CN101968570B - 使同步辐射梯形压弯聚焦镜获得最小像展的方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供一种同步辐射梯形聚焦镜的最小像展压弯设计方法，其包括以下步骤：以聚焦镜的中心为原点，沿镜面长度方向为x轴建立xy直角坐标系；建立聚焦镜压弯面形的像斑展宽函数；计算像斑展宽函数的最小值以及获得最小值的条件。通过建立并最优化像斑展宽函数，本发明可以提供最小像扩展的梯形聚焦镜几何形状以及压弯力学的设计。

Description

使同步辐射梯形压弯聚焦镜获得最小像展的方法

技术领域

本发明涉及一种聚焦镜的设计方法，尤其涉及一种使同步辐射梯形压弯聚焦镜获得最小像展的方法，属于同步辐射光束线工程、同步辐射光学技术领域。 

背景技术

同步辐射的优点之一是高亮度。亮度一般指相空间中的光子数密度，同步辐射光子通量高，相空间体积小造就了高亮度的特点。根据刘维定理，在不牺牲光子通量前提下，亮度无法提高。当压缩光束的线宽度时，其角宽度就要增大；反之，当压缩角宽度使光束变得更准直时，其线宽度就要增大。然而，不同实验对光束的相空间形状要求不同，例如荧光微区分析要求小的光斑尺寸，大分子晶体衍射实验同时要求小光斑尺寸和较好的准直性等等。微聚焦装置的产生满足了对光束小尺寸光斑、高通量面密度的需求。 

目前同步辐射束线上采用较多的微聚焦装置大致可分为四类：一是Kirkpatrick-Baez镜(简称K-B镜)微聚焦装置；二是导管式微聚焦装置，又分为单管透镜和整合毛细管透镜；三是组合折射透镜式微聚焦装置；四是纯衍射型聚焦装置，主要有波带片、劳埃多层膜。K-B镜是P.Kirkpatric和A.V.Baez首先提出的以他们名字命名的聚焦成像系统，它以高传输效率(＞70％)、无色散及耐辐射等诸多反射镜的优良特性，以及工艺上易于实现、像差很小等诸多K-B结构的优点，成为当前最广泛采用的微聚焦装置。如图1a和图1b所示，K-B镜由两块独立正交放置、分别负责水平和垂直聚焦的反射镜M1、M2组成，光源source发出的光束经由反射镜M1、M2的反射，聚焦至像点focus，反射镜面形多为柱面，其成像公式为： 

$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=\frac{1}{f}---\left(1\right)$

其中，p为光源到反射镜距离，q为反射镜到聚焦像点距离，f为反射镜的焦距。由于用于微聚焦的K-B镜要有较大的缩放比，入射角要限制在全反 射角以内，为了保证较大的接收，又要有较大的镜子长度，因而目前广泛采用尽可能接近理想的椭圆柱面的面形来减小像差。直接加工成型椭圆柱面镜造价非常昂贵，并且焦距无法调节。而将平面镜利用压弯技术得到椭圆柱面镜，大大降低了镜子的加工难度，并且可以实现焦距在一定范围内的调节。 

计算K-B聚焦理想的镜面面形的方法如下： 

如图2，p为源距，q为像距，也即p、q的定义与公式(1)相同，镜面中心处光线掠入射角为θ，镜面上最大掠入射角θ_max在镜子末端位置，我们以镜子中心为原点，沿镜面长度方向为x轴建立坐标系，并得到物点坐标为(-pcosθ，psinθ)，像点坐标为(qcosθ，qsinθ)。通过镜面上某点(x，y)的光线光程表达式为： 

$s=\sqrt{{(x+p\cos \mathrm{\θ})}^2+{(y-p\sin \mathrm{\θ})}^2}+\sqrt{{(x-q\cos \mathrm{\θ})}^2+{(y-q\sin \mathrm{\θ})}^2}---\left(2\right)$

依费马原理，光程最短，s对x的全微分为0，得到理想椭圆方程： 

$\mathrm{el}\left(x\right)=\frac{(p+q)((p-q)x\cos \mathrm{\θ}+2(-\mathrm{pq}+\sqrt{\mathrm{pq}(\mathrm{pq}-x^2-\mathrm{px}\cos \mathrm{\θ}+\mathrm{qx}\cos \mathrm{\θ})}))\sin \mathrm{\θ}}{-{(p+q)}^2+{(p-q)}^2{\sin }^2\mathrm{\θ}}---\left(3\right)$

根据材料力学梁压弯理论，压弯挠度满足以下微分方程 

$y^{\′\′}\left(x\right)=\frac{M\left(x\right)}{\mathrm{EI}\left(x\right)}---\left(4\right)$

其中，x为梁上的位置，y(x)为压弯挠度，M(x)为弯矩，I(x)为惯性矩，E为杨氏模量。为了使梯形镜压弯面形更接近于椭圆，通常都是在镜体两端施加弯矩，两端施加弯矩则镜子上弯矩分布M(x)为一次函数M(x)＝M₀(1+k_Mx)，有2个自由度(镜子中心处弯矩M₀和弯矩分布的相对斜率k_M)，比仅一端施加弯矩多1个自由度；依梯形镜面宽度变化，其截面对中性面的惯性矩分布I(x)为一次函数I(x)＝I₀(1+k_Ix)，其中镜子x处惯性矩I的物理定义式为 W为镜子在x处的宽度，T为镜子在x处的厚度。对于等厚度镜子，T为常数，则I与W成正比，I(x)有2个自由度(镜中心处惯性矩I₀和惯性矩分布的相对斜率k_I)比矩形镜和三角形镜多1个自由度；这样再加上镜子的整体高度δ₀和整体倾斜角度δ₁，梯形镜面共有6个自由度。而依(4)式减少1个自由度，最终有5个可以调节压弯面形的有效自由度。 

设置合适的5个自由度参数k_I、k_M、C₀、δ₁和δ₀，依(4)式可实现将压弯面形y(x)与椭圆柱面el(x)从0至4阶的中心泰勒近似： 

$k_M=\frac{(p-q)\cos \mathrm{\θ}}{4\mathrm{pq}}-\frac{\sec \mathrm{\θ}}{p-q},$

$k_I=-\frac{5(p-q)\cos \mathrm{\θ}}{4\mathrm{pq}}-\frac{\sec \mathrm{\θ}}{p-q},---\left(5\right)$

$C_0=\frac{(p+q)\sin \mathrm{\θ}}{2\mathrm{pq}},$

δ₁＝0， 

δ₀＝0。 

对于微聚焦K-B系统，缩放比很大，即 

则(5)式可简化为： 

$k_M=\frac{\cos \mathrm{\θ}}{4f},$

$k_I=-\frac{5\cos \mathrm{\θ}}{4f},---\left(6\right)$

$C_0=\frac{\sin \mathrm{\θ}}{2f},$

δ₁＝0， 

δ₀＝0。 

至此便获得了梯形K-B镜压弯的所有几何及力学参数。但是该设计方法仅实现了压弯面形向椭圆柱面的中心泰勒近似，仅是压弯面形中心局部最接近于椭圆柱面的设计，还不能实现梯形镜最理想的聚焦效果。 

发明内容

本发明的目的在于提供一种同步辐射梯形聚焦镜的最小像展压弯设计方法，以解决现有技术存在的在应用同步辐射光束时不能取得最理想聚焦效果的问题，本发明可以提供具有最优聚焦效果的梯形压弯聚焦镜。 

为了实现上述目的，本发明提供的同步辐射梯形聚焦镜的最小像展压弯设计方法，包括以下步骤：以聚焦镜的中心为原点，沿镜面长度方向为x轴 建立xy直角坐标系；建立聚焦镜压弯面形的像斑展宽函数，如下： 

${\mathrm{\σ}}_x={({\∫}_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}{[2(q-x)(y^{\′}\left(x\right)-{\mathrm{el}}^{\′}\left(x\right))+(y\left(x\right)-\mathrm{el}\left(x\right))]}^2\×d\left(x\right)\×\sin {\mathrm{\θ}}_x\mathrm{dx}/{\∫}_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}d\left(x\right)\×\sin {\mathrm{\θ}}_x\mathrm{dx})}^{1/2}$

其中：el(x)为理想椭圆方程， 

y(x)为梯形聚焦镜的压弯面形方程， 

θ_x为梯形聚焦镜上x位置处的光线掠入射角， 

d(x)为入射光的角密度在x处分布权重；L为聚焦镜在x轴上的投影长度；p、q、θ分别为源距、像距、镜面中心处光线掠入射角；在y(x)中，C₀为镜面中心处曲率，且 

M₀、k_M分别为镜中心处弯矩和弯矩分布的相对斜率；I₀、k_I分别为镜中心处惯性矩和惯性矩分布的相对斜率；E为杨氏模量；δ₀、δ₁分别为镜子的整体高度和整体倾斜角度；计算σ_x的最小值以及获得最小值的设计参数。 

根据上述同步辐射梯形聚焦镜的最小像展压弯设计方法的一种优选实施方式，其中，d(x)＝1。 

根据上述同步辐射梯形聚焦镜的最小像展压弯设计方法的一种优选实施方式，其中，利用迭代数值算法计算σ_x的最小值以及获得最小值的设计参数k _M、k_I、C₀、δ₀、δ₁，这些参数也即是镜体几何参数以及压弯力学参数。 

根据上述同步辐射梯形聚焦镜的最小像展压弯设计方法的一种优选实施方式，其中，进行所述迭代数值算法的初始值为： 

$k_M=\frac{(p-q)\cos \mathrm{\θ}}{4\mathrm{pq}}-\frac{\sec \mathrm{\θ}}{p-q},$ $k_I=-\frac{5(p-q)\cos \mathrm{\θ}}{4\mathrm{pq}}-\frac{\sec \mathrm{\θ}}{p-q},$ $C_0=\frac{(p+q)\sin \mathrm{\θ}}{2\mathrm{pq}},$ δ₁＝0， δ₀＝0。 

通过建立并最优化像斑展宽函数，本发明可以提供能够最小像扩展的梯形聚焦镜的几何形状以及压弯力学的设计。 

附图说明

图1a和图1b分别为显示K-B镜聚焦原理的侧视示意图和俯视示意图； 

图2为K-B聚焦镜理想面形结构示意图； 

图3为本发明实施例的迭代次数与像斑展宽的关系图； 

图4为本发明实施例的面形斜率误差在优化前后的比较图。 

具体实施方式

下面结合附图和具体实施方式对本发明做进一步详细说明。 

为了解决当前通用的梯形聚焦镜参数设计方法仅仅实现压弯面形向椭圆柱面的中心泰勒近似，只是压弯面形中心局部最接近于椭圆柱面，不能实现最优聚焦效果的问题。本发明提出了一种新的确定压弯参数的方法——最小像展压弯设计方法，以进一步减小像扩展，获得可能的最优设计。首先，如同现有技术，以聚焦镜的中心为原点，沿镜面长度方向为x轴建立xy直角坐标系。 

然后基于全局优化思想，利用数理统计理论及几何光学建立压弯面形的像斑展宽函数，将该多元函数作为目标函数作优化，求其最小值(最小像斑展宽)以及获得最小值的条件(最优设计参数)。由于函数的复杂性，难以得到解析形式的解。我们可以以泰勒近似解为初始值，经过多轮迭代得到最优数值解。 

根据聚焦镜面形误差，建立的像斑展宽函数如下： 

${\mathrm{\σ}}_x={({\∫}_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}{[2(q-x)(y^{\′}\left(x\right)-{\mathrm{el}}^{\′}\left(x\right))+(y\left(x\right)-\mathrm{el}\left(x\right))]}^2\×d\left(x\right)\×\sin {\mathrm{\θ}}_x\mathrm{dx}/{\∫}_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}d\left(x\right)\×{\sin \mathrm{\θ}}_x\mathrm{dx})}^{1/2}---\left(7\right)$

其中：el(x)为理想椭圆方程，即函数式(3)； 

θ_x为镜子上x位置处的光线掠入射角， 

${\mathrm{\θ}}_x=\arctan \left(y^{\′}\left(x\right)\right)-\arctan \left(\frac{y\left(t\right)-p\sin \mathrm{\θ}}{x+p\cos \mathrm{\θ}}\right);---\left(8\right)$

y(x)是通过解(4)式微分方程得到的压弯面形， 

$y\left(x\right)=C_0\×\frac{K_{I}x({2k}_M+k_I(-2+k_{M}x))+2(k_I-k_M)(1+k_{I}x)\ln (1+k_{I}x)}{{{2k}_I}^3}+{\mathrm{\δ}}_{1}x+{\mathrm{\δ}}_0,---\left(9\right)$

其中，C₀为镜面中心处曲率，且 $C_0=y^{\′\′}\left(0\right)=\frac{M_0}{{\mathrm{EI}}_0}---\left(10\right)$

d(x)为入射光的角密度在x处的分布权重，在本实施例中，d(x)取常数1。 

当聚焦条件p，q，θ或θ_max一定时，像斑展宽函数式(7)中有5个变量，即C₀、k_M、k_I、δ₁和δ₀(镜体几何参数以及压弯力学参数)。通过求5元目标函数的最小值来达到最优化的目的。 

由于目标函数过于复杂，无法用解析的方式给出其优化解，只能利用数值迭代方法进行计算。5个变量的迭代初始值可由式(5)给出。 

经过多轮叠代计算收敛后，便可以得到最小像斑展宽和5个变量的最优值。 

如图3所示，在本实施例中，设定p＝20.3m，q＝0.18m，L＝0.2m，θ_max＝0.00324rad(即θ＝0.002165rad)。若依传统设计方法，则设计参数为：C₀＝0.006068m^-1、k_M＝1.327、k_I＝-6.933、δ₁＝0和δ₀＝0m。在本实施例中，随着优化计算叠代次数增加，像斑展宽整体上降低，直至收敛稳定。优化前像斑展宽为1.2μm，优化后像斑展宽为0.16μm，优化后设计参数为：C₀＝0.006084m^-1、k_M＝1.526m^-1、k_I＝-6.648m^-1、δ₁＝-8.430×10^-8和δ₀＝1.427×10^-7m。 

直观起见，图4示出了本实施例优化前后的面形斜率误差比较图。其中虚线为现有技术的斜率误差，实线为根据本实施例所得面形的斜率误差。 

可见，本实施例的面形误差和像斑展宽均降低了近一个数量级。 

根据以上详细描述，对本领域技术人员来说，本发明不仅适用于同步辐射梯形压弯K-B聚焦镜，还适用于其他同步辐射压弯式梯形聚焦镜。 

综上所述，本发明通过改进同步辐射梯形聚焦镜的镜体几何形状及力学参数的设计方法，可以实现最小像展压弯设计，以进一步减小像扩展。 

本发明可以通过其它的不脱离其精神实质的实施方案来实现。所有在本 发明范围内或在等同于本发明的范围内的改变均被本发明包含。 

Claims (4)

1.一种使同步辐射梯形压弯聚焦镜获得最小像展的方法，其特征在于，包括以下步骤：

以聚焦镜的中心为原点，沿镜面长度方向为x轴建立xy直角坐标系；

建立聚焦镜压弯面形的像斑展宽函数，如下：

${\mathrm{\σ}}_x={({\∫}_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}{[2(q-x)(y^{\′}\left(x\right)-{\mathrm{el}}^{\′}\left(x\right))+(y\left(x\right)-\mathrm{el}\left(x\right))]}^2\×d\left(x\right)\×\sin {\mathrm{\θ}}_x\mathrm{dx}/{\∫}_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}d\left(x\right)\×\sin {\mathrm{\θ}}_x\mathrm{dx})}^{1/2}$

其中：el(x)为理想椭圆方程， $\mathrm{el}\left(x\right)=\frac{(p+q)((p-q)x\cos \mathrm{\θ}+2(-\mathrm{pq}+\sqrt{\mathrm{pq}(\mathrm{pq}-x^2-\mathrm{px}\cos \mathrm{\θ}+\mathrm{qx}\cos \mathrm{\θ})}))\sin \mathrm{\θ}}{-{(p+q)}^2+{(p-q)}^2{\sin }^2\mathrm{\θ}};$ y(x)为梯形压弯聚焦镜的压弯面形方程， $y\left(x\right)=C_0\×\frac{k_{I}x({2k}_M+k_I(-2+k_{M}x))+2(k_I-k_M)(1+k_{I}x)\ln (1+k_{I}x)}{2{k_I}^3}+{\mathrm{\δ}}_{1}x+{\mathrm{\δ}}_0;$ θ_x为梯形压弯聚焦镜上x位置处的光线掠入射角， ${\mathrm{\θ}}_x=\arctan \left(y^{\′}\left(x\right)\right)-\arctan \left(\frac{y\left(x\right)-p\sin \mathrm{\θ}}{x+p\cos \mathrm{\θ}}\right);$ d(x)为入射光的角密度在x处分布权重；L为聚焦镜在x轴上的投影长度；p、q、θ分别为源距、像距、镜面中心处光线掠入射角；在y(x)中，C₀为镜面中心处曲率，且M₀、k_M分别为镜中心处弯矩和弯矩分布的相对斜率；I₀、k_I分别为镜中心处惯性矩和惯性矩分布的相对斜率，E为杨氏模量，δ₀、δ₁分别为聚焦镜的整体高度和整体倾斜角度；

计算σ_x的最小值以及获得最小值的设计参数；

根据上述计算结果确定聚焦镜参数并压弯聚焦镜。

2.根据权利要求1所述的使同步辐射梯形压弯聚焦镜获得最小像展的方法，其特征在于，d(x)＝1。

3.根据权利要求1所述的使同步辐射梯形压弯聚焦镜获得最小像展的方法，其特征在于，利用迭代数值算法计算σ_x的最小值以及获得最小值的设计参数k _M、k_I、C₀、δ₀、δ₁。

4.根据权利要求3所述的使同步辐射梯形压弯聚焦镜获得最小像展的方法，其特征在于，进行所述迭代数值算法的初始值为：

$k_M=\frac{(p-q)\cos \mathrm{\θ}}{4\mathrm{pq}}-\frac{\sec \mathrm{\θ}}{p-q},$

$k_I=-\frac{5(p-q)\cos \mathrm{\θ}}{4\mathrm{pq}}-\frac{\sec \mathrm{\θ}}{p-q},$

$C_0=\frac{(p+q)\sin \mathrm{\θ}}{2\mathrm{pq}},$

δ₁＝0，

δ₀＝0。

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