CN102831315B - 一种电力系统状态估计量测方程的精确线性化方法 - Google Patents

Abstract

本发明提出一种电力系统状态估计量测方程的精确线性化方法，其特征在于，包括以下步骤：建立网络模型，计算节点导纳矩阵；选取状态矢量，并选取量测矢量；以及形成雅可比矩阵，得到精确线性化的量测方程。本发明通过选取状态矢量，并选取量测矢量，从而可以得到精确线性化的量测方程，基于该精确线性化的量测方程，可采用已有的任何一种状态估计求解状态矢量，进而得到网络中所有的支路功率、节点注入功率等的估计值，从而大大降低状态估计模型的复杂性，更容易求解。

Description

一种电力系统状态估计量测方程的精确线性化方法

技术领域

本发明涉及电力系统调度自动化领域，特别涉及一种电力系统状态估计量测方程的精确线性化方法。

背景技术

电力系统状态估计是能量管理系统的基础和核心，其主要任务是根据数据采集与监控系统(SCADA)提供的实时信息，给出电网中状态变量(电压幅值和相角)、支路功率以及节点注入功率等的估计值，同时也包括不良数据检测和辨识等功能。

国内外学者和工程人员对电力系统状态估计的研究已经有四十多年的历史了，现在几乎每一个大型调度中心都安装了状态估计软件，状态估计已经成为现代调度控制中心不可缺少的基石之一。自2003年8月14日发生的美加大停电事故以来，人们进一步认识到状态估计在电网安全运行中的基础性地位。

状态估计中的量测量一般包括节点电压幅值量测、支路功率量测、注入功率量测，支路电流幅值量测等，已有的状态估计都是把所有节点的电压幅值和相角(参考节点的相角除外)作为状态变量并作为求解的对象，得到状态变量后，即可进一步利用状态变量得到所有的支路功率以及节点注入功率等的估计值。量测方程是量测量与状态变量之间的函数关系，已有的状态估计的量测方程都是非线性的。基于该非线性的量测方程，已有的状态估计最终都是转化为一个非线性最优化问题进行求解。

在已有的状态估计中，非线性量测方程如下

z=h(x)+e                    （1）

其中，z∈R^m为量测矢量，包括节点电压幅值量测、支路有功量测、支路无功量测、注入有功量测、注入无功量测，有时还包括支路电流幅值量测；x∈Rⁿ为包括所有节点的电压幅值和相角(参考节点相角除外)的状态矢量，n=2N-1，N为网络中节点的数目；h:Rⁿ→R^m是由状态矢量到量测矢量的非线性映射；e=[e₁，e₂,…,e_m]^T为量测噪声，常假设e~N(0,R)，其中 $R=\mathrm{diag}\{{\mathrm{\ϵ}}_1^2,{\mathrm{\ϵ}}_2^2,\·\·\·,{\mathrm{\ϵ}}_m^2\},$ 其中为e_i的方差。

基于非线性量测方程(1)，已有的状态估计都是转化为如下的最优化问题进行求解

Min(or Max) $J\left(x\right)={\mathrm{\Σ}}_{i=1}^{m}f\left(r_i\right)---\left(2\right)$

s.t.    z=h(x)+r                        （3）

其中，r∈R^m为残差矢量，f(r_i)是残差的特定函数，对不同的状态估计模型，f(r_i)具有不同的表达式。

显然，已有的状态估计模型(2)、(3)是典型的非线性优化问题，这种非线性优化问题的求解一般比较复杂。非线性优化问题产生的根源在于量测方程的非线性。如果能够实现量测方程的精确线性化，则可大大降低状态估计模型的复杂性，并可提高状态估计的计算效率。

发明内容

本发明旨在至少在一定程度上解决上述技术问题之一或至少提供一种有用的商业选择。为此，本发明的一个目的在于提出一种具有复杂性低、求解容易的电力系统状态估计量测方程的精确线性化方法。

根据本发明实施例的电力系统状态估计量测方程的精确线性化方法，其特征在于，包括以下步骤：A.建立网络模型，计算节点导纳矩阵；B.选取状态矢量，并选取量测矢量；以及C.形成雅可比矩阵，得到精确线性化的量测方程。

在本发明的一个实施例中，所述步骤A包括：将网络中所有的线路和变压器等效为π型支路ij，记y_s=1/(r_ij+jx_ij)=g_s+jb_s为π型支路ij的串联电纳，r_ij+jx_ij为π型支路ij的串联阻抗值；b_c为π型支路ij的接地电纳，其中，若π型支路ij为变压器支路，则b_c=0且k为理想变压器的变比，若π型支路ij为普通线路，则k=1，并联的多条支路等效为一条支路；在等效后的电路中，记g_ij=g_s/k，b_ij=b_s/k，g_si=(1-k)g_s/k²，b_si=(1-k)b_s/k²+b_c/2，g_sj=(k-1)g_s/k，b_sj=(k-1)b_s/k+b_c/2；以及计算节点导纳矩阵Y=G+jB,G和B分别为节点导纳矩阵的实部和虚部。

在本发明的一个实施例中，所述步骤B包括：将状态矢量变换为 $X={[v_1^2,v_2^2,\·\·\·,v_N^2,v_{l_i}{v}_{l_j}\cos {\mathrm{\θ}}_{l_i{l}_j}(1\≤l\≤b),v_{l_i}{v}_{l_j}\sin {\mathrm{\θ}}_{l_i{l}_j}(1\≤l\≤b)]}^T,$ 其中，N为网络中所有节点的总数目，b为网络中所有支路的数目；l为支路编号，l_i和l_j为支路l的两端节点号，和分别是节点l_i和l_j的电压幅值，和分别是节点l_i和l_j的相角，为相角差；代表所有的b条支路对状态矢量X的贡献，也代表所有的b条支路对状态矢量X的贡献；X∈R^N+2b为状态矢量；以及将量测矢量变换为y∈R^m，包括节点电压幅值的平方、支路有功、支路无功、注入有功、注入无功，支路电流幅值的平方，其中，m为量测量的总个数，当用变换后的状态矢量X表示时，节点电压幅值的平方为v_i为节点i的电压，从节点i到节点j的支路有功为 $P_{\mathrm{ij}}=v_i^2(g_{\mathrm{si}}+g_{\mathrm{ij}})-v_i{v}_j{g}_{\mathrm{ij}}c{\mathrm{os\θ}}_{\mathrm{ij}}-v_i{v}_j{b}_{\mathrm{ij}}{\sin \mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}},$ 从节点i到节点j的支路无功为 $Q_{\mathrm{ij}}=-v_i^2(b_{\mathrm{si}}+b_{\mathrm{ij}})+v_i{v}_j{b}_{\mathrm{ij}}{\cos \mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}-v_i{v}_j{g}_{\mathrm{ij}}{\sin \mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}},$ 节点i的注入有功为 $P_i=v_i\underset{j\∈N_i}{\mathrm{\Σ}}{v}_j(G_{\mathrm{ij}}\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}+B_{\mathrm{ij}}{\sin \mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}),$ 节点i的注入无功为 $Q_i=v_i\underset{j\∈N_i}{\mathrm{\Σ}}{v}_j(G_{\mathrm{ij}}\sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}-B_{\mathrm{ij}}{\cos \mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}),$ G_ij+jB_ij为节点导纳矩阵中的对应元素，支路电流幅值的平方为其中，I_ij为π型支路ij的电流幅值；A=(g_si+g_ij)²+(b_si+b_ij)²； D=-g_sib_ij+b_sig_ij。

在本发明的一个实施例中，所述步骤C包括：设J∈R^m×(N+2b)为雅可比矩阵，其中，节点电压幅值量测的平方对应的雅可比矩阵元素为 $\frac{{\∂v}_i^2}{\∂v_i^2}=1,$ $\frac{{\∂v}_i^2}{\∂v_j^2}=0,$ $\frac{{\∂v}_i^2}{\∂v_i{v}_j{\cos \mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}}=0,$ $\frac{\∂v_i^2}{\∂v_i{v}_j\sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}}=0,$ 支路功率量测对应的雅可比矩阵元素为 $\frac{\∂P_{\mathrm{ij}}}{\∂v_i^2}=g_{\mathrm{si}}+g_{\mathrm{ij}},$ $\frac{\∂P_{\mathrm{ij}}}{\∂v_j^2}=0,$ $\frac{{\∂P}_{\mathrm{ij}}}{\∂v_i{v}_j{\cos \mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}}=-g_{\mathrm{ij}},$ $\frac{{\∂P}_{\mathrm{ij}}}{\∂v_i{v}_{j}s{\mathrm{in\θ}}_{\mathrm{ij}}}=-b_{\mathrm{ij}},$ $\frac{{\∂Q}_{\mathrm{ij}}}{\∂v_i^2}=-(b_{\mathrm{si}}+b_{\mathrm{ij}}),$ $\frac{\∂Q_{\mathrm{ij}}}{\∂v_j^2}=0,$ $\frac{\∂Q_{\mathrm{ij}}}{{\∂v}_i{v}_j\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}}=b_{\mathrm{ij}},$ $\frac{\∂Q_{\mathrm{ij}}}{{\∂v}_i{v}_j{\sin \mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}}=-g_{\mathrm{ij}},$ 注入功率量测对应的雅可比矩阵元素为 $\frac{\∂P_i}{{\∂v}_i^2}=G_{\mathrm{ii}},$ $\frac{\∂P_i}{\∂v_j^2}=0,$ $\frac{\∂P_i}{\∂v_i{v}_j{\cos \mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}}=G_{\mathrm{ij}},$ $\frac{\∂P_i}{\∂v_i{v}_j{\sin \mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}}=B_{\mathrm{ij}},$ $\frac{\∂Q_i}{\∂v_i^2}=-B_{\mathrm{ii}},$ $\frac{\∂Q_i}{\∂v_j^2}=0,$ $\frac{\∂Q_i}{{\∂v}_i{v}_j\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}}=-B_{\mathrm{ij}},$ 支路电流幅值量测的平方对应的雅可比矩阵元素为 以及根据步骤B得到的变换后的量测矢量和状态矢量，得到精确线性化的量测方程为：y=JX+τ，其中，τ∈R^m为量测误差矢量，J∈R^m×(N+2b)为常数雅可比矩阵。

根据本发明的电力系统状态估计量测方程的精确线性化方法，通过选取状态矢量，并选取量测矢量，从而可以得到精确线性化的量测方程，基于该精确线性化的量测方程，可采用已有的任何一种状态估计求解状态矢量，进而得到网络中所有的支路功率、节点注入功率等的估计值，从而大大降低状态估计模型的复杂性，更容易求解。

本发明的附加方面和优点将在下面的描述中部分给出，部分将从下面的描述中变得明显，或通过本发明的实践了解到。

附图说明

本发明的上述和/或附加的方面和优点从结合下面附图对实施例的描述中将变得明显和容易理解，其中：

图1为本发明的电力系统状态估计量测方程的精确线性化方法的流程图；

图2为π型支路的示意图；

图3为π型支路等值电路的示意图；以及

图4为某个三节点系统单线图及量测配置图。

具体实施方式

下面详细描述本发明的实施例，所述实施例的示例在附图中示出，其中自始至终相同或类似的标号表示相同或类似的元件或具有相同或类似功能的元件。下面通过参考附图描述的实施例是示例性的，旨在用于解释本发明，而不能理解为对本发明的限制。

如图1所示，本发明的电力系统状态估计量测方程的精确线性化方法包括如下步骤：

步骤S101，建立网络模型，计算节点导纳矩阵。

具体地，将网络中的三绕组变压器等效为三个两绕组变压器，则网络中所有的线路和变压器可以用统一的π型支路表示，如图2所示。图2中，y_s=1/(r_ij+jx_ij)=g_s+jb_s为支路ij的串联电纳；r_ij+jx_ij为串联阻抗值；b_c为支路的接地电纳，对于变压器支路，b_c=0；k为理想变压器的变比，对于普通线路，k＝1。需要说明的是，并联的多条支路等效为一条支路

图2的π型支路的等值电路如图3所示。图3中，g_ij=g_s/k；b_ij=b_s/k；g_si=(1-k)g_s/k²；b_si=(1-k)b_s/k²+b_c/2；g_sj=(k-1)g_s/k；b_sj=(k-1)b_s/k+b_c/2。然后形成节点导纳矩阵Y=G+jB,G和B分别为节点导纳矩阵的实部和虚部。

步骤S102，选取状态矢量，并选取量测矢量。

首先，将状态矢量变换为 $X={[v_1^2,v_2^2,\·\·\·,v_N^2,v_{l_i}{v}_{l_j}\cos {\mathrm{\θ}}_{l_i{l}_j}(1\≤l\≤b),v_{l_i}{v}_{l_j}\sin {\mathrm{\θ}}_{l_i{l}_j}(1\≤l\≤b)]}^T.$

其中，N为网络中所有节点的总数目；b为网络中所有支路的数目(并联的多条支路等效为一条支路)；l为支路编号，l_i和l_j为支路l的两端节点号，和分别是节点l_i和l_j的电压幅值，和分别是节点l_i和l_j的相角，为相角差；代表所有的b条支路对状态矢量X的贡献，也代表所有的b条支路对状态矢量X的贡献；X∈R^N+2b为状态矢量。

其次，将量测矢量变换为y∈R^m，包括的量测类型有：节点电压幅值的平方、支路有功、支路无功、注入有功、注入无功，支路电流幅值的平方；m为量测量的总个数。则量测函数可以用状态矢量X进行表达。

1）电压幅值量测的平方

$v_i^2=v_i^2---\left(4\right)$

其中，ν_i为节点i的电压。

2）从节点i到节点j的支路有功和无功量测

$P_{\mathrm{ij}}=v_i^2(g_{\mathrm{si}}+g_{\mathrm{ij}})-v_i{v}_j{g}_{\mathrm{ij}}c{\mathrm{os\θ}}_{\mathrm{ij}}-v_i{v}_j{b}_{\mathrm{ij}}{\sin \mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}---\left(5\right)$

$Q_{\mathrm{ij}}=-v_i^2(b_{\mathrm{si}}+b_{\mathrm{ij}})+v_i{v}_j{b}_{\mathrm{ij}}{\cos \mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}-v_i{v}_j{g}_{\mathrm{ij}}{\sin \mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}---\left(6\right)$

其中，P_ij和Q_ij分别为节点i流向节点j的支路有功和无功。

3）节点i的注入有功和注入无功

$P_i=v_i\underset{j\∈N_i}{\mathrm{\Σ}}{v}_j(G_{\mathrm{ij}}\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}+B_{\mathrm{ij}}{\sin \mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}})---\left(7\right)$

$Q_i=v_i\underset{j\∈N_i}{\mathrm{\Σ}}{v}_j(G_{\mathrm{ij}}\sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}-B_{\mathrm{ij}}{\cos \mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}})---\left(8\right)$

其中，P_i和Q_i分别为节点i的注入有功和注入无功，G_ij+jB_ij为节点导纳矩阵中的对应元素。

4）支路电流幅值量测的平方

$I_{\mathrm{ij}}^2={\mathrm{Av}}_i^2+{\mathrm{Bv}}_j^2-{2v}_i{v}_j(C\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}-{D\sin \mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}})---\left(9\right)$

其中，I_ij为支路ij的电流幅值；A=(g_si+g_ij)²+(b_si+b_ij)²； D=-g_sib_ij+b_sig_ij。

步骤S103，形成雅可比矩阵，得到精确线性化的量测方程.

具体地，首先设J∈R^m×(N+2b)为雅可比矩阵，则其各个部分的元素的表达式如下所示。

1）电压幅值量测的平方对应的雅可比矩阵元素

对于电压幅值量测的平方，其对应的雅可比矩阵元素为

$\frac{{\∂v}_i^2}{\∂v_i^2}=1,$ $\frac{{\∂v}_i^2}{\∂v_j^2}=0,$ $\frac{{\∂v}_i^2}{\∂v_i{v}_j{\cos \mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}}=0,$ $\frac{\∂v_i^2}{\∂v_i{v}_j\sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}}=0.$

2）支路功率量测对应的雅可比矩阵元素

对于支路功率量测，其对应的雅可比矩阵元素为

$\frac{\∂P_{\mathrm{ij}}}{\∂v_i^2}=g_{\mathrm{si}}+g_{\mathrm{ij}},$ $\frac{\∂P_{\mathrm{ij}}}{\∂v_j^2}=0,$ $\frac{{\∂P}_{\mathrm{ij}}}{\∂v_i{v}_j{\cos \mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}}=-g_{\mathrm{ij}},$ $\frac{{\∂P}_{\mathrm{ij}}}{\∂v_i{v}_{j}s{\mathrm{in\θ}}_{\mathrm{ij}}}=-b_{\mathrm{ij}},$

$\frac{{\∂Q}_{\mathrm{ij}}}{\∂v_i^2}=-(b_{\mathrm{si}}+b_{\mathrm{ij}}),$ $\frac{\∂Q_{\mathrm{ij}}}{\∂v_j^2}=0,$ $\frac{\∂Q_{\mathrm{ij}}}{{\∂v}_i{v}_j\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}}=b_{\mathrm{ij}},$ $\frac{\∂Q_{\mathrm{ij}}}{{\∂v}_i{v}_j{\sin \mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}}=-g_{\mathrm{ij}}.$

3）注入功率量测对应的雅可比矩阵元素

对于注入功率量测，其对应的雅可比矩阵元素为

$\frac{\∂P_i}{{\∂v}_i^2}=G_{\mathrm{ii}},$ $\frac{\∂P_i}{\∂v_j^2}=0,$ $\frac{\∂P_i}{\∂v_i{v}_j{\cos \mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}}=G_{\mathrm{ij}},$ $\frac{\∂P_i}{\∂v_i{v}_j{\sin \mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}}=B_{\mathrm{ij}},$

$\frac{\∂Q_i}{\∂v_i^2}=-B_{\mathrm{ii}},$ $\frac{\∂Q_i}{\∂v_j^2}=0,$ $\frac{\∂Q_i}{{\∂v}_i{v}_j\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}}=-B_{\mathrm{ij}},$ $\frac{\∂Q_i}{{\∂v}_i{v}_j\sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}}=G_{\mathrm{ij}}.$

4）支路电流幅值量测的平方对应的雅可比矩阵元素

对于支路电流幅值量测的平方，其对应的雅可比矩阵元素为

$\frac{\∂I_{\mathrm{ij}}^2}{\∂v_i^2}=A,$ $\frac{\∂I_{\mathrm{ij}}^2}{\∂v_j^2}=B,$ $\frac{\∂I_{\mathrm{ij}}^2}{\∂v_i{v}_j{\cos \mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}}=-2C,$ $\frac{\∂I_{\mathrm{ij}}^2}{\∂v_i{v}_j{\sin \mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}}=2D.$

其次，根据以上的变换后的量测矢量和状态矢量，即可得到量测方程为：

y＝JX+τ               （10）

其中，τ∈R^m为量测误差矢量；J∈R^m×(N+2b)为常数雅可比矩阵，其元素已经给出。

式（10）即为精确线性化的量测方程。基于该量测方程，可以采用已有的任何一种状态估计方法求解得到状态矢量X，得到X后，即可进一步得到所有的支路功率、节点注入功率以及支路电流幅值等的估计值，这样也就获得了对全网状态的精确感知。

根据本发明的电力系统状态估计量测方程的精确线性化方法，通过选取状态矢量，并选取量测矢量，从而可以得到精确线性化的量测方程，基于该精确线性化的量测方程，可采用已有的任何一种状态估计求解状态矢量，进而得到网络中所有的支路功率、节点注入功率等的估计值，从而大大降低状态估计模型的复杂性，更容易求解。

为使本领域技术人员更好地理解本发明，本申请人以一个三节点系统为例，来说明精确线性化的量测方程的形成方法。该三节点系统的单线图及量测配置图如图4所示。

选取状态矢量为 $X={[v_1^2,v_2^2,v_3^2,v_1{v}_2{\cos \mathrm{\θ}}_{12},v_1{v}_3{\cos \mathrm{\θ}}_{13},v_2{v}_3{\cos \mathrm{\θ}}_{23},v_1{v}_2{\sin \mathrm{\θ}}_{12},v_1{v}_3{\sin \mathrm{\θ}}_{13},v_2{v}_3{\sin \mathrm{\θ}}_{23}]}^T,$ 选取量测矢量为 $y={[v_1^2,v_2^2,Q_{12},Q_{21},Q_{13},Q_{31},Q_2,P_{12},P_{21},P_{13},P_{31},P_2]}^T,$ 则可得到精确线性化的量测方程为y=JX+τ。其中常数雅可比矩阵如下：

$J=\left[\begin{array}{ccccccccc}1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ -(b_{s1}+b_{12})& 0& 0& b_{12}& 0& 0& -g_{12}& 0& 0\\ 0& -(b_{s2}+b_{21})& 0& b_{21}& 0& 0& g_{21}& 0& 0\\ -(b_{s1}+b_{13})& 0& 0& 0& b_{13}& 0& 0& -g_{13}& 0\\ 0& 0& -(b_{s3}+b_{31})& 0& b_{31}& 0& 0& g_{31}& 0\\ 0& -B_{22}& 0& -B_{21}& 0& -B_{23}& -G_{21}& 0& G_{23}\\ g_{s1}+g_{12}& 0& 0& -g_{12}& 0& 0& -b_{12}& 0& 0\\ 0& g_{s2}+g_{21}& 0& -g_{21}& 0& 0& b_{21}& 0& 0\\ g_{s1}+g_{13}& 0& 0& 0& -g_{13}& 0& 0& -b_{13}& 0\\ 0& 0& g_{s3}+g_{31}& 0& -g_{31}& 0& 0& b_{31}& 0\\ 0& G_{22}& 0& G_{21}& 0& G_{23}& {-B}_{21}& 0& B_{23}\end{array}\right]$

其中，各元素的意义与图3中的标记一致。

至此，已经得到了精确线性化的量测方程，即可基于该量测方程利用已有的任意一种状态估计方法进行求解，以得到状态矢量X的估计值，进而得到所有的支路功率以及所有的节点注入功率等的估计值。

在本说明书的描述中，参考术语“一个实施例”、“一些实施例”、“示例”、“具体示例”、或“一些示例”等的描述意指结合该实施例或示例描述的具体特征、结构、材料或者特点包含于本发明的至少一个实施例或示例中。在本说明书中，对上述术语的示意性表述不一定指的是相同的实施例或示例。而且，描述的具体特征、结构、材料或者特点可以在任何的一个或多个实施例或示例中以合适的方式结合。

尽管上面已经示出和描述了本发明的实施例，可以理解的是，上述实施例是示例性的，不能理解为对本发明的限制，本领域的普通技术人员在不脱离本发明的原理和宗旨的情况下在本发明的范围内可以对上述实施例进行变化、修改、替换和变型。

Claims (1)

1.一种电力系统状态估计量测方程的精确线性化方法，其特征在于，包括以下步骤：

A.建立网络模型，计算节点导纳矩阵；

B.选取状态矢量，并选取量测矢量；以及

C.形成雅可比矩阵，得到精确线性化的量测方程，

其中，所述步骤A包括：

将网络中所有的线路和变压器等效为π型支路ij，记y_s＝1/(r_ij+jx_ij)＝g_s+jb_s为π型支路ij的串联电纳，r_ij+jx_ij为π型支路ij的串联阻抗值，r_ij为普通线路或变压器ij的电阻，x_ij为普通线路或变压器ij的电抗；b_c为π型支路ij的接地电纳，其中，若π型支路ij为变压器支路，则b_c＝0且k为理想变压器的变比，若π型支路ij为普通线路，则k＝1，并联的多条支路等效为一条支路；

在等效后的电路中，记g_ij＝g_s/k，b_ij＝b_s/k，g_si＝(1-k)g_s/k²，b_si＝(1-k)b_s/k²+b_c/2，g_sj＝(k-1)g_s/k，b_sj＝(k-1)b_s/k+b_c/2，其中，g_s为普通线路或变压器ij的串联电导，g_ij为普通线路或变压器ij等效电路的串联电导，g_si为普通线路或变压器ij等效电路首端的对地电导，g_sj为普通线路或变压器ij等效电路末端的对地电导，b_s为普通线路或变压器ij的串联电纳，b_ij为普通线路或变压器ij等效电路的串联电纳，b_si为普通线路或变压器ij等效电路首端的对地电纳，b_sj为普通线路或变压器ij等效电路末端的对地电纳；以及

计算节点导纳矩阵Y＝G+jB,G和B分别为节点导纳矩阵的实部和虚部，

其中，所述步骤B包括：

将状态矢量变换为 $X=[v_1^2,v_2^2,...,v_N^2,v_{l_i}{v}_{l_j}\cos {\mathrm{\θ}}_{l_i{l}_j}(1\≤l\≤b),v_{l_i}{v}_{l_j}\sin {\mathrm{\θ}}_{l_i{l}_j}(1\≤l\≤b){]}^T,$ 其中，N为网络中所有节点的总数目，b为网络中所有支路的数目；l为支路编号，l_i和l_j为支路l的两端节点号，和分别是节点l_i和l_j的电压幅值，和分别是节点l_i和l_j的相角，为相角差；代表所有的b条支路对状态矢量X的贡献，也代表所有的b条支路对状态矢量X的贡献；X∈R^N+2b为状态矢量；以及

将量测矢量变换为y∈R^m，包括节点电压幅值的平方、支路有功、支路无功、注入有功、注入无功，支路电流幅值的平方，其中，m为量测量的总个数，当用变换后的状态矢量X表示时，节点电压幅值的平方为v_i为节点i的电压，从节点i到节点j的支路有功为从节点i到节点j的支路无功为 $Q_{\mathrm{ij}}=-v_i^2(b_{\mathrm{si}}+b_{\mathrm{ij}})+v_i{v}_j{b}_{\mathrm{ij}}\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}-v_i{v}_j{g}_{\mathrm{ij}}\sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}},$ 节点i的注入有功为 $P_i=v_i\underset{j\∈N_i}{\mathrm{\Σ}}{v}_j(G_{\mathrm{ij}}\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}+B_{\mathrm{ij}}\sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}),$ 节点i的注入无功为G_ij+jB_ij为节点导纳矩阵中的对应元素，支路电流幅值的平方为其中，I_ij为π型支路ij的电流幅值；A＝(g_si+g_ij)²+(b_si+b_ij)²； $B=g_{\mathrm{ij}}^2+b_{\mathrm{ij}}^2;$ $C=g_{\mathrm{ij}}^2+b_{\mathrm{ij}}^2+g_{\mathrm{si}}{g}_{\mathrm{ij}}+b_{\mathrm{si}}{b}_{\mathrm{ij}};$ D＝-g_sib_ij+b_sig_ij，

其中，所述步骤C包括：

设J∈R^m×(N+2b)为雅可比矩阵，其中，节点电压幅值量测的平方对应的雅可比矩阵元素为 $\frac{{\∂v}_i^2}{{\∂v}_i^2}=1,$ $\frac{{\∂v}_i^2}{{\∂v}_j^2}=0,$ $\frac{{\∂v}_i^2}{{\∂v}_i{v}_j\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}}=0,$ $\frac{{\∂v}_i^2}{{\∂v}_i{v}_j\sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}}=0,$ 支路功率量测对应的雅可比矩阵元素为 $\frac{{\∂P}_{\mathrm{ij}}}{{\∂v}_i^2}=g_{\mathrm{si}}+g_{\mathrm{ij}},$ $\frac{{\∂P}_{\mathrm{ij}}}{{\∂v}_j^2}=0,$ $\frac{{\∂P}_{\mathrm{ij}}}{{\∂v}_i{v}_j\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}}=-g_{\mathrm{ij}},$ $\frac{\∂P_{\mathrm{ij}}}{{\∂v}_i{v}_j\sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}}=-b_{\mathrm{ij}},$ $\frac{{\∂Q}_{\mathrm{ij}}}{{\∂v}_i^2}=-(b_{\mathrm{si}}+b_{\mathrm{ij}}),$ $\frac{{\∂Q}_{\mathrm{ij}}}{{\∂v}_j^2}=0,$ $\frac{{\∂Q}_{\mathrm{ij}}}{{\∂v}_i{v}_j\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}}=b_{\mathrm{ij}},$ $\frac{{\∂Q}_{\mathrm{ij}}}{{\∂v}_i{v}_j\sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}}=-g_{\mathrm{ij}},$ 注入功率量测对应的雅可比矩阵元素为 $\frac{\∂P_i}{\∂v_i^2}=G_{\mathrm{ii}},$ $\frac{{\∂P}_i}{\∂v_j^2}=0,$ $\frac{\∂P_i}{{\∂v}_i{v}_j\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}}=G_{\mathrm{ij}},$ $\frac{{\∂P}_i}{{\∂v}_i{v}_j\sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}}=B_{\mathrm{ij}},$ $\frac{\∂Q_i}{{\∂v}_i^2}=-B_{\mathrm{ii}},$ $\frac{\∂Q_i}{\∂v_j^2}=0,$ $\frac{\∂Q_i}{{\∂v}_i{v}_j\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}}=-B_{\mathrm{ij}},$ $\frac{\∂Q_i}{{\∂v}_i{v}_j\sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}}=G_{\mathrm{ij}},$ 支路电流幅值量测的平方对应的雅可比矩阵元素为 $\frac{\∂I_{\mathrm{ij}}^2}{\∂v_i^2}=A,$ $\frac{\∂I_{\mathrm{ij}}^2}{\∂v_j^2}=B,$ $\frac{\∂I_{\mathrm{ij}}^2}{{\∂v}_i{v}_j\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}}=-2C,$ $\frac{\∂I_{\mathrm{ij}}^2}{{\∂v}_i{v}_j\sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}}=2D;$ 以及

根据步骤B得到的变换后的量测矢量和状态矢量，得到精确线性化的量测方程为：y＝JX+τ，其中，τ∈R^m为量测误差矢量，J∈R^m×(N+2b)为常数雅可比矩阵。