定方式，在从弹所对应的圆弧坐标系内确定从弹所对应的导引点的轨迹。 

3.根据权利要求1所示的控制方法，其特征在于，所述步骤二的具体过程为： 

该运动规律表示为： 

式中，

为导引点在圆弧坐标系中的位置；表示导引点位置

相对于时间的一阶导数； 

根据坐标系之间的转换关系，可得到导引点在地面坐标系中的运动模型为： 

式中，(X_G,Y_G,Z_G)为导引点在地面坐标系中的位置；

表示导引点位置(X_G,Y_G,Z_G)相对于时间的一阶导数；i_1X、i_1Y、i_1Z、j_1X、j_1Y、j_1Z分别表示圆弧坐标系中TX₁轴和TY₁轴上单位矢量在地面坐标系三个轴上的投影。 

4.根据权利要求1所示的控制方法，其特征在于，所述步骤三的具体过程为： 

步骤201、在地面坐标系中，建立导弹的运动学方程为： 

式中，(X_M,Y_M,Z_M)为导弹在地面坐标系中的位置，

表示导弹位置(X_M,Y_M,Z_M)相对于时间的一阶导数，V_M为导弹的飞行速度，θ_M和

分别为导弹 的弹道倾角和弹道偏角； 

步骤202、根据式（10）和（11），可得到在地面坐标系中，表征导引点和导弹相对运动的方程为： 

步骤203、引入导弹的弹道坐标系MX₂Y₂Z₂作为参考坐标系，其为固连在导弹上的运动坐标系，其原点为导弹的质心，MX₂轴与导弹的速度矢量重合，MY₂轴在竖直平面内垂直于MX₂轴向上，MZ₂与其余两轴构成右手坐标系； 

步骤204、设x_r、y_r和z_r为导引点在参考坐标系中的坐标，表征导弹与导引点之间的相对距离；基于参考坐标系与地面坐标系之间的转换矩阵L_cd，可得： 

式中， 

。

5.根据权利要求1所示的控制方法，其特征在于，所述步骤四的具体过程为： 

步骤301、将导弹的飞行状态分成三个阶段，分别为协同飞行阶段、过渡飞行阶段及末段攻击阶段； 

步骤302、设计导弹协同飞行时，导弹与虚拟点之间相对距离x_r、y_r和z_r； 

该步骤的具体过程为： 

设领弹距目标的距离为r_c，令从弹的弹目距离等于领弹的弹目距离r_c，即 

将式（13）代入式（14），并假设x_r＝y_r＝z_r＝u，令 

c₂＝sinθ_M+cosθ_M、 

f₁＝c₁(X_G-X_T)+c₂(Y_G-Y_T)-c₃(Z_G-Z_T)、f₂＝(X_G-X_T)²+(Y_G-Y_T)²+(Z_G-Z_T)²-r_c ²，此时式（14）变换为： 

3u²-2f₁u+f₂＝0          （15） 

求解式（15）得： 

根据式（16）求解在协同飞行时，导弹与虚拟点之间相对距离x_r、y_r和z_r； 

步骤303、设计导弹末段飞行时，导弹与虚拟点之间相对距离x_r、y_r和z_r； 

该步骤的具体过程为： 

在地面坐标系中，有： 

式中，为导引点与导弹的相对速度；令导弹以固定的相对距离跟随导引点飞行时，有

将

代入式（17）可得： 

根据式（18）可知，当导弹以固定的相对距离跟随导引点飞行时，导弹和导引点的速度大小和方向均相同； 

将导弹视线角看作攻击角，根据理想攻击角

可得到理想视线在地面坐标系的投影，为： 

理想视线在参考坐标系的投影即为导弹与导引点之间的相对距离； 

根据地面坐标系和参考坐标系之间的转换关系，可得： 

由于导弹理想的末端攻击速度方向事先给定为

和因此，在计算式（20）中的转换矩阵L_cd时，导弹的弹道倾角和弹道偏角为

和

步骤304、设计过渡段飞行时，导弹与虚拟点之间相对距离x_r、y_r和z_r； 

该步骤的具体过程为： 

设多枚导弹协同飞行阶段在t₁时刻结束、t₂时刻进入末段攻击； 

设 

x_r(t)=at⁵+bt⁴+ct³+dt²+et+f          （21） 

根据已知的t₁和t₂时刻的值x_r(t₁)、

x_r(t₂)、

即可确定式（21）中的系数a、b、c、d、e和f，从而确定过渡段x_r的变化规律； 

根据确定x_r的方式确定y_r和z_r的变化规律。 

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