CN102629862B

CN102629862B - 适用于高斯分布信号的cic滤波器有限字长的优化方法

Info

Publication number: CN102629862B
Application number: CN201210113803.9A
Authority: CN
Inventors: 侯永宏; 刘桂华; 汪清; 王洪宽; 律会丽
Original assignee: Tianjin University
Current assignee: Tianjin University
Priority date: 2012-04-18
Filing date: 2012-04-18
Publication date: 2014-07-09
Anticipated expiration: 2032-04-18
Also published as: CN102629862A

Abstract

本发明涉及适用于高斯分布信号的CIC滤波器有限字长的优化方法。为提供一种适用于高斯分布信号的CIC抽取滤波器的截位方法，以处理设计实现过程中的有限字长效应，使不同抽取速率下CIC滤波器的输出信噪比至最优，本发明采取的技术方案是，适用于高斯分布信号的CIC滤波器有限字长的优化方法，包括如下步骤：步骤一：由于CIC滤波器为定点数字滤波器，需将其输入的高斯分布信号定点化；步骤二：求得输出高斯分布信号的功率P_y；步骤三：得到零均值高斯分布输入信号的y_q，max值；步骤四：使系统信噪比达到最优。本发明主要应用于适用于高斯分布信号的CIC滤波器。

Description

适用于高斯分布信号的CIC滤波器有限字长的优化方法

技术领域

本发明涉及适用于高斯分布信号的CIC滤波器有限字长的优化方法。具体讲，涉及一种在有限字长情况下，高斯分布信号经不同抽取速率的CIC滤波器滤波后输出信噪比的优化方法，主要应用于不同抽取速率的CIC滤波器的硬件设计实现中，属于信号处理技术领域。

背景技术

采样率转换是数字信号处理领域中一个重要组成部分，主要有“抽取”和“内插”两种变换。抽取是通过抽取数据降低采样率的过程，内插是通过插入数据提高采样率的过程。在这两个过程中都必须有多速率滤波器以满足设计的需要，CIC滤波器作为一种高效的多速率滤波器广泛应用于抽取或内插的实现之中。

在CIC滤波器的设计与实现过程中，由于有大量的乘法及加法运算等，产生有限字长效应，造成信噪比无法满足实际应用的需要。有限字长效应的产生主要有三方面的因素，输入信号的AD量化误差，系统系数的量化误差以及算术运算的运算误差。

现有的CIC滤波器有限字长的处理方法是在保证没有数据溢出的前提下(避免饱和误差)，采取截尾或舍入的方法，即舍弃低有效位(LSB)保留高有效位(MSB)。但是，对于高斯分布信号，例如应用十分广泛的OFDM(正交频分复用)信号，采用截尾或舍入的方式很可能会出现有效信息比特丢失严重，输出信噪比急剧恶化的现象，所以需要在饱和误差和一般量化误差(截尾或舍入误差)之间做一个很好的折衷，以获得不同抽取速率下的CIC滤波器的最佳输出信噪比。

为了达到较理想的阻带和通带特性，CIC滤波器通常采用级联的方式对信号进行抽取或内插。N级级联的CIC抽取滤波器的系统结构如附图1所示(CIC内插滤波器原理相同，在此不再赘述)。其幅频响应函数近似为

| H (f) | = {| RM \frac{\sin (πMf)}{πMf} |}^{N}, 0 \leq f < < R

其中R为整数抽取速率，M为微分延迟，N为滤波器阶数。CIC滤波器中，每一个积分器都存在一个反馈系数，因此为了防止数据溢出，寄存器位宽要逐级增加。CIC滤波器的最后一级的输出位宽为

B_max＝ceil(Nlog₂RM+B_in-1)

其中B_in为CIC滤波器输入信号位宽，ceil(x)为不小于x的最小整数。

发明内容

本发明旨在解决克服现有技术的不足，提供一种适用于高斯分布信号的CIC抽取滤波器的截位方法，以处理设计实现过程中的有限字长效应，使不同抽取速率下CIC滤波器的输出信噪比至最优。为达到上述目的，本发明采取的技术方案是，适用于高斯分布信号的CIC滤波器有限字长的优化方法，包括如下步骤：

假设输入的高斯分布信号

带宽为B_x，位宽为B_in＝m，且CIC滤波器参数整数抽取速率R，微分延迟M，滤波器阶数N已知；

步骤一：根据CIC滤波器位宽公式得出特定输入高斯分布信号位宽B_in，CIC滤波器整数抽取速率R，微分延迟M和滤波器阶数N下的滤波器最后一级输出二进制数的最大位宽B_max＝n；

步骤二：输入的高斯分布信号的方差

输入的高斯分布信号的功率P_x，输入的高斯分布信号的功率谱密度p_x和输入高斯分布信号的带宽B_x有如下关系：

P_{x} = σ_{x}^{2} = p_{x} B_{x}

对高斯分布信号CIC滤波器抽取滤波得到的信号仍服从高斯分布，即CIC滤波器输出信号是服从

的高斯分布信号，而输入高斯分布信号的功率谱密度p_x和输出高斯分布信号的功率谱密度p_y满足：

p_y(f)＝p_x(f)|H(f)|²

其中H(f)为CIC滤波器的幅频响应，对上式积分即可求得输出高斯分布信号的功率P_y；

\begin{matrix} P_{y} = {&Integral;}_{0}^{\infty} p_{x} (f) {| H (f) |}^{2} df \\ = \frac{P_{x}}{B_{x}} \cdot {&Integral;}_{0}^{\infty} {| RM \frac{\sin (πMf)}{πMf} |}^{2 N} df \end{matrix}

并且输出高斯分布信号的方差

等于输出高斯分布信号的功率P_y；

步骤三：假设将CIC滤波器输出的高斯分布信号截断为B_out＝k位，其中舍弃的比特数包括MSB和LSB，舍弃MSB引入饱和误差，舍弃LSB引入截尾或舍入误差，则量化级数为S＝2^k，截断后数据的最大值和最小值分别为

y_q,max＝(2^k-1-1)Δ

y_q,min＝-2^k-1Δ

其中Δ为量化步长，且|y_q,max|≈|y_q,min|，则

此时，可得到饱和误差的功率：

\begin{matrix} N_{s} = {&Integral;}_{y_{q, \max}}^{\infty} {(y - y_{q, \max})}^{2} f (y) dy + {&Integral;}_{- \infty}^{y_{q, \min}} {(y - y_{q, \min})}^{2} f (y) dy \\ \approx \frac{2}{\sqrt{2 π} σ_{y}} {&Integral;}_{y_{q, \max}}^{\infty} {(y - y_{q, \max})}^{2} e^{- \frac{{(y - μ_{y})}^{2}}{2 σ_{y}^{2}}} dy \\ = erfc (\frac{y_{q, \max} - μ_{y}}{\sqrt{2} σ_{y}}) [{(y_{q, \max} - μ_{y})}^{2} + σ_{y}^{2}] + \frac{2 σ_{y} (μ_{y} - y_{q, \max})}{\sqrt{2 π}} e^{- \frac{{(y_{q, \max} - μ_{y})}^{2}}{2 σ_{y}^{2}}} \end{matrix}

其中y表示未经截断的CIC滤波器输出的高斯分布信号，μ_y和

分别表示CIC滤波器输出的高斯分布信号的均值和方差，y_q,max表示将CIC滤波器输出高斯分布信号截断后的最大值，且

是互补误差函数，以及截尾/舍入误差功率为：

N_{q} \approx \frac{Δ^{2}}{12} = \frac{1}{12} \cdot {(\frac{y_{q, \max}}{2^{k - 1}})}^{2} = \frac{y_{q, \max}^{2}}{{3 \cdot 2}^{2 k}}

总的误差功率即为：

\begin{matrix} N = N_{q} + N_{s} \\ = \frac{y_{q, \max}^{2}}{{3 \cdot 2}^{2 k}} + erfc (\frac{y_{q, \max} - μ_{y}}{\sqrt{2} σ_{y}}) [{(y_{q, \max} - μ_{y})}^{2} + σ_{y}^{2}] + \frac{{2 σ}_{y} (μ_{y} - y_{q, \max})}{\sqrt{2 π}} e^{- \frac{{(y_{q, \max} - μ_{y})}^{2}}{{2 σ}_{y}^{2}}} \end{matrix}

在信号功率一定的情况下，误差功率最小即信噪比最大，则对误差功率函数关于y_q,max求导：

\frac{&PartialD; N}{{&PartialD; y}_{q, \max}} = \frac{y_{q, \max}}{{3 \cdot 2}^{2 k - 1}} + 2 (y_{q, \max} - μ_{y}) erfc (\frac{y_{q, \max} - μ_{y}}{\sqrt{2} σ_{y}}) - \frac{{4 σ}_{y}}{\sqrt{2 π}} e^{- \frac{{(y_{q, \max} - μ_{y})}^{2}}{{2 σ}_{y}^{2}}} = 0

对上式代入输出高斯分布信号的均值μ_y、输出高斯分布信号的方差

即输出的高斯分布信号的功率P_y和输出高斯分布信号截断后的位宽B_out，即能计算得到使量化误差功率N最小的y_q,max值；

若输入的高斯分布信号均值μ_x＝0，则输出的高斯分布信号均值μ_y＝0，并令

z = y_{q, \max} / \sqrt{2} σ_{y},

则上式可简化为

\frac{z}{{3 \cdot 4}^{k}} + z \cdot erfc (z) - \frac{1}{\sqrt{π}} e^{- z^{2}} = 0

不同k对应下的z值如表1所示，由此得到零均值高斯分布输入信号对应的输出高斯分布信号截断后的最大值y_q,max值；

表1.不同k值下的z值

k	z	k	z	k	z
						1	0.8767	11	3.3653	21	4.9105
2	1.2096	12	3.5449	22	5.0421
						3	1.5214	13	3.7173	23	5.1707
4	1.8096	14	3.8834	24	5.2965
						5	2.0762	15	4.0438	25	5.4196
6	2.3242	16	4.1990	26	5.5402
						7	2.5563	17	4.3494	27	5.6585
8	2.7747	18	4.4954	28	5.7746
						9	2.9814	19	4.6374	29	5.8886
10	3.1779	20	4.7757	30	6.0005

步骤四：根据得到的y_q,max舍掉CIC滤波器输出的高斯分布信号n位中的高d位使截位后的数据不大于y_q,max，余下的n-d位中取高k位即可使系统信噪比达到最优。

所述步骤细化为：设CIC滤波器阶数N＝4,微分延迟M＝1,整数抽取速率为R＝25，CIC滤波器输入输出寄存器位宽B_in＝B_out＝16，即m＝k＝16，且以高斯分布信号x(n)～(0,1)为CIC滤波器的输入信号，即输入的高斯分布信号功率为1；

步骤一：由于CIC滤波器为定点数字滤波器，需将其输入的高斯分布信号定点化，对于均值为0，方差为1的高斯分布信号，量化为4位整数比特，12位小数比特时的输入的高斯分布信号信噪比为最佳；

步骤二：根据公式B_max＝ceil(Nlog₂RM+B_in-1)得到CIC滤波器最后一级的输出位宽为34，且在全精度模式下CIC滤波器输出位宽为34+1＝35，即n＝35，其中小数位数与输入高斯分布信号的小数位宽一致，即此输出高斯分布信号小数比特为12位，表示-2^23-1～2^23-1-1范围的数；

步骤三：对于输入为零均值的高斯分布信号，CIC抽取后仍为零均值的高斯分布信号，且其输出高斯分布信号的方差

即为输出的高斯分布信号的功率P_y，将CIC滤波器各项参数代入到p_y(f)＝p_x(f)|H(f)|²中，并根据输出高斯分布信号功率P_y公式计算出CIC滤波器输出高斯分布信号的功率P_y：

σ_{y}^{2} = P_{y} = \frac{{(25)}^{8} \cdot 2}{25} \cdot {&Integral;}_{0}^{\infty} {| \frac{\sin (πf)}{πf} |}^{8} df = 2.93 \times 10^{9}

步骤四：根据表1，k＝16时，z＝4.1990，根据

得到y_q,max＝3.21×10⁵，至多需要20位二进制数表示，故取[34:0]之间的[31:16]为最终的16位CIC抽取滤波器的输出。

本发明的技术特点及效果：

通过采用最佳截位方案，高斯分布信号作为输入信号的CIC抽取滤波器的输出信噪比得到了有效改善，且随着CIC滤波器整数抽取因子R的增大，改善效果越明显，如表2所示。

表2.CIC滤波器输出信噪比改善情况(B_in＝B_out＝16,N＝4,M＝1,

)

附图说明

图1.CIC抽取滤波器结构图。

图2.传统与改进截位过程及方法示意图。

图3.不同小数比特下高斯信号量化信噪比。

具体实施方式

假设输入的高斯分布信号

带宽为B_x，位宽为B_in＝m，且CIC滤波器参数整数抽取因子R，微分延迟M，滤波器阶数N已知；

步骤二：对于近似白噪声，功率即为方差。故输入的高斯分布信号的方差输入的高斯分布信号的功率P_x，输入的高斯分布信号的功率谱密度p_x和输入高斯分布信号的带宽B_x有如下关系

P_{x} = σ_{x}^{2} = p_{x} B_{x}

因此根据输入高斯分布信号的功率和输入高斯分布信号的带宽可求得输入高斯分布信号的功率谱密度。对高斯分布信号抽取滤波得到的信号仍服从高斯分布，即输出信号是服从

的高斯分布信号。而输入高斯分布信号的功率谱密度p_x和输出高斯分布信号的功率谱密度p_y满足：

p_y(f)＝p_x(f)|H(f)|²

其中H(f)为CIC抽取滤波器的幅频响应，对上式积分即可求得输出高斯分布信号的功率P_y；

\begin{matrix} P_{y} = {&Integral;}_{0}^{\infty} p_{x} (f) {| H (f) |}^{2} df \\ = \frac{P_{x}}{B_{x}} \cdot {&Integral;}_{0}^{\infty} {| RM \frac{\sin (πMf)}{πMf} |}^{2 N} df \end{matrix}

并且输出高斯分布信号的方差等于输出高斯分布信号的功率P_y；

y_q,max＝(2^k-1-1)Δ

y_q,min＝-2^k-1Δ

其中Δ为量化步长，且|y_q,max|≈|y_q,min|，则

此时，可得到饱和误差的功率：

\begin{matrix} N_{s} = {&Integral;}_{y_{q, \max}}^{\infty} {(y - y_{q, \max})}^{2} f (y) dy + {&Integral;}_{- \infty}^{y_{q, \min}} {(y - y_{q, \min})}^{2} f (y) dy \\ \approx \frac{2}{\sqrt{2 π} σ_{y}} {&Integral;}_{y_{q, \max}}^{\infty} {(y - y_{q, \max})}^{2} e^{- \frac{{(y - μ_{y})}^{2}}{2 σ_{y}^{2}}} dy \\ = erfc (\frac{y_{q, \max} - μ_{y}}{\sqrt{2} σ_{y}}) [{(y_{q, \max} - μ_{y})}^{2} + σ_{y}^{2}] + \frac{2 σ_{y} (μ_{y} - y_{q, \max})}{\sqrt{2 π}} e^{- \frac{{(y_{q, \max} - μ_{y})}^{2}}{2 σ_{y}^{2}}} \end{matrix}

其中y表示未经截断的CIC滤波器输出的高斯分布信号，μ_y和

是互补误差函数，以及截尾/舍入误差功率为：

N_{q} \approx \frac{Δ^{2}}{12} = \frac{1}{12} \cdot {(\frac{y_{q, \max}}{2^{k - 1}})}^{2} = \frac{y_{q, \max}^{2}}{{3 \cdot 2}^{2 k}}

总的误差功率即为：

\begin{matrix} N = N_{q} + N_{s} \\ = \frac{y_{q, \max}^{2}}{{3 \cdot 2}^{2 k}} + erfc (\frac{y_{q, \max} - μ_{y}}{\sqrt{2} σ_{y}}) [{(y_{q, \max} - μ_{y})}^{2} + σ_{y}^{2}] + \frac{{2 σ}_{y} (μ_{y} - y_{q, \max})}{\sqrt{2 π}} e^{- \frac{{(y_{q, \max} - μ_{y})}^{2}}{{2 σ}_{y}^{2}}} \end{matrix}

\frac{&PartialD; N}{{&PartialD; y}_{q, \max}} = \frac{y_{q, \max}}{{3 \cdot 2}^{2 k - 1}} + 2 (y_{q, \max} - μ_{y}) erfc (\frac{y_{q, \max} - μ_{y}}{\sqrt{2} σ_{y}}) - \frac{{4 σ}_{y}}{\sqrt{2 π}} e^{- \frac{{(y_{q, \max} - μ_{y})}^{2}}{{2 σ}_{y}^{2}}} = 0

对上式代入输出高斯分布信号的均值μ_y、输出高斯分布信号的方差即输出的高斯分布信号的功率P_y和输出高斯分布信号截断后的位宽B_out，即能计算得到使量化误差功率N最小的y_q,max值；

z = y_{q, \max} / \sqrt{2} σ_{y},

则上式可简化为

\frac{z}{{3 \cdot 4}^{k}} + z \cdot erfc (z) - \frac{1}{\sqrt{π}} e^{- z^{2}} = 0

不同k对应下的z值如表1所示，由此得到零均值高斯分布输入信号对应的输出高斯分布信号截断后的最大值y_q，max值；

表1.不同k值下的z值

步骤二：根据公式B_max＝ceil(Nlog₂RM+B_in-1)得到CIC滤波器最后一级的输出位宽为34，且在全精度模式下CIC滤波器输出位宽为34+1＝35，即n＝35，其中小数位数与输入的高斯分布信号的小数位宽一致，即此输出高斯分布信号小数比特为12位，表示-2^23-1～2^23-1-1范围的数；

即为输出的高斯分布信号的功率P_y。因此，将CIC滤波器各项参数代入到p_y(f)＝p_x(f)|H(f)|²中，并根据输出高斯分布信号功率P_y公式计算出CIC滤波器输出高斯分布信号的功率P_y：

σ_{y}^{2} = P_{y} = \frac{{(25)}^{8} \cdot 2}{25} \cdot {&Integral;}_{0}^{\infty} {| \frac{\sin (πf)}{πf} |}^{8} df = 2.93 \times 10^{9}

步骤四：根据表1，k＝16时，z＝4.1990，根据

Claims

1.一种适用于高斯分布信号的CIC滤波器有限字长的优化方法，其特征是，包括如下步骤：

假设输入的高斯分布信号

步骤二：输入的高斯分布信号的方差

P_{x} = σ_{x}^{2} = p_{x} B_{x}

p_y(f)＝p_x(f)|H(f)|²

\begin{matrix} P_{y} = {&Integral;}_{0}^{\infty} p_{x} (f) {| H (f) |}^{2} df \\ = \frac{P_{x}}{B_{x}} \cdot {&Integral;}_{0}^{\infty} {| RM \frac{\sin (πMf)}{πMf} |}^{2 N} df \end{matrix}

并且输出高斯分布信号的方差

等于输出高斯分布信号的功率P_y；

y_q,max＝(2^k-1-1)Δ

y_q,min＝-2^k-1Δ

其中Δ为量化步长，且|y_q,max|≈|y_q,min|，则

此时，可得到饱和误差的功率：

\begin{matrix} N_{s} = {&Integral;}_{y_{q, \max}}^{\infty} {(y - y_{q, \max})}^{2} f (y) dy + {&Integral;}_{- \infty}^{y_{q, \min}} {(y - y_{q, \min})}^{2} f (y) dy \\ \approx \frac{1}{\sqrt{2 π} σ_{y}} {&Integral;}_{y_{q, \max}}^{\infty} {(y - y_{q, \max})}^{2} e^{- \frac{{(y - μ_{y})}^{2}}{2 σ_{y}^{2}}} dy \\ = erfc (\frac{y_{q, \max} - μ_{y}}{\sqrt{2} σ_{y}}) [{(y_{q, \max} - μ_{y})}^{2} + σ_{y}^{2}] + \frac{{2 σ}_{y} (μ_{y} - y_{q, \max})}{\sqrt{2 π}} e^{- \frac{{(y_{q, \max} - μ_{y})}^{2}}{2 σ_{y}^{2}}} \end{matrix}

其中y表示未经截断的CIC滤波器输出的高斯分布信号，μ_y和

分别表示CIC滤波器输出的高斯分布信号的均值和方差，y_q,max表示将CIC滤波器输出高斯分布信号截断后的最大值，且是互补误差函数，以及截尾/舍入误差功率为：

N_{q} \approx \frac{Δ^{2}}{12} = \frac{1}{12} \cdot {(\frac{y_{q, \max}}{2^{k - 1}})}^{2} = \frac{y_{q, \max}^{2}}{3 \cdot 2^{2 k}}

总的误差功率即为：

\begin{matrix} N = N_{q} + N_{s} \\ = \frac{y_{q, \max}^{2}}{3 \cdot 2^{2 k}} + erfc (\frac{y_{q, \max} - μ_{y}}{\sqrt{2} σ_{y}}) [{(y_{q, \max} - μ_{y})}^{2} {+ σ}_{y}^{2}] + \frac{2 σ_{y} (μ_{y} - y_{q, \max})}{\sqrt{2 π}} e^{- \frac{{(y_{q, \max} - μ_{y})}^{2}}{2 σ_{y}^{2}}} \end{matrix}

\frac{&PartialD; N}{{&PartialD; y}_{q, \max}} = \frac{y_{q, \max}}{3 \cdot 2^{2 k - 1}} + 2 (y_{q, \max} - μ_{y}) erfc (\frac{y_{q, \max} - μ_{y}}{\sqrt{2} σ_{y}}) - \frac{{4 σ}_{y}}{\sqrt{2 π}} e^{- \frac{{(y_{q, \max} - μ_{y})}^{2}}{2 σ_{y}^{2}}} = 0

则上式可简化为

\frac{z}{3 \cdot 4^{k}} + z \cdot erfc (z) - \frac{1}{\sqrt{π}} e^{- z^{2}} = 0

表1.不同k值下的z值

2.如权利要求1所述的适用于高斯分布信号的CIC滤波器有限字长的优化方法，其特征是，所述步骤细化为：设CIC滤波器阶数N＝4,微分延迟M＝1,整数抽取速率为R＝25，CIC滤波器输入输出寄存器位宽B_in＝B_out＝16，即m＝k＝16，且以高斯分布信号x(n)～(0,1)为CIC滤波器的输入信号，即输入的高斯分布信号功率为1；

步骤三：对于输入为零均值的高斯分布信号，CIC抽取后仍为零均值的高斯分布信号，且其输出高斯分布信号的方差即为输出的高斯分布信号的功率P_y，将CIC滤波器各项参数代入到p_y(f)＝p_x(f)|H(f)|²中，并根据输出高斯分布信号功率P_y公式计算出CIC滤波器输出高斯分布信号的功率P_y：

σ_{y}^{2} = P_{y} = \frac{{(25)}^{8} \cdot 2}{25} \cdot {&Integral;}_{0}^{\infty} {| \frac{\sin (πf)}{πf} |}^{8} df = 2.93 \times 10^{9}

步骤四：根据表1，k＝16时，z＝4.1990，根据