CN102103257B - 获得同步辐射曲边聚焦镜重力协弯联合最大适用范围的方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供一种获得同步辐射曲边垂直聚焦镜重力协弯联合最大适用范围的方法，其包括：根据材料力学梁压弯理论，以镜体中心为原点、沿镜面长度方向为x轴建立含重力的压弯挠度微分方程；通过使压弯面形为椭圆建立重力协弯方程；计算当聚焦条件偏离计算值时，调整聚焦镜弯矩偏离值以适应聚焦条件的变化；通过使弯矩调整后的剩余面形斜率误差随聚焦条件上升最缓慢建立最大适用范围设计方程；联合重力协弯方程及最大适用范围方程解出压弯力学及镜体几何参数k_Mfd以及W(x)函数；根据计算结果确定聚焦镜参数并压弯聚焦镜。本发明可以在消除自重面形误差的同时实现对聚焦条件适用范围的最大化。

Description

获得同步辐射曲边聚焦镜重力协弯联合最大适用范围的方法

技术领域

本发明涉及一种消除自重面形误差并实现最大适用范围的同步辐射曲边垂直聚焦镜重力协弯联合最大适用范围的方法，属于同步辐射光束线工程、同步辐射光学技术领域。

背景技术

同步辐射的优点之一是高亮度。亮度一般指相空间中的光子数密度，同步辐射光子通量高，相空间体积小造就了高亮度的特点。根据刘维定理，在不牺牲光子通量前提下，亮度无法提高。当压缩光束的线宽度时，其角宽度就要增大；反之，当压缩角宽度使光束变得更准直时，其线宽度就要增大。然而，不同实验对光束的相空间形状要求不同，例如荧光微区分析要求小的光斑尺寸，大分子晶体衍射实验同时要求小光斑尺寸和较好的准直性等等。微聚焦装置的产生满足了对光束小尺寸光斑、高通量面密度的需求。

目前同步辐射束线上采用较多的微聚焦装置大致可分为四类：一是Kirkpatrick-Baez镜(简称K-B镜)微聚焦装置；二是导管式微聚焦装置，又分为单管透镜和整合毛细管透镜；三是组合折射透镜式微聚焦装置；四是纯衍射型聚焦装置，主要有波带片、劳埃多层膜。K-B镜是P.Kirkpatric和A.V.Baez首先提出的以他们名字命名的聚焦成像系统，它以高传输效率(＞70％)、无色散及耐辐射等诸多反射镜的优良特性，以及工艺上易于实现、像差很小等诸多K-B结构的优点，成为当前最广泛采用的微聚焦装置。如图1a和图1b所示，K-B镜由两块独立正交放置、分别负责水平和垂直聚焦的反射镜M1、M2组成，光源source发出的光束经由反射镜M1、M2的反射，聚焦至像点focus，反射镜面形多为柱面，其成像公式为：

$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=\frac{1}{f}.---\left(1\right)$

其中，p为光源到反射镜距离，也即源距，q为反射镜到聚焦像点距离，也即像距，f为反射镜的焦距。由于用于微聚焦的K-B镜要有较大的缩放比，入射角要限制在全反射角以内，为了保证较大的接收，又要有较大的镜体长度，因而目前广泛采用尽可能接近理想的椭圆柱面的面形来减小像差。直接加工成型椭圆柱面镜造价非常昂贵，并且焦距无法调节。而将平面镜利用压弯技术得到椭圆柱面镜，大大降低了镜体的加工难度，并且可以实现焦距在一定范围内的调节。

计算K-B聚焦理想的镜面面形的方法如下：

如图2，p为源距，q为像距，也即p、q的定义与公式(1)相同，镜面中心处光线掠入射角为θ，镜面上最大掠入射角θ_max在镜体末端位置，我们以镜体中心为原点，沿镜面长度方向为x轴、垂直中心镜面方向为y轴建立坐标系，并得到物点坐标为(-pcosθ，psinθ)，像点坐标为(qcosθ，qsinθ)。通过镜面上某点(x，y)的光线光程表达式为：

$s=\sqrt{{(x+p\cos \mathrm{\θ})}^2+{(y-p\sin \mathrm{\θ})}^2}+\sqrt{{(x-q\cos \mathrm{\θ})}^2+{(y-q\sin \mathrm{\θ})}^2}.---\left(2\right)$

依费马原理，光程最短，s对x的全微分为0，得到理想椭圆方程：

$\mathrm{el}(p,q,\mathrm{\θ};x)\≡\mathrm{el}\left(x\right)=\frac{(p+q)((p-q)x\cos \mathrm{\θ}+2(-\mathrm{pq}+\sqrt{\mathrm{pq}(\mathrm{pq}-x^2-\mathrm{px}\cos \mathrm{\θ}+\mathrm{qx}\cos \mathrm{\θ})}))\sin \mathrm{\θ}}{-{(p+q)}^2+{(p-q)}^2{\sin }^2\mathrm{\θ}}.---\left(3\right)$

根据材料力学梁压弯理论，压弯挠度满足以下微分方程：

$y^{\′\′}\left(x\right)=\frac{M\left(x\right)}{\mathrm{EI}\left(x\right)}.---\left(4\right)$

其中，x为梁上的位置，y(x)为压弯挠度，M(x)为x位置的总弯矩，I(x)为惯性矩，E为杨氏模量。为了使聚焦镜压弯面形为椭圆，通常在镜体两端施加弯矩，则两端所施加弯矩在镜体上的分布M_f(x)为一次函数M_f(x)M_0f(1+k_Mf x)，M_0f是两端施加在镜体中心处的弯矩，k_Mf是两端施加在镜体上弯矩分布的相对斜率。镜体x处惯性矩I(x)的物理定义式为

其中，W(x)为镜体在x处的宽度，T(x)为镜体在x处的厚度。对于等厚度镜体，T(x)为常数，则W(x)与I(x)成正比。

目前设计曲边压弯垂直聚焦镜时均不考虑重力影响，即认为镜体上总的弯矩分布等于两端所施加的弯矩分布，即M(x)＝M_f(x)。由(4)式设计镜体惯性矩分布I(x)满足如下关系，即可实现无重力时压弯面形为理想椭圆(在本发明对曲边镜的描述中，因为涉及到聚焦条件及弯矩偏离设计值的变化，故用下标d代表各相应参数的设计值)：

$I\left(x\right)=\frac{M_{\mathrm{fd}}\left(x\right)}{{\mathrm{el}}^{\′\′}(p_d,q_d,{\mathrm{\θ}}_d;x)}=\frac{M_{0\mathrm{fd}}(1+k_{\mathrm{Mfd}}x)}{{\mathrm{el}}^{\′\′}(p_d,q_d,{\mathrm{\θ}}_d;x)},---\left(5\right)$

其中，M_0fd可取使镜体符合梁近似的任意值，k_Mfd取为使镜体较接近矩形的值：

$k_{\mathrm{Mfd}}=\frac{3(p_d-q_d)\cos {\mathrm{\θ}}_d}{2p_d{q}_d}\≈\frac{3}{2}(\frac{1}{q_d}-\frac{1}{p_d}).---\left(6\right)$

代入(5)式得到现有方法的曲边镜的几何设计，

$I\left(x\right)=$

$\frac{M_{0\mathrm{fd}}}{E(p_d+q_d)\sin {\mathrm{\θ}}_d}\×(2p_d{q}_d+3(p_d-q_d)\cos {\mathrm{\θ}}_{d}x)\×{\left(\frac{p_d{q}_d-x^2+(q_d-p_d)\cos {\mathrm{\θ}}_{d}x}{p_d{q}_d}\right)}^{3/2}---\left(7\right)$

$\≈\frac{M_{0\mathrm{fd}}(2p_d{q}_d+3(p_d-q_d)x){\left(\frac{(p_d+x)(q_d-x)}{p_d{q}_d}\right)}^{3/2}}{E(p_d+q_d)\sin {\mathrm{\θ}}_d}.$

对于均匀厚度T的镜体，可简化(7)式以完成曲边镜的设计：

$W\left(x\right)/W_0=$

$\frac{(2p_d{q}_d+3(p_d-q_d)\cos {\mathrm{\θ}}_{d}x)\×{\left(p_d{q}_d-x^2+(q_d-p_d)\cos {\mathrm{\θ}}_{d}x\right)}^{3/2}}{2{\left(p_d{q}_d\right)}^{5/2}}$

$\≈\frac{(2p_d{q}_d+3(p_d-q_d)x){\×\left((p_d+x)(q_d-x)\right)}^{3/2}}{2{(p_d+q_d)}^{5/2}}$

$m_{r0d}\≡M_{0\mathrm{fd}}/W_0=\frac{{\mathrm{ET}}^3(p_d+q_d)\sin {\mathrm{\θ}}_d}{24P_d{q}_d},---\left(8\right)$

其中，W₀≡W(0)为镜子中心处宽度。

由于垂直聚焦镜是水平放置的，必然受到重力作用而影响压弯面形。目前设计垂直聚焦镜镜体压弯时均不主动考虑镜体重力影响，而是将重力作为一个系统误差源，被动地降低其造成的误差。降低重力影响的处理方法包括选用低密度高杨氏模量的材料、增大镜体厚度以及增加重力平衡补偿装置等，此类方法机构复杂，且不易得到很好的效果。对于曲边垂直聚焦镜而言，现有设计方法不仅没有很好地消除重力面形误差，而且在设计聚焦条件附近，压弯调整后的剩余面型误差很大，没有实现曲边镜适用范围最大化。

发明内容

本发明的目的在于提供一种获得同步辐射曲边垂直聚焦镜重力协弯联合最大适用范围的方法，以解决现有技术存在的没有很好消除重力面形误差，而且在设计聚焦条件附近，压弯调整后的剩余面型误差很大，没有实现曲边镜适用范围最大化的问题。

为了实现本发明的目的，本发明提供的获得同步辐射曲边垂直聚焦镜重力协弯联合最大适用范围的方法包括：根据材料力学梁压弯理论，以镜体中心为原点、沿镜面长度方向为x轴建立含重力的压弯挠度微分方程：

$y^{\′\′}\left(x\right)=\frac{M\left(x\right)}{\mathrm{EI}\left(x\right)}=\frac{M_f\left(x\right)+M_g\left(x\right)}{\mathrm{EI}\left(x\right)},$

其中，M(x)为x位置的总弯矩；M_f(x)为两端施加弯矩在镜体上的分布，且M_f(x)＝M_0f(1+k_Mfx)，M_0f是两端施加在镜体中心处的弯矩，k_Mf是两端施加在镜面上弯矩分布的相对斜率；m_g(x)为重力弯矩在镜体上的分布，且 $M_g\left(x\right)=\mathrm{g\ρT}(\frac{L-2x}{4}({\∫}_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}W\left(u\right)\mathrm{du}+\frac{2}{L}{\∫}_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}\mathrm{uW}\left(u\right)\mathrm{du})-{\∫}_x^{\frac{L}{2}}W\left(u\right)\·(u-x)\mathrm{du}),$ g＝g₀·cosθ’，g₀为重力加速度，θ’为镜面中心处偏离水平面的倾角，ρ为镜体材料密度，T为镜子厚度，L为压弯镜体在x轴投影长度，W(x)为x位置处镜体宽度；I(x)为惯性矩；E为杨氏模量。

使压弯面形为椭圆，建立重力协弯设计方程：el″(p_d，q_d，θ_d；x)＝y″(x)。

其中，el″(p_d，q_d，θ_d；x)为设计的目标理想椭圆方程。el(p，q，θ；x)为椭圆方程定义如下：

$\mathrm{el}(p,q,\mathrm{\θ};x)\≡\mathrm{el}\left(x\right)=$

$\frac{(p+q)((p-q)x\cos \mathrm{\θ}+2(-\mathrm{pq}+\sqrt{\mathrm{pq}(\mathrm{pq}-x^2-\mathrm{px}\cos \mathrm{\θ}+\mathrm{qx}\cos \mathrm{\θ})}))\sin \mathrm{\θ}}{-{(p+q)}^2+{(p-q)}^2{\sin }^2\mathrm{\θ}},$ p、q、θ分别为聚焦镜的源距、像距、镜面中心处光线掠入射角，p_d、q_d、θ_d分别为镜体的源距、像距、镜面中心处光线掠入射角的设计值。

计算聚焦条件偏离设计值时，调整聚焦镜镜弯矩偏离设计值以适应聚焦条件的变化：

M_0f＝EI(0)el″(p，q，θ；0)-M_g(0)，

$k_{\mathrm{Mf}}=\frac{{\mathrm{EI}}^{\′}\left(0\right){\mathrm{el}}^{\′\′}(p,q,\mathrm{\θ};0)+\mathrm{EI}\left(0\right){\mathrm{el}}^{\left(3\right)}\left(0\right)-{M_g}^{\′}\left(0\right)}{\mathrm{EI}\left(0\right){\mathrm{el}}^{\′\′}(p,q,\mathrm{\θ};0)-M_g\left(0\right)};$

计算剩余面型斜率误差均方根为：

$\mathrm{Err}={(\underset{L}{\∫}({\∫}_0^x\frac{M_{0f}(1+k_{\mathrm{Mf}}x)+M_g\left(x\right)}{\mathrm{EI}\left(x\right)}\mathrm{dx}-{\mathrm{el}}^{\′}(p,q,\mathrm{\θ};x))\mathrm{dx}/L)}^{1/2}.$

通过使弯矩调整后的剩余面形斜率误差随聚焦条件上升最缓慢建立最大适用范围设计方程：

$k_{\mathrm{Mfd}}\∈[-\frac{2}{L},\frac{2}{L}].$

联立重力协弯设计方程以及最大适用范围设计方程，得出m_r0d、k_Mfd以及W(x)函数，其中m_r0d≡M_0fd/W₀，M_0fd是两端施加在镜体中心处的弯矩的设计值，k_Mfd为两端施加在镜面上弯矩分布的相对斜率设计值；

根据上述计算结果确定聚焦镜参数并压弯聚焦镜。

本发明可以在消除自重面形误差的同时实现对聚焦条件适用范围的最大化。

附图说明

图1a和图1b分别为显示K-B镜聚焦原理的侧视示意图和俯视示意图；

图2为K-B聚焦镜理想面形结构示意图；

图3为在曲边压弯垂直聚焦镜实施例中，利用现有方法获得的W(x)/W(0)的坐标图；

图4为图3中利用现有方法设计的曲边镜在重力作用下的压弯面形斜率误差示意图；

图5为在曲边压弯垂直聚焦镜实施例中，仅利用重力协弯设计方法获得的W(x)/W(0)的坐标图；

图6为图5中仅利用重力协弯设计方法的曲边镜在重力作用下的压弯面形斜率误差示意图；

图7为在曲边压弯垂直聚焦镜实施例中，利用本发明获得的最大p适用范围的W(x)/W(0)的坐标图；

图8为图7中仅利用本发明获得的最大p适用范围的曲边镜在重力作用下的压弯面形斜率误差示意图；

图9为在曲边压弯垂直聚焦镜实施例中，利用本发明获得的最大q适用范围的W(x)/W(0)的坐标图；

图10为图9中仅利用本发明获得的最大q适用范围的曲边镜在重力作用下的压弯面形斜率误差示意图；

图11为在曲边压弯垂直聚焦镜实施例中，利用本发明获得的最大θ适用范围的W(x)/W(0)的坐标图；

图12为图7中仅利用本发明获得的最大θ适用范围的曲边镜在重力作用下的压弯面形斜率误差示意图；

图13示出了本发明在曲边压弯垂直聚焦镜实施例条件下，不同k_Mfd值对应的聚焦条件p、q、θ变化时的斜率误差RMS；

图14a、图14b和图14c分别示出了在曲边压弯垂直聚焦镜实施例中，当聚焦条件变化时，本发明和仅应用重力协弯设计的剩余面形斜率误差RMS的对比。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施方式对本发明做进一步详细说明。

在本发明中，重力协弯的思想是不将重力作为一个系统误差源，而是将其作为部分压弯力与两端所施加压弯力一起纳入压弯面形计算中，据此计算镜体的几何参数和压弯力学参数，由此消除重力面形误差。适用范围最大化的思想是使总的剩余面形误差的均方根在设计值处对聚焦条件的导数绝对值最小，即在设计位置附近随聚焦条件改变而上升得最缓慢，这样可使聚焦镜对某个聚焦条件的适用范围最大化。二者联合的目的在于进行重力协弯条件下的最大适用范围计算，以达到在消除自重面形误差的同时实现对聚焦条件适用范围的最大化的目的。

根据本发明的设计思想，首先建立包括重力作用的面形微分方程，重力弯矩与两端施加弯矩共同作用于镜体，镜体上总的弯矩分布等于两端所施加的弯矩分布与重力弯矩分布之和，即M(x)M_f(x)+M_g(x)，则其压弯面形满足以下微分方程：

$y^{\′\′}\left(x\right)=\frac{M\left(x\right)}{\mathrm{EI}\left(x\right)}=\frac{M_f\left(x\right)+M_g\left(x\right)}{\mathrm{EI}\left(x\right)},---\left(9\right)$

其中，M_f(x)为两端施加弯矩在镜体上的分布，

M_f(x)＝M_0f(1+k_Mfx)，            (10)

其中，M_0f是两端施加在镜子中心处的弯矩，k_Mf是两端施加在镜面上弯矩分布的相对斜率；

M_g(x)为重力弯矩在镜体上的分布，

$M_g\left(x\right)=\mathrm{g\ρT}(\frac{L-2x}{4}({\∫}_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}W\left(u\right)\mathrm{du}+\frac{2}{L}{\∫}_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}\mathrm{uW}\left(u\right)\mathrm{du})-{\∫}_x^{\frac{L}{2}}W\left(u\right)\·(u-x)\mathrm{du}),---\left(11\right)$

其中，g＝g₀·cosθ’，g₀为重力加速度，θ’为镜面中心处偏离水平面的倾角，ρ为镜体材料密度，T为镜子厚度，L为压弯镜体在x轴投影长度，W(x)为x位置处镜体宽度。

式(9)将重力视作部分压弯力，与两端施加压弯力共同作用于镜体，依此式进行镜体及其压弯计算，即为重力协弯计算。此设计已经包含重力作用，重力将不再成为系统误差源。

接着根据重力协弯设计思想进行曲边镜的设计，在保证梁近似的情况下，无论M_0fd和k_Mfd取何设计值，镜体宽度分布W(x)的设计只需满足

el″(p_d，q_d，θ_d；x)＝y″(x)，           (12)

其中y(x)为(9)式所示，即可保证含重力作用的压弯面形为理想椭圆(即y(x)＝el(p_d，q_d，θ_d；x))柱面，即在所设计的聚焦条件(p_d、q_d和θ_d)下实现无面形误差的理想聚焦。将(3)、(9)、(10)、(11)式代入(12)式，解出符合重力协弯设计的镜体几何参数——W(x)函数。但此k_Mfd取值尚不能保证曲边镜适用范围最大化。

接着进行重力协弯方法下的最大适用范围设计：

当上述所设计镜体加工完成后，I(x)便确定下来，若此时聚焦条件(p、q或θ)变化而偏离设计值(理想椭圆也偏离设计值)，可以调整曲边镜弯矩偏离设计值(调整M_0f和k_Mf偏离设计值)来适应，

M_0f＝EI(0)el″(p，q，θ；0)-M_g(0)，

$k_{\mathrm{Mf}}=\frac{{\mathrm{EI}}^{\′}\left(0\right){\mathrm{el}}^{\′\′}(p,q,\mathrm{\θ};0)+\mathrm{EI}\left(0\right){\mathrm{elps}}^{\left(3\right)}\left(0\right)-{M_g}^{\′}\left(0\right)}{\mathrm{EI}\left(0\right){\mathrm{el}}^{\′\′}(p,q,\mathrm{\θ};0)-M_g\left(0\right)},---\left(13\right)$

借以实现压弯面形3阶近似于新的理想椭圆，但仍然存在大于或等于4阶的面形误差(称之为剩余面形误差)，此面形误差随着聚焦条件对设计值偏离量的增大而增大。

根据前述适用范围最大化的思想，两端施加弯矩分布的相对斜率值k_Mfd的取值会影响聚焦镜对聚焦条件偏离设计值的适用性，通过合适的k_Mfd取值使剩余面形误差的均方根对聚焦条件导数的绝对值在设计位置处最小，也就是当聚焦条件从设计值开始变化的时候，使剩余面形误差最缓慢地增加，从而达到适用范围最大化的计算。

由(9)、(13)式得剩余面形误差均方根为：

$\mathrm{Err}={(\underset{L}{\∫}({\∫}_0^x\frac{M_{0f}(1+k_{\mathrm{Mf}}x)+M_g\left(x\right)}{\mathrm{EI}\left(x\right)}\mathrm{dx}-{\mathrm{el}}^{\′}(p,q,\mathrm{\θ};x))\mathrm{dx}/L)}^{1/2},---\left(14\right)$

据此可知适用范围最大化计算应满足：

$k_{\mathrm{Md}}\∈[-\frac{2}{L},\frac{2}{L}],---\left(15\right)$

(15)式保证k_Mfd值满足适用范围最大化。

将(3)、(9)、(10)、(11)式代入(12)式，再结合(15)式，解出压弯力学以及镜体几何设计参数——k_Mfd值以及W(x)函数。但此方程为非线性积分方程，得到形式简单的解析解比较困难。可以对此方程近似求解，并且方法有多种，比如将W(x)展开为泰勒级数近似求解、将W(x)设为散列点多项式拟合函数近似求解以及将W(x)设成等间距或不等间距散列点的各种插值函数近似求解等。本发明将W(x)设为等间距散列点的拉格朗日插值函数以使计算量较小且能够较快收敛。等间距散列点的拉格朗日插值函数方法的计算过程如下：

在[-L/2，L/2]区间取n+1个等间距散列点(i＝0，1，...n)，设W(x_i)＝w_i×W₀；

其中：

W₀≡W(0)，           (16)

则(x_i，w_iW₀)，(i＝0，1，...n)的拉格朗日插值多项式为：

其中 $l_i\left(x\right)=\underset{j=0,j\≠i}{\overset{n}{\mathrm{\Π}}}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}.$

由(12)式得：

el″(p_d，q_d，θ_d；x_i)＝y″(x_i)，(i＝0，1，...n)。(17)

考虑到拉格朗日插值截断误差影响，将(15)式化为差分形式：

|ΔErr/Δp、q或θ|＝min(|ΔErr/Δp、q或θ|)，

将W_Ln(x)作为W(x)的近似，结合(3)、(9)、(10)、(11)式代入(17)式。再考虑(15’)、(16)式，共n+3个方程，求得m_r0d(定义m_r0d≡M_0fd/W₀)、w_i(i＝0，1...n)及k_Mfd共n+3个参数。其中，随着n取值无限增大，插值函数W_Ln(x)无限接近于W(x)，一般n取为5～40间的整数即可。在具体计算时，可以先将n随意取为5～40间的整数，然后将求解得到的W_Ln(x)代入(9)式，再计算压弯面形误差，以确定是否需要增加n的取值。

以上详细描述了本发明在应用重力协弯方法的同时，针对各个单一聚焦条件的最大适用范围的镜体几何设计。具体应用时，可以根据不同实际需求进行权衡选择，可牺牲一些聚焦条件的适用范围而优化另一些聚焦条件的适用范围。本领域技术人员应理解，上述具体计算过程仅仅举例，重力协弯联合最大适用范围设计具有多种实施方式，凡运用了重力协弯设计联合最大适用范围的实施方式都应属于本发明的专利范围。

为了进一步详细说明本发明的技术效果，下面将结合具体设计参数对本发明做进一步说明。

以p＝20.3m、q＝0.18m、θ＝0.002165rad、L＝0.2m、T＝0.005m、E＝1.124×10¹¹Pa、ρ＝2.329×10³kg/m³、g₀＝9.8N/kg曲边压弯垂直聚焦镜为例：

1、利用现有设计方法，由(6)和(8)式计算出：

k_Mfd＝8.259m^-1，m_r0d＝7.105N，

W(x)/W₀＝

0.1432(1+8.259x[m])((0.1800-x[m])(20.30+x[m]))^3/2。

计算其在重力作用下的压弯面形斜率误差由图4给出，其均方根值为22.18μrad。

2、仅采用重力协弯设计方法：k_Mfd的取值可任意给定，在此简单地取为使镜面较接近矩形的值，即由W′(0)＝0给出，再结合(16)、(17)式，得出：

k_Mfd＝8.883m^-1，m_r0d＝6.596N，

W(x)/W₀＝

1-65.29x[m]²+168.4x[m]³+118.0x[m]⁴-694.9x[m]⁵+

2559.x[m]⁶+2107.x[m]⁷+3453.x[m]⁸+5.438×10⁴x[m]⁹+1.937×10⁵x[m]¹⁰。

如图5所示。

该设计仅存在n的截断误差，随着n取值无限增大，压弯面形误差可无限接近于零。高精度地计算该实施例含重力作用的压弯面形斜率误差由图6示出，其均方根值为6.182prad，完全可以忽略。

3、采用本发明得到的最大p适用范围设计，由解(15’)、(16)、(17)式组成的n+3元方程组给出(本实施例中n取为10)：

k_Mfd＝-0.1776m^-1，m_r0d＝6.529N。

W(x)/W₀＝

1-8.646x[m]+6.123x[m]²+96.81x[m]³-268.7x[m]⁴+205.6x[m]⁵+

959.6x[m]⁶-1573.x[m]⁷+3035.x[m]⁸+1.454×10⁴x[m]⁹+4.583×10⁴x[m]¹⁰。

如图7所示。

该设计仅存在n的截断误差，随着n取值无限增大，压弯面形误差可无限接近于零。高精度地计算该实施例含重力作用的压弯面形斜率误差由图8示出，其均方根值为3.226prad，完全可以忽略。

4、采用本发明得到的最大q适用范围设计，由解(15’)、(16)、(17)式组成的n+3元方程组给出(本实施例中n取为10)：

k_Mfd＝-4.787m^-1，m_r0d＝6.496N。

W(x)/W₀＝

1-12.98x[m]+41.91x[m]²+60.92x[m]³-462.5x[m]⁴+656.8x[m]⁵+

158.0x[m]⁶-3417.x[m]⁷+2826.x[m]⁸-5430.x[m]⁹-2.829×10⁴x[m]¹⁰。

如图9所示。

该设计仅存在n的截断误差，随着n取值无限增大，压弯面形误差可无限接近于零。高精度地计算该设计实例含重力作用的压弯面形斜率误差由图10示出，其均方根值为1.570prad，完全可以忽略。

5、采用本发明得到的最大θ适用范围设计，由解(15’)、(16)、(17)式组成的n+3元方程组给出(本实施例中n取为10)：

k_Mfd＝4.700m^-1，m_r0d＝6.565N。

W(x)/W₀＝

1-4.014x[m]-32.14x[m]²+135.2x[m]³-61.52x[m]⁴-276.9x[m]⁵+

1817.x[m]⁶+398.6x[m]⁷+3259.x[m]⁸+3.588×10⁴x[m]⁹+1.251×10⁵x[m]¹⁰。

如图11所示。

该设计仅存在n的截断误差，随着n取值无限增大，压弯面形误差可无限接近于零。高精度地计算该设计实例含重力作用的压弯面形斜率误差由图12示出，其均方根值为5.209prad，完全可以忽略。

可见，现有的曲边聚焦镜设计方法存在很大的重力面形误差，而应用了重力协弯设计方法(包括仅应用重力协弯的设计方法和重力协弯与最大适用范围联合的设计方法)完全消除了设计聚焦条件下的重力面形误差，实现了重力条件下压弯面形误差为零。

然而，仅应用重力协弯设计方法的设计的聚焦镜对聚焦条件的适用范围较小，当聚焦条件由设计值改变时，剩余面形误差由零迅速增大；而采用本发明的重力协弯方法与最大适用范围方法的联合计算，可以在重力条件下实现在设计位置附近剩余面形误差随聚焦条件改变而由零最缓慢地增大，即实现聚焦镜对某个聚焦条件的适用范围最大化。

图13示出了本发明上述的曲边压弯垂直聚焦镜实施例中应用重力协弯方法时，不同k_Mfd值对应的聚焦条件p、q、θ变化时的斜率误差(slope error)均方根(root mean square，简称RMS)。

下面将描述上述实施例中当聚焦条件变化时，本发明的联合应用重力协弯与最大适用范围的设计和仅应用重力协弯设计的剩余面形斜率误差RMS(镜面上各位置处剩余面形斜率误差的均方根)对比，如图14a、图14b和图14c所示，可以明显得知重力协弯与最大适用范围联合应用的有益效果，将图14a-14c中结果总结列表如下：

从上表可见，在本实施例条件下，在重力的影响下，现有设计方法压弯面形误差很大，在设计位置附近无适用范围可言；而仅应用重力协弯设计在设计位置没有压弯面形误差，但其适用范围较小；重力协弯与最大适用范围联合应用计算不仅在设计位置没有压弯面形误差，而且其适用范围大幅增加。

综上所述，本发明提供的重力协弯联合最大适用范围方法在曲边压弯垂直聚焦镜中，可以在消除压弯面形误差的同时，实现曲边聚焦镜对聚焦条件的适用范围最大化。

由技术常识可知，本发明可以通过其它的不脱离其精神实质或必要特征的实施方案来实现。因此，上述公开的实施方案，就各方面而言，都只是举例说明，并不是仅有的。所有在本发明范围内或在等同于本发明的范围内的改变均被本发明包含。

Claims (4)

1.一种获得同步辐射曲边垂直聚焦镜重力协弯联合最大适用范围的方法，其特征在于，包括：根据材料力学梁压弯理论，以镜体中心为原点、沿镜面长度方向为x轴建立含重力的压弯挠度微分方程：

$y^{\′\′}\left(x\right)=\frac{M\left(x\right)}{\mathrm{EI}\left(x\right)}=\frac{M_f\left(x\right)+M_g\left(x\right)}{\mathrm{EI}\left(x\right)},$

其中，M(x)为x位置的总弯矩；M_f(x)为两端施加弯矩在镜体上的分布，且M_f(x)＝M_0f(1+k_Mfx)，M_0f是两端施加在镜体中心处的弯矩，k_Mf是两端施加在镜面上弯矩分布的相对斜率；M_g(x)为重力弯矩在镜体上的分布，且 $M_g\left(x\right)=\mathrm{g\ρT}(\frac{L-2x}{4}({\∫}_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}W\left(u\right)\mathrm{du}+\frac{2}{L}{\∫}_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}\mathrm{uW}\left(u\right)\mathrm{du})-{\∫}_x^{\frac{L}{2}}W\left(u\right)\·(u-x)\mathrm{du}),$ g＝g₀·cosθ’，g₀为重力加速度，θ’为镜面中心处偏离水平面的倾角，ρ为镜体材料密度，T为镜子厚度，L为压弯镜体在x轴投影长度，W(x)为x位置处镜体宽度；I(x)为惯性矩；E为杨氏模量；

使压弯面形为椭圆，建立重力协弯设计方程：el″(p_d，q_d，θ_d；x)＝y″(x)，

其中，el″(p_d，q_d，θ_d；x)为设计的目标理想椭圆方程；el(p，q，θ；x)为椭圆方程定义如下：

$\mathrm{el}(p,q,\mathrm{\θ};x)\≡\mathrm{el}\left(x\right)=$

$\frac{(p+q)((p-q)x\cos \mathrm{\θ}+2(-\mathrm{pq}+\sqrt{\mathrm{pq}(\mathrm{pq}-x^2-\mathrm{px}\cos \mathrm{\θ}+\mathrm{qx}\cos \mathrm{\θ})}))\sin \mathrm{\θ}}{-{(p+q)}^2+{(p-q)}^2{\sin }^2\mathrm{\θ}},$

p、q、θ分别为聚焦镜的源距、像距、镜面中心处光线掠入射角，p_d、q_d、θ_d分别为镜体的源距、像距、镜面中心处光线掠入射角的设计值；

计算聚焦条件偏离设计值时，调整聚焦镜弯矩偏离设计值以适应聚焦条件的变化：

M_0f＝EI(0)el″(p，q，θ；0)-M_g(0)，

$k_{\mathrm{Mf}}=\frac{{\mathrm{EI}}^{\′}\left(0\right){\mathrm{el}}^{\′\′}(p,q,\mathrm{\θ};0)+\mathrm{EI}\left(0\right){\mathrm{el}}^{\left(3\right)}\left(0\right)-{M_g}^{\′}\left(0\right)}{\mathrm{EI}\left(0\right){\mathrm{el}}^{\′\′}(p,q,\mathrm{\θ};0)-M_g\left(0\right)};$

计算剩余面型斜率误差均方根为：

$\mathrm{Err}={(\underset{L}{\∫}({\∫}_0^x\frac{M_{0f}(1+k_{\mathrm{Mf}}x)+M_g\left(x\right)}{\mathrm{EI}\left(x\right)}\mathrm{dx}-{\mathrm{el}}^{\′}(p,q,\mathrm{\θ};x))\mathrm{dx}/L)}^{1/2};$

通过使弯矩调整后的剩余面形斜率误差随聚焦条件上升最缓慢建立最大适用范围设计方程：

$k_{\mathrm{Mfd}}\∈[-\frac{2}{L},\frac{2}{L}];$

联立重力协弯设计方程以及最大适用范围设计方程，得出m_r0d、k_Mfd以及W(x)函数，其中m_r0d≡M_0fd/W₀，M_0fd是两端施加在镜体中心处的弯矩的设计值，k_Mfd为两端施加在镜面上弯矩分布的相对斜率设计值；

根据上述计算结果确定聚焦镜参数并压弯聚焦镜。

2.根据权利要求1所述的获得同步辐射曲边垂直聚焦镜重力协弯联合最大适用范围方法，其特征在于，利用等间距散列点的拉格朗日插值函数方法计算k_Mfd值以及W(x)函数，所述等间距散列点的拉格朗日插值函数方法包括以下步骤：

在[-L/2，L/2]区间取n+1个等间距散列点

(i＝0，1，...n)，设W(x_i)＝w_i×W₀；

其中：

W₀≡W(0)，

则(x_i，w_iW₀)，(i＝0，1，...n)的拉格朗日插值多项式为：

其中 $l_i\left(x\right)=\underset{j=0,j\≠i}{\overset{n}{\mathrm{\Π}}}\frac{{x-x}_j}{x_i-x_j};$

由el″(p_d，q_d，θ_d；x)＝y″(x)得：

el″(p_d，q_d，θ_d；x_i)＝y″(x_i)，(i＝0，1，...n)；

将

$k_{\mathrm{Md}}\∈[-\frac{2}{L},\frac{2}{L}]$ 化为差分形式：

|ΔErr/Δp、q或θ|＝min(|ΔErr/Δp、q或θ|)，

将W_Ln(x)作为W(x)的近似，并结合el″(p_d，q_d，θ_d；x_i)＝y″(x_i)，(i＝0，1，...n)及|ΔErr/Δp、q或θ|＝min(|ΔErr/Δp、q或θ|)、W₀≡W(0)，共n+3个方程，计算w_i(i＝0，1...n)、m_r0d及k_Mfd共n+3个参数，n为自然数；由此得到镜体几何设计W(x)，以及压弯力学参数m_r0d及k_Mfd。

3.根据权利要求2所述的获得同步辐射曲边垂直聚焦镜重力协弯联合最大适用范围的方法，其特征在于其中，n为5～40间的自然数。

4.根据权利要求2所述的获得同步辐射曲边垂直聚焦镜重力协弯联合最大适用范围的方法，其特征在于，在对n取值时，先将n随意取为5～40间的自然数，然后将求解得到的W_Ln(x)代入压弯挠度方程，再计算压弯面形误差，以确定是否需要增加n的取值。

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