CN102103255A - 同步辐射垂直聚焦镜重力协弯设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供一种同步辐射垂直聚焦镜重力协弯设计方法，根据材料力学梁压弯理论，以镜体中心为原点、沿镜面长度方向为x轴，建立压弯挠度微分方程：

其中，M(x)为总弯矩的分布；M_f(x)为两端所施加弯矩在镜体上的分布，且M_f(x)＝M_0f(1+k_Mfx)，M_0f是两端施加在镜体中心处的弯矩值，k_Mf是两端施加在镜面上弯矩分布的相对斜率值；M_g(x)为重力弯矩在镜体上的分布，且

g＝g₀·cosθ’，g₀为重力加速度，θ’为镜面中心处偏离水平面的倾角，ρ为镜体材料密度，T为镜体厚度，L为压弯镜体在x轴投影长度，W(x)为x位置处镜体宽度；I(x)为惯性矩；E为杨氏模量。本发明可以消除由重力引起的面形误差。

Description

同步辐射垂直聚焦镜重力协弯设计方法

技术领域

本发明涉及一种聚焦镜设计方法，尤其涉及一种同步辐射垂直聚焦镜重力协弯设计方法，属于同步辐射光束线工程、同步辐射光学技术领域。

背景技术

同步辐射的优点之一是高亮度。亮度一般指相空间中的光子数密度，同步辐射光子通量高，相空间体积小造就了高亮度的特点。根据刘维定理，在不牺牲光子通量前提下，亮度无法提高。当压缩光束的线宽度时，其角宽度就要增大；反之，当压缩角宽度使光束变得更准直时，其线宽度就要增大。然而，不同实验对光束的相空间形状要求不同，例如荧光微区分析要求小的光斑尺寸，大分子晶体衍射实验同时要求小光斑尺寸和较好的准直性等等。微聚焦装置的产生满足了对光束小尺寸光斑、高通量面密度的需求。

目前同步辐射束线上采用较多的微聚焦装置大致可分为四类：一是Kirkpatrick-Baez镜(简称K-B镜)微聚焦装置；二是导管式微聚焦装置，又分为单管透镜和整合毛细管透镜；三是组合折射透镜式微聚焦装置；四是纯衍射型聚焦装置，主要有波带片、劳埃多层膜。K-B镜是P.Kirkpatric和A.V.Baez首先提出的以他们名字命名的聚焦成像系统，它以高传输效率(＞70％)、无色散及耐辐射等诸多反射镜的优良特性，以及工艺上易于实现、像差很小等诸多K-B结构的优点，成为当前最广泛采用的微聚焦装置。如图1a和图1b所示，K-B镜由两块独立正交放置、分别负责水平和垂直聚焦的反射镜M1、M2组成，光源source发出的光束经由反射镜M1、M2的反射，聚焦至像点focus，反射镜面形多为柱面，其成像公式为：

$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=\frac{1}{f}---\left(1\right)$

其中，p为光源到反射镜距离，也即源距，q为反射镜到聚焦像点距离，也即像距，f为反射镜的焦距。由于用于微聚焦的K-B镜要有较大的缩放比，入射角要限制在全反射角以内，为了保证较大的接收，又要有较大的镜体长度，因而目前广泛采用尽可能接近理想的椭圆柱面的面形来减小像差。直接加工成型椭圆柱面镜造价非常昂贵，并且焦距无法调节。而将平面镜利用压弯技术得到椭圆柱面镜，大大降低了镜体的加工难度，并且可以实现焦距在一定范围内的调节。

计算K-B聚焦理想的镜面面形的方法如下：

如图2，p为源距，q为像距，也即p、q的定义与公式(1)相同，镜面中心处光线掠入射角为θ，镜面上最大掠入射角θ_max在镜体末端位置，我们以镜体中心为原点，沿镜面长度方向为x轴、垂直中心镜面方向为y轴建立坐标系，并得到物点坐标为(-pcosθ，psinθ)，像点坐标为(qcosθ，qsinθ)。通过镜面上某点(x，y)的光线光程表达式为：

$s=\sqrt{{(x+p\cos \mathrm{\θ})}^2+{(y-p\sin \mathrm{\θ})}^2}+\sqrt{{(x-q\cos \mathrm{\θ})}^2+{(y-q\sin \mathrm{\θ})}^2}---\left(2\right)$

依费马原理，光程最短，s对x的全微分为0，得到理想椭圆方程：

$\mathrm{el}(p,q,\mathrm{\θ};x)=\frac{(p+q)((p-q)x\cos \mathrm{\θ}+2(-\mathrm{pq}+\sqrt{\mathrm{pq}(\mathrm{pq}-x^2-\mathrm{px}\cos \mathrm{\θ}+\mathrm{qx}\cos \mathrm{\θ})}))\sin \mathrm{\θ}}{-{(p+q)}^2+{(p-q)}^2{\sin }^2\mathrm{\θ}}---\left(3\right)$

根据材料力学梁压弯理论，压弯挠度满足以下微分方程

$y^{\′\′}\left(x\right)=\frac{M\left(x\right)}{\mathrm{EI}\left(x\right)}---\left(4\right)$

其中，x为梁上的位置，y(x)为压弯挠度，M(x)为x位置的总弯矩，I(x)为惯性矩，E为杨氏模量。为了使聚焦镜压弯面形为椭圆，通常在镜体两端施加弯矩，则两端所施加弯矩在镜体上的分布M_f(x)为一次函数M_f(x)＝M_0f(1+k_Mf x)，M_0f是两端施加在镜体中心处的弯矩，k_Mf是两端施加在镜体上弯矩分布的相对斜率。镜体x处惯性矩I(x)的物理定义式为

其中，W(x)为镜体在x处的宽度，T(x)为镜体在x处的厚度。对于等厚度镜体，T(x)为常数，则W(x)与I(x)成正比。

在现有技术中，在设计同步辐射曲边聚焦镜(简称曲边镜)和同步辐射梯形聚焦镜(简称梯形镜)时均不考虑重力影响，即认为镜体上总的弯矩分布等于两端所施加的弯矩分布，即M(x)＝M_f(x)，公知的曲边镜与梯形镜的设计方法如下：

1、对于曲边镜，由(4)式设计镜体惯性矩分布I(x)满足如下关系，即可实现无重力时压弯面形为理想椭圆(本发明描述曲边镜时，因为涉及到聚焦条件及弯矩偏离设计值的变化，故用下标d表示相应各参数的设计值)：

$I\left(x\right)=\frac{M_{\mathrm{fd}}\left(x\right)}{{\mathrm{el}}^{\′\′}(p_d,q_d,{\mathrm{\θ}}_d;x)}=\frac{M_{0\mathrm{fd}}(1+k_{\mathrm{Mfd}}x)}{{\mathrm{el}}^{\′\′}(p_d,q_d,{\mathrm{\θ}}_d;x)},---\left(5\right)$

其中，M_0fd可取使镜体符合梁近似的任意值，k_Mfd取使镜体较接近矩形的值：

$k_{\mathrm{Mfd}}=\frac{3(p_d-q_d)\cos {\mathrm{\θ}}_d}{2p_d{q}_d}\≈\frac{3}{2}(\frac{1}{q_d}-\frac{1}{p_d}).---\left(6\right)$

代入(5)式得到现有方法的曲边镜的几何设计，

$I\left(x\right)=$

$\frac{M_{0\mathrm{fd}}}{E(p_d+q_d)\sin {\mathrm{\θ}}_d}\×(2p_d{q}_d+3(p_d-q_d)\cos {\mathrm{\θ}}_{d}x)\×{\left(\frac{p_d{q}_d-x^2+(q_d-p_d)\cos {\mathrm{\θ}}_{d}x}{p_d{q}_d}\right)}^{3/2}---\left(7\right)$

$\≈\frac{M_{0\mathrm{fd}}(2p_d{q}_d+3(p_d-q_d)x){\left(\frac{(p_d+x)(q_d-x)}{p_d{q}_d}\right)}^{3/2}}{E(p_d+q_d)\sin {\mathrm{\θ}}_d}$

对于均匀厚度T的镜体(7)式也可改写为：

$W\left(x\right)/W_0=$

$\frac{(2p_d{q}_d+3(p_d-q_d)\cos {\mathrm{\θ}}_{d}x)\×(p_d{q}_d-x^2+(q_d-p_d)\cos {\mathrm{\θ}}_{d}x){)}^{3/2}}{2{\left(p_d{q}_d\right)}^{5/2}};$

$\≈\frac{(2p_d{q}_d+3(p_d-q_d)x)\×{\left((p_d+x)(q_d-x)\right)}^{3/2}}{2{\left(p_d{q}_d\right)}^{5/2}}$

$m_{r0d}\≡M_{0\mathrm{fd}}/W_0=\frac{{\mathrm{ET}}^3(p_d+q_d)\sin {\mathrm{\θ}}_d}{24P_d{q}_d},---\left(7^{,}\right)$

其中，W₀≡W(0)为镜体中心处宽度。

2、对于梯形镜，惯性矩分布I(x)为一次函数I(x)＝I₀(1+k_Ix)。由(4)式设计合适的下列的5个自由度参数(弯矩分布的相对斜率k_Mf，惯性矩分布的相对斜率k_I，镜体中心处曲率

镜体中心倾斜角度δ₁，镜体中心高度δ0)，即可以实现将无重力条件下的压弯面形y(x)与椭圆柱面el(p，q，θ；x)从0至4阶的中心泰勒近似：

$k_{\mathrm{Mf}}=\frac{(p-q)\cos \mathrm{\θ}}{4\mathrm{pq}}-\frac{\sec \mathrm{\θ}}{p-q},$

$k_I=-\frac{5(p-q)\cos \mathrm{\θ}}{4\mathrm{pq}}-\frac{\sec \mathrm{\θ}}{p-q},$

$C_0=\frac{(p+q)\sin \mathrm{\θ}}{2\mathrm{pq}},---\left(8\right)$

δ₁＝0，

δ₀＝0，

对于微聚焦K-B系统，缩放比很大，即

则(8)式可简化为：

$k_{\mathrm{Mf}}=\frac{\cos \mathrm{\θ}}{4f},$

$k_I=-\frac{5\cos \mathrm{\θ}}{4f},$

$C_0=\frac{\sin \mathrm{\θ}}{2f},---\left(8^{,}\right)$

δ₁＝0，

δ₀＝0。

综上所述，现有的曲边镜和梯形镜设计方法中均默认M(x)＝Mf(x)，不考虑重力因素对镜体的影响。由于垂直聚焦镜是水平放置的，必然受到重力作用而影响压弯面形。但是现有的垂直聚焦镜的镜体压弯设计方法不主动考虑镜体重力影响，而是将重力作为一个系统误差源，被动地降低其造成的误差。降低重力影响的方法一般为选用低密度高杨氏模量的材料、增大镜体厚度以及增加重力平衡补偿装置等，此类方法机构复杂，且不易得到很好的效果，例如现有的梯形镜和曲边镜设计方法采用的被动降低重力引起误差的方法，均没有较好地消除白重面形误差。

发明内容

本发明的目的在于提供一种同步辐射垂直聚焦镜重力协弯设计方法，以解决现有设计方法不主动考虑重力对镜体面形的影响及其导致的设计方法复杂和不易取得良好技术效果的问题。

为了实现本发明的目的，本发明通过使该含有重力的压弯面形趋向于理想的椭圆面形来进行镜体几何参数及压弯力学参数的设计。

本发明提供的同步辐射垂直聚焦镜重力协弯设计方法包括：根据材料力学梁压弯理论，设定压弯挠度满足以镜体中心为原点、沿镜面长度方向为x轴建立的坐标系的下述微分方程：

$y^{\′\′}\left(x\right)=\frac{M\left(x\right)}{\mathrm{EI}\left(x\right)}=\frac{M_f\left(x\right)+M_g\left(x\right)}{\mathrm{EI}\left(x\right)}$

其中，M(x)为总弯矩的分布；M_f(x)为两端施加弯矩在镜体上的分布，且M_f(x)＝M_0f(1+k_Mfx)，M_0f是两端施加在镜体中心处的弯矩，k_Mf是两端施加在镜面上弯矩分布的相对斜率；M_g(x)为重力弯矩在镜体上的分布，且

$M_g\left(x\right)=\mathrm{g\ρT}(\frac{L-2x}{4}({\∫}_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}W\left(u\right)\mathrm{du}+\frac{2}{L}{\∫}_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}\mathrm{uW}\left(u\right)\mathrm{du})-{\∫}_x^{\frac{L}{2}}W\left(u\right)\·(u-x)\mathrm{du}),g=g_0\·\cos {\mathrm{\θ}}^{,},g_0$

为重力加速度，θ’为镜面中心处偏离水平面的倾角，ρ为镜体材料密度，T为镜体厚度，L为压弯镜体在x轴投影长度，W(x)为x位置处镜体宽度；I(x)为惯性矩；E为杨氏模量。

本发明并未将重力仅作为一个系统误差源，而是将其作为压弯力之一与两端所施加压弯力一起纳入压弯面形设计中，并据此设计镜体的几何参数和压弯力学参数，借此消除了由重力引起的面形误差。

附图说明

图1a和图1b分别为显示K-B镜聚焦原理的侧视示意图和俯视示意图；

图2为K-B聚焦镜理想面形结构示意图；

图3为在梯形垂直压弯聚焦镜实施例中，本发明与现有技术的压弯面形斜率误差比较图；

图4为在曲边垂直压弯聚焦镜实施例中，利用现有技术计算的W(x)/W₀的坐标图；

图5示出了在曲边垂直压弯聚焦镜实施例中，利用现有技术设计的镜体在重力作用下的压弯面形斜率误差；

图6为在曲边垂直压弯聚焦镜实施例中，利用本发明计算的W(x)/W₀的坐标图；

图7示出了在曲边垂直压弯聚焦镜实施例中，利用本发明设计的镜体在重力作用下的压弯面形斜率误差。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施方式对本发明做进一步详细说明。

本发明的基本设计思想是将重力作为压弯力之一与两端所施加压弯力一起纳入压弯面形设计中，并据此设计镜体的几何参数和压弯力学参数，由此消除重力因素对镜体面形的影响。

由本发明的基本设计思想可知，重力弯矩与两端施加弯矩共同作用于镜体，镜体上总的弯矩分布等于两端所施加的弯矩分布与重力弯矩分布之和，即M(x)＝M_f(x)+M_g(x)，则其压弯面形满足以下微分方程：

$y^{\′\′}\left(x\right)=\frac{M\left(x\right)}{\mathrm{EI}\left(x\right)}=\frac{M_f\left(x\right)+M_g\left(x\right)}{\mathrm{EI}\left(x\right)},---\left(9\right)$

其中，M_f(x)为两端施加弯矩在镜体上的分布，

M_f(x)＝M_0f(1+k_Mfx)，(10)

其中，M_0f是两端施加在镜体中心处的弯矩，k_Mf是两端施加在镜面上弯矩分布的相对斜率；

M_g(x)为重力弯矩在镜体上的分布，

$M_g\left(x\right)=\mathrm{g\ρT}(\frac{L-2x}{4}({\∫}_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}W\left(u\right)\mathrm{du}+\frac{2}{L}{\∫}_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}\mathrm{uW}\left(u\right)\mathrm{du})-{\∫}_x^{\frac{L}{2}}W\left(u\right)\·(u-x)\mathrm{du}),---\left(11\right)$

其中，g＝g₀·cosθ’，g₀为重力加速度，θ’为镜面中心处偏离水平面的倾角，ρ为镜体材料密度，T为镜体厚度，L为压弯镜体在x轴投影长度，W(x)为x位置处镜体宽度。

式(9)将重力视作压弯力之一，与两端施加压弯力共同作用于镜体，依此式进行镜体及其压弯设计，即为重力协弯设计方法。此方法考虑了重力作用对镜体面形的影响，重力不再成为误差源，从而可以消除重力面形误差，即由重力作用导致的面形误差。

对于梯形压弯垂直聚焦镜，W(x)＝W₀(1+k_Ix)，W₀为镜体中心处宽度，则(11)式可以化为：

$M_g\left(x\right)=\frac{\mathrm{g\ρT}}{24}{W}_0(3+k_{I}x)(L^2-4x^2).---\left(12\right)$

结合(9)、(10)和(12)式，可知影响面形的设计参数自由度有5个，分别是k_Mf、k_I、m_r0、δ1、和δ0，其中m_r0≡M_0f/W₀、δ1为镜面整体倾斜角度以及δ0为镜面整体高度。

为了能够简单快捷的计算上述5个影响面形的设计参数自由度，本发明提供了一种较简单的方法，即采用泰勒近似的设计方法，设计合适的5个自由度参数，实现重力协弯的压弯面形y(x)与理想的椭圆柱面el(x)(即式3)从0到4阶(或者其他例如3阶、5阶等)中心泰勒近似，分别使y(x)与el(x)的中心(x＝0)泰勒展开式中0到4阶系数对应相等，可列出5个方程即y⁽ⁱ⁾(0)＝el⁽ⁱ⁾(0)，(i＝0，1...4)，求解得到：

k_Mf＝

(16E²T⁴pq(p+q)²cot2θ+EpqT²secθ×(gρ(p+q)(L²(5p²+6pq+5q²)-128p²q²)-8ET²(p²+q²)cscθ)+csc2θ×(E²T⁴(p⁴-34p²q²+q⁴)+256g²ρ²L²p⁴q⁴-，ET²(p-q)²(p+q)(ET²(p+q)cos4θ-10gρL²pqsin3θ)))/(16ET²pq(p²-q²)(ET²(p+q)sinθ-3gρL²pq))

$k_I=\frac{-128\mathrm{g\ρ}{p}^3{q}^3-E(p+q)T^2((5p^2+6\mathrm{pq}+5q^2)\sin \mathrm{\θ}+5{(p-q)}^2\sin 3\mathrm{\θ})}{8\mathrm{Epq}(p^2-q^2)T^2\sin 2\mathrm{\θ}},$

$m_{r0}=\frac{T}{24}(\frac{{\mathrm{ET}}^2(p+q)\sin \mathrm{\θ}}{\mathrm{pq}}-3\mathrm{g\ρ}{L}^2),$

δ₁＝0，

δ₀＝0。(13)

对于微聚焦K-B系统，缩放比很大，即

则(13)式可近似为：

k_Mf＝(E²T⁴(1-cos4θ)+256g²ρ²L²f⁴+4EgρT²f(5L²(1+cos2θ)-64f²)sinθ)/，(16ET²f(ET²sinθ-3gρL²f)sin 2θ)

$k_I=-\frac{5\cos \mathrm{\θ}}{4f}-\frac{16\mathrm{g\ρ}{f}^2}{{\mathrm{ET}}^2\sin 2\mathrm{\θ}},$

$m_{r0}=\frac{T}{24}(\frac{{\mathrm{ET}}^2\sin \mathrm{\θ}}{f}-3\mathrm{g\ρ}{L}^2),$

δ₁＝0，

δ₀＝0。(14)

至此便获得了梯形压弯垂直聚焦镜的所有几何及力学参数，该设计方法实现了在重力条件下压弯面形向椭圆柱面的中心泰勒近似，压弯面形仅存在泰勒阶数有限(为4)的截断误差，重力不再成为误差源，从而消除重力面形误差。

对于曲边压弯垂直聚焦镜，在保证梁近似的情况下，无论事先M_0fd和k_Mfd取何设计值，镜体宽度分布W(x)的设计只需满足：

el″(p_d，q_d，θ_d；x)＝y″(x)，(15)

其中y(x)为(9)式所示，即可保证压弯面形为理想椭圆(即y(x)＝el(p_d，q_d，θ_d；x))柱面，即在所设计的聚焦条件(p_d、q_d和θ_d)下实现无面形误差的理想聚焦。

为了能够简单快捷的计算k_Mfd，本发明也提供了一种简单的计算方法，使镜面较接近矩形，即：

W′(0)＝0。(16)

将(3)、(9)、(10)、(11)式代入(15)式，再结合(16)式，计算出压弯力学以及镜体几何设计参数——k_Mfd值以及W(x)函数。但所得方程为非线性积分方程，难以直接计算出形式简单的解析解。可以对此方程近似求解，并且近似求解的方法较多，例如将W(x)展开为泰勒级数近似求解、将W(x)设为散列点多项式拟合函数近似求解以及将W(x)设成等间距或不等间距散列点的各种插值函数近似求解等等，经过对比几种方法的近似效果，本发明提供一种将W(x)设为等间距散列点的拉格朗日插值函数的方法，该方法具有计算量较小且能够较快收敛的优点。等间距散列点的拉格朗日插值函数方法如下：

在[-L/2，L/2]区间取n+1个等间距散列点

(i＝0，1，...n)，设W(x_i)＝w_i×W₀；

其中：

W₀≡W(0)，(17)

则(x_i，w_iW₀)(i＝0，1，...n)的拉格朗日插值多项式为：

$W_{\mathrm{Ln}}\left(x\right)=W_0\underset{i=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{w}_i{l}_i\left(x\right),$ 其中 $l_i\left(x\right)=\underset{j=0,j\≠i}{\overset{n}{\mathrm{\Π}}}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}.$

由(15)式得：

el″(p_d，q_d，θ_d；x_i)＝y″(x_i)，(i＝0，1，...n)。(18)

将W_Ln(x)作为W(x)的近似，结合(3)、(9)、(10)、(11)式代入(18)式。再考虑(16)、(17)式，共n+3个方程，求得m_r0d(定义m_r0d≡M_0fd/W₀)、w_i(i＝0，1...n)及k_Mfd共n+3个参数。其中，随着n取值增大，插值函数W_Ln(x)无限接近于W(x)，一般n取为5～40间的整数即可。可先将n随意取n取为5～40间的整数，然后将求解得到的W_Ln(x)代入(9)式，然后再计算压弯面形误差，以确定是否需要增加n的取值。

经检验，该本发明可以在重力条件下实现理想的椭圆压弯，重力面形误差完全消除。

为了使本领域技术人员进一步理解本发明将重力作为压弯协助力来进行压弯面形设计，本发明还提供了以下结合具体参数的优选实施例。

以p＝20m、q＝0.48m、θ＝0.002890rad、L＝0.2m、T＝0.005m、E＝1.124×10¹¹Pa、ρ＝2.329×10³kg/m³、g0＝9.8N/kg的梯形压弯垂直聚焦镜为例说明如下：

1、利用现有设计方法，由(8)式得出设计参数：k_M＝0.4571m^-1、k_L＝-2.593m^-1、C₀＝0.003083m^-1(折算m_r0＝3.609N)、δ₁＝0和δ₀＝0m，计算其聚焦像斑展宽为21.71μm。

2、采用本发明，由(13)式得出设计参数：k_Mf＝-5.127m^-1、k_I＝-7.776m^-1、m_r0＝3.039N、δ₁＝0和δ₀＝0m，计算其聚焦像斑展宽为3.631μm。

如图3所示，图3示出了本实施例优化前后的压弯面形斜率误差比较图。其中虚线为现有设计方法的斜率误差，实线为本发明的斜率误差。

可见，在本实施例中，明显消除了重力面形误差，仅存在泰勒近似的截断误差，较现有设计面形斜率误差和像斑展宽降低了近一个数量级。

以p＝20.3m、q＝0.18m、θ＝0.002165rad、L＝0.2m、T＝0.005m、E＝1.124×10¹¹Pa、ρ＝2.329×10³kg/m³、g₀＝9.8N/kg曲边压弯垂直聚焦镜为例说明如下：

1、利用现有设计方法，由(6)和(7’)式计算出设计参数：k_Mfd＝8.259m^-1，m_r0d＝7.105N，

W(x)/W₀＝

，

0.1432(1+8.259x[m])((0.1800-x[m])(20.30+x[m]))^3/2

上式的坐标图如图4所示。其在重力作用下的压弯面形斜率误差由图5示出，其均方根值为22.18μrad。

2、采用本发明计算设计参数，由解(16)、(17)、(18)式组成的n+3元方程组给出(本优选实施例中n取为10)：

k_Mfd＝8.883m^-1，m_r0d＝6.596N，

W(x)/W₀＝

，

1-65.29x[m]²+168.4x[m]³+118.0x[m]⁴-694.9x[m]⁵+

2559.x[m]⁶+2107.x[m]⁷+3453.x[m]⁸+5.438×10⁴x[m]⁹+1.937×10⁵x[m]¹⁰

上式的坐标图如图6所示。

通过本发明设计的曲边垂直压弯聚焦镜仅存在n的截断误差，随着n取值无限增大，压弯面形误差可无限接近于零。高精度地计算本实施例在含重力作用时的压弯面形斜率误差由图7示出，其均方根值为6.182prad，完全可以忽略。可见，现有的曲边镜设计方法存在很大的重力面形误差，而本发明则完全消除了设计聚焦条件下的重力面形误差，实现了重力条件下压弯面形误差为零。

综上所述，本发明提供的同步辐射垂直聚焦镜重力协弯设计方法可以消除聚焦镜白重产生的面形误差。

由技术常识可知，本发明可以通过其它的不脱离其精神实质或必要特征的实施方案来实现。因此，上述公开的实施方案，就各方面而言，都只是举例说明，并不是仅有的。所有在本发明范围内或在等同于本发明的范围内的改变均被本发明包含。

Claims (10)

1.一种同步辐射垂直聚焦镜重力协弯设计方法，其特征在于，包括：根据材料力学梁压弯理论，以镜体中心为原点、沿镜面长度方向为x轴建立压弯挠度微分方程：

$y^{\′\′}\left(x\right)=\frac{M\left(x\right)}{\mathrm{EI}\left(x\right)}=\frac{M_f\left(x\right)+M_g\left(x\right)}{\mathrm{EI}\left(x\right)}$

其中，M(x)为总弯矩的分布；M_f(x)为两端施加弯矩在镜体上的分布，且M_f(x)＝M_0f(1+k_Mfx)，M_0f是两端施加在镜体中心处的弯矩，k_Mf是两端施加在镜面上弯矩分布的相对斜率；M_g(x)为重力弯矩在镜体上的分布，且

$M_g\left(x\right)=\mathrm{g\ρT}(\frac{L-2x}{4}({\∫}_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}W\left(u\right)\mathrm{du}+\frac{2}{L}{\∫}_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}\mathrm{uW}\left(u\right)\mathrm{du})-{\∫}_x^{\frac{L}{2}}W\left(u\right)\·(u-x)\mathrm{du}),g=g_0\·\cos {\mathrm{\θ}}^{,},g_0$

为重力加速度，θ’为镜面中心处偏离水平面的倾角，ρ为镜体材料密度，T为镜体厚度，L为压弯镜体在x轴投影长度，W(x)为x位置处镜体宽度；I(x)为惯性矩；E为杨氏模量。

2.根据权利要求1所述的同步辐射垂直聚焦镜重力协弯设计方法，其特征在于，对于梯形聚焦镜，即W(x)＝W₀(1+k_Ix)，其中W₀为镜体中心处宽度，k_I为惯性矩分布的相对斜率，则：

$M_g\left(x\right)=\frac{\mathrm{g\ρT}}{24}{W}_0(3+k_{I}x)(L^2-4x^2);$

结合y″(x)、M_f(x)，计算下述影响面形的5个设计参数自由度：k_Mf、k_I、m_r0、δ₁和δ₀，其中，m_r0≡M_0f/W₀、δ₁为镜面整体倾斜角度、δ₀为镜面整体高度。

3.根据权利要求2所述的同步辐射垂直聚焦镜重力协弯设计方法，其特征在于，采用使y(x)与el(x)泰勒近似的方法计算所述影响面形的5个设计参数自由度。其中，

$\mathrm{el}\left(x\right)=$

$\frac{(p+q)((p-q)x\cos \mathrm{\θ}+2(-\mathrm{pq}+\sqrt{\mathrm{pq}(\mathrm{pq}-x^2-\mathrm{px}\cos \mathrm{\θ}+\mathrm{qx}\cos \mathrm{\θ})}))\sin \mathrm{\θ}}{-{(p+q)}^2+{(p-q)}^2{\sin }^2\mathrm{\θ}},$

为理想椭圆方程，p、q、θ分别为聚焦镜的源距、像距、镜面中心处光线掠入射角。

4.根据权利要求3所述的同步辐射垂直聚焦镜重力协弯设计方法，其特征在于，

k_Mf＝

(16E²T⁴pq(p+q)²cot2θ+EpqT²secθ×(gρ(p+q)(L²(5p²+6pq+5q²)-128p²q²)-

8ET²(p²+q²)cscθ)+csc2θ×(E²T⁴(p⁴-34p²q²+q⁴)+256g²ρ²L²p⁴q⁴-，

ET²(p-q)²(p+q)(ET²(p+q)cos4θ-10gρL²pqsin3θ)))/

(16ET²pq(p²-q²)(ET²(p+q)sinθ-3gρL²pq))

$k_I=\frac{-128\mathrm{g\ρ}{p}^3{q}^3-E(p+q)T^2((5p^2+6\mathrm{pq}+5q^2)\sin \mathrm{\θ}+5{(p-q)}^2\sin 3\mathrm{\θ})}{8\mathrm{Epq}(p^2-q^2)T^2\sin 2\mathrm{\θ}},$

$m_{r0}=\frac{T}{24}(\frac{{\mathrm{ET}}^2(p+q)\sin \mathrm{\θ}}{\mathrm{pq}}-3\mathrm{g\ρ}{L}^2),$

δ₁＝0，

δ₀＝0，

5.根据权利要求4所述的同步辐射垂直聚焦镜重力协弯设计方法，其特征在于，设定

则：

k_Mf＝

(E²T⁴(1-cos4θ)+256g²ρ²L²f⁴+4EgρT²f(5L²(1+cos2θ)-64f²)sinθ)/，

(16ET²f(ET²sinθ-3gρL²f)sin 2θ)

$k_I=-\frac{5\cos \mathrm{\θ}}{4f}-\frac{16\mathrm{g\ρ}{f}^2}{{\mathrm{ET}}^2\sin 2\mathrm{\θ}},$

$m_{r0}=\frac{T}{24}(\frac{{\mathrm{ET}}^2\sin \mathrm{\θ}}{f}-3\mathrm{g\ρ}{L}^2),$

δ₁＝0，

δ₀＝0，

其中，f为聚焦镜的焦距，且

6.根据权利要求1所述的同步辐射垂直聚焦镜重力协弯设计方法，其特征在于，对于曲边聚焦镜，使el″(p_d，q_d，θ_d；x)＝y″(x)，计算k_Mfd值以及W(x)函数，其中，

$\mathrm{el}(p,q,\mathrm{\θ};x)=$

$\frac{(p+q)((p-q)x\cos \mathrm{\θ}+2(-\mathrm{pq}+\sqrt{\mathrm{pq}(\mathrm{pq}-x^2-\mathrm{px}\cos \mathrm{\θ}+\mathrm{qx}\cos \mathrm{\θ})}))\sin \mathrm{\θ}}{-{(p+q)}^2+{(p-q)}^2{\sin }^2\mathrm{\θ}},$

为理想椭圆方程，p、q、θ分别为聚焦镜的源距、像距、镜面中心处光线掠入射角，p_d、q_d、θ_d分别为镜体的源距、像距、镜面中心处光线掠入射角的设计值，k_Mfd为两端施加在镜面上弯矩分布的相对斜率的设计值。

7.根据权利要求6所述的同步辐射垂直聚焦镜重力协弯设计方法，其特征在于，计算k_Mfd值以及W(x)函数时，设定W′(0)＝0，再将el(p，q，θ；x)、y″(x)、M_f(x)、M_g(x)代入el″(p_d，q_d，θ_d；x)＝y″(x)，计算k_Mfd值以及W(x)函数。

8.根据权利要求7所述的同步辐射垂直聚焦镜重力协弯设计方法，其特征在于，利用等间距散列点的拉格朗日插值函数近似方法计算k_Mfd值以及W(x)函数，所述等间距散列点的拉格朗日插值函数方法包括以下步骤：

在[-L/2，L/2]区间取n+1个等间距散列点

设W(x_i)＝w_i×W₀；

其中：

W₀≡W(0)，

则(x_i，w_iW₀)，(i＝0，1，...n)的拉格朗日插值多项式为：

其中

由el″(p_d，q_d，θ_d；x)＝y″(x)得：

el″(p_d，q_d，θ_d；x_i)＝y″(x_i)，(i＝0，1，...n)

将W_Ln(x)作为W(x)的近似，el(p，q，θ；x)、y″(x)、M_f(x)、M_g(x)代入el″(p_d，q_d，θ_d；x_i)＝y″(x_i)，结合W′(0)＝0、W₀≡W(0)，得n+3个方程，求m_r0d、w_i(i＝0，1...n)及k_Mfd共n+3个参数，定义m_r0d≡M_0fd/W₀，M_0fd是两端施加在镜体中心处的弯矩的设计值，n为自然数。

9.根据权利要求8所述的同步辐射垂直聚焦镜重力协弯设计方法，其特征在于其中，n为5～40间的自然数。

10.根据权利要求9所述的同步辐射垂直聚焦镜重力协弯设计方法，其特征在于，先将n随意取为5～40间的自然数，然后将求解得到的W_Ln(x)代入y″(x)，再计算压弯面形误差，以确定是否需要增加n的取值。

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