CN102830618A - 多工序加工过程质量波动预测方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种多工序加工过程质量波动预测方法，用于解决现有的多工序加工过程质量控制方法准确性差的技术问题。技术方案是采用贝叶斯状态空间的方法设计多工序制造过程质量波动模型；进一步通过小波滤波的方法对制造过程质量波动模型中的噪声项进行处理，消除噪声；基于除噪后的状态值设计多元质量控制图来进行加工过程的监控，通过设计多元波动量的统计量，实现了多元加工过程的控制。以三元的质量特性为对象，在过程处于稳定状态时，控制图的平均运行步长ARL0由背景技术的186.535提高到199.624，误警率由背景技术的6.73％下降0.2％。在过程失控，且偏移量为（0.5,0,0）时，控制图的平均运行步长ARL1由背景技术的170.651降低到168.354，报警率由背景技术的14.675％提高到15.823％。

Description

多工序加工过程质量波动预测方法

技术领域

本发明涉及一种加工过程质量波动预测方法，特别是涉及一种多工序加工过程质量波动预测方法。 

背景技术

零件加工过程中，需要同时控制多个质量特性，这些质量特性又相互影响，传统的质量控制方法，在进行加工过程质量监控和调整时，只针对单道工序、单个质量特性分别进行质量监控和调整，没有考虑到零件的多道工序之间误差的传递、各个质量特性之间的相互影响关系，造成监控不准确。 

文献1“Shiyu Zhou,Qiang Huang，Jianjun Shi，“State Space Modeling of Dimensional Variation Propagation in Multistage Machining Process Using Differential Motion Vectors”，IEEE Transactions on Robotics and Automation2003；19（2）：296-309.”中采用运动微分向量建立了多工序加工过程误差空间传递状态空间模型，但是该方法只适用于刚体，在误差源的输入方面只考虑了夹具、基准的影响，没有考虑刀具等其他方面的误差输入，造成建立的误差预测模型不准确。 

文献2“Jian Liu，“Variation Reduction for Multistage Manufacturing Processes：A Comparison Survey of Statistical-Process-Control vs Stream-of-Variation Methodologies”，Quality and Reliability Engineering International 2010；26：645-661.”中从误差流的角度，将多道工序看成一个随着时间改变的动态系统进行多工序加工过程质量的监控考虑误差源输入的情况下对加工过程中的加工误差进行定量分析，但该方法在误差的输入方面仅仅考虑夹具、基准的影响，而没有考虑到刀具等方面的误差输入，使得误差预测模型不够准确。 

文献3“杨世元，吴德会，苏海涛．基于小批量制造过程的动态质量控制限及其简便计算方法[J]．中国机械工程，2006，17(14)：1476-1479.”设计了一种基于t分布动态控制限的小批量生产质量控制方法，但该方法忽略了对测量数据中噪声信息的考虑，直接依据测量数据或者测量值的预测值进行监控。而在实际生产中由于噪声信息的存在，测量数据本身带有误差，并不能准确反应制造过程的真实波动情况，直接依据它进行制造过程的监控必将导致漏判、误判和错误调整，增加了质量监控的不稳定 性，使得后续产品的制造质量得不到保证。 

以三元的质量特性为对象，在过程处于稳定即没有偏移量时，控制图的平均运行步长ARL0是186.535，误警率是6.73％。在过程失控，且偏移量为（0.5,0,0）时，控制图的平均运行步长ARL1是170.651，报警率是14.675％。偏移量为（0.5,0.5,0）时，控制图的平均运行步长ARL1是159.861，报警率是20.07％。偏移量为（0.5，1，0）时，控制图的平均运行步长ARL1是134.238，报警率是32.88％。 

发明内容

为了克服现有的多工序加工过程质量控制方法准确性差的不足，本发明提供一种多工序加工过程质量波动预测方法。该方法通过分析噪声信息与质量波动测量数据和波动状态数据的关系，采用贝叶斯状态空间的方法设计多工序制造过程质量波动模型；进一步通过小波滤波的方法对制造过程质量波动模型中的噪声项进行处理，消除噪声，可以得到准确的状态值；基于除噪后的状态值设计多元质量控制图来进行加工过程的监控，通过设计多元波动量的统计量，可以实现多元加工过程的控制。 

本发明解决其技术问题所采用的技术方案是：一种多工序加工过程质量波动预测方法，其特点是包括以下步骤： 

步骤一：分析噪声信息与质量波动测量数据和波动状态数据的关系，采用贝叶斯状态空间的方法建立多工序制造过程质量波动模型： 

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\μ}}_t=A{\mathrm{\μ}}_{t-1}+{\mathrm{Bu}}_t+w_t,w_t~N[0,W_t]\\ y_t=C{\mathrm{\μ}}_t+v_t,v_t~N[0,V_t]\\ {\mathrm{\μ}}_0|D_0~N[m_0,C_0]\end{array}\right.---\left(1\right)$

式中，y_t为t时刻加工工序质量特性波动均值的测量值；μ_t表示t时刻工序质量特性波动均值的真实值；w_t为t时刻制造系统的状态噪声项，W_t为其方差；v_t为t时刻测量噪声项，V_t为其方差；D₀表示t=0时刻关于工序质量的初始信息集合；m₀为在D₀条件下对工序质量的均值的一个估计值；C₀为关于均值m₀的方差，是对m₀一种不确定性的度量。对所有的t和s，当t≠s时，v_t和v_s、w_t和w_s以及v_t和w_s都相互独立。 

通过递归得到t时刻加工工序质量特性波动均值的测量值y_t的表达式： 

$y_t=\underset{i=1}{\overset{t}{\mathrm{\Σ}}}{C}_t{\mathrm{\φ}}_{t,i}^{(\·)}{B}_i{u}_i+C_t{\mathrm{\φ}}_{t,0}^{(\·)}{\mathrm{\μ}}_0+\underset{i=1}{\overset{t}{\mathrm{\Σ}}}{C}_t{\mathrm{\φ}}_{t,i}^{(\·)}{w}_i+v_t---\left(2\right)$

式中， 

是状态转换矩阵，跟踪数据误差，并有 

(i<k)，且 

v_t 为t时刻观测值的噪声项。 

步骤二：设计质量控制图时首先对公式（2）中的y_t进行处理，采用小波滤波的方法消除它公式（2）含的噪声项v_t。小波变换的分解表达式如下： 

$y=\underset{k}{\mathrm{\&Sigma;}}{a}_{j,k}{\mathrm{\&phi;}}_{j,k}\left(t\right)+\underset{k}{\mathrm{\&Sigma;}}{d}_{j,k}{\mathrm{\&psi;}}_{j,k}\left(t\right)---\left(3\right)$

式中，a为逼近系数序列；d为细节系数序列，d＝0。 

测量值中的噪声信息消除后，得到该工序的不再含有噪声信息的测量值矩阵X，计算每一个样本的样本均值和样本协方差矩阵： 

${\stackrel{\&OverBar;}{x}}_{\mathrm{jk}}=\frac{1}{n}\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{x}_{\mathrm{ijk}},\left\{\begin{array}{c}j=\mathrm{1,2},...,p\\ k=\mathrm{1,2},...,m\end{array}\right.---\left(4\right)$

第k样本的第j质量特性与第h质量特性之间的协方差： 

$s_{\mathrm{jhk}}=\frac{1}{n-1}\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}(x_{\mathrm{ijk}}-{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_{\mathrm{jk}})(x_{\mathrm{ihk}}-{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_{\mathrm{hk}}),\left\{\begin{array}{c}j\&NotEqual;h\\ k=\mathrm{1,2},...,m\end{array}\right.---\left(5\right)$

对m样本的统计量 

和S_jhk求平均值得： 

${\stackrel{=}{x}}_j=\frac{1}{m}\underset{k=1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_{\mathrm{jk}},j=\mathrm{1,2},...,p---\left(6\right)$

${\stackrel{\&OverBar;}{s}}_j^2=\frac{1}{m}\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}{s}_{\mathrm{jk}}^2,j=\mathrm{1,2},...,p---\left(7\right)$

${\stackrel{\&OverBar;}{s}}_{\mathrm{jh}}=\frac{1}{m}\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}{s}_{\mathrm{jhk}},j\&NotEqual;h---\left(8\right)$

则样本均值向量 

样本方差-协方差矩阵为s 

$s=\left[\begin{array}{ccccc}{\stackrel{\&OverBar;}{s}}_1^2& {\stackrel{\&OverBar;}{s}}_{12}& {\stackrel{\&OverBar;}{s}}_{13}& ...& {\stackrel{\&OverBar;}{s}}_{1p}\\ & {\stackrel{\&OverBar;}{s}}_2^2& {\stackrel{\&OverBar;}{s}}_{23}& ...& {\stackrel{\&OverBar;}{s}}_{2p}\\ & & {\stackrel{\&OverBar;}{s}}_3^2& ...& {\stackrel{\&OverBar;}{s}}_{3p}\\ & & & ...& {\stackrel{\&OverBar;}{s}}_p^2\end{array}\right]---\left(9\right)$

用估计的样本均值向量和样本协方差矩阵代替实际加工过程的总体均值和方差。 

此时的检验统计量为： 

$T_i^2=n{({\stackrel{\&OverBar;}{X}}_i-\stackrel{=}{X})}^T{S}^{-1}({\stackrel{\&OverBar;}{X}}_i-\stackrel{=}{X})---\left(10\right)$

取第一类错误概率为α，则多元 控制图在分析阶段的控制限为： 

$\mathrm{UCL}=\frac{p(m-1)(n-1)}{\mathrm{mn}-m-p+1}{F}_{\mathrm{\&alpha;},p,\mathrm{mn}-m-p+1},\mathrm{LCL}=0---\left(11\right)$

控制阶段的控制限为： 

$\mathrm{UCL}=\frac{p(m-1)(n-1)}{\mathrm{mn}-m-p+1}{F}_{\mathrm{\&alpha;},p,\mathrm{mn}-m-p+1},\mathrm{LCL}=0---\left(12\right)$

当控制图上出现超出UCL的异常点时，控制图发出警报信号，表示过程发生异常。 

本发明的有益效果是：由于通过分析噪声信息与质量波动测量数据和波动状态数据的关系，采用贝叶斯状态空间的方法设计多工序制造过程质量波动模型；进一步通过小波滤波的方法对制造过程质量波动模型中的噪声项进行处理，消除噪声，得到了准确的状态值；基于除噪后的状态值设计多元质量控制图来进行加工过程的监控，通过设计多元波动量的统计量，实现了多元加工过程的控制。以三元的质量特性为对象，在过程处于稳定即没有偏移量时，虽然控制图的平均运行步长ARL0由背景技术的186.535提高到199.624，但误警率则由背景技术的6.73％下降0.2％。在过程失控，且偏移量为（0.5,0,0）时，控制图的平均运行步长ARL1由背景技术的170.651降低到168.354，报警率由背景技术的14.675％提高到15.823％；偏移量为（0.5,0.5,0）时，控制图的平均运行步长ARL1由背景技术的159.861降低到140.359，报警率由背景技术的20.07％提高到29.82％。偏移量为（0.5，1，0）时，控制图的平均运行步长ARL1由背景技术的134.238降低到128.654，报警率由背景技术的32.88％提高到35.67％。分析表明本发明在受控状态下误警率较低，在失控状态下报警率较高，本发明方法优于背景技术方法。 

下面结合附图和实施例对本发明作详细说明。 

附图说明

图1是本发明方法采用的小波去噪示意图。 

图2是本发明方法建立的多工序误差传递模型示意图。 

图3是本发明方法的流程图。 

图4是本发明方法中叶片截面线的弯扭变形控制参数示意图。 

图5是本发明方法建立的分析用控制图。 

图6是本发明方法控制用控制图的监控结果示意图。 

具体实施方式

以下实施例参照图1～6。 

零件的加工工序由p个相关的关键质量特性组成，包括尺寸的、形状的、位置的各种质量特性，这p个质量特性组成了零件的质量状态集，随着工序的改变对它们进行监控，就可以完成对零件加工过程波动的监控。假定在加工过程中采集m次，每次采集的样本容量为n。 

则X_ij=(X_ij1，X_ij2，...，X_ijp)是p维向量，代表在第i个样本中第j个观测值的p维质量特性，其中i=1，2，…，m，j＝1，2，…，n。X_ij中得第1个分量，表示的是第1个质量特性的，1=1，2，…，p。设这p个指标服从p维正态分布N_p[μ，∑]，均值向量μ和协方差∑均未知，采集的一道工序的测量数据矩阵为： 

$x_h=\left[\begin{array}{c}{x}_{h1}^T\\ x_{h2}^T\\ ...\\ x_{\mathrm{hm}}^T\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}{x}_{h11}& x_{h21}& ...& x_{\mathrm{hp}1}\\ x_{h12}& x_{h22}& ...& x_{\mathrm{hp}2}\\ ...& ...& ...& ...\\ x_{h1m}& x_{h2m}& ...& x_{\mathrm{hpm}}\end{array}\right]$

其中，x_hu=[x_h1u x_h2u...x_hpu]^T，m为样本容量，x_hpu为第h次采样中变量x_p的第u个样本值，h=1，2，…，n，u=1，2，…，m。 

下面以加工材料是DD6的某叶片为例，对叶片的截面线的弯扭变形进行监控，验证本发明方法对某类型叶片某道工序产生的叶片截面线质量波动预测的效果。叶片的加工过程分为两个阶段，首先是榫头基准的加工，然后是叶身的加工。 

步骤一：建立多工序制造过程质量波动模型。 

分析噪声信息与质量波动测量数据和波动状态数据的关系，采用贝叶斯状态空间的方法构建制造过程的质量波动模型，得到加工偏移量的状态空间模型，该模型由状态方程、观测方程和初始信息组成，如公式（1）所示： 

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&mu;}}_t=A{\mathrm{\&mu;}}_{t-1}+{\mathrm{Bu}}_t+w_t,w_t~N[0,W_t]\\ y_t=C{\mathrm{\&mu;}}_t+v_t,v_t~N[0,V_t]\\ {\mathrm{\&mu;}}_0|D_0~N[m_0,C_0]\end{array}\right.---\left(1\right)$

式中，y_t为t时刻加工工序质量特性波动均值的测量值；μ_t表示t时刻工序质量特性波动均值的真实值，它是不可观测的状态值；w_t为t时刻制造系统的状态噪声项（或状态误差项），W_t为其方差；v_t为t时刻测量噪声项（或测量误差项），V_t为其方差；D₀表示t=0时刻关于工序质量的初始信息集合；m₀为在D₀条件下对工序质量的均值的一 个估计值；C₀为关于均值m₀的方差，是对m₀一种不确定性的度量。对所有的t和s，当t≠s时，v_t和v_s、w_t和w_s以及v_t和w_s都相互独立。 

假设测量噪声和状态噪声服从高斯核拉普拉斯分布。在该波动模型中，观测方程反映了t时刻对制造过程质量特征的观测状况，状态方程反映了t时刻制造过程的质量波动状况。通过递归得到t时刻加工工序质量特性波动均值的测量值y_t的表达式如下所示： 

$y_t=\underset{i=1}{\overset{t}{\mathrm{\&Sigma;}}}{C}_t{\mathrm{\&phi;}}_{t,i}^{(\&CenterDot;)}{B}_i{u}_i+C_t{\mathrm{\&phi;}}_{t,0}^{(\&CenterDot;)}{\mathrm{\&mu;}}_0+\underset{i=1}{\overset{t}{\mathrm{\&Sigma;}}}{C}_t{\mathrm{\&phi;}}_{t,i}^{(\&CenterDot;)}{w}_i+v_t---\left(2\right)$

式中， 

是状态转换矩阵，跟踪数据误差，比如由工序i到工序k-1的夹具几何误差、刀具路径误差、和夹紧力误差。并有 

(i<k)，且 

v_t为t时刻观测值的噪声项。 

假定某叶片零件的叶身加工工序过程处于受控情况下，基准产生的误差服从N(d_mu，d_sigma)，d_mu=(0，0，0)，d_sigma=(1，0.236,0.129；0.236,1，0.164；0.129,0.164,1)，输入误差源的误差服从N(In_mu，In_sigma)，In_mu=(0，0，0)，In_sigma=(1，0.332,0.256；0.332,1，0.282；0.256,0.282,1)，过程噪声服从N(0，0.1256^2)，测量噪声服从N(0，0.68^2)，系数A、B、C均为单位矩阵，则通过式（2），采用蒙特卡洛模拟30次，得到弯扭变形，经过小波去噪后，通过其建立控制图，得到分析用控制图。 

从图6中可以看到所有的样本的统计量都在控制限范围之内，过程受控，则第一阶段所建立的控制图合理，应用本工序本截面线后续加工的质量波动预报，即监控下一批叶片零件本工序本截面线的加工过程是否依然受控。 

步骤二：WF-T²控制图的设计。 

基于步骤一建立的多工序制造过程质量波动模型，设计质量控制图时首先对公式（2）中的y_t进行处理，消除它包含的噪声项v_t。本实施例采用小波滤波的方法将制造过程中的一道工序的测量数据矩阵y_t分解到各频率的不同通道上，识别和分析噪声项v_t。小波变换的分解表达式如下所示： 

$y=\underset{k}{\mathrm{\&Sigma;}}{a}_{j,k}{\mathrm{\&phi;}}_{j,k}\left(t\right)+\underset{k}{\mathrm{\&Sigma;}}{d}_{j,k}{\mathrm{\&psi;}}_{j,k}\left(t\right)---\left(3\right)$

式中，a为逼近系数序列；d为细节系数序列。去噪就是将d设置为0，也即将公 式（2）中的噪声项v_t消除。本实施例选取db20小波对信号进行小波分解，取分解层次为5。去噪后得到的数据为x。 

测量值中的噪声信息消除后，得到该工序的不再含有噪声信息的测量值矩阵X，计算每一个样本的样本均值和样本协方差矩阵为： 

${\stackrel{\&OverBar;}{x}}_{\mathrm{jk}}=\frac{1}{n}\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{x}_{\mathrm{ijk}},\left\{\begin{array}{c}j=\mathrm{1,2},...,p\\ k=\mathrm{1,2},...,m\end{array}\right.---\left(4\right)$

第k样本的第j质量特性与第h质量特性之间的协方差为： 

$s_{\mathrm{jhk}}=\frac{1}{n-1}\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}(x_{\mathrm{ijk}}-{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_{\mathrm{jk}})(x_{\mathrm{ihk}}-{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_{\mathrm{hk}}),\left\{\begin{array}{c}j\&NotEqual;h\\ k=\mathrm{1,2},...,m\end{array}\right.---\left(5\right)$

对m样本的统计量 

和s_jhk求平均值得： 

${\stackrel{=}{x}}_j=\frac{1}{m}\underset{k=1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_{\mathrm{jk}},j=\mathrm{1,2},...,p---\left(6\right)$

${\stackrel{\&OverBar;}{s}}_j^2=\frac{1}{m}\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}{s}_{\mathrm{jk}}^2,j=\mathrm{1,2},...,p---\left(7\right)$

${\stackrel{\&OverBar;}{s}}_{\mathrm{jh}}=\frac{1}{m}\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}{s}_{\mathrm{jhk}},j\&NotEqual;h---\left(8\right)$

则样本均值向量 

样本方差-协方差矩阵为s 

$s=\left[\begin{array}{ccccc}{\stackrel{\&OverBar;}{s}}_1^2& {\stackrel{\&OverBar;}{s}}_{12}& {\stackrel{\&OverBar;}{s}}_{13}& ...& {\stackrel{\&OverBar;}{s}}_{1p}\\ & {\stackrel{\&OverBar;}{s}}_2^2& {\stackrel{\&OverBar;}{s}}_{23}& ...& {\stackrel{\&OverBar;}{s}}_{2p}\\ & & {\stackrel{\&OverBar;}{s}}_3^2& ...& {\stackrel{\&OverBar;}{s}}_{3p}\\ & & & ...& {\stackrel{\&OverBar;}{s}}_p^2\end{array}\right]---\left(9\right)$

用估计的样本均值向量和样本协方差矩阵代替实际加工过程的总体均值和方差。 

此时的检验统计量为： 

$T_i^2=n{({\stackrel{\&OverBar;}{X}}_i-\stackrel{=}{X})}^T{S}^{-1}({\stackrel{\&OverBar;}{X}}_i-\stackrel{=}{X})---\left(10\right)$

取第一类错误概率为α，则多元 控制图在分析阶段的控制限为： 

$\mathrm{UCL}=\frac{p(m-1)(n-1)}{\mathrm{mn}-m-p+1}{F}_{\mathrm{\&alpha;},p,\mathrm{mn}-m-p+1},\mathrm{LCL}=0---\left(11\right)$

控制阶段的控制限为： 

$\mathrm{UCL}=\frac{p(m-1)(n-1)}{\mathrm{mn}-m-p+1}{F}_{\mathrm{\&alpha;},p,\mathrm{mn}-m-p+1},\mathrm{LCL}=0---\left(12\right)$

当控制图上出现超出UCL的异常点时，控制图发出警报信号，表示过程发生异常。 

在后续叶片零件本工序本截面线的加工过程，假定榫头加工差生偏差，引起叶身加工工序的基准产生偏差，即考虑多工序误差传递的影响，则给基准X_i1引入一个均值偏移d_mudelta=(0.35,0.24,0.16)，同时给局部误差源引入In_mudelta=(0.11,0.23,0.56)其它的均值保持不变，表示上道工序产生的基准存在质量波动，并伴局部误差，导致过程失稳，。在均值发生上述变化，方差保持不变的情况下采用蒙特卡洛方法模拟22个样本，采用式（10）计算该过程的T²统计量，并与步骤一所计算的控制限进行比较，建立监控控制图。 

从图6可以看出计算的第11个统计量超出了控制限，也即该加工过程发生了异常，处于失控状态，进一步发出报警，检测出了叶身截面线的变形。 

Claims (1)

1.一种多工序加工过程质量波动预测方法，其特征在于包括以下步骤：

步骤一：分析噪声信息与质量波动测量数据和波动状态数据的关系，采用贝叶斯状态空间的方法建立多工序制造过程质量波动模型：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&mu;}}_t=A{\mathrm{\&mu;}}_{t-1}+{\mathrm{Bu}}_t+w_t,w_t~N[0,W_t]\\ y_t=C{\mathrm{\&mu;}}_t+v_t,v_t~N[0,V_t]\\ {\mathrm{\&mu;}}_0|D_0~N[m_0,C_0]\end{array}\right.---\left(1\right)$

式中，y_t为t时刻加工工序质量特性波动均值的测量值；μ_t表示t时刻工序质量特性波动均值的真实值；w_t为t时刻制造系统的状态噪声项，W_t为其方差；v_t为t时刻测量噪声项，V_t为其方差；D₀表示t=0时刻关于工序质量的初始信息集合；m₀为在D₀条件下对工序质量的均值的一个估计值；C₀为关于均值m₀的方差，是对m₀一种不确定性的度量；对所有的t和s，当t≠s时，v_t和v_s、w_t和w_s以及v_t和w_s都相互独立；

通过递归得到t时刻加工工序质量特性波动均值的测量值y_t的表达式：

$y_t=\underset{i=1}{\overset{t}{\mathrm{\&Sigma;}}}{C}_t{\mathrm{\&phi;}}_{t,i}^{(\&CenterDot;)}{B}_i{u}_i+C_t{\mathrm{\&phi;}}_{t,0}^{(\&CenterDot;)}{\mathrm{\&mu;}}_0+\underset{i=1}{\overset{t}{\mathrm{\&Sigma;}}}{C}_t{\mathrm{\&phi;}}_{t,i}^{(\&CenterDot;)}{w}_i+v_t---\left(2\right)$

式中，

是状态转换矩阵，跟踪数据误差，并有

(i<k)，且

v_t为t时刻观测值的噪声项；

步骤二：设计质量控制图时首先对公式（2）中的y_t进行处理，采用小波滤波的方法消除它公式（2）含的噪声项v_t；小波变换的分解表达式如下：

$y=\underset{k}{\mathrm{\&Sigma;}}{a}_{j,k}{\mathrm{\&phi;}}_{j,k}\left(t\right)+\underset{k}{\mathrm{\&Sigma;}}{d}_{j,k}{\mathrm{\&psi;}}_{j,k}\left(t\right)---\left(3\right)$

式中，a为逼近系数序列；d为细节系数序列，d＝0；

测量值中的噪声信息消除后，得到该工序的不再含有噪声信息的测量值矩阵X，计算每一个样本的样本均值和样本协方差矩阵：

${\stackrel{\&OverBar;}{x}}_{\mathrm{jk}}=\frac{1}{n}\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{x}_{\mathrm{ijk}},\left\{\begin{array}{c}j=\mathrm{1,2},...,p\\ k=\mathrm{1,2},...,m\end{array}\right.---\left(4\right)$

第k样本的第j质量特性与第h质量特性之间的协方差：

$s_{\mathrm{jhk}}=\frac{1}{n-1}\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}(x_{\mathrm{ijk}}-{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_{\mathrm{jk}})(x_{\mathrm{ihk}}-{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_{\mathrm{hk}}),\left\{\begin{array}{c}j\&NotEqual;h\\ k=\mathrm{1,2},...,m\end{array}\right.---\left(5\right)$

对m样本的统计量

和s_jhk求平均值得：

${\stackrel{=}{x}}_j=\frac{1}{m}\underset{k=1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_{\mathrm{jk}},j=\mathrm{1,2},...,p---\left(6\right)$

${\stackrel{\&OverBar;}{s}}_j^2=\frac{1}{m}\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}{s}_{\mathrm{jk}}^2,j=\mathrm{1,2},...,p---\left(7\right)$

${\stackrel{\&OverBar;}{s}}_{\mathrm{jh}}=\frac{1}{m}\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}{s}_{\mathrm{jhk}},j\&NotEqual;h---\left(8\right)$

则样本均值向量

样本方差-协方差矩阵为s

$s=\left[\begin{array}{ccccc}{\stackrel{\&OverBar;}{s}}_1^2& {\stackrel{\&OverBar;}{s}}_{12}& {\stackrel{\&OverBar;}{s}}_{13}& ...& {\stackrel{\&OverBar;}{s}}_{1p}\\ & {\stackrel{\&OverBar;}{s}}_2^2& {\stackrel{\&OverBar;}{s}}_{23}& ...& {\stackrel{\&OverBar;}{s}}_{2p}\\ & & {\stackrel{\&OverBar;}{s}}_3^2& ...& {\stackrel{\&OverBar;}{s}}_{3p}\\ & & & ...& {\stackrel{\&OverBar;}{s}}_p^2\end{array}\right]---\left(9\right)$

用估计的样本均值向量和样本协方差矩阵代替实际加工过程的总体均值和方差；

此时的检验统计量为：

$T_i^2=n{({\stackrel{\&OverBar;}{X}}_i-\stackrel{=}{X})}^T{S}^{-1}({\stackrel{\&OverBar;}{X}}_i-\stackrel{=}{X})---\left(10\right)$

取第一类错误概率为α，则多元

控制图在分析阶段的控制限为：

$\mathrm{UCL}=\frac{p(m-1)(n-1)}{\mathrm{mn}-m-p+1}{F}_{\mathrm{\&alpha;},p,\mathrm{mn}-m-p+1},\mathrm{LCL}=0---\left(11\right)$

控制阶段的控制限为：

$\mathrm{UCL}=\frac{p(m-1)(n-1)}{\mathrm{mn}-m-p+1}{F}_{\mathrm{\&alpha;},p,\mathrm{mn}-m-p+1},\mathrm{LCL}=0---\left(12\right)$

当控制图上出现超出UCL的异常点时，控制图发出警报信号，表示过程发生异常。

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