CN102854757A - 基于空间像线性拟合的投影物镜波像差检测系统和方法 - Google Patents

Abstract

一种用于光刻机的基于空间像线性拟合的投影物镜波像差检测系统和方法。本发明采用6个方向孤立空作检测标记，通过对检测标记空间像的线性拟合来得到波像差。本发明首先建立描述0°孤立空空间像与泽尼克像差关系的线性拟合矩阵以及描述孤立空方向影响的旋转矩阵。然后通过空间像传感器扫描获得检测标记的空间像。再利用线性拟合矩阵和旋转矩阵对空间像进行最小二乘拟合得到泽尼克像差。本发明降低了检测标记的复杂程度，减少了像差检测的时间，增加了可测像差种类，提高了像差求解的精度。

Description

基于空间像线性拟合的投影物镜波像差检测系统和方法

技术领域

本发明涉及光刻机，特别是一种用于光刻机的基于空间像线性拟合的投影物镜波像差检测系统和方法。

背景技术

投影物镜是光刻机系统的核心部件之一。投影物镜中的波像差会造成成像质量的恶化和工艺窗口的减小，从而降低产率。随着光刻技术的特征尺寸不断减小，光刻机投影物镜的像差容限变得越来越严苛。光刻投影物镜的波像差检测需求从低阶像差扩展到高阶像差，在这种前提下，研发能够高精度检测低阶和高阶波像差的原位检测技术具有更加重要的意义。

由于基于空间像的投影物镜波像差检测技术成本低且容易操作，基于空间像的波像差检测技术在最近几年得到了广泛发展。在众多基于空间像的波像差检测技术中，TAMIS技术是具有代表性的一种（参见在先技术1，H.van der Laan，M.Dierichs，H.van Greevenbroek，E.McCoo，F.Stoffels，R.Pongers and R.Willekers，“Aerial image measurement methods for fast aberration set-up andillumination pupil verification，”Proc.SPIE4346，394407(2001)）。TAMIS检测技术通过检测二元掩模标记的空间像来提取像差。具体方式是，在一系列照明设置下检测标记的最佳焦面偏移量和成像位置偏移量，用检测数据获得的偏移量向量和事先计算好的灵敏度矩阵来计算空间像。TAMIS技术采用二元掩模标记作为检测标记，在多种照明方式下进行检测。为了提升TAMIS技术的检测精度，Fan Wang等和Zicheng Qiu等先后提出了基于相移光栅标记的光刻机投影物镜波像差原位检测技术（参见在先技术2，Fan Wang，Xiangzhao Wang，Mingying Ma，Dongqing Zhang，Weijie Shi and Jianming Hu，“Aberration measurement of projection opticsin lithographic tools by use of an alternating phase-shifting mask，”Appl.Opt.45，281-287(2006).）和基于平移对称交替相移光栅标记的光刻机投影物镜彗差检测技术（参见在先技术3，Zicheng Qiu，Xiangzhao Wang，Qiongyan Yuan，FanWang，“Coma measurement by use of an alternating phase-shifting mask markwith a specific phase width，”Appl.Opt.48(2)，261-269(2009).）。以上两种技术分别提出了使用相移掩模光栅标记和使用更为复杂的平移对称交替相移光栅标记来提升检测精度。相比在先技术1，在先技术2的检测精度提升了20％以上。相对在先技术2，在先技术3的检测精度又提高了15％以上。这两种技术虽然都提升了检测精度，但只是在检测标记上进行了改进，检测原理仍然是基于TAMIS技术。因此其检测的像差种类仍然较少，检测的流程也无法简化。

近年来，Nikon公司提出了一种基于多方向标记和空间像傅里叶分析的投影物镜波像差检测技术（参见在先技术4，Suneyuki Hagiwara，Naoto Kondo，IrihamaHiroshi，Kosuke Suzuki and Nobutaka Magome，″Development of aerial imagebased aberration measurement technique″，Proc.SPIE5754，1659(2005)）。该技术的检测标记为36个不同方向不同周期的光栅标记，测得的空间像通过傅里叶分析处理，在波像差和不同级次频谱的相位和幅度之间建立线性关系。这种技术由于专门设计了36个方向周期各不相同的标记，检测像差的种类得以扩展，检测精度也获得很大提升。然而该技术的检测标记需要专门设计，提高了成本，通用性也下降。

上海微电子装备有限公司(SMEE)的Lifeng Duan等人提出了一种基于空间像主成分分析的波像差检测技术(参见在先技术5，Lifeng Duan;Xiangzhao Wang;Bourov，A.Y.;Bo Peng;Peng Bu，“In situ aberration measurement technique based onprincipal component analysis of aerial image”，Opt.Express19（19）(2011))。该技术采用0°和90°的孤立空作检测标记，采用主成分分析和回归分析的方法建立空间像与泽尼克像差之间的线性关系。该技术不需要专门设计掩模标记，测量速度快，可用来检测高阶像差。然而主成分分析较为繁琐，使像差求解的流程较为复杂。

发明内容

本发明提供一种用于光刻机的基于空间像线性拟合的投影物镜波像差检测系统和方法，该方法采用6方向孤立空作检测标记，通过对检测标记空间像的线性拟合得到波像差。该方法检测标记简单，可测像差种类多，像差检测精度高。

本发明的技术解决方案如下：

一种用于光刻机的基于空间像线性拟合的投影物镜波像差检测系统，包括产生照明光束的照明光源；调整照明光强分布和部分相干因子大小的照明系统；用于承载掩模，并具有精确定位能力的掩模台；将通过测试掩模上的检测标记的光束汇聚到硅片面且数值孔径可调的投影物镜；能承载硅片并具有三维扫描能力和精确定位能力的工件台；安装在工件台上的像传感器，与所述像传感器相连并进行数据处理的计算机，其特点在于：

所述检测标记由一组分别位于0°、30°、45°、90°、135°、150°方向的孤立空图形组成，各个方向的图形的线宽都为CD nm，周期都为P nm；

所述的像传感器为CCD或透射像传感器，所述像传感器能够在水平方向和垂轴方向进行扫描，水平方向和垂直方向定位精度都高于30nm。

所述的孤立空的周期P的范围为1000nm~3000nm，所述的孤立空的宽度的取值范围为100nm≤CD≤0.25*P nm。

利用上述基于空间像线性拟合的光刻投影物镜波像差检测系统检测波像差的方法，包括以下步骤：

（1）计算空间像的线性拟合矩阵：

无像差的拟合向量I₀和j阶泽尼克像差的拟合向量T_j(1≤j≤37)的计算公式如下：

$I_0=\underset{-\∞}{\overset{+\∞}{\∫}}\∫\tilde{\hat{J}}(\hat{f},\hat{g})\·{\left|E_c\right|}^{2}d\hat{f}d\hat{g}$

$T_j=\underset{-\∞}{\overset{+\∞}{\∫}}\∫\tilde{\hat{J}}(\hat{f},\hat{g})\·2\mathrm{Re}\{i\·{E_c}^{*}{E}_j\}d\hat{f}d\hat{g},(1\≤j\≤37)$

其中，

表示光源，

和是光源坐标，E_c和E_j分别为：

$E_c=\underset{-\∞}{\overset{+\∞}{\∫}}O\left({\hat{f}}^{\′}\right)\exp \{-i\frac{2\mathrm{\π}}{\mathrm{\λ}}\sqrt{1-[{(\hat{f}+{\hat{f}}^{\′})}^2+{\hat{g}}^2]{\mathrm{NA}}^2}\·z\}\exp (-i2\mathrm{\π}{f}^{\′}x)d{f}^{\′}$

$E_j=\frac{2\mathrm{\π}}{\mathrm{\λ}}\underset{-\∞}{\overset{+\∞}{\∫}}{R}_j\·O\left({\hat{f}}^{\′}\right)\·\exp \{-i\frac{2\mathrm{\π}}{\mathrm{\λ}}\sqrt{1-[{(\hat{f}+{\hat{f}}^{\′})}^2+{\hat{g}}^2]{\mathrm{NA}}^2}\·z\}\exp (-i2\mathrm{\π}{\hat{f}}^{\′}x)d{\hat{f}}^{\′}$

其中，O(f′)表示0°方向检测标记的衍射谱，

和是光瞳面坐标，λ表示光刻机工作波长，NA是数值孔径，z表示离焦量，x表示像面坐标，R_j是j阶泽尼克多项式；

采用具有数值运算功能的MATLAB软件，计算无像差的拟合向量I₀和j阶泽尼克像差的拟合向量T_j，1～37阶泽尼克像差对应的拟合向量构成线性拟合矩阵T：

T＝[T₁，T₂，…，T₃₇]

（2）计算旋转矩阵：

转换矩阵

表示角度为

的孤立空与0°孤立空的泽尼克像差关系，根据泽尼克多项式和孤立空角度

计算旋转矩阵，泽尼克多项式可以表示成与半径ρ有关的多项式

和角度θ有关的多项式的乘积：

$R_j(\mathrm{\ρ},\mathrm{\θ})=A_n^m\left(\mathrm{\ρ}\right){\mathrm{\Φ}}_j^m\left(\mathrm{\θ}\right)$

用

表示旋转矩阵中第p行和第q列的值，当

时，

当 ${\mathrm{\Φ}}_p^m\left(\mathrm{\θ}\right)=\cos \left(\mathrm{m\θ}\right)$ 时，

当 ${\mathrm{\Φ}}_p^m\left(\mathrm{\θ}\right)=\sin \left(\mathrm{m\θ}\right)$ 时，

根据上面公式，采用具有数值运算功能的MATLAB软件，得到孤立空方向

为0°、30°、45°、90°、135°和150°时的旋转矩阵分别为

和

（3）启动光刻机采集空间像：

设置光刻机投影物镜NA、照明方式、部分相干因子、空间像的测量范围、空间像的测量步长光刻机的工作条件；

加载带有上面所述检测标记的掩模板，启动光刻机，传感器采集该掩模板上0°、30°、45°、90°、135°和150°检测标记所对应的空间像分别为

和

4）对空间像进行线性拟合得到泽尼克像差：

根据测量空间像和拟合矩阵，根据下列公式计算泽尼克像差：

Z＝(S′S)^-1·S′I_linear

其中，

$I_{\mathrm{linear}}=\left[\begin{array}{c}{I}_r^1-I_0\\ I_r^2-I_0\\ .\\ .\\ .\\ I_r^6-I_0\end{array}\right],$

与在先技术相比，本发明具有以下优点:

1、只需要一种照明设置，减少了测量空间像占用的光刻机机时，提高了像差检测的速度。

2、所述检测标记为6方向、相同周期和相同宽度的二元孤立空，减少了标记的种类，而且不需要密集线掩模和相移掩模，降低了掩模制造成本。

3、利用该技术可以检测像差Z2～Z37，增加了可测像差种类，提高了像差求解的精度。

附图说明

图1是本发明所采用的基于空间像线性拟合的光刻投影物镜波像差检测系统结构示意图

图2是本发明所采用的检测标记示意图

图3是采用本发明的技术方案时，泽尼克像差Z5的拟合向量

图4是采用本发明的技术方案时，泽尼克像差Z7的拟合向量

图5是采用本发明的技术方案时，泽尼克像差Z9的拟合向量

具体实施方式

下面结合实施例和附图对本发明作进一步说明，但不应以此实施例限制本发明的保护范围。

先请参阅图1，图1是本发明采用的基于空间像线性拟合的投影物镜波像差检测系统的结构示意图。由图可见，本发明采用的基于空间像线性拟合的光刻投影物镜波像差检测系统，包括照明光源1，照明系统2、测试掩模3、承载测试掩模3的掩模台4、测试掩模上的检测标记5、投影物镜6、工件台7及安装在工件台上的空间像传感器8、与工件台相连的数据处理计算机9。空间像传感器在图中虚线框表示的范围内可以对空间像进行扫描，采集空间像数据。本发明采用的空间像传感器上自带通用数据接口，可直接与计算机相连采集和记录数据，然后将测得的数据代入模型求解。

所述检测标记如图2所示，包括0°方向的检测标记51，30°方向的检测标记52，45°方向的检测标记53，90°方向的检测标记54，135°方向的检测标记55和150°方向的检测标记56。本实施例的标记的线宽CD都为250nm，周期P都为3000nm。

利用上述基于空间像线性拟合的光刻投影物镜波像差检测系统检测波像差的方法，包括如下几个步骤：

1）计算线性拟合矩阵：

首先介绍空间像的成像公式。

光刻机投影物镜的空间像

可由下式给出：

$I(\hat{x},\hat{y},z)=\underset{-\∞}{\overset{+\∞}{\∫}}\widetilde{\∫\hat{J}}(\hat{f},\hat{g})\·I_{\mathrm{coh}}(\hat{f},\hat{g};\hat{x},\hat{y},z)d\hat{f}d\hat{g}---\left(1\right)$

依照此式（1）可以计算任意照明模式和掩模结构对应的空间像。

其中，表示光源，传统照明条件时，

$\tilde{\hat{J}}(\hat{f},\hat{g})=\left\{\begin{array}{cc}1/{\mathrm{\π\σ}}^2& \sqrt{f^2+g^2}\≤\mathrm{\σ}\\ 0& \mathrm{otherwise}\end{array}\right.---\left(2\right)$

其中，σ为部分相干因子。

其中，

表示光源上一点

单独照明时在像面

点处产生的空间像分布，z表示离焦量，

可以表示为其对应的复振幅分布

幅值的平方，即，

$I_{\mathrm{coh}}(\hat{f},\hat{g};\hat{x},\hat{y},z)={\left|E_{\mathrm{coh}}(\hat{f},\hat{g};\hat{x},\hat{y},z)\right|}^2---\left(3\right)$

其中，复振幅的表达式为：

$E_{\mathrm{coh}}(\hat{f},\hat{g};\hat{x},\hat{y},z)\≈\∫\underset{-\∞}{\overset{+\∞}{\∫}}\tilde{\hat{H}}(\hat{f}+{\hat{f}}^{\′},\hat{g}+{\hat{g}}^{\′})\hat{O}({\hat{f}}^{\′},{\hat{g}}^{\′}).---\left(4\right)$

$\exp \{-i2\mathrm{\π}{k}_z^{p}z\}\·\exp \{-i2\mathrm{\π}({\hat{f}}^{\′}\hat{x}+{\hat{g}}^{\′}\hat{y})\}d{\hat{f}}^{\′}d{\hat{g}}^{\′}$

其中，

表示z方向的传播矢量，

表示光瞳函数，

表示掩模的衍射谱，光瞳函数可以表示成如下形式：

$\tilde{\hat{H}}\left({\hat{f}}^{\&prime;}{\hat{g}}^{\&prime;}\right)=\left\{\begin{array}{cc}\exp \left\{i\frac{2\mathrm{\&pi;}}{\mathrm{\&lambda;}}W({\hat{f}}^{\&prime;},{\hat{g}}^{\&prime;})\right\},& \sqrt{{\hat{f}}^{\&prime;2}+{\hat{g}}^{\&prime;2}}<1\\ 0,& \mathrm{other}\end{array}\right.---\left(5\right)$

其中，W表示波像差。波像差用泽尼克多项式来表示：

$W={\mathrm{\&Sigma;}}_{j=1}^{37}{Z}_j{R}_j(\mathrm{\&rho;},\mathrm{\&theta;})---\left(4\right)$

其中，Z_j是泽尼克像差，R_j是泽尼克多项式，泽尼克多项式可以表示成与半径有关的多项式

和与角度θ有关的多项式的乘积：

$R_j(\mathrm{\&rho;},\mathrm{\&theta;})=A_n^m\left(\mathrm{\&rho;}\right){\mathrm{\&Phi;}}_j^m\left(\mathrm{\&theta;}\right)---\left(5\right)$

其中，

为1或cos(mθ)或sin(mθ)，n和m由泽尼克多项式阶数j决定。

采用6个方向的孤立空作检测标记，任意方向的孤立空都可以看作是0度方向孤立空旋转得到的。对于0度方向孤立空，掩模的衍射谱具有如下的形式：

$\hat{O}(f^{\&prime;},g^{\&prime;})=O\left(f^{\&prime;}\right)\mathrm{\&delta;}\left(g^{\&prime;}\right)---\left(6\right)$

因而空间像的复振幅可以化简为如下形式：

$E_{\mathrm{coh}}(\hat{f},\hat{g};\hat{x},\hat{y},z)\&ap;\&Integral;\underset{-\&infin;}{\overset{+\&infin;}{\&Integral;}}O\left({\hat{f}}^{\&prime;}\right)\&CenterDot;\exp \left\{i\frac{2\mathrm{\&pi;}}{\mathrm{\&lambda;}}W(\hat{f}+{\hat{f}}^{\&prime;},\hat{g})\right\}$ （7）

$\exp \{-i2\mathrm{\&pi;}{k}_z^{p}z\}\&CenterDot;\exp \{-i2\mathrm{\&pi;}{\hat{f}}^{\&prime;}\hat{x}\}d{\hat{f}}^{\&prime;}$

像差较小时可以得到下面的近似关系：

$\exp \left\{i\frac{2\mathrm{\&pi;}}{\mathrm{\&lambda;}}W\right\}\&ap;1+i\frac{2\mathrm{\&pi;}}{\mathrm{\&lambda;}}W=1+\frac{2\mathrm{\&pi;}}{\mathrm{\&lambda;}}{\mathrm{\&Sigma;}}_{j=1}^{37}{Z}_j{R}_j(\mathrm{\&rho;},\mathrm{\&theta;})---\left(8\right)$

根据公式（1），公式（7）和公式（8）得到：

$I(\hat{x},\hat{y},z)\&ap;I_0+\underset{j=1}{\overset{J=37}{\mathrm{\&Sigma;}}}{Z}_j{T}_j---\left(9\right)$

其中，

$I_0=\underset{-\&infin;}{\overset{+\&infin;}{\&Integral;}}\&Integral;\tilde{\hat{J}}(\hat{f},\hat{g})\&CenterDot;{\left|E_c\right|}^{2}d\hat{f}d\hat{g}$ （10）

$T_j=\underset{-\&infin;}{\overset{+\&infin;}{\&Integral;}}\&Integral;\tilde{\hat{J}}(\hat{f},\hat{g})\&CenterDot;2\mathrm{Re}\{i\&CenterDot;{E_c}^{*}{E}_j\}d\hat{f}d\hat{g}$

I₀和T_j分别示无像差的拟合向量，和j阶泽尼克像差的拟合向量。其中，

$E_c=\underset{-\&infin;}{\overset{+\&infin;}{\&Integral;}}O\left({\hat{f}}^{\&prime;}\right)\exp \{-i\frac{2\mathrm{\&pi;}}{\mathrm{\&lambda;}}\sqrt{1-[{(\hat{f}+{\hat{f}}^{\&prime;})}^2+{\hat{g}}^2]{\mathrm{NA}}^2}\&CenterDot;z\}\exp (-i2\mathrm{\&pi;}{f}^{\&prime;}x)d{f}^{\&prime;}---\left(11\right)$

$E_j=\frac{2\mathrm{\&pi;}}{\mathrm{\&lambda;}}\underset{-\&infin;}{\overset{+\&infin;}{\&Integral;}}{R}_j\&CenterDot;O\left({\hat{f}}^{\&prime;}\right)\&CenterDot;\exp \{-i\frac{2\mathrm{\&pi;}}{\mathrm{\&lambda;}}\sqrt{1-[{(\hat{f}+{\hat{f}}^{\&prime;})}^2+{\hat{g}}^2]{\mathrm{NA}}^2}\&CenterDot;z\}\exp (-i2\mathrm{\&pi;}{\hat{f}}^{\&prime;}x)d{\hat{f}}^{\&prime;}$

采用具有数值运算功能的MATLAB软件，计算无像差的拟合向量I_o和j阶泽尼克像差的拟合向量T_j。计算过程中，先保持离焦量不变，计算不同水平位置处的I₀和T_j的值；再改变离焦量，重新计算不同水平位置处的I₀和T_j。遍历空间像对应的所有离焦量和水平位置后就得到了拟合向量I₀和T_j。

1～37阶泽尼克像差对应的拟合向量构成线性拟合矩阵T：

T＝[T₁，T₂，…，T₃₇]

本实施例中，光刻机工作波长λ为193nm，部分相干因子σ为0.65，NA为0.75，得到的部分拟合向量如图3、图4和图5所示。

2）计算旋转矩阵：

转换矩阵

表示角度为

的孤立空与0°孤立空的泽尼克像差关系。根据泽尼克多项式和孤立空角度

计算旋转矩阵。用

表示旋转矩阵中第p行和第q列的值，当

时，

当 ${\mathrm{\&Phi;}}_p^m\left(\mathrm{\&theta;}\right)=\cos \left(\mathrm{m\&theta;}\right)$ 时，

当 ${\mathrm{\&Phi;}}_p^m\left(\mathrm{\&theta;}\right)=\sin \left(\mathrm{m\&theta;}\right)$ 时，

根据上面公式，采用具有数值运算功能的MATLAB软件，得到孤立空方向

为0°、30°、45°、90°、135°和150°时的旋转矩阵分别为

和

3）启动光刻机采集空间像：

运行光刻机配套的伺服软件，按照仿真中的照明方式，照明参数，投影物镜NA，以及空间像采集范围，空间像采样点数等设置光刻机的参数。运行采集程序，先在一个离焦量下采集不同水平位置的空间像数据，然后改变离焦量，重新采集不同水平位置的空间像数据，直到完成了所有离焦量和水平位置处的空间像数据的采集。传感器采集该掩模上0°、30°、45°、90°、135°和150°检测标记所对应的空间像分别为

和

采集完成以后检查数据文件是否正常生成，然后将所有数据文件上传至服务器，以便后续处理；

4）对空间像进行线性拟合得到泽尼克像差：

根据测量空间像和拟合矩阵，根据下列公式计算泽尼克像差：

Z＝(S′S)^-1·S′I_linear

其中，

$I_{\mathrm{linear}}=\left[\begin{array}{c}{I}_r^1-I_0\\ I_r^2-I_0\\ .\\ .\\ .\\ I_r^6-I_0\end{array}\right],$

Claims (3)

1.一种用于光刻机的基于空间像线性拟合的投影物镜波像差检测系统，包括产生照明光束的照明光源；调整照明光强分布和部分相干因子大小的照明系统；用于承载掩模，并具有精确定位能力的掩模台；将通过测试掩模上的检测标记的光束汇聚到硅片面且数值孔径可调的投影物镜；承载硅片并具有三维扫描能力和精确定位能力的工件台；安装在工件台上的像传感器，与所述像传感器相连并进行数据处理的计算机，其特点在于：

所述检测标记由一组分别位于0°、30°、45°、90°、135°、150°方向的孤立空图形组成，各个方向的图形的线宽都为CD nm，周期都为P nm；

所述的像传感器为CCD或透射像传感器，所述的像传感器能够在水平方向和垂轴方向进行扫描，水平方向和垂直方向定位精度都高于30nm。

2.根据权利要求1所述的基于空间像线性拟合的投影物镜波像差检测系统，其特征在于所述的孤立空周期P的范围为1000nm~3000nm，所述的孤立空宽度CD的取值范围为100nm≤CD≤0.25*P nm。

3.利用权利要求1或2所述的基于空间像线性拟合的投影物镜波像差检测系统检测波像差的方法，包括以下步骤：

（1）计算空间像的线性拟合矩阵：

无像差的拟合向量I_o和j阶泽尼克像差的拟合向量T_j的计算公式如下：

$I_0=\underset{-\&infin;}{\overset{+\&infin;}{\&Integral;}}\&Integral;\tilde{\hat{J}}(\hat{f},\hat{g})\&CenterDot;{\left|E_c\right|}^{2}d\hat{f}d\hat{g}$

$T_j=\underset{-\&infin;}{\overset{+\&infin;}{\&Integral;}}\&Integral;\tilde{\hat{J}}(\hat{f},\hat{g})\&CenterDot;2\mathrm{Re}\{i\&CenterDot;{E_c}^{*}{E}_j\}d\hat{f}d\hat{g}$

其中，

表示光源，

和

是光源坐标，E_c和E_j分别为：

$E_c=\underset{-\&infin;}{\overset{+\&infin;}{\&Integral;}}O\left({\hat{f}}^{\&prime;}\right)\exp \{-i\frac{2\mathrm{\&pi;}}{\mathrm{\&lambda;}}\sqrt{1-[{(\hat{f}+{\hat{f}}^{\&prime;})}^2+{\hat{g}}^2]{\mathrm{NA}}^2}\&CenterDot;z\}\exp (-i2\mathrm{\&pi;}{f}^{\&prime;}x)d{f}^{\&prime;}$

$E_j=\frac{2\mathrm{\&pi;}}{\mathrm{\&lambda;}}\underset{-\&infin;}{\overset{+\&infin;}{\&Integral;}}{R}_j\&CenterDot;O\left({\hat{f}}^{\&prime;}\right)\&CenterDot;\exp \{-i\frac{2\mathrm{\&pi;}}{\mathrm{\&lambda;}}\sqrt{1-[{(\hat{f}+{\hat{f}}^{\&prime;})}^2+{\hat{g}}^2]{\mathrm{NA}}^2}\&CenterDot;z\}\exp (-i2\mathrm{\&pi;}{\hat{f}}^{\&prime;}x)d{\hat{f}}^{\&prime;}$

其中，O(f′)表示0°方向检测标记的衍射谱，

和

是光瞳面坐标，λ表示光刻机工作波长，NA是数值孔径，z表示离焦量，x表示像面坐标，R_j是j阶泽尼克多项式；

采用具有数值运算功能的MATLAB软件，计算无像差的拟合向量I_o和j阶泽尼克像差的拟合向量T_j，将1～37阶泽尼克像差对应的拟合向量构成线性拟合矩阵T：

T＝[T₁，T₂，…，T₃₇]；

（2）计算旋转矩阵：

转换矩阵

表示角度为

的孤立空与0°孤立空的泽尼克像差关系，根据泽尼克多项式和孤立空角度

计算旋转矩阵，泽尼克多项式表示为与半径□有关的多项式

和与角度□有关的多项式

的乘积：

$R_j(\mathrm{\&rho;},\mathrm{\&theta;})=A_n^m\left(\mathrm{\&rho;}\right){\mathrm{\&Phi;}}_j^m\left(\mathrm{\&theta;}\right)$

用

表示旋转矩阵中第p行和第q列的值，当时，

当 ${\mathrm{\&Phi;}}_p^m\left(\mathrm{\&theta;}\right)=\cos \left(\mathrm{m\&theta;}\right)$ 时，

当 ${\mathrm{\&Phi;}}_p^m\left(\mathrm{\&theta;}\right)=\sin \left(\mathrm{m\&theta;}\right)$ 时，

根据上面公式，采用具有数值运算功能的MATLAB软件，得到孤立空方向

为0°、30°、45°、90°、135°和150°时的旋转矩阵分别为

和

（3）启动光刻机采集空间像：

设置光刻机投影物镜NA、照明方式、部分相干因子、空间像的测量范围、空间像的测量步长等光刻机的工作条件；加载带有上面所述检测标记的掩模板，启动光刻机，传感器采集该掩模板上0°、30°、45°、90°、135°和150°检测标记所对应的空间像分别为

和

4）对空间像进行线性拟合得到泽尼克像差：

根据测量空间像和拟合矩阵，根据下列公式计算泽尼克像差：

Z＝(S′S)^-11·S′_Ilinear

其中，

$I_{\mathrm{linear}}=\left[\begin{array}{c}{I}_r^1-I_0\\ I_r^2-I_0\\ .\\ .\\ .\\ I_r^6-I_0\end{array}\right],$

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