CN102928794A - 一种基于三轴矢量磁传感器阵的磁性目标磁矩测量方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于三轴矢量磁传感器阵的磁性目标磁矩的测量方法，该方法利用由五个三轴矢量磁传感器组成磁梯度张量测量阵列来测量磁性目标的磁矩，能够进行单点实时测量，测量精度高。具体方案为：首先利用磁梯度张量测量阵列测量磁性目标周围在探测点处的磁梯度张量；然后利用磁梯度张量对磁性目标与探测点的相对距离及相对坐标进行解算；最后根据所解算出的相对距离及相对位置坐标，结合磁矩求解公式计算出磁性目标在当前坐标系下的三轴磁矩。该测量方法只需要测量阵列在某一个探测点的测量数据即可计算出磁性目标的磁矩，可以达到较高的测量精度。

Description

一种基于三轴矢量磁传感器阵的磁性目标磁矩测量方法

技术领域

本发明涉及一种高精度的磁性目标磁矩测量方法，具体涉及一种基于三轴矢量磁传感器阵的磁性目标磁矩测量方法，属于磁测量领域。

背景技术

磁性目标的磁矩是一个重要物理量，广泛应用于各种理论推导和实际工程中，例如通过推导磁性体的磁矩可以进行磁性目标体的反演、通过磁矩可以对舰船磁场进行外推从而进行舰船消磁或者舰船磁隐身，而在磁探测定位应用领域磁矩这一物理量更是显得尤为重要。

目前还没有一种能够实时测量磁性目标磁矩的方法。现有的磁性目标磁矩测量方法都是一种事后处理分析方法，并且精度不高，其中最常用的就是根据所建立的复杂的磁性目标磁场模型推导出相应的磁矩求解方程组，然后再根据所测量的大量的磁场数据进行反演，这一过程，涉及到求解非线性方程组，常见的求解方法有神经网络法，逐次回归法，遗传算法搜索求解，POWELL法，遗传算法和单纯形法联合求解等。

上述这种传统的目标磁矩确定方法的存在数据量大，计算复杂，求解结果不稳定，实时性差，测量误差大等缺点。

发明内容

有鉴于此，本发明提出一种基于三轴矢量磁传感器阵的磁性目标磁矩的测量方法，该方法利用由五个三轴矢量磁传感器组成磁梯度张量测量阵列来测量磁性目标的磁矩，能够进行单点实时测量，测量精度高。

采用该方法进行磁性目标磁矩的测量的步骤为：

步骤一：布置磁梯度张量测量阵列

磁梯度张量测量阵列由五个三轴矢量磁传感器组成,布置磁梯度张量测量阵列时，位于探测点处的三轴矢量磁传感器为基准传感器。其它三轴矢量磁传感器分布在基准传感器周围，为参考传感器。设基准传感器的三个敏感轴方向分别为x向、y向和z向，布置磁梯度张量测量阵列时应保证所有三轴矢量磁传感器对应的三个敏感轴均相互平行。在x向的正向和负向各布置一个参考传感器，在y向的正向和负向各布置一个参考传感器，四个参考传感器与基准传感器之间的距离均相等。

步骤二：利用步骤一所建立的磁梯度张量测量阵列测量磁性目标在探测点处的磁梯度张量G和磁感应强度B

设基准传感器为1号传感器。位于x向正向上的参考传感器为2号传感器，位于x向负向上的参考传感器为4号传感器，位于y向正向上的参考传感器为3号传感器，位于y向负向上的参考传感器为5号传感器。四个参考传感器与基准传感器之间的距离均为d。

五个三轴矢量磁传感器输出的数据分别为：(B_1x，B_1y，B_1z)，(B_2x，B_2y，B_2z)、(B_3x，B_3y，B_3z)、(B_4x，B_4y，B_4z)、(B_5x，B_5y，B_5z)。

其中B_ab表示第a个三轴矢量磁传感器测得的在b方向上的磁感应强度，a=1、2、3、4、5,b=x、y、z。

则磁性目标在探测点处的磁梯度张量G为：

$G=\left[\begin{array}{ccc}{B}_{\mathrm{xx}}\≈\frac{B_{2x}-B_{4x}}{2d}& B_{\mathrm{xy}}\≈\frac{B_{2y}-B_{4y}}{2d}& B_{\mathrm{xz}}\≈\frac{B_{2z}-B_{4z}}{2d}\\ B_{\mathrm{yx}}\≈\frac{B_{3x}-B_{5x}}{2d}& B_{\mathrm{yy}}\≈\frac{B_{3y}-B_{5y}}{2d}& B_{\mathrm{yz}}\≈\frac{B_{3z}-B_{5z}}{2d}\\ B_{\mathrm{zx}}\≈\frac{B_{2z}-B_{4z}}{2d}& B_{\mathrm{zy}}\≈\frac{B_{3z}-B_{5z}}{2d}& B_{\mathrm{zz}}\≈\frac{B_{4x}+B_{5y}-B_{2x}-B_{3y}}{2d}\end{array}\right]---\left(1\right)$

所述磁性目标在探测点处的磁感应强度B为：(B_1x，B_1y，B_1z)   （2）

式（1）中B_ij表示i方向上的磁感应强度在j方向上的导数，i=x、y、z,j=x、y、z。

步骤三：利用磁梯度张量G和磁感应强度B计算磁梯度张量测量阵列与磁性目标的相对位置关系

将待测量的磁性目标等效为磁偶极子，以磁偶极子为坐标原点，设探测点与磁偶极子间的距离为

则有：

$\stackrel{\→}{r}=\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]={-3G}^{-1}B---\left(3\right)$

将步骤二得到的磁性目标在探测点处磁感应强度B和磁梯度张量G代入公式（3）,则探测点在以磁偶极子为原点的坐标系中的位置坐标（x，y，z）为：

$\stackrel{\→}{r}=\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]=-3{\left[\begin{array}{ccc}{B}_{\mathrm{xx}}\≈\frac{B_{2x}-B_{4x}}{2d}& B_{\mathrm{xy}}\≈\frac{B_{2y}-B_{4y}}{2d}& B_{\mathrm{xz}}\≈\frac{B_{2z}-B_{4z}}{2d}\\ B_{\mathrm{yx}}\≈\frac{B_{3x}-B_{5x}}{2d}& B_{\mathrm{yy}}\≈\frac{B_{3y}-B_{5y}}{2d}& B_{\mathrm{yz}}\≈\frac{B_{3z}-B_{5z}}{2d}\\ B_{\mathrm{zx}}\≈\frac{B_{2z}-B_{4z}}{2d}& B_{\mathrm{zy}}\≈\frac{B_{3z}-B_{5z}}{2d}& B_{\mathrm{zz}}\≈\frac{B_{4x}+B_{5y}-B_{2x}-B_{3y}}{2d}\end{array}\right]}^{-1}\left[\begin{array}{c}{B}_{1x}\\ B_{1y}\\ B_{1z}\end{array}\right]---\left(4\right)$

步骤四：依据步骤三计算的磁梯度张量测量阵列和磁性目标的相对位置计算磁性目标在当前坐标系下的三轴磁矩

距离磁偶极子

处的磁感应强度为B为：

$B=\frac{{\mathrm{\μ}}_0}{4\mathrm{\π}{\left|\stackrel{\→}{r}\right|}^5}[3(\stackrel{\→}{r}\·\stackrel{\→}{m})\stackrel{\→}{r}-{\left|\stackrel{\→}{r}\right|}^2\stackrel{\→}{m}]---\left(5\right)$

式中：

为在距离磁偶极子

处的磁矩矢量，μ₀为真空磁导率。

令 $\stackrel{\→}{m}=m_x\stackrel{\→}{i}+m_y\stackrel{\→}{j}+m_z\stackrel{\→}{k},$

则距离磁偶极子

处的磁感应强度为B的三个分量分别为：

$\left[\begin{array}{c}{B}_{1x}\\ B_{1y}\\ B_{1z}\end{array}\right]=\frac{{\mathrm{\μ}}_0}{4\mathrm{\π}{(x^2+y^2+z^2)}^{5/2}}\left[\begin{array}{ccc}{2x}^2-y^2-z^2& 3\mathrm{xy}& 3\mathrm{xz}\\ 3\mathrm{xy}& {2y}^2-x^2-z^2& 3\mathrm{yz}\\ 3\mathrm{xz}& 3\mathrm{yz}& {2z}^2-y^2-x^2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{m}_x\\ m_y\\ m_z\end{array}\right]---\left(6\right)$

则磁性目标在当前坐标系下三轴磁矩

的计算公式为：

$\stackrel{\→}{m}=\left[\begin{array}{c}{m}_x\\ m_y\\ m_z\end{array}\right]=\frac{4\mathrm{\π}}{{\mathrm{\μ}}_0}{(x^2+y^2+z^2)}^{5/2}{\left[\begin{array}{ccc}{2x}^2-y^2-z^2& 3\mathrm{xy}& 3\mathrm{xz}\\ 3\mathrm{xy}& {2y}^2-x^2-z^2& 3\mathrm{yz}\\ 3\mathrm{xz}& 3\mathrm{yz}& {2z}^2-y^2-x^2\end{array}\right]}^{-1}\left[\begin{array}{c}{B}_{1x}\\ B_{1y}\\ B_{1z}\end{array}\right]$

有益效果

本发明利用由五个三分量矢量磁传感器组成测量阵列进行磁性目标的磁矩测量，能够进行单点实时测量，测量精度高，且计算过程简单。

附图说明

图1五个三轴矢量磁传感器组成的磁测阵列的结构示意图；

图2为该方法的计算流程图。

具体实施方式

下面结合附图并举实施例，对本发明进行详细描述。

本实施例提供一种基于三轴矢量磁传感器阵的磁性目标磁矩的测量方法，该方法利用五个三轴矢量磁传感器组成的磁梯度张量测量阵列来测量磁性目标的磁矩。

磁梯度张量测量阵列的布置方式如图1所示，设五个三轴矢量磁传感器的编号分别为1号～5号。将布置在探测点处的1号三轴矢量磁传感器作为基准传感器，其它三轴矢量磁传感器作为参考传感器。设基准传感器的三个敏感轴方向分别为x向、y向和z向，建立坐标系xyz，所有三轴矢量磁传感器对应的三个敏感轴均相互平行。四个参考传感器中2号和4号三轴矢量磁传感器分别布置在x向的正向和负向，3号和5号三轴矢量磁传感器分别布置在y向的正向和负向；四个参考传感器与基准传感器之间的距离均为d。

采用该磁梯度张量测量阵列进行磁性目标磁矩测量的具体步骤如图2所示：

步骤一：按照上述要求布置磁梯度张量测量阵列；

步骤二：利用磁梯度张量测量阵列测量磁性目标在探测点处的磁梯度张量G和磁感应强度B

磁场是矢量场，在磁性目标周围存在磁场，磁场的二阶张量称为磁梯度张量，记为G。磁梯度张量G的表达式为：

$G=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\∂B_x}{\∂x}& \frac{{\∂B}_x}{\∂y}& \frac{\∂B_x}{\∂z}\\ \frac{\∂B_y}{\∂x}& \frac{\∂B_y}{\∂y}& \frac{\∂B_y}{\∂z}\\ \frac{\∂B_z}{\∂x}& \frac{\∂B_z}{\∂y}& \frac{\∂B_z}{\∂z}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{B}_{\mathrm{xx}}& B_{\mathrm{xy}}& B_{\mathrm{xz}}\\ B_{\mathrm{yx}}& B_{\mathrm{yy}}& B_{\mathrm{yz}}\\ B_{\mathrm{zx}}& B_{\mathrm{zy}}& B_{\mathrm{zz}}\end{array}\right]---\left(1\right)$

其中B_ij表示i方向上的磁感应强度在j方向上的导数（i=x、y、z,j=x、y、z）。

通过电磁场理论，磁性物体所产生的磁场为无源无旋场，因此，磁梯度张量G的矩阵具有对称性，即当i≠j时，B_ij＝B_ji，且有B_zz-B_xx-B_yy＝0

则有：

$\left\{\begin{array}{c}{B}_{\mathrm{xy}}=B_{\mathrm{yx}}\\ B_{\mathrm{xz}}=B_{\mathrm{zx}}\\ B_{\mathrm{yz}}=B_{\mathrm{zx}}\\ B_{\mathrm{zz}}=-B_{\mathrm{xx}}-B_{\mathrm{yy}}\end{array}\right.$

图1中基准传感器用于测量磁性目标的磁感应强度B，参考传感器用于测量磁性目标的磁梯度张量G。设1号～5号三轴矢量磁传感器输出的数据分别为：(B_1x，B_1y，B_1z)，(B_2x，B_2y，B_2z)、(B_3x，B_3y，B_3z)、(B_4x，B_4y，B_4z)、(B_5x，B_5y，B_5z)，利用差分运算代替式（1）中的微分运算，则磁性目标在探测点处的磁梯度张量G为：

$G=\left[\begin{array}{ccc}{B}_{\mathrm{xx}}\≈\frac{B_{2x}-B_{4x}}{2d}& B_{\mathrm{xy}}\≈\frac{B_{2y}-B_{4y}}{2d}& B_{\mathrm{xz}}\≈\frac{B_{2z}-B_{4z}}{2d}\\ B_{\mathrm{yx}}\≈\frac{B_{3x}-B_{5x}}{2d}& B_{\mathrm{yy}}\≈\frac{B_{3y}-B_{5y}}{2d}& B_{\mathrm{yz}}\≈\frac{B_{3z}-B_{5z}}{2d}\\ B_{\mathrm{zx}}\≈\frac{B_{2z}-B_{4z}}{2d}& B_{\mathrm{zy}}\≈\frac{B_{3z}-B_{5z}}{2d}& B_{\mathrm{zz}}\≈\frac{B_{4x}+B_{5y}-B_{2x}-B_{3y}}{2d}\end{array}\right]---\left(2\right)$

磁性目标在探测点处的磁感应强度B为：B＝(B_1x，B_1y，B_1z)   （3）

其中B_ab表示第a个三轴矢量磁传感器测得的在b方向上的磁感应强度（a=1、2、3、4、5,b=x、y、z）

步骤三：利用磁梯度张量G计算磁性目标与磁梯度张量测量阵列间的相对坐标

由于任何磁性目标在一定的距离外均可以等效为磁偶极子模型，因此，将待测量的磁性目标等效为磁偶极子，以磁偶极子为坐标原点，设探测点与磁偶极子间的距离为，则探测点处的磁感应强度B为：

$B=\frac{{\mathrm{\μ}}_0}{4\mathrm{\π}{\left|\stackrel{\→}{r}\right|}^5}[3(\stackrel{\→}{r}\·\stackrel{\→}{m})\stackrel{\→}{r}-{\left|\stackrel{\→}{r}\right|}^2\stackrel{\→}{m}]---\left(4\right)$

式中：

为位置矢量， $\stackrel{\→}{r}=\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right],$

即为探测点与磁偶极子间的距离；

为磁偶极子的磁矩矢量，μ₀为真空磁导率；

结合式（1）和式（4）有：

$\stackrel{\→}{r}={-3G}^{-1}B---\left(5\right)$

式中G^-1为磁梯度张量G的逆矩阵。

将步骤一中的式（2）和式（3）代入式（5），则探测点在以磁偶极子为原点的坐标系中的位置坐标（x，y，z）为：

$\stackrel{\→}{r}=\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]=-3{\left[\begin{array}{ccc}{B}_{\mathrm{xx}}\≈\frac{B_{2x}-B_{4x}}{2d}& B_{\mathrm{xy}}\≈\frac{B_{2y}-B_{4y}}{2d}& B_{\mathrm{xz}}\≈\frac{B_{2z}-B_{4z}}{2d}\\ B_{\mathrm{yx}}\≈\frac{B_{3x}-B_{5x}}{2d}& B_{\mathrm{yy}}\≈\frac{B_{3y}-B_{5y}}{2d}& B_{\mathrm{yz}}\≈\frac{B_{3z}-B_{5z}}{2d}\\ B_{\mathrm{zx}}\≈\frac{B_{2z}-B_{4z}}{2d}& B_{\mathrm{zy}}\≈\frac{B_{3z}-B_{5z}}{2d}& B_{\mathrm{zz}}\≈\frac{B_{4x}+B_{5y}-B_{2x}-B_{3y}}{2d}\end{array}\right]}^{-1}\left[\begin{array}{c}{B}_{1x}\\ B_{1y}\\ B_{1z}\end{array}\right]---\left(6\right)$

步骤四：计算磁性目标在当前坐标系下的三轴磁矩

由式（4），令

则磁偶极子在探测点处磁感应强度B的三个分量分别为：

$B_{1x}=\frac{{\mathrm{\μ}}_0}{4\mathrm{\π}}\frac{({2x}^2-y^2-z^2)m_x+{3\mathrm{xym}}_y+{3\mathrm{xzm}}_z}{{(x^2+y^2+z^2)}^{5/2}}---\left(7\right)$

$B_{1y}=\frac{{\mathrm{\μ}}_0}{4\mathrm{\π}}\frac{({2y}^2-x^2-z^2)m_y+{3\mathrm{xym}}_x+{3\mathrm{xzm}}_z}{{(x^2+y^2+z^2)}^{5/2}}---\left(8\right)$

$B_{1z}=\frac{{\mathrm{\μ}}_0}{4\mathrm{\π}}\frac{({2z}^2-y^2-x^2)m_z+{3\mathrm{xym}}_x+{3\mathrm{xzm}}_y}{{(x^2+y^2+z^2)}^{5/2}}---\left(9\right)$

将式（5）、式（6）、式（7）写成矩阵形式，即：

$\left[\begin{array}{c}{B}_{1x}\\ B_{1y}\\ B_{1z}\end{array}\right]=\frac{{\mathrm{\μ}}_0}{4\mathrm{\π}{(x^2+y^2+z^2)}^{5/2}}\left[\begin{array}{ccc}{2x}^2-y^2-z^2& 3\mathrm{xy}& 3\mathrm{xz}\\ 3\mathrm{xy}& {2y}^2-x^2-z^2& 3\mathrm{yz}\\ 3\mathrm{xz}& 3\mathrm{yz}& {2z}^2-y^2-x^2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{m}_x\\ m_y\\ m_z\end{array}\right]---\left(10\right)$

令 $B=\left[\begin{array}{c}{B}_{1x}\\ B_{1y}\\ B_{1z}\end{array}\right],$ $r=\sqrt{(x^2+y^2+z^2)},$ $C=\frac{{\mathrm{\μ}}_0}{4\mathrm{\π}},$ $m=\left[\begin{array}{c}{m}_x\\ m_y\\ m_z\end{array}\right],$ $A=\left[\begin{array}{ccc}{2x}^2-y^2-z^2& 3\mathrm{xy}& 3\mathrm{xz}\\ 3\mathrm{xy}& {2y}^2-x^2-z^2& 3\mathrm{yz}\\ 3\mathrm{xz}& 3\mathrm{yz}& {2z}^2-y^2-x^2\end{array}\right],$ 则上式（8）可以写成：

$\stackrel{\→}{m}=\frac{1}{C}{r}^5{A}^{-1}B---\left(11\right)$

式（11）中C为常数，磁偶极子在探测点所产生的三分量磁感应强度值B由基准传感器测得；该探测点在以磁偶极子为中心的三轴坐标系内的坐标值已由式（6）得到，则该磁偶极子（即磁性目标）在当前坐标系下三轴磁矩

的计算公式为：

$\stackrel{\→}{m}=\left[\begin{array}{c}{m}_x\\ m_y\\ m_z\end{array}\right]=\frac{1}{C}{(x^2+y^2+z^2)}^{5/2}{\left[\begin{array}{ccc}{2x}^2-y^2-z^2& 3\mathrm{xy}& 3\mathrm{xz}\\ 3\mathrm{xy}& {2y}^2-x^2-z^2& 3\mathrm{yz}\\ 3\mathrm{xz}& 3\mathrm{yz}& {2z}^2-y^2-x^2\end{array}\right]}^{-1}\left[\begin{array}{c}{B}_{1x}\\ B_{1y}\\ B_{1z}\end{array}\right]$

将上述磁矩测量方法利用五传感器磁测阵列对某磁性目标进行磁矩测量，其测量值与真实值的对比如表1所示。

表1磁性目标的三轴磁矩

三轴磁矩	真实值	测量值
			mx	150A·m2	152.9535A·m2
my	0	0.2865A·m2
			mz	0	0.1307A·m2

综上所述，以上仅为本发明的较佳实施例而已，并非用于限定本发明的保护范围。凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (1)

1.一种基于三轴矢量磁传感器阵的磁性目标磁矩的测量方法，其特征在于，

步骤一：布置磁梯度张量测量阵列

所述磁梯度张量测量阵列由五个三轴矢量磁传感器组成，其中位于探测点处的三轴矢量磁传感器为基准传感器；其它三轴矢量磁传感器分布在基准传感器周围，为参考传感器；设基准传感器的三个敏感轴方向分别为x向、y向和z向，布置磁梯度张量测量阵列时应保证所有三轴矢量磁传感器对应的三个敏感轴均相互平行；在x向的正向和负向各布置一个参考传感器，在y向的正向和负向各布置一个参考传感器，四个参考传感器与基准传感器之间的距离均相等；

步骤二：利用步骤一所建立的磁梯度张量测量阵列测量磁性目标在探测点处的磁梯度张量G和磁感应强度B

设基准传感器为1号传感器；位于x向正向上的参考传感器为2号传感器，位于x向负向上的参考传感器为4号传感器，位于y向正向上的参考传感器为3号传感器，位于y向负向上的参考传感器为5号传感器；四个参考传感器与基准传感器之间的距离均为d；

五个三轴矢量磁传感器输出的数据分别为：(B_1x，B_1y，B_1z)，(b_2x，B_2y，B_2z)、(B_3x，B_3y，B_3z)、(B_4x，B_4y，B_4z)、(B_5x，B_5y，B_5z)；

其中B_ab表示第a个三轴矢量磁传感器测得的在b方向上的磁感应强度，a=1、2、3、4、5,b=x、y、z；

则磁性目标在探测点处的磁梯度张量G为：

$G=\left[\begin{array}{ccc}{B}_{\mathrm{xx}}\≈\frac{B_{2x}-B_{4x}}{2d}& B_{\mathrm{xy}}\≈\frac{B_{2y}-B_{4y}}{2d}& B_{\mathrm{xz}}\≈\frac{B_{2z}-B_{4z}}{2d}\\ B_{\mathrm{yx}}\≈\frac{B_{3x}-B_{5x}}{2d}& B_{\mathrm{yy}}\≈\frac{B_{3y}-B_{5y}}{2d}& B_{\mathrm{yz}}\≈\frac{B_{3z}-B_{5z}}{2d}\\ B_{\mathrm{zx}}\≈\frac{B_{2z}-B_{4z}}{2d}& B_{\mathrm{zy}}\≈\frac{B_{3z}-B_{5z}}{2d}& B_{\mathrm{zz}}\≈\frac{B_{4x}+B_{5y}-B_{2x}-B_{3y}}{2d}\end{array}\right]---\left(1\right)$

所述磁性目标在探测点处的磁感应强度B为：(B_1x，B_1y，B_1z)  （2）

式（1）中B_ij表示i方向上的磁感应强度在j方向上的导数，i=x、y、z,j=x、y、z；

步骤三：利用磁梯度张量G和磁感应强度B计算磁梯度张量测量阵列与磁性目标的相对位置关系

将待测量的磁性目标等效为磁偶极子，以磁偶极子为坐标原点，设探测点与磁偶极子间的距离为

则有：

$\stackrel{\→}{r}=\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]={-3G}^{-1}B---\left(3\right)$

将步骤二得到的磁性目标在探测点处磁感应强度B和磁梯度张量G代入公式（3）,则探测点在以磁偶极子为原点的坐标系中的位置坐标（x，y，z）为：

$\stackrel{\→}{r}=\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]=-3{\left[\begin{array}{ccc}{B}_{\mathrm{xx}}\≈\frac{B_{2x}-B_{4x}}{2d}& B_{\mathrm{xy}}\≈\frac{B_{2y}-B_{4y}}{2d}& B_{\mathrm{xz}}\≈\frac{B_{2z}-B_{4z}}{2d}\\ B_{\mathrm{yx}}\≈\frac{B_{3x}-B_{5x}}{2d}& B_{\mathrm{yy}}\≈\frac{B_{3y}-B_{5y}}{2d}& B_{\mathrm{yz}}\≈\frac{B_{3z}-B_{5z}}{2d}\\ B_{\mathrm{zx}}\≈\frac{B_{2z}-B_{4z}}{2d}& B_{\mathrm{zy}}\≈\frac{B_{3z}-B_{5z}}{2d}& B_{\mathrm{zz}}\≈\frac{B_{4x}+B_{5y}-B_{2x}-B_{3y}}{2d}\end{array}\right]}^{-1}\left[\begin{array}{c}{B}_{1x}\\ B_{1y}\\ B_{1z}\end{array}\right]---\left(4\right)$

步骤四：依据步骤三计算的磁梯度张量测量阵列和磁性目标的相对位置计算磁性目标在当前坐标系下的三轴磁矩

距离磁偶极子处的磁感应强度为B为：

$B=\frac{{\mathrm{\μ}}_0}{4\mathrm{\π}{\left|\stackrel{\→}{r}\right|}^5}[3(\stackrel{\→}{r}\·\stackrel{\→}{m})\stackrel{\→}{r}-{\left|\stackrel{\→}{r}\right|}^2\stackrel{\→}{m}]---\left(5\right)$

式中：

为在距离磁偶极子

处的磁矩矢量，μ₀为真空磁导率；

令 $\stackrel{\→}{m}=m_x\stackrel{\→}{i}+m_y\stackrel{\→}{j}+m_z\stackrel{\→}{k},$

则距离磁偶极子

处的磁感应强度为B的三个分量分别为：

$\left[\begin{array}{c}{B}_{1x}\\ B_{1y}\\ B_{1z}\end{array}\right]=\frac{{\mathrm{\μ}}_0}{4\mathrm{\π}{(x^2+y^2+z^2)}^{5/2}}\left[\begin{array}{ccc}{2x}^2-y^2-z^2& 3\mathrm{xy}& 3\mathrm{xz}\\ 3\mathrm{xy}& {2y}^2-x^2-z^2& 3\mathrm{yz}\\ 3\mathrm{xz}& 3\mathrm{yz}& {2z}^2-y^2-x^2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{m}_x\\ m_y\\ m_z\end{array}\right]---\left(6\right)$

则磁性目标在当前坐标系下三轴磁矩

的计算公式为：

$\stackrel{\→}{m}=\left[\begin{array}{c}{m}_x\\ m_y\\ m_z\end{array}\right]=\frac{4\mathrm{\π}}{{\mathrm{\μ}}_0}{(x^2+y^2+z^2)}^{5/2}{\left[\begin{array}{ccc}{2x}^2-y^2-z^2& 3\mathrm{xy}& 3\mathrm{xz}\\ 3\mathrm{xy}& {2y}^2-x^2-z^2& 3\mathrm{yz}\\ 3\mathrm{xz}& 3\mathrm{yz}& {2z}^2-y^2-x^2\end{array}\right]}^{-1}\left[\begin{array}{c}{B}_{1x}\\ B_{1y}\\ B_{1z}\end{array}\right]$

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