CN110705100A - 对称复合材料层合板弯曲刚度铺层序优化设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明提出一种对称复合材料层合板弯曲刚度铺层序优化设计方法：通过线性和非线性敏度检测技术，在某一特定铺层位置筛选敏度铺向角，使用该敏度铺向角从中面位置向外部位置顺序地替换已有铺层铺向角进行寻优。本发明能有效解决等厚度复合材料层合板铺层序设计空间的组合爆炸问题，达到极大提高弯曲刚度且提升设计效率的目的。

Description

对称复合材料层合板弯曲刚度铺层序优化设计方法

技术领域

本发明涉及复合材料层合板技术领域，尤其涉及对称复合材料层合板弯曲刚度铺层序优化设计方法。

背景技术

现代航空器薄壁结构中已广泛应用碳纤维增强的树脂基复合材料，单向带是指厚度约0.2mm左右的单向纤维及树脂混合制成的薄片，将单向带按不同取向角层叠 在一起的板称为复合材料层合板或层合结构，取向角又称铺向角，某个铺层及其取 向角统称为角铺层，或简称为铺层。等厚度复合材料层合板多用于机体内部的板壳 结构如：加筋板、加筋肋等结构件。复合材料层合板的刚度特性分为面内拉剪刚度、 面外弯扭刚度以及两者的耦合刚度特性，面内刚度特性与角铺层的位置无关，面外 刚度则与角铺层位置呈三次方关系。当铺向角及铺层数一定时，从整体力学性能上 层合板铺层设计的主要任务是要获得最大面外刚度的一组铺层顺序，以提高层合板 的抗弯曲变形能力。另外，工程中通常仅使用对称铺层的层合板，即层合板几何中 面两侧的角铺层完全相同，这种层合板可避免非对称铺层导致的不利于承载的耦合 刚度特性。

层合板铺层序设计是一个高维离散变量的设计优化问题，变量包括总层数、铺 向角、铺层构形、铺层序等。工程中通常采用几种固定的铺向角，如{0°,45°,-45°,90°} 等。然而，即使只采用四种铺向角，对于一个64层的对称层合板而言，其铺层序的 组合数或变量设计空间可达4³²≈1.8446×10¹⁹。可见，随着铺层厚度和铺向角增多， 设计变量空间呈级数式递增并发生组合爆炸。同时在复合材料层合板设计中，优化 设计目标关于离散变量具有隐函数特征，这使得该问题计算量巨大且可能存在多个 满意解。但也正因为其高维设计的自由度，满足特定力学性能约束的轻重量刚度剪 裁方法成为轻型薄壁结构工程优化设计中的一项关键技术。

为解决好复合材料层合板铺层序的优化设计问题，过去30多年中，通常采用启 发式算法如遗传算法、粒子群算法、模拟退火算法、蚁群算法等。然而，启发式算 法存在以下缺陷：

(1)优化结果对初始参数极为敏感，对同一个问题需反复试算确定合适的初始参数，且不当的初始参数将导致算法提前收敛于局部解。

(2)启发式算法的寻优策略，如交叉、变异、筛选等算子，并未考虑层合板铺层 的离散特性、刚度按层叠加规律以及刚度的内在敏度信息，这使得启发式算法计算 量大、迭代收敛慢。

(3)启发式算法需多点起步，初始点的不确定性导致优化结果具有随机性，从而无法保证算法找到全局最优。

(4)启发式算法对复合材料层合板的工程约束难于处理，如要求层合板中同一铺层连续叠放不能超过4层、相邻铺层铺向角之差须小于45°等。

发明内容

为了解决上述问题，本发明提出了一种对称复合材料层合板弯曲刚度铺层序优化设计方法。

为达到上述目的，本发明的具体技术方案为：

对称复合材料层合板弯曲刚度铺层序优化设计方法，通过线性和非线性敏度检测技术，在某一特定铺层位置筛选敏度铺向角，使用所述敏度铺向角从中面位置向 外部位置顺序地替换已有铺层铺向角进行铺层序寻优。

进一步，具体包括如下步骤：

1)初始化：将候选铺向角逐个分配给层合板，层合板的所有铺层都设置为相同的铺向角，表达方程如下：

Φ＝[βⁿ,β^n-1,…,β¹],β¹＝β²＝…＝βⁿ＝θ,θ∈{θ₁,θ₂,...,θ_m} (5)

其中

表示将铺层序中所有铺向角设置为相同铺向角θ，然后对所有候选铺层序 执行符号优化算法，并计算目标函数值F，选择具有最大F_max的铺向角β_max为初 始敏度铺向角，即方程(6)中的β_max作为初始铺层序铺向角，将铺层序保存为Φ_ori：

2)线性敏度检测：

2-1)在最内层铺层位置，以预定义的铺向角顺序替换所有候选铺向角ω¹＝{ω|ω ∈{θ₁,θ₂,...,θ_m}_seq\{β_max}}，每次替换铺向角以后评目标函数值F，并将F与 F_max进行比较，如方程(8)所示

若F(Φ)>F_max，更新F_max＝F(Φ)，执行Γ₁(Φ(β，α_max))并输出铺层序Φ，铺层位置j＝1和敏度铺向角α_max，中断敏度检测，保存当前铺层序Φ_ori＝Φ，转步骤3)；若 在最内层铺层位置处对所有候选铺向角ω¹有F(Φ)≤F_max，通过式(8)筛选出敏度铺 向角α_max，转至步骤2-2)；

2-2)

将步骤2-1)计算得到的敏度铺向角α_max从最内层相邻的铺层位置连续替换到最外侧位置n-1，见公式(9)，每次执行Γ_j(Φ(β，α_max))替换 之后，计算目标函数值F，

若F(Φ^j)>F_max，更新F_max＝F(Φ^j)，并输出公式(9)中的铺层序Φ^j、铺层位置j和敏度铺向角α_max；中断敏度检测，更新Φ_ori＝Φ，转步骤3)；若对公式(9)中所有铺层 序中有F(Φ^j)≤F_max(j＝2,3,...,n-1)，线性敏度检测失败，将铺层序重置为原始铺 层序Φ＝Φ_ori，转步骤4)；

3)线性搜索：

用步骤2-1)中确定的敏度铺向角α_max铺层替换层合板中的铺层，从当前铺层位置k替换到最外侧位置n，见公式(10)，每次替换后 Γ_k(Φ(β，α_max))，评估目标函数值F，然后，执行符号优化算法调整层合板的符 号分布最小化弯扭耦合效应Φ＝SOA(Φ)，

若F(Φ^k)>F_max，更新F_max＝F(Φ^k)，保存当前铺层序Φ_ori＝Φ，对铺层位置k，k＝ k+1，若k＝＝n，转步骤2)；否则，转步骤3)继续搜索；

否则，若F(Φ^k)≤F_max(k＝j+1,j+2,...,n)，则将铺层序重置为原始铺层序Φ＝Φ_ori， 转步骤2)；

4)非线性敏度检测：

从最内层相邻的铺层位 置递增到n进行替换操作：在每个铺层位置，顺序检查{θ₁,θ₂,...,θ_m}_seq中的候选 铺向角，并且每次评估目标函数值F，

若F(Φ^k)>F_max，则置敏度铺向角

如方程(12)所示。然后，根据方程(11)中的铺层序更新F_max＝F(Φ^k)并记录铺层位置k，中断非线性敏度检测，转步骤3) 中继续搜索；

若方程(11)中所有铺层序有F(Φ^k)≤F_max，k＝2,3,...,n，非线性敏度检测失败，搜 索结束，转步骤5)；

5)获得最优解：对铺层序Φ执行符号优化算法，并将目标函数值F(Φ)与F(SOA(Φ)) 进行比较，F(Φ)与F(SOA(Φ))中使目标函数更优的确定为最终的最优解，输出最优铺层序Φ_opt和最优函数值f_opt＝F(Φ_opt)。

进一步，所述预定义的铺向角顺序为：假设先前的敏度铺向角是α_max＝θ_q且 q∈{1,2,…,m}，预定义{θ₁,θ₂,...,θ_m}_seq的候选铺向角，则其他试验铺向角的顺序设 置为

其中，下标_seq指预定义铺层序。

进一步，定义铺层序中铺向角替换运算符Γ为：

Γ_k(Φ(β，α))：Φ＝[βⁿ,β^n-1,…,β^k,…,β¹]→Φ＝[βⁿ,β^n-1,…,α^k,…,β¹]

其中，Γ_k(Φ(β，α))表示第k层的铺向角β^k被替换为α^k，

表示第i层到第 j层的铺向角β^j,…,βⁱ被连续替换为α^j,…,αⁱ。

本发明的有益效果：

本发明方法利用层合板刚度参数的按层叠加特性以及弯曲刚度关于层合板位置的三次函数关系，后文称作弯曲刚度沿厚度的离散敏度信息，能有效解决等厚度复 合材料层合板铺层序设计空间的组合爆炸问题，达到极大提高弯曲刚度且提升设计 效率的目的。

附图说明

图1为层合板在横向载荷下的弯曲示意图；

图2为层合板在面内载荷下的屈曲示意图；

图3为层合板的振动示意图；

图4为层合板铺层位置及铺向角定义示意图；

图5四个候选铺向角时的层压参数空间示意图；

图6多个候选铺向角时的层压参数空间示意图；

图7为本发明对称复合材料层合板弯曲刚度铺层序优化设计方法的流程示意图；

图8为层合板的几何模型示意图，其中：1表示第一个边界，2表示第二个边界， 3表示第三个边界，4表示第四个边界；

图9为对称层合板铺层位置和层合板铺向角定义。

具体实施方式

本发明提出了对称复合材料层合板弯曲刚度铺层序优化设计方法，该方法利用层合板刚度参数的按层叠加特性以及弯曲刚度关于层合板位置的三次函数关系，后 文称作弯曲刚度沿厚度的离散敏度信息，能有效解决等厚度复合材料层合板铺层序 设计空间的组合爆炸问题，达到极大提高弯曲刚度且提升设计效率的目的。

附图1至3分别描述了一矩形复合材料层合板受横向分布载荷的弯曲变形、面 内载荷下的屈曲变形以及线性弯曲自由振动问题，这三类弯曲变形问题的控制方程 可表示为：

其中，下标“,….”表示对函数做关于逗号后自变量的偏导数，w是板的挠度位 移函数，p是已知的垂直于板上表面的分布载荷，ρ是质量密度，h是板的总厚度， F_x和F_y分别表示沿x和y方向的面内载荷,F_xy为面内剪切载荷，D₁₁、D₁₆、D₁₂、D₆₆、 D₂₆、D₂₂是复合材料层合板在材料主轴系下的弯曲刚度系数，材料主轴的1方向即指 工程使用中定义的0°纤维基准方向，2方向指相对于基准纤维的90°方向。

本发明仅针对对称层合板的铺层序优化问题，设计变量为层合板半厚度中各角铺层上的铺向角β^k，一组逐层的铺向角序列即为一个铺层序，即板的铺层序定义为

Φ＝[βⁿ,β^n-1,…,β^k,…,β¹] (2)

其中，上标k，k＝1,…,n表示第k个角铺层的位置序号，见附图4，其中图4中 右侧公式为各铺层在厚度方向上的坐标。层合板优化问题可表述为：

Opt:f＝F(Φ)

Find:Φ＝[βⁿ,β^n-1,…,β^k,…,β¹]

s.t.:β^k∈{θ₁，θ₂，…,θ_r，…,θ_m},k＝1,2,…,n；

-90≤θ_r≤90,r＝1,2,…,m (3)

其中，Opt表示优化，f为优化目标值，函数F表示结构力学响应，如弯曲形变、 屈曲载荷系数或频率等，{θ₁,θ₂,…,θ_r,…,θ_m}是m个预定义的铺向角。

如图5、6所示，层压参数空间是一个三维实数的凸封闭域，即当总铺层数一定 且预定义了各铺向角及其数量后，对其所有可能的铺层序进行实数变换所得的一个 三维多面体，其特征为：(1)若各铺向角在总铺层中的比例确定，每个顶点对应于各 铺向角层组按比例顺序铺放的特定铺层序，设m为铺向角数，显然，该条件下层压 参数空间有m！个不同的顶点；(2)若各铺向角在总铺层中的比例未知，则每个顶点 则对应所有铺层为同一铺向角的特定铺层序，显然，顶点数与铺向角数相同。图5 和图6分别给出了4种和多种预定义的铺向角时，各铺层序在层压参数凸多面体空 间的示意图。铺层序优化问题是力学性能关于铺层序的隐函数计算关系，铺层序设 计应充分考虑弯曲刚度的固有叠加特性和层压参数的凸函数属性是必要的。若从层 压参数空间中各顶点处开始计算特定铺层序的力学性函数开始，并逐一检查各铺层 序对目标函数的敏度影响，并不断替换较小力学性能函数所占的铺层位置，那么预 期优化收敛速度较随机盲目生成的初始铺层序更快。这是因为复合材料层合板的力 学响应在层压参数设计空间上具有近似线性特征，如控制方程(1)所示，其中微分算 子中的弯曲刚度系数D_ij服从叠加原理。因此，在铺层序优化设计中考虑弯曲刚度系数D_ij的叠加及非线性规律，可明显提高层合板铺层序优化设计的效率。

基于上述分析，本发明的主要技术思路归纳如下，当初始铺层序由相同角铺层 构成时，可使用提出的铺向角敏度检测技术和铺向角的置换操作规则，从中面向外 层逐层调整铺层序进行力学性能的寻优，所谓寻优指优化后的复合材料层合板弯曲 刚度最大，在弯曲变形中指弯曲挠度最小，屈曲和自由振动问题中指其一阶特征值 最大。

基于以上讨论，本发明提出对称复合材料层合板弯曲刚度铺层序优化设计方法：该算法引入了层合板铺向角的敏度概念，通过线性和非线性敏度检测技术，在某一 特定铺层位置筛选敏度铺向角，使用该敏度铺向角从中面位置向外部位置顺序地替 换已有铺层铺向角进行铺层序寻优。如图5、6中的黑色箭头所示，序列置换搜索算 法沿着敏度方向逐层探测设计空间，即使用敏度铺向角从中面位置向外部位置顺序 地替换已有铺层铺向角进行寻优。

此外，采用符号优化算法控制弯扭耦合效应，SOA(Φ)表示对铺层序Φ执行符号优化算法，该算法独立设计层合板中各铺向角的“±”号。由于符号优化算法不需评估 目标函数，因此其计算成本非常低廉，以下将采用SOA表示符号优化算法。详细的 序列置换搜索算法介绍如下。

在序列置换搜索中，定义铺层序中铺向角替换运算符Γ为：

Γ_k(Φ(β，α))：Φ＝[βⁿ,β^n-1,…,β^k,…,β¹]→Φ＝[βⁿ,β^n-1,…,α^k,…,β¹]

其中Γ_k(Φ(β，α))表示第k层的铺向角β^k被替换为α^k，并且

表示第i层到第j层的铺向角β^j,…,βⁱ被连续替换为α^j,…,αⁱ。注意，在序列置换搜索算法中： 原始铺向角β^j,…,βⁱ可能不同，但是当识别出一个敏度铺向角时，替换敏度铺向角 α^j,…,αⁱ相同。设m个候选铺向角为{θ₁,θ₂,...,θ_m}，本发明对称复合材料层合板弯曲 刚度铺层序优化设计方法的流程图如附图7所示，详细步骤如下。

1)初始化。

将候选铺向角{θ₁,θ₂,...,θ_m}逐个分配给层合板，所有铺层都设置为相同的铺向角 θ∈{θ₁,θ₂,...,θ_m}，见方程(5)：

Φ＝[βⁿ,β^n-1,…,β¹],β¹＝β²＝…＝βⁿ＝θ,θ∈{θ₁,θ₂,...,θ_m} (5)

其中

表示将铺层序中所有铺向角设置为相同铺向角θ，然后对所有候选铺层序 执行符号优化算法，并计算目标函数值F。选择具有最大F_max的铺向角β_max为初 始敏度铺向角，即方程(6)中的β_max作为初始铺层序铺向角，将铺层序保存为Φ_ori：

2)线性敏度检测。

2-1)在铺层位置1，以预定义的顺序尝试所有候选铺向角ω¹＝{ω|ω∈{θ₁,θ₂,..., θ_m}_seq\{β_max}}，其中预定义候选铺向角顺序{θ₁,θ₂,...,θ_m}_seq由公式(13)确定。每次 尝试铺向角ω¹后，评估目标F，并将F与F_max进行比较，如方程(8)所示：

如果F(Φ)>F_max，更新F_max＝F(Φ)。同时，执行Γ₁(Φ(β，α_max))并输出铺层序Φ，铺层位置j＝1和铺向角α_max。中断敏度检测，Φ_ori＝Φ，转步骤3)。否则，在铺层 位置1处没有发现敏度铺向角，即在位置1处对所有候选铺向角有F(Φ)≤F_max。 此时仍然选择式(8)中的敏度铺向角α_max进行以下替换操作。

2-2)

将步骤2-1)中的敏度铺向角α_max从铺层位置2连续替换到最外侧位置n-1，见公式(9)。每次Γ_j(Φ(β，α_max))替换之后，计算目标函数值F。

若F(Φ^j)>F_max，更新F_max＝F(Φ^j)。同时，输出公式(9)中的铺层序Φ^j、铺层位置j和铺向角α_max。中断敏度检测，Φ_ori＝Φ，转步骤3)。否则，若对于公式(9)中的所 有铺层序有F(Φ^j)≤F_max(j＝2,3,...,n-1)，线性敏度检测失败，将铺层序重置为原 始铺层序Φ＝Φ_ori。转步骤4)。

3)线性搜索。

用步骤2-1)中的敏度铺向角α_max层替换层合板中的铺 层，从当前位置k替换到最外侧位置n，见公式(10)。每次替换后Γ_k(Φ(β，α_max))， 评估目标函数值F。并执行SOA调整层合板的符号最小化弯扭耦合效应 Φ＝SOA(Φ)。

如果F(Φ^k)>F_max，更新F_max＝F(Φ^k)。保存当前铺层序Φ_ori＝Φ，对铺层位置k，k ＝k+1。若k＝＝n，转步骤2)；否则，转步骤3)。

否则，若F(Φ^k)≤F_max(k＝j+1,j+2,...,n)，则将铺层序重置为原始铺层序Φ＝Φ_ori。 转步骤2)。

4)非线性敏度检测。

从铺层位置2到n进行替 换操作：在每个铺层位置，顺序检查{θ₁,θ₂,...,θ_m}_seq中的候选铺向角，并且每次 评估目标函数值F。

如果F(Φ^k)>F_max，则置敏度铺向角

见方程(12)。根据方程(11)中的铺层序更新F_max＝F(Φ^k)并记录铺层位置k，中断非线性敏度检测，转步骤3)。 否则，若对方程(11)中的所有铺层序有F(Φ^k)≤F_max，k＝2,3,...,n，非线性敏度检 测失败，搜索结束，转步骤5)。

5)获得最优解。对铺层序Φ执行SOA，并将目标函数值F(Φ)与F(SOA(Φ))进行比较， F(Φ)与F(SOA(Φ))中使目标函数更优的确定为最终的最优解，输出最优铺层序Φ_opt和最优函数值f_opt＝F(Φ_opt)。下标_opt表示最终优化解。

层合板中候选敏度铺向角{θ₁,θ₂,...,θ_m}_seq的顺序通过以下方式确定。预定义{θ₁, θ₂,...,θ_m}的候选铺向角。在敏度检测过程中，候选铺向角的试算顺序非常重要，因为一旦找到敏度铺向角α_max使得目标值更优，循环将跳出到线性搜索而不再尝试其他 铺向角。在序列置换搜索算法的迭代中，假设先前的敏度铺向角是α_max＝θ_q且 q∈{1,2,…,m}，则其他试验铺向角的顺序设置为：

其中，下标_seq指预定义铺层序。

例如，初始候选铺向角为{0、15、-15、30、-30、45、-45、60、-60、75、-75、 90}，且先前的敏度铺向角α_max＝-30，则{θ₁,θ₂,...,θ_m}_seq＝{30、45、-15、-45、15、 60、0、-60、75、-75、90}。由于下一个敏度铺向角以高概率出现在θ_q附近，所以首 先评估θ_q附近的铺向角。上述搜索过程的效率远高于顺序尝试所有候选铺向角的效 率。显然，θ_q在迭代期间是变化的，导致在铺层序Φ中存在多个不同铺向角α_max。同 时，{θ₁,θ₂,...,θ_m}_seq也随着α_max的变化而变化。

应注意，在序列置换搜索算法的步骤2中：线性敏度检测仅在铺层位置1处尝 试候选铺向角。因为在铺层位置1处，相对于其他位置处的铺向角其对目标函数影 响最小。如果检测到新的敏度铺向角α_max使得F>F_max。由于弯曲刚度系数中的标量 因子

可以放大由敏度铺向角α_max产生的敏度效应，因此期望从中面到最外侧的 铺层序Φ中连续铺设α_max搜索优化解。当敏度效果结束且目标值F≤F_max时，优化解 陷入某个局部最优，因此应检测新的敏度搜索方向。这可通过转向中面位置并在先 前的α_max附近尝试新的候选铺向角来实现，即式(8)和式(13)。重复上述过程中的步骤 2)和步骤3)，直到找不到新的敏度铺向角。

然后采用非线性敏度检测，即步骤4)：在每个堆叠位置，顺序检查候选铺向角{θ₁,θ₂,...,θ_m}_seq。如果找到新的敏度铺向角，则序列置换搜索算法将尝试通过线性搜索改 进优化解，即步骤3)；否则，若无铺向角可改善该铺层位置处的解，则重置铺层序 并转到下一个位置k＝k+1，尝试候选铺向角{θ₁,θ₂,...,θ_m}_seq，见式(10)。序列置换 搜索算法的收敛准则与其他算法不同，因为对目标计算次数或收敛极限没有限制。 当在任意铺层位置处无法找到新的敏度铺向角时，序列置换搜索算法停止。在大多 数情况下，序列置换搜索算法的目标函数计算次数非常少。

非线性敏度检测比线性敏度检测更昂贵：线性敏度检测的最大评估次数为m+n-3，即位置1的m-1次和位置2到位置n-1的n-2次；非线性灵敏检测的最大评估次数 为(m-1)(n-1)，即从位置2到位置n的每个位置处m-1次，这也是收敛准则的评估次 数。应该指出的是，线性和非线性敏度检测的设计空间并不重合。因此，为了找到 全局最优，非线性敏度检测是必不可少的。

实施例

本实施例是对一个矩形层合板在特定边界条件下的铺层序优化设计过程。

将序列置换搜索算法应用于矩形层合板的铺层序优化设计，使得层合板的基频最大化。采用瑞利-里兹法求解层合板的频率。所述矩形层合板为8层对称层合板， 材料常数为：E₁＝138Gpa,E₂＝8.96Gpa,G₁₂＝7.1Gpa,v₁₂＝0.3。矩形层合板的模型 如图8所示：图8中层合板的长、宽、高分别为a、b、h。层合板由2n个铺层组成， 铺层位置z_k和层合板铺向角β_k在图9中定义，其中，图9中右侧公式为各铺层在厚 度方向上的坐标。如图8所示，边界条件以逆时针方向沿板的四个边界分布，在图8 中用数字表示。层合板的边界条件包括简支、固支及自由：简支边界用字母S表示， 固支边界用字母C表示，自由边界用字母F表示。

本实施例中矩形板长宽比a/b＝1，即为正方形板。每一种铺层的候选铺向角共36个，角度间隔为5°。优化算法对目标函数f的评估次数用变量NF表示。由于层合板 对称，且共8层，故设计铺层序时仅需考虑层合板的一半，即4层。优化设计问题 的变量设计空间为36⁴＝1679616。沿图8中逆时针方向的边界条件设置为SFFF。

本实施例的具体过程包括以下步骤：

1)初始化。根据公式(5)和(6)，将层合板中所有铺层设置为相同铺向角，由于每一种 铺层的候选铺向角共36个，角度间隔为5°，因此计算了36次目标函数f。筛选 出使目标函数基频最大的最优铺层序Φ＝[45/45/45/45]_s，此时的敏度铺向角β_max＝ 45°，执行符号优化算法SOA(Φ)将弯扭耦合系数最小化后获得的优化铺层序为Φ_opt＝[45/-45/-45/-45]_s,对应的最优函数值f_opt＝21.6589。

2)线性敏度检测。由于之前的敏度铺向角为β_max＝45°，其他的候选敏度铺向角顺序 根据公式(13)确定为{θ₁,θ₂,...,θ_m}_seq。在最内侧铺层位置处依次试算各候选铺向角，筛选出新的敏度铺向角α_max＝-40°。此时，最优铺层序为：Φ_opt＝[45/-45/-45/-40]_s， 对应的f_opt＝21.6657。转步骤3)。

3)线性搜索。根据公式(10)将该敏度铺向角连续向外替换已有铺层铺向角，并计算 目标函数f。可得到更优的解：Φ_opt＝[45/-45/-40/-40]_s，对应的f_opt＝21.6970。而后，根据公式(10)继续采用敏度铺向角α_max＝-40°线性向外替换已有铺层铺向角，并计 算目标函数。此时，可确认目标函数将减小。因此，重置优化铺层序为Φ_opt＝ [45/-45/-40/-40]_s，对应的f_opt＝21.6970。返回步骤2)，继续检测最内侧处的敏度铺 向角，发现无新的敏度铺向角，转步骤4)。

4)非线性敏度检测。根据公式(11)在每一个位置处检测所有候选铺向角，发现无新的 敏度铺向角，通过此条件判定优化结果已收敛。转步骤5)。

5)获得最优解。对所获得的优化铺层序Φ，再次执行符号优化算法SOA，并比较目标函数值F(Φ)与F(SOA(Φ))，获得最优铺层序Φ_opt及其目标函数f_opt＝F(Φ_opt)。 表1中给出了序列置换搜索算法的搜索流程。

表1 SFFF边界条件下正方形板(a/b＝1)最大化基频的序列置换搜索算法流程

通过以上5个步骤，SFFF边界条件下正方形板的铺层序优化结束：通过采用序 列置换搜索算法高效地设计层合板的铺层序，经过186次目标函数试算得到了最优 铺层序Φ_opt＝[45/-45/-40/-40]_s或Φ_opt＝[-45/45/40/40]_s，优化后的最大基频为f_opt＝21.6970。

Claims (4)

1.对称复合材料层合板弯曲刚度铺层序优化设计方法，其特征在于，通过线性和非线性敏度检测技术，在某一特定铺层位置筛选敏度铺向角，使用所述敏度铺向角从中面位置向外部位置顺序地替换已有铺层铺向角进行铺层序寻优。

2.根据权利要求1所述的对称复合材料层合板弯曲刚度铺层序优化设计方法，其特征在于，具体包括如下步骤：

1)初始化：将候选铺向角逐个分配给层合板，层合板的所有铺层都设置为相同的铺向角，表达方程如下：

Φ＝[βⁿ,β^n-1,…,β¹],β¹＝β²＝…＝βⁿ＝θ,θ∈{θ₁,θ₂,...,θ_m} (5)

其中

表示将铺层序中所有铺向角设置为相同铺向角θ，SOA(Φ)表示对铺层序Φ执行符号优化算法，并计算目标函数值F，选择具有最大F_max的铺向角β_max为初始敏度铺向角，将铺层序保存为Φ_ori：

2)线性敏度检测：

2-1)在最内层铺层位置，以预定义的铺向角顺序替换所有候选铺向角ω¹＝{ω|ω∈{θ₁,θ₂,...,θ_m}_seq\{β_max}}，每次替换铺向角以后评估目标函数值F，并将F与F_max进行比较，如方程(8)所示

若F(Φ)>F_max，更新F_max＝F(Φ)，执行Γ₁(Φ(β，α_max))并输出铺层序Φ，铺层位置j＝1和敏度铺向角α_max，中断敏度检测，保存当前铺层序Φ_ori＝Φ，转至步骤3)；若在最内层铺层位置处对所有候选铺向角ω¹有F(Φ)≤F_max，通过式(8)筛选出敏度铺向角α_max，转至步骤2-2)；

2-2)

将步骤2-1)计算得到的敏度铺向角α_max从最内层相邻的铺层位置连续替换到最外侧位置n-1，见公式(9)，每次执行Γ_j(Φ(β，α_max))替换之后，计算目标函数值F，

若F(Φ^j)>F_max，更新F_max＝F(Φ^j)，并输出公式(9)中的铺层序Φ^j、铺层位置j和敏度铺向角α_max；中断敏度检测，更新Φ_ori＝Φ，转至步骤3)；若对公式(9)中所有铺层序中有F(Φ^j)≤F_max(j＝2,3,...,n-1)，线性敏度检测失败，将铺层序重置为原始铺层序Φ＝Φ_ori，转至步骤4)；

3)线性搜索：用步骤2-1)中确定的敏度铺向角α_max层替换层合板中的铺层，从当前铺层位置k替换到最外侧位置n，见公式(10)，每次替换后Γ_k(Φ(β，α_max))，评估目标函数值F，然后，执行符号优化算法调整层合板的符号最小化弯扭耦合效应Φ＝SOA(Φ)，

若F(Φ^k)>F_max，更新F_max＝F(Φ^k)，保存当前铺层序Φ_ori＝Φ，对铺层位置k，k＝k+1，若k＝＝n，转至步骤2)；否则，转至步骤3)继续搜索；

否则，若F(Φ^k)≤F_max(k＝j+1,j+2,...,n)，则将铺层序重置为原始铺层序Φ＝Φ_ori，转至步骤2)；

4)非线性敏度检测：

ω^k∈{θ₁,θ₂,...,θ_m}_seq，从最内层相邻的铺层位置递增到n进行铺向角替换操作：在每个铺层位置，顺序检查{θ₁,θ₂,...,θ_m}_seq中的候选铺向角，并且每次评估目标函数值F，

若F(Φ^k)>F_max，则置敏度铺向角

如方程(12)所示，然后，根据方程(11)中的铺层序更新F_max＝F(Φ^k)并记录铺层位置k，并中断非线性敏度检测，转至步骤3)中继续搜索；

若方程(11)中所有铺层序有F(Φ^k)≤F_max，k＝2,3,...,n，非线性敏度检测失败，搜索结束，转至步骤5)；

5)获得最优解：对铺层序Φ执行符号优化算法，并将目标函数值F(Φ)与F(SOA(Φ))进行比较，F(Φ)与F(SOA(Φ))中使目标函数更优的确定为最终的最优解，输出最优铺层序Φ_opt和最优函数值f_opt＝F(Φ_opt)。

3.根据权利要求2所述的对称复合材料层合板弯曲刚度铺层序优化设计方法，其特征在于，所述预定义的铺向角顺序为：假设先前的敏度铺向角是α_max＝θ_q且q∈{1,2,…,m}，预定义m个候选铺向角为{θ₁,θ₂,...,θ_m}，则其他候选铺向角的顺序设置为：

其中，下标_seq指预定义铺层序。

4.根据权利要求2所述的对称复合材料层合板弯曲刚度铺层序优化设计方法，其特征在于，定义铺层序中铺向角替换运算符Γ为：

其中，Γ_k(Φ(β，α))表示第k层的铺向角β^k被替换为α^k，

表示第i层到第j层的铺向角β^j,…,βⁱ被连续替换为α^j,…,αⁱ。

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