CN102263714A - 混沌优化的正交小波多模盲均衡方法 - Google Patents

Abstract

本发明公布了一种混沌优化的正交小波多模盲均衡方法(CO-WT-MMA)。包括如下步骤：将发射信号a(k)经过脉冲响应信道h(k)得到信道输出向量x(k)；采用信道噪声n(k)和信道输出向量x(k)得到正交小波变换器(WT)的输入信号y(k)＝n(k)+x(k)；将y(k)的实部和虚部分别经过正交小波变换和混沌初始化后，再经过相应的实部与虚部均衡器输出到复数加法器得输出z(k)。该发明在多模盲均衡方法(MMA)的基础上，通过归一化正交小波变换后，得到的基于正交小波变换的多模盲均衡方法(WT-MMA)加快了收敛速度，同时利用混沌变量的遍历性对权向量当前点进行扰动，在搜索进程中通过时变参数逐渐减小扰动幅度，从而使权向量达到全局最优值。水声信道仿真结果表明，与MMA及WT-MMA相比，本发明CO-WT-MMA具有更快的收敛速度和更小的稳态均方误差。

Description

混沌优化的正交小波多模盲均衡方法

技术领域

本发明涉及一种基于混沌优化的正交小波多模盲均衡方法。 

背景技术

水下通信系统中，信道的有限带宽和多途效应对码间干扰(ISI)有严重影响，导致信息传输的质量很差。为了消除ISI，可在接收端引入盲均衡技术，它不需要发射周期性训练序列，节省了带宽，有效地提高了频带利用率、通信的速度和质量。盲均衡方法中，常数模算法(CMA)适合于常模信号的均衡，但是高阶QAM信号的模值分布在多个半径不同的圆上，不是常数，对于不同模值的高阶QAM信号，CMA仍是将高阶QAM信号以同一模值进行均衡，导致了较大的误判(见文献[1]郭业才，张艳萍.一种适用于高阶QAM信号的双模式多模盲均衡算法[J].系统仿真学报，2008.3，20(6)：1423-1426；文献[2]许小东，戴旭初，徐佩霞.适合高阶QAM信号的加权多模盲均衡算法[J].电子与信息学报，2007.6，29(6)：1352-1355)，因此并不适合处理高阶QAM信号。对于高阶QAM信号，需要采用多模盲均衡方法(Multi-Modulus blind equalization Algorithm，MMA)进行均衡(见文献[2]许小东，戴旭初，徐佩霞.适合高阶QAM信号的加权多模盲均衡方法[J].电子与信息学报，2007.6，29(6)：1352-1355；文献[3]窦高奇，高俊.适用于高阶QAM系统的多模盲均衡新算法[J].电子与信息学报，2008.2，30(2)：388-391；文献[4]S.Daumont and D.L.Guennec.An AnalyticalMultimodulus Algorithm for Blind Demodulation in a Time-Varying MIMO ChannelContext[J].International Journal of Digital Multimedia Broadcasting Volume，2010)。MMA与CMA相比有较好的收敛性能，但收敛速度仍较慢，稳态误差也较大。利用小波变换对输入信号进行能量归一化，虽然可以有效降低信号与噪声的相关性(见文献[5]V.P.Kumar S，KVK Kishore and K.H.Kumar.Face Recognition UsingWavelet Based Kernel Locally Discriminating Projection[J].International Journal ofComputer Theory and Engineering.2010.8，2(4)：636-641；文献[6]Cooklev T.AnEfficient Architecture for Orthogonal Wavelet Transforms[J].IEEE Signal ProcessingLetters(S1070-9980)，2006，13(2)：77-79)，但是小波盲均衡仍是按梯度方向寻求最优权向量，对权向量的初始化很敏感，容易收敛至局部极小值。一般的随机优化方法是以一定的概率接受使目标函数变劣的点来跳出局部最优值，而混沌优化方 法利用了混沌变量的遍历性，按照其自身的运动规律达到全局最优值(见文献[7]A.Hubler，G.Foster，K.Phelps.Managing chaos：Thinking out of the box，Complexity.2007，12：10-13；文献[8]M.A.Torkamani，S.Mahmoodzadeh，S.Pourroostaei，and C.Lucas.Chaos Theory and Application in Foreign ExchangRates vs.IRR(Iranian Rial).World Academy of Science，Engineering and Technology，2007，30：328-332；文献[9]Y.Zhang，F.Zuo，Z.Zhai，and C.Xiaobin.A new imageencryption algorithm based on multiple chaos system[J].Proceedings of theInternational Symposium on Electronic Commerce and Security(ISE CS’08)，pp.2008.8：347-350；文献[10]J.M.Seoane，S.Zambrano and Miguel A.F.Sanjuan.Teaching Nonlinear Dyna-mics and Chaos for Beginners[J].Edvcatio PhysicorvmQvo Non Ascendam，2008.9，2(3)，205-211；文献[11]赵强.改进的混沌优化方法及其应用[J].自动化与仪器仪表，2006，3：90-92；文献[12]于大为，闻春燕等.混沌蚁群组合优化算法实现盲信号检测[J].计算机工程与应用，2009，45(34)：136-138)。 

发明内容

本发明目的是针对现有技术存在的缺陷，提供一种基于混沌优化的正交小波多模盲均衡方法。将正交小波变换引入到混沌优化算法中，发明了一种基于混沌优化的正交小波多模盲均衡方法(CO-WT-MMA)。与多模方法(MMA)及小波多模方法(WT-MMA)相比，该方法具有更快的收敛速度和更小的稳态均方误差。 

本发明为实现上述目的，采用如下技术方案： 

本发明基于混沌优化的正交小波多模盲均衡方法，包括如下步骤： 

a.)将发射信号a(k)经过脉冲响应信道h(k)得到信道输出向量x(k)，其中k为时间序列，下同； 

b.)采用信道噪声n(k)和步骤a)所述的信道输出向量x(k)得到正交小波变换器(WT)的输入信号y(k)＝n(k)+x(k)； 

其特征在于： 

c.)将步骤b)所述的正交小波变换器(WT)输入信号y(k)的实部和虚部分别经过正交小波变换器和混沌初始化后，再经过相应的实部与虚部均衡器输出到复数加法器得到输出z(k)； 

当均衡器w(k)为有限冲击响应滤波器时，w(k)用一组正交小波基函数来表示 

式中，k＝0，1，L，N-1，k_l＝N/2^l-1(l＝1，2，L，L)为尺度l下小波函数的最大平移，N为均衡器的长度，L为最大尺度；φ_l，m(k)为k时刻在尺度因子l和平移因子m下的小波函数，φ_r，l，m(k)、φ_i，l，m(k)分别表示小波函数φ_l，m(k)的实部和虚部， 

为k时刻在最大尺度L和平移因子m下的尺度函数， 

分别表示尺度函数 

的实部和虚部；d_l，m为在尺度因子l和平移因子m下的均衡器加权系数，d_r，l，m、d_i，l，m分别为d_l，m的实部和虚部，v_L，m在最大尺度L和平移因子m下的均衡器加权系数，v_r，L，m和v_i，L，m分别为v_L，m的实部和虚部；w_r(k)、w_i(k)分别为权向量w(k)的实部和虚部；均衡器的输出z(k)为 

$z_r\left(k\right)=\underset{t=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}{w}_{r,t}\left(k\right){\·y}_r(k-t)=\underset{l=0}{\overset{L}{\mathrm{\Σ}}}\underset{m=0}{\overset{k_l}{\mathrm{\Σ}}}{d}_{r,l,m}\left(k\right)\·r_{r,l,m}\left(k\right)+\underset{m=0}{\overset{k_L}{\mathrm{\Σ}}}{v}_{r,L,m}\left(k\right)\·s_{r,L,m}\left(k\right)---\left(2a\right)$

$z_i\left(k\right)=\underset{t=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}{w}_{i,t}\left(k\right){\·y}_i(k-t)=\underset{l=0}{\overset{L}{\mathrm{\Σ}}}\underset{m=0}{\overset{k_l}{\mathrm{\Σ}}}{d}_{i,l,m}\left(k\right)\·r_{i,l,m}\left(k\right)+\underset{m=0}{\overset{k_L}{\mathrm{\Σ}}}{v}_{i,L,m}\left(k\right)\·s_{i,L,m}\left(k\right)---\left(2b\right)$

式中，r_r，l，m(k)、r_i，l，m(k)、s_r，L，m(k)、s_i，L，m(k)分别为相应的小波和尺度变换系数的实部和虚部，z_r(k)、z_i(k)分别为均衡器输出z(k)的实部和虚部； 

$R_r\left(k\right)={[r_{r,\mathrm{1,0}}\left(k\right),r_{r,\mathrm{1,1}}\left(k\right),...,r_{r,L,k_L-1}\left(k\right),s_{r,L,0}\left(k\right),s_{r,L,1}\left(k\right),...,s_{r,L,k_L-1}\left(k\right)]}^T---\left(3a\right)$

$R_i\left(k\right)={[r_{i,\mathrm{1,0}}\left(k\right),r_{i,\mathrm{1,1}}\left(k\right),...,r_{i,L,k_L-1}\left(k\right),s_{i,L,0}\left(k\right),s_{i,L,1}\left(k\right),...,s_{i,L,k_L-1}\left(k\right)]}^T---\left(3b\right)$

均衡器的未知权系数记为 

$w_r\left(k\right)={[d_{r,\mathrm{1,0}}\left(k\right),d_{r,\mathrm{1,1}}\left(k\right),L,d_{r,L,k_L-1}\left(k\right),v_{r,L,0}\left(k\right),L,v_{r,L,k_L-1}\left(k\right)]}^T---\left(4a\right)$

$w_i\left(k\right)={[d_{i,\mathrm{1,0}}\left(k\right),d_{i,\mathrm{1,1}}\left(k\right),L,d_{i,L,k_L-1}\left(k\right),v_{i,L,0}\left(k\right),L,v_{i,L,k_L-1}\left(k\right)]}^T---\left(4b\right)$

式中，w_r(k)和w_i(k)分别为权向量w(k)的实部和虚部。 

于是，信号y(k)经正交小波变换后，得 

R_r(k)＝y_r(k)Q_r                       (5a) 

R_i(k)＝y_i(k)Q_i                       (5b) 

式中，Q_r、Q_i为正交小波变换矩阵的实部和虚部，R_r(k)和R_i(k)分别为小波变换后输出信号的实部和虚部。 

信道均衡器的输出为 

$z_r\left(k\right)=w_r^H\left(k\right)R_r\left(k\right)---\left(6a\right)$

z_i(k)＝w_i ^H(k)R_i(k)                   (6b) 

则信道均衡器权向量的迭代公式为 

$w_r(k+1)=w_r\left(k\right)-\mathrm{\μ}{{\hat{R}}_r}^{-1}\left(k\right)e_r\left(k\right){R_r}^{*}\left(k\right)---\left(7a\right)$

$w_i(k+1)=w_i\left(k\right)-\mathrm{\μ}{{\hat{R}}_i}^{-1}\left(k\right)e_i\left(k\right){R_i}^{*}\left(k\right)---\left(7b\right)$

式中，e_r(k)＝z_r(k)[|z_r(k)|²-R_r ²]，e_i(k)＝z_i(k)[|z_i(k)|²-R_i ²]分别为误差函 数的实部和虚部，R_r ²、R_i ²分别为发射信号模值的实部和虚部，定义为 

${R_r}^2=\frac{E\left\{{\left|a_r\left(k\right)\right|}^4\right\}}{E\left\{{\left|a_r\left(k\right)\right|}^2\right\}},$ ${R_i}^2=\frac{E\left\{{\left|a_i\left(k\right)\right|}^4\right\}}{E\left\{{\left|a_i\left(k\right)\right|}^2\right\}}---\left(8\right)$

${{\hat{R}}_r}^{-1}\left(k\right)=\mathrm{diag}[{\mathrm{\σ}}_{r,l,0}^2\left(k\right),{\mathrm{\σ}}_{r,l,1}^2\left(k\right),L,{\mathrm{\σ}}_{r,l,k_L-1}^2\left(k\right),{\mathrm{\σ}}_{r,L+\mathrm{1,0}}^2\left(k\right),L,{\mathrm{\σ}}_{r,L+1,k_L-1}^2\left(k\right)]---\left(9a\right)$

${{\hat{R}}_i}^{-1}\left(k\right)=\mathrm{diag}[{\mathrm{\σ}}_{i,l,0}^2\left(k\right),{\mathrm{\σ}}_{i,l,1}^2\left(k\right),L,{\mathrm{\σ}}_{i,l,k_L-1}^2\left(k\right),{\mathrm{\σ}}_{i,L+\mathrm{1,0}}^2\left(k\right),L,{\mathrm{\σ}}_{i,L+1,k_L-1}^2\left(k\right)]---\left(9b\right)$

式中，diag[]表示对角矩阵， ${\mathrm{\σ}}_{r,l,k_L}^2\left(k\right),{\mathrm{\σ}}_{i,l,k_L}^2\left(k\right),{\mathrm{\σ}}_{r,L+1,k_L}^2\left(k\right),{\mathrm{\σ}}_{i,L+1,k_L}^2\left(k\right)$ 分别表示对r_l，n(k)和s_L，n(k)的实部和虚部的平均功率估计，r_l，n(k)表示在k时刻小波空间l层分解的第n个信号，s_L，n(k)表示k时刻尺度空间中最大分解层数L时的第n个信号，对其进行了能量归一化处理，迭代公式为 

${\mathrm{\σ}}_{r,l,n}^2(k+1)={\mathrm{\β\σ}}_{r,l,n}^2\left(k\right)+(1-\mathrm{\β}){\left|r_{r,l,n}\left(k\right)\right|}^2---\left(10a\right)$

${\mathrm{\σ}}_{i,l,n}^2(k+1)={\mathrm{\β\σ}}_{i,l,n}^2\left(k\right)+(1-\mathrm{\β}){\left|r_{i,l,n}\left(k\right)\right|}^2---\left(10b\right)$

${\mathrm{\σ}}_{r,L+1,n}^2(k+1)={\mathrm{\β\σ}}_{r,L+1,n}^2\left(k\right)+(1-\mathrm{\β}){\left|s_{r,L,n}\left(k\right)\right|}^2---\left(11a\right)$

${\mathrm{\σ}}_{i,L+1,n}^2(k+1)={\mathrm{\β\σ}}_{i,L+1,n}^2\left(k\right)+(1-\mathrm{\β}){\left|s_{i,L,n}\left(k\right)\right|}^2---\left(11b\right)$

式中，β为平滑因子，且0＜β＜1。 

2、根据权利要求1所述的基于混沌优化的正交小波多模盲均衡方法，其特征在于所述混沌优化算法优化均衡器权向量的步骤如下： 

步骤1：给定n个[0，1]区间的相异值构成向量c(0)，不能取0，0.25，0.5，0.75，1，n为权向量的维数，设定权向量最优解为w^*，对应的代价函数为J^*及J_max的初值，令计数器K＝0，K′＝0，t＝0； 

步骤2：通过式(12)的Logistic映射迭代得到n个轨迹不同的混沌变量，并分别通过式 

w_r(K)＝s_r+r_rc(K)                                    (12a) 

w_i(K)＝s_i+r_ic(K)                                    (12b) 

放大到优化变量的取值范围，式中，w_r(K)、w_i(K)分别为w(K)的实部和虚部，s_r＝d_r，s_i＝d_i，r_r＝e_r-d_r，r_i＝e_i-d_i，c(K)为混沌变量，遍历的区间为[d，e]，d_r、d_i为d的实部和虚部，e_r、e_i为e的实部和虚部，d、e为复数； 

步骤3：用混沌变量进行迭代，计算相应的性能指标J(w(K))，并保留J(w(K))中的最大值J_max和最小值J^*； 

如果J(w(K))≤J^*，那么J^*＝J(w(K))， 

如果J(w(K))＞J_max，那么J_max＝J(w(K))，K＝K+1，如果K≤N₁，则转步骤2； 

步骤4：经过上述N₁步搜索得到J^*，其中N₁为混沌搜索最大迭代次数，选择参数P，计算时变参数Ψ(t)的初始值：Ψ(0)＝(J^*-J_max)/lnP，其中ln(·)为以自然数为底的对数，并按照下式进行二次载波 

$w_r^{\′}\left(K^{\′}\right)=w_r^{*}+\mathrm{\Ψ}\left(t\right)(c\left(K^{\′}\right)-0.5)---\left(13a\right)$

$w_i^{\′}\left(K^{\′}\right)=w_i^{*}+\mathrm{\Ψ}\left(t\right)(c\left(K^{\′}\right)-0.5)---\left(13b\right)$

式中， 

为当前最优解w^*的实部和虚部； 

步骤5：用二次载波后的混沌变量进行细搜索，计算相应的性能指标J(w(K′))。 

如果J(w(K′))≤J^*，那么J^*＝J(w(K′))， 

否则，放弃w_r(K′)和w_i(K′)。K′＝K′+1，Ψ(t+1)＝λΨ(t)，t＝t+1。 

步骤6：如果满足终止判据K′＞N₂，N₂为混沌二次搜索的迭代次数，则搜索结束，输出J^*和对应的全局最优解w^*；反之，则返回步骤5。 

本发明提供了一种混沌优化的正交小波多模盲均衡方法，将正交小波变换多模盲均衡算法与混沌优化算法相结合，充分利用了混沌运动的遍历性和内随机性特性。该发明方法在对输入信号去相关的同时，搜索过程按照混沌运动自身的规律进行，有效地避免了目标函数陷入局部极小值，从而很好地加快了收敛速度、减小了稳态误差。仿真结果表明，与MMA和WT-MMA相比，该发明方法能够更有效地抑制噪声和信道畸变，其收敛速度和稳态性能都得到了很大的提高。 

附图说明

图1：本发明混沌优化的正交小波多模盲均衡方法原理图； 

图2：仿真结果，(a)均方误差曲线，(b)MMA输出，(c)WT-MMA输出，(d)本发明CO-WT-MMA输出。 

具体实施方式

图1中不含虚线框部分所示，是复基带等效多模盲均衡系统框图，a(k)是发射信号序列，是复信源符号；h(k)是信道脉冲响应向量且长度为N；n(k)是加性高斯白噪声；y(k)＝y_r(k)+j·y_i(k)是均衡器接收信号向量；w(k)＝[w_r0(k)+j·w_i0(k)，...，w_rN(k)+j·w_iN(k)]^T是均衡器权系数向量且长度为L，“j”为虚部虚单位；z(k)＝z_r(k)+j·z_i(k)是均衡器输出信号。其中，y_r(k)、y_i(k)分别是接收信号y(k)的实部和虚部，w_r(k)、w_i(k)分别是权向量w(k)的实部和虚部，z_r(k)、z_i(k)分别是均衡器输出z(k)的实部和虚部。 

设a(k)＝[a_r(k)+j·a_i(k)，..，a_r(k-N+1)+j·a_i(k-N+1)]^T(上标T表示转置)，其中，a_r(k)、a_i(k)分别是信源发射信号a(k)的实部和虚部，则接收信号为 

$y\left(k\right)=\underset{t=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}{h}_{r}a(k-t)+n\left(k\right)=h^{T}a\left(k\right)+n\left(k\right)---\left(1\right)$

相应的均衡器权向量迭代关系式为 

w_r(k+1)＝w_r(k)-μ·e_r(k)·y_r ^*(k)                            (2a) 

w_i(k+1)＝w_i(k)-μ·e_i(k)·y_i ^*(k)                            (2b) 

式中， $e_r\left(k\right)=z_r\left(k\right)[z_r^2\left(k\right)-{R_r}^2],$ $e_i\left(k\right)=z_i\left(k\right)[z_i^2\left(k\right)-{R_i}^2]$ 分别为误差函数的实部和虚部，μ为迭代步长。 

均衡器的输出为 

$z_r\left(k\right)=\underset{t=0}{\overset{M-1}{\mathrm{\Σ}}}{w}_{r,t}\left(k\right)y_r(k-t)={w_r}^T\left(k\right)y_r\left(k\right)---\left(3a\right)$

$z_i\left(k\right)=\underset{t=0}{\overset{M-1}{\mathrm{\Σ}}}{w}_{i,t}\left(k\right)y_i(k-t)={w_i}^T\left(k\right)y_i\left(k\right)---\left(3b\right)$

式中，z_r(k)、z_i(k)分别为均衡器输出z(k)的实部和虚部。 

CMA的代价函数可表示为 

其中， 

是仅与信源统计特性相关的恒定正常数。CMA仅利用了均衡器输出信号的幅度信息，具有相位模糊性，收敛速度慢，在处理高阶QAM信号时，稳态误差非常大。而MMA是将均衡器的输出分为实部和虚部，在同相和正交方向上选取各自的模值，既利用了均衡器输出信号的幅度信息，又利用了相位信息，消除了相位模糊性，在稳态收敛性能方面有很大提高。 

多模盲均衡方法(Multi-Modulous blind equalization Algorithm MMA)的代价函数为J_MMA(w)＝E{(z_r ²-R_r ²)²+(z_i ²-R_i ²)²}，其中， 

分别表示发射信号同相方向和正交方向的模值。 

混沌优化的正交小波多模盲均衡方法 

将混沌优化算法和正交小波变换引入多模盲均衡算法中，得到混沌优化的正交小波多模盲均衡方法(CO-WT-MMA)，其原理框图，如图1中包含虚线框在内的部分所示。该方法对均衡器输入信号进行正交小波变换，然后对其进行能量归一化，同时对均衡器权向量进行寻优搜索，将搜索到的全局最优值作为均衡器初始权向量。 

图1中，均衡器接收信号y(k)先经过正交小波变换，小波均衡器设计如下： 

小波变换理论分析知，当均衡器w(k)为有限冲击响应滤波器时，w(k)可用一组正交小波基函数来表示，w(k)可表示为 

式中，k＝0，1，L，N-1，k_l＝N/2^l-1(l＝1，2，L，L)为尺度l下小波函数的最大平移，N为均衡器的长度，L为最大尺度；φ_l，m(k)为k时刻在尺度因子l和平移因子m下的小波函数，φ_r，l，m(k)、φ_i，l，m(k)分别表示小波函数φ_l，m(k)的实部和虚部， 

为k时刻在最大尺度L和平移因子m下的尺度函数， 

分别表示尺度函数 

的实部和虚部；d_l，m为在尺度因子l和平移因子m下的均 衡器加权系数，d_r，l，m、d_i，l，m分别为d_l，m的实部和虚部，v_L，m在最大尺度L和平移因子m下的均衡器加权系数，v_r，L，m和v_i，L，m分别为v_L，m的实部和虚部；w_r(k)、w_i(k)分别为权向量w(k)的实部和虚部；均衡器的输出z(k)为 

$z_r\left(k\right)=\underset{t=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}{w}_{r,t}\left(k\right){\·y}_r(k-t)=\underset{l=0}{\overset{L}{\mathrm{\Σ}}}\underset{m=0}{\overset{k_l}{\mathrm{\Σ}}}{d}_{r,l,m}\left(k\right)\·r_{r,l,m}\left(k\right)+\underset{m=0}{\overset{k_L}{\mathrm{\Σ}}}{v}_{r,L,m}\left(k\right)\·s_{r,L,m}\left(k\right)---\left(5a\right)$

$z_i\left(k\right)=\underset{t=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}{w}_{i,t}\left(k\right){\·y}_i(k-t)=\underset{l=0}{\overset{L}{\mathrm{\Σ}}}\underset{m=0}{\overset{k_l}{\mathrm{\Σ}}}{d}_{i,l,m}\left(k\right)\·r_{i,l,m}\left(k\right)+\underset{m=0}{\overset{k_L}{\mathrm{\Σ}}}{v}_{i,L,m}\left(k\right)\·s_{i,L,m}\left(k\right)---\left(5b\right)$

式中，r_r，l，m(k)、r_i，l，m(k)、s_r，L，m(k)、s_i，L，m(k)分别为相应的小波和尺度变换系数的实部和虚部，z_r(k)、z_i(k)分别为均衡器输出z(k)的实部和虚部； 

$R_r\left(k\right)={[r_{r,\mathrm{1,0}}\left(k\right),r_{r,\mathrm{1,1}}\left(k\right),...,r_{r,L,k_L-1}\left(k\right),s_{r,L,0}\left(k\right),s_{r,L,1}\left(k\right),...,s_{r,L,k_L-1}\left(k\right)]}^T---\left(6a\right)$

$R_i\left(k\right)={[r_{i,\mathrm{1,0}}\left(k\right),r_{i,\mathrm{1,1}}\left(k\right),...,r_{i,L,k_L-1}\left(k\right),s_{i,L,0}\left(k\right),s_{i,L,1}\left(k\right),...,s_{i,L,k_L-1}\left(k\right)]}^T---\left(6b\right)$

式中，R_r(k)和R_i(k)分别为小波变换后输出信号的实部和虚部。 

均衡器的未知权系数记为 

$w_r\left(k\right)={[d_{r,\mathrm{1,0}}\left(k\right),d_{r,\mathrm{1,1}}\left(k\right),L,d_{r,L,k_L-1}\left(k\right),v_{r,L,0}\left(k\right),L,v_{r,L,k_L-1}\left(k\right)]}^T---\left(7a\right)$

$w_i\left(k\right)={[d_{i,\mathrm{1,0}}\left(k\right),d_{i,\mathrm{1,1}}\left(k\right),L,d_{i,L,k_L-1}\left(k\right),v_{i,L,0}\left(k\right),L,v_{i,L,k_L-1}\left(k\right)]}^T---\left(7b\right)$

式中，w_r(k)和w_i(k)分别为权向量w(k)的实部和虚部，“[·]^T”表示向量或矩阵的转置。 

于是，信号y(k)经正交小波变换后，得 

R_r(k)＝y_r(k)Q_r                                    (8a) 

R_i(k)＝y_i(k)Q_i                                    (8b) 

式中，Q_r、Q_i为正交小波变换矩阵的实部和虚部。 

信道均衡器的输出为 

$z_r\left(k\right)=w_r^H\left(k\right)R_r\left(k\right)---\left(9a\right)$

z_i(k)＝w_i ^H(k)R_i(k)                                    (9b) 

则信道均衡器权向量的迭代公式为 

$w_r(k+1)=w_r\left(k\right)-\mathrm{\μ}{{\hat{R}}_r}^{-1}\left(k\right)e_r\left(k\right){R_r}^{*}\left(k\right)---\left(10a\right)$

$w_i(k+1)=w_i\left(k\right)-\mathrm{\μ}{{\hat{R}}_i}^{-1}\left(k\right)e_i\left(k\right){R_i}^{*}\left(k\right)---\left(10b\right)$

式中，e_r(k)＝z_r(k)[|z_r(k)|²-R_r ²]，e_i(k)＝z_i(k)[|z_i(k)|²-R_i ²]分别为误差函数的实部和虚部，R_r ²、R_i ²分别为发射信号模值的实部和虚部，定义为 

${R_r}^2=\frac{E\left\{{\left|a_r\left(k\right)\right|}^4\right\}}{E\left\{{\left|a_r\left(k\right)\right|}^2\right\}},$ ${R_i}^2=\frac{E\left\{{\left|a_i\left(k\right)\right|}^4\right\}}{E\left\{{\left|a_i\left(k\right)\right|}^2\right\}}---\left(11\right)$

${{\hat{R}}_r}^{-1}\left(k\right)=\mathrm{diag}[{\mathrm{\σ}}_{r,l,0}^2\left(k\right),{\mathrm{\σ}}_{r,l,1}^2\left(k\right),L,{\mathrm{\σ}}_{r,l,k_L-1}^2\left(k\right),{\mathrm{\σ}}_{r,L+\mathrm{1,0}}^2\left(k\right),L,{\mathrm{\σ}}_{r,L+1,k_L-1}^2\left(k\right)]---\left(12a\right)$

${{\hat{R}}_i}^{-1}\left(k\right)=\mathrm{diag}[{\mathrm{\σ}}_{i,l,0}^2\left(k\right),{\mathrm{\σ}}_{i,l,1}^2\left(k\right),L,{\mathrm{\σ}}_{i,l,k_L-1}^2\left(k\right),{\mathrm{\σ}}_{i,L+\mathrm{1,0}}^2\left(k\right),L,{\mathrm{\σ}}_{i,L+1,k_L-1}^2\left(k\right)]---\left(12b\right)$

式中，diag[]表示对角矩阵， 

分别表示对r_l，n(k)和s_L，n(k)的实部和虚部的平均功率估计，r_l，n(k)表示在k时刻小波空间l层分解的第n个信号，s_L，n(k)表示在k时刻尺度空间中最大分解层数L时的第n个信号，对其进行了能量归一化处理，迭代公式为 

${\mathrm{\σ}}_{r,l,n}^2(k+1)={\mathrm{\β\σ}}_{r,l,n}^2\left(k\right)+(1-\mathrm{\β}){\left|r_{r,l,n}\left(k\right)\right|}^2---\left(13a\right)$

${\mathrm{\σ}}_{i,l,n}^2(k+1)={\mathrm{\β\σ}}_{i,l,n}^2\left(k\right)+(1-\mathrm{\β}){\left|r_{i,l,n}\left(k\right)\right|}^2---\left(13b\right)$

${\mathrm{\σ}}_{r,L+1,n}^2(k+1)={\mathrm{\β\σ}}_{r,L+1,n}^2\left(k\right)+(1-\mathrm{\β}){\left|s_{r,L,n}\left(k\right)\right|}^2---\left(14a\right)$

${\mathrm{\σ}}_{i,L+1,n}^2(k+1)={\mathrm{\β\σ}}_{i,L+1,n}^2\left(k\right)+(1-\mathrm{\β}){\left|s_{i,L,n}\left(k\right)\right|}^2---\left(14b\right)$

式中，β为平滑因子，且0＜β＜1，一般β取值略小于1。称式(4a)、(4b)至(14a)、(14b)为正交小波多模盲均衡方法(WT-MMA)。混沌初始化权向量的过程如下所述。 

混沌优化方法 

传统的WT-MMA方法利用构造的代价函数对均衡器权向量求梯度，该方法确定的均衡器权向量的迭代方程容易陷入局部极小解，缺乏全局搜索能力。混沌序列能够不重复地经历其混沌吸引域内的所有状态，混沌优化算法利用混沌变量的这一特性，按其自身的运动规律达到全局最优解，从而克服WT-MMA方法容易陷入局部最优值的缺陷。 

混沌是指确定性非线性动力系统中存在的貌似随机的复杂行为，混沌运动始终限于有限区域且轨道永远不重复、性状复杂。随着时间的推移，混沌运动遍历区域中的每一点，无周期但有序，在其有限的相空间内具有稠密性。 

混沌优化方法利用了混沌的空间遍历性特征，将系统需要的优化变量用混沌映射产生的混沌变量表示，同时将混沌运动的便利范围转换到优化变量的定义域，利用混沌变量搜索全局最优解从而得到优化变量的全局最优解。但是混沌运动的遍历并非均匀分布，混沌算子在遍历整个取值区间时需要很大的计算量，混沌运动的初值敏感性也使其对自变量定义域的变化非常敏感，因此，单纯的混沌优化算法性能不稳定且非常耗时。本发明在优化变量的搜索进程中不断缩小优化变量的搜索区域，以逐步达到最优解附近局部细搜索的目的。 

混沌优化方法的思路直观，分两个阶段进行：一、在整个空间内按混沌变量的变化规律依次比较经过的各点，接受较好点作为当前最优点；二、迭代一定步数后认为当前最优点已在实际最优点附近，然后以当前最优点为中心，附加一混沌小扰动，进行细搜索寻找最优点。本发明利用类似载波的方法引入混沌变量到优化变量中，利用混沌变量进行搜索，在二次载波过程中引入时变参数，以保证在次优解的双侧邻域内进行搜索，同时随着搜索进程的深入逐渐减小扰动的幅度。 

为了实现在次优值的双侧邻域内通过逐步缩小混沌变量的遍历范围进行混沌细搜索，从而找到全局最优值，本文定义一个时变参数Ψ(t)，通过式 

$w_r\left(K\right)=w_r^{*}+\mathrm{\Ψ}\left(t\right)(c\left(K\right)-0.5)---\left(15a\right)$

$w_i\left(K\right)=w_i^{*}+\mathrm{\Ψ}\left(t\right)(c\left(K\right)-0.5)---\left(15b\right)$

引入到优化变量中。其中，w_r(K)、w_i(K)分别是优化变量的实部和虚部，K为第K次迭代，t为第t次迭代， 

分别是当前最优变量的实部和虚部，c(K)＝(c₁(K)，c₂(K)，…，c_n(K))是混沌映射产生的混沌变量，n为优化变量的维数，c_i(K)为c(K)的第i维值。时变参数迭代公式为Ψ(t+1)＝λΨ(t)，式中，λ是时变参数的衰减因子，λ＜1，一般选取λ∈[0.95，0.999]。Ψ(t)的初始值定义为 

Ψ(0)＝(J^*-J_max)/lnP                                        (16) 

式中，J^*、J_max为混沌搜索第一阶段可行解中所对应的目标函数值的最小值和最大值，参数P的选择范围为0＜P＜1，其中ln(·)为以自然数为底的对数。 

本发明将混沌算法用于求解代价函数的最小值J^*，对均衡器权向量进行优化。在产生混沌变量时，选用最常用的一维Logistic映射作为混沌信号发生器，该映射可表述为 

c(K+1)＝ρc(K)[1-c(K)]                            (17) 

式中，当ρ∈[3.57，4]时，该映射是混沌映射。 

设连续对象待寻优问题的目标函数为J^*＝J(w^*)＝minJ(w)，J为目标函数，w_r∈[d_r，e_r]，w_i∈[d_i，e_i]，w为优化变量，w_r、w_i分别为w的实部和虚部，d_r、e_r为w_r的下限和上限，d_i、e_i为w_i的下限和上限。设定混沌搜索第一阶段迭代次数为N₁，混沌二次搜索迭代次数为N₂，则混沌优化算法优化均衡器权向量的步骤如下： 

步骤1：给定n个[0，1]区间的相异值构成向量c(0)(不能取0，0.25，0.5，0.75，1)，n为权向量的维数，设定权向量最优解为w^*，对应的代价函数为J^*及J_max的初值，令计数器K＝0，K′＝0，t＝0。 

步骤2：通过式(17)的Logistic映射迭代得到n个轨迹不同的混沌变量，并分别通过式 

w_r(K)＝s_r+r_rc(K)                                (18a) 

w_i(K)＝s_i+r_ic(K)                                (18b) 

放大到优化变量的取值范围，式中，w_r(K)、w_i(K)分别为w(K)的实部和虚部，s_r＝d_r，s_i＝d_i，r_r＝e_r-d_r，r_i＝e_i-d_i，c(K)为混沌变量，遍历的区间为[d，e]，d_r、d_i为d的实部和虚部，e_r、e_i为e的实部和虚部，d、e为复数。 

步骤3：用混沌变量进行迭代，计算相应的性能指标J(w(K))，并保留J(w(K))中的最大值J_max和最小值J^*。 

如果J(w(K))≤J^*，那么J^*＝J(w(K))， 

如果 J(w(K))＞J_max，那么J_max＝J(w(K))，K＝K+1，如果K≤N₁，则转步骤2。 

步骤4：经过上述N₁步搜索得到J^*，选择参数P，计算时变参数Ψ(t)的初始值：Ψ(0)＝(J^*-J_max)/lnP，其中ln(·)为以自然数为底的对数，并按照下式进行二次载波 

$w_r^{\′}\left(K^{\′}\right)=w_r^{*}+\mathrm{\Ψ}\left(t\right)(c\left(K^{\′}\right)-0.5)---\left(19a\right)$

$w_i^{\′}\left(K^{\′}\right)=w_i^{*}+\mathrm{\Ψ}\left(t\right)(c\left(K^{\′}\right)-0.5)---\left(19b\right)$

式中， 

为当前最优解w^*的实部和虚部。 

步骤5：用二次载波后的混沌变量进行细搜索，计算相应的性能指标J(w(K′))。 

如果J(w(K′))≤J^*，那么J^*＝J(w(K′))， 

否则，放弃w_r(K′)和w_i(K′)。K′＝K′+1，Ψ(t+1)＝λΨ(t)，t＝t+1。 

步骤6：如果满足终止判据K′＞N₂，则搜索结束，输出J^*和对应的全局最优解w^*；反之，则返回步骤5。 

因此，上述步骤1～6即构成混沌优化算法。本发明将混沌优化算法用于优化均衡器权向量，最后输出的全局最优解w^*即为基于混沌优化的正交小波多模盲均衡方法的初始权向量。 

通过以上混沌优化搜索过程，使得WT-MMA方法的代价函数为最小，此时目标函数得到全局最优解J^*，对应的均衡器权向量w^*，即为本发明CO-WT-MMA方法中所需要的均衡器初始权向量。 

实施实例 

为了检验本发明CO-WT-MMA方法的有效性，以MMA及WT-MMA算法为比较对象，进行仿真实验。本文采用多径衰落信道进行分析。 

水声信道参数为h＝[0.3132 -0.1040 0.8908 0.3134]；发射信号为128QAM，均衡器权长均为16，信噪比均为30dB，采样点均为20000点；在MMA中，第11个抽头系数设置为1，其余为0，步长为μ_MMA＝0.0000005；在WT-MMA中，第3个抽头系数设置为1，其余为0，步长为μ_WT-MMA＝0.000013；在本发明CO-WT-MMA中，第3个抽头系数设置为1，其余为0，步长为μ_CO-WT-MMA＝0.0000013，P＝0.6，λ＝0.997。对每个子信道的输入信号采用DB2正交小波进行分解，分解层次为2层，功率初始值设置为4，遗忘因子β＝0.99；5000次Monte-Carlo仿真，结果如图2所示。 

图2(a)表明，在收敛速度上，本发明CO-WT-MMA比MMA快了大约6000步，比WT-MMA快了大约10000步，MMA比WT-MMA快了大约4000步；在稳态误差上，本发明CO-WT-MMA与MMA相比，减小了5.5dB，本发明CO-WT-MMA与WT-MMA相比，减小了近5dB，WT-MMA与MMA相比，减 小了近1dB。 

图2(b)、(c)、(d)表明，WT-MMA的输出星座图比MMA更为清晰、紧凑，本发明CO-WT-MMA的输出星座图与MMA和WT-MMA相比，眼图最为清晰、紧凑，恢复出的传输信号更为准确。 

Claims (2)

1.一种基于混沌优化的正交小波多模盲均衡方法，包括如下步骤：

a.)将发射信号a(k)经过脉冲响应信道h(k)得到信道输出向量x(k)，其中k为时间序列，下同；

b.)采用信道噪声n(k)和步骤a)所述的信道输出向量x(k)得到正交小波变换器(WT)的输入信号y(k)＝n(k)+x(k)；

其特征在于：

c.)将步骤b)所述的正交小波变换器(WT)输入信号y(k)的实部和虚部分别经过正交小波变换器和混沌初始化后，再经过相应的实部与虚部均衡器输出到复数加法器得到输出z(k)；

当均衡器w(k)为有限冲击响应滤波器时，w(k)用一组正交小波基函数来表示

式中，k＝0，1，L，N-1，k_l＝N/2^l-1(l＝1，2，L，L)为尺度l下小波函数的最大平移，N为均衡器的长度，L为最大尺度；φ_l，m(k)为k时刻在尺度因子l和平移因子m下的小波函数，φ_r，l，m(k)、φ_i，l，m(k)分别表示小波函数φ_l，m(k)的实部和虚部，

为k时刻在最大尺度L和平移因子m下的尺度函数，

分别表示尺度函数

的实部和虚部；d_l，m为在尺度因子l和平移因子m下的均衡器加权系数，d_r，l，m、d_i，l，m分别为d_l，m的实部和虚部，v_L，m在最大尺度L和平移因子m下的均衡器加权系数，v_r，L，m和v_i，L，m分别为v_L，m的实部和虚部；w_r(k)、w_i(k)分别为权向量w(k)的实部和虚部；均衡器的输出z(k)为

$z_r\left(k\right)=\underset{t=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}{w}_{r,t}\left(k\right){\·y}_r(k-t)=\underset{l=0}{\overset{L}{\mathrm{\Σ}}}\underset{m=0}{\overset{k_l}{\mathrm{\Σ}}}{d}_{r,l,m}\left(k\right)\·r_{r,l,m}\left(k\right)+\underset{m=0}{\overset{k_L}{\mathrm{\Σ}}}{v}_{r,L,m}\left(k\right)\·s_{r,L,m}\left(k\right)---\left(2a\right)$

$z_i\left(k\right)=\underset{t=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}{w}_{i,t}\left(k\right){\·y}_i(k-t)=\underset{l=0}{\overset{L}{\mathrm{\Σ}}}\underset{m=0}{\overset{k_l}{\mathrm{\Σ}}}{d}_{i,l,m}\left(k\right)\·r_{i,l,m}\left(k\right)+\underset{m=0}{\overset{k_L}{\mathrm{\Σ}}}{v}_{i,L,m}\left(k\right)\·s_{i,L,m}\left(k\right)---\left(2b\right)$

式中，r_r，l，m(k)、r_i，l，m(k)、s_r，L，m(k)、s_i，L，m(k)分别为相应的小波和尺度变换系数的实部和虚部，z_r(k)、z_i(k)分别为均衡器输出z(k)的实部和虚部；

$R_r\left(k\right)={[r_{r,\mathrm{1,0}}\left(k\right),r_{r,\mathrm{1,1}}\left(k\right),...,r_{r,L,k_L-1}\left(k\right),s_{r,L,0}\left(k\right),s_{r,L,1}\left(k\right),...,s_{r,L,k_L-1}\left(k\right)]}^T---\left(3a\right)$

$R_i\left(k\right)={[r_{i,\mathrm{1,0}}\left(k\right),r_{i,\mathrm{1,1}}\left(k\right),...,r_{i,L,k_L-1}\left(k\right),s_{i,L,0}\left(k\right),s_{i,L,1}\left(k\right),...,s_{i,L,k_L-1}\left(k\right)]}^T---\left(3b\right)$

式中，R_r(k)和R_i(k)分别为小波变换后输出信号的实部和虚部。

均衡器的未知权系数记为

$w_r\left(k\right)={[d_{r,\mathrm{1,0}}\left(k\right),d_{r,\mathrm{1,1}}\left(k\right),L,d_{r,L,k_L-1}\left(k\right),v_{r,L,0}\left(k\right),L,v_{r,L,k_L-1}\left(k\right)]}^T---\left(4a\right)$

$w_i\left(k\right)={[d_{i,\mathrm{1,0}}\left(k\right),d_{i,\mathrm{1,1}}\left(k\right),L,d_{i,L,k_L-1}\left(k\right),v_{i,L,0}\left(k\right),L,v_{i,L,k_L-1}\left(k\right)]}^T---\left(4b\right)$

式中，w_r(k)和w_i(k)分别为权向量w(k)的实部和虚部，“[·]^T”表示向量或矩阵的转置。

于是，信号y(k)经正交小波变换后，得

R_r(k)＝y_r(k)Q_r                                (5a)

R_i(k)＝y_i(k)Q_i                                (5b)

式中，Q_r、Q_i为正交小波变换矩阵的实部和虚部。

信道均衡器的输出为

$z_r\left(k\right)=w_r^H\left(k\right)R_r\left(k\right)---\left(6a\right)$

z_i(k)＝w_i ^H(k)R_i(k)                            (6b)

则信道均衡器权向量的迭代公式为

$w_r(k+1)=w_r\left(k\right)-\mathrm{\μ}{{\hat{R}}_r}^{-1}\left(k\right)e_r\left(k\right){R_r}^{*}\left(k\right)---\left(7a\right)$

$w_i(k+1)=w_i\left(k\right)-\mathrm{\μ}{{\hat{R}}_i}^{-1}\left(k\right)e_i\left(k\right){R_i}^{*}\left(k\right)---\left(7b\right)$

式中，e_r(k)＝z_r(k)[|z_r(k)|²-R_r ²]，e_i(k)＝z_i(k)[|z_i(k)|²-R_i ²]分别为误差函数e(k)的实部和虚部，R_r ²、r_i ²分别为发射信号模值的实部和虚部，定义为

${R_r}^2=\frac{E\left\{{\left|a_r\left(k\right)\right|}^4\right\}}{E\left\{{\left|a_r\left(k\right)\right|}^2\right\}},$ ${R_i}^2=\frac{E\left\{{\left|a_i\left(k\right)\right|}^4\right\}}{E\left\{{\left|a_i\left(k\right)\right|}^2\right\}}---\left(8\right)$

${{\hat{R}}_r}^{-1}\left(k\right)=\mathrm{diag}[{\mathrm{\σ}}_{r,l,0}^2\left(k\right),{\mathrm{\σ}}_{r,l,1}^2\left(k\right),L,{\mathrm{\σ}}_{r,l,k_L-1}^2\left(k\right),{\mathrm{\σ}}_{r,L+\mathrm{1,0}}^2\left(k\right),L,{\mathrm{\σ}}_{r,L+1,k_L-1}^2\left(k\right)]---\left(9a\right)$

${{\hat{R}}_i}^{-1}\left(k\right)=\mathrm{diag}[{\mathrm{\σ}}_{i,l,0}^2\left(k\right),{\mathrm{\σ}}_{i,l,1}^2\left(k\right),L,{\mathrm{\σ}}_{i,l,k_L-1}^2\left(k\right),{\mathrm{\σ}}_{i,L+\mathrm{1,0}}^2\left(k\right),L,{\mathrm{\σ}}_{i,L+1,k_L-1}^2\left(k\right)]---\left(9b\right)$

式中，diag[]表示对角矩阵， ${\mathrm{\σ}}_{r,l,k_L}^2\left(k\right),{\mathrm{\σ}}_{i,l,k_L}^2\left(k\right),{\mathrm{\σ}}_{r,L+1,k_L}^2\left(k\right),{\mathrm{\σ}}_{i,L+1,k_L}^2\left(k\right)$ 分别表示对r_l，n(k)和s_L，n(k)的实部和虚部的平均功率估计，r_l，n(k)表示在k时刻小波空间l层分解的第n个信号，s_L，n(k)表示在k时刻尺度空间中最大分解层数L时的第n个信号，对其进行了能量归一化处理，迭代公式为

${\mathrm{\σ}}_{r,l,n}^2(k+1)={\mathrm{\β\σ}}_{r,l,n}^2\left(k\right)+(1-\mathrm{\β}){\left|r_{r,l,n}\left(k\right)\right|}^2---\left(10a\right)$

${\mathrm{\σ}}_{i,l,n}^2(k+1)={\mathrm{\β\σ}}_{i,l,n}^2\left(k\right)+(1-\mathrm{\β}){\left|r_{i,l,n}\left(k\right)\right|}^2---\left(10b\right)$

${\mathrm{\σ}}_{r,L+1,n}^2(k+1)={\mathrm{\β\σ}}_{r,L+1,n}^2\left(k\right)+(1-\mathrm{\β}){\left|s_{r,L,n}\left(k\right)\right|}^2---\left(11a\right)$

${\mathrm{\σ}}_{i,L+1,n}^2(k+1)={\mathrm{\β\σ}}_{i,L+1,n}^2\left(k\right)+(1-\mathrm{\β}){\left|s_{i,L,n}\left(k\right)\right|}^2---\left(11b\right)$

式中，β为平滑因子，且0＜β＜1。

2.根据权利要求1所述的基于混沌优化的正交小波多模盲均衡方法，其特征在于所述混沌优化算法优化均衡器权向量的步骤如下：

步骤1：给定n个[0，1]区间的相异值构成向量c(0)，不能取0，0.25，0.5，0.75，1，n为权向量的维数，设定权向量最优解为w^*，对应的代价函数为J^*及J_max的初值，令计数器K＝0，K′＝0，t＝0；

步骤2：通过Logistic映射迭代得到n个轨迹不同的混沌变量，并分别通过式

w_r(K)＝s_r+r_rc(K)                            (12a)

w_i(K)＝s_i+r_ic(K)                            (12b)

放大到优化变量的取值范围，式中，w_r(K)、w_i(K)分别为w(K)的实部和虚部，s_r＝d_r，s_i＝d_i，r_r＝e_r-d_r，r_i＝e_i-d_i，c(K)为混沌变量，遍历的区间为[d，e]，d_r、d_i为d的实部和虚部，e_r、e_i为e的实部和虚部，d、e为复数；

步骤3：用混沌变量进行迭代，计算相应的性能指标J(w(K))，并保留J(w(K))中的最大值J_max和最小值J^*；

如果J(w(K))≤J^*，那么J^*＝J(w(K))，

如果J(w(K))＞J_max，那么J_max＝J(w(K))，K＝K+1，如果K≤N₁，则转步骤2；

步骤4：经过上述N₁步搜索得到J^*，其中N₁为混沌搜索的最大迭代次数，选择参数P，计算时变参数Ψ(t)的初始值：Ψ(0)＝(J^*-J_max)/lnP，其中ln(·)为以自然数为底的对数，并按照下式进行二次载波

$w_r^{\′}\left(K^{\′}\right)=w_r^{*}+\mathrm{\Ψ}\left(t\right)(c\left(K^{\′}\right)-0.5)---\left(13a\right)$

$w_i^{\′}\left(K^{\′}\right)=w_i^{*}+\mathrm{\Ψ}\left(t\right)(c\left(K^{\′}\right)-0.5)---\left(13b\right)$

式中，

为当前最优解w^*的实部和虚部；

步骤5：用二次载波后的混沌变量进行细搜索，计算相应的性能指标J(w(K′))。

如果J(w(K′))≤J^*，那么J^*＝J(w(K′))，

否则，放弃w_r(K′)和w_i(K′)。K′＝K′+1，Ψ(t+1)＝λΨ(t)，t＝t+1。

步骤6：如果满足终止判据K′＞N₂，N₂为混沌二次搜索的最大迭代次数，则搜索结束，输出J^*和对应的全局最优解w^*；反之，则返回步骤5。

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