CN102710363B - 一种改进的提高通信系统稳定性能的方法 - Google Patents

Abstract

一种改进的提高通信系统稳定性能的方法，属于通信技术领域。该方法步骤为：确定参数、确定优化问题、简化优化问题、引入松弛变量、化半无限限制条件为线性矩阵不等式、优化问题的最终形式、证明所求解为最优解、求得最优发送功率p_opt、输出最优发送功率p_opt。本发明方法是在考虑窃听信道的信道状态信息不完全可知，重新设计优化方案，从而提高保密通信的稳定性能。以实现在窃听信道状态信息未完全可知的情况下人工噪声协方差矩阵与传输波束成形向量联合优化设计，提高保密通信的稳健性。相比较于信道状态信息可知的情况，该方法在保障整个系统的稳定性上有着显著优势。

Description

一种改进的提高通信系统稳定性能的方法

技术领域

本发明涉及一种在窃听信道状态不完全确定的情况下，提高保密通信系统稳定性能的波束成形与人工噪声联合优化的方法，属于通信技术领域。

背景技术

由于无线通信设备的广播特性，保密性成为无线通信中最基本的问题。一直以来，保密通信都是通过使用密码系统实现的，像加密。另一方面，在信息理论角度，有很多研究证明，可以不添加密钥的情况下实现可靠地保密通信，即物理层安全。

物理层安全(physical-layer secrecy)是由Wyner从信息论角度首次提出的。实现物理层安全，主要是利用信道的物理特性，根据其物理特性，将所添加的人工噪声(artificial noise)变弊为利，在保证不影响主信道通信的条件下，尽可能的衰落窃听信道，使窃听端的信噪比尽可能的减小。添加人工噪声主要有两种方式：一是将人工噪声直接放在主信道的零空间内，这样不会影响主信道但却可衰减窃听信道，但是却未将其优化，功率分配不合理；另一种是将人工噪声协方差矩阵与传输波束成形向量联合优化，虽然算法相对复杂却可以合理地分配发射功率，“在存在窃听的情况下基于服务质量的传输波束成形：一种添加人工噪声的优化方法”【IEEE Trans,Signal Process.,vol.59,no.3,Mar.2011.】一文即属于此列。然而，在实际应用中，窃听端的具体位置（包括方向﹑远近）都不是具体可知的，即其信道状态信息(channel state information)对于发射端来说不完全可知，甚至完全不可知。所以，一切基于窃听信道状态信息完全可知的假设的研究，其背景过于理想化，对实际研究的意义不大。为此，以信道状态信息不确定为背景的研究也尤为重要。

发明内容

针对原人工噪声协方差矩阵与传输波束成形向量联合优化设计中背景因素不理想，本发明提出了一种基于信道状态信息不完全可知背景的联合优化设计方法。该方法是在原联合优化设计的基础上，考虑窃听信道的信道状态信息不完全可知，重新设计优化方案，从而提高保密通信的稳定性能。以实现在窃听信道状态信息未完全可知的情况下人工噪声协方差矩阵与传输波束成形向量联合优化设计，提高保密通信的稳健性。

本发明的技术解决方案如下：

一种改进的提高通信系统稳定性能的方法，用于通信系统中，该系统中有三种节点：发送端﹑接收端和窃听端，发送端欲向接收端发送保密信息，不愿让窃听端接收到任何有用信息，系统中有一个具有N根发射天线的发送端﹑一个具有一根天线的接收端和M个窃听端，每个窃听端配备一根天线；记发送端到接收端的信道为主信道，发送端到第m个窃听端的信道为第m个窃听信道，并设主信道和窃听信道都是无记忆的准静态衰落信道，信道矢量中元素均服从复高斯分布，且相互独立；记主信道的信道矢量为h＝[h₁ h₂ K h_N]^H，其中h_i,i∈[1,K,N]表示第i根发射天线到接收端的信道衰落因子；第m个窃听端信道矢量为g_e.m＝[g_m1 g_m2 K g_mN]^H,m＝1,K,M，同理，g_mi,i∈[1,K,N]表示由第i发射天线到第m个窃听端的第i根接收天线的信道衰落因子，且h,g_e，m∈￡^N，￡^N表示N维复数空间，上式表示h、g_e，m均包含于N维复数空间￡^N中；信道中的加性噪声n(t)、v_k(t)均假设为高斯白噪声，均值为0，方差为1；发送端发送的信号为x(t)＝ws(t)+z(t)，其中w为波束成形权重矢量，s(t)为要发送给合法接收端的保密信息，z(t)为由发送端产生的人工噪声，且服从均值为0，协方差矩阵为Σ的复高斯分布，即z(t):CN(0,Σ)，该方法步骤如下：

1）确定参数

估计主信道的信道矢量h和窃听信道的估计值信道加性噪声及保密通信速率r的值以及窃听信道不确定度Δg_m的边界值||Δg_m||₂≤ε_m，m＝1,K,M，其中||||₂为运算符号，表示求某矢量的二范数，ε_m表示主信道的信道偏移量幅度值的最大值，m表示窃听端的序号，M表示窃听端数目；

2）确定优化问题

由于发射信号由波束成形后的有用信号ws(t)和人工噪声z(t)组成，而信息信号s(t)的功率已被归一化，即E{|s(t)|²}＝1，所以发送功率记为P＝||w||²+Tr(Σ)，其中||w||²表示对波束成形矢量w求二范数后取平方，Tr(Σ)表示求人工噪声方差矩阵Σ的迹；

根据香农定理，最大传输信息速率其中B为带宽，为接收端信噪比，则在有窃听者存在的情况下，保密通信速率应为主信道的最大传输速率与窃听信道的最大传输速率的差值，即R_s=R_main-R_wiretap，其中，R_s为保密通信速率，R_main与R_wiretap分别为主信道的最大传输速率与窃听信道的最大传输速率；接收端与第m个窃听端的信噪比分别为和其中h^H和表示求其自身的转置，与分别表示主信道的加性噪声的方差和第m个窃听端的加性噪声的方差；

因此，保密通信速率表示为 $R_s={\log }_2(1+\frac{h^{H}w{w}^{H}h}{h^H\mathrm{\Σh}+{\mathrm{\σ}}_b^2})-{\log }_2(1+\frac{g_{e,m}^{H}w{w}^H{g}_{e,m}}{g_{e,m}^H\mathrm{\Σ}{g}_{e,m}+{\mathrm{\σ}}_{e,m}^2});$

我们以发送功率为目标函数，保密通信速率为限制条件，根据功率最小化原则，使目标函数最小化，即其中minimize是运算符号，意思为求解目标函数（minimize后的部分）的最小值；

以w和Σ为未知数的优化问题可表示为：

$\underset{w,\mathrm{\Σ}}{\min \mathrm{imize}}({\left|\right|w\left|\right|}^2+\mathrm{Tr}\left(\mathrm{\Σ}\right))$

$\mathrm{subject\; to}\underset{m=1,K,M}{\underset{g_{e,m}\∈B_{e,m}}{\underset{w,\mathrm{\Σ}}{\min \mathrm{imize}}}}{\log }_2(1+\frac{h^{H}w{w}^{H}h}{h^H\mathrm{\Σh}+{\mathrm{\σ}}_b^2})-{\log }_2(1+\frac{g_{e,m}^{H}w{w}^H{g}_{e,m}}{g_{e,m}^H\mathrm{\Σ}{g}_{e,m}+{\mathrm{\σ}}_{e,m}^2})\≥r,$

wf0,

Σf0

其中，subject to是运算符号，表示在约束式（subject to:后的部分）对w和Σ进行限制的条件，w为波束成形矢量；Σ为人工噪声方差矩阵；r为给定的保密通信速率目标值；第m条窃听信道的信道矢量为g_e，m∈B_e，m，B_e，m表示所有的信道可能性的集合，且窃听信道的信道矢量记为估计值与偏移量Δg_e，m之和，即wf0表示w内元素都大于等于零；Σf0表示Σ是一个半正定矩阵；

我们定义矩阵W＝ww^H，则接收端与第m个窃听端的信噪比分别变为为和上式可进一步表示为

$\underset{w,\mathrm{\Σ}}{\min \mathrm{imize}}\mathrm{Tr}\left(W\right)+\mathrm{Tr}\left(\mathrm{\Σ}\right)$

$\mathrm{subject\; to}\underset{m=1,K,M}{\underset{g_{e,m}\∈B_{e,m}}{\underset{w,\mathrm{\Σ}}{\min \mathrm{imize}}}}{\log }_2(1+\frac{h^H\mathrm{Wh}}{h^H\mathrm{\Σh}+{\mathrm{\σ}}_b^2})-{\log }_2(1+\frac{g_{e,m}^{H}W{g}_{e,m}}{g_{e,m}^H\mathrm{\Σ}{g}_{e,m}+{\mathrm{\σ}}_{e,m}^2})\≥r,---\left(1\right)$

Wf0,

Σf0

至此，我们得到所提以W和Σ为未知变量的优化问题模型，其中Tr(W)表示求矩阵W的迹；

3）简化优化问题

根据log函数的单调性，将log(A)-log(B)变为然后做去掉log处理，此处理不影响函数原单调性，所以问题(1)可以进一步简化为：

$\underset{w,\mathrm{\Σ}}{\min \mathrm{imize}}\mathrm{Tr}\left(W\right)+\mathrm{Tr}\left(\mathrm{\Σ}\right)$

$\mathrm{subject\; to}\underset{m=1,K,M}{\underset{g_{e,m}\∈B_{e,m}}{\min \mathrm{imize}}}\frac{1+\frac{h^H\mathrm{Wh}}{h^H\mathrm{\Σh}+{\mathrm{\σ}}_b^2}}{1+\frac{g_{e,m}^{H}W{g}_{e,m}}{g_{e,m}^H\mathrm{\Σ}{g}_{e,m}+{\mathrm{\σ}}_{e,m}^2}}\≥2^r,---\left(2\right)$

Wf0,

Σf0

4）引入松弛变量

引入松弛变量θ，松弛变量θ的作用是将(2)中的分式限制条件分离为两个整式限制条件，将问题(2)化为一个包含半无限限制条件的理论性的凸问题

$\underset{w,\mathrm{\Σ}}{\min \mathrm{imize}}\mathrm{Tr}\left(W\right)+\mathrm{Tr}\left(\mathrm{\Σ}\right)$

$\mathrm{subject\; to}\min \mathrm{imize}(1+\frac{h^H\mathrm{Wh}}{h^H\mathrm{\Σh}+{\mathrm{\σ}}_b^2})\≥\mathrm{\θ},$

$\underset{m=1,K,M}{\underset{g_{e,m}\∈B_{e,m}}{\max \mathrm{imize}}}(1+\frac{g_{e,m}^{H}W{g}_{e,m}}{g_{e,m}^H\mathrm{\Σ}{g}_{e,m}+{\mathrm{\σ}}_{e,m}^2})\≥2^{-r}\mathrm{\θ},---\left(3\right)$

Wf0,

Σf0

由于(3)包含半无限的限制条件，所以仍需进一步化简才能将原优化问题变成一个易解的凸问题；其中，maximize是运算符号，意思为求解目标函数（maximize后的部分）的最大值；

5）化半无限限制条件为线性矩阵不等式

利用S-Procedure原理，将(3)的半无限的限制条件变为线性矩阵不等式，即将该条件化为半定型限制条件；记γ_b＝θ-1，γ_e，m＝2^-rθ^-1，分别为合法接收端及各窃听端的信噪比门限值；为方便继续简化，将(3)化简为：

$\underset{w,\mathrm{\Σ}}{\min \mathrm{imize}}\mathrm{Tr}\left(W\right)+\mathrm{Tr}\left(\mathrm{\Σ}\right)$

$\mathrm{subject\; to}\underset{w,\mathrm{\Σ},r}{\min \mathrm{imize}}{h}^H(W-{\mathrm{\γ}}_b\mathrm{\Σ})h\≥{\mathrm{\γ}}_b{\mathrm{\σ}}_b^2,$

$\underset{m=1,K,M}{\underset{g_{e,m}\∈B_{e,m}}{\max \mathrm{imize}}}{g}_{e,m}^H(W-{\mathrm{\γ}}_{e,m}\mathrm{\Σ})g_{e,m}\≤{\mathrm{\γ}}_{e,m}{\mathrm{\σ}}_{e,m}^2,---\left(4\right)$

Wf0,

Σf0

半无限的限制条件为

$\underset{m=1,K,M}{\underset{g_{e,m}\∈B_{e,m}}{\max \mathrm{imize}}}{g}_{e,m}^H(W-{\mathrm{\γ}}_{e,m}\mathrm{\Σ})g_{e,m}\≥{\mathrm{\γ}}_{e,m}{\mathrm{\σ}}_{e,m}^2,$

通过S-Procedure变化将其化为

$T_{e,m}(X,{\mathrm{\λ}}_m)\stackrel{\mathrm{\Δ}}{=}\left(\begin{array}{cc}{\mathrm{\λ}}_{m}I-X& -X{\stackrel{\‾}{g}}_{e,m}\\ -{\stackrel{\‾}{g}}_{e,m}X& -{\mathrm{\λ}}_m{\mathrm{\ϵ}}_m^2-{\stackrel{\‾}{g}}_{e,m}^{H}X{\stackrel{\‾}{g}}_{e,m}+{\mathrm{\γ}}_{e,m}{\mathrm{\σ}}_{e,m}^2\end{array}\right)\underset{\‾}{f}0,$

T_e，m(X,λ_m)是一个线性不等式矩阵；

6）优化问题的最终形式

将S-Procedure变化后的条件代入，并记M＝W-γ_bΣ，X＝W-γ_e，mΣ，原问题最终可表示为

$\underset{w,\mathrm{\Σ}}{\min \mathrm{imize}}\mathrm{Tr}\left(W\right)+\mathrm{Tr}\left(\mathrm{\Σ}\right)$

$\mathrm{subject\; to}{h}^H\mathrm{Mh}\≥{\mathrm{\γ}}_b{\mathrm{\σ}}_b^2,$

T_e，m(X,λ_m)f0,        (5)

Wf0,

Σf0

上述问题是一个以W和Σ为变量的标准凸问题，可以通过内点法进行求解，其输出结果为符合优化问题的矩阵W与方差Σ；

7）证明所求解为最优解

利用KKT(Karush-Kuhn-Tucker)条件证明所求解W的秩为1，即rank(W)=1，则所求解W＝W^*，W^*表示最优解；

8）求得最优发送功率p_opt

由最优解W^*，Σ^*，计算最优发送功率，，计算发送功率表达式为：

p_opt＝Tr(W^*)+Tr(Σ^*)；

其中，Tr(W^*)和Tr(Σ^*)分别表示求矩阵W^*和矩阵Σ^*的迹；

9）输出最优发送功率p_opt。

上述maximize与minimize都是运算符号，意思为求解目标函数（maximize或minimize后的部分）的最大值或最小值；

上述subject to是运算符号，表示在约束式（subject to:后的部分）对变量w进行限制的条件；

上述Tr是运算符号，表示求约束式（Tr:后的部分）的迹；

上述rank是运算符号，表示求约束式（rank:后的部分）的秩；

上述内点法是从可行域内某一初始内点出发，在可行域内进行迭代的序列极小化方法，它仅用于求解不等式约束优化问题；（S.Boyd和L.Vandenberghe的【凸优化】，剑桥出版社，2004。）

上述S-Procedure原理为：令其中Re是运算符，意为求解目标函数（Re后的部分）的实数部分，k表达式下标。如果存在点x满足且则存在参数μ≥0，使表达式 $\mathrm{\μ}\left[\begin{array}{cc}{A}_1& b_1\\ b_1^H& c_1\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}{A}_2& b_2\\ b_2^H& c_2\end{array}\right]\underset{\‾}{f}0,$ 成立，其中 $\left[\begin{array}{cc}{A}_1& b_1\\ b_1^H& c_1\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}{A}_2& b_2\\ b_2^H& c_2\end{array}\right]$ 分别表示以A₁、b₁、c₁，A₂、b₂、c₂为元素的矩阵，；A₁、A₂、b₁、b₂、c₁、c₂分别为表达式的系数，Af0表示矩阵A为一半正定矩阵；（S.Boyd和L.Vandenberghe的【凸优化】，剑桥出版社，2004。）

上述KKT(Karush-Kuhn-Tucker)条件是由Karush、Kuhn、Tucker分别单独提出的，用于求解非线性规划问题的最优解。

本发明提出的在窃听信道的信道状态信息不完全可知的情况下，波束成形矢量与人工噪声协方差矩阵联合优化的设计下求解最有发射功率的方法，是通过将目标问题转化为一个易于求解的凸优化问题，能够以较高的精度得出在波束成形矢量与人工噪声协方差矩阵联合优化设计中窃听信道的信道状态信息不完全可知时实现可靠保密通信的最优发送功率值。本发明的意义在于相比较于假设信道状态信息完全可知的情况，该方法更具有实际意义；而相比较于信道状态信息可知的情况，该方法在保障整个系统的系统稳定性方面有着显著优势。

附图说明

图1是本发明方法的流程框图。其中1）-9）为其中的各个步骤。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明做进一步说明，但不限于此。

实施例：

本发明方法实施例如图1所示，用于通信系统中，该系统中有三种节点：发送端﹑接收端和窃听端，发送端欲向接收端发送保密信息，不愿让窃听端接收到任何有用信息，系统中有一个具有N根发射天线的发送端﹑一个具有一根天线的接收端和M个窃听端，每个窃听端配备一根天线；记发送端到接收端的信道为主信道，发送端到第m个窃听端的信道为第m个窃听信道，并设主信道和窃听信道都是无记忆的准静态衰落信道，信道矢量中元素均服从复高斯分布，且相互独立；记主信道的信道矢量为h＝[h₁ h₂ K h_N]^H，其中h_i，i∈[1,K,N]表示第i根发射天线到接收端的信道衰落因子；第m个窃听端信道矢量为g_e.m＝[g_m1 g_m2 K g_mN]^H,m＝1,K,M，同理，g_mi,i∈[1,K,N]表示由第i发射天线到第m个窃听端的第i根接收天线的信道衰落因子，且h,g_e，m∈￡^N，￡^N表示N维复数空间，上式表示h、g_e，m均包含于N维复数空间￡^N中；信道中的加性噪声n(t)、v_k(t)均假设为高斯白噪声，均值为0，方差为1；发送端发送的信号为x(t)＝ws(t)+z(t)，其中w为波束成形权重矢量，s(t)为要发送给合法接收端的保密信息，z(t)为由发送端产生的人工噪声，且服从均值为0，协方差矩阵为Σ的复高斯分布，即z(t):CN(0,Σ)，该方法步骤如下：

1）确定参数

估计主信道的信道矢量h和窃听信道的估计值信道加性噪声及保密通信速率r的值以及窃听信道不确定度Δg_m的边界值||Δg_m||₂≤ε_m，m＝1,K,M，其中||||₂为运算符号，表示求某矢量的二范数，ε_m表示主信道的信道偏移量幅度值的最大值，m表示窃听端的序号，M表示窃听端数目；

2）确定优化问题

由于发射信号由波束成形后的有用信号ws(t)和人工噪声z(t)组成，而信息信号s(t)的功率已被归一化，即E{|s(t)|²}＝1，所以发送功率记为P＝||w||²+Tr(Σ)，其中||w||²表示对波束成形矢量w求二范数后取平方，Tr(Σ)表示求人工噪声方差矩阵Σ的迹；

根据香农定理，最大传输信息速率其中B为带宽，为接收端信噪比，则在有窃听者存在的情况下，保密通信速率应为主信道的最大传输速率与窃听信道的最大传输速率的差值，即R_s=R_main-R_wiretap，其中，R_s为保密通信速率，R_main与R_wiretap分别为主信道的最大传输速率与窃听信道的最大传输速率；接收端与第m个窃听端的信噪比分别为和其中h^H和表示求其自身的转置，与分别表示主信道的加性噪声的方差和第m个窃听端的加性噪声的方差；

因此，保密通信速率表示为 $R_s={\log }_2(1+\frac{h^{H}w{w}^{H}h}{h^H\mathrm{\Σh}+{\mathrm{\σ}}_b^2})-{\log }_2(1+\frac{g_{e,m}^{H}w{w}^H{g}_{e,m}}{g_{e,m}^H\mathrm{\Σ}{g}_{e,m}+{\mathrm{\σ}}_{e,m}^2});$

我们以发送功率为目标函数，保密通信速率为限制条件，根据功率最小化原则，使目标函数最小化，即其中minimize是运算符号，意思为求解目标函数（minimize后的部分）的最小值；

以w和Σ为未知数的优化问题可表示为：

$\underset{w,\mathrm{\Σ}}{\min \mathrm{imize}}({\left|\right|w\left|\right|}^2+\mathrm{Tr}\left(\mathrm{\Σ}\right))$

$\mathrm{subject\; to}\underset{m=1,K,M}{\underset{g_{e,m}\∈B_{e,m}}{\underset{w,\mathrm{\Σ}}{\min \mathrm{imize}}}}{\log }_2(1+\frac{h^{H}w{w}^{H}h}{h^H\mathrm{\Σh}+{\mathrm{\σ}}_b^2})-{\log }_2(1+\frac{g_{e,m}^{H}w{w}^H{g}_{e,m}}{g_{e,m}^H\mathrm{\Σ}{g}_{e,m}+{\mathrm{\σ}}_{e,m}^2})\≥r,$

wf0,

Σf0

其中，subject to是运算符号，表示在约束式（subject to:后的部分）对w和Σ进行限制的条件，w为波束成形矢量；Σ为人工噪声方差矩阵；r为给定的保密通信速率目标值；第m条窃听信道的信道矢量为g_e，m∈B_e，m，B_e，m表示所有的信道可能性的集合，且窃听信道的信道矢量记为估计值与偏移量Δg_e，m之和，即wf0表示w内元素都大于等于零；Σf0表示Σ是一个半正定矩阵；

我们定义矩阵W＝ww^H，则接收端与第m个窃听端的信噪比分别变为为和上式可进一步表示为

$\underset{w,\mathrm{\Σ}}{\min \mathrm{imize}}\mathrm{Tr}\left(W\right)+\mathrm{Tr}\left(\mathrm{\Σ}\right)$

$\mathrm{subject\; to}\underset{m=1,K,M}{\underset{g_{e,m}\∈B_{e,m}}{\underset{w,\mathrm{\Σ}}{\min \mathrm{imize}}}}{\log }_2(1+\frac{h^H\mathrm{Wh}}{h^H\mathrm{\Σh}+{\mathrm{\σ}}_b^2})-{\log }_2(1+\frac{g_{e,m}^{H}W{g}_{e,m}}{g_{e,m}^H\mathrm{\Σ}{g}_{e,m}+{\mathrm{\σ}}_{e,m}^2})\≥r,---\left(1\right)$

Wf0,

Σf0

至此，我们得到所提以W和Σ为未知变量的优化问题模型，其中Tr(W)表示求矩阵W的迹；

3）简化优化问题

根据log函数的单调性，将log(A)-log(B)变为然后做去掉log处理，此处理不影响函数原单调性，所以问题(1)可以进一步简化为：

$\underset{w,\mathrm{\Σ}}{\min \mathrm{imize}}\mathrm{Tr}\left(W\right)+\mathrm{Tr}\left(\mathrm{\Σ}\right)$

$\mathrm{subject\; to}\underset{m=1,K,M}{\underset{g_{e,m}\∈B_{e,m}}{\min \mathrm{imize}}}\frac{1+\frac{h^H\mathrm{Wh}}{h^H\mathrm{\Σh}+{\mathrm{\σ}}_b^2}}{1+\frac{g_{e,m}^{H}W{g}_{e,m}}{g_{e,m}^H\mathrm{\Σ}{g}_{e,m}+{\mathrm{\σ}}_{e,m}^2}}\≥2^r,---\left(2\right)$

Wf0,

Σf0

4）引入松弛变量

引入松弛变量θ，松弛变量θ的作用是将(2)中的分式限制条件分离为两个整式限制条件，将问题(2)化为一个包含半无限限制条件的理论性的凸问题

$\underset{w,\mathrm{\Σ}}{\min \mathrm{imize}}\mathrm{Tr}\left(W\right)+\mathrm{Tr}\left(\mathrm{\Σ}\right)$

$\mathrm{subject\; to}\min \mathrm{imize}(1+\frac{h^H\mathrm{Wh}}{h^H\mathrm{\Σh}+{\mathrm{\σ}}_b^2})\≥\mathrm{\θ},$

$\underset{m=1,K,M}{\underset{g_{e,m}\∈B_{e,m}}{\max \mathrm{imize}}}(1+\frac{g_{e,m}^{H}W{g}_{e,m}}{g_{e,m}^H\mathrm{\Σ}{g}_{e,m}+{\mathrm{\σ}}_{e,m}^2})\≥2^{-r}\mathrm{\θ},---\left(3\right)$

Wf0,

Σf0

由于(3)包含半无限的限制条件，所以仍需进一步化简才能将原优化问题变成一个易解的凸问题；其中，maximize是运算符号，意思为求解目标函数（maximize后的部分）的最大值；

5）化半无限限制条件为线性矩阵不等式

利用S-Procedure原理，将(3)的半无限的限制条件变为线性矩阵不等式，即将该条件化为半定型限制条件；记γ_b＝θ-1，γ_e，m＝2^-rθ^-1，分别为合法接收端及各窃听端的信噪比门限值；为方便继续简化，将(3)化简为：

$\underset{w,\mathrm{\Σ}}{\min \mathrm{imize}}\mathrm{Tr}\left(W\right)+\mathrm{Tr}\left(\mathrm{\Σ}\right)$

$\mathrm{subject\; to}\underset{w,\mathrm{\Σ},r}{\min \mathrm{imize}}{h}^H(W-{\mathrm{\γ}}_b\mathrm{\Σ})h\≥{\mathrm{\γ}}_b{\mathrm{\σ}}_b^2,$

$\underset{m=1,K,M}{\underset{g_{e,m}\∈B_{e,m}}{\max \mathrm{imize}}}{g}_{e,m}^H(W-{\mathrm{\γ}}_{e,m}\mathrm{\Σ})g_{e,m}\≤{\mathrm{\γ}}_{e,m}{\mathrm{\σ}}_{e,m}^2,---\left(4\right)$

Wf0,

Σf0

半无限的限制条件为

$\underset{m=1,K,M}{\underset{g_{e,m}\∈B_{e,m}}{\max \mathrm{imize}}}{g}_{e,m}^H(W-{\mathrm{\γ}}_{e,m}\mathrm{\Σ})g_{e,m}\≥{\mathrm{\γ}}_{e,m}{\mathrm{\σ}}_{e,m}^2,$

通过S-Procedure变化将其化为

$T_{e,m}(X,{\mathrm{\λ}}_m)\stackrel{\mathrm{\Δ}}{=}\left(\begin{array}{cc}{\mathrm{\λ}}_{m}I-X& -X{\stackrel{\‾}{g}}_{e,m}\\ -{\stackrel{\‾}{g}}_{e,m}X& -{\mathrm{\λ}}_m{\mathrm{\ϵ}}_m^2-{\stackrel{\‾}{g}}_{e,m}^{H}X{\stackrel{\‾}{g}}_{e,m}+{\mathrm{\γ}}_{e,m}{\mathrm{\σ}}_{e,m}^2\end{array}\right)\underset{\‾}{f}0,$

T_e，m(X,λ_m)是一个线性不等式矩阵；

6）优化问题的最终形式

将S-Procedure变化后的条件代入，并记M＝W-γ_bΣ，X＝W-γ_e，mΣ，原问题最终可表示为

$\underset{w,\mathrm{\Σ}}{\min \mathrm{imize}}\mathrm{Tr}\left(W\right)+\mathrm{Tr}\left(\mathrm{\Σ}\right)$

$\mathrm{subject\; to}{h}^H\mathrm{Mh}\≥{\mathrm{\γ}}_b{\mathrm{\σ}}_b^2,$

T_e，m(X,λ_m)f0,       (5)

Wf0,

Σf0

上述问题是一个以W和Σ为变量的标准凸问题，可以通过内点法进行求解，其输出结果为符合优化问题的矩阵W与方差Σ；

7）证明所求解为最优解

利用KKT(Karush-Kuhn-Tucker)条件证明所求解W的秩为1，即rank(W)=1，则所求解W＝W^*，W^*表示最优解；

8）求得最优发送功率p_opt

由最优解W^*，Σ^*，计算最优发送功率，，计算发送功率表达式为：

p_opt＝Tr(W^*)+Tr(Σ^*)；

其中，Tr(W^*)和Tr(Σ^*)分别表示求矩阵W^*和矩阵Σ^*的迹；

9）输出最优发送功率p_opt。

Claims (1)

1.一种改进的提高通信系统稳定性能的方法，用于通信系统中，该系统中有三种节点：发送端﹑接收端和窃听端，发送端欲向接收端发送保密信息，不愿让窃听端接收到任何有用信息，系统中有一个具有N根发射天线的发送端﹑一个具有一根天线的接收端和M个窃听端，每个窃听端配备一根天线；记发送端到接收端的信道为主信道，发送端到第m个窃听端的信道为第m个窃听信道，并设主信道和窃听信道都是无记忆的准静态衰落信道，信道矢量中元素均服从复高斯分布，且相互独立；记主信道的信道矢量为h＝[h₁ h₂...h_N]^H，其中h_i,i∈[1,...,N]表示第i根发射天线到接收端的信道衰落因子；第m个窃听端信道矢量为g_e.m＝[g_m1g_m2...g_mN]^H,m＝1,...,M，同理，g_mi,i∈[1,...,N]表示由第i发射天线到第m个窃听端的第i根接收天线的信道衰落因子，且h,g_e,m∈￡^N，￡^N表示N维复数空间，上式表示h、g_e,m均包含于N维复数空间￡^N中；信道中的加性噪声n(t)、v_k(t)均假设为高斯白噪声，均值为0，方差为1；发送端发送的信号为x(t)＝ws(t)+z(t)，其中w为波束成形权重矢量，s(t)为要发送给合法接收端的保密信息，z(t)为由发送端产生的人工噪声，且服从均值为0，协方差矩阵为Σ的复高斯分布，即z(t) :CN(0,Σ)，该方法步骤如下： 

1）确定参数 

估计主信道的信道矢量h和窃听信道的估计值信道加性噪声及保密通信速率r的值以及窃听信道不确定度Δg_m的边界值||Δg_m||₂≤ε_m,m＝1,...,M，其中||||₂为运算符号，表示求某矢量的二范数，ε_m表示主信道的信道偏移量幅度值的最大值，m表示窃听端的序号，M表示窃听端数目； 

2）确定优化问题 

由于发射信号由波束成形后的有用信号ws(t)和人工噪声z(t)组成，而信息信号s(t)的功率已被归一化，即E{|s(t)|²}＝1，所以发送功率记为P＝||w||²+Tr(Σ)，其中||w||²表示对波束成形矢量w求二范数后取平方，Tr(Σ)表示求人工噪声方差矩阵Σ的迹； 

根据香农定理，最大传输信息速率其中B为带宽，为接收端信噪比，则在有窃听者存在的情况下，保密通信速率应为主信道的最大传输速率与窃听信道的最大传输速率的差值，即R_s=R_main-R_wiretap，其中，R_s为保密通信速率，R_main与R_wiretap分别为主信道的最大传输速率与窃听信道的最大传输速率；接收端与第m个窃听端的信噪比分别为 和其中h^H和表示求其自身的转置，与分别表示主信道的加性噪声的方差和第m个窃听端的加性噪声的方差； 

因此，保密通信速率表示为

我们以发送功率为目标函数，保密通信速率为限制条件，根据功率最小化原则，使目标函数最小化，即其中minimize是运算符号，意思为求解目标函数的最小值； 

以w和Σ为未知数的优化问题可表示为： 

w≥0, 

Σ≥0 

其中，subject to是运算符号，表示在约束式对w和Σ进行限制的条件，w为波束成形矢量；Σ为人工噪声方差矩阵；r为给定的保密通信速率目标值；第m条窃听信道的信道矢量为g_e,m∈B_e,m,B_e,m表示所有的信道可能性的集合，且窃听信道的信道矢量记为估计值与偏移量Δg_e,m之和，即w≥0表示w内元素都大于等于零；Σ≥0表示Σ是一个半正定矩阵； 

我们定义矩阵W＝ww^H，则接收端与第m个窃听端的信噪比分别变为和 上式可进一步表示为 

W≥0, 

Σ≥0 

至此，我们得到所提以W和Σ为未知变量的优化问题模型，其中Tr(W)表示求矩阵W的迹； 

3）简化优化问题 

根据log函数的单调性，将log(A)-log(B)变为然后做去掉log处理，此处理不影响函数原单调性，所以问题(1)可以进一步简化为： 

W≥0, 

Σ≥0 

4）引入松弛变量 

引入松弛变量θ，松弛变量θ的作用是将(2)中的分式限制条件分离为两个整式限制条件，将问题(2)化为一个包含半无限限制条件的理论性的凸问题 

W≥0, 

Σ≥0 

由于(3)包含半无限的限制条件，所以仍需进一步化简才能将原优化问题变成一个易解的凸问题；其中，maximize是运算符号，意思为求解目标函数的最大值； 

5）化半无限限制条件为线性矩阵不等式 

利用S-Procedure原理，将(3)的半无限的限制条件变为线性矩阵不等式，即将该条件化为半定型限制条件；记γ_b＝θ-1，γ_e,m＝2^-rθ-1，分别为合法接收端及各窃听端的信噪比门限值；为方便继续简化，将(3)化简为： 

W≥0, 

Σ≥0 

半无限的限制条件为 

通过S-Procedure变化将其化为 

T_e,m(X,λ_m)是一个线性不等式矩阵； 

6）优化问题的最终形式 

将S-Procedure变化后的条件代入，并记M＝W-γ_bΣ，X＝W-γ_e,mΣ，原问题最终可表示 为 

T_e,m(X,λ_m)≥0,             (5) 

W≥0, 

Σ≥0 

上述问题是一个以W和Σ为变量的标准凸问题，可以通过内点法进行求解，其输出结果为符合优化问题的矩阵W与方差Σ； 

7）证明所求解为最优解 

利用KKT条件证明所求解W的秩为1，即rank(W)=1，则所求解W＝W^*，W^*表示最优解； 

8）求得最优发送功率p_opt

由最优解W^*，Σ^*，计算最优发送功率，计算发送功率表达式为： 

p_opt＝Tr(W^*)+Tr(Σ^*)； 

其中，Tr(W^*)和Tr(Σ^*)分别表示求矩阵W^*和矩阵Σ^*的迹； 

9）输出最优发送功率p_opt。