CN103869395B - 一种多边形压弯反射镜 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种对称多边形压弯反射镜，用于将光源发射的光反射聚焦、发散或准直，所述反射镜为等厚的片体，且所述片体的反射面为边数大于4的轴对称多边形，对所述片体施以平行于反射面并垂直于对称轴的弯矩，使所述反射镜弹性压弯后的镜面面形趋近于一条二次曲线。本发明采用多边形压弯反射镜，压弯面形趋近于一条理想二次曲线，该多边形可根据实际需要调整，从而可在压弯时使得面形精度较高，而且多边形压弯反射镜可通过传统工艺加工成型。

Description

一种多边形压弯反射镜

技术领域

本发明涉及反射镜，具体涉及多边形压弯反射镜。

背景技术

各种光学工程尤其是同步辐射X射线多采用反射镜实现聚焦、发散或准直等功能，因此也被称为聚焦镜、准直镜等等。从理论上讲，采用曲边压弯镜作为反射镜可以获得无面形误差的理想面形，但是曲边镜的镜体加工工艺难度很大，成本很高，周期很长。尤其对于较长的镜体(如1m长)，更是无法进行加工。因此，由于加工难度、成本等原因，目前市场上还没有曲边镜出现。目前，限于镜体加工的工艺难度，有人采用了梯形压弯镜(或矩形压弯镜)。梯形压弯镜和矩形压弯镜虽然可通过传统工艺完成加工，但是其压弯的面形精度较低，对于要求较高的光学系统(比如低发射度的第三代同步辐射光源的高品质相空间调制)则无法满足聚焦、发散或准直等要求。

发明内容

针对现有技术中存在的问题，本发明的目的为提供一种易于加工且压弯面形精度较高的多边形压弯反射镜。

为实现上述目的，本发明的技术方案如下：

一种多边形压弯反射镜，用于将光源发射的光反射聚焦、发散或准直，所述反射镜为等厚的片体，且所述片体的反射面为边数大于4的轴对称多边形，对所述片体施以平行于反射面并垂直于对称轴的弯矩，使所述反射镜弹性压弯后的镜面面形趋近于一条二次曲线，该二次曲线的方程为：

$\begin{array}{c}con\left(x\right)\≡con(p,q,\mathrm{\θ};x)=\\ \frac{(p+q)\left(\right(p-q)x\cos \mathrm{\θ}+2(-pq+\sqrt{pq(pq-x^2-pxcos\mathrm{\θ}+qxcos\mathrm{\θ})}\left)\right)sin\mathrm{\θ}}{-{(p+q)}^2+{(p-q)}^2{\sin }^2\mathrm{\θ}}\end{array}$

其中，p为物距、q为像距、θ为镜面中心处光线掠入射角、x为沿镜面对称轴方向，以对称轴中心为原点的坐标值，当pq＞0时为椭圆，pq＜0时为双曲线，p或q趋向于±∞时，该式极限为抛物线。

进一步，所述对称多边形中任一侧顶点和落在对称轴上的顶点的总数为n，每对对称的顶点间距为w_i，位置坐标为i＝1，2…，n，在对称轴两端施加在所述反射镜中心处的弯矩值为M_0f，两端施加在镜面上弯矩分布的相对斜率值为k_Mf；上述各参数x_i、w_i、M_0f和k_Mf通过下述过程获得：

(1)上述各对顶点x坐标x_i，i＝1，2…，n如下取值：

两端顶点坐标其余顶点x_i，i＝2…，n-1，可在范围任意由小到大取为互异的值，也可简单取为等间距值即i＝2…，n-1，其中L为反射镜沿对称轴方向的长度；

(2)采用材料力学梁弯曲的近似理论得到所述反射镜的压弯面形与所述二次曲线的面形之间面形斜率误差均方根值，该值为：

$\begin{array}{c}{\mathrm{\σ}}_{SlopeError}(w_{i,i=1...n},M_{0f},k_{Mf})\\ ={(\frac{1}{L}\×{\∫}_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}{\left({\∫}_0^x\right(\frac{M_{0f}(1+k_{Mf}{x}^{\′})}{E\×\frac{T^3{W}_d(x_i,w_i,i=1...n;x^{\′})}{12}}-{\mathrm{con}}^{\′\′}(p_d,q_d,{\mathrm{\θ}}_d;x^{\′})\left){\mathrm{dx}}^{\′}\right)}^{2}dx)}^{1/2}\end{array}$

其中，E为镜体材料杨氏模量，T为镜体厚度，下标d代表设计值，p_d、q_d、θ_d依次表示物距、像距和镜面中心处掠入射角的设计值，W_d为镜体宽度函数即n个点(x_i，w_i)的线性插值函数：

$\begin{array}{c}{W}_d\left(x\right)\≡W_d(x_i,w_i,i=1...n;x)=w_i+\frac{x-x_i}{x_{i+1}-x_i}(w_{i+1}-w_i),x_i\≤x\≤x_{i+1},i=\\ 1,2...,n-1\end{array};$

(3)根据所述步骤(2)中的公式，任意选定w_i、M_0f和k_Mf共n+2个参数中的2个赋予具备实际意义的值，计算σ_SlopeError(w_{i，i＝1…n}，M_0f，k_Mf)的最小值，得出最优的反射镜各顶点位置、两端施加在所述反射镜中心处的弯矩值以及两端施加在镜面上弯矩分布的相对斜率值。

进一步，所述对称多边形中任一侧顶点和落在对称轴上的顶点的总数为n，每对对称的顶点间距为w_i，位置坐标为i＝1，2…，n，在对称轴两端施加在所述反射镜中心处的弯矩值为M_0f，两端施加在镜面上弯矩分布的相对斜率值为k_Mf；上述各参数x_i、w_i、M_0f和k_Mf通过下述过程获得：

(1)上述各对顶点x坐标x_i，i＝1，2…，n如下取值：

两端顶点坐标其余顶点x_i，i＝2…，n-1，可在范围任意由小到大取为互异的值，也可简单取为等间距值即i＝2…，n-1，其中L为反射镜沿对称轴方向的长度；

(2)采用材料力学梁弯曲的近似理论得到所述反射镜的压弯面形与所述二次曲线的面形之间面形曲率误差均方根值，该值为：

$\begin{array}{c}{\mathrm{\σ}}_{CurvatureError}(w_{i,i=1...n},M_{0f},k_{Mf})\\ ={(\frac{1}{L}\×{\∫}_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}{(\frac{M_{0f}(1+k_{Mf}x)}{E\×\frac{T^3{W}_d(x_i,w_i,i=1...n;x)}{12}}-{\mathrm{con}}^{\′\′}(p_d,q_d,{\mathrm{\θ}}_d;x\left)\right)}^{2}dx)}^{\frac{1}{2}}\end{array}$

其中，E为镜体材料杨氏模量，T为镜体厚度，下标d代表设计值，p_d、q_d、θ_d依次表示物距、像距和镜面中心处掠入射角的设计值，W_d为镜体宽度函数即n个点(x_i，w_i)的线性插值函数：

$\begin{array}{c}{W}_d\left(x\right)\≡W_d(x_i,w_i,i=1...n;x)=w_i+\frac{x-x_i}{x_{i+1}-x_i}(w_{i+1}-w_i),x_i\≤x\≤x_{i+1},i=\\ 1,2...,n-1\end{array};$

(3)根据所述步骤(2)中的公式，任意选定w_i、M_0f和k_Mf共n+2个参数中的2个赋予具备实际意义的值，计算σ_{Curvature Error}(w_{i，i＝1…n}，M_0f，k_Mf)的最小值，得出最优的反射镜各顶点位置、两端施加在所述反射镜中心处的弯矩值以及两端施加在镜面上弯矩分布的相对斜率值。

进一步，所述对称多边形中任一侧顶点和落在对称轴上的顶点的总数为n，每对对称的顶点间距为w_i，位置坐标为i＝1，2…，n，在对称轴两端施加在所述反射镜中心处的弯矩值为M_0f，两端施加在镜面上弯矩分布的相对斜率值为k_Mf；上述各参数x_i、w_i、M_0f和k_Mf通过下述过程获得：

(1)上述各对顶点x坐标x_i，i＝1，2…，n如下取值：

两端顶点坐标其余顶点x_i，i＝2…，n-1，可在范围任意由小到大取为互异的值，也可简单取为等间距值即i＝2…，n-1，其中L为反射镜沿对称轴方向的长度；

(2)计算理想宽度分布函数：

$W\left(x\right)=\frac{12M_{0f}(1+k_{Mf}x)}{{\mathrm{ET}}^3{\mathrm{con}}^{\′\′}(p_d,q_d,{\mathrm{\θ}}_d;x)}$

其中，E为镜体材料杨氏模量，T为镜体厚度，下标d代表设计值，p_d、q_d、θ_d依次表示物距、像距和镜面中心处掠入射角的设计值，M_0f和k_Mf可取使镜体符合梁近似的任意值，由此确定两端施加在所述反射镜中心处的弯矩值以及两端施加在镜面上弯矩分布的相对斜率值；

(3)计算反射镜宽度分布与上述理想宽度分布偏差的均方根值，该值为：

${\mathrm{\σ}}_{WidthError}\left(w_{i,i=1...n}\right)={(\frac{1}{L}\×{\∫}_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}{\left(W_d\left(x_i,w_i,i=1...n;x\right)-W\left(x\right)\right)}^{2}dx)}^{1/2}$

其中，W_d为镜体宽度函数即n个点(x_i，w_i)的线性插值函数：

$\begin{array}{c}{W}_d\left(x\right)\≡W_d(x_i,w_i,i=1...n;x)=w_i+\frac{x-x_i}{x_{i+1}-x_i}(w_{i+1}-w_i),x_i\≤x\≤x_{i+1},i=\\ 1,2...,n-1\end{array};$

(4)根据所述步骤(3)中的公式，计算σ_{Width Error}(w_{i，i＝1…n})的最小值，得出最优的反射镜各顶点位置。

进一步，所述对称多边形中任一侧顶点和落在对称轴上的顶点的总数为n，每对对称的顶点间距为w_i，位置坐标为i＝1，2…，n，在对称轴两端施加在所述反射镜中心处的弯矩值为M_0f，两端施加在镜面上弯矩分布的相对斜率值为k_Mf；上述各参数x_i、w_i、M_0f和k_Mf通过下述过程获得：

(1)上述各对顶点x坐标x_i，i＝1，2…，n如下取值：

两端顶点坐标其余顶点x_i，i＝2…，n-1，可在范围任意由小到大取为互异的值，也可简单取为等间距值即i＝2…，n-1，其中L为反射镜沿对称轴方向的长度；

(2)任意设定具备实际意义的w_i、M_0f和k_Mf的初始值，然后采用有限单元法结构分析，以压弯面形y(x)相对于所述二次曲线的面形m阶导数误差均方根值作为目标函数，以w_i、M_0f和k_Mf共n+2个参数中任意n个参数为变量，进行最小化的优化计算，其中上标(m)表示该函数对x的m阶导数，m取为非负整数，下标d代表设计值，p_d、q_d、θ_d依次表示物距、像距和镜面中心处掠入射角的设计值；

(3)根据所述步骤(1)、(2)中的计算得出最优的反射镜各顶点位置、两端施加在所述反射镜中心处的弯矩值以及两端施加在镜面上弯矩分布的相对斜率值。

本发明与现有技术相比，本发明采用多边形压弯反射镜，压弯面形趋近于理想二次曲线，该多边形设计可根据实际需要调整，从而可在压弯时使得面形精度较高，而且多边形压弯反射镜可通过传统工艺加工成型，简单方便，因此本发明的多边形压弯反射镜更加便于市场化。

附图说明

下面结合附图对本发明作进一步详细说明：

图1为本发明的多边形压弯反射镜的使用状态示意图；

图2为本发明的多边形压弯反射镜的结构及压弯示意图；

图3为本发明的多边形压弯反射镜具体实施例中采用第一种方法和第二种方法时面形曲率误差示意图；

图4为本发明的多边形压弯反射镜具体实施例中采用第一种方法和第二种方法得到的反射镜的结构示意图；

图5为本发明的多边形压弯反射镜具体实施例中采用第三种方法时面形斜率误差示意图；

图6为本发明的多边形压弯反射镜具体实施例中采用第三种方法得到的反射镜的结构示意图；

图7为本发明的多边形压弯反射镜具体实施例中采用第四种方法时面形斜率误差示意图；

图8为本发明的多边形压弯反射镜具体实施例中采用第四种方法得到的反射镜的结构示意图。

具体实施方式

体现本发明特征与优点的典型实施例将在以下的说明中详细叙述。应理解的是本发明能够在不同的实施例上具有各种的变化，其皆不脱离本发明的范围，且其中的说明及附图在本质上是当作说明之用，而非用以限制本发明。

本发明的多边形压弯反射镜一种多边形压弯反射镜，用于将一光源发射的光反射聚焦，如图1所示，其聚焦公式为：

$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=\frac{1}{f}---\left(1\right)$

其中，p为物距，q为像距，f为反射镜的焦距。镜面中心处光线掠入射角为θ，镜面上最大掠入射角θ_max在镜子一端位置，在掠入射角小于临界掠入射角时可发生全反射，临界掠入射角较小，一般为mrad至百mrad水平，由所反射X射线波长及镜面材料决定，因此X射线反射镜多为长条形。我们以镜子中心为原点，沿镜面对称轴方向为x轴，沿垂直镜面方向为y轴建立xyz右手直角三维坐标系，并在xy平面内得到物点坐标为(-pcosθ，psinθ)，像点坐标为(qcosθ，qsinθ)。通过镜面上某点(x，y)的光线光程表达式为：

$s=\sqrt{{(x+pcos\mathrm{\θ})}^2+{(y-psin\mathrm{\θ})}^2}+\sqrt{{(x-qcos\mathrm{\θ})}^2+{(y-qsin\mathrm{\θ})}^2}---\left(2\right)$

依费马原理，光程最短，s对x的全微分为0，得到理想镜面的二次曲线方程：

$\begin{array}{c}con\left(x\right)\≡con(p,q,\mathrm{\θ};x)=\\ \frac{(p+q)\left(\right(p-q)x\cos \mathrm{\θ}+2(-pq+\sqrt{pq(pq-x^2-pxcos\mathrm{\θ}+qxcos\mathrm{\θ})}\left)\right)sin\mathrm{\θ}}{-{(p+q)}^2+{(p-q)}^2{\sin }^2\mathrm{\θ}}\end{array}---\left(3\right)$

其中，p为物距、q为像距、θ为镜面中心处光线掠入射角、x为沿镜面对称轴方向以对称轴中心为原点的坐标值。当pq＞0时为椭圆，pq＜0时为双曲线，p或q趋向于±∞时，该式极限为抛物线。

本发明的反射镜为等厚的片体，且所述片体的反射面为边数大于4的轴对称多边形，并对片体施以平行于反射面并垂直于对称轴的弯矩(如图2所示)。本发明的反射镜弹性压弯后的镜面面形近似于式(3)所示出二次曲线。

本发明中，设定反射镜多边形的对称两侧顶点数各为n(包含落在对称轴上的顶点)，每对对称的顶点间距为w_i，位置坐标为i＝1，2…，n，在对称轴两端施加在所述反射镜中心处的弯矩值为M_0f，两端施加在镜面上弯矩分布的相对斜率值为k_Mf。

上述各对顶点x坐标x_i，i＝1，2…，n+1如下取值：

两端顶点坐标其余顶点x_i，i＝2…，n-1，可在范围任意由小到大取为互异的值，也可简单取为等间距值即i＝2…，n-1，其中L为反射镜沿对称轴方向的长度；

可得镜体宽度函数W_d(x)为n个点(x_i，w_i)的线性插值函数：

$\begin{array}{c}{W}_d\left(x\right)\≡W_d(x_i,w_i,i=1...n;x)=w_i+\frac{x-x_i}{x_{i+1}-x_i}(w_{i+1}-w_i),x_i\≤x\≤x_{i+1},i=\\ 1,2...,n-1\end{array};$

上述各参数w_i、M_0f和k_Mf通过下述过程获得：

第一种方法：

(11)采用材料力学梁弯曲的近似理论得到反射镜的压弯挠度微分方程：

$y^{\′\′}\left(x\right)=\frac{M\left(x\right)}{EI\left(x\right)}---\left(4\right)$

其中，M(x)为x位置的总弯矩，仅考虑两端弯矩时M(x)＝M_0f(1+k_Mfx)；I(x)为惯性矩；E为杨氏模量。镜子x处惯性矩I(x)的物理定义式为其中，W(x)为镜子在x处的宽度，T(x)为镜子在x处的厚度。对于等厚度镜子，T(x)＝T为常数，则W(x)与I(x)成正比。

(12)根据步骤(11)得出压弯面形，从而获得该压弯面形与所述二次曲线的面形之间面形斜率误差均方根值，该值为：

$\begin{array}{c}{\mathrm{\σ}}_{SlopeError}(w_{i,i=1...n},M_{0f},k_{Mf})\\ ={(\frac{1}{L}\×{\∫}_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}{\left({\∫}_0^x\right(\frac{M_{0f}(1+k_{Mf}{x}^{\′})}{E\×\frac{T^3{W}_d(x_i,w_i,i=1...n;x^{\′})}{12}}-{\mathrm{con}}^{\′\′}(p_d,q_d,{\mathrm{\θ}}_d;x^{\′})\left){\mathrm{dx}}^{\′}\right)}^{2}dx)}^{1/2}\end{array}$

其中，E为镜体材料杨氏模量，T为镜体厚度，下标d代表设计值，p_d、q_d、θ_d依次表示物距、像距和镜面中心处掠入射角的设计值；

(13)根据步骤(12)中的公式，任意选定w_i、M_0f和k_Mf共n+2个参数中的2个赋予具备实际意义的值，计算σ_SlopeError(w_{i，i＝1…n}，M_0f，k_Mf)的最小值，得出最优的反射镜各顶点位置、两端施加在所述反射镜中心处的弯矩值以及两端施加在镜面上弯矩分布的相对斜率值。

第二种方法：

(21)采用材料力学梁弯曲的近似理论得到反射镜的压弯挠度微分方程：

$y^{\′\′}\left(x\right)=\frac{M\left(x\right)}{EI\left(x\right)}---\left(4\right)$

其中，M(x)为x位置的总弯矩，仅考虑两端弯矩时M(x)＝M_0f(1+k_Mfx)；I(x)为惯性矩；E为杨氏模量。镜子x处惯性矩I(x)的物理定义式为其中，W(x)为镜子在x处的宽度，T(x)为镜子在x处的厚度。对于等厚度镜子，T(x)＝T为常数，则W(x)与I(x)成正比。

(22)根据步骤(21)得出压弯面形，从而获得该压弯面形与所述二次曲线的面形之间面形曲率误差均方根值，该值为：

$\begin{array}{c}{\mathrm{\σ}}_{CurvatureError}(w_{i,i=1...n},M_{0f},k_{Mf})\\ ={(\frac{1}{L}\×{\∫}_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}{(\frac{M_{0f}(1+k_{Mf}x)}{E\×\frac{T^3{W}_d(x_i,w_i,i=1...n;x)}{12}}-{\mathrm{con}}^{\′\′}(p_d,q_d,{\mathrm{\θ}}_d;x\left)\right)}^{2}dx)}^{\frac{1}{2}}\end{array}$

其中，E为镜体材料杨氏模量，T为镜体厚度，下标d代表设计值，p_d、q_d、θ_d依次表示物距、像距和镜面中心处掠入射角的设计值；

(23)根据步骤(22)中的公式，任意选定w_i、M_0f和k_Mf共n+2个参数中的2个赋予具备实际意义的值，计算σ_{Curvature Error}(w_{i，i＝1…n}，M_0f，k_Mf)的最小值，得出最优的反射镜各顶点位置、两端施加在所述反射镜中心处的弯矩值以及两端施加在镜面上弯矩分布的相对斜率值。

第三种方法：

(31)首先计算理想宽度分布函数：

$W\left(x\right)=\frac{12M_{0f}(1+k_{Mf}x)}{{\mathrm{ET}}^3{\mathrm{con}}^{\′\′}(p_d,q_d,{\mathrm{\θ}}_d;x)}---\left(5\right)$

其中，E为镜体材料杨氏模量，T为镜体厚度，下标d代表设计值，p_d、q_d、θ_d依次表示物距、像距和镜面中心处掠入射角的设计值，M_0f和k_Mf可取使镜体符合梁近似的任意值；将(5)式代入(4)式可知，该曲边镜压弯面形为理想二次曲线。

(32)计算反射镜宽度分布与上述理想宽度分布偏差的均方根值，该值为：

${\mathrm{\σ}}_{WidthError}\left(w_{i,i=1...n}\right)={(\frac{1}{L}\×{\∫}_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}{\left(W_d\left(x_i,w_i,i=1...n;x\right)-W\left(x\right)\right)}^{2}dx)}^{1/2}$

(33)根据所述步骤(32)中的公式，计算σ_{Width Error}(w_{i，i＝1…n})的最小值，确定反射镜各顶点位置；将(4)式两端求倒数，并考虑小压弯量及等厚度T，可得压弯面形曲率半径：

$\mathrm{\ρ}\left(x\right)\≅\frac{1}{y^{\′\′}\left(x\right)}=\frac{EI\left(x\right)}{M\left(x\right)}\∝W\left(x\right)$

可见，保持施加力矩M(x)不变，当反射镜宽度与理想宽度偏差均方根最小时，其压弯面形曲率半径误差达到最小值；因此，所确定反射镜各顶点位置即为最优，两端施加在所述反射镜中心处的弯矩值以及两端施加在镜面上弯矩分布的相对斜率值保持与步骤(31)中理想宽度计算时相同。

第四种方法：

(41)任意设定具备实际意义的w_i、M_0f和k_Mf的初始值(可选择矩形镜、梯形镜或曲边镜的力学参数和宽度函数的采样值作为初始值)，然后采用有限单元法结构分析，以压弯面形y(x)相对于所述二次曲线的面形m阶导数误差均方根值作为目标函数，以w_i、M_0f和k_Mf共n+2个参数中任意n个参数为变量，进行最小化的优化计算，其中上标(m)表示该函数对x的m阶导数，m取为非负整数，下标d代表设计值，p_d、q_d、θ_d依次表示物距、像距和镜面中心处掠入射角的设计值；

(42)根据所述步骤(41)中的计算得出最优的反射镜各顶点位置、两端施加在所述反射镜中心处的弯矩值以及两端施加在镜面上弯矩分布的相对斜率值。

本发明与现有技术相比，本发明采用多边形压弯反射镜，压弯面形近似于理想二次曲线，该多边形可根据实际需要调整，从而可在压弯时使得面形精度较高，而且多边形压弯反射镜可通过传统工艺加工成型，简单方便，因此本发明的多边形压弯反射镜更加便于市场化。

下面以p＝40.18m、q＝0.12m、θ＝0.003rad、L＝0.12m、T＝0.005m、E＝1.301×10¹¹Pa压弯聚焦镜(可得理想二次曲线为一个椭圆)为例：

根据第一种方法或第二种方法获得，n＝9时，面形斜率误差如图3所示，其面形斜率误差均方根值为0.0664μrad。此压弯面形精度已高于当前国际上实现的最高精度。

镜子形状如图4所示，反射面为18边形，其9对对称顶点坐标为(-0.06，±0.003598)，(-0.045，±0.004797)，(-0.03，±0.005577)，(-0.015，±0.005975)，(0，±0.006026)，(0.015，±0.005767)，(0.03，±0.005239)，(0.045，±0.004489)，(0.06，±0.003572)(单位均为m)。镜子中心弯矩M_0f＝0.2039N·m，弯矩分布的相对斜率k_Mf＝11.27m^-1，相应x＝-0.06m端弯矩为0.06608N·m，x＝0.06m端弯矩为0.3418N·m。

根据第三种方法获得，n＝9时，面形斜率误差如图5所示，其面形斜率误差均方根值为0.0648μrad。此压弯面形精度已高于当前国际上实现的最高精度。

镜子形状如图6所示，反射面为18边形，其9对对称顶点坐标为(-0.06，±0.003589)，(-0.045，±0.004781)，(-0.03，±0.00556)，(-0.015，±0.005957)，(0，±0.006007)，(0.015，±0.005749)，(0.03，±0.005223)，(0.045，±0.004475)，(0.06，±0.003562)(单位均为m)。镜子中心弯矩M_0f＝0.2033N·m，弯矩分布的相对斜率k_Mf＝11.27m^-1，相应x＝-0.06m端弯矩为0.06587N·m，x＝0.06m端弯矩为0.3408N·m。

根据第四种方法获得，n＝9时，面形斜率误差如图7所示，其面形斜率误差均方根值为0.0415μrad。此压弯面形精度已高于当前国际上实现的最高精度。

镜子形状如图8所示，反射面为18边形，其9对对称顶点坐标为(-0.06，±0.003637)，(-0.045，±0.004809)，(-0.03，±0.005575)，(-0.015，±0.005965)，(0，±0.006012)，(0.015，±0.005753)，(0.03，±0.005229)，(0.045，±0.004484)，(0.06，±0.003572)(单位均为m)。镜子中心弯矩M_0f＝0.2033N·m，弯矩分布的相对斜率k_Mf＝11.27m-1，相应x＝-0.06m端弯矩为0.06587N·m，x＝0.06m端弯矩为0.3408N·m。

综上所述，本发明提供的多边形压弯反射镜具有与曲边镜体几乎等同的压弯面形精度，同时无需高难度的镜体加工工艺即可实现不同尺寸镜体的加工，大幅降低了加工难度和成本。

本发明的技术方案已由优选实施例揭示如上。本领域技术人员应当意识到在不脱离本发明所附的权利要求所揭示的本发明的范围和精神的情况下所作的更动与润饰，均属本发明的权利要求的保护范围之内。

Claims (9)

1.一种对称多边形压弯反射镜，用于将光源发射的光反射聚焦、发散或准直，其特征在于，所述反射镜为等厚的片体，且所述片体的反射面为边数大于4的轴对称多边形，对所述片体施以平行于反射面并垂直于对称轴的弯矩，使所述反射镜弹性压弯后的镜面面形趋近于一条二次曲线，该二次曲线的方程为：

$\begin{array}{c}con\left(x\right)\≡con(p,q,\mathrm{\θ};x)=\\ \frac{(p+q)\left(\right(p-q)x\cos \mathrm{\θ}+2(-pq+\sqrt{pq\left(pq-x^2-pxcos\mathrm{\θ}+qxcos\mathrm{\θ}\right)}\left)\right)sin\mathrm{\θ}}{-{(p+q)}^2+{(p-q)}^2{\sin }^2\mathrm{\θ}}\end{array}$

其中，p为物距、q为像距、θ为镜面中心处光线掠入射角、x为沿镜面对称轴方向以对称轴中心为原点的坐标值，当pq>0时为椭圆，pq<0时为双曲线，p或q趋向于±∞时，该式极限为抛物线。

2.如权利要求1所述的对称多边形压弯反射镜，其特征在于，所述对称多边形中任一侧顶点和落在对称轴上的顶点的总数为n，每对对称的顶点间距为w_i，位置坐标为在对称轴两端施加在所述反射镜中心处的弯矩值为M_0f，两端施加在镜面上弯矩分布的相对斜率值为k_Mf；上述各参数x_i、w_i、M_0f和k_Mf通过下述过程获得：

(1)上述各对顶点x坐标x_i，i＝1,2…,n如下取值：

两端顶点坐标其余顶点x_i，i＝2…,n-1，且在范围任意由小到大取为互异的值，其中L为反射镜沿对称轴方向的长度；

(2)采用材料力学梁弯曲的近似理论得到所述反射镜的压弯面形与所述二次曲线的面形之间面形斜率误差均方根值，该值为：

$\begin{array}{c}{\mathrm{\&sigma;}}_{SlopeError}(w_{i,i=\mathrm{1...}n},M_{0f},k_{Mf})\\ ={(\frac{1}{L}\&times;{\&Integral;}_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}{\left({\&Integral;}_0^x\left(\frac{M_{0f}(1+k_{Mf}{x}^{\&prime;})}{E\&times;\frac{T^3{W}_d(x_i,w_i,i=\mathrm{1...}n;x^{\&prime;})}{12}}-{\mathrm{con}}^{\&prime;\&prime;}\left(p_d,q_d,{\mathrm{\&theta;}}_d;x^{\&prime;}\right)\right){\mathrm{dx}}^{\&prime;}\right)}^{2}dx)}^{1/2}\end{array}$

其中，E为镜体材料杨氏模量，T为镜体厚度，下标d代表设计值，p_d、q_d、θ_d依次表示物距、像距和镜面中心处掠入射角的设计值，W_d为镜体宽度函数即n个点(x_i,w_i)的线性插值函数：

$\begin{array}{c}{W}_d\left(x\right)\&equiv;W_d(x_i,w_i,i=\mathrm{1...}n;x)=w_i+\frac{x-x_i}{x_{i+1}-x_i}(w_{i+1}-w_i),x_i\&le;x\&le;x_{i+1},i=\\ 1,\mathrm{2...},n-1;\end{array}$

(3)根据所述步骤(2)中的公式，任意选定w_i、M_0f和k_Mf共n+2个参数中的2个赋予具备实际意义的值，计算σ_SlopeError(w_i,i＝1…n,M_0f,k_Mf)的最小值，得出最优的反射镜各顶点位置、两端施加在所述反射镜中心处的弯矩值以及两端施加在镜面上弯矩分布的相对斜率值。

3.如权利要求1所述的对称多边形压弯反射镜，其特征在于，所述对称多边形中任一侧顶点和落在对称轴上的顶点的总数为n，每对对称的顶点间距为w_i，位置坐标为在对称轴两端施加在所述反射镜中心处的弯矩值为M_0f，两端施加在镜面上弯矩分布的相对斜率值为k_Mf；上述各参数x_i、w_i、M_0f和k_Mf通过下述过程获得：

(1)上述各对顶点x坐标x_i，i＝1,2…,n如下取值：

两端顶点坐标其余顶点x_i，i＝2…,n-1，且取为等间距值即其中L为反射镜沿对称轴方向的长度；

(2)采用材料力学梁弯曲的近似理论得到所述反射镜的压弯面形与所述二次曲线的面形之间面形斜率误差均方根值，该值为：

$\begin{array}{c}{\mathrm{\&sigma;}}_{SlopeError}(w_{i,i=\mathrm{1...}n},M_{0f},k_{Mf})\\ ={(\frac{1}{L}\&times;{\&Integral;}_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}{\left({\&Integral;}_0^x\left(\frac{M_{0f}(1+k_{Mf}{x}^{\&prime;})}{E\&times;\frac{T^3{W}_d(x_i,w_i,i=\mathrm{1...}n;x^{\&prime;})}{12}}-{\mathrm{con}}^{\&prime;\&prime;}\left(p_d,q_d,{\mathrm{\&theta;}}_d;x^{\&prime;}\right)\right){\mathrm{dx}}^{\&prime;}\right)}^{2}dx)}^{1/2}\end{array}$

其中，E为镜体材料杨氏模量，T为镜体厚度，下标d代表设计值，p_d、q_d、θ_d依次表示物距、像距和镜面中心处掠入射角的设计值，W_d为镜体宽度函数即n个点(x_i,w_i)的线性插值函数：

$\begin{array}{c}{W}_d\left(x\right)\&equiv;W_d(x_i,w_i,i=\mathrm{1...}n;x)=w_i+\frac{x-x_i}{x_{i+1}-x_i}(w_{i+1}-w_i),x_i\&le;x\&le;x_{i+1},i=\\ 1,\mathrm{2...},n-1;\end{array}$

(3)根据所述步骤(2)中的公式，任意选定w_i、M_0f和k_Mf共n+2个参数中的2个赋予具备实际意义的值，计算σ_SlopeError(w_i,i＝1…n,M_0f,k_Mf)的最小值，得出最优的反射镜各顶点位置、两端施加在所述反射镜中心处的弯矩值以及两端施加在镜面上弯矩分布的相对斜率值。

4.如权利要求1所述的对称多边形压弯反射镜，其特征在于，所述对称多边形中任一侧顶点和落在对称轴上的顶点的总数为n，每对对称的顶点间距为w_i，位置坐标为在对称轴两端施加在所述反射镜中心处的弯矩值为M_0f，两端施加在镜面上弯矩分布的相对斜率值为k_Mf；上述各参数x_i、w_i、M_0f和k_Mf通过下述过程获得：

(1)上述各对顶点x坐标x_i，i＝1,2…,n如下取值：

两端顶点坐标其余顶点x_i，i＝2…,n-1，且在范围任意由小到大取为互异的值，其中L为反射镜沿对称轴方向的长度；

(2)采用材料力学梁弯曲的近似理论得到所述反射镜的压弯面形与所述二次曲线的面形之间面形曲率误差均方根值，该值为：

$\begin{array}{c}{\mathrm{\&sigma;}}_{CurvatureError}(w_{i,i=\mathrm{1...}n},M_{0f},k_{Mf})\\ ={(\frac{1}{L}\&times;{\&Integral;}_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}{\left(\frac{M_{0f}(1+k_{Mf}x)}{E\&times;\frac{T^3{W}_d(x_i,w_i,i=\mathrm{1...}n;x)}{12}}-{\mathrm{con}}^{\&prime;\&prime;}\left(p_d,q_d,{\mathrm{\&theta;}}_d;x\right)\right)}^{2}dx)}^{\frac{1}{2}}\end{array}$

其中，E为镜体材料杨氏模量，T为镜体厚度，下标d代表设计值，p_d、q_d、θ_d依次表示物距、像距和镜面中心处掠入射角的设计值，W_d为镜体宽度函数即n个点(x_i,w_i)的线性插值函数:

$\begin{array}{c}{W}_d\left(x\right)\&equiv;W_d(x_i,w_i,i=\mathrm{1...}n;x)=w_i+\frac{x-x_i}{x_{i+1}-x_i}(w_{i+1}-w_i),x_i\&le;x\&le;x_{i+1},i=\\ 1,\mathrm{2...},n-1;\end{array}$

(3)根据所述步骤(2)中的公式，任意选定w_i、M_0f和k_Mf共n+2个参数中的2个赋予具备实际意义的值，计算σ_{CurvatureError}(w_i,i＝1…n,M_0f,k_Mf)的最小值，得出最优的反射镜各顶点位置、两端施加在所述反射镜中心处的弯矩值以及两端施加在镜面上弯矩分布的相对斜率值。

5.如权利要求1所述的对称多边形压弯反射镜，其特征在于，所述对称多边形中任一侧顶点和落在对称轴上的顶点的总数为n，每对对称的顶点间距为w_i，位置坐标为在对称轴两端施加在所述反射镜中心处的弯矩值为M_0f，两端施加在镜面上弯矩分布的相对斜率值为k_Mf；上述各参数x_i、w_i、M_0f和k_Mf通过下述过程获得：

(1)上述各对顶点x坐标x_i，i＝1,2…,n如下取值：

两端顶点坐标其余顶点x_i，i＝2…,n-1，且取为等间距值即其中L为反射镜沿对称轴方向的长度；

(2)采用材料力学梁弯曲的近似理论得到所述反射镜的压弯面形与所述二次曲线的面形之间面形曲率误差均方根值，该值为：

$\begin{array}{c}{\mathrm{\&sigma;}}_{CurvatureError}(w_{i,i=\mathrm{1...}n},M_{0f},k_{Mf})\\ ={(\frac{1}{L}\&times;{\&Integral;}_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}{\left(\frac{M_{0f}(1+k_{Mf}x)}{E\&times;\frac{T^3{W}_d(x_i,w_i,i=\mathrm{1...}n;x)}{12}}-{\mathrm{con}}^{\&prime;\&prime;}\left(p_d,q_d,{\mathrm{\&theta;}}_d;x\right)\right)}^{2}dx)}^{\frac{1}{2}}\end{array}$

其中，E为镜体材料杨氏模量，T为镜体厚度，下标d代表设计值，p_d、q_d、θ_d依次表示物距、像距和镜面中心处掠入射角的设计值，W_d为镜体宽度函数即n个点(x_i,w_i)的线性插值函数:

$\begin{array}{c}{W}_d\left(x\right)\&equiv;W_d(x_i,w_i,i=\mathrm{1...}n;x)=w_i+\frac{x-x_i}{x_{i+1}-x_i}(w_{i+1}-w_i),x_i\&le;x\&le;x_{i+1},i=\\ 1,\mathrm{2...},n-1;\end{array}$

(3)根据所述步骤(2)中的公式，任意选定w_i、M_0f和k_Mf共n+2个参数中的2个赋予具备实际意义的值，计算σ_{CurvatureError}(w_i,i＝1…n,M_0f,k_Mf)的最小值，得出最优的反射镜各顶点位置、两端施加在所述反射镜中心处的弯矩值以及两端施加在镜面上弯矩分布的相对斜率值。

6.如权利要求1所述的对称多边形压弯反射镜，其特征在于，所述对称多边形中任一侧顶点和落在对称轴上的顶点的总数为n，每对对称的顶点间距为w_i，位置坐标为在对称轴两端施加在所述反射镜中心处的弯矩值为M_0f，两端施加在镜面上弯矩分布的相对斜率值为k_Mf；上述各参数x_i、w_i、M_0f和k_Mf通过下述过程获得：

(1)上述各对顶点x坐标x_i，i＝1,2…,n如下取值：

两端顶点坐标其余顶点x_i，i＝2…,n-1，且在范围任意由小到大取为互异的值，其中L为反射镜沿对称轴方向的长度；

(2)计算理想宽度分布函数：

$W\left(x\right)=\frac{12M_{0f}(1+k_{Mf}x)}{{\mathrm{ET}}^3{\mathrm{con}}^{\&prime;\&prime;}(p_d,q_d,{\mathrm{\&theta;}}_d;x)}$

其中，E为镜体材料杨氏模量，T为镜体厚度，下标d代表设计值，p_d、q_d、θ_d依次表示物距、像距和镜面中心处掠入射角的设计值，M_0f和k_Mf可取使镜体符合梁近似的任意值，由此确定两端施加在所述反射镜中心处的弯矩值以及两端施加在镜面上弯矩分布的相对斜率值；

(3)计算反射镜宽度分布与上述理想宽度分布偏差的均方根值，该值为：

${\mathrm{\&sigma;}}_{WidthError}\left(w_{i,i=\mathrm{1...}n}\right)={(\frac{1}{L}\&times;{\&Integral;}_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}{\left(W_d\left(x_i,w_i,i=\mathrm{1...}n;x\right)-W\left(x\right)\right)}^{2}dx)}^{1/2}$

其中，W_d为镜体宽度函数即n个点(x_i,w_i)的线性插值函数:

$\begin{array}{c}{W}_d\left(x\right)\&equiv;W_d(x_i,w_i,i=\mathrm{1...}n;x)=w_i+\frac{x-x_i}{x_{i+1}-x_i}(w_{i+1}-w_i),x_i\&le;x\&le;x_{i+1},i=\\ 1,\mathrm{2...},n-1;\end{array}$

(4)根据所述步骤(3)中的公式，计算σ_WidthError(w_i,i＝1…n)的最小值，得出最优的反射镜各顶点位置。

7.如权利要求1所述的对称多边形压弯反射镜，其特征在于，所述对称多边形中任一侧顶点和落在对称轴上的顶点的总数为n，每对对称的顶点间距为w_i，位置坐标为在对称轴两端施加在所述反射镜中心处的弯矩值为M_0f，两端施加在镜面上弯矩分布的相对斜率值为k_Mf；上述各参数x_i、w_i、M_0f和k_Mf通过下述过程获得：

(1)上述各对顶点x坐标x_i，i＝1,2…,n如下取值：

两端顶点坐标其余顶点x_i，i＝2…,n-1，且取为等间距值即其中L为反射镜沿对称轴方向的长度；

(2)计算理想宽度分布函数：

$W\left(x\right)=\frac{12M_{0f}(1+k_{Mf}x)}{{\mathrm{ET}}^3{\mathrm{con}}^{\&prime;\&prime;}(p_d,q_d,{\mathrm{\&theta;}}_d;x)}$

其中，E为镜体材料杨氏模量，T为镜体厚度，下标d代表设计值，p_d、q_d、θ_d依次表示物距、像距和镜面中心处掠入射角的设计值，M_0f和k_Mf可取使镜体符合梁近似的任意值，由此确定两端施加在所述反射镜中心处的弯矩值以及两端施加在镜面上弯矩分布的相对斜率值；

(3)计算反射镜宽度分布与上述理想宽度分布偏差的均方根值，该值为：

${\mathrm{\&sigma;}}_{WidthError}\left(w_{i,i=\mathrm{1...}n}\right)={(\frac{1}{L}\&times;{\&Integral;}_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}{\left(W_d\left(x_i,w_i,i=\mathrm{1...}n;x\right)-W\left(x\right)\right)}^{2}dx)}^{1/2}$

其中，W_d为镜体宽度函数即n个点(x_i,w_i)的线性插值函数:

$\begin{array}{c}{W}_d\left(x\right)\&equiv;W_d(x_i,w_i,i=\mathrm{1...}n;x)=w_i+\frac{x-x_i}{x_{i+1}-x_i}(w_{i+1}-w_i),x_i\&le;x\&le;x_{i+1},i=\\ 1,\mathrm{2...},n-1;\end{array}$

(4)根据所述步骤(3)中的公式，计算σ_widthError(w_i,i＝1…n)的最小值，得出最优的反射镜各顶点位置。

8.如权利要求1所述的对称多边形压弯反射镜，其特征在于，所述对称多边形中任一侧顶点和落在对称轴上的顶点的总数为n，每对对称的顶点间距为w_i，位置坐标为在对称轴两端施加在所述反射镜中心处的弯矩值为M_0f，两端施加在镜面上弯矩分布的相对斜率值为k_Mf；上述各参数x_i、w_i、M_0f和k_Mf通过下述过程获得：

(1)上述各对顶点x坐标x_i，i＝1,2…,n如下取值：

两端顶点坐标其余顶点x_i，i＝2…,n-1，且在范围任意由小到大取为互异的值，其中L为反射镜沿对称轴方向的长度；

(2)任意设定具备实际意义的w_i、M_0f和k_Mf的初始值，然后采用有限单元法结构分析，以压弯面形y(x)相对于所述二次曲线的面形m阶导数误差均方根值作为目标函数，以w_i、M_0f和k_Mf共n+2个参数中任意n个参数为变量，进行最小化的优化计算，其中上标(m)表示该函数对x的m阶导数，m取为非负整数，下标d代表设计值，p_d、q_d、θ_d依次表示物距、像距和镜面中心处掠入射角的设计值；

(3)根据所述步骤(1)、(2)中的计算得出最优的反射镜各顶点位置、两端施加在所述反射镜中心处的弯矩值以及两端施加在镜面上弯矩分布的相对斜率值。

9.如权利要求1所述的对称多边形压弯反射镜，其特征在于，所述对称多边形中任一侧顶点和落在对称轴上的顶点的总数为n，每对对称的顶点间距为w_i，位置坐标为在对称轴两端施加在所述反射镜中心处的弯矩值为M_0f，两端施加在镜面上弯矩分布的相对斜率值为k_Mf；上述各参数x_i、w_i、M_0f和k_Mf通过下述过程获得：

(1)上述各对顶点x坐标x_i，i＝1,2…,n如下取值：

两端顶点坐标其余顶点x_i，i＝2…,n-1，且取为等间距值即其中L为反射镜沿对称轴方向的长度；

(2)任意设定具备实际意义的w_i、M_0f和k_Mf的初始值，然后采用有限单元法结构分析，以压弯面形y(x)相对于所述二次曲线的面形m阶导数误差均方根值作为目标函数，以w_i、M_0f和k_Mf共n+2个参数中任意n个参数为变量，进行最小化的优化计算，其中上标(m)表示该函数对x的m阶导数，m取为非负整数，下标d代表设计值，p_d、q_d、θ_d依次表示物距、像距和镜面中心处掠入射角的设计值；

(3)根据所述步骤(1)、(2)中的计算得出最优的反射镜各顶点位置、两端施加在所述反射镜中心处的弯矩值以及两端施加在镜面上弯矩分布的相对斜率值。