CN102208891B - 基于摩擦和扰动补偿的pmsm伺服系统控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于摩擦和扰动补偿的PMSM伺服系统控制方法。该方法将基于摩擦模型前馈补偿方法和自抗扰技术有机结合，两者互补。其先利用Stribeck摩擦模型对系统摩擦进行建模，应用遗传算法离线辨识其参数，并利用辨识模型产生的估计值进行前馈补偿；再用自抗扰技术中的扩张状态观测器观测和补偿摩擦的过补偿或欠补偿、系统中建模误差带来的不确定性和外界扰动；最后微分跟踪器和非线性控制律，为给定位置信号安排过渡过程，解决了“快速性和超调之间的矛盾”，保证了系统的稳定性和有限时间收敛。该复合控制有效地提高了系统对摩擦非线性的补偿能力，改善系统低速性能，提高了系统跟踪精度和抗扰动能力。

Description

基于摩擦和扰动补偿的PMSM伺服系统控制方法

技术领域

本发明涉及一种基于摩擦和扰动补偿的永磁同步电机(PMSM)伺服系统控制方法，属于高精度伺服控制系统的技术领域。

背景技术

随着对伺服系统控制精度要求的提高，摩擦已成为一个不可忽略的重要问题。非线性摩擦对系统的动态及静态性能的影响很大，主要表现为低速时的爬行现象、速度过零时的波形畸变现象、稳态时有较大的静差，甚至出现不期望的极限环振荡。影响伺服控制系统精度的另一个重要因素是外部扰动。扰动往往来源于建模过程中忽略的不确定因素、系统运行过程中负载突变以及参数变化等。这些因素的存在使得闭环系统性能变差甚至不稳定。因此，为提高伺服系统的位置控制精度和改善系统的低速性能，其控制器既要实现对摩擦的补偿，又要克服外部扰动对系统的影响。

在PMSM位置伺服系统中，PMSM作为一个多变量、非线性和强耦合的被控对象，具有非线性和不确定性等特征。欲实现高精度伺服控制，必须克服非线性摩擦、PMSM及负载在内的广义被控对象不确定性因素和外部扰动对系统性能造成的影响。传统的反馈控制策略，如高增益PID控制方法，具有结构简单、易实现等优点，通常在参数匹配的情况下可获得较好的性能，但在实际工程中过高的增益会导致系统振荡，失稳。

为了消除摩擦和扰动带来的影响，提高系统的控制性能，国内外学者进行了大量的研究。文献(高扬，杨明，于泳，等.基于扰动观测器的PMSM交流伺服系统[J].中国电机工程学报，2005，25(22)：125-128.)设计了扰动观测器，观测和补偿系统在运行过程中存在的扰动。Craig TJ等在文献(Experimental identification of friction and its compensation in precise，positioncontrolled mechanisms[J].IEEE Transactions on Industry Applications，1992，28(6)：1392-1398.)中设计了基于摩擦模型的前馈补偿控制器，以提高伺服系统的低速动态性能。然而，该方法需要知道摩擦的精确模型，其控制效果很大程度上取决于所建立的数学模型能否准确地反映摩擦特性。现有的伺服系统控制器的摩擦模型一般采用简化的非线性摩擦模型，如：库仑模型、库仑加滑动摩擦模型或Stribeck模型等，但实际的摩擦具有更复杂的非线性特性，采用简化的摩擦模型难以描述真实的摩擦特性。此外，虽然摩擦模型的辨识方法已经较成熟，但实际工程中，低速时摩擦模型的辨识精度有限。文献(史永丽，侯朝祯.基于自抗扰控制的伺服系统摩擦补偿研究[J].计算机工程与应用，2007，43(29)：201-203.)利用自抗扰控制(ADRC)中的扩张状态观测器(Extended State Observer，ESO)对摩擦进行估计并补偿。该补偿控制方法既不依赖对象模型又不依赖摩擦模型，算法简单，鲁棒性强，易于工程应用。然而，该方法把摩擦作为一个外界干扰加以抑制，通常没考虑摩擦非线性的具体模型及对整个系统动态性能和稳定性造成的影响，尤其对速度过零时摩擦非线性的补偿能力有限。

发明内容

本发明针对现有技术的不足，提供一种基于摩擦和扰动补偿的PMSM伺服系统控制方法。该方法将基于摩擦模型前馈补偿方法和自抗扰技术有机结合，两者互补。先基于摩擦模型前馈补偿，再利用二阶自抗扰控制器的扩张状态观测器(ESO)实时观测并补偿系统中过补偿或欠补偿的摩擦，不仅降低了对摩擦模型精度的要求，且减轻了ESO的估计负担，同时，基于摩擦模型的前馈补偿控制方法弥补了ESO对速度过零时摩擦非线性补偿能力有限的缺陷。此外，ESO还可观测出系统建模误差带来的不确定性和外界扰动，提高了系统抗扰动能力。

为实现以上的技术目的，本发明将采取以下的技术方案：

一种基于摩擦和扰动补偿的PMSM伺服系统控制方法，首先采集PMSM伺服系统的转子位置信号、电机电流信号和转速信号，然后，根据电机电流信号和转速信号，利用Stribeck摩擦模型对PMSM伺服系统摩擦进行建模，以获取摩擦力矩等效电流，并将该摩擦力矩等效电流作为系统的摩擦前馈补偿量，同时，将转子位置信号作为二阶自抗扰控制器的反馈信号，结合该二阶自抗扰控制器的扰动补偿前馈控制以及带有跟踪微分器的非线性反馈控制，实现永磁同步电机伺服系统在摩擦和扰动影响下的控制。

所述Stribeck摩擦模型中，各摩擦参数采用遗传算法进行离线辨识，所述摩擦前馈补偿量为前述所得离线辨识模型的摩擦力矩等效电流估计值

所述二阶自抗扰控制器包括跟踪微分器、扩张状态观测器以及非线性控制律，所述微分跟踪器和非线性控制律为给定的位置信号安排过渡过程；所述扩张状态观测器观测和补偿摩擦前馈补偿量的过补偿或欠补偿、所述PMSM伺服系统摩擦建模误差所产生的不确定性以及外界扰动；以维持所述PMSM伺服系统的稳定性和有限时间收敛。

所述跟踪微分器基于以下公式建立：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{v}}_1=v_2\\ {\stackrel{\·}{v}}_2=-2\mathrm{\ξ}{\mathrm{Rv}}_2-R^2(v_1-{\mathrm{\θ}}^{*})\end{array}\right.$

其中，θ^*为给定的转子位置信号，v₁为对θ^*安排的过渡过程；v₂为v₁对时间t的导数；和分别为v₁和v₂对时间t的导数；R为可调参数；ξ为阻尼系数。所述扩张状态观测器基于以下公式建立：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{z}}_1=z_2-3p(z_1-\mathrm{\θ})\\ {\stackrel{\·}{z}}_2=z_3-3p^2(z_1-\mathrm{\θ})+b_0{i}_q^{*}\\ {\stackrel{\·}{z}}_3=-p^3(z_1-\mathrm{\θ})\end{array}\right.$

式中，θ为电机转子位置信号；z₁为电机转子位置信号θ的估计值，z₂为实际位置对时间t的导数的估计值，z₃为系统扰动a(t)的估计值，F为系统摩擦力矩；

为系统摩擦力矩的估计值，J为电机与负载转动惯量之和，T_L为负载转矩，b₀是b的估计值，

ψ_f为永久磁铁对应的转子磁链，n_p为永磁同步电机的极对数，i_q是dq坐标系中的电枢电流分量；和

分别为z₁、z₂和z₃对时间t的导数；-p为扩张状态观测器期望的闭环极点(p＞0)。

所述非线性控制律基于以下公式建立：

$\left\{\begin{array}{c}{u}_0=\frac{1}{b_0}({\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}^{*}+K_p{\mathrm{sig}}^{\mathrm{\α}}(v_1-z_1)+K_d{\mathrm{sig}}^{\mathrm{\β}}(v_2-z_2))\\ i_A=u_0-\frac{z_3}{b_0}\\ i_q^{*}=i_A+\frac{1}{n_p{\mathrm{\ψ}}_f}\hat{F}\end{array}\right.$

式中，θ^*为给定的转子位置信号，v₁为对θ^*安排的过渡过程，K_p，K_d分别为自抗扰控制器比例增益和微分增益，K_p，K_d＞0，1＞α＞0，β＝2α/(α+1)，sig^α(v₁-z₁)＝|v₁-z₁|^αsign(v₁-z₁)，sig^β(v₂-z₂)＝|v₂-z₂|^βsign(v₂-z₂)，sign(·)为符号函数；b₀是b的估计值，n_p为永磁同步电机的极对数，ψ_f为电机永久磁铁对应的转子磁链；J为电机与负载转动惯量之和；为系统摩擦力矩的估计值；i_A为ADRC控制器的输出。

根据以上的技术方案，可以实现以下的有益效果：

1)本发明实现了非线性摩擦力矩的精确补偿，克服了摩擦非线性对永磁同步电机位置伺服系统低速性能和控制精度的影响。利用Stribeck摩擦模型对系统摩擦进行建模，能较全面反映摩擦非线性特性；应用遗传算法离线辨识其参数，不要求对象的模型信息，不需要知道参数具体的初值，只要一个参数的范围即可进行优化搜索，同时又能避免局部极小，适应范围广，鲁棒性强；利用辨识模型产生的估计值进行前馈补偿，控制算法简单，易于实现。

2)本发明采用了自抗扰技术，该控制方法不依赖于被控对象的数学模型，只需要知道系统的阶次。ESO观测出系统中建模误差带来的不确定性、摩擦的过补偿或欠补偿和外界扰动，并用此观测值进行进一步前馈补偿；ADRC位置控制器还为给定位置信号安排过渡过程，解决了“快速性和超调之间的矛盾”，不用积分反馈也能实现无静差，从而避免了积分反馈的副作用；通过非线性状态误差反馈律的作用，保证了系统的稳定性和有限时间收敛。

3)本发明将基于摩擦模型的摩擦补偿方法和自抗扰控制方法有机结合，保留各自的优点，互补各自的缺点。ESO观测出系统中建模误差带来的不确定性、摩擦的过补偿或欠补偿和外界扰动，并用此观测值补偿，降低了基于摩擦模型的摩擦补偿方法对摩擦模型及其辨识精度的依赖，同时保证了系统抗扰动能力。而基于摩擦模型的摩擦补偿方法减轻了ESO对扰动的估计负担，且弥补了其在速度过零时补偿能力有限的缺陷。

附图说明

图1本发明的系统框图；

图2基于摩擦模型前馈补偿的简化结构原理图

图3基于ADRC控制技术的系统简化结构原理图；

图4伺服系统软件实现流程图；

图5位置环自抗扰控制算法程序流程图。

具体实施方式

附图非限制性地公开了本发明所涉及一个优选实施例的结构示意图，以下将结合附图详细地说明本发明的技术方案。

如图1所示，其公开了本发明所述基于摩擦和扰动补偿的PMSM伺服系统控制方法的系统框图，其采用光电编码器采集PMSM伺服电机的转速信号和转子位置信号，该光电编码器安装于电机内部，同时采用霍尔电流传感器采集电机的电流信号。根据所采集到的电机电流信号和转速信号，计算出转矩电流信号和负载的角速度信号，应用Stribeck摩擦模型进行建模，再利用遗传算法进行模型参数的寻优计算，离线辨识出摩擦模型，得到角速度和摩擦力矩等效电流的关系，以获取摩擦力矩等效电流估计值。同时，将采集到的转子位置信号作为所述二阶自抗扰控制器的反馈信号，并将采集到的电机电流信号进行Clarke变换和Park变换运算，以得到dq坐标系下的电流值i_d、i_q，同时将前述的摩擦力矩等效电流估计值作为摩擦前馈补偿量输入电机的q轴电流，接着分别将i_d、i_q作为i_d电流环调节器和i_q电流环调节器的反馈信号，而后对i_d电流环调节器和i_q电流环调节器的输出u_d和u_q进行Park逆变换，得到αβ坐标系下定子相电压的参考值u_α和u_β，根据u_α和u_β以及当前的转子位置信号，利用空间矢量脉宽调制技术产生PWM控制信号，再由此PWM控制信号控制可控开关器件IGBT，逆变出所需的三相交流电驱动电机运转。

因此，本发明包括永磁同步电机的电流环PI控制，基于遗传算法的摩擦模型参数辨识单元，基于辨识摩擦模型的前馈控制，基于ESO的扰动补偿前馈控制以及带有跟踪微分器的非线性反馈控制。系统给定位置θ^*经跟踪微分器得到给定位置的广义微分基于遗传算法的摩擦模型参数辨识单元采集永磁同步电机的转矩电流信号和负载的角速度信号，应用Stribeck摩擦模型进行建模，再利用遗传算法进行模型参数的寻优计算，离线辨识出摩擦模型，得到角速度和摩擦力矩等效电流的关系；将摩擦力矩等效电流直接前馈补偿到q轴电流给定端，然后将其与ADRC控制器输出量求和，得到整个系统的q轴电流给定值，实现永磁同步电机伺服系统在摩擦和扰动影响下的高精度控制。

具体地说：所述的基于摩擦模型的前馈补偿包括以下四个步骤：

为了方便描述，

和分别为θ对时间t的一阶导数和二阶导数，即分别表示电机的角速度和角加速度。

第一步：选择系统摩擦模型

永磁同步电机位置伺服系统中，为使转速和电流解耦，常采用(d轴电流的给定值恒为0)的矢量控制方式。其动态数学模型如下：

$\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}=\frac{n_p{\mathrm{\ψ}}_f{i}_q}{J}-\frac{T_L}{J}-\frac{F}{J}---\left(1\right)$

其中，θ为电机转子的位置信号；ψ_f为永久磁铁对应的转子磁链；T_L为负载转矩；F为系统摩擦力矩；J为电机与负载转动惯量之和；i_q是dq坐标系中的电枢电流分量；n_p为永磁同步电机的极对数。

为了能较全面地反映PMSM位置伺服系统受到的摩擦，采用目前摩擦补偿控制研究中广泛使用的一种摩擦模型。其表达式为

$F=(F_c+(F_s-F_c)e^{-(\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}/{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_s)})\mathrm{sgn}\left(\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}\right)+B\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}---\left(2\right)$

式中，F_s为静摩擦力矩；F_c为库仑摩擦力矩；

为Stribeck特征速度；B为粘滞摩擦系数。

第二步：摩擦模型参数辨识

本发明采用遗传算法辨识系统摩擦参数。遗传算法是模拟生物在自然环境中的遗传和进化过程而形成的一种自适应全局优化的概率搜索算法。同基于梯度下降和最小二乘类优化方法相比，遗传算法在解决非线性问题时不要求对象的模型信息，不需要知道参数具体的初值，只要一个参数的范围即可进行优化搜索，同时又能避免局部极小，因此适应范围广，鲁棒性强。该方法具体如下：

当系统工作于稳态

且空载(T_L＝0)时，由式(1)可知

$F=T_e=n_p{\mathrm{\ψ}}_f{i}_q$

在PMSM速度闭环系统中，取一组恒定的转速作为速度指令信号，可得到相应的控制力矩序列从而获得一组相应的摩擦力矩序列依据式(2)，设待辨识的参数

定义辨识误差为

$e({\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_i,x)=F\left({\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_i\right)-\hat{F}\left({\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_i\right)$

其中

$\hat{F}\left({\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_i\right)=({\hat{F}}_c+({\hat{F}}_s-{\hat{F}}_c)e^{-{({\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_i/{\stackrel{\widehat{\·}}{\mathrm{\θ}}}_s)}^2})\mathrm{sgn}\left({\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_i\right)+\hat{B}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_i$

取目标函数

$l=\frac{1}{2}\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{e}^2({\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_i,x)$

摩擦参数辨识问题即为求使目标函数l极小化的参数向量x。

适应度函数为：

$\left\{\begin{array}{c}{l}_{\max }=\underset{i}{\max }\left\{l\left(x_i\right)\right\}\\ f\left(x_i\right)=l_{\max }-l\left(x_i\right)\end{array}\right.,i=\mathrm{1,2},...,M$

其中，M为种群大小。遗传算法的步骤如下：

步骤1初始化：设置进化代数计数器t←0；设置最大进化代数T：随机生成M个系统摩擦模型参数，从而形成初始群体P(0)；

步骤2个体评价：计算群体P(t)中每一组参数的适应度值；

步骤3选择运算：将选择算子作用于群体；

步骤4交叉运算：将交叉算子作用于群体；

步骤5变异运算：将变异算子作用于群体。群体P(t)经过选择、交叉、变异运算之后得到下一代群体P(t+1)；

步骤6终止条件判断：若t≤T，则t←t+1，转到步骤2；若t＞T，则以进行过程中得到的具有最大适应度的个体作为最优解输出，终止计算。

第三步：基于摩擦模型前馈补偿

由图1系统框图可知，无论外部负载、内部扰动还是摩擦以何种形式存在，其前馈补偿都以其电流形式进行补偿，故式(1)可写为

$J\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}=n_p{\mathrm{\ψ}}_f(i_q-i_F)-T_L$

其中摩擦力矩F的等效电流形式

$i_F=\frac{F}{n_p{\mathrm{\ψ}}_f}$

利用辨识的摩擦模型，对永磁同步电机伺服系统进行摩擦补偿，以提高系统的控制精度。系统前馈补偿的结构示意图如图2所示。系统的总控制输出等于基于ADRC控制器输出加上摩擦前馈补偿输出

$i_q^{*}=i_A+i_{\hat{F}}$

其中

为基于辨识摩擦模型前馈补偿的等效电流。

第四步：二阶自抗扰控制器设计和实现

根据二阶自抗扰控制器(ADRC)设计需要以及上一步摩擦前馈补偿的原理，式(1)可化为：

$\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}=a\left(t\right)+b_0{i}_q$

其中扰动 $a\left(t\right)=-\frac{F-\hat{F}}{J}-\frac{T_L}{J}+(b-b_0)i_q,$ $b=\frac{n_p{\mathrm{\ψ}}_f}{J},$ b₀是b的估计。由上式可以看出，负载转矩、过补偿或欠补偿的摩擦、惯量的扰动以及由于b₀估计误差所造成的扰动都可以在a(t)中反映出来。二阶自抗扰控制器的结构如图3虚线框所示。

二阶自抗扰控制器由三部分组成：跟踪微分器(TD)，扩张的状态观测器(ESO)，非线性控制律(NLSEF)，如图3中所示。

1.跟踪微分器

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{v}}_1=v_2\\ {\stackrel{\·}{v}}_2=-2\mathrm{\ξ}{\mathrm{Rv}}_2-R^2(v_1-{\mathrm{\θ}}^{*})\end{array}\right.$

其中，θ^*为给定的位置信号，v₁为对θ^*安排的过渡过程；R为可调参数，R越大，跟踪速度越快；ξ为阻尼系数。

2.扩张的状态观测器

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{z}}_1=z_2-3p(z_1-\mathrm{\θ})\\ {\stackrel{\·}{z}}_2=z_3-3p^2(z_1-\mathrm{\θ})+b_0{i}_q^{*}\\ {\stackrel{\·}{z}}_3=-p^3(z_1-\mathrm{\θ})\end{array}\right.$

式中，θ为电机转子位置信号；z₁为电机转子位置信号θ的估计值，z₂为实际位置对时间t的导数的估计值，z₃为系统扰动a(t)的估计值，-p为ESO期望的闭环极点(p＞0)。

3.非线性控制律

$\left\{\begin{array}{c}{u}_0=\frac{1}{b_0}({\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}^{*}+K_p{\mathrm{sig}}^{\mathrm{\α}}(v_1-z_1)+K_d{\mathrm{sig}}^{\mathrm{\β}}(v_2-z_2))\\ i_A=u_0-\frac{z_3}{b_0}\\ i_q^{*}=i_A+\frac{1}{n_p{\mathrm{\ψ}}_f}\hat{F}\end{array}\right.$

式中，K_p，K_d分别为自抗扰控制器比例增益和微分增益，K_p，K_d＞0，1＞α＞0，β＝2α/(α+1)。

本发明的具体实施例实验平台对永磁同步电机系统采用基于DSP的全数字控制实现方式，编程语言为C语言。系统的主要组成部分有：由TI公司的DSP芯片TMS320系列芯片TMS320F2808为核心组成的控制电路部分、由智能功率器件(Intelligent Power Module，简称IPM)为核心的逆变器电路部分及执行部件——永磁同步电机，光电编码器和霍尔器件等传感器，还包括键盘及显示模块和通信模块。各个器件的主要用途为：霍尔传感器用于采集两路电流信号i_a，i_b，光电编码器在电机内部用于采集电机的转速信号及转子位置；TMS320F2808DSP为整个伺服系统的核心，用于完成坐标变换、速度控制器和电流控制器的运算、SVPWM信号的生成等核心运算；键盘和显示模块用于设定参数及显示当前系统状态；通信模块用于和上位机进行通信(串口通信)；逆变器电路以功率器件IPM为核心，它根据DSP生成的SVPWM控制信号，将电源输入转换成相应的三相交流电压，用于驱动电机工作。伺服系统软件实现流程图和位置环自抗扰控制算法程序流程图分别如图4和图5所示。

Claims (1)

1.一种基于摩擦和扰动补偿的PMSM伺服系统控制方法，其特征在于：首先采集PMSM伺服系统的转子位置信号、电机电流信号和转速信号，然后，根据电机电流信号和转速信号，利用Stribeck摩擦模型对PMSM伺服系统摩擦进行建模，以获取摩擦力矩等效电流，并将该摩擦力矩等效电流作为系统的摩擦前馈补偿量，同时，将转子位置信号作为二阶自抗扰控制器的反馈信号，结合该二阶自抗扰控制器的扰动补偿前馈控制以及带有跟踪微分器的非线性反馈控制，实现永磁同步电机伺服系统在摩擦和扰动影响下的控制，其中：

所述Stribeck摩擦模型为：

$F=(F_c+(F_s-F_c)e^{-\left(\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}/{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_s\right)})\mathrm{sgn}\left(\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}\right)+B\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}---\left(2\right)$

式中，F_s为静摩擦力矩；F_c为库仑摩擦力矩；

为Stribeck特征速度；B为粘滞摩擦系数；

所述二阶自抗扰控制器包括跟踪微分器、扩张状态观测器以及非线性控制律，所述微分跟踪器和非线性控制律为给定的位置信号安排过渡过程；所述扩张状态观测器观测和补偿摩擦前馈补偿量的过补偿或欠补偿、所述PMSM伺服系统摩擦建模误差所产生的不确定性以及外界扰动；以维持所述PMSM伺服系统的稳定性和有限时间收敛；

所述跟踪微分器基于以下公式建立：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{v}}_1=v_2\\ {\stackrel{\·}{v}}_2=-2\mathrm{\ξR}{v}_2-R^2(v_1-{\mathrm{\θ}}^{*})\end{array}\right.$

其中，θ^*为给定的转子位置信号，v₁为对θ^*安排的过渡过程；v₂为v₁对时间t的导数；和

分别为v₁和v₂对时间t的导数；R为可调参数；ξ为阻尼系数；

所述扩张状态观测器基于以下公式建立：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{z}}_1=z_2-3p(z_1-\mathrm{\θ})\\ {\stackrel{\·}{z}}_2=z_3-3p^2(z_1-\mathrm{\θ})+b_0{i}_q^{*}\\ {\stackrel{\·}{z}}_3=-p^3(z_1-\mathrm{\θ})\end{array}\right.$

式中，θ为电机转子位置信号；z₁为电机转子位置信号θ的估计值，z₂为实际位置对时间t的导数的估计值，z₃为系统扰动a(t)的估计值，

F为系统摩擦力矩；为系统摩擦力矩的估计值，J为电机与负载转动惯量之和，T_L为负载转矩，b₀是b的估计值，

ψ_f为永久磁铁对应的转子磁链，n_p为永磁同步电机的极对数，i_q是dq坐标系中的电枢电流分量；

和

分别为z₁、z₂和z₃对时间t的导数；-p为扩张状态观测器期望的闭环极点(p>0)；

所述非线性控制律基于以下公式建立：

$\left\{\begin{array}{c}{u}_0=\frac{1}{b_0}({\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}^{*}+K_p{\mathrm{sig}}^{\mathrm{\α}}(v_1-z_1)+K_d{\mathrm{sig}}^{\mathrm{\β}}(v_2-z_2))\\ i_A=u_0-\frac{z_3}{b_0}\\ {i_q}^{*}=i_A+\frac{1}{n_p{\mathrm{\ψ}}_f}\hat{F}\end{array}\right.$

式中θ^*为给定的转子位置信号，v₁为对θ^*安排的过渡过程，K_p，K_d分别为自抗扰控制器比例增益和微分增益，K_p,K_d>0,1>α>0,β=2α/(α+1)，sig^α(v₁-z₁)=|v₁-z₁|^αsign(v₁-z₁)，sig^β(v₂-z₂)=|v₂-z₂|^βsign(v₂-z₂)，sign(□)为符号函数；b₀是b的估计值，

n_p为永磁同步电机的极对数，ψ_f为电机永久磁铁对应的转子磁链；J为电机与负载转动惯量之和；

为系统摩擦力矩的估计值；i_A为ADRC控制器的输出。

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