CN102129715A - 具有任意内部特征约束的几何模型的四边形网格生成方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种内部存在任意特征约束的几何模型的四边形网格生成方法，它显著提高网格生成质量和效率，方便实用。包括以下步骤：(1.1)根据待分析实体，利用计算机建立实体几何模型；确定模型约束线和密度线形状与位置、约束点与密度点位置、每个区域范围与内外边界；(1.2)根据用户设定的网格尺寸信息，在模型内外边界、约束线及密度线上生成网格节点，对网格节点编号；视约束点和密度点为新生成的网格节点并对其编号；(1.3)将约束线、密度线、约束点和密度点视为面积为零的内部空洞，在每个区域内外边界上生成节点环，将带有内部特征约束的多连通区域转换成单连通区域；(1.4)对每个区域划分四边形网格；最后生成具有内部特征约束的四边形网格。

Description

具有任意内部特征约束的几何模型的四边形网格生成方法

技术领域

本发明属于工程模型分析领域，涉及一种具有任意内部特征约束的几何模型的四边形网格生成方法，尤其适用于采用有限元、有限体积、有限差分等方法分析工程模型的前处理阶段。

背景技术

有限元、有限体积、有限差分等数值方法已广泛应用于各种科学与工程问题的数值计算，在应用这些数值方法求解问题之前，一个极其重要的步骤就是对分析模型的几何形状进行离散化，即网格划分。工程问题数值分析的主要步骤包括几何建模、模型离散、数值求解和结果后处理等过程。据调查统计，模型离散(网格划分)通常占整个项目完成时间和费用的50～80％，而且模型离散结果将直接影响数值分析结果的精度。

对于二维工程问题，在节点数目相同的情况下，采用四边形网格分析的精度要远高于三角形网格，因此四边形网格是二维工程问题数值分析的首选网格。由于在结构分析、材料成形、流体分析、磁场分析、地质分析等领域中的很多问题都可以简化为二维问题，因此四边形网格有着广泛的应用范围。

目前生成四边形网格的方法主要有映射法、栅格法、铺路法、区域分解法等。映射法可以生成高质量的网格，但这种方法仅适用几何形状较简单的情况；栅格法适用于任何复杂的几何区域，可以生成规则的内部网格，但所生成的网格与所选择的初始栅格及其取向有关，网格边界单元质量较差；铺路法是生成网格质量较好的一种方法，但其生成四边形网格的算法过于复杂，某些采用该算法的商品化软件有时也会出现网格划分失败的情况；区域分解法是生成高质量四边形网格的另一种方法，由于从算法上可以确保其网格生成过程的收敛性，因此区域分解法是生成四边形网格方法中比较可靠的一种方法。

但在很多工程领域，所分析的模型具有很多内部特征约束，上述四边形网格生成方法都不能直接处理模型区域内部具有特征约束的情况，这些内部特征约束包括模型内部的孔洞、约束线(直线或曲线)、约束点、局部加密等。例如，很多工程分析问题需要在模型内部沿着某条直线或曲线施加外载荷和边界条件，或者将外载荷和边界条件直接施加到某些内部点上，这就要求在生成网格时，网格节点必须固定在这些内部线或点上，这些线或点称为约束线或约束点；在城市防洪分析模型中，市区内的道路等需要作为约束线，在板料冲压成形分析中，压边力需要沿着某条曲线施加，对于不同区域组成的几何模型，相邻区域的边界也属于约束线，这些约束使得模型内部存在直线或曲线特征的约束线；对于某些需要应力分析的工程模型，往往需要在某些特定的区域，如应力集中的区域，对网格进行加密，以提高分析的精度，这时就需要沿着某些内部点或某些线指定网格密度，进行网格的局部加密，这些点或线称为加密度点或加密线，这些点或线只起到局部加密的作用，最后生成的网格节点不一定要求固定在加密点或加密线上。

现有的四边形网格生成方法都不能直接处理模型区域内部具有多孔、直或曲的约束线、约束点、加密点、加密线和其它局部加密要求等特征约束的情况，例如，尽管区域分解法能够处理单连通区域，但不能在内部具有孔洞的多连通区域上直接划分网格，也无法处理约束线、约束点、加密点、加密线和其它局部加密要求的情况。对于具有任意内部特征约束的四边形网格生成，现有方法通常需要人工的方式将待划分区域分解成多个单连通区域，然后在每一个单连通区域上生成网格，当内部特征约束数目较多时，这将是一个非常费时和复杂的工作，且难以保障网格质量及其生成过程的可靠性、稳定性、自动化及自适应性。因此，具有任意内部特征约束的四边形网格生成算法是工程分领域迫切需要解决的问题，也是工程问题数值分析中普遍面临的一个基础性难题。

发明内容

本发明的目的就是为解决现有四边形网格生成方法不能直接处理内部特征约束的问题，提供一种针对内部存在任意特征约束的几何模型进行四边形网格自动生成的方法，它能够显著提高网格生成的质量和效率，方便实用，自动化程度高，自适应性强，密度易于控制，网格形状规范，单元数量易于控制。

本发明是通过下面的技术方案来实现的：

一种具有任意内部特征约束的几何模型的四边形网格生成方法，包括以下步骤：

(1.1)首先利用计算机根据待分析实体，例如锻件、建筑结构、水域等，建立待分析实体对象的几何模型；根据模型的几何形状、确定约束线和密度线的形状和位置以及确定约束点和密度点的位置，确定模型每个区域的范围与内外边界；

(1.2)根据用户设定的网格单元尺寸信息，在模型的外边界、内部边界、约束线以及密度线上生成网格节点，并对网格节点编号；将约束点和密度点作为新生成的网格节点并对其编号；

(1.3)将约束线和密度线、约束点和密度点视为面积为零的内部空洞，在模型每一个区域的外边界和内边界上生成节点环，并用该节点环表示该区域的内外边界形状，将每个区域内的所有内部边界转化并合并成外部边界，即将带有内部特征约束的多连通区域转换成单连通区域；

(1.4)对每一个区域进行四边形网格划分；最后生成具有内部特征约束的四边形网格。

所述步骤(1.1)中，对于每一个区域，还包括以下步骤：

(2.1)将组成边界的曲线首尾相连形成一个或多个封闭的曲线环；

(2.2)根据现有的包含关系算法，确定本区域的外边界环和内边界环；

(2.3)根据现有的包含关系算法，确定本区域内包含哪些约束线、约束点、密度线及密度点。

所述步骤(2.2)和(2.3)中包含关系算法是判断一点在封装区域内部还是外部的算法，即从该点引一条射线，求该射线与封装区域的边界交点数目，若交点数目为奇数，则该点在封闭区域内部，否则在封装区域外部。

所述步骤(1.3)中每一个区域的外边界网格节点以逆时针顺序给出，内部边界网格节点以顺时针顺序给出；

(3.1)将约束线和密度线看作是面积为零的内部孔洞，形成节点环，除了线上的端节点外，线上的其余节点将在节点环中出现两次；

(3.2)将约束点和密度点看作是面积为零的内部孔洞，形成节点环，该节点环中只有一个节点。

所述步骤(1.4)中每一个区域的网格划分又包括以下步骤：

(4.1)对于每一个内部边界，计算其上的每一个节点与每一个外部边界节点的距离，确定最短的距离及对应的内部边界节点和外边界节点；

(4.2)在所有的内部边界中，确定与外边界节点之间距离最短的那个内部边界及对应的内部边界节点和外边界节点；

(4.3)连接距离外边界最短的内部边界节点和对应的外边界节点，形成一条切割线，用这条切割线将区域切开一条宽度为零的缝隙，这样该内部边界就变成了外部边界；

(4.4)根据切割线两端点处的网格单元尺寸信息，在切割线上生成过渡均匀的网格节点，并对其进行编号；

(4.5)重新计算外边界的节点环；若内部边界是约束点或密度点，则该节点在新的外边界中只出现一次，除此之外，切割线上的所有节点在新的外边界中都将出现两次；

(4.6)若还有未处理的内部边界，则重复步骤(4.1)～(4.5)，将所有的内部边界转化并合并成外部边界，这样不管本区域内有多少内部边界，都可以将多连通区域转换成单连通区域；

(4.7)采用区域分解法生成四边形网格；

(4.8)对网格的内部节点、密度线和密度点上的节点进行光滑处理，而区域外边界、内部孔洞、约束线和约束点上的节点则不进行光滑处理。

所述步骤(4.4)中在切割线上生成网格节点的过程又包括以下步骤：

(5.1)根据切割线两端点处的网格单元尺寸信息，计算在切割线上生成节点的数目；

(5.2)根据网格单元尺寸在切割线上均匀过渡的要求，计算节点的位置。

所述步骤(4.1)～(4.5)中，当要划分的区域包含多个孔洞、约束点、约束线等特征，即有多个内部边界时，需要对将每个内部边界与外部边界进行合并。内外边界合并的方法是：对每个内部边界选择与外部边界的切割线，在所有的内部边界中，选择切割线最短的内部边界与外部边界进行合并，形成新的外部边界，以此类推，对剩余的内部边界进行合并，直到所有的内部边界都与外部边界进行合并。

在内外边界合并的过程中，需要在切割线上生成网格节点，其过程包括两个步骤：计算切割线上生成节点的数目以及计算生成的节点在切割线上的位置；

设切割线两端节点i，j的网格密度值为μ_i和μ_j，其值分别为节点i，j处网格单元尺寸的倒数，切割线的长度为l_ij，则在切割线上生成节点的数目为：

$N\≅0.5\×({\mathrm{\μ}}_i+{\mathrm{\μ}}_j)\×l_{\mathrm{ij}}-1(N\≥0)---\left(1\right)$

计算出在切割线上生成的新节点数目后，下一步就是确定这些节点在切割线上的位置；在切割线生成N个新节点，即将切割线分割成N+1个线段；切割线上新节点的位置的确定遵循各线段重量相等的原则，线段重量等于各线段的平均密度值乘以该线段的长度；

设与节点i相邻的第1个节点与节点i的距离为l_i1，则第1个节点的密度值可通过两端节点i，j的网格密度值线性插值得到，即

μ₁＝μ_i+(μ_j-μ_i)×l_i1/l_ij                      (2)

节点i与第1个节点之间的线段重量为0.5×(μ₁+μ_i)×l_i1，等于切割线重量的1/(N+1)，即

0.5×(μ₁+μ_i)×l_i1＝0.5×(μ_i+μ_j)×l_ij/(N+1)   (3)

将(2)式带入(3)式，得到以l_i1为未知数的一元二次方程，求解该方程，并将根带回(2)式得到第1个节点的网格密度值：

${\mathrm{\μ}}_1=\sqrt{{\mathrm{\μ}}_i^2+({\mathrm{\μ}}_j^2-{\mathrm{\μ}}_i^2)/(N+1)}---\left(4\right)$

将(4)式带入(3)式整理后得到以下等式：

R＝l_i1/l_ij＝(μ_i+μ_j)/(N+1)/(μ₁+μ_i)                (5)

其中，R＝l_i1/l_ij，R表示直线端点与第一个节点之间长度与整条直线长度的比值。

设节点i，j的坐标分别为(x_i，y_i)和(x_j，y_j)，则第1个节点的坐标为：

x₁＝x_i+(x_j-x_i)×R，y₁＝y_i+(y_j-y_i)×R

求出第1个节点的网格密度值和节点坐标之后，将第1个节点看作节点i，N值减1，采用上面的方法求出第2个节点的网格密度值和节点坐标，以此类推，求出切割线上所有节点的网格密度值和节点坐标。

本发明的有益效果是：对于内部存在任意特征约束的几何模型，自动生成理想的四边形网格，彻底避免了现有网格生成方法必须由人工处理多连通区域(孔洞、约束线、约束点等)的问题，自动化程度高，方便实用，网格生成质量高，生成速度快，自适应性强，密度易于控制，网格形状规范，单元数量易于控制。

附图说明

图1为具有内部特征约束的四边形网格生成流程图。

图2a为内部有一个孔洞的区域转换成单连通区域的过程及网格划分。

图2b为内部有一个孔洞的区域转换成单连通区域的过程及网格划分。

图2c为内部有一个孔洞的区域转换成单连通区域的过程及网格划分。

图2d为内部有一个孔洞的区域转换成单连通区域的过程及网格划分。

图2e为内部有一个孔洞的区域转换成单连通区域的过程及网格划分。

图3a为内部有多个孔洞的区域转换成单连通区域的过程及网格划分。

图3b为内部有多个孔洞的区域转换成单连通区域的过程及网格划分。

图3c为内部有多个孔洞的区域转换成单连通区域的过程及网格划分。

图3d为内部有多个孔洞的区域转换成单连通区域的过程及网格划分。

图3e为内部有多个孔洞的区域转换成单连通区域的过程及网格划分。

图4a为内部有约束线的区域约束特征的处理及网格划分。

图4b为内部有约束线的区域约束特征的处理及网格划分。

图4c为内部有约束线的区域约束特征的处理及网格划分。

图5a为内部有多种特征约束的网格划分。

图5b为内部有多种特征约束的网格划分。

具体实施方式

下面结合附图与实施例，对本发明做进一步说明。

图1为具有内部特征约束的四边形网格生成流程图。根据图1所示，具有内部特征约束的四边形网格生成流程如下：建立模型的几何形状，确定约束线和密度线的形状和位置，确定约束点和密度点的位置；设定每一个区域的范围；将每一个区域的边界曲线首尾相连形成封闭的曲线环，确定外边界环和内部边界环，确定每一个区域内包含哪些约束线、约束点、密度线及密度点；根据用户设定的网格单元尺寸信息，在模型外边界上、内部边界上、约束线和密度线上生成网格节点并对其进行编号，将约束点和密度点作为新生成的网格节点并对其编号；对每一个区域的外边界和内部边界用其边界上的网格节点环来表示，外边界上的节点以逆时针顺序给出，内部边界上的节点以顺时针顺序给出；本区域如果有约束线或密度线，则将约束线或密度线看作是面积为零的内部孔洞，并且形成封闭的节点环作为内部边界；本区域如果有约束点或密度点，则将约束点或密度点看作是面积为零的内部孔洞，并且形成封闭的节点环作为内部边界；在所有的内部边界中，寻找与外边界节点距离最短的那个内部边界及对应的节点；连接距离最短的两个节点形成一条切割线，根据切割线两端点的网格尺寸，在切割线上生成过渡均匀的网格节点；将内部边界节点和切割线上的节点以一定的顺序插入到外边界节点环中，实现内部边界和外边界的合并，形成新的外边界；按上述方法依次对剩余的内部边界与外边界进行合并；对本区域采用区域分解法生成四边形网格；对网格的内部节点、密度线上的节点和密度点的节点进行光滑处理；如果还有未网格划分的区域，则对下一个区域进行网格划分，否则，网格划分过程结束。

为了能更清楚地说明具有内部特征约束的四边形网格生成过程，下面以实例来说明内部特征约束的处理方法和网格生成过程。

图2a-图2e中的模型只有一个区域，外边界为正方形，该区域有一个正方形的内部孔洞。首先根据网格单元尺寸要求，在内外边界上生成网格节点，图2a中边界上的黑点即是生成的网格节点。然后用边界节点环来表示内外边界，外边界上的节点以逆时针顺序给出，内部边界上的节点以顺时针顺序给出，如图2a中的箭头所示。接下来对内外边界进行合并，将多连通区域转换成单连通区域，以满足网格划分对单连通区域的要求。计算内部边界和外边界上节点距离最短的两个节点，通过连接这两个节点形成一条切割线，如图2b所示，假想用这条切割线将区域切开一条宽度为零的缝隙，如图2c所示，这样就可以将内部含有孔洞的多连通区域转化成只有一个外部边界的单连通区域。接下来，根据切割线两端点处的网格单元尺寸信息，在切割线生成过渡均匀的网格节点，如图2d所示。将切割线上的节点和内部边界节点按一定的顺序插入到外部边界节点环中，形成一个新的边界节点环。这样带有内部孔洞的多连通区域就转换成了单连通区域，接下来就可以采用区域分解法生成四边形网格，并对内部网格节点进行光滑处理，最后生成的四边形网格如图2e所示。

当要划分的区域包含多个孔洞，即有多个内部边界时，内外边界合并的方法是：对每个内部边界选择与外部边界的切割线，在所有的内部边界中，选择切割线最短的内部边界与外部边界进行合并，形成新的外部边界，以此类推，对剩余的内部边界进行合并，直到所有的内部边界都与外部边界进行合并。

图3a-图3e为内部含有四个孔洞的区域内外边界合并的例子。在这四个孔洞与初始外边界的切割线中，第1个孔洞的切割线最短，因此首先第1个孔洞与初始外边界进行合并，形成新的外边界，如图3a所示。在剩余的3个孔洞中，选择第4个孔洞与新的外边界进行合并，如图3b所示。依次类推对剩余的2个孔洞进行合并，如图3c、3d所示，最后得到只有一个外部边界的节点环。图3e为最后生成的四边形网格。

在上述内外边界合并的过程中，需要在切割线上生成网格节点，其过程包括两个步骤：计算切割线上生成节点的数目以及计算生成的节点在切割线上的位置。设切割线两端节点i，j的网格密度值为μ_i和μ_j，其值分别为节点i，j处网格单元尺寸的倒数，切割线的长度为l_ij，则在切割线上生成节点的数目为：

$N\≅0.5\×({\mathrm{\μ}}_i+{\mathrm{\μ}}_j)\×l_{\mathrm{ij}}-1(N\≥0)---\left(1\right)$

计算出在切割线上生成的新节点数目后，下一步就是确定这些节点在切割线上的位置。在切割线生成N个新节点，即将切割线分割成N+1个线段。切割线上新节点的位置的确定遵循各线段重量(等于各线段的平均密度值乘以该线段的长度)相等的原则。设与节点i相邻的第1个节点与节点i的距离为l_i1，则第1个节点的密度值可通过两端节点i，j的网格密度值线性插值得到，即

μ₁＝μ_i+(μ_j-μ_i)×l_i1/l_ij                        (2)

节点i与第1个节点之间的线段重量为0.5×(μ₁+μ_i)×l_i1，等于切割线重量的1/(N+1)，即

0.5×(μ₁+μ_i)×l_i1＝0.5×(μ_i+μ_j)×l_ij/(N+1)     (3)

将(2)式带入(3)式，得到以l_i1为未知数的一元二次方程，求解该方程，并将根带回(2)式得到第1个节点的网格密度值：

${\mathrm{\μ}}_1=\sqrt{{\mathrm{\μ}}_i^2+({\mathrm{\μ}}_j^2-{\mathrm{\μ}}_i^2)/(N+1)}---\left(4\right)$

将(4)式带入(3)式整理后得到以下等式：

R＝l_i1/l_ij＝(μ_i+μ_j)/(N+1)/(μ₁+μ_i)              (5)

其中，R＝l_i1/l_ij，R表示直线端点与第一个节点之间长度与整条直线长度的比值。

设节点i，j的坐标分别为(x_i，y_i)和(x_j，y_j)，则第1个节点的坐标为：

x₁＝x_i+(x_j-x_i)×R，y₁＝y_i+(y_j-y_i)×R

求出第1个节点的网格密度值和节点坐标之后，将第1个节点看作节点i，N值减1，采用上面的方法求出第2个节点的网格密度值和节点坐标，以此类推，求出切割线上所有节点的网格密度值和节点坐标。

图4a-图4c为区域内部有特征约束线的例子。正方形的区域内部有一条约束线，首先在边界和约束线上生成网格节点，如图4a所示，约束线上的网格节点为最终的网格节点，其位置固定在约束线上。将约束线看作是面积为零的孔洞，如图4b所示，约束线上网格节点形成封闭的节点环，除了端节点外，其余的节点在节点环中出现两次。将约束线看作是内部孔洞后，就可以采上面的方法对内部边界与外部边界进行合并，形成一个单连通区域。最后生成的四边形网格如图4c所示。

对于区域内部有约束点的情况，可以将约束点看作是面积为零的孔洞，与约束线相比，最后形成的节点环只有一个节点。

对于需要在区域内部某些部位对网格加密时，可以在区域内部设置密度线或密度点，对密度线或密度点的处理的方式与约束线或约束点一样，只不过在生成网格之后，可以对密度线或密度点上的节点进行光滑处理，其位置不一定要求固定在密度线或密度点上。

对所有的内部特征处理完毕后，要划分的区域就转换成单连通区域，可以采用区域分解法对其进四边形网格划分。区域分解法生成四边形网格的过程如下：对于用边界节点环表示的要划分区域，通过连接两个边界节点，把这个区域剖分成两个子区域。再根据网格单元尺寸要求在剖分线上生成新的节点。以递归的方式对每个子区域进行剖分，直到所有的子区域不可再分为止，即每个子区域包含六个或四个节点。在剖分完成后，每一个六节点子区域可以分解成2～4个四边形单元。

当四边形网格生成之后，需要对内部节点进行光滑处理，即用节点周围节点坐标的平均值替换掉该节点的坐标值。外边界、内部孔洞、约束线和约束点上的节点不需要光滑处理。

图5a、图5b为内部有多种特征约束的网格划分实例。如图5a所示，该模型共有两个区域组成的，其中在区域1中有一条约束线，四个约束点以及一条密度线和一个密度点，区域2为一圆形区域。根据用户单元尺寸信息，最后生成带有特征约束的四边形网格如图5b所示。

Claims (8)

1.一种具有任意内部特征约束的几何模型的四边形网格生成方法，其特征在于包括以下步骤：

(1.1)首先利用计算机根据待分析实体，建立待分析实体对象的几何模型；根据模型的几何形状、约束线和密度线的形状和位置以及约束点和密度点的位置，确定模型每个区域的范围与内、外边界；

(1.2)根据用户设定的网格单元尺寸信息，在模型的外边界、内部边界、约束线以及密度线上生成网格节点，并对网格节点编号；将约束点和密度点作为新生成的网格节点并对其编号；

(1.3)将约束线和密度线、约束点和密度点视为面积为零的内部空洞，在模型每一个区域的外边界和内边界上生成节点环，并用该节点环表示该区域的内外边界形状，将每个区域内的所有内部边界转化并合并成外部边界，即将带有内部特征约束的多连通区域转换成单连通区域；

(1.4)对每一个区域进行四边形网格划分；最后生成具有内部特征约束的四边形网格。

2.根据权利要求1所述的具有任意内部特征约束的几何模型的四边形网格生成方法，其特征在于，所述步骤(1.1)中，对于每一个区域，还包括以下步骤：

(2.1)将组成边界的曲线首尾相连形成一个或多个封闭的曲线环；

(2.2)根据现有包含关系算法，确定外边界环和内边界环；

(2.3)根据现有包含关系算法，确定本区域内包含哪些约束线、约束点、密度线及密度点。

3.根据权利要求2所述的具有任意内部特征约束的几何模型的四边形网格生成方法，其特征在于，所述步骤(2.2)和(2.3)中包含的关系算法是判断一点在封装区域内部还是外部的算法，即从该点引一条射线，若射线与封装区域的边界交点的数目为奇数，则该点在封闭区域内部，否则在区域的外部。

4.根据权利要求1所述的具有任意内部特征约束的几何模型的四边形网格生成方法，其特征在于，所述步骤(1.3)中每一个区域的外边界网格节点以逆时针顺序给出，内部边界网格节点以顺时针顺序给出；其过程为：

(3.1)将约束线和密度线看作是面积为零的内部孔洞，形成节点环，除了线上的端节点外，线上的其余节点将在节点环中出现两次；

(3.2)将约束点和密度点看作是面积为零的内部孔洞，形成节点环，该节点环中只有一个节点。

5.根据权利要求1所述的具有任意内部特征约束的几何模型的四边形网格生成方法，其特征还在于，所述步骤(1.4)中每一个区域的网格划分又包括以下步骤：

(4.1)对于每一个内部边界，计算其上的每一个节点与每一个外部边界节点的距离，确定最短的距离及对应的内部边界节点和外边界节点；

(4.2)在所有的内部边界中，确定与外边界节点之间距离最短的那个内部边界及对应的内部边界节点和外边界节点；

(4.3)连接距离外边界最短的内部边界节点和对应的外边界节点，形成一条切割线，用这条切割线将区域切开一条宽度为零的缝隙，这样该内部边界就变成了外部边界；

(4.4)根据切割线两端点处的网格单元尺寸信息，在切割线生成过渡均匀的网格节点，并对其进行编号；

(4.5)重新计算外边界的节点环；若内部边界是约束点或密度点，则该节点在新的外边界中只出现一次，除此之外切割线上的所有节点在新的外边界中都将出现两次；

(4.6)若还有未处理的内部边界，重复步骤(4.1)～(4.5)，将所有的内部边界转化并合并成外部边界，这样不管本区域内有多少内部边界，都可以将多连通区域转换成单连通区域；

(4.7)采用区域分解法生成四边形网格；

(4.8)对网格的内部节点、密度线和密度点上的节点进行光滑处理，区域外边界、内部孔洞、约束线和约束点上的节点不进行光滑处理。

6.根据权利要求5所述的具有任意内部特征约束的几何模型的四边形网格生成方法，其特征还在于，所述步骤(4.4)中在切割线上生成网格节点的过程又包括以下步骤：

(5.1)根据切割线两端点处的网格单元尺寸信息计算在切割线上生成节点的数目；

(5.2)根据网格单元尺寸在切割线上均匀过渡的要求，计算节点的位置。

7.根据权利要求5所述的具有任意内部特征约束的几何模型的四边形网格生成方法，其特征还在于，所述步骤(4.5)中，当要划分的区域包含多个孔洞，即有多个内部边界时，内外边界合并的方法是：对每个内部边界选择与外部边界的切割线，在所有的内部边界中，选择切割线最短的内部边界与外部边界进行合并，形成新的外部边界，以此类推，对剩余的内部边界进行合并，直到所有的内部边界都与外部边界进行合并。

8.根据权利要求7所述的具有任意内部特征约束的几何模型的四边形网格生成方法，其特征还在于，在内外边界合并的过程中，需要在切割线上生成网格节点，其过程包括两个步骤：计算切割线上生成节点的数目以及计算生成的节点在切割线上的位置；

设切割线两端节点i，j的网格密度值为μ_i和μ_j，其值分别为节点i，j处网格单元尺寸的倒数，切割线的长度为l_ij，则在切割线上生成节点的数目为：

$N\≅0.5\×({\mathrm{\μ}}_i+{\mathrm{\μ}}_j)\×l_{\mathrm{ij}}-1(N\≥0)---\left(1\right)$

计算出在切割线上生成的新节点数目后，下一步就是确定这些节点在切割线上的位置；在切割线生成N个新节点，即将切割线分割成N+1个线段；切割线上新节点的位置的确定遵循各线段重量相等的原则，线段重量等于各线段的平均密度值乘以该线段的长度；

设与节点i相邻的第1个节点与节点i的距离为l_i1，则第1个节点的密度值可通过两端节点i，j的网格密度值线性插值得到，即

μ₁＝μ_i+(μ_j-μ_i)×l_i1/l_ij                        (2)

节点i与第1个节点之间的线段重量为0.5×(μ₁+μ_i)×l_i1，等于切割线重量的1/(N+1)，即

0.5×(μ₁+μ_i)×l_i1＝0.5×(μ_i+μ_j)×l_ij/(N+1)     (3)

将(2)式带入(3)式，得到以l_i1为未知数的一元二次方程，求解该方程，并将根带回(2)式得到第1个节点的网格密度值：

${\mathrm{\μ}}_1=\sqrt{{\mathrm{\μ}}_i^2+({\mathrm{\μ}}_j^2-{\mathrm{\μ}}_i^2)/(N+1)}---\left(4\right)$

将(4)式带入(3)式整理后得到以下等式：

R＝l_i1/l_ij＝(μ_i+μ_j)/(N+1)/(μ₁+μ_i)              (5)

其中，R＝l_i1/l_ij，R表示直线端点与第一个节点之间长度与整条直线长度的比值。

设节点i，j的坐标分别为(x_i，y_i)和(x_j，y_j)，则第1个节点的坐标为：

x₁＝x_i+(x_j-x_i)×R，y₁＝y_i+(y_j-y_i)×R

求出第1个节点的网格密度值和节点坐标之后，将第1个节点看作节点i，N值减1，采用上面的方法求出第2个节点的网格密度值和节点坐标，以此类推，求出切割线上所有节点的网格密度值和节点坐标。

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