CN102708297A - 任意分支结构的动力学预报方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供的是一种任意分支结构的动力学预报方法。（1）选择主传递路径：对于包含任意分支结构的系统，首先选择一条由一个边界端至另一个边界端的链式主传递路径；（2）建立各分支点模型：通过“吸收”各子分支的影响，建立主传递路径上各分支点前后两端状态向量间的模型；（3）建立整体模型：由主传递路径上各场传递元件及点元件的排列次序，建立始、末两端状态向量间的整体模型；（4）结构动力学问题预报：引入边界条件及外部作用力为定解条件，应用传递矩阵方法预报链式系统的动力学问题。本发明适用范围广；实现过程简便，非常有利于编程计算；预报精度高，整个求解过程不会导致变量自由度数的增加，保证了较高的预报效率。

Description

任意分支结构的动力学预报方法

技术领域

本发明涉及一种任意分支结构的预报方法，特别是一种用于包含任意分支的梁、管等一维弹性结构动力学问题的预报方法。

背景技术

任意分支结构在建筑及船舶管路系统中普遍存在，对任意分支结构的动力学预报也存在较多的方法，传递矩阵方法因其具有涉及变量自由度少、求解简便快捷等优点，成为求解链式结构动力学问题的常用方法，在求解梁或管结构动力学、管内声传播及管路系统流固耦合等问题时有较多应用。然而目前此方法尚难以应用于复杂结构中，原因之一是传统方法难以解决包含多个分支结构系统的动力学问题。

用传递矩阵法求解不含分支结构的链式系统动力学问题的基本步骤是首先将整个系统分成多个点或线单元，然后建立每个单元的传递矩阵，进而建立始、末两端状态向量间的总传递矩阵，最后根据两端边界条件及其它定解条件求解。然而对于分支结构，由于分支点处任意两子分支端的状态向量的传递关系还取决于其它子分支而不能直接确定，因此无法直接进行求解。

倪振华(倪振华，振动力学，西安：西安交通大学出版社，1989)在应用传递矩阵法求解带有分支的圆盘扭振系统的动力学问题时提出了一种吸收传递矩阵方法，即选择一部分链式结构作为主传递系统，其它分支作为分系统，只要“吸收”分系统对主系统的影响，即可推导出主系统上分支点两侧状态向量的传递关系，但倪法没有建立多分支结构分支点两侧扭振状态向量间传递矩阵的一般形式，对于任意分支结构仍需分别推导求解。

于百胜等人(于百胜，郑钢铁，杜华军，分叉结构系统传递矩阵计算方法，振动与冲击，2002,22(1):93–95.)提出了一种使用传递矩阵法计算分叉结构动特性的方法，他们提出的解法较传统解法变量自由度数更少，但推导与求解过程过于繁琐，也不便推广。

传统的解决方法是将多端的状态向量组合在一起组成新的维数众多的状态向量，再推导建立新的状态向量间的传递关系，这不仅导致自由度数随分支个数的增加而成倍增加，而且对于不同分支结构并无统一的求解方式，均需通过公式推导求解，推导过程又往往很繁琐，这些原因导致传递矩阵法的应用受到了较大的限制。

发明内容

本发明的目的是提供一种更为简单、通用性强的任意分支结构的动力学预报方法。

本发明的目的是这样实现的：

（1）选择主传递路径

对于包含任意分支结构的系统，首先选择一条由一个边界端至另一个边界端的链式主传递路径；

（2）建立各分支点模型

通过“吸收”各子分支的影响，建立主传递路径上各分支点前后两端状态向量间的模型；

（3）建立整体模型

由主传递路径上各场传递元件及点元件的排列次序，建立始、末两端状态向量间的整体模型；

（4）结构动力学问题预报

引入边界条件及外部作用力为定解条件，应用传递矩阵方法预报链式系统的动力学问题。

本发明的模型建立与预报算法简便，可直接确定含任意子分支个数的分支点处任意两端状态向量的模型的一般形式，适用范围广；分支点处的传递矩阵为多个形式相似的子矩阵相加的形式，实现过程简便，非常有利于编程计算；预报精度高（如图6所示），整个求解过程不会导致变量自由度数的增加，保证了较高的预报效率。

本发明更为简单、通用性强，扩大动力学预报方法的应用范围。

附图说明

图1为任意分支结构的动力学预报步骤框图。

图2为任意单点分支结构示意图。

图3为T型管示意图。

图4为两T型管频域响应预报结果。

图5为两分支示意图。

图6(a)-图6(d)为本发明预报与ANSYS仿真的分支各阶振型比较，其中图6(a)是管1第1、3阶固有振型；图6(b)是管2、管3第10阶固有振型；图6(c)是管4第3、4阶固有振型；图6(d)是管5、管6第8阶固有振型。

具体实施方式

下面结合附图举例对本发明做更详细地描述：

任意分支结构的动力学预报方法，是基于传递矩阵方法实现任意分支结构的动力学预报和优化设计的。

本发明的预测分析方法含有以下步骤：

（1）确定主传递路径

对于包含任意分支结构的系统，首先选择一条由一个边界端至另一个边界端的链式主传递路径。如图2所示，对于多分支管路，主传递路径有多种选择方式（即，图2中1与2-N的任意支管都可以选为主传递路径），虽然每一种选择方式对结构同一点的预报结果是一样的，但最佳的主传递途径应满足：

a.主传递途径包含预报位置；

b.预报位置与主传递途径的首端或末端距离最短。

（2）建立各分支点预报模型

通过“吸收”各子分支的影响，建立主传递路径上各分支点前后两端状态向量间的预报模型。处理方式如公式1所示：

Φ₁=U_PΦ₂                            (1)

式中：

Φ₁和Φ₂分别为主传递路径上分支前端和后端的状态向量，该状态向量由结构的振动速度、力和力矩等表征结构动力学特征的变量组成；

$U_P=P_1^{-1}[P_2+P_3{H}_3^{-1}T+\·\·\·+P_n{H}_n^{-1}T]$ 为链式主传递路径上分支点两端状态向量间的传递矩阵，通过

“吸收”各分支系统对主传递系统的影响。

其中，P是由分支点处力与力矩的平衡条件以及速度和角速度的互等条件组成的矩阵；H是由分支结构与其末端之间的场传递矩阵和分支结构末端边界条件组成的矩阵；在P和H中，下标“1,2,...,n”为分支编号，上标“-1”表示矩阵的逆。

如果在非主传递路径上的某一子分支上包含分支结构，则可以在此子分支上选择另一传递路径，以首先确定子分支路径上变量传递矩阵（U_n）的形式。

（3）整体预报模型

主传递路径和分支点预报模型建立后，按下述步骤建立整体预报模型：

①根据结构特点，将主传递路径划分成多个子结构，并“吸收”各分支系统的影响；

②建立主传递路径上除分支外的其余结构的传递矩阵模型；

③根据主传递路径上各场传递元件及点元件的排列次序，建立始、末两端状态向量间的整体预报模型。

（4）结构动力学问题预报

引入边界条件及外部作用力等定解条件，应用传递矩阵方法预报多分支系统的动力学问题。预报内容包括频域响应预报、固有频率预报和结构振型预报。

频域响应预报

任意分支结构的固有特性由始、末两端的边界条件以及始端与末端的整体传递矩阵方程（方程（2））共同确定。

Φ_start=U_totalΦ_end                （2）

式中，Φ_start为始端状态向量；Φ_end为末端状态向量；U_total整体传递矩阵，他等于从第一个结构元件到第N个元件的场传递矩阵（U）和点传递矩阵（P）依次相乘，即U_total＝U₁·P₂·U₃…P_N-1·U_N，下标“1,2,...,n”为该分支上的结构单元编号。

如图3所示，以激励结构端部为例，若激励矩阵用F表示，利用边界条件矩阵（D），可以得到管路始端、末端向量的关系如下：

${\left[\begin{array}{c}D\\ U_{\mathrm{total}}\end{array}\right]}_{28\×28}{\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{start}}\\ {\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{end}}\end{array}\right\}}_{28\×1}={\left\{\begin{array}{c}F\\ 0\end{array}\right\}}_{28\×1}---\left(3\right)$

方程（3）中的下标表示矩阵的维数，利用（3）式可以求解始、末端各量的频域响应，并由考察点与始、末端状态向量间的传递关系可确定其他关注位置的频域响应。

固有频率预报

在求解固有特性时，传统的方法是通过寻找频域响应的共振峰来判断，计算如图4和表1所示，但计算略为繁琐；对无需预报响应的工程，本发明推荐通过求解方程（3）中的系数矩阵行列式值为0的方法计算固有频率，处理方式如下：

对于自由振动，方程（3）等号右边为0，则Φ_start和Φ_end存在非零解的条件是系数矩阵的行列式值为0，即：

$\left|\begin{array}{c}D\\ U_{\mathrm{total}}\end{array}\right|=0---\left(4\right)$

由此获得系统的各阶固有频率。计算结果如表2所示。

结构振型预报

将各阶固有频率分别代入（3）式的系数矩阵，形成非满秩矩阵，零特征值对应的特征向量为相应各阶固有振型始、末端状态向量中非零变量的一组值，由各点与始、末端状态向量间的传递关系可确定其余点状态向量的值，提取各点变量，即可得到各阶固有频率相应的固有振型，如图6所示。

实施例1：

如图3所示，自由放置，端部密封的T形充水管路流固耦合系统。其中各段直管内径均为d＝52mm、壁厚为δ＝3.945mm，管道结构材料的泊淞比为μ＝0.29，密度为ρ＝7800kg/m³，杨氏模量为E＝168GPa。管内水的密度为ρ_f＝999kg/m³，体积弹性模量K＝2.14GPa。T形管接受激励端堵头的质量为m₀＝1.312kg，其余两端堵头质量均为m₁＝0.3258kg。

应用本发明预报由一密封端外部施加一单位轴向激励得到的另外两个封闭端流体压力的频响曲线如图4所示，图中峰值频率为系统的固有频率。前4阶固有频率求解结果如表1所示。

表1：T形分支管路系统固有频率求解结果Hz

实施例2：

如图5所示的结构，各直管内径为d＝0.2m、壁厚为δ＝0.01m，各端部边界为固支条件。管道结构材料的泊淞比为μ＝0.3，杨氏模量为E＝210GPa，密度为ρ＝7800kg/m³。各段直管采用Timoshenko梁模型，应用本发明预报的系统固有频率的结果与Ansys beam188单元梁模型仿真结果比较如表2所示，部分管段的部分固有振型求解结果比较如图6。

表2：三分支管系统固有频率求解结果        Hz

通过本发明在以上例子的实施结果可以看出，本发明可用于管道流固耦合问题频域响应预报（实施例1）。新发明的预报方法求解分支结构系统固有振动特性的结果与Ansys梁模型仿真结果吻合良好，进一步验证了本发明在分支结构动力学预报的正确性。

Claims (9)

1.一种任意分支结构的动力学预报方法，其特征是：

（1）选择主传递路径

对于包含任意分支结构的系统，首先选择一条由一个边界端至另一个边界端的链式主传递路径；

（2）建立各分支点模型

通过“吸收”各子分支的影响，建立主传递路径上各分支点前后两端状态向量间的模型；

（3）建立整体模型

由主传递路径上各场传递元件及点元件的排列次序，建立始、末两端状态向量间的整体模型；

（4）结构动力学问题预报

引入边界条件及外部作用力为定解条件，应用传递矩阵方法预报链式系统的动力学问题。

2.根据权利要求1所述的任意分支结构的动力学预报方法，其特征是所述主传递途径应满足：

a.主传递途径包含预报位置；

b.预报位置与主传递途径的首端或末端距离最短。

3.根据权利要求1或2所述的任意分支结构的动力学预报方法，其特征是所述建立各分支点模型为：

Φ₁=U_PΦ₂

其中：

Φ₁和Φ₂分别为主传递路径上分支前端和后端的状态向量，该状态向量由结构的振动速度、力和力矩等表征结构动力学特征的变量组成；

$U_P=P_1^{-1}[P_2+P_3{H}_3^{-1}T+\·\·\·+P_n{H}_n^{-1}T]$ 为链式主传递路径上分支点两端状态向量间的传递矩阵，通过

“吸收”各分支系统对主传递系统的影响；

其中，P是由分支点处力与力矩的平衡条件以及速度和角速度的互等条件组成的矩阵；H是由分支结构与其末端之间的场传递矩阵和分支结构末端边界条件组成的矩阵；在P和H中，下标“1,2,...,n”为分支编号，上标“-1”表示矩阵的逆。

4.根据权利要求1或2所述的任意分支结构的动力学预报方法，其特征是所述建立整体模型的方法为：

①根据结构特点，将主传递路径划分成多个子结构，并“吸收”各分支系统的影响；

②建立主传递路径上除分支外的其余结构的传递矩阵模型；

③根据主传递路径上各场传递元件及点元件的排列次序，建立始、末两端状态向量间的整体预报模型。

5.根据权利要求3所述的任意分支结构的动力学预报方法，其特征是所述建立整体模型的方法为：

①根据结构特点，将主传递路径划分成多个子结构，并“吸收”各分支系统的影响；

②建立主传递路径上除分支外的其余结构的传递矩阵模型；

③根据主传递路径上各场传递元件及点元件的排列次序，建立始、末两端状态向量间的整体预报模型。

6.根据权利要求1或2所述的任意分支结构的动力学预报方法，其特征是所述结构动力学问题预报包括频域响应预报、固有频率预报和结构振型预报；

（1）频域响应预报

任意分支结构的固有特性由始、末两端的边界条件以及始端与末端的整体传递矩阵方程Φ_start=U_totalΦ_end共同确定，

其中，Φ_start为始端状态向量；Φ_end为末端状态向量；U_total整体传递矩阵，等于从第一个结构元件到第N个元件的场传递矩阵U和点传递矩阵P依次相预，即U_total＝U₁·P₂·U₃…P_N-1·U_N，下标“1,2,...，n”为该分支上的结构单元编号；

在激励结构端部，若激励矩阵用F表示，利用边界条件矩阵D，得到管路始端、末端向量的关系如下：

${\left[\begin{array}{c}D\\ U_{\mathrm{total}}\end{array}\right]}_{28\×28}{\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{start}}\\ {\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{end}}\end{array}\right\}}_{28\×1}={\left\{\begin{array}{c}F\\ 0\end{array}\right\}}_{28\×1}$

其中的下标表示矩阵的维数，利用 ${\left[\begin{array}{c}D\\ U_{\mathrm{total}}\end{array}\right]}_{28\×28}{\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{start}}\\ {\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{end}}\end{array}\right\}}_{28\×1}={\left\{\begin{array}{c}F\\ 0\end{array}\right\}}_{28\×1}$ 式求解始、末端各量的频域响应，并由考察点与始、末端状态向量间的传递关系确定其他关注位置的频域响应；

（2）固有频率预报

对于自由振动，方程 ${\left[\begin{array}{c}D\\ U_{\mathrm{total}}\end{array}\right]}_{28\×28}{\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{start}}\\ {\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{end}}\end{array}\right\}}_{28\×1}={\left\{\begin{array}{c}F\\ 0\end{array}\right\}}_{28\×1}$ 等号右边为0，则Φ_start和Φ_end存在非零解的条件是系数矩阵的行列式值为0，即：

$\left|\begin{array}{c}D\\ U_{\mathrm{total}}\end{array}\right|=0$

由此获得系统的各阶固有频率；

（3）结构振型预报

将各阶固有频率分别代入 ${\left[\begin{array}{c}D\\ U_{\mathrm{total}}\end{array}\right]}_{28\×28}{\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{start}}\\ {\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{end}}\end{array}\right\}}_{28\×1}={\left\{\begin{array}{c}F\\ 0\end{array}\right\}}_{28\×1}$ 式的系数矩阵，形成非满秩矩阵，零特征值对应的特征向量为相应各阶固有振型始、末端状态向量中非零变量的一组值，由各点与始、末端状态向量间的传递关系确定其余点状态向量的值，提取各点变量，即得到各阶固有频率相应的固有振型。

7.根据权利要求3所述的任意分支结构的动力学预报方法，其特征是所述结构动力学问题预报包括频域响应预报、固有频率预报和结构振型预报；

（1）频域响应预报

任意分支结构的固有特性由始、末两端的边界条件以及始端与末端的整体传递矩阵方程Φ_start=U_totalΦ_end共同确定，

其中，Φ_start为始端状态向量；Φ_end为末端状态向量；U_total整体传递矩阵，等于从第一个结构元件到第N个元件的场传递矩阵U和点传递矩阵P依次相预，即U_total＝U₁·P₂·U₃…P_N-1·U_N，下标“1,2,...,n”为该分支上的结构单元编号；

在激励结构端部，若激励矩阵用F表示，利用边界条件矩阵D，得到管路始端、末端向量的关系如下：

${\left[\begin{array}{c}D\\ U_{\mathrm{total}}\end{array}\right]}_{28\×28}{\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{start}}\\ {\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{end}}\end{array}\right\}}_{28\×1}={\left\{\begin{array}{c}F\\ 0\end{array}\right\}}_{28\×1}$

其中的下标表示矩阵的维数，利用 ${\left[\begin{array}{c}D\\ U_{\mathrm{total}}\end{array}\right]}_{28\×28}{\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{start}}\\ {\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{end}}\end{array}\right\}}_{28\×1}={\left\{\begin{array}{c}F\\ 0\end{array}\right\}}_{28\×1}$ 式求解始、末端各量的频域响应，并由考察点与始、末端状态向量间的传递关系确定其他关注位置的频域响应；

（2）固有频率预报

对于自由振动，方程 ${\left[\begin{array}{c}D\\ U_{\mathrm{total}}\end{array}\right]}_{28\×28}{\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{start}}\\ {\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{end}}\end{array}\right\}}_{28\×1}={\left\{\begin{array}{c}F\\ 0\end{array}\right\}}_{28\×1}$ 等号右边为0，则Φ_start和Φ_end存在非零解的条件是系数矩阵的行列式值为0，即：

$\left|\begin{array}{c}D\\ U_{\mathrm{total}}\end{array}\right|=0$

由此获得系统的各阶固有频率；

（3）结构振型预报

将各阶固有频率分别代入 ${\left[\begin{array}{c}D\\ U_{\mathrm{total}}\end{array}\right]}_{28\×28}{\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{start}}\\ {\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{end}}\end{array}\right\}}_{28\×1}={\left\{\begin{array}{c}F\\ 0\end{array}\right\}}_{28\×1}$ 式的系数矩阵，形成非满秩矩阵，零特征值对应的特征向量为相应各阶固有振型始、末端状态向量中非零变量的一组值，由各点与始、末端状态向量间的传递关系确定其余点状态向量的值，提取各点变量，即得到各阶固有频率相应的固有振型。

8.根据权利要求4所述的任意分支结构的动力学预报方法，其特征是所述结构动力学问题预报包括频域响应预报、固有频率预报和结构振型预报；

（1）频域响应预报

任意分支结构的固有特性由始、末两端的边界条件以及始端与末端的整体传递矩阵方程Φ_start=U_totalΦ_end共同确定，

其中，Φ_start为始端状态向量；Φ_end为末端状态向量；U_total整体传递矩阵，等于从第一个结构元件到第N个元件的场传递矩阵U和点传递矩阵P依次相预，即U_total＝U₁·P₂·U₃…P_N-1·U_N，下标“1,2,...,n”为该分支上的结构单元编号；

在激励结构端部，若激励矩阵用F表示，利用边界条件矩阵D，得到管路始端、末端向量的关系如下：

${\left[\begin{array}{c}D\\ U_{\mathrm{total}}\end{array}\right]}_{28\×28}{\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{start}}\\ {\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{end}}\end{array}\right\}}_{28\×1}={\left\{\begin{array}{c}F\\ 0\end{array}\right\}}_{28\×1}$

其中的下标表示矩阵的维数，利用 ${\left[\begin{array}{c}D\\ U_{\mathrm{total}}\end{array}\right]}_{28\×28}{\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{start}}\\ {\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{end}}\end{array}\right\}}_{28\×1}={\left\{\begin{array}{c}F\\ 0\end{array}\right\}}_{28\×1}$ 式求解始、末端各量的频域响应，并由考察点与始、末端状态向量间的传递关系确定其他关注位置的频域响应；

（2）固有频率预报

对于自由振动，方程 ${\left[\begin{array}{c}D\\ U_{\mathrm{total}}\end{array}\right]}_{28\×28}{\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{start}}\\ {\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{end}}\end{array}\right\}}_{28\×1}={\left\{\begin{array}{c}F\\ 0\end{array}\right\}}_{28\×1}$ 等号右边为0，则Φ_start和Φ_end存在非零解的条件是系数矩阵的行列式值为0，即：

$\left|\begin{array}{c}D\\ U_{\mathrm{total}}\end{array}\right|=0$

由此获得系统的各阶固有频率；

（3）结构振型预报

将各阶固有频率分别代入 ${\left[\begin{array}{c}D\\ U_{\mathrm{total}}\end{array}\right]}_{28\×28}{\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{start}}\\ {\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{end}}\end{array}\right\}}_{28\×1}={\left\{\begin{array}{c}F\\ 0\end{array}\right\}}_{28\×1}$ 式的系数矩阵，形成非满秩矩阵，零特征值对应的特征向量为相应各阶固有振型始、末端状态向量中非零变量的一组值，由各点与始、末端状态向量间的传递关系确定其余点状态向量的值，提取各点变量，即得到各阶固有频率相应的固有振型。

9.根据权利要求5所述的任意分支结构的动力学预报方法，其特征是所述结构动力学问题预报包括频域响应预报、固有频率预报和结构振型预报；

（1）频域响应预报

任意分支结构的固有特性由始、末两端的边界条件以及始端与末端的整体传递矩阵方程Φ_start=U_totalΦ_end共同确定，

其中，Φ_start为始端状态向量；Φ_end为末端状态向量；U_total整体传递矩阵，等于从第一个结构元件到第N个元件的场传递矩阵U和点传递矩阵P依次相乘，即U_total＝U₁·P₂·U₃…P_N-1·U_N，下标“1,2,...,n”为该分支上的结构单元编号；

在激励结构端部，若激励矩阵用F表示，利用边界条件矩阵D，得到管路始端、末端向量的关系如下：

${\left[\begin{array}{c}D\\ U_{\mathrm{total}}\end{array}\right]}_{28\×28}{\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{start}}\\ {\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{end}}\end{array}\right\}}_{28\×1}={\left\{\begin{array}{c}F\\ 0\end{array}\right\}}_{28\×1}$

其中的下标表示矩阵的维数，利用 ${\left[\begin{array}{c}D\\ U_{\mathrm{total}}\end{array}\right]}_{28\×28}{\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{start}}\\ {\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{end}}\end{array}\right\}}_{28\×1}={\left\{\begin{array}{c}F\\ 0\end{array}\right\}}_{28\×1}$ 式求解始、末端各量的频域响应，并由考察点与始、末端状态向量间的传递关系确定其他关注位置的频域响应；

（2）固有频率预报

对于自由振动，方程 ${\left[\begin{array}{c}D\\ U_{\mathrm{total}}\end{array}\right]}_{28\×28}{\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{start}}\\ {\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{end}}\end{array}\right\}}_{28\×1}={\left\{\begin{array}{c}F\\ 0\end{array}\right\}}_{28\×1}$ 等号右边为0，则Φ_start和Φ_end存在非零解的条件是系数矩阵的行列式值为0，即：

$\left|\begin{array}{c}D\\ U_{\mathrm{total}}\end{array}\right|=0$

由此获得系统的各阶固有频率；

（3）结构振型预报

将各阶固有频率分别代入 ${\left[\begin{array}{c}D\\ U_{\mathrm{total}}\end{array}\right]}_{28\×28}{\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{start}}\\ {\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{end}}\end{array}\right\}}_{28\×1}={\left\{\begin{array}{c}F\\ 0\end{array}\right\}}_{28\×1}$ 式的系数矩阵，形成非满秩矩阵，零特征值对应的特征向量为相应各阶固有振型始、末端状态向量中非零变量的一组值，由各点与始、末端状态向量间的传递关系确定其余点状态向量的值，提取各点变量，即得到各阶固有频率相应的固有振型。

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