CN102521435A - 一种对称层合板的铺层制作方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种对称层合板的铺层制作方法。根据对称层合板几何模型，在准各向同性准均匀条件下，建立正则化面内刚度系数

和弯曲刚度系数

的关系式，在指定的定向单层数p下，采用正则化刚度系数法，以

的平方和为评价函数，对铺层顺序进行优化调整，得到一种准各向同性准均匀对称层合板。本发明采用基于理论公式的正则化刚度系数法对铺层顺序进行设计和优化，经计算直接得到某一定向单层数下的最佳铺层顺序，由此获得的对称层合板不仅面内刚度准各向同性，其弯曲刚度的准均匀性在指定定向单层数下达到最优。用这种铺层顺序加工而成的碳纤维增强聚合物复合材料反射镜在主动变形下有更小的非对称变形，从而提高反射镜在主动控制后的面形精度。

Description

一种对称层合板的铺层制作方法

技术领域

本发明涉及一种复合材料的铺层制作方法，特别涉及一种碳纤维增强聚合物复合材料反射镜的铺层制作方法。

背景技术

下一代空间望远镜的发展受制于主反射镜口径增大带来的重量的急剧增加。目前在研的几种轻质镜面中，碳纤维增强聚合物(Carbon Fiber Reinforced Polymer，简称CFRP)复合材料薄镜以其优异的物理和热学性能，低于5Kg/m²的面密度，成形方法简易，性能可设计，镜面无需抛光、可复制、可弯折等优点有望成为下一代大口径空间轻质望远镜镜面。目前碳纤维增强聚合物反射镜研究的主要问题之一是面形精度低。利用现有的主动光学技术对碳纤维增强聚合物反射镜进行主动控制，可以提高反射镜的面形精度。

CFRP复合材料反射镜的铺层设计一般采用对称层合板的结构，以保证面内刚度的准各向同性；在对层合板铺层顺序的优化时也只考虑以PV值和RMS值表示的重力变形的大小，不考虑弯曲刚度的准均匀性(也称准各向同性)。要实现高精度的CFRP复合材料薄镜的主动控制，除了要保证层合板面内刚度的准各向同性外，尽量提高层合板的弯曲刚度准均匀性显得至关重要。弯曲刚度准均匀性越高，层合板在主动变形控制下的非对称变形越小，可以极大地提高反射镜主动控制后的面形精度。提高层合板的弯曲刚度准均匀性是控制镜面面形均匀变化的关键。尽管实际结构中由于受到层数的限制，不存在完全的准均匀层合板，但可以通过优化铺层结构尽量提高弯曲刚度的准均匀性。为此，在总层数有限的情况下在寻求一种提高弯曲刚度准均匀性的铺层设计及制作方法是实现CFRP复合材料薄镜主动控制的先决条件。

文献“碳纤维复合材料反射镜面板的铺层设计”(赵洪波，马丽华，姜志，[J]，光学技术，2004，29(3)，P365-367)，从刚度设计的角度出发，利用有限元法对一个空间光学系统的碳纤维复合材料轻型反射镜面板实例进行了铺层设计，并通过对角度相间步长为15°的铺层所制作的一些面板进行了静力学分析，得出了在重力作用下，第一定向单层采用[0/60/-60]，总铺层[45/-75/-15/30/90/-30/15/75/-45/0/60/-60]s的反射面板产生的变形最小的结论，进而提出了在使用碳纤维复合材料制作空间光学反射镜时，反射面板铺层设计的一般方法。该文献仅对罗列的13种铺层方式进行了有限元的静力学分析，从中找出了重力变形最小的一种铺层作为碳纤维复合材料反射镜面板，其为一种试算法，比较盲目，不适于工业化应用。第二，实际的按角度相间步长15°、总层数24层的对称铺层方式理论上可以达到无穷多种，对于设定的一组铺层角度，对铺层顺序进行全排列，铺层方式可以有12！＝479001600种，这还不包括定向单层数小于12的其他铺层形式(6！＝720，4！＝24，3！＝6)因此文献里考虑的铺层形式实在太少，很难找到最佳的结果。第三，文献中仅对整个镜面的重力变形用PV值和RMS值进行了分析，没有考虑非对称变形，即没有对弯曲刚度的准均匀性做出分析和判断，对于要进行主动控制的CFRP复合材料反射镜，要提高面形精度，用这种方法存在明显的不足。

中国发明专利申请“按照刚度要求复合材料的铺层设计计算方法”(CN 1868807A)中，公开了一种按刚度要求进行复合材料翼面铺层的设计方法，得出了按三向刚度要求的铺层设计方法和具体的公式计算，在已知层合板的三向刚度时，即可得到任意三种铺层角度下的铺层数，从而得到新的适应于工程应用的铺层形式。该专利根据结构的刚度要求，用理论推导出刚度要求和任意三种铺层角度的关系，通过解方程组得到符合刚度要求的铺层设计。该技术方案重点考虑的是满足一定的刚度需要下的铺层设计，未涉及弯曲刚度的准均匀性，无法满足主动控制CFPR反射镜的使用要求。同时，该技术方案对定向单层数有明确规定，只能是三种，铺层形式比较单一；对于主动控制的CFPR反射镜，要达到最佳的弯曲刚度准均匀性，可能需要考虑更多的定向单层数。

目前，对适用于主动控制的碳纤维增强聚合物复合材料反射镜的铺层设计及制作方法未见报道。

发明内容

本发明的目的是在对称层合板面内刚度准各向同性条件下，提供一种提高弯曲刚度准均匀性的铺层制作方法，以实现高精度的碳纤维增强聚合物复合材料反射镜的主动控制。

实现本发明目的的技术方案是：提供一种对称层合板的铺层制作方法，包括如下步骤：

(1)建立对称层合板几何模型，根据经典层合板理论，得到准各向同性准均匀条件下正则化面内刚度系数

和弯曲刚度系数

的关系式，以及它们与铺层角度、顺序的关系；

(2)在指定的定向单层数p下，采用正则化刚度系数法，以

的平方和为评价函数，i、j分别为矩阵的行和列，且i，j＝1，2，6，对铺层顺序进行优化调整；

(3)根据优化调整后得到的铺层顺序，采用层合板进行铺层制作，得到一种准各向同性准均匀对称层合板。

所述的

的平方和为评价函数对铺层顺序进行优化调整，以的平方和最小的一组铺层顺序为优化结果。

本发明所述的对称层合板，其总层数为n，单层组数为m，且为最大值m＝n/2，定向单层之间的间隔为π/p弧度，铺层方式采用[θ₁/θ₂/.../θ_p]_qs，其中，p＊q＝m，p为对称层合板的定向单层数，且p≥3，q为[θ₁/θ₂/.../θ_p]铺层单元重复铺设的次数，θ为定向单层的铺层角度，s为上下对称铺层。

在本发明中，对称层合板的总层数n分别为24、30和36，且单层厚度相等时，其对应的铺层顺序为

[45/-15/-75/90/15/-45/-30/60/-60/0/30/75]s、[84/-48/-12/24/48/36/-24/-84/-72/0/-60/60/12/72/-36]s和[40/0/-50/60/90/-10/-80/-20/-70/-60/50/-40/10/80/70/30/-30/20]s。

本发明技术方案依据的原理具体表述如下：

1、正则化面内刚度系数和弯曲刚度系数的确定

由实验可以得出复合材料单向板的工程弹性常数，即：纵向拉伸模量E₁、横向拉伸模量E₂、纵向泊松比v₁、剪切弹性模量G₁₂和纤维体积含量v_f。

参见附错误！未找到引用源。，建立对称层合板几何模型，其中，h表示层合板的总厚度。单层板的正轴刚度模量为：

$\left.\begin{array}{c}{Q}_{11}=E_1/(1-v_1{v}_2)\\ Q_{12}=v_1{E}_2/(1-v_1{v}_2)\\ Q_{12}=v_1{E}_2/(1-v_1{v}_2)\\ Q_{22}=E_2/(1-v_1{v}_2)\\ Q_{66}=G_{12}\end{array}\right\}---\left(1\right)$

其中，工程弹性常数之间的关系式：

单层板的偏轴刚度模量可表示为：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\‾}{Q}}_{11}\\ {\stackrel{\‾}{Q}}_{22}\\ {\stackrel{\‾}{Q}}_{12}\\ {\stackrel{\‾}{Q}}_{66}\\ {\stackrel{\‾}{Q}}_{16}\\ {\stackrel{\‾}{Q}}_{26}\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{ccc}{U}_1^{\left(Q\right)}& \cos 2\mathrm{\θ}& \cos 4\mathrm{\θ}\\ U_1^{\left(Q\right)}& -\cos 2\mathrm{\θ}& \cos 4\mathrm{\θ}\\ U_4^{\left(Q\right)}& 0& -\cos 4\mathrm{\θ}\\ U_5^{\left(Q\right)}& 0& -\cos 4\mathrm{\θ}\\ 0& \frac{1}{2}\sin 2\mathrm{\θ}& \sin 4\mathrm{\θ}\\ 0& \frac{1}{2}\sin 2\mathrm{\θ}& -\sin 4\mathrm{\θ}\end{array}\right\}\left\{\begin{array}{c}1\\ U_2^{\left(Q\right)}\\ U_3^{\left(Q\right)}\end{array}\right\}---\left(3\right)$

式中，

是与单层方向角θ无关的正轴模量的线性组合。

$\left.\begin{array}{c}{U}_1^{\left(Q\right)}=\frac{1}{8}(3Q_{11}+3Q_{22}+2Q_{12}+4Q_{66})\\ U_2^{\left(Q\right)}=\frac{1}{2}(Q_{11}-Q_{22})\\ U_3^{\left(Q\right)}=\frac{1}{8}(Q_{11}+Q_{22}-2Q_{12}-4Q_{66})\\ U_4^{\left(Q\right)}=\frac{1}{8}(Q_{11}+Q_{22}+6{Q_{12}-4Q}_{66})\\ U_5^{\left(Q\right)}=\frac{1}{8}(Q_{11}+Q_{22}-2Q_{12}+4Q_{66})\end{array}\right\}---\left(4\right)$

层合板的面内应力(N)-应变(ε)关系式以及弯曲力矩(M)与曲率(k)的关系式：

$\left\{\begin{array}{c}{N}_1\\ N_2\\ N_{12}\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{ccc}{A}_{11}& A_{12}& A_{16}\\ A_{21}& A_{22}& A_{26}\\ A_{61}& A_{62}& A_{66}\end{array}\right\}\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\ϵ}}_1\\ {\mathrm{\ϵ}}_2\\ {\mathrm{\γ}}_{12}\end{array}\right\}---\left(5\right)$

$\left\{\begin{array}{c}{M}_1\\ M_2\\ M_{12}\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{ccc}{D}_{11}& D_{12}& D_{16}\\ D_{21}& D_{22}& D_{26}\\ D_{61}& D_{62}& D_{66}\end{array}\right\}\left\{\begin{array}{c}{k}_1\\ k_2\\ k_{12}\end{array}\right\}---\left(6\right)$

其中A_ij为层合板面内刚度系数，D_ij为层合板弯曲刚度系数，且

$A_{\mathrm{ij}}={\∫}_{-h/2}^{h/2}{\stackrel{\‾}{Q}}_{\mathrm{ij}}^{\left(k\right)}\mathrm{dz}=\underset{k=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\stackrel{\‾}{Q}}_{\mathrm{ij}}^{\left(k\right)}(z_k-z_{k-1}),(i,j=\mathrm{1,2,6})---\left(7\right)$

$D_{\mathrm{ij}}={\∫}_{-h/2}^{h/2}{\stackrel{\‾}{Q}}_{\mathrm{ij}}^{\left(k\right)}{z}^2\mathrm{dz}=\frac{1}{3}\underset{k=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\stackrel{\‾}{Q}}_{\mathrm{ij}}^{\left(k\right)}(z_k^3-z_{k-1}^3)---\left(8\right)$

其中，z_k为第k层在z轴的坐标值。

为了使同一块层合板的刚度系数易于比较，以及与单层板相关联，作正则化处理，正则化面内刚度系数

正则化弯曲刚度系数

根据定义可知，它们具有对称性，即

因此，实际的正则化面内刚度系数和正则化弯曲刚度系数为6个，可以写成：

$\left\{\begin{array}{c}{A}_{11}^{*}\\ A_{22}^{*}\\ A_{12}^{*}\\ A_{66}^{*}\\ A_{16}^{*}\\ A_{26}^{*}\end{array}\right\}=\left[\begin{array}{ccc}{U}_1^{\left(Q\right)}& V_{1A}^{*}& V_{2A}^{*}\\ U_1^{\left(Q\right)}& -V_{1A}^{*}& V_{2A}^{*}\\ U_4^{\left(Q\right)}& 0& -V_{2A}^{*}\\ U_5^{\left(Q\right)}& 0& -V_{2A}^{*}\\ 0& V_{3A}^{*}/2& V_{4A}^{*}\\ 0& V_{3A}^{*}/2& -V_{4A}^{*}\end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}1\\ U_2^{\left(Q\right)}\\ U_3^{\left(Q\right)}\end{array}\right\}---\left(9\right)$

$\left\{\begin{array}{c}{D}_{11}^{*}\\ D_{22}^{*}\\ D_{12}^{*}\\ D_{66}^{*}\\ D_{16}^{*}\\ D_{26}^{*}\end{array}\right\}=\left[\begin{array}{ccc}{U}_1^{\left(Q\right)}& V_{1D}^{*}& V_{2D}^{*}\\ U_1^{\left(Q\right)}& -V_{1D}^{*}& V_{2D}^{*}\\ U_4^{\left(Q\right)}& 0& -V_{2D}^{*}\\ U_5^{\left(Q\right)}& 0& -V_{2D}^{*}\\ \text{0}& V_{3D}^{*}/2& V_{4D}^{*}\\ 0& V_{3D}^{*}/2& -V_{4D}^{*}\end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}1\\ U_2^{\left(Q\right)}\\ U_3^{\left(Q\right)}\end{array}\right\}---\left(10\right)$

其中：

$\left.\begin{array}{cc}{V}_{1A}^{*}=\frac{1}{h}{\∫}_{-h/2}^{h/2}\cos 2{\mathrm{\θ}}_k\mathrm{dz}& V_{2A}^{*}=\frac{1}{h}{\∫}_{-h/2}^{h/2}\cos 4{\mathrm{\θ}}_k\mathrm{dz}\\ V_{3A}^{*}=\frac{1}{h}{\∫}_{-h/2}^{h/2}\sin 2{\mathrm{\θ}}_k\mathrm{dz}& V_{4A}^{*}=\frac{1}{h}{\∫}_{-h/2}^{h/2}\sin 4{\mathrm{\θ}}_k\mathrm{dz}\end{array}\right\}---\left(11\right)$

$\left.\begin{array}{cc}{V}_{1D}^{*}=\frac{12}{h^3}{\∫}_{-h/2}^{h/2}\cos 2{\mathrm{\θ}}_k{z}^2\mathrm{dz}& V_{2D}^{*}=\frac{12}{h^3}{\∫}_{-h/2}^{h/2}\cos 4{\mathrm{\θ}}_k{z}^2\mathrm{dz}\\ V_{3D}^{*}=\frac{12}{h^3}{\∫}_{-h/2}^{h/2}\sin 2{\mathrm{\θ}}_k{z}^2\mathrm{dz}& V_{4D}^{*}=\frac{12}{h^3}{\∫}_{-h/2}^{h/2}\sin 4{\mathrm{\θ}}_k{z}^2\mathrm{dz}\end{array}\right\}---\left(12\right)$

对于单层厚度相同的对称层合板，

可以改写成如下式子：

$\left.\begin{array}{cc}{V}_{1A}^{*}=\frac{2}{n}\underset{k=1}{\overset{n/2}{\mathrm{\Σ}}}\cos 2{\mathrm{\θ}}_k& V_{2A}^{*}=\frac{2}{n}\underset{k=1}{\overset{n/2}{\mathrm{\Σ}}}\cos 4{\mathrm{\θ}}_k\\ V_{3A}^{*}=\frac{2}{n}\underset{k=1}{\overset{n/2}{\mathrm{\Σ}}}\sin 2{\mathrm{\θ}}_k& V_{4A}^{*}=\frac{2}{n}\underset{k=1}{\overset{n/2}{\mathrm{\Σ}}}\sin 4{\mathrm{\θ}}_k\end{array}\right\}---\left(13\right)$

$\left.\begin{array}{c}{V}_{1D}^{*}=\frac{8}{n^3}\underset{k=1}{\overset{n/2}{\mathrm{\Σ}}}\cos 2{\mathrm{\θ}}_k[k^3-{(k-1)}^3]\\ V_{2D}^{*}=\frac{8}{n^3}\underset{k=1}{\overset{n/2}{\mathrm{\Σ}}}\cos 4{\mathrm{\θ}}_k[k^3-{(k-1)}^3]\\ V_{3D}^{*}=\frac{8}{n^3}\underset{k=1}{\overset{n/2}{\mathrm{\Σ}}}\sin 2{\mathrm{\θ}}_k[k^3-{(k-1)}^3]\\ V_{4D}^{*}=\frac{8}{n^3}\underset{k=1}{\overset{n/2}{\mathrm{\Σ}}}\sin 4{\mathrm{\θ}}_k[k^3-{(k-1)}^3]\end{array}\right\}---\left(14\right)$

经推导可知对称层合板达到面内刚度准各向同性、弯曲刚度准均匀的条件是：

$A_{\mathrm{ij}}^{*}=D_{\mathrm{ij}}^{*},(i,j=\mathrm{1,2,6})---\left(15\right)$

对于对称层合板而言，凡采用定向层体积含量相同的p种定向层，且p≥3，以间隔为π/p弧度的方向铺设成对称层合板，都是面内刚度准各向同性的。例如，[0/60/-60]s、[-60/0/60]s等是π/3层合板，其定向单层数均为p＝3；[0/45/90/-45]s、[45/90/-45/0]s等是p＝4的π/4层合板，且都满足面内刚度准各向同性。

从公式(7)和(8)可知，面内刚度系数与铺层顺序无关，但是，弯曲刚度系数随着各单层的角度和序号的变化而变化，即弯曲刚度系数与铺层顺序有关。所以，要提高弯曲刚度准均匀性必须对铺层顺序进行设计和优化。

2、准各向同性准均匀层合板的铺层设计

(1)为了避免拉-剪、拉-弯耦合而引起固化后的翘曲变形，将层合板设计成均衡对称层合板的形式。

(2)采用p(p≥3)种定向单层组，沿间隔为π/p弧度的方向铺设成对称层合板，以实现面内刚度的准各向同性。

(3)采用对称层合板，且定向单层数p≥3，且单层组数m取最大值，以达到铺层优化后的弯曲刚度准均匀性最佳。由上述的公式推导可知，当单层组数m→∞时，层合板为弯曲刚度准均匀层合板。在实际结构中，不可能实现m→∞；对于总层数为n的对称层合板，m可取的最大值为n/2。例如，对称层合板总层数n为32层时，铺层方式可以是[0₄/45₄/90₄/-45₄]_s、[0₂/45₂/90₂/-45₂]_2s、[0/45/90/-45]_4s等型式，此时它们的定向单层数p均为4，而单层组数分别为m＝4、m＝8、m＝16。因此，总层数为n的层合板可以设计成形如[θ₁/θ₂/.../θ_p]_qs的对称层合板，单层方向间隔为π/p弧度，其中单层组数m＝p×q，当m为最大值(＝n/2)，对称层合板的弯曲刚度准均匀性更好。在层数受限的情况下要提高弯曲刚度的准均匀性，m应为最大值(＝n/2)，另外，还需要对p个定向单层的铺层顺序进行优化，以及对不同p下的层合板的弯曲刚度准均匀性进行比较。

3、正则化刚度系数法对铺层顺序的设计及优化

根据上述推导，当

时，这样的对称层合板是准各向同性准均匀的。在层数受限的情况下，要满足以上关系，要求

的平方和要最小，即：

${(A_{11}^{*}-D_{11}^{*})}^2+{(A_{22}^{*}-D_{22}^{*})}^2+{(A_{12}^{*}-D_{12}^{*})}^2+{(A_{66}^{*}-D_{66}^{*})}^2+{(A_{16}^{*}-D_{16}^{*})}^2+{(D_{26}^{*}-A_{26}^{*})}^2\→\min ---\left(17\right)$

根据上述优化目标，结合具体的对称层合板结构模型，进行铺层顺序的优化计算，得到

的平方和最小的一组铺层顺序，即得到弯曲刚度准均匀性最优的一组铺层设计。

另外，当定向单层数p≤13时，宜采用穷举法寻找

的平方和最小的一组铺层顺序；当p＞13时，采用穷举法计算最优值是不现实的，可以采用随机取样计算法，在一定计算量的情况下，完全可以得到一个满意解。

4、优化结果

用上述的正则化刚度系数法得到了不同定向单层数下的最佳弯曲刚度准均匀性的铺层结构。优化结果表明，对于总层数为n的对称层合板，当单层组数m为最大值，即m＝n/2，且沿间隔为π/p弧度的方向铺设成对称层合板，随着参与优化的定向单层数p的增加，通过优化得到的对称层合板的弯曲刚度更趋均匀，当参与优化的定向单层数p达到最大值，即p＝n/2时，通过优化得到的对称层合板的弯曲刚度准均匀性最好。结论如下：

(1)对于总层数为n的对称层合板，铺层方式宜采用[θ₁/θ₂/.../θ_p]_qs，其中m＝p＊q且m＝n/2，定向单层之间的间隔为π/p弧度(p≥3)，用正则化刚度系数法可以得到在指定的定向单层数p下弯曲刚度准均匀性最佳的铺层顺序。

(2)在上述铺层结构中，随着参与优化的定向单层数p的增加，对称层合板的弯曲刚度更趋均匀；当p增加到n/2，q＝1时，用正则化刚度系数法可以得到在总层数n下弯曲刚度准均匀性最佳的铺层顺序。

5、最佳铺层弯曲刚度准均匀性的验证

根据优化后得到的最佳铺层顺序，利用有限元分析软件MSC.Patran中特有的复合材料定义模块，建立反射镜模型，在外加载荷作用下，验证反射镜的弯曲变形的对称性。

在MSC.Patran软件里定义单层板的工程弹性常数E1、E2、v1、G12，分别输入每个单层的厚度以及铺设角度，从而完成了对称层合板的定义。

建立CFRP反射镜的球壳模型，球壳的曲率半径为R，球壳口径为D，铺层总层数为n层，球壳总厚度为t。为了能很好的分析CFRP材料的弯曲刚度的准均匀性，采用四周环支撑的固定方式，通过在球壳顶点处施加径向力F，方向指向球心，观察碳纤维复合材料薄镜的变形。为了比较弯曲刚度的准均匀性，在有限元划分网格之前，在球壳上取一圆，圆心在球心与球壳顶点的连线上，圆的半径为r，并在圆上等距离撤下若干个网格种子(即指定一些点)，划分网格时将以这些点为基本节点。分析薄镜在各种铺层顺序下，种子节点在光轴方向上(Z component)的变形量，比较弯曲变形的对称性。

因为层合板在不同铺层顺序下的弯曲刚度不一样，所以，当球壳所受力大小一定时，节点变形量的平均值在不同铺层顺序下相差很大，不能直接比较。变异系数CV(Coefficient ofVariance)又叫离散系数，反映单位均值上的离散程度，常用于两个总体均值不等的离散程度的比较，数值上等于样本的标准差和平均数的比值。极差(Range)反映的是变化范围，数值上等于最大值减去最小值。所以，采用了极差和变异系数来评价面形变化，综合这两方面考虑，极差和变异系数的值都最小时的铺层顺序为最佳铺层顺序。

有限元法的分析表明：对于总层数为n、单层组数m为最大值(m＝n/2)、且沿间隔π/p弧度方向铺设成的对称层合板球壳，采用正则化刚度系数法得到的铺层顺序，在相同外力和边界条件下，相比同一定向单层数下的未优化铺层顺序，相同位置处变形量的变异系数CV和极差更小，意味着采用正则化刚度系数法得到的铺层顺序，其弯曲刚度准均匀性更好；随着参与优化的定向单层数p的增加，采用正则化刚度系数法得到的最佳铺层顺序，其模型变形量的变异系数CV和极差变小，表明弯曲刚度更趋均匀；当参与优化的p增加到最大值，即p＝n/2时，采用正则化刚度系数法得到的铺层顺序，其模型变形量的变异系数CV和极差是所有定向单层数下最小的，说明此时的非对称变形最小，弯曲刚度准均匀性最好。有限元法的分析验证了前面的优化结果。

本发明采用基于理论公式的正则化刚度系数法对铺层顺序进行设计和优化，可以经计算直接得到某一定向单层数下的最佳铺层顺序，由此获得的对称层合板不仅面内刚度准各向同性，其弯曲刚度的准均匀性在该定向单层数下达到最优，相比于未优化的铺层其弯曲刚度的准均匀性得到明显的提高(定向单层数≥4)。用这种铺层顺序加工而成的CFRP反射镜在主动变形下将有更小的非对称变形，从而提高反射镜在主动控制后的面形精度。用各种定向单层数下的铺层优化结果建立一系列的壳体模型，在相同的外力和边界条件下，经有限元静力学分析，比较不同模型上相同位置的节点的变形量，结果表明，在单层组数和可参与优化的定向单层数最大的条件下，按本发明的铺层制作方法即正则化刚度系数法得到的最佳铺层顺序组成的层合板其弯曲非对称变形最小，均匀性最好。

附图说明

图1是是对称层合板的结构模型示意图；

图2是本发明实施例提供的CFRP反射镜镜体在载荷下的受力变形云图；

图3是本发明实施例提供的CFRP反射镜的球壳有限元模型示意图；

图4～9是按不同铺层顺序方案得到的各种子节点变形量的对比示意图。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明作进一步描述。

实施例1

1、在本实施例中，碳纤维增强聚合物复合材料采用M40/环氧648，该材料单向板的工程弹性常数为：E₁＝206GPa，E₂＝9.02GPa，v₁＝0.3，G₁₂＝4.7GPa。此外，纤维体积含量v_f＝0.578，层合板总层数为24层，总厚度为3mm，单层厚度相同；层合板采用对称铺层形式。

具体实施步骤如下：

(1)在单层组数最大前提下，根据总层数，确定几种定向单层的铺层结构。

为了验证弯曲刚度准均匀性铺层设计的正则化刚度系数法，下面就具体实例，比较定向单层数由小到大的几种情况下，对称层合板的弯曲刚度均匀性。

将总层数为24的层合板设计成形如[θ₁/θ₂/.../θ_p]_qs的对称层合板，其中单层组数m＝p×q，且m为最大值12，而p可以是3，4，6和12，单层之间的角度间隔为π/p弧度。为了能在有限的范围内对铺层顺序进行优化，特设定θ₁～θ_p中有一个角度为0°，则其它的铺层角度也就确定了。在层数受限的情况下要得到准均匀的层合板，需要对p个定向单层的顺序进行优化，优化方法采用正则化刚度系数法。

(2)采用正则化刚度系数法对不同定向单层下的铺层顺序进行优化，对优化结果进行分析。

采用正则化弯曲刚度系数法对铺层顺序进行优化，令通过编程计算，得到不同定向单层数p时，

最小时的最佳铺层顺序及相应的Δ的值，记录在表1。

表1  不同定向单层数p下的最佳铺层顺序

p	Δ	最佳铺层顺序
			3	1.26809e+002	[-60/0/60]4s
4	2.22492e+002	[45/-45/0/90]3s
			6	3.03854e+001	[30/90/-30/-60/0/60]2s
12	8.75687e-003	[45/-15/-75/90/15/-45/-30/60/-60/0/30/75]s

由表1可以看出，当单层组数m最大时，Δ的值都随着参与优化的定向单层数p的增加而呈减小的趋势，特别是p为最大值12时，目标函数显著下降。优化结果表明：铺层顺序经过优化后，随着定向单层数p的增加，层合板受力弯曲时的变形逐渐均匀。当参与优化的定向单层数p增加到最大，即p＝n/2时，Δ的值最小，弯曲刚度的准均匀性最好。

为了比较上述最佳铺层与未优化铺层之间的弯曲准均匀性差异，在p＝3、4、6和12的铺层里任选一种铺层，计算它们的

(其中，i，j＝1，2，6)。这里选择0°为底层，且相邻铺层间角度间隔π/p的铺层顺序进行比较。计算结果如表2所示。

表2  任意铺层的

计算

比较表2和表1可知，未经优化的铺层，其

值全都大于表1里优化后铺层的

值，说明如果不进行优化，定向单层数大的铺层甚至可能不如优化过的定向单层数小的铺层的弯曲刚度准均匀性，这进一步说明铺层顺序优化的重要性。另外，单从表2看，这里所选的铺层中，p值大的铺层的

值大于p值小的铺层的

值，这说明如果铺层顺序不进行优化，按同样条件得出的铺层p值大的可能比p值小的弯曲刚度准均匀性差。所以，由此可知，如果不进行铺层顺序优化，即使定向单层数大，也不能得到弯曲刚度准均匀性好的对称层合板。这再次说明铺层顺序优化的重要性。

为了对本实施例提供的p＝12的铺层结构做进一步的分析和验证，按文献“碳纤维复合材料反射镜面板的铺层设计”(赵洪波，马丽华，姜志，[J]，光学技术，2004，29(3)，P365-367)中的一种铺层方式为对比例：将p′个定向单层[θ₁/θ₂/.../θ_p]视为第一单元，第二个单元由第一单元旋转(360/n)°得到(n是总层数)，以此类推可以得出上半层所有铺层顺序，然后再进行对称排布。比如，当总层数为24时，设第一单元的定向单层数p′＝3，若单元铺层方式为[0/60/-60]，则第一单元旋转15°得到第二单元，第二单元的铺层为[15/75/-45]；同理，第三和第四单元组铺层分别为[30/90/-30]和[45/-75/-15]，共旋转三次，因此，总的铺层结构为[45/-75/-15/30/90/-30/15/75/-45/0/60/-60]s，而实际层合板的定向单层数p为12。总层数为24时，可能的旋转单元是p′＝2、3、4和6。若第一单元定向层数p′＝2，则需旋转五次；若p′＝4，则需旋转两次；若p′＝6，需旋转一次；p′＝12的情况下，无需旋转。对于p′＝2，对比文献1仅列出了四种铺层；对于p′＝3，列出了包含0°、60°和-60°的全部6种铺层；对于p′＝4和6，仅列出一种铺层；对于p′＝12，仅列出了5种铺层，这对于实际可以达到的铺层数实在太少。这里选择对比文献1里p′＝3、4、6和12里重力变形较小的一种铺层，列出它们的

值(见表3)，其中p＝12的值来自于表2。

表3  对比文献1中铺层的

计算

为获得较好的弯曲刚度准均匀性，用正则化刚度法对第一单元p′个定向单层的铺层顺序进行优化。上述几种情况下，层合板实际的定向单层数p均为12，但能参与优化的变量只是第一单元的p′个定向单层。但p′＝12时，优化结果和表1相同。令第一单元的p′个定向单层的

通过编程计算，得到不同的p′下，Δ的值及最佳铺层顺序，优化结果见表4，其中p′表示第一单元的定向单层数，p表示层合板实际的定向单层数。

表4  对第一单元铺层顺序的优化

p′	p	Δ	第一单元铺层顺序	层合板的铺层顺序
					3	12	8.86053e+001	[0/60/-60]	[45/-75/-15/30/90/-30/15/75/-45/0/60/-60]s
4	12	7.75903e+001	[0/90/45/-45]	[30/-60/75/-15/15/-75/60/-30/0/90/45/-45]s
					6	12	3.50994e+001	[-30/90/30/60/0/-60]	[-15/-75/45/75/15/-45/-30/90/30/60/0/-60]s
12	12	8.75687e-003	[45/-15/-75/90/15/-45/-30/60/-60/0/30/75]	[45/-15/-75/90/15/-45/-30/60/-60/0/30/75]s

从表4可以看出，当第一单元定向单层数p′＝3时，最佳铺层顺序恰好与表3所列对比文献1的最佳铺层顺序相同，说明正则化刚度系数法所得铺层制作的面板，相比于同一定向单元数的其它铺层，不仅非对称变形最小，其重力变形也是最小的；而对于p′＝4、6、12，表3的结果都不如表4，这又一次说明了铺层顺序优化的作用。对比文献1在比较了p′＝2、3、4、6、12的13种铺层的有限元分析后得到这个结果，用本发明提供的方法只需一步计算就可以确定。对比文献1所列的铺层数太少，很难从中找出最佳结果。

从表4还可以看出，随着第一单元定向单层数p′的增加，Δ值下降，弯曲刚度准均匀性增加。很显然，优化变量的增加使得优化目标值变小。与表1的比较，表4的铺层结构(p′＝3，4，6)实际的定向单元数p＝12，但因为参与优化的第一单元定向单层数p′较小，Δ值仅比表1的p＝3，4的Δ值略小，大于表1中p＝6的Δ值。因此，最好的结果仍是表1中显示的p＝12时的情况，这时可优化的变量最多，因而弯曲刚度的准均匀性最好。

由此可见，要得到弯曲刚度准均匀性最好的对称层合板，在层数受限的情况下，仅是单层组数最大并不能得到最好的结果，必须同时满足参与优化的定向单层数最大的条件，才能得到弯曲刚度准均匀性最好的层合板。因此，按对比文献1得到的对比例铺层方法并不可取，不仅可优化的定向单层数少，而且实施起来工艺性欠佳。如果为降低工艺难度而选择较小的定向单层数p，又想保证一定的弯曲刚度准均匀性，应该选用表1的铺层形式，用正则化刚度系数法优化铺层，然后重复堆叠。

(3)有限元法验证

建立CFRP反射镜球壳模型，球壳的曲率半径为1m，球壳口径为500mm，铺层总层数为24层，单层厚度均为0.125mm，球壳厚度为3mm，不同的铺层结构通过修改材料获得。为了能更好的分析CFRP材料的弯曲刚度，采用四周环支撑的固定方式，通过在球壳顶点处施加径向力8N(方向指向球心)，观察球壳形碳纤维复合材料薄镜的变形。如果弯曲变形是均匀，则受力点四周对称位置的变形量应该相等；如果是等高线图，那么应该是同心圆。

通过分析，表1的各种铺层顺序下，镜面光轴方向(即模型的z方向)上的受力应变云图非常相似，选取其中一幅，如错误！未找到引用源。。受力变形图上是一系列同心圆，形状比较规则，从形状上很难直接看出弯曲变形的非对称性大小。

为了比较出上述各种铺层下的弯曲刚度的准均匀性，在有限元划分网格之前，在球壳上取一圆，圆心在球心与球壳顶点的连线上，圆的半径为50mm，并在圆上等距离撤下40个网格种子(即指定一些点)，划分网格时将以这些点为种子节点，其有限元模型如错误！未找到引用源。。

在表1的各种铺层顺序下，模型受外力后经MSC.Natran分析，由MSC.Patran导出种子节点在z方向上的变形量。经过数据处理，得到各铺层顺序下的极差(Rang)和变异系数(CV)来表征弯曲刚度准均匀性的大小，计算结果记录在表5中，其对应的节点在z方向的变形量曲线参见附错误！未找到引用源。。

表5  Z方向变形量的数据处理(对应表1中的铺层)

从表5可以看出，随着定向单层数p的增加，变形量的极差(Rang)和变异系数(CV)在减小；当p为最大值时(＝12)，Rang和CV达到最小，从数量上看，变形量的极差在纳米数量级，这对于空间反射镜面形误差要求(1/5～1/10)λPV(λ＝632.8nm)来讲，其影响可以忽略不计。

从错误！未找到引用源。上的变形量曲线也可明显看出，随着可优化的定向单层数p的增加，变形量变化范围逐渐缩小，意味着非对称变形在减小；p＝12时最佳铺层的变形量相对于其他的最佳铺层，其变形量的大小趋于一致，近似为一条水平直线，说明此时的非对称变形最小，弯曲刚度的准均匀性最佳；而其他的变形量变化范围比较大，呈波浪状，说明非对称变形较大，弯曲刚度的准均匀性较差。

对表2所列铺层按上面的方法进行有限元分析，并计算Rang和CV，计算结果见表6。从表6看，其Rang和CV值都大于表5。为了比较表5的最佳铺层与表6的未优化铺层的弯曲准均匀性差异，将相同p值铺层的节点变形曲线画在同一张图中进行对比，错误！未找到引用源。～错误！未找到引用源。分别对应p＝3，4，6和12的两种铺层的变形量曲线。从图上看，各定向单元数下的最佳铺层的非对称性的均好于未优化铺层，当p≥4时，这种差别就非常明显了；而在错误！未找到引用源。里，最优化铺层的变形量曲线几乎变成一条直线，而错误！未找到引用源。～错误！未找到引用源。中未优化铺层的变形量曲线均起伏较大，存在明显的非对称变形。这再次证明，正则化刚度系数法的对铺层顺序的优化，提高了对称层合板弯曲刚度的准均匀性；随着p值的增加，可优化变数增加，最大限度地提高了弯曲刚度准均匀性。

表6  Z方向变形量的数据处理(对应表2中的铺层)

p	铺层顺序	Range/mm	CV
				3	[0/60/-60]4s	8.80e-005	4.0851e-003
4	[0/45/90/-45]3s	1.06e-004	4.7862e-003
				6	[0/30/60/90/-60/-30]2s	1.46e-004	6.5717e-003
12	[0/15/30/45//60/75/90/-75/-60/-45/-30/-15]s	2.91e-004	1.3519e-002

同样，对表4所列铺层按上面的方法进行有限元分析，并计算Rang和CV，计算结果见表7。从表7看，这些用正则化刚度系数法优化过第一单元铺层顺序的Z方向变形量，其Rang和CV的情况与表5类似：随着第一单元可优化的定向单层数p′的增加，Rang和CV不断减小，当p′为最大值时(p′＝12)，就是表5中p＝12的结果，Rang和CV达到最小。表7中各铺层加上表5中p＝12铺层的变形量曲线一起，在错误！未找到引用源。中表示。与错误！未找到引用源。的情况相似，随着可优化的第一定向单层数p′的增加，变形量曲线的变化范围逐渐缩小，p＝12时，其变形量的大小趋于一致，近似为一条水平直线，说明此时的非对称变形最小，弯曲刚度的准均匀性最佳；而其他铺层的变形量变化范围比较大，呈波浪状，弯曲刚度的准均匀性较差。

另外，从表5、错误！未找到引用源。和表7、错误！未找到引用源。的对比可以看出，表5的p和表7的p′相同时，无论是Rang和CV的数值，还是错误！未找到引用源。、错误！未找到引用源。的变形量曲线，都很接近，说明这两种铺层方式下的弯曲刚度准均匀性很接近。这进一步的说明：对比文献1的铺层方法，尽管实际的定向单层数较多，但结果并不十分理想，且工艺性欠佳；如果为降低工艺难度而选择较小的定向单层数p，又想保证一定的弯曲刚度准均匀性，应该选用表1的铺层形式，用正则化刚度系数法得到最优的定向单层铺层顺序，然后重复堆叠。

表7  Z方向变形量的数据处理(对应表4中的铺层)

p′	p	第一单元铺层顺序	层合板的铺层顺序	Range/mm	CV
						3	12	[0/60/-60]	[45/-75/-15/30/90/-30/15/75/-45/0/60/-60]s	6.6e-005	3.2157e-003
4	12	[0/90/45/-45]	[30/-60/75/-15/15/-75/60/-30/0/90/45/-45]s	4.7e-005	2.2469e-003
						6	12	[-30/90/30/60/0/-60]	[-15/-75/45/75/15/-45/-30/90/30/60/0/-60]s	2.3e-005	1.1182e-003

综上所述，对于本实施例而言，用正则化刚度系数法，在单层组数最大条件下，当参与优化的定向单层组最大时，得到面内刚度准各向同性和弯曲刚度准均匀性最佳的铺层排布为[45/-15/-75/90/15/-45/-30/60/-60/0/30/75]s。

实施例2

选用和实施例1相同的碳纤维增强聚合物复合材料，相同的单层板工程弹性常数，相同的铺层形式，相同的单层板厚度，设定铺层角里有一个0°。对于总层数为30层的对称层合板，单层组数m应为15，定向单层数p可以为3、5、15，用正则化刚度系数法计算准各向同性准均匀对称层合板的最佳铺层顺序，其中p＝3和5时采用穷尽法，p＝15时采用了随机取样计算法，计算结果见表8。

表8  不同定向单层数p下的最佳铺层顺序

p	Δ	最佳铺层顺序
			3	8.09149e+001	[60/0/-60]5s
5	5.18902e+001	[-72/36/0/36/72]3s
			15	6.16177e-003	[84/-48/-12/24/48/36/-24/-84/-72/0/-60/60/12/72/-36]s

由表8可知，p＝15时的最佳铺层顺序的目标值Δ小于表1中p＝12铺层的目标值，说明在p增加的情况下，经过正则化刚度系数法的优化计算，弯曲刚度准均匀性得到了进一步的提高，符合前面的推断。因此，当总铺层为30时得到的铺层顺序[84/-48/-12/24/48/36/-24/-84/-72/0/-60/60/12/72/-36]s为准各向同性准均匀的一个较好的优化铺层。

实施例4

参照实施例2的各项条件，用正则化刚度系数法计算总层数为36层的对称层合板的准各向同性准均匀对称层合板的最佳铺层顺序。对于总层数为36层的对称层合板，单层组数m应为18，定向单层数p可以为3、6、9、18，其中p＝3、6和9时采用穷尽法，p＝18时采用了随机取样计算法，计算结果见表9。

表9  不同定向单层数p下的最佳铺层顺序

p	Δ	最佳铺层顺序
			3	5.60993e+001	[-60/0/60]6s
6	1.19056e+001	[30/90/-30/-60/0/60]3s
			9	1.19605	[40/-20/-80/-60/0/80/60/-40/20]2s
18	3.85189e-003	[40/0/-50/60/90/-10/-80/-20/-70/-60/50/-40/10/80/70/30/-30/20]s

由表9可知，p＝18时的最佳铺层顺序的目标值Δ小于表8中p＝15铺层的目标值，说明在p增加的情况下，经过正则化刚度系数法的优化计算，弯曲刚度准均匀性又提高了。因此，当总铺层为36时得到的铺层顺序[40/0/-50/60/90/-10/-80/-20/-70/-60/50/-40/10/80/70/30/-30/20]s同样也是准各向同性准均匀的一个较好的优化铺层。

Claims (6)

1.一种对称层合板的铺层制作方法，其特征在于，包括如下步骤：

(1)建立对称层合板几何模型，根据经典层合板理论，得到准各向同性准均匀条件下正则化面内刚度系数

和弯曲刚度系数

的关系式，以及它们与铺层角度、顺序的关系；

(2)在指定的定向单层数p下，采用正则化刚度系数法，以

的平方和为评价函数，i、j分别为矩阵的行和列，且i，j＝1，2，6，对铺层顺序进行优化调整；

(3)根据优化调整后得到的铺层顺序，采用层合板进行铺层制作，得到一种准各向同性准均匀对称层合板。

2.根据权利要求1所述的一种对称层合板的铺层制作方法，其特征在于，评价函数

的平方和最小的一组铺层顺序为优化结果。

3.根据权利要求1或2所述的一种对称层合板的铺层制作方法，其特征在于，所述的对称层合板的总层数为n，单层组数为m，且为最大值m＝n/2，定向单层之间的间隔为π/p弧度，铺层方式采用[θ₁/θ₂/.../θ_p]_qs，其中，p＊q＝m，p为对称层合板的定向单层数，且p≥3，q为[θ₁/θ₂/.../θ_p]铺层单元重复铺设的次数，θ为定向单层的铺层角度，s为上下对称铺层。

4.根据权利要求1或2所述的一种对称层合板的铺层制作方法，其特征在于：所述的对称层合板的总层数n为24，且单层厚度相等，其铺层顺序为[45/-15/-75/90/15/-45/-30/60/-60/0/30/75]s。

5.根据权利要求1或2所述的一种对称层合板的铺层制作方法，其特征在于：所述的对称层合板的总层数n为30，且单层厚度相等，其铺层顺序为[84/-48/-12/24/48/36/-24/-84/-72/0/-60/60/12/72/-36]s。

6.根据权利要求1或2所述的一种对称层合板的铺层制作方法，其特征在于：所述的对称层合板的总层数n为36，且单层厚度相等，其铺层顺序为[40/0/-50/60/90/-10/-80/-20/-70/-60/50/-40/10/80/70/30/-30/20]s。

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