CN103955002B - 基于磁异常一阶导数的磁偶极子目标位置测量方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于磁异常一阶导数的磁偶极子目标位置测量方法，采用由多个三轴向磁传感器组成的测量平台进行测量，所述位置测量方法包括以下步骤：(1)用第一磁传感器～第八磁传感器搭建测量平台，其中，第三磁传感器和第六磁传感器位于同一直线且共同位于测量平台的中心，其它磁传感器在其周围等间距排列；(2)以磁偶极子目标为坐标原点，第三磁传感器作为测量基点，通过方程组求解第三磁传感器的位置坐标值u、v、w，完成测量。本发明采用了一个测点同时测量两组数据的方法，来解算磁偶极子目标的位置参数，成功消除了工程应用中由于测量平台不稳定以及地磁场难以分离所带来的干扰问题，提高了测量精度。

Description

基于磁异常一阶导数的磁偶极子目标位置测量方法

技术领域

本发明涉及铁磁性或磁性物体的位置测量方法，尤其涉及一种基于磁异常一阶导数的磁偶极子目标位置测量方法。

背景技术

在地质勘探、生物医疗、沉船打捞以及对地下或水下未爆物体定位等领域，常常利用磁检测技术，通过探测由铁磁性或磁性物体导致的空间磁异常，来进行目标的探测和定位。当铁磁性目标或磁性目标的体积远小于测量距离时，通常可以将铁磁性目标或磁性目标等效为一个磁偶极子源，因此上述问题常常可演化为利用磁偶极子模型进行目标的位置参数反演问题。

在目前公开的文献中，磁偶极子目标位置参数反演方法通常都是基于五个三轴向磁传感器，采用图1所示的布局方法，即以一个三轴向磁传感器为中心，其它四个三轴向磁传感器在其周围等间距排列，利用磁偶极子场的梯度性质，进行目标位置的测量与解算。

如图1所示，上述布局中，以第五传感器15为测量基点，设第五传感器15的位置坐标为(X，Y，Z)，利用第一传感器11、第四传感器14进行y向的梯度测量，利用第二传感器12、第三传感器13进行z向的梯度测量，利用第五传感器15进行该点的磁感应强度值测量；然后利用磁偶极子源的无源特性得到全部的九个梯度分量，建立三个形式如下式的线性方程，构成线性方程组：

$\frac{\∂B_i}{\∂x}X+\frac{\∂B_i}{\∂y}Y+\frac{\∂B_i}{\∂z}Z=-3B_i$

上式中，i＝x，y或z。

在上式基础上构建的三个方程式构成的具体方程组如下：

$\frac{\∂B_x}{\∂x}X+\frac{\∂B_x}{\∂y}Y+\frac{\∂B_x}{\∂z}Z=-3B_x$

$\frac{\∂B_y}{\∂x}X+\frac{\∂B_y}{\∂y}Y+\frac{\∂B_y}{\∂z}Z=-3B_y$

$\frac{\∂B_z}{\∂x}X+\frac{\∂B_z}{\∂y}Y+\frac{\∂B_z}{\∂z}Z=-3B_z$

其中，表示对后面的值求偏导，B_x、B_y、B_z分别表示磁偶极子目标在x、y、z三个轴向的磁感应强度分量值。

通过对上述线性方程组的求解，即可得到磁偶极子目标的位置参数X，Y，Z。

但在实际工程应用中，利用上述方程组求解存在一个很大的问题，就是上式等号右边的磁感应强度值无法直接测量，实际测量得到的磁感应强度值一般都包含了地磁场，一些场合还包括测量仪器金属部件、电子组件等所导致的磁异常。这些值虽然在一定范围内可看作是一个静态的固定值，但由于磁感应强度是一个矢量，其三分量测量值与测量方向紧密相关，而在磁信号测量过程中，测量平台常常存在诸如上下波动或者左右转动等情况，测量方向存在很大的不确定性，从而使得地磁场等干扰值的三分量值无法计算，相应的磁偶极子场的磁感应强度值也就无法得到。

因此，目前公开文献给出的磁偶极子目标位置参数反演方法的测量精度不高，难以应用于实际工程。

发明内容

本发明的目的就在于为了解决上述问题而提出了一种与干扰磁场无关的基于磁异常一阶导数的磁偶极子目标位置测量方法。

本发明通过以下技术方案来实现上述目的：

一种基于磁异常一阶导数的磁偶极子目标位置测量方法，采用由多个磁传感器组成的测量平台进行测量，所述磁传感器为三轴向磁传感器，所述测量平台位于由x轴、y轴、z轴组成的三维笛卡尔坐标空间内，所述位置测量方法包括以下步骤：

(1)搭建测量平台：用第一磁传感器～第八磁传感器搭建测量平台，其中，第三磁传感器和第六磁传感器位于y轴方向的同一直线且共同位于测量平台的中心，第一磁传感器位于第三磁传感器在y轴方向的另一侧，第二磁传感器和第四磁传感器分别位于第三磁传感器在z轴方向的两侧，第八磁传感器位于第六磁传感器在y轴方向的另一侧，第五磁传感器和第七磁传感器分别位于第六磁传感器在z轴方向的两侧，各相邻磁传感器之间的距离为d；

(2)以磁偶极子目标为坐标原点，第三磁传感器为测量基点，设第三磁传感器的位置坐标为(u，v，w)，则第六磁传感器的位置坐标为(u，v+d，w)，通过下述方程组求解第三磁传感器的位置坐标值u、v、w，完成测量：

$\begin{array}{c}\[(-\frac{B_{My}^8-B_{My}^3}{2d}-\frac{B_{Mz}^5-B_{Mz}^7}{2d})u-(-\frac{B_{My}^6-B_{My}^1}{2d}-\frac{B_{Mz}^2-B_{Mz}^4}{2d})u\]\\ +(\[\frac{B_{Mx}^8-B_{Mx}^3}{2d}(v+d)-\frac{B_{Mx}^6-B_{Mx}^1}{2d}v\])+(\frac{B_{Mx}^5-B_{Mx}^7}{2d}w-\frac{B_{Mx}^2-B_{Mx}^4}{2d}w)=-3(B_{Mx}^6-B_{Mx}^3)\end{array}$

$\begin{array}{c}(\frac{B_{Mx}^8-B_{Mx}^3}{2d}u-\frac{B_{Mx}^6-B_{Mx}^1}{2d}u)+\left(\frac{B_{My}^8-B_{My}^3}{2d}\right(v+d)-\frac{B_{My}^6-B_{My}^1}{2d}v)\\ +(\frac{B_{Mz}^8-B_{Mz}^3}{2d}w-\frac{B_{Mz}^6-B_{Mz}^1}{2d}w)=-3(B_{My}^6-B_{My}^3)\end{array}$

$\begin{array}{c}(\frac{B_{Mx}^5-B_{Mx}^7}{2d}u-\frac{B_{Mx}^2-B_{Mx}^4}{2d}u)+\left(\frac{B_{Mz}^8-B_{Mz}^3}{2d}\right(v+d)-\frac{B_{Mz}^6-B_{Mz}^1}{2d}v)\\ +(\frac{B_{Mz}^5-B_{Mz}^7}{2d}w-\frac{B_{Mz}^2-B_{Mz}^4}{2d}w)=-3(B_{Mz}^6-B_{Mz}^3)\end{array}$

其中，B_M为磁传感器所在位置所对应的磁感应强度测量值，上标的1、2、3…8分别表示第一、二、三…八磁传感器对应的编号，下标的x、y、z分别表示某个磁传感器的三个测量轴向。

本发明的有益效果在于：

本发明采用了一个测点同时测量两组数据的方法，两组数据基点的相对位置已知且固定不变，然后利用两组数据的差值运算建立了一个只包含磁异常一阶导数的方程组，通过解算方程组得到磁偶极子目标的位置参数。本测量方法成功消除了工程应用中由于测量平台不稳定以及地磁场难以分离所带来的干扰问题，提高了测量精度，可为铁磁性目标或磁性目标的定位、跟踪提供位置信息。

附图说明

图1是传统磁偶极子目标位置测量方法采用的测量平台的传感器布局结构示意图；

图2是本发明所述基于磁异常一阶导数的磁偶极子目标位置测量方法采用的测量平台的传感器布局结构示意图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明作进一步说明：

如图2所示，本发明所述基于磁异常一阶导数的磁偶极子目标位置测量方法，包括以下步骤：

(1)搭建测量平台：由八个三轴向磁传感器组成测量平台，所述测量平台位于由x轴、y轴、z轴组成的三维笛卡尔坐标空间内，所述磁传感器包括第一磁传感器1、第二磁传感器2、第三磁传感器3…第八磁传感器8，各相邻磁传感器之间的距离为d，其中，第三磁传感器3和第六磁传感器6位于y轴方向的同一直线且共同位于测量平台的中心，第一磁传感器1位于第三磁传感器3在y轴方向的另一侧，第二磁传感器2和第四磁传感器4分别位于第三磁传感器3在z轴方向的两侧，第八磁传感器8位于第六磁传感器6在y轴方向的另一侧，第五磁传感器5和第七磁传感器7分别位于第六磁传感器6在z轴方向的两侧；

(2)以磁偶极子目标为坐标原点，第三磁传感器为测量基点，设第三磁传感器3的位置坐标为(u，v，w)，则第六磁传感器6的位置坐标为(u，v+d，w)，通过下述方程组求解第三磁传感器3的位置坐标值u、v、w，完成测量：

$\begin{array}{c}\[(-\frac{B_{My}^8-B_{My}^3}{2d}-\frac{B_{Mz}^5-B_{Mz}^7}{2d})u-(-\frac{B_{My}^6-B_{My}^1}{2d}-\frac{B_{Mz}^2-B_{Mz}^4}{2d})u\]\\ +(\[\frac{B_{Mx}^8-B_{Mx}^3}{2d}(v+d)-\frac{B_{Mx}^6-B_{Mx}^1}{2d}v\])+(\frac{B_{Mx}^5-B_{Mx}^7}{2d}w-\frac{B_{Mx}^2-B_{Mx}^4}{2d}w)=-3(B_{Mx}^6-B_{Mx}^3)\end{array}$

$\begin{array}{c}(\frac{B_{Mx}^8-B_{Mx}^3}{2d}u-\frac{B_{Mx}^6-B_{Mx}^1}{2d}u)+\left(\frac{B_{My}^8-B_{My}^3}{2d}\right(v+d)-\frac{B_{My}^6-B_{My}^1}{2d}v)\\ +(\frac{B_{Mz}^8-B_{Mz}^3}{2d}w-\frac{B_{Mz}^6-B_{Mz}^1}{2d}w)=-3(B_{My}^6-B_{My}^3)\end{array}$

$\begin{array}{c}(\frac{B_{Mx}^5+B_{Mx}^7}{2d}u-\frac{B_{Mx}^2-B_{Mx}^4}{2d}u)+\left(\frac{B_{Mz}^8-B_{Mz}^3}{2d}\right(v+d)-\frac{B_{Mz}^6-B_{Mz}^1}{2d}v)\\ +(\frac{B_{Mz}^5-B_{Mz}^7}{2d}w-\frac{B_{Mz}^2-B_{Mz}^4}{2d}w)=-3(B_{Mz}^6-B_{Mz}^3)\end{array}$

其中，B_M为磁传感器所在位置所对应的磁感应强度测量值，上标的1、2、3…8分别表示第一、二、三…八磁传感器对应的编号，下标的x、y、z分别表示某个磁传感器的三个测量轴向。

上述方程组的推导过程如下：

在实际工程应用中，将八只磁传感器得到的磁感应强度测量值B_M表达如下：

$B_{Mx}^i=B_x^i+B_{Dx}^i,B_{My}^i=B_y^i+B_{Dy}^i,B_{Mz}^i=B_z^i+B_{Dz}^i---\left(1\right)$

式(1)中，B为磁偶极子目标的磁感应强度理论值，B_D为地磁场等静态干扰量的磁感应强度值；B_M为磁传感器所在位置所对应的磁感应强度测量值；上标的i＝1,2,3…8，表示某个磁传感器的编号，下标的x，y，z表示某个磁传感器的三个测量轴向。

对于单次测量来说，由于测量平台的状态固定，测量方向不存在变化，因此我们认为八只磁传感器的测量值中B_D(地磁场等静态干扰量的磁感应强度值)对应的三分量量值是相同的，则有：

$B_{Mx}^i-B_{Mx}^j=B_x^i-B_x^j,B_{My}^i-B_{My}^j=B_y^i-B_y^j,B_{Mz}^i-B_{Mz}^j=B_z^i-B_z^j---\left(2\right)$

式(2)中，i≠j，i＝1,2,3…8，j＝1,2,3…8。

以第三磁传感器3为测量点建立形如公式(3)的方程组，假设第三磁传感器3的位置坐标为(u，v，w)，则方程组如下：

$\begin{array}{c}\frac{\∂B_x^3}{\∂x}u+\frac{\∂B_x^3}{\∂y}v+\frac{\∂B_x^3}{\∂z}w=-3B_x^3\\ \frac{\∂B_y^3}{\∂x}u+\frac{\∂B_y^3}{\∂y}v+\frac{\∂B_y^3}{\∂z}w=-3B_y^3\\ \frac{\∂B_z^3}{\∂x}u+\frac{\∂B_z^3}{\∂y}v+\frac{\∂B_z^3}{\∂z}w=-3B_z^3\end{array}---\left(3\right)$

式(3)中符号与公式(1)中相同，表示对后面的值求偏导。

如图2所示的传感器布局方式，式(3)中等号左边的各梯度值可表达为：

$\frac{\∂B_x^3}{\∂y}=\frac{B_x^6-B_x^1}{2d},\frac{\∂B_y^3}{\∂y}=\frac{B_y^6-B_y^1}{2d},\frac{\∂B_z^3}{\∂y}=\frac{B_z^6-B_z^1}{2d}---\left(4\right)$

$\frac{\∂B_x^3}{\∂z}=\frac{B_x^2-B_x^4}{2d},\frac{\∂B_y^3}{\∂z}=\frac{B_y^2-B_y^4}{2d},\frac{\∂B_z^3}{\∂z}=\frac{B_z^2-B_z^4}{2d}---\left(5\right)$

联合式(1)、式(4)、式(5)可得：

$\frac{\∂B_x^3}{\∂y}=\frac{B_{Mx}^6-B_{Mx}^1}{2d},\frac{\∂B_y^3}{\∂y}=\frac{B_{My}^6-B_{My}^1}{2d},\frac{\∂B_z^3}{\∂y}=\frac{B_{Mz}^6-B_{Mz}^1}{2d}---\left(6\right)$

$\frac{\∂B_x^3}{\∂z}=\frac{B_{Mx}^2-B_{Mx}^4}{2d},\frac{\∂B_y^3}{\∂z}=\frac{B_{My}^2-B_{My}^4}{2d},\frac{\∂B_z^3}{\∂z}=\frac{B_{Mz}^2-B_{Mz}^4}{2d}---\left(7\right)$

实际上对于铁磁性目标或磁性目标这一类磁偶极子源，由于不存在电流和时变电场分布，是一个无源场，其散度和旋度皆为0，即有

$\▿\·B=\frac{\∂B_x}{\∂x}+\frac{\∂B_y}{\∂y}+\frac{\∂B_z}{\∂z}=0$

$\▿\×B=(\frac{\∂B_z}{\∂y}-\frac{\∂B_y}{\∂z})i_1+(\frac{\∂B_x}{\∂z}-\frac{\∂B_z}{\∂x})i_2+(\frac{\∂B_y}{\∂x}-\frac{\∂B_x}{\∂y})i_3=0$

因此梯度张量中的九个磁场梯度分量中只有五个是独立的，这样即可以得到公式(3)中其余的几个梯度分量：

$\begin{array}{c}\frac{\∂B_x^3}{\∂x}=-(\frac{\∂B_y^3}{\∂y}+\frac{\∂B_z^3}{\∂z})=-(\frac{B_{My}^6-B_{My}^1}{2d}+\frac{B_{Mz}^2-B_{Mz}^4}{2d})\\ \frac{\∂B_y^3}{\∂x}=\frac{\∂B_x^3}{\∂y}=\frac{B_{Mx}^6-N_{Mx}^1}{2d}\\ \frac{\∂B_z^3}{\∂x}=\frac{\∂B_x^3}{\∂z}=\frac{B_{Mz}^2-B_{Mx}^4}{2d}\end{array}---\left(8\right)$

对于第六磁传感器6，由布局可知其位置坐标为(u，v+d，w)，亦可采用上述方法，可得到如下式的方程组：

$\begin{array}{c}\frac{\∂B_x^6}{\∂x}u+\frac{\∂B_x^6}{\∂y}(v+d)+\frac{\∂B_x^6}{\∂z}w=-3B_x^6\\ \frac{\∂B_y^6}{\∂x}u+\frac{\∂B_y^6}{\∂y}(v+d)+\frac{\∂B_y^6}{\∂z}w=-3B_y^6\\ \frac{\∂B_z^6}{\∂x}u+\frac{\∂B_z^6}{\∂y}(v+d)+\frac{\∂B_z^6}{\∂z}w=-B_z^6\end{array}---\left(9\right)$

方程组中左边的所有梯度量，也均可通过传感器的三分量测量值计算得到，其计算方法如下：

$\frac{\∂B_x^6}{\∂y}=\frac{B_{Mx}^8-B_{Mx}^3}{2d},\frac{\∂B_y^6}{\∂y}=\frac{B_{My}^8-B_{My}^3}{2d},\frac{\∂B_z^6}{\∂y}=\frac{B_{Mz}^8-B_{Mz}^3}{2d}---\left(10\right)$

$\frac{\∂B_x^6}{\∂z}=\frac{B_{Mx}^5-B_{Mx}^7}{2d},\frac{\∂B_y^6}{\∂z}=\frac{B_{My}^5-B_{My}^7}{2d},\frac{\∂B_z^5}{\∂z}=\frac{B_{Mz}^5-B_{Mz}^7}{2d}---\left(11\right)$

$\begin{array}{c}\frac{\∂B_x^6}{\∂x}=-(\frac{\∂B_y^6}{\∂y}+\frac{\∂B_z^6}{\∂z})=-(\frac{B_{My}^8-B_{My}^3}{2d}+\frac{B_{Mz}^5-B_{Mz}^7}{2d})\\ \frac{\∂B_y^6}{\∂x}=\frac{\∂B_x^6}{\∂y}=\frac{B_{Mx}^8-B_{Mx}^3}{2d}\\ \frac{\∂B_z^6}{\∂x}=\frac{\∂B_x^6}{\∂z}=\frac{B_{Mx}^5-B_{Mx}^7}{2d}\end{array}---\left(12\right)$

将以第六磁传感器6为测量点所得方程组(9)与以第三磁传感器3为测量点所得方程组(3)相减，可以得到下式

$\begin{array}{c}(\frac{\∂B_x^6}{\∂x}u-\frac{\∂B_x^3}{\∂x}u)+\left(\frac{\∂B_x^6}{\∂y}\right(v+d)-\frac{\∂B_x^3}{\∂y}v)+(\frac{\∂B_x^6}{\∂z}w-\frac{\∂B_x^3}{\∂z}w)=-3(B_x^6-B_x^3)\\ (\frac{\∂B_y^6}{\∂x}u-\frac{\∂B_y^3}{\∂x}u)+\left(\frac{\∂B_y^6}{\∂y}\right(v+d)-\frac{\∂B_y^3}{\∂y}v)+(\frac{\∂B_y^6}{\∂z}w-\frac{\∂B_y^3}{\∂z}w)=-3(B_y^6-B_y^3)\\ (\frac{\∂B_z^6}{\∂x}u-\frac{\∂B_z^3}{\∂x}u)+\left(\frac{\∂B_z^6}{\∂y}\right(v+d)-\frac{\∂B_z^3}{\∂y}v)+(\frac{\∂B_z^6}{\∂z}w-\frac{\∂B_z^3}{\∂z}w)=-3(B_z^6-B_z^3)\end{array}---\left(13\right)$

由公式(2)可知，式(8)中等号右边可利用测量值表达为：

$B_x^6-B_x^3=B_{Mx}^6-B_{Mx}^3,B_y^6-B_y^3=B_{My}^6-B_{My}^3,B_z^6-B_z^3=B_{Mz}^6-B_{Mz}^3---\left(14\right)$

将公式(6)、(7)、(8)、(10)、(11)、(12)、(14)带入式(13)，可得以下最终计算方程组：

$\begin{array}{c}\[(-\frac{B_{My}^8-B_{My}^3}{2d}-\frac{B_{Mz}^5-B_{Mz}^7}{2d})u-(-\frac{B_{My}^6-B_{My}^1}{2d}-\frac{B_{Mz}^2-B_{Mz}^4}{2d})u\]\\ +(\[\frac{B_{Mx}^8-B_{Mx}^3}{2d}(v+d)-\frac{B_{Mx}^6-B_{Mx}^1}{2d}v\])+(\frac{B_{Mx}^5-B_{Mx}^7}{2d}w-\frac{B_{Mx}^2-B_{Mx}^4}{2d}w)=-3(B_{Mx}^6-B_{Mx}^3)\end{array}$

$\begin{array}{c}(\frac{B_{Mx}^8-B_{Mx}^3}{2d}u-\frac{B_{Mx}^6-B_{Mx}^1}{2d}u)+\left(\frac{B_{My}^8-B_{My}^3}{2d}\right(v+d)-\frac{B_{My}^6-B_{My}^1}{2d}v)\\ +(\frac{B_{Mz}^8-B_{Mz}^3}{2d}w-\frac{B_{Mz}^6-B_{Mz}^1}{2d}w)=-3(B_{My}^6-B_{My}^3)\end{array}$

$\begin{array}{c}(\frac{B_{Mx}^5-B_{Mx}^7}{2d}u-\frac{B_{Mx}^2-B_{Mx}^4}{2d}u)+\left(\frac{B_{Mz}^8-B_{Mz}^3}{2d}\right(v+d)-\frac{B_{Mz}^6-B_{Mz}^1}{2d}v)\\ +(\frac{B_{Mz}^5-B_{Mz}^7}{2d}w-\frac{B_{Mz}^2-B_{Mz}^4}{2d}w)=-3(B_{Mz}^6-B_{Mz}^3)\end{array}$

上述实施例只是本发明的较佳实施例，并不是对本发明技术方案的限制，只要是不经过创造性劳动即可在上述实施例的基础上实现的技术方案，均应视为落入本发明专利的权利保护范围内。

Claims (1)

1.一种基于磁异常一阶导数的磁偶极子目标位置测量方法，采用由多个磁传感器组成的测量平台进行测量，所述磁传感器为三轴向磁传感器，所述测量平台位于由x轴、y轴、z轴组成的三维笛卡尔坐标空间内，其特征在于：所述位置测量方法包括以下步骤：

(1)搭建测量平台：用第一磁传感器～第八磁传感器搭建测量平台，其中，第三磁传感器和第六磁传感器位于y轴方向的同一直线且共同位于测量平台的中心，第一磁传感器位于第三磁传感器在y轴方向的另一侧，第二磁传感器和第四磁传感器分别位于第三磁传感器在z轴方向的两侧，第八磁传感器位于第六磁传感器在y轴方向的另一侧，第五磁传感器和第七磁传感器分别位于第六磁传感器在z轴方向的两侧，各相邻磁传感器之间的距离为d；

(2)以磁偶极子目标为坐标原点，第三磁传感器为测量基点，设第三磁传感器的位置坐标为(u，v，w)，则第六磁传感器的位置坐标为(u，v+d，w)，通过下述方程组求解第三磁传感器的位置坐标值u、v、w，完成测量：

$\begin{array}{c}\[\left(-\frac{B_{My}^8-B_{My}^3}{2d}-\frac{B_{Mz}^5-B_{Mz}^7}{2d}\right)u-\left(\frac{B_{My}^6-B_{My}^1}{2d}-\frac{B_{Mz}^2-B_{Mz}^4}{2d}\right)u\]\\ +\left(\[\frac{B_{Mx}^8-B_{Mx}^3}{2d}\left(v+d\right)-\frac{B_{Mx}^6-B_{Mx}^1}{2d}v\]\right)+\left(\frac{B_{Mx}^5-B_{Mx}^7}{2d}w-\frac{B_{Mx}^2-B_{Mx}^4}{2d}w\right)=-3\left(B_{Mx}^6-B_{Mx}^3\right)\end{array}$

$\begin{array}{c}\left(\frac{B_{Mx}^8-B_{Mx}^3}{2d}u-\frac{B_{Mx}^6-B_{Mx}^1}{2d}u\right)+\left(\frac{B_{My}^8-B_{My}^3}{2d}\left(v+d\right)-\frac{B_{My}^6-B_{My}^1}{2d}v\right)\\ +\left(\frac{B_{Mz}^8-B_{Mz}^3}{2d}w-\frac{B_{Mz}^6-B_{Mz}^1}{2d}w\right)=-3\left(B_{My}^6-B_{My}^3\right)\end{array}$

$\begin{array}{c}\left(\frac{B_{Mx}^5-B_{Mx}^7}{2d}u-\frac{B_{Mx}^2-B_{Mx}^4}{2d}u\right)+\left(\frac{B_{Mz}^8-B_{Mz}^3}{2d}\left(v+d\right)-\frac{B_{Mz}^6-B_{Mz}^1}{2d}v\right)\\ +\left(\frac{B_{Mz}^5-B_{Mz}^7}{2d}w-\frac{B_{Mz}^2-B_{Mz}^4}{2d}w\right)=-3\left(B_{Mz}^6-B_{Mz}^3\right)\end{array}$

其中，B_M为磁传感器所在位置所对应的磁感应强度测量值，上标的1、2、3…8分别表示第一、二、三…八磁传感器对应的编号，下标的x、y、z分别表示某个磁传感器的三个测量轴向。