CN102063524B - 一种基于改进自适应重要抽样的性能可靠性仿真方法 - Google Patents

Abstract

一种基于改进自适应重要抽样的性能可靠性仿真方法，该方法依照下述四个阶段进行：第一阶段：抽取初始失效样本，以参数原始均值为采样中心，原始方差的1-3倍为采样协方差，进行随机搜索，并通过迭代找到初始失效样本；第二阶段：抽取一批失效样本，以第一阶段搜索到的失效样本作为第二阶段的初始采样中心进行随机抽样，并在下一次的循环中，调整采样中心，循环至抽取到指定数目的失效样本；第三阶段：自适应重要抽样，根据第二阶段抽取到的失效样本，计算第三阶段的初始采样中心和初始采样协方差，进行循环抽样仿真；第四阶段：统计计算，完成一次抽样后，重新计算采样中心和采样协方差，当失效概率的仿真结果趋于稳定时，停止仿真，完成自适应重要抽样的性能可靠性仿真。

Description

一种基于改进自适应重要抽样的性能可靠性仿真方法

所属技术领域

本发明提供一种基于改进自适应重要抽样的性能可靠性仿真方法，它属于系统可靠性仿真分析领域的一种高效率、高精度仿真方法，注重于解决系统显性失效方程不存在时的性能可靠性分析问题，属于可靠性工程技术领域。

背景技术

随着系统复杂程度越来越高，利用传统的可靠性分析方法往往无法对系统进行有效的分析，因此在工程中越来越多地借助仿真手段。利用计算机模拟，对系统进行可靠性分析，最常用的方法是蒙特卡洛仿真(Monte Carlo Simulation，MCS)。基于大数定律的MCS在可靠性分析中尽管简单易行，适用性广，但是在估计小概率事件发生的概率时，需要进行数目非常庞大的仿真实验，才能得到有价值的结果，这就需要耗费大量的计算机和人力资源，有时甚至会超出计算机的承受能力。于是有研究者提出了改进MCS效率的方法，其中重要抽样(ImportanceSampling，IS)方法是常用的一种方差缩减技术。

IS方法的主要思想是通过尺度变换来修改决定仿真输出结果的概率测度，使本来发生概率很小的事件频繁发生。通过修改后的概率密度函数，即重要抽样函数进行抽样，得到以较高概率出现的样本；然后通过对其输出结果加权来补偿由修改密度函数带来的偏差；按照这种思想，就能在较短时间内得到小概率事件。然而IS抽样对抽样函数的依赖性非常高，不理想的抽样函数会影响结果的收敛性，甚至无法得到预期的结果。

自适应重要抽样算法(Adaptive importance sampling，AIS)是在重要抽样方法(即IS方法)的基础上采用迭代方式不断对重要抽样函数进行修改，使其逐渐逼近最优的重要抽样函数。AIS算法在估计重要抽样密度函数时，通常是利用失效样本进行的。失效样本可以根据原始概率密度函数随机搜索，或存在显式的失效方程时自己赋值。然而对于系统中的小概率事件，而且系统并不存在显式失效方程时，此方法和MCS获得事件发生率一样困难。因此，针对此问题提出本发明方法。

发明内容

本发明的目的是：是提供一种基于改进自适应重要抽样的性能可靠性仿真方法，以提高仿真效率、精度和解决系统的显性失效方程不存在时的性能可靠性仿真问题。

本发明的技术方案：

本发明一种基于改进自适应重要抽样的性能可靠性仿真方法，该方法首先通过条件递归方式快速找到失效点，并且使这个失效点尽可能地靠近设计点；然后再次递归产生一组失效样本；最后再利用这组失效样本来估计IS密度函数的参数，并且执行随后的自适应迭代过程。该方法对失效点的寻找并不依赖于失效方程，且能够快速向失效面靠近。由于获取的失效点在设计点附近，因此通过失效样本估计的IS密度函数的初始参数对算法的收敛时间和失效概率估计的精度都能起到很好的影响。

本发明一种基于改进自适应重要抽样的性能可靠性仿真方法，该方法依照下述四个阶段进行。

1、抽取初始失效样本：采用条件递归方法产生初始失效点，初始失效样本的选择对于算法的收敛有关键作用，应使其尽可能地靠近失效面上的设计点；

2、抽取一批失效样本：如果初始样本选择不合理，则会影响AIS迭代过程的收敛时间和结果精度，因此预抽取一批失效样本，并将失效样本的均值和协方差的估计值作为重要抽样密度函数的初始参数；

3、自适应重要抽样：根据抽取到的失效样本，计算初始采样中心和初始采样协方差，即重要抽样函数的初始参数；

4、统计计算：完成抽样后，计算采样中心值和采样协方差，并作为下次循环的采样中心和协方差，并计算系统性能可靠度和容许误差，如果误差在容许范围之内，则停止计算。

其详细步骤如下：

第一阶段：抽取初始失效样本

初始失效样本的选择对于算法的收敛有关键作用，应使其尽可能地靠近失效面上的设计点。

以原始概率密度函数的均值μ为采样中心，原方差σ的1-3倍作为采样协方差，进行随机搜索得随机参数向量样本X_i＝[x_1ix_2i...x_Li]，仿真，得性能结果θ_i。给定误差限ζ，判断θ_i和失效阈值θ_f的距离是否在给定误差限内，即|θ_i-θ_f|＜ζ？若是则判断系统是否失效，是则进入第二个阶段，否则继续循环。在下一次的循环中，对采样中心μ进行调整，μ_i＝argmin(|θ(μ_i-1)-θ_f|，|θ(X_i-1)-θ_f|)，即将性能结果|θ(μ_i-1)-θ_f|和|θ(X_i-1)-θ_f|进行比较。若|θ(μ_i-1)-θ_f|＞|θ(X_i-1)-θ_f|，说明抽样值X_i-1比采样中心μ_i-1更靠近失效面，则将X_i-1作为下次抽样的中心；否则仍然以μ_i-1作为采样中心。

第二阶段：抽取一批失效样本

抽取完初始失效样本后，进入第二个阶段。以第一阶段搜索到的失效样本作为第二阶段的初始采样中心，仿真并计算其概率密度f(X_j)。判断系统是否失效，是则令失效样本个数M＝M+1；判断M是否达到指定失效样本个数N_r，是则进入第三阶段，否则继续循环。在下一次的循环中，对采样中心μ进行调整，μ_i+1＝argmax(f(X_i-1)，f(μ_i-1))，选择概率密度值大者作为新的采样中心，循环至抽取到N_r个失效样本，进入第三阶段。

第三阶段：自适应重要抽样

根据第二阶段抽取到的N_r个失效样本，分别利用下列式(1)和式(2)计算第三阶段的初始采样中心μ_f(1)和初始采样协方差σ_f ²(1)，即重要抽样函数h(.)的初始参数。令循环次数L＝1(每次仿真Nf次)，失效概率在指定误差内的循环次数s＝0。

${\widehat{\mathrm{\μ}}}_f=\frac{1}{N_s}\underset{i=1}{\overset{N_r}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i^f---\left(1\right)$

${\widehat{\mathrm{\σ}}}_f^2=\frac{1}{N_r}\mathrm{diag}\{{\widehat{\mathrm{\σ}}}_{1,f}^2,{\widehat{\mathrm{\σ}}}_{2,f}^2,...{\widehat{\mathrm{\σ}}}_{n,f}^2\}---\left(2\right)$

重要抽样函数h(.)为：

h(X)＝I(X)f(X)/P_f    (3)

其中P_f为系统性能可靠度，I(X)为示性函数，即对于失效阈值θ_f，若性能结果θ大于(或小于)θ_f时，系统为失效，此时I(X)为1，否则为0，即

$I\left(X\right)=\left\{\begin{array}{cc}1,& \mathrm{\&theta;}\&GreaterEqual;{\mathrm{\&theta;}}_f\\ 0,& \mathrm{\&theta;}<{\mathrm{\&theta;}}_f\end{array}\right.---\left(4\right)$

采用蒙特卡洛数值求解系统性能可靠度，通常是利用概率密度函数f(X)抽取足够多的样本值，然后用示性函数I(X)的均值来近似估算失效概率P_f，即：

$P_f\&ap;{\hat{P}}_f=\frac{1}{N}\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}I\left(X_i\right)---\left(5\right)$

第四阶段：统计计算

完成一次抽样后，根据下列式(6)-(7)计算采样中心μ_f(L)和采样协方差σ_f ²(L)，并作为下次抽样的抽样中心和协方差。根据下列式(8)计算失效概率P_f(L)，并预先给定容许误差η，计算第L次仿真所得失效率P_f(L)和第L-S-1次仿真所得失效率P_f(L-S-1)的相对误差δ＝|P_f(L)-P_f(L-S-1)|/P_f(L-S-1)。如果δ＞η，说明失效概率P_f(L)和第L-s-1次循环所得失效概率P_f(L-s-1)的相对误差不在给定容许误差内，则令失效概率在指定误差内的循环次数s＝0，并进入下一次循环；否则，令S＝S+1，进入下一次循环。如果S＝10，即连续10次循环所得失效概率都在容许误差内，说明仿真结果已经趋于稳定，停止仿真，完成自适应重要抽样的性能可靠性仿真。

${\mathrm{\&mu;}}_f\left(l\right)=\frac{1}{l}(\underset{i}{\overset{l-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&mu;}}_f\left(i\right)+{\mathrm{\&mu;}}_f\left(l\right))=\frac{l-1}{l}{\mathrm{\&mu;}}_f(l-1)+\frac{1}{l}{\mathrm{\&mu;}}_f\left(l\right)---\left(6\right)$

${\mathrm{\&sigma;}}_f^2\left(l\right)=\frac{1}{l}(\underset{i=1}{\overset{l-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&sigma;}}_f^2\left(i\right)+{\mathrm{\&sigma;}}_f^2\left(l\right))=\frac{l-1}{l}{\mathrm{\&sigma;}}_f^2(l-1)+\frac{1}{l}{\mathrm{\&sigma;}}_f^2\left(l\right)---\left(7\right)$

$P_f\left(l\right)=\frac{1}{l}(\underset{i=1}{\overset{l-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{P}_f\left(i\right)+P_f\left(l\right))=\frac{l-1}{l}{P}_f(l-1)+\frac{1}{l}{P}_f\left(l\right)---\left(8\right)$

本发明一种基于改进自适应重要抽样的性能可靠性仿真方法所述的方法，其优点是：该方法进一步丰富和完善了系统可靠性与性能一体化设计仿真技术。其功效达到了以下三个方面：

1.在相同的计算精度要求下，计算量与传统蒙特卡洛方法相比，计算效率明显提高，并且应用于失效率越小的系统，这种效率的优势就越明显；

2.在同样的计算量的要求下，与传统方法蒙特卡罗法相比，计算精度明显提高；

3.该方法可以应用于不存在显性失效方程的系统，打破了传统基于马尔可夫蒙特卡罗的自适应重要抽样法的局限性，具有更广泛的适用性。

附图说明

图1为本发明一种基于改进自适应重要抽样的性能可靠性仿真方法流程图

图2为某舵机的结构示意图

图3为某舵机的数学模型

图中符号说明：

i抽取初始失效样本阶段仿真次数

μ_i第i次仿真的抽样均值

σ_i第i次仿真的抽样方差

μ原始概率密度函数的均值

σ原始概率密度函数的方差

Xi第i次抽样样本

ζ抽样样本仿真得到的性能输出结果和失效阈值的距离误差限

θ(Xi)第i次抽样样本仿真得到的性能输出结果

θ(X_i-1)第i-1次抽样样本仿真得到的性能输出结果

θ(μ_i-1)第i-1次抽样均值仿真得到的性能输出结果

θ_f失效阈值

j抽取一批失效样本阶段仿真次数

M失效次数

μ_j第j次仿真的抽样均值

X_j第j次抽样样本

f(μ_j-1)第j-1次抽样均值的概率密度值

f(μ_j-1)第j-1次抽样样本的概率密度值

θ(X_j)第j次仿真得到的性能输出结果

Nr抽取一批失效样本阶段失效样本个数

μ_f(1)自适应重要抽样阶段初始采样中心

自适应重要抽样阶段初始采样方差

L自适应重要抽样阶段仿真循环次数

S失效概率相对误差在指定误差范围内的循环次数

k每次仿真循环中仿真次数

N_f每次仿真循环指定的仿真次数

μ_f(L)第L次循环仿真的抽样均值

第L次循环仿真的抽样方差

P_f(L)第L次循环仿真后得到的失效概率

δ失效概率相对误差

η相对误差的容许误差限

H：飞行高度

V_earth：对地速度

V_wind：对空速度

ρ：大气密度

S_e：舵面面积

C_e：舵面根弦长

Ch_θ：舵面铰链力矩系数

θ_R输入指令

θ_c输出

K_p功率放大系数

Ve电枢电压

K_t电磁力矩系数

L_c电枢电感

R_c电枢电阻

T_L负载转矩

T电机输出转矩

J电机转动惯量

K_D电机阻尼系数

n减速比

K_e反电势系数

K_f传感器增益

具体实施方式

下面结合2个具体的实施案例，对本发明所述的基于改进自适应重要抽样的性能可靠性仿真方法进行详细说明。

案例1：二阶系统

下列式(9)是一个典型二阶系统的传递函数。

$\frac{C\left(s\right)}{R\left(s\right)}=\frac{{\mathrm{\&omega;}}_n^2}{s^2+2\mathrm{\&xi;}{\mathrm{\&omega;}}_{n}s+{\mathrm{\&omega;}}_n^2}---\left(9\right)$

本发明一种基于自适应重要抽样的性能可靠性仿真方法，其实施步骤如下：

步骤1：抽取二阶系统初始失效样本

(1)以阻尼系数ξ的均值μ为采样中心，采样方差为阻尼系数ξ的方差σ，抽取阻尼系数ξ的样本X_i，计算性能结果超调量θ(X_i)。

令μ＝0.8，σ＝0.05，抽取的样本X_i＝0.7784，计算性能结果θ(X_i)＝2.0355

(2)确定失效阈值θ_f＝8，判断θ(X_i)和失效阈值θf的距离是否大于误差限ζ，令误差限ζ＝0.1，经比较，θ(X_i)和θ_f的距离|θ(X_i)-θ_f＝8|＝5.9645，大于误差限ζ，进入下一次抽样仿真。

(3)调整采样中心μ，计算性能输出结果θ(μ)＝1.5165，比较性能输出结果与失效阈值的距离|θ(μ)-θ_f|，由于|θ(μ)-θ_f|＝6.4835，大于θ(X_i)和θ_f的距离|θ(X_i)-θ_f|，令X_i作为下一次的采样中心μ_i+1。

(4)重复上述(2)和(3)，搜索到失效点为X_i＝0.62655，此时性能输出结果θ(X_i)＝8.0013，符合要求，进入步骤2。

步骤2：抽取二阶系统的一批失效样本

(1)指定失效次数N_r＝100。以步骤1搜索到的失效点X_i＝0.62655作为步骤2的初始采样中心，计算其概率密度f(X_i)＝0.0194，抽取样本X_j＝0.59365，仿真并计算其性能输出结果θ(X_i)＝9.8512，由于θ(X_i)大于失效阈值θ_f，令失效次数M加1。

(2)调整采样中心，计算样本概率密度值f(X_j)＝0.0016，并与当前采样中心点的概率密度f(X_i)＝进行比较，由于f(X_j)＜f(X_i)，故以X_i＝0.62655作为新的采样中心，μ_j+1＝X_i＝0.62655。

(3)重复上述(1)和(2)，进行循环仿真，直至M未达到指定失效次数Nr，进入步骤3。

步骤3：进行二阶系统的自适应重要抽样

(1)根据步骤2抽取到的N_r个失效样本，分别利用式(1)和式(2)计算步骤3的初始采样中心μ_f(1)＝0.5895，初始采样方差

(2)以初始采样中心μ_f(1)＝0.5895和初始采样方差

作为重要抽样函数初始参数，进行一次循环仿真，循环次数N_f＝250，计算得到当前循环的失效概率P_f(1)＝3.1017×10^-4。

步骤4：统计计算

(1)确定相对误差的容许误差限η＝0.0005，失效概率相对误差在指定误差范围内的循环次数S＝10。完成一次循环后，根据式(6)(7)(8)重新计算下一次循环的采样均值μ_f(L)、方差

和失效概率P_f(L)，判断失效概率相对误差δ是否在指定误差限内，是则令S加1，否则令S＝0，重复当前步骤，直至S＝10，得到失效概率P_f＝2.6307×10^-4，仿真结束。

经过多次仿真，其仿真结果见下列表1：

表1二阶系统可靠性仿真结果

表1中P_f表示二阶系统的失效概率；ε表示失效概率的相对误差；N_d表示迭代次数；N_t表示总仿真次数。

标准蒙特卡罗方法仿真结果见下列表2所示：

表2标准蒙特卡罗方法可靠性仿真结果

表2中P_f表示二阶系统的失效概率；ε表示失效概率的相对误差；N_t表示总仿真次数。

案例2：飞控舵机系统

图3所示是某型舵机的结构示意，舵机作为典型动态系统，是飞行控制系统的重要部件，由控制器、功率放大器、直流电机、减速箱、传感器等组成。图4为舵机数学模型。

舵机的超调量σ_pos直接影响性能及可靠性，并且由于其结构复杂和非线性因素等原因，σ_pos同结构参数之间没有显性表达式。选择舵机中的直流电机反电势系数Ke作为舵机的随机参数，性能可靠度判据为舵机的超调量σ_pos。

本发明一种基于自适应重要抽样的性能可靠性仿真方法，其实施步骤如下：

步骤1：抽取舵机初始失效样本

(1)以反电势系数Ke的均值μ＝0.045为采样中心，采样方差为Ke的方差σ＝0.004，抽取反电势系数Ke的样本Xi＝0.0433，计算超调量σ_pos(Xi)＝0.2764。

(2)确定失效阈值σ_posf＝0.5，判断σ_pos(Xi)和失效阈值σ_posf的距离是否大于误差限ζ，令误差限ζ＝0.05，经比较，σ_pos(X_i)和σ_posf的距离|σ_pos(X_i)-σ_posf|＝0.2236，大于误差限ζ，进入下一次抽样仿真。

(3)调整采样中心μ，计算性能输出结果σ_pos(μ)＝0.2562，比较性能输出结果与失效阈值的距离|σ_pos(μ)-σ_posf|，由于|σ_pos(μ)-σ_posf|＝0.2438，大于σ_pos(X_i)和σ_posf的距离|σ_pos(X_i)-σ_posf|，令X_i作为下一次的采样中心μ_i+1。

(4)重复(2)和(3)，搜索到失效点为X_i＝0.028419，此时性能输出结果σ_pos(X_i)＝0.51187，符合要求，进入步骤2。

步骤2：抽取二阶系统的一批失效样本

(1)指定失效次数N_r＝100。以步骤1搜索到的失效点X_i＝0.028419作为步骤2的初始采样中心，计算其概率密度f(X_i)＝0.0185，抽取样本X_j＝0.0289，仿真并计算其性能输出结果σpos(X_i)＝0.5023，由于σpos(X_i)大于失效阈值σ_posf，令失效次数M加1。

(2)调整采样中心，计算样本概率密度值f(X_j)＝0.0303，并与当前采样中心点的概率密度f(Xi)进行比较，由于f(X_j)＞f(Xi)，故以X_j＝0.0289作为新的采样中心，μj+1＝X_j＝0.0289。

(3)重复上述(1)和(2)，进行循环仿真，直至M未达到指定失效次数Nr，进入步骤3。

步骤3：进行二阶系统的自适应重要抽样

(1)根据步骤2抽取到的Nr个失效样本，分别利用式(1)和式(2)计算步骤3的初始采样中心μ_f(1)＝0.025226，初始采样方差

(2)以初始采样中心μ_f(1)＝0.025226和初始采样方差σ_f2(1)＝0.0028116作为重要抽样函数初始参数，进行一次循环仿真，循环次数N_f＝250，计算得到当前循环的失效概率P_f(1)＝6.3082×10^-5。

步骤4：统计计算

确定相对误差的容许误差限η＝0.001，失效概率相对误差在指定误差范围内的循环次数S＝10。完成一次循环后，根据式(6)(7)(8)重新计算下一次循环的采样均值μ_f(L)、方差

和失效概率P_f(L)，判断失效概率相对误差δ是否在指定误差限内，是则令S加1，否则令S＝0，重复当前步骤，直至S＝10，得到失效概率P_f＝3.4885×10^-5，仿真结束。

经过多次仿真，其仿真结果见下列表3：

表3舵机系统可靠性仿真结果

表3中P_f表示舵机系统失效概率；N_d表示迭代次数；N_t表示总仿真次数。

Claims (1)

1.一种基于改进自适应重要抽样的性能可靠性仿真方法，其特征在于：该方法依照下述四个阶段进行：

第一阶段：抽取初始失效样本

初始失效样本的选择对于算法的收敛有关键作用，应使其尽可能地靠近失效面上的设计点；

以原始概率密度函数的均值μ为采样中心，原方差σ的1-3倍作为采样协方差，进行随机搜索得随机参数向量样本X_i＝[x_1i x_2i…x_Li]仿真，得性能结果θ_i；给定误差限ζ，判断θ_i和失效阈值θ_f的距离是否在给定误差限内，即|θ_i-θ_f|＜ζ？若是则判断系统是否失效，是则进入第二个阶段，否则继续循环；在下一次的循环中，对采样中心μ进行调整，μ_i＝argmin(|θ(μ_i-1)-θ_f|，|θ(X_i-1)-θ_f|)即将性能结果|θ(μ_i-1)-θ_f|和|θ(X_i-1)-θ_f|进行比较；若|θ(μ_i-1)-θ_f|＞|θ(X_i-1)-θ_f|，说明抽样值X_i-1比采样中心μ_i-1更靠近失效面，则将X_i-1作为下次抽样的中心；否则仍然以μ_i-1作为采样中心；

第二阶段：抽取一批失效样本

抽取完初始失效样本后，进入第二个阶段；以第一阶段搜索到的失效样本作为第二阶段的初始采样中心，仿真并计算其概率密度f(X_j)，其中X_j为第j次抽样样本；判断系统是否失效，是则令失效样本个数M＝M+1；判断M是否达到指定失效样本个数N_r，是则进入第三阶段，否则继续循环；在下一次的循环中，对采样中心μ进行调整，μ_i+1＝arg max(f(X_i-1)，f(μ_i-1))，选择概率密度值大者作为新的采样中心，循环至抽取到N_r个失效样本，进入第三阶段；

第三阶段：自适应重要抽样

根据第二阶段抽取到的N_r个失效样本，分别利用下列式(1)和式(2)计算第三阶段的初始采样中心μ_f(1)和初始采样协方差σ_f ²(1)，即重要抽样函数h(.)的初始参数；令循环次数L＝1，每次仿真N_r次，失效概率在指定误差内的循环次数S＝0；

${\widehat{\mathrm{\&mu;}}}_f=\frac{1}{N_s}\underset{i=1}{\overset{N_r}{\mathrm{\&Sigma;}}}{x}_i^f---\left(1\right)$

${\widehat{\mathrm{\&sigma;}}}_f^2=\frac{1}{N_r}\mathrm{diag}\{{\widehat{\mathrm{\&sigma;}}}_{1,f}^2,{\widehat{\mathrm{\&sigma;}}}_{2,f}^2,...{\widehat{\mathrm{\&sigma;}}}_{n,f}^2\}---\left(2\right)$

重要抽样函数h(.)为：

h(X)＝I(X)f(X)/P_f                 (3)

其中P_f为系统性能可靠度，I(X)为示性函数，即对于失效阈值θ_f，若性能结果θ大于等于θ_f时，系统为失效，此时I(X)为1，否则为0，即

$I\left(X\right)=\left\{\begin{array}{cc}1,& \mathrm{\&theta;}\&GreaterEqual;{\mathrm{\&theta;}}_f\\ 0,& \mathrm{\&theta;}<{\mathrm{\&theta;}}_f\end{array}\right.---\left(4\right)$

采用蒙特卡洛数值求解系统性能可靠度，通常是利用概率密度函数f(X)抽取足够多的样本值，然后用示性函数I(X)的均值来近似估算失效概率P_f，即：

$P_f\&ap;{\hat{P}}_f=\frac{1}{N}\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}I\left(X_i\right)---\left(5\right)$

第四阶段：统计计算

完成一次抽样后，根据下列式(6)-(7)计算采样中心μ_f(1)和采样协方差σ_f ²(1)，并作为下次抽样的抽样中心和协方差；根据下列式(8)计算失效概率P_f(1)，并预先给定容许误差η，计算第1次仿真所得失效率P_f(1)和第1-s-1次仿真所得失效率P_f(1-s-1)的相对误差δ＝|P_f(1)-P_f(1-s-1)|/P_f(1-s-1)；如果δ＞η，说明失效概率P_f(1)和第1-s-1次循环所得失效概率P_f(1-s-1)的相对误差不在给定容许误差内，则令失效概率在指定误差内的循环次数s＝0，并进入下一次循环；否则，令s＝s+1，进入下一次循环；如果s＝10，即连续10次循环所得失效概率都在容许误差内，说明仿真结果已经趋于稳定，停止仿真，完成自适应重要抽样的性能可靠性仿真；

所述公式(6)、(7)、(8)列如下：

${\mathrm{\&mu;}}_f\left(l\right)=\frac{1}{l}(\underset{i}{\overset{l-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&mu;}}_f\left(i\right)+{\mathrm{\&mu;}}_f\left(l\right))=\frac{l-1}{l}{\mathrm{\&mu;}}_f(l-1)+\frac{1}{l}{\mathrm{\&mu;}}_f\left(l\right)---\left(6\right)$

${\mathrm{\&sigma;}}_f^2\left(l\right)=\frac{1}{l}(\underset{i=1}{\overset{l-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&sigma;}}_f^2\left(i\right)+{\mathrm{\&sigma;}}_f^2\left(l\right))=\frac{l-1}{l}{\mathrm{\&sigma;}}_f^2(l-1)+\frac{1}{l}{\mathrm{\&sigma;}}_f^2\left(l\right)---\left(7\right)$

$P_f\left(l\right)=\frac{1}{l}(\underset{i=1}{\overset{l-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{P}_f\left(i\right)+P_f\left(l\right))=\frac{l-1}{l}{P}_f(l-1)+\frac{1}{l}{P}_f\left(l\right)---\left(8\right).$

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