CN102945569B - 一种基于热核信号的三维模型对称性分析方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供了一种基于热核信号的三维模型对称性分析方法，将三维模型网格进行坐标转换得到三维模型拉普拉斯矩阵，然后分解得到其特征值和特征向量；计算三维模型各顶点的热核信号；利用热核信号作为模型的特征描述符，进行对称分析；利用谱放松方法求解图匹配最优解，也即得出最优对称点对。本发明便于特征分解，避免了优化问题的组合激增，提高了计算效率；具有较强泛化性能，提高对称性检测鲁棒性；具有匹配精度高，适用三维模型范围广的特点。

Description

一种基于热核信号的三维模型对称性分析方法

技术领域

本发明涉及一种三维模型的对称性分析方法。

背景技术

在自然界中，对称性是非常普遍的，无论是细胞、粒子的微观结构，还是宇宙中的太阳系和其他星体，都存在不同程度的对称性。而人类对于对称性的感知也是非常强烈的，因此人造物体大都是对称的，并且对称性在心理学上被认为是人类感知的一个基本原则。根据有关研究，当人们对物体的识别出现“对称性”时，大脑活动就会出现相应的峰值。由此可见，对称性影响了人们最初的注意机制，指导了后期对物体的各种处理过程.由于物体很难满足严格的对称性，因此单纯的依靠对称性的精确数学定义来检测对称性是远远不够的。对称性检测不仅对定位和识别平面物体有重要作用，而且在三维物体的重建中也越来越重要，因此研究三维模型的对称性具有重要的理论与工程意义。基于局部描述符的三维模型对称性分析作为计算机图形学领域的一个新兴研究热点，在工业产品的模型设计、虚拟现实、模拟仿真、3D游戏、计算机视觉、分子生物学和三维地理信息等各个领域获得了广泛的应用。

在目前国内外公开的文献中，在M.Ovsjanikov，J.Sun，L.Guibas，“Global intrinsicsymmetries of shapes”，Eurographics Symposium on Geometry Processing，Vol.27，No.5，2008.中提出了基于全局点信号特征将形状的内部对称性转换到由拉普拉斯算子特征函数定义的信号空间的欧式对称性，计算对于等轴变换具有不变性的形状对称性的方法。文中定义对于不存在边界的紧凑流形，若存在能够保持所有测地线距离的映射，则该流形内部对称。拉普拉斯矩阵能够唯一决定流形相邻点之间的局部几何关系，对其进行特征分解，可以证明如果两个流形可由彼此进行等轴变形得到，则它们的拉普拉斯矩阵有相同的特征值和特征向量，由此可知，对于特征函数进行某种映射后仍保持不变，则该映射代表内部对称。对于满足要求的流形，在其信号空间特征函数要么是负要么是正的，则其对称性可由符号序列识别，根据该序列可以计算出形状内的点到点的对应。在Niloy J.Mitra，Leonidas J.Guibas，Mark Pauly，“Partial andApproximate Symmetry Detection for 3D Geometry”，SIGGRAPH，Vol.25，No.3，2006.中提出了检测数字三维模型在不同尺度下的近似或者不完整对称性的方法，允许用户根据特定应用选择最具意义的对称性子集。文中提出对称性为在一组刚性转换（包括旋转、反射和统一缩放）下不变的特性，对称性计算可以分为两步。首先计算形状上选定点集的简单局部描述符，这些描述符在所需操作下具有不变性，使用这些局部描述符将点集配对，满足在一定的候选对称操作下能够映射到各自的对应点。在转换空间里，考虑每一组点对作为沉淀质量，为指定对称投票，具有相同转换的点对形成了为相应对称关系提供证据的类。其次使用一种随机聚类算法提取该质量分布的重要模式，该算法能够提供必要的表面对应性，因为在转换空间里的每一个点质量都对应空间区域的一个候选点对，因此在检测和提取对称表面面片时只需用考虑候选采样点的一小集合，避免了在整个输入数据集上费时的平方空间查找。

但上述两种三维模型分类方法有几点不足：

（1）基于全局点信号特征的三维模型对称性分析方法分解任意两点的测地线距离矩阵，时间复杂度高，不适于处理数据量较大的模型；

（2）基于局部形状信号聚类的三维模型对称性分析方法只能检测和提取外部对称性，不适合分析经过非刚性变形的模型的对称性。

发明内容

为了克服现有技术计算量大、复杂度高、无法应对非刚性变形的不足，本发明提供一种三维模型对称性分析方法，适用于通用物体的三维模型或CAD模型对称性分析。为了获取三维模型的非刚性变换的特征，本发明计算三维模型具有相邻关系的顶点之间的加权距离，构建拉普拉斯矩阵，通过对其进行特征分解后计算获得热核信号作为全局特征。利用给定候选对称点的热核信号建立邻接关系矩阵，使用点集谱匹配方法求取代价最小的点对对应关系，即可表征三维模型的对称性。本发明可用于具有外部和内部对称性的三维模型分析。

本发明解决其技术问题所采用的技术方案包括以下步骤：

（1）将三维模型网格的绝对坐标转换成微分坐标并写成矩阵形式，得到三维模型拉普拉斯矩阵，对拉普拉斯矩阵进行特征分解，得到其特征值和特征向量。

（2）计算三维模型各顶点的热核信号，所述的热核信号是定义在时间域上的函数，根据热核的特征分解式可以推出热核信号的计算式，从而由步骤（1）得到的特征值和特征向量求解热核信号。

（3）利用热核信号作为模型的特征描述符，进行对称分析。通过既存的特征点提取方法（例如：平均最小测地线距离函数法）获得三维模型上的部分点，其中任意两个点组成候选对称点对，利用候选对称点对的热核信号构建仿射矩阵，并利用配对限制条件对矩阵进行简化，矩阵每一行表示一组候选点对与其他候选点对的一致性，对角线元素表示该点对自身的匹配程度。仿射矩阵可以看作无向加权图的邻接关系矩阵，查找最优对称点对的问题转化为图匹配问题。

（4）利用谱放松方法求解图匹配最优解，也即得出最优对称点对。对步骤（3）构建的仿射矩阵进行特征分解，得到特征向量，其主特征向量元素值对应各个点对与该图最优类的密切关系，即该点对是最优对称点对的置信度，最后利于离散化方法将主特征向量二进制化，得到最终的指示向量，其中值为一的元素表示其对应的点对是最优对称点对。所有最优对称点对形成该模型的对称性表示。

本发明的有益效果是：本发明实现了一种三维模型的对称性分析方法，该方法通过建立模型的拉普拉斯矩阵，对其进行特征分解，从而提取三维模型的热核信号特征。根据热核信号的特性，利用候选匹配点的热核信号特征建立仿射矩阵，附加配对限制条件简化矩阵，形成平方规划问题，利用点集谱匹配方法降低复杂度，快速求解最优解，得到正确的匹配点对。首先，本发明提取的热核信号可以适应三维模型的刚性变换和非刚性变换，模型的特征提取过程的鲁棒性更强，而且，在热核计算中通过求解拉普拉斯矩阵，只考虑点的领域特征，提高了计算效率；其次，本发明提出一个对仿射矩阵（邻接关系矩阵）附加配对限制条件，使得仿射矩阵变为稀疏矩阵，便于特征分解；第三，本发明采用谱匹配方法求解平方规划问题，优点在于1）将平方优化问题转化为图匹配问题，避免了优化问题的组合激增，提高了计算效率；2）具有较强泛化性能，提高对称性检测鲁棒性；3）采用谱放松方法，将复杂问题转化为简单的求解主特征向量。实验证明，本发明构成的三维模型对称性分析方法，具有匹配精度高，适用三维模型范围广的特点。

附图说明

图1为本发明的总流程图；

图2为点集谱匹配方法实现流程图；

图3为网格拉普拉斯算子计算对应的角度图；

图4为给定模型及其指定点的热核信号特征，左边为给定模型，右边为给定两点的热核信号特征，其中实线为右手上点对应的热核信号随时间变化的曲线，虚线为左手上点对应的热核信号随时间变化的曲线。

图5为本发明所述的三维模型对称性检测结果，每一幅图为一模型的对称性表示结果，其中，图5（a）为具有外部对称性人体模型，给定20个候选对称点，由本发明方法得出的对称性结果；图5（b）为经过姿态变换后的人体模型，由本方法得出的对称性结果；图5（c）为对蚂蚁模型进行实验得到的对称性结果；图5（d）为对猫模型进行实验得出的对称性结果，左图为从侧面观察的结果，右图从正面观察的结果；图5（e）是对经过非刚性变形的人体模型进行实验得出的对称性结果，两幅图为从不同角度观察的结果；图5（f）是对泰迪熊模型进行实验得出的对称性结果；图5（g）是对一鸟模型进行实验得出的对称性结果。

具体实施方式

本发明包括以下步骤：

（1）建立三维模型拉普拉斯矩阵并特征分解。本发明中采用的拉普拉斯算子是一个局部微分算子，它广泛地用于曲面逼近，压缩和水印，还有交互式的网格处理和插值等。与传统的笛卡尔坐标(绝对坐标)只能表示点的全局空间位置不同，微分坐标能表示曲面局部的信息如曲面局部的方向、弯曲程度等。因此在曲面上定义保持这些性质的算子，可以用于一些保持细节等的变形操作。微分坐标向量的方向是局部法方向的近似，大小和局部平均曲率近似。直观上，这意味着微分坐标包含局部曲面形状的性质。离散化拉普拉斯算子就是将网格的绝对坐标转换成微分坐标，写成矩阵形式就是拉普拉斯矩阵。对其进行特征分解，得到的特征值特征向量用于下一步的热核信号计算。

（2）计算模型各顶点的热核信号。本发明中观察到模型表面上的热扩散能够被与拉普拉斯算子密切联系的热核完全描述。定义的热核信号是根据模型上热扩散过程的特性，将熟知的热核限制在某段时间区域内得到的点信号。它获取了包含在热核中的所有信息，将模型特征化为等距同构型。本发明中提出将热核限制在一定时间段内意味着一方面使得热核信号更加简单并且容易度量，另一方面它能够保留模型内部几何的所有信息。热核信号继承了热核许多特征，特别是在形状发生变化或者产生扰动时具有稳定性。同时，热核信号能够获得给定点的领域信息，可以被如实有效地估计。

（3）利用热核信号特征构建图匹配问题。本发明中提出对于给定的特征点集，利用热核信号特征从中找出各自的对应对称点。由热核信号的特性可知，完全对称模型的对称点的热核信号特征应该相同，大部分应用不能保证完全对称，本发明中提出的算法可用于近似对称性检测。根据候选对称点对的热核信号特征构建仿射矩阵，其中矩阵每一行表示一候选点对与其他候选点对的一致性，对角线元素表示该点对自身的匹配程度。本发明中提出了一种根据成对限制简化矩阵的方法，该仿射矩阵可以看作无向加权图的邻接关系矩阵，查找最优对称点对的问题转化为图匹配问题，也就是找到使满足映射限制的图类内值最大的点对类，正确的匹配点对能形成具有高关联性的连接类，不正确的匹配对则会被削弱与其他点对的连接，而不利于形成强类。同时本发明中用指示向量代表该类，如果向量元素值为一则表示它对应的点对属于该类，为零则表示对应的点对不属于该类。

（4）利用点集谱匹配方法求解最优对称点对。本发明中提出了利用谱放松方法求解平方规划问题的最优解，也即得出(3)中提出的最优对称点对。无向图类内值主要依赖三点：类内点对的个数，点对之间的相互连接关系(每一点对相邻链接数)以及一致程度（每一链接的权重）。为了简化规划问题的求解，本发明中放松了映射限制和对指示向量元素整数化的限制，用[0，1]之间的数表示候选点对与最优类的关联程度。由瑞利商定理可知，使得无向图类内值最大的向量是该图邻接关系矩阵的主特征向量。特征向量元素值可解释为指定点对是正确配对的置信度，最后利于离散化方法将结果二进制化，得到最终的指示向量，其中为一的元素表示其对应的点对是正确匹配，所有正确点对形成该模型的对称性表示。

下面结合附图和实施例对本发明进一步说明。

如附图1所示，本发明实现三维模型对称性分析的总流程，该总流程图包含了实现最终对称结果所需的各个主要步骤。首先，给定一个三维网格模型，计算三维模型的拉普拉斯矩阵，对其进行特征分解，得到三维网格模型热核信号特征。利用候选对称点的热核信号特征构建仿射矩阵，将对称问题转化为图匹配最优规划问题，利用谱匹配方法放松对结果的映射限制和整数限制，求解仿射矩阵的主特征向量，最后利用离散化方法得到二进制指示向量，通过显示其中的有效点对得到对称结果。

下面是具体的实现步骤。

一、建立三维模型拉普拉斯矩阵并特征分解。本发明假设待分类的三维模型由多边形网格进行表现，每个网格由顶点、边、多边形根据拓扑关系构成。本发明没有直接使用所有顶点的欧式距离进行特征化，原因在于其计算量大，不易进行特征分解。因此，本发明采用顶点与邻域点的距离获取三维形状的全局特征，其表示的局部几何关系不会随着一个三维形状的部分发生弯曲而变化，该特征对于非刚性变换是不变的。拉普拉斯算子是一个局部微分算子，将传统的笛卡尔坐标(绝对坐标)转化为微分坐标，能表示曲面局部的信息如曲面局部的方向、弯曲程度等。

假设M＝(V，E，F)是一个有n个顶点的三角网格，其中V表示顶点集合，E表示边的集合，F表示面的集合。对于每个顶点i∈M，我们用传统笛卡尔坐标表示，记为v_i＝(x_i，y_i，z_i)。首先定义微分坐标（也叫δ-坐标）如下：

${\mathrm{\δ}}_i=({\mathrm{\δ}}_i^{\left(x\right)},{\mathrm{\δ}}_i^{\left(y\right)},{\mathrm{\δ}}_i^{\left(z\right)})=v_i-\frac{1}{d}\underset{j\∈N\left(i\right)}{\mathrm{\Σ}}{v}_j=\frac{1}{d}\underset{j\∈N\left(i\right)}{\mathrm{\Σ}}(v_i-v_j)$

其中N(i)＝{j|(i，j)∈E}，d_i＝|N(i)|，叫做顶点i的度或阶。

从笛卡尔坐标到δ-坐标的变换可以写成矩阵形式，即所谓的网格拉普拉斯算子（Laplacian of the mesh），记它为L，将网格看作是一个图G＝(V，E)，设A为这个图的邻接矩阵：

D是对角矩阵满足D_ij=d_i，，那么将绝对坐标转换为δ-坐标的变换矩阵为：

L＝I-D^-1A

为方便起见，根据矩阵L得到一种对称矩阵形式L_s＝DL＝D-A，

即L_sx_i＝Dδ_i。

矩阵L_S或者L叫做网格的拓扑拉普拉斯算子（topological Laplacian of the mesh）或者图拉普拉斯算子（graph Laplacian of the mesh），图拉普拉斯算子在代数和图论里有大量的研究，主要是因为该算子的代数性质和它们所表示的图的组合性质相关。从微分几何的观点看，如果我们假设网格M是光滑曲面的逐片线性逼近，则δ-坐标可以看成是光滑曲面上Laplacian-Beltrami算子的离散形式，我们将顶点v_i的微分向量坐标写成：

${\mathrm{\δ}}_i=\frac{1}{d_i}{\mathrm{\Σ}}_{j\∈N\left(i\right)}(\stackrel{\→}{v_i}-\stackrel{\→}{v_j})$

需要注意的是拉普拉斯算子的几何离散形式有很好的逼近效果.Meyer等人提出用余切权(cotangent weights)代替均匀权(uniform weights)，这个思想是由Pinkal和Polthier首先提出来的，即

${\mathrm{\δ}}_i^{\cot \mathrm{angent}}=\frac{1}{\left|{\mathrm{\Ω}}_i\right|}\underset{j\∈N\left(i\right)}{\mathrm{\Σ}}\frac{1}{2}(\cot {\mathrm{\α}}_{\mathrm{ij}}+\cot {\mathrm{\β}}_{\mathrm{ij}})(v_i-v_j)$

其中|Ω_i|是顶点所在Voronoi多边形（泰森多边形）的大小，α_ij和β_ij为边(i，j)的对角，如附图3所示，余切权可能是负数，并且当角度比较大时，比较接近π时会带来一些问题，与余切权相似的凸包权(convex weights)：

$w_{\mathrm{ij}}=\frac{\tan ({{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}}^1/2)+\tan ({{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}}^2/2)}{\left|\right|v_i-v_j\left|\right|}$

其中和如附图3所示。

本发明中利用上面的方法建立拉普拉斯矩阵，并对矩阵L进行特征分解，求其特征值和对应的特征向量。特征分解式子如下：

Lv＝λv

其中，本专利采用Jacobi方法进行特征分解，将特征值从大到小排序。

二、计算模型各顶点的热核信号。

本发明中使用的全局特征为热核信号，而热核信号是对熟知的热核加以限制得到的。给定可能带有边界的紧凑流形M，在其上的热扩散过程可以由下面的热方程给出：

${\mathrm{\Δ}}_{M}u(x,t)=-\frac{\∂u(x,t)}{\∂t}$

其中Δ_M是M的拉普拉斯算子。如果M有边界，则需要u满足狄利克雷边界条件，即对所有的和所有t，u(x，t)＝0。给定初始热分布使H_t(f)表示t时刻的热分布，也就是说H_t(f)对所有t满足热分布，而且lim_t→0H_t(f)＝f。H_t称为热算子。Δ_M和H_t都是将定义在流形M上的实值函数映射到另一这样的函数的算子。对M存在一个函数满足：

$H_{t}f\left(x\right)=\underset{M}{\∫}{k}_t(x,y)f\left(y\right)\mathrm{dy}$

这里dy是在的体积形式。满足上式的最小函数k_t(x，y)称为热核，可以看成从给定单位热源x点经过t时刻后传递到y点的热量。对于紧凑流形，热核有如下的特征分解：

$k_t(x,y)=\underset{i=0}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{e}^{-{\mathrm{\λ}}_{i}t}{\mathrm{\φ}}_i\left(x\right){\mathrm{\φ}}_i\left(y\right)$

这里λ_i，φ_i分别是拉普拉斯算子的第i个特征值和第i个特征函数。

热核函数k_t(x，y)有许多好的特性，比如对称性，等距不变性，包含大量的信息，具有多尺度特性以及对噪声的稳定性。因此热核成为点信号的合适候选。特别地，可以考虑由时间t参数化的函数族{k_t(x，·)}_t＞0可以作为任意点x∈M的信号。但是，这个信号的复杂度极高，因为单点信号{k_t(x，·)}_t＞0是定义在时间空间区域上的函数，更糟糕的是比较两个不同点的信号是很困难的。

基于上述情况，热核包含了大量的冗余信息，这是因为热扩散过程是由热方程给出的，这意味着空间区域信号函数的改变由其在时间上的改变表明。为了克服以上困难，本发明考虑在尽可能地保留更多信息的同时将热核限制在一个子集

给定流形M上一点x，定义它的热核信号，HKS(x)为时间域上的函数：

$k_t(x,x)={\mathrm{\Σ}}_{i=0}^{\∞}{e}^{-{\mathrm{\λ}}_{i}t}{\mathrm{\φ}}_i{\left(x\right)}^2$

热核信号尽可能地保留了热核函数族{k_t(x，·)}_t＞0的信息。如附图4所示，对于模型上任意给定一点，其热核信号随时间减少，到某一时刻趋于平缓。显而易见，不同点处的热核信号是定义在通用时间域上，使得它们能很容易进行比较。通过模仿模型上热扩散过程，热核信号简洁编码了不同尺度下点x邻域的几何信息。

本发明中的点信号将模型几何信息编码为一组时间域上的函数集，这样不仅是等距不变的而且节省存储空间和容易计算。

三、利用热核信号特征构建图匹配问题

本发明中给定候选对称点，由其热核信号特征组成集合P，其中包含n_P个特征数据，需要从中找出最优匹配点对显示模型的对称性，对称对应映射是点对(i，i′)的集合C，其中i，i′∈P。P内的特征，若属于来自C内的点对，则称其为内层值，而在C内没有这样的点对的特征为异常值。不同的问题可以给集合C附加不同的映射限制，比如，允许集合P中的一个特征最多匹配另外一个特征，或者允许一个特征匹配多个特征。

对于每一候选点对a＝(i，i')，存在测量特征i与特征i'匹配程度的关联值或者密切关系，而且，对于每一匹配对(a,b)，这里a＝(i,i')，b＝(j,j')，也存在密切关系测量数据特征(i,j)与(i',j')的兼容性。给定包含n个候选点对的列表L，本发明中将每一组点对a∈L以及每一匹配对a,b∈L的密切关系存储在如下的n_P×n_P矩阵M中：

1.M(a,a)表示来自于L中各个点对a＝(i,i')的密切关系。它测量了特征数据i与i'的匹配程度。肯定不可能是正确的点对（由于i和i'的描述符具有较大差距）将被滤除，因此，每一个这样的限制将会减少矩阵M的行数和列数。

2.M(a,b)描述了两个特征(i',j')的相对成对几何性（或者任何其他成对关系的类型）经过与(i, j)对应后保留的程度。这里，a＝(i,i')，b＝(j,j')。如果这两个点对不一致（例如，(i,j)与(i',j')之间的变形过大）或者基于映射限制（例如，i＝j,i'≠j'）它们不具有兼容性，则使M(a,b)=0。不失一般性假设M(a,b)＝M(b,a)。

本发明中要求这些密切关系是非负的，对称的（M(a,b)＝M(b,a)），并且不失一般性，随着匹配质量的提高是增加的。来自于L的候选点对a＝(i,i')可以看成无向图的节点而成对值M(a,b)可以看成边的权值，M(a,a)为节点的权值。因此，矩阵M代表了该无向加权图的关系矩阵。该图节点数（L的元素数目）基于实际数据是自适应的，主要依赖于特征描述符的可区别性。本发明中采用热核信号特征，具有高度的可区分性，所以M的大小和维度大大降低。通常，M是n×n，n＝kn_P稀疏对称正定矩阵，k是每一个特征数据i∈P的平均候选匹配数。每一个特征i∈P通常有不同的候选对称数(i,i')，i'∈P。

对称匹配问题降低为找点对(i,i')组成的类C，使得满足映射限制条件的类内值S＝∑_a，b∈CM(a,b)最大。本发明中用一指示向量x代表任意类C，如果a∈C则x(a)＝1，否则为0。重新写整个类内值如下：

S＝∑_a，b∈CM(a,b)＝x^TMx

最优解x^*是使S最大的二进制向量，给定映射限制：

x^*＝argmax(x^TMx)

本发明中考虑到点没有可区分性，因此设置矩阵M的对角线元素，也就是各个点对元素M(a，a)为零（使匹配值完全依赖于成对几何信息）。对于候选点对a＝(i，i')和b＝(j，j')之间变形的匹配对值M(a，b)，使用点之间成对距离：

本发明将对称点匹配问题转化为图匹配问题，通过求解该问题得出最终对称点对。

四、利用点集谱匹配方法求解最优对称点对

本发明中利用点集谱匹配方法对第三步提出的对称点对匹配问题进行求解。无向图类内值主要依赖三点：类内点对的个数，点对之间的相互连接关系(每一点对相邻链接数)以及一致程度（每一链接的权重）。本发明中利用谱放松法，放松对解x的映射限制和整数化限制，以至于它的元素可以取[0，1]之间的实值。x^*(a)可以解释为a与最优类C^*的联系度。由于只有x元素之间的相对值起作用，可以固定x的范数为1。因此，由锐利商定理可知，使得类内值x^TMx最大的解x^*是M的主特征向量。又因为M有非负元素，由佩龙-弗洛比尼斯定理可知，x^*的元素取值将在[0，1]之间。下面将考虑如何利用映射限制二进制化特征向量并得到最优解的最好近似。

对应于指定点对a＝(i，i')的特征向量值作为a是正确匹配的置信度，本发明中记x^*(a)为a的置信度。首先接受具有最大置信度的点对a^*（也就是特征向量值x^*(a^*)）作为正确的匹配对，因为它是我们最相信是正确的一个。接下来依据对应映射限制条件拒绝所有与a^*冲突的其他点对。在本发明的实验中有形如(i，*)或者(*，i')的点对，需要注意的是可以使用不同的限制条件来找到与a^*冲突的点对。接受不与a^*冲突，也就是没有被拒绝并且具有次高置信度的点对为下一个正确匹配，通过拒绝与新接受点对冲突的点对继续该过程。重复这样的操作直到所有的点对被拒绝或者接受。这个算法将使得候选点对分离为两部分，正确点对集C^*和被拒绝的点对集R，点集R有以下特性：来自于R的每一个点对将与来自于C^*的一些高置信度点对冲突。因此，没有来自R的元素能被包含在C^*中，而不需要从C^*中移除具有高置信度的元素。

整个算法总结如下：

1.建立如三所述的n×n对称非负矩阵M。

2.使x^*为M的主特征向量。初始化解向量x为n×1的零向量。用所有候选点对集初始化L。

3.找到a^*＝argmax_a∈L(x^*(a))。如果x^*(a^*)＝0则停止并返回解x。否则设置x(a^*)＝1并从L中移除a^*。

4.移除L中所有与a^*＝(i，i')冲突的潜在点对。这些对于一一对应限制是形如(i，k)，(q，i')的点对。

5.如果L为空则返回解x。否则返回到第3步。

注意在第3步和第4步中发现奇异点，它们是与高置信度点对不兼容的弱点对，或者是那些有零对应特征向量值的点对。可以使用不同的对应映射限制类型移除与高置信度冲突的点对。本方法利用了这些限制容易检验的事实，提供了将它作为一个后优化步骤的简单方法。实验中即使对中等大小的数据集该算法比平方问题的线性规划优化法快几个数量级。

本发明中之所以采用热核信号作为模型特征，是因为它用有效的、多尺度的方法组织了模型的内部几何信息，特别是在形状发生变化或者产生扰动时具有稳定性。在保留有效信息的基础上是简洁可度量的，同时，热核信号能够获得给定点的领域信息，可以被如实地有效地估计。最重要的是热核信号特征在等轴变形下具有不变性，使得本发明方法同样适用于经过刚性和非刚性变形的模型。本发明没有直接对平方规划问题求解，而是将其转换为图匹配问题，是因为平方规划问题是NP-hard问题，也就是非确定性时间能够求解的问题，这样节省了时间和空间复杂度，大幅度提高了运算效率。而且将抽象的数学问题转换为图匹配问题，方便了对对称匹配问题的理解和分析。使用的谱放松方法，将复杂的优化问题求解转换为简单的特征分解邻接关系矩阵，继而使用离散化过程得到最优对称匹配点对，完成对模型对称性的分析过程。

附图5给出了本发明算法的实验结果。从图中可以看出，该算法不仅适用于具有明显表征的外部对称性检测，还可以用于经过非刚性变形，但仍具有内部对称性的模型，且得到较准确的对称匹配结果，在现有对称性分析方法中具有一定的优越性，同时，应对复杂通用模型具有较强的鲁棒性。以上整体所述是本发明的优选实施方式，本领域技术人员在不脱离本发明原理的前提下，可以做出若干改进，包括选取更有效的特征核函数等，本发明的范围由所附权利要求书及其等同限定。

Claims (1)

1.一种基于热核信号的三维模型对称性分析方法，其特征在于包括下述步骤：

(1)将三维模型网格的绝对坐标转换成微分坐标并写成矩阵形式，得到三维模型拉普拉斯矩阵，对拉普拉斯矩阵进行特征分解，得到其特征值和特征向量；

(2)计算三维模型各顶点的热核信号，所述的热核信号是定义在时间域上的函数，根据热核的特征分解式可以推出热核信号的计算式，从而由步骤(1)得到的特征值和特征向量求解热核信号；

(3)利用热核信号作为模型的特征描述符，进行对称分析，通过特征点提取方法获得三维模型上的部分点，其中任意两个点组成候选对称点对，利用候选对称点对的热核信号构建仿射矩阵，并利用配对限制条件对矩阵进行简化，矩阵每一行表示一组候选点对与其他候选点对的一致性，对角线元素表示该点对自身的匹配程度；仿射矩阵可以看作无向加权图的邻接关系矩阵，查找最优对称点对的问题转化为图匹配问题；

(4)利用谱放松方法求解图匹配最优解，也即得出最优对称点对，对步骤(3)构建的仿射矩阵进行特征分解，得到特征向量，其主特征向量元素值对应各个点对与该图最优类的密切关系，即该点对是最优对称点对的置信度，最后利用离散化方法将主特征向量二进制化，得到最终的指示向量，其中值为一的元素表示其对应的点对是最优对称点对；所有最优对称点对形成该模型的对称性表示。