CN102012558A - 具有最大适用范围的同步辐射曲边聚焦镜及其设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开一种具有最大适用范围的同步辐射曲边压弯聚焦镜及其设计方法，该设计方法包括：建立设计聚焦条件下理想的椭圆镜面方程；建立镜体压弯挠度微分方程，得到满足压弯面形为理想椭圆惯性矩分布设计函数，此函数含一个待设计的弯矩分布相对斜率设计值k_Md；计算当聚焦条件偏离设计值时，调整聚焦镜弯矩偏离设计值以适应聚焦条件的变化；计算弯矩调整后的主要剩余面形误差，使其对某聚焦条件的导数在设计值处为零，得到针对该聚焦条件优化的k_Md值，然后代入惯性矩分布设计函数取得聚焦镜的几何设计。本发明的聚焦镜在聚焦条件改变时，通过调整弯矩可以大幅消除面形误差，也即实现曲边压弯聚焦镜对某个聚焦条件的适用范围最大化。

Description

具有最大适用范围的同步辐射曲边聚焦镜及其设计方法

技术领域

本发明涉及一种聚焦镜及其设计方法，尤其涉及一种具有最大适用范围的同步辐射曲边压弯聚焦镜及其设计方法，属于同步辐射光束线工程、同步辐射光学技术领域。

背景技术

同步辐射的优点之一是高亮度。亮度一般指相空间中的光子数密度，同步辐射光子通量高，相空间体积小造就了高亮度的特点。根据刘维定理，在不牺牲光子通量前提下，亮度无法提高。当压缩光束的线宽度时，其角宽度就要增大；反之，当压缩角宽度使光束变得更准直时，其线宽度就要增大。然而，不同实验对光束的相空间形状要求不同，例如荧光微区分析要求小的光斑尺寸，大分子晶体衍射实验同时要求小光斑尺寸和较好的准直性等等。微聚焦装置的产生满足了对光束小尺寸光斑、高通量面密度的需求。

目前同步辐射束线上采用较多的微聚焦装置大致可分为四类：一是Kirkpatrick-Baez镜(简称K-B镜)微聚焦装置；二是导管式微聚焦装置，又分为单管透镜和整合毛细管透镜；三是组合折射透镜式微聚焦装置；四是纯衍射型聚焦装置，主要有波带片、劳埃多层膜。K-B镜是P.Kirkpatric和A.V.Baez首先提出的以他们名字命名的聚焦成像系统，它以高传输效率(＞70％)、无色散及耐辐射等诸多反射镜的优良特性，以及工艺上易于实现、像差很小等诸多K-B结构的优点，成为当前最广泛采用的微聚焦装置。如图1a和图1b所示，K-B镜由两块独立正交放置、分别负责水平和垂直聚焦的反射镜M1、M2组成，光源source发出的光束经由反射镜M1、M2的反射，聚焦至像点focus，反射镜面形多为柱面，其成像公式为：

$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=\frac{1}{f}---\left(1\right)$

其中，p为光源到反射镜距离，q为反射镜到聚焦像点距离，f为反射镜的焦距。由于用于微聚焦的K-B镜要有较大的缩放比，入射角要限制在全反射角以内，为了保证较大的接收，又要有较大的镜子长度，因而目前广泛采用尽可能接近理想的椭圆柱面的面形来减小像差。直接加工成型椭圆柱面镜造价非常昂贵，并且焦距无法调节。而将平面镜利用压弯技术得到椭圆柱面镜，大大降低了镜子的加工难度，并且可以实现焦距在一定范围内的调节。

计算K-B聚焦理想的镜面面形的方法如下：

如图2，p为源距，q为像距，也即p、q的定义与公式(1)相同，镜面中心处光线掠入射角为θ，镜面上最大掠入射角θ_max在镜子末端位置，我们以镜子中心为原点，沿镜面长度方向为x轴、垂直中心镜面方向为y轴建立坐标系，并得到物点坐标为(-pcosθ，psinθ)，像点坐标为(qcosθ，qsinθ)。通过镜面上某点(x，y)的光线光程表达式为：

$s=\sqrt{{(x+p\cos \mathrm{\θ})}^2+{(y-p\sin \mathrm{\θ})}^2}+\sqrt{{(x-q\cos \mathrm{\θ})}^2+{(y-q\sin \mathrm{\θ})}^2}---\left(2\right)$

依费马原理，光程最短，s对x的全微分为0，得到理想椭圆方程：

$\mathrm{el}(p,q,\mathrm{\θ};x)=\frac{(p+q)((p-q)x\cos \mathrm{\θ}+2(-\mathrm{pq}+\sqrt{\mathrm{pq}(\mathrm{pq}-x^2-\mathrm{px}\cos \mathrm{\θ}+\mathrm{qx}\cos \mathrm{\θ})}))\sin \mathrm{\θ}}{-{(p+q)}^2+{(p-q)}^2\mathrm{si}{n}^2\mathrm{\θ}}---\left(3\right)$

根据材料力学梁压弯理论，压弯挠度满足以下微分方程

$y^{\′\′}\left(x\right)=\frac{M\left(x\right)}{\mathrm{EI}\left(x\right)}---\left(4\right)$

其中，x为梁上的位置，y(x)为压弯挠度，M(x)为弯矩，I(x)为惯性矩，E为杨氏模量。为了使聚焦镜压弯面形为椭圆，在镜体两端施加弯矩，两端施加弯矩则镜子上弯矩分布M(x)为一次函数M(x)＝M₀(1+k_Mx)，M₀、k_M分别为镜中心处弯矩和弯矩分布的相对斜率。镜子x处惯性矩I(x)的物理定义式为

其中，W(x)为镜子在x处的宽度，T(x)为镜子在x处的厚度。

对于等厚度镜子，T(x)为常数，则W(x)与I(x)成正比。

在保证M_d(x)＝M_0d(1+k_Mdx)＞0及梁近似的条件下，无论M_0d和k_Md取何设计值(带下标d的所有参数均代表其设计值)，镜体惯性矩分布函数I(x)的设计只需满足：

$I\left(x\right)=\frac{M_{0d}(1+k_{\mathrm{Md}}x)}{E\×{\mathrm{el}}^{\′\′}(p_d,q_d,{\mathrm{\θ}}_d;x)}---\left(5\right)$

即可保证压弯面形为理想椭圆(即y(x)＝el(p_d，q_d，θ_d；x))，也即，在所设计的聚焦条件设计值p_d、q_d和θ_d下实现无面形误差的理想聚焦。

所设计镜体加工完成后，I(x)便确定下来，若此时聚焦条件p、q或θ变化而偏离设计值(理想椭圆也偏离设计值)，可以调整聚焦镜弯矩偏离设计值(调整M0和kM偏离设计值)来适应聚焦条件的变化：

M₀＝E×I(0)×el″(p，q，θ；0)，

$k_M=\frac{I^{\′}\left(0\right)}{I\left(0\right)}+\frac{{\mathrm{el}}^{\′\′\′}(p,q,\mathrm{\θ};0)}{{\mathrm{el}}^{\′\′}(p,q,\mathrm{\θ};0)}---\left(6\right)$

经过调整弯矩偏离设计值，即可实现压弯面形三阶近似于新的理想椭圆，但仍然存在≥4阶的面形误差，即剩余面形误差，此剩余面形误差随着聚焦条件对设计值偏离量的增大而增大。

现有的k_Md设计方法是取矩形镜在该聚焦条件下的弯矩分布，即：

$k_{\mathrm{Md}}=\frac{3(p_d-q_d)\cos {\mathrm{\θ}}_d}{2p_d{q}_d}\≈\frac{3}{2}(\frac{1}{q_d}-\frac{1}{p_d})---\left(7\right)$

代入(5)式，得到现有方法的聚焦镜的几何设计，

$I\left(x\right)=$

$\frac{M_{0d}}{E(p_d+q_d)\sin {\mathrm{\θ}}_d}\×(2p_d{q}_d+3(p_d-q_d)\cos {\mathrm{\θ}}_{d}x)\×{\left(\frac{p_d{q}_d-x^2+(q_d-p_d)\cos {\mathrm{\θ}}_{d}x}{p_d{q}_d}\right)}^{3/2}$

$\≈\frac{M_{0d}(2p_d{q}_d+3(p_d-q_d)x){\left(\frac{(p_d+x)(q_d-x)}{p_d{q}_d}\right)}^{3/2}}{E(p_d+q_d)\sin {\mathrm{\θ}}_d}---\left(8\right).$

该设计方法得到的聚焦镜接近矩形，一般会节省原材料，但是该设计方法仅实现了压弯面形在设计的特定聚焦条件下为无面形误差的理想椭圆，而没有实现适用范围最大化，当聚焦条件p、q或θ改变时，面形误差迅速增大。

发明内容

本发明的目的在于提供一种具有最大适用范围的同步辐射曲边压弯聚焦镜，以解决现有曲边聚焦镜存在的当聚焦条件改变时，面形误差迅速增大的问题。

本发明的另一目的在于提供一种具有最大适用范围的同步辐射曲边压弯聚焦镜的设计方法，以解决现有设计方法存在的仅可以实现压弯面形在设计的特定聚焦条件下为无面形误差的理想椭圆，而不能实现所设计的曲边聚焦镜可以适应聚焦条件在较大范围内改变的问题。

为了实现本发明的目的，本发明提供的具有最大适用范围的同步辐射曲边聚焦镜满足理想椭圆方程：

$\mathrm{el}(p,q,\mathrm{\θ};x)=\frac{(p+q)((p-q)x\cos \mathrm{\θ}+2(-\mathrm{pq}+\sqrt{\mathrm{pq}(\mathrm{pq}-x^2-\mathrm{px}\cos \mathrm{\θ}+\mathrm{qx}\cos \mathrm{\θ})}))\sin \mathrm{\θ}}{-{(p+q)}^2+{(p-q)}^2{\sin }^2\mathrm{\θ}};$

其中，该聚焦镜对源距适用范围优化的惯性矩分布函数为：

$I\left(x\right)=\frac{M_{0d}}{E(p_d+q_d)\sin {\mathrm{\θ}}_d\cos {\mathrm{\θ}}_d}\×(2p_d{q}_d\cos {\mathrm{\θ}}_d+(p_d+q_d+(q_d-p_d)\cos 2{\mathrm{\θ}}_d)x)$

$\×{\left(\frac{p_d{q}_d-x^2+(q_d-p_d)\cos {\mathrm{\θ}}_{d}x}{p_d{q}_d}\right)}^{3/2}$

$\≈\frac{2M_{0d}{q}_d(p_d+x){\left(\frac{(p_d+x)(q_d-x)}{p_d{q}_d}\right)}^{3/2}}{E(p_d+q_d)\sin {\mathrm{\θ}}_d}.$

其中，x为以聚焦镜中心为原点，沿聚焦镜长度方向的位置坐标，p、q、θ分别为源距、像距、镜面中心处光线掠入射角，M_0d为镜子中心处弯矩设计值，p_d、q_d、θ_d分别为源距、像距、镜面中心处光线掠入射角的设计值，E为杨氏模量。

为了实现本发明的目的，本发明提供的具有最大适用范围的同步辐射曲边聚焦镜满足理想椭圆方程：

$\mathrm{el}(p,q,\mathrm{\θ};x)=\frac{(p+q)((p-q)x\cos \mathrm{\θ}+2(-\mathrm{pq}+\sqrt{\mathrm{pq}(\mathrm{pq}-x^2-\mathrm{px}\cos \mathrm{\θ}+\mathrm{qx}\cos \mathrm{\θ})}))\sin \mathrm{\θ}}{-{(p+q)}^2+{(p-q)}^2{\sin }^2\mathrm{\θ}};$

其中，该聚焦镜对像距适用范围优化的惯性矩分布函数为：

$I\left(x\right)=\frac{M_{0d}}{E(p_d+q_d)\sin {\mathrm{\θ}}_d\cos {\mathrm{\θ}}_d}\×(2p_d{q}_d\cos {\mathrm{\θ}}_d-(p_d+q_d+(q_d-p_d)\cos 2{\mathrm{\θ}}_d)x)$

$\×{\left(\frac{p_d{q}_d-x^2+(q_d-p_d)\cos {\mathrm{\θ}}_{d}x}{p_d{q}_d}\right)}^{3/2}$

$\≈\frac{2M_{0d}{p}_d(q_d-x){\left(\frac{(p_d+x)(q_d-x)}{p_d{q}_d}\right)}^{3/2}}{E(p_d+q_d)\sin {\mathrm{\θ}}_d};$

其中，x为以聚焦镜中心为原点，沿聚焦镜长度方向的位置坐标，p、q、θ分别为源距、像距、镜面中心处光线掠入射角，M_0d为镜子中心处弯矩设计值，p_d、q_d、θ_d分别为源距、像距、镜面中心处光线掠入射角的设计值，E为杨氏模量。

为了实现本发明的目的，本发明提供的具有最大适用范围的同步辐射曲边聚焦镜满足理想椭圆方程：

$\mathrm{el}(p,q,\mathrm{\θ};x)=\frac{(p+q)((p-q)x\cos \mathrm{\θ}+2(-\mathrm{pq}+\sqrt{\mathrm{pq}(\mathrm{pq}-x^2-\mathrm{px}\cos \mathrm{\θ}+\mathrm{qx}\cos \mathrm{\θ})}))\sin \mathrm{\θ}}{-{(p+q)}^2+{(p-q)}^2{\sin }^2\mathrm{\θ}};$

其中，该聚焦镜对掠入射角适用范围优化的惯性矩分布函数为：

$I\left(x\right)=\frac{{2M}_{0d}}{E(p_d+q_d)\sin {\mathrm{\θ}}_d}\×(p_d{q}_d+(q_d-p_d)\cos {\mathrm{\θ}}_{d}x)$

$\×{\left(\frac{p_d{q}_d-x^2+(q_d-p_d)\cos {\mathrm{\θ}}_{d}x}{p_d{q}_d}\right)}^{3/2}$

$\≈\frac{2M_{0d}(p_d{q}_d+(q_d-p_d)x){\left(\frac{(p_d+x)(q_d-x)}{p_d{q}_d}\right)}^{3/2}}{E(p_d+q_d)\sin {\mathrm{\θ}}_d}.$

其中，x为以聚焦镜中心为原点，沿曲边聚焦镜的长度方向为x轴建立的xy直角坐标系，p、q、θ分别为源距、像距、镜面中心处光线掠入射角，M_0d为镜子中心处弯矩设计值，p_d、q_d、θ_d分别为源距、像距、镜面中心处光线掠入射角的设计值，E为杨氏模量。

上述三种最大适用范围的曲边压弯聚焦镜，采用两端施加弯矩方式，其弯矩在镜面上分布M(x)＝M₀(1+k_Mx)，其中镜子中心处弯矩值M₀、弯矩分布的相对斜率k_M满足：

M₀＝E×I(0)×el″(p，q，θ；0)；

$k_M=\frac{I^{\′}\left(0\right)}{I\left(0\right)}+\frac{{\mathrm{el}}^{\′\′\′}(p,q,\mathrm{\θ};0)}{{\mathrm{el}}^{\′\′}(p,q,\mathrm{\θ};0)}.$

为了实现本发明的目的，本发明提供的同步辐射曲边聚焦镜的最大适用范围设计方法，包括以下步骤：

建立镜面的理想椭圆方程：

$\mathrm{el}(p,q,\mathrm{\θ};x)=\frac{(p+q)((p-q)x\cos \mathrm{\θ}+2(-\mathrm{pq}+\sqrt{\mathrm{pq}(\mathrm{pq}-x^2-\mathrm{px}\cos \mathrm{\θ}+\mathrm{qx}\cos \mathrm{\θ})}))\sin \mathrm{\θ}}{-{(p+q)}^2+{(p-q)}^2{\sin }^2\mathrm{\θ}};$

建立镜体压弯挠度微分方程：其中，弯矩分布函数M(x)＝M₀(1+k_Mx)，I(x)为惯性矩分布函数；得到压弯面形为理想椭圆、符合梁近似镜体的惯性矩分布设计函数

其中，还包括以下计算：聚焦条件偏离设计值时，调整聚焦镜弯矩偏离设计值以适应聚焦条件的变化：M₀＝E×I(0)×el″(p，q，θ；0)，

计算弯矩调整后的主要剩余面形误差函数；使该主要剩余面形误差函数分别对聚焦条件p、q、θ的导数在设计值处为零，并基于

得到针对该聚焦条件优化的k_Md，即压弯力学设计，然后代入所述惯性矩分布设计函数以取得聚焦镜的几何设计；其中，x为以聚焦镜中心为原点，沿聚焦镜长度方向的位置坐标，p、q、θ分别为源距、像距、镜面中心处光线掠入射角，M₀为镜子中心处弯矩，k_M为弯矩分布的相对斜率，p_d、q_d、θ_d分别为源距、像距、镜面中心处光线掠入射角的设计值，M_0d为镜子中心处弯矩设计值，k_Md为弯矩分布相对斜率的设计值，E为杨氏模量。

本发明的曲边压弯聚焦镜在所设计的聚焦条件下没有面形误差，当聚焦条件改变时，通过调整弯矩可以大幅消除面形误差，使剩余面形误差的最主要部分(第4阶面形误差)在设计处对聚焦条件的导数为零，在设计位置附近随聚焦条件改变而上升得最缓慢。这样本发明即可实现曲边聚焦镜对某个聚焦条件的适用范围最大化。并且本发明提供的设计思想不仅适用于同步辐射曲边压弯K-B聚焦镜，还适用于其他同步辐射压弯式曲边聚焦镜。

附图说明

图1a和图1b分别为显示K-B镜聚焦原理的侧视示意图和俯视示意图；

图2为K-B聚焦镜理想面形结构示意图；

图3示出了现有设计方法的镜体设计；

图4示出了本发明实施例针对源距p的最大适用范围设计方法的镜体设计；

图5示出了本发明实施例针对像距q的最大适用范围设计方法的镜体设计；

图6示出了本发明实施例针对掠入射角θ的最大适用范围设计方法的镜体设计；

图7示出了本发明实施例中不同k_Md值对应的p、q、θ变化时的斜率误差RMS；

图8a示出了本发明实施例中源距p变化时的斜率误差RMS；

图8b示出了本发明实施例中像距q变化时的斜率误差RMS；

图8c示出了本发明实施例中镜面中心处光线掠入射角θ变化时的斜率误差RMS。

具体实施方式

下面结合符合和具体实施方式对本发明做进一步详细说明。

本发明的基本设计思想为：弯矩分布相对斜率设计值k_Md会影响聚焦条件改变时的剩余面形误差的大小，即影响聚焦镜对聚焦条件p、q或θ偏离设计值的适用范围。通过取合适的k_Md，使弯矩调整后的主要(第4阶)剩余面形误差对聚焦条件p、q或θ的导数在设计值处为零，从而使剩余面型误差在设计聚焦条件附近最小。因此凡是利用了该思想的发明都应属于本发明的保护范围。

如前所述，曲边压弯镜在所设计的聚焦条件下没有任何面形误差，当聚焦条件改变时，通过调整及弯矩可以消除低阶(0～3阶)面形误差，而第4及更高阶的面形误差无法消除。本发明的最大适用范围设计方法可以使剩余面形误差的最主要部分(第4阶面形误差)在设计值处对聚焦条件的导数为零，即在设计位置附近随聚焦条件改变而上升得最缓慢。这样可使聚焦镜对某个聚焦条件的适用范围最大化。

下面给出详细计算过程：

由(4)、(6)式，得第4阶剩余面形误差为：

${\mathrm{Err}}_4\left(x\right)=-(\frac{{\mathrm{el}}^{\′\′}(p,q,\mathrm{\θ};0)I^{\′\′}\left(0\right)+2I^{\′}\left(0\right){\mathrm{el}}^{\left(3\right)}(p,q,\mathrm{\θ};0)}{24I\left(0\right)}+{\mathrm{el}}^{\left(4\right)}(p,q,\mathrm{\θ};0))x^4---\left(9\right)$

再将(5)式代入(9)式，分别求其对p、q和θ的导数，并解其在设计聚焦条件处为零的方程，并根据

得：

1、针对p范围优化设计的k_Md值为：

$k_{\mathrm{Md}}=\frac{\cos {\mathrm{\θ}}_d}{p_d}+\frac{\sin {\mathrm{\θ}}_d\tan {\mathrm{\θ}}_d}{q_d}\≈\frac{1}{p_d},---\left(10\right)$

代入(5)式，得到聚焦镜的几何设计：

$I\left(x\right)=\frac{M_{0d}}{E(p_d+q_d)\sin {\mathrm{\θ}}_d\cos {\mathrm{\θ}}_d}\×(2p_d{q}_d\cos {\mathrm{\θ}}_d+(p_d+q_d+(q_d-p_d)\cos 2{\mathrm{\θ}}_d)x)$

$\×{\left(\frac{p_d{q}_d-x^2+(q_d-p_d)\cos {\mathrm{\θ}}_{d}x}{p_d{q}_d}\right)}^{3/2}---\left(11\right)$

$\≈\frac{2M_{0d}{q}_d(p_d+x){\left(\frac{(p_d+x)(q_d-x)}{p_d{q}_d}\right)}^{3/2}}{E(p_d+q_d)\sin {\mathrm{\θ}}_d}.$

2、针对q范围优化设计的k_Md值为：

$k_{\mathrm{Md}}=-\frac{\cos {\mathrm{\θ}}_d}{q_d}-\frac{\sin {\mathrm{\θ}}_d\tan {\mathrm{\θ}}_d}{p_d}\≈-\frac{1}{q_d},---\left(12\right)$

代入(5)式，得到聚焦镜的几何设计：

$I\left(x\right)=\frac{M_{0d}}{E(p_d+q_d)\sin {\mathrm{\θ}}_d\cos {\mathrm{\θ}}_d}\×(2p_d{q}_d\cos {\mathrm{\θ}}_d-(p_d+q_d+(q_d-p_d)\cos 2{\mathrm{\θ}}_d)x)$

$\×{\left(\frac{p_d{q}_d-x^2+(q_d-p_d)\cos {\mathrm{\θ}}_{d}x}{p_d{q}_d}\right)}^{3/2}---\left(13\right)$

$\≈\frac{2M_{0d}{p}_d(q_d+x){\left(\frac{(p_d+x)(q_d-x)}{p_d{q}_d}\right)}^{3/2}}{E(p_d+q_d)\sin {\mathrm{\θ}}_d}.$

3、针对θ范围优化设计的k_Md值为：

$k_{\mathrm{Md}}=(\frac{1}{p_d}-\frac{1}{q_d})\cos {\mathrm{\θ}}_d\≈\frac{1}{p_d}-\frac{1}{q_d},---\left(14\right)$

代入(5)式，得到聚焦镜的几何设计：

$I\left(x\right)=\frac{2M_{0d}}{E(p_d+q_d)\sin {\mathrm{\θ}}_d}\×(p_d{q}_d+(q_d-p_d)\cos {\mathrm{\θ}}_{d}x)$

$\×{\left(\frac{p_d{q}_d-x^2+(q_d-p_d)\cos {\mathrm{\θ}}_{d}x}{p_d{q}_d}\right)}^{3/2}$

$\≈\frac{2M_{0d}(p_d{q}_d+(q_d-p_d)x){\left(\frac{p_d+x(q_d-x)}{p_d{q}_d}\right)}^{3/2}}{E(p_d+q_d)\sin {\mathrm{\θ}}_d}---\left(15\right).$

以上详细描述了针对每个单一聚焦条件的最大适用范围的镜体几何设计，可以在不同实际需求情况下进行选择。对于一般同步辐射微聚焦K-B镜的聚焦条件，聚焦镜对像距q的适应性较差，适用范围较小。因此，如需考虑多个聚焦条件的适用范围共同优化的设计，在权衡时可牺牲一些其他聚焦条件的适用范围而着重考虑针对像距q范围的优化设计。

下面以p_d＝20.3m，q_d＝0.18m，L＝0.2m，θ_d＝0.002165rad为例，详细示出现有设计方法的和本发明实施例提供的设计方法的显著差别，其中L为聚焦镜在x轴上的投影长度：

(1)利用传统设计方法：k_Md＝8.259m^-1，

I(x)E/M_0d[m]＝

                                         ，如图3所示。

23.59(1+8.259x[m])((0.18-x[m])(20.3+x[m]))^3/2

(2)本发明实施例针对p的最大适用范围设计方法：k_Md＝0.04929m^-1，

I(x)E/M_0d[m]＝

                                            ，如图4所示。

23.59(1+0.04929x[m])((0.18-x[m])(20.3+x[m]))^3/2

(3)本发明实施例针对q的最大适用范围设计方法：k_Md＝-5.556m^-1，

I(x)E/M_0d[m]＝

                                             ，如图5所示。

23.59(1+5.556x[m])((0.18-x[m])(20.3+x[m]))^3/2

(4)本发明实施例针对θ的最大适用范围设计方法：k_Md＝-5.506m^-1，

I(x)E/M_0d[m]＝

                                            ，如图6所示。

23.59(1-5.506x[m])((0.18-x[m])(20.3+x[m]))^3/2

如前所述，若需考虑多个聚焦条件共同优化的设计，可着重考虑针对q范围的优化设计。本实施例中，针对p、q和θ共同优化的设计可简单取为(3)中所述针对q的最大适用范围设计。

图7示出了本发明实施例中不同k_Md值对应的聚焦条件p、q、θ变化时的斜率误差(slope error)均方根(root mean square，简称RMS)。下面将描述上述实施例中当聚焦条件变化时，针对单聚焦条件的最大适用范围设计、多聚焦条件适用范围的共同优化设计和现有设计的剩余面形斜率误差RMS(镜面上各位置处剩余面形斜率误差的均方根)对比，如图8a、图8b和图8c所示，可以明显得知本发明的有益效果，将图8a-8c中结果总结列表如下：

从上表可见，本实施例中，本发明针对某个聚焦条件的最大适用范围设计方法与现有设计方法相比，适用范围大幅增加。在单一聚焦条件优化的基础上，共同优化设计牺牲了小部分原本很充裕的p及θ适用范围，而大大优化了q的适用范围；从而使得p、q及θ的调节范围都较充裕。

综上所述，本发明提供的同步辐射曲边压弯聚焦镜及其设计方法可以使曲边聚焦镜在聚焦条件设计值处没有面形误差，而且在聚焦条件改变时，通过适当改变弯矩即可实现最大幅度消除面形误差，明显的增加曲边聚焦镜的适用范围。

由技术常识可知，本发明可以通过其它的不脱离其精神实质或必要特征的实施方案来实现。因此，上述公开的实施方案，就各方面而言，都只是举例说明，并不是仅有的。所有在本发明范围内或在等同于本发明的范围内的改变均被本发明包含。

Claims (10)

1.一种具有最大适用范围的同步辐射曲边聚焦镜，该聚焦镜的压弯面形满足理想椭圆方程：

$\mathrm{el}(p,q,\mathrm{\θ};x)=\frac{(p+q)((p-q)x\cos \mathrm{\θ}+2(-\mathrm{pq}+\sqrt{\mathrm{pq}(\mathrm{pq}-x^2-\mathrm{px}\cos \mathrm{\θ}+\mathrm{qx}\cos \mathrm{\θ})}))\sin \mathrm{\θ}}{-{(p+q)}^2+{(p-q)}^2\mathrm{si}{n}^2\mathrm{\θ}};$

其特征在于：该聚焦镜对源距适用范围优化的惯性矩分布函数为：

$I\left(x\right)=\frac{M_{0d}}{E(p_d+q_d)\sin {\mathrm{\θ}}_d\cos {\mathrm{\θ}}_d}\×(2p_d{q}_d\cos {\mathrm{\θ}}_d+(p_d+q_d+(q_d-p_d)\cos 2{\mathrm{\θ}}_d)x)$

$\×{\left(\frac{p_d{q}_d-x^2+(q_d-p_d)\cos {\mathrm{\θ}}_{d}x}{p_d{q}_d}\right)}^{3/2}$

$\≈\frac{2M_{0d}{q}_d(p_d+x){\left(\frac{(p_d+x)(q_d-x)}{p_d{q}_d}\right)}^{3/2}}{E(p_d+q_d)\sin {\mathrm{\θ}}_d};$

两端施加弯矩满足弯矩在镜面上分布M(x)＝M₀(1+k_Mx)，其中镜子中心处弯矩值M₀、弯矩分布的相对斜率k_M满足：

M₀＝E×I(0)×el″(p，q，θ；0)；

$k_M=\frac{I^{\′}\left(0\right)}{I\left(0\right)}+\frac{{\mathrm{el}}^{\′\′\′}(p,q,\mathrm{\θ};0)}{{\mathrm{el}}^{\′\′}(p,q,\mathrm{\θ};0)};$

其中，x为以聚焦镜中心为原点，沿聚焦镜长度方向的位置坐标，p、q、θ分别为源距、像距、镜面中心处光线掠入射角，M_0d为镜子中心处弯矩设计值，p_d、q_d、θ_d分别为源距、像距、镜面中心处光线掠入射角的设计值，E为杨氏模量。

2.一种具有最大适用范围的同步辐射曲边聚焦镜，该聚焦镜的压弯面形满足理想椭圆方程：

$\mathrm{el}(p,q,\mathrm{\θ};x)=\frac{(p+q)((p-q)x\cos \mathrm{\θ}+2(-\mathrm{pq}+\sqrt{\mathrm{pq}(\mathrm{pq}-x^2+\mathrm{px}\cos \mathrm{\θ}+\mathrm{qx}\cos \mathrm{\θ})}))\sin \mathrm{\θ}}{-{(p+q)}^2+{(p-q)}^2\mathrm{si}{n}^2\mathrm{\θ}};$

其特征在于：该聚焦镜对像距适用范围优化的惯性矩分布函数为：

$I\left(x\right)=\frac{M_{0d}}{E(p_d+q_d)\sin {\mathrm{\θ}}_d\cos {\mathrm{\θ}}_d}\×(2p_d{q}_d\cos {\mathrm{\θ}}_d-(p_d+q_d+(q_d-p_d)\cos 2{\mathrm{\θ}}_d)x)$

$\×{\left(\frac{p_d{q}_d-x^2+(q_d-p_d)\cos {\mathrm{\θ}}_{d}x}{p_d{q}_d}\right)}^{3/2}$

$\≈\frac{2M_{0d}{p}_d(q_d-x){\left(\frac{(p_d+x)(q_d-x)}{p_d{q}_d}\right)}^{3/2}}{E(p_d+q_d)\sin {\mathrm{\θ}}_d};$

两端施加弯矩满足弯矩在镜面上分布M(x)＝M₀(1+k_Mx)，其中镜子中心处弯矩值M₀、弯矩分布的相对斜率k_M满足：

M₀＝E×I(0)×el″(p，q，θ；0)；

$k_M=\frac{I^{\′}\left(0\right)}{I\left(0\right)}+\frac{{\mathrm{el}}^{\′\′\′}(p,q,\mathrm{\θ};0)}{{\mathrm{el}}^{\′\′}(p,q,\mathrm{\θ};0)};$

其中，x为以聚焦镜中心为原点，沿聚焦镜长度方向的位置坐标，p、q、θ分别为源距、像距、镜面中心处光线掠入射角，M_0d为镜子中心处弯矩设计值，p_d、q_d、θ_d分别为源距、像距、镜面中心处光线掠入射角的设计值，E为杨氏模量。

3.一种具有最大适用范围的同步辐射曲边聚焦镜，该聚焦镜的压弯面形满足理想椭圆方程：

$\mathrm{el}(p,q,\mathrm{\θ};x)=\frac{(p+q)((p-q)x\cos \mathrm{\θ}+2(-\mathrm{pq}+\sqrt{\mathrm{pq}(\mathrm{pq}-x^2-\mathrm{px}\cos \mathrm{\θ}+\mathrm{qx}\cos \mathrm{\θ})}))\sin \mathrm{\θ}}{-{(p+q)}^2+{(p-q)}^2\mathrm{si}{n}^2\mathrm{\θ}};$

其特征在于：该聚焦镜对掠入射角适用范围优化的惯性矩分布函数为：

$I\left(x\right)=\frac{2M_{0d}}{E(p_d+q_d)\sin {\mathrm{\θ}}_d}\×(p_d{q}_d+(q_d-p_d)\cos 2{\mathrm{\θ}}_{d}x)$

$\×{\left(\frac{p_d{q}_d-x^2+(q_d-p_d)\cos {\mathrm{\θ}}_{d}x}{p_d{q}_d}\right)}^{3/2}$

$\≈\frac{2M_{0d}(p_d{q}_d+(q_d-p_d)x){\left(\frac{(p_d+x)(q_d-x)}{p_d{q}_d}\right)}^{3/2}}{E(p_d+q_d)\sin {\mathrm{\θ}}_d};$

两端施加弯矩满足弯矩在镜面上分布M(x)＝M₀(1+k_Mx)，其中镜子中心处弯矩值M₀、弯矩分布的相对斜率k_M满足：

M₀＝E×I(0)×el″(p，q，θ；0)；

$k_M=\frac{I^{\′}\left(0\right)}{I\left(0\right)}+\frac{{\mathrm{el}}^{\′\′\′}(p,q,\mathrm{\θ};0)}{{\mathrm{el}}^{\′\′}(p,q,\mathrm{\θ};0)};$

其中，x为以聚焦镜中心为原点，沿聚焦镜长度方向的位置坐标，p、q、θ分别为源距、像距、镜面中心处光线掠入射角，M_0d为镜子中心处弯矩设计值，p_d、q_d、θ_d分别为源距、像距、镜面中心处光线掠入射角的设计值，E为杨氏模量。

4.一种同步辐射曲边聚焦镜的最大适用范围设计方法，包括以下步骤：

建立镜面的理想椭圆方程：

$\mathrm{el}(p,q,\mathrm{\θ};x)=\frac{(p+q)((p-q)x\cos \mathrm{\θ}+2(-\mathrm{pq}+\sqrt{\mathrm{pq}(\mathrm{pq}-x^2-\mathrm{px}\cos \mathrm{\θ}+\mathrm{qx}\cos \mathrm{\θ})}))\sin \mathrm{\θ}}{-{(p+q)}^2+{(p-q)}^2\mathrm{si}{n}^2\mathrm{\θ}};$

建立镜体压弯挠度微分方程：

其中，弯矩分布函数M(x)＝M₀(1+k_Mx)，I(x)为惯性矩分布函数；

得到满足压弯面形为理想椭圆、符合梁近似镜体的惯性矩分布设计函数：

$I\left(x\right)=\frac{M_{0d}(1+k_{\mathrm{Md}}x)}{E\×{\mathrm{el}}^{\′\′}(p_d,q_d,{\mathrm{\θ}}_d;x)};$

其特征在于，还包括以下步骤：聚焦条件偏离设计值时，调整聚焦镜镜弯矩偏离设计值以适应聚焦条件的变化：

M₀＝E×I(0)×el″(p，q，θ；0)，

并计算主要剩余面形误差函数；

使该主要剩余面形误差函数分别对聚焦条件p、q、θ的导数在设计值处为零，并基于

得到针对该聚焦条件优化的k_Md值，然后代入所述惯性矩分布设计函数以取得聚焦镜的几何设计；

其中，x为以聚焦镜中心为原点，沿聚焦镜长度方向的位置坐标，p、q、θ分别为源距、像距、镜面中心处光线掠入射角，M₀为镜子中心处弯矩，k_M为弯矩分布的相对斜率，p_d、q_d、θ_d分别为源距、像距、镜面中心处光线掠入射角的设计值，M_0d为镜子中心处弯矩设计值，k_Md为弯矩分布相对斜率的设计值，E为杨氏模量。

5.根据权利要求4所述的同步辐射曲边聚焦镜的最大适用范围设计方法，其特征在于，所述主要剩余面形误差函数为第4阶剩余面形误差函数：

${\mathrm{Err}}_4\left(x\right)=-(\frac{{\mathrm{el}}^{\′\′}(p,q,\mathrm{\θ};0)I^{\′\′}\left(0\right)+2I^{\′}\left(0\right){\mathrm{el}}^{\left(3\right)}(p,q,\mathrm{\θ};0)}{24I\left(0\right)}+{\mathrm{el}}^{\left(4\right)}(p,q,\mathrm{\θ};0))x^4.$

6.根据权利要求5所述的同步辐射曲边聚焦镜的最大适用范围设计方法，其特征在于，在获得所述第4阶剩余面形误差函数之后，将惯性矩分布设计函数

代入所述第4阶剩余面形误差函数，分别求其对聚焦条件p、q和θ的导数，并解该导数在聚焦条件设计值处为零的方程以求得相应的弯矩分布相对斜率设计值k_Md。

7.根据权利要求6所述的同步辐射曲边聚焦镜的最大适用范围设计方法，其特征在于，针对p范围优化设计的k_Md值为：

$k_{\mathrm{Md}}=\frac{\cos {\mathrm{\θ}}_d}{p_d}+\frac{\sin {\mathrm{\θ}}_d\tan {\mathrm{\θ}}_d}{q_d}\≈\frac{1}{p_d},$

并代入所述惯性矩分布函数，得到聚焦镜的几何设计：

$I\left(x\right)=\frac{M_{0d}}{E(p_d+q_d)\sin {\mathrm{\θ}}_d\cos {\mathrm{\θ}}_d}\×(2p_d{q}_d\cos {\mathrm{\θ}}_d+(p_d+q_d+(q_d-p_d)\cos 2{\mathrm{\θ}}_d)x)$

$\×{\left(\frac{p_d{q}_d-x^2+(q_d-p_d)\cos {\mathrm{\θ}}_{d}x}{p_d{q}_d}\right)}^{3/2}$

$\≈\frac{2M_{0d}{q}_d(p_d+x){\left(\frac{(p_d+x)(q_d-x)}{p_d{q}_d}\right)}^{3/2}}{E(p_d+q_d)\sin {\mathrm{\θ}}_d}.$

8.根据权利要求6所述的同步辐射曲边聚焦镜的最大适用范围设计方法，其特征在于，针对q范围优化设计的k_Md值为：

$k_{\mathrm{Md}}=-\frac{\cos {\mathrm{\θ}}_d}{q_d}-\frac{\sin {\mathrm{\θ}}_d\tan {\mathrm{\θ}}_d}{p_d}\≈-\frac{1}{q_d},$

代入所述惯性矩分布函数，得到聚焦镜的几何设计：

$I\left(x\right)=\frac{M_{0d}}{E(p_d+q_d)\sin {\mathrm{\θ}}_d\cos {\mathrm{\θ}}_d}\×(2p_d{q}_d\cos {\mathrm{\θ}}_d-(p_d+q_d+(q_d-p_d)\cos 2{\mathrm{\θ}}_d)x)$

$\×{\left(\frac{p_d{q}_d-x^2+(q_d-p_d)\cos {\mathrm{\θ}}_{d}x}{p_d{q}_d}\right)}^{3/2}$

$\≈\frac{2M_{0d}{p}_d(q_d-x){\left(\frac{(p_d+x)(q_d-x)}{p_d{q}_d}\right)}^{3/2}}{E(p_d+q_d)\sin {\mathrm{\θ}}_d}.$

9.根据权利要求6所述的同步辐射曲边聚焦镜的最大适用范围设计方法，其特征在于，针对θ范围优化设计的k_Md值为：

$k_{\mathrm{Md}}=(\frac{1}{p_d}-\frac{1}{q_d})\cos {\mathrm{\θ}}_d\≈\frac{1}{p_d}-\frac{1}{q_d},$

代入所述惯性矩分布函数，得到聚焦镜的几何设计：

$I\left(x\right)=\frac{2M_{0d}}{E(p_d+q_d)\sin {\mathrm{\θ}}_d}\×(p_d{q}_d+(q_d-p_d)\cos {\mathrm{\θ}}_{d}x)$

$\×{\left(\frac{p_d{q}_d-x^2+(q_d-p_d)\cos {\mathrm{\θ}}_{d}x}{p_d{q}_d}\right)}^{3/2}$

$\≈\frac{2M_{0d}(p_d{q}_d+(q_d-p_d)x){\left(\frac{(p_d+x)(q_d-x)}{p_d{q}_d}\right)}^{3/2}}{E(p_d+q_d)\sin {\mathrm{\θ}}_d}.$

10.根据权利要求6所述的同步辐射曲边聚焦镜的最大适用范围设计方法，其特征在于，若需要针对三个聚焦条件共同优化设计，则取为针对q的最大适用范围设计。

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