CN102042903B - 一种基于有限元模型的旋转设备支承动刚度参数测量方法 - Google Patents

Abstract

一种基于有限元模型的旋转设备支承动刚度参数测量方法，先在旋转设备主轴上的轴承转子两侧，沿轴线方向选取两点p、q，在p点所在截面分别安装两个电涡流传感器，使两个电涡流传感器与测点p的连线呈90度，在q点的两个电涡流传感器按同样方式配置，四个电涡流传感器的信号输出端分别与工控机相连，再建立转子有限元模型，并计算出不平衡力f_u，推导出支承动刚度Z_BF，再通过系列计算得到

Description

一种基于有限元模型的旋转设备支承动刚度参数测量方法

技术领域

本发明涉及旋转设备支承动刚度参数测试领域，具体涉及一种基于有限元模型的旋转设备支承动刚度参数测量方法。

背景技术

旋转设备是机械工业中广泛应用的设备，旋转设备支承的动态性能的优劣直接影响着机械加工的质量以及生产率，旋转设备的支承动刚度是其动态性能的主要评价指标，它反映了旋转设备抵抗外载荷的能力，对于工件的加工质量以及旋转设备支承寿命都有影响。对于目前的旋转设备设计及制造，普遍的观点是要通过增加刚度来减少震动影响，因此，动刚度参数的辨识十分重要。然而，国内外对于旋转设备动刚度的研究还处于起步阶段，旋转机械动刚度的测量往往依靠经验进行，并没有明确的动刚度准则，存在动刚度的测试精度低，测量成本高的缺点。

发明内容

为了克服上述现有技术的缺点，本发明的目的在于提供一种基于有限元模型的旋转设备支承动刚度参数测量方法，提高了动刚度参数的辨识精度，具有测试精度高，操作简便的优点。

为了达到上述目的，本发明采用的技术方案为：

一种基于有限元模型的旋转设备支承动刚度参数测量方法，包括以下步骤：

第一步，在旋转设备主轴5上的轴承转子7两侧，沿轴线方向选取两点p、q，在p点所在截面分别安装第一电涡流传感器1和第二电涡流传感器2，使第一电涡流传感器1、第二电涡流传感器2与测点p的连线呈90度，在q点所在截面分别安装第三电涡流传感器3和第四电涡流传感器4，使第三电涡流传感器3、第四电涡流传感器4与测点q的连线呈90度，四个电涡流传感器的信号输出端分别与安装在机柜6上的工控机8相连，对转子振动情况进行测试，得到p测点两相互垂直位移量分别为r_R，px、r_R，py，q测点两相互垂直位移量分别为r_R，qx、r_R，qy，传送至工控机8进行处理，储存；

第二步，运用矩阵实验室(MATLAB)软件建立转子有限元模型，得到转子刚度矩阵

并计算出不平衡力f_u；

其中，Z表示刚度，p表示轴承转子上的测点的自由度，b和i分别表示轴承和转子内部的自由度；

第三步，以支承和轴承整体为对象，建立动刚度矩阵方程

从而推导出支承动刚度Z_BF；

展开 $\left[\begin{array}{cc}{Z}_{R,\mathrm{ii}}& Z_{R,\mathrm{ib}}\\ 0& Z_{\mathrm{BF}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{r}_{R,i}\\ r_{R,b}\end{array}\right]=\left\{\begin{array}{c}{f}_u\\ -f_{R,b}\end{array}\right\}$ 可得到：

Z_BFr_R，b＝-f_R，b    (1)

式(1)即为轴承支承刚度Z_BF的表达式，式(1)可表示为：

[K_B(ω)+(jω)²M_B(ω)+jωC_B(ω)]r_R，b(ω)＝P(ω)    (2)

其中：

r_R，i为转子内部振动响应，r_R，b为转子和轴承间的振动响应，f_R，b为转子和轴承间的作用力；

P(ω)＝-f_R，b    (3)

K_B，C_B和M_B分别表示轴承刚度，阻尼和质量矩阵，ω表示转子转速，

第四步，将旋转设备支承动刚度分解为转子内部、轴承和测点p进行分析，求得转子内部振动响应r_R，i，转子和轴承间的振动响应r_R，b，转子和轴承间的作用力f_R，b：

将旋转设备支承动刚度分解为转子内部、轴承和测点p进行分析，建立刚度方程：

$\left[\begin{array}{ccc}{Z}_{R,\mathrm{ii}}& Z_{R,\mathrm{ip}}& Z_{R,\mathrm{ib}}\\ Z_{R,\mathrm{pi}}& Z_{R,\mathrm{pp}}& Z_{R,\mathrm{pb}}\\ Z_{R,\mathrm{bi}}& Z_{R,\mathrm{bp}}& Z_{R,\mathrm{bb}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{r}_{R,i}\\ r_{R,p}\\ r_{R,b}\end{array}\right]=\left\{\begin{array}{c}{f}_u\\ 0\\ f_{R,b}\end{array}\right\}---\left(4\right)$

展开式(4)可以得到：

$\left(\begin{array}{c}{r}_{R,i}\\ r_{R,b}\end{array}\right)={\left[\begin{array}{cc}{Z}_{R,\mathrm{ii}}& Z_{R,\mathrm{ib}}\\ Z_{R,\mathrm{pi}}& Z_{R,\mathrm{pb}}\end{array}\right]}^{-1}\{\left(\begin{array}{c}{f}_u\\ 0\end{array}\right)-\left[\begin{array}{c}{Z}_{R,\mathrm{ip}}\\ Z_{R,\mathrm{pp}}\end{array}\right]\left(r_{R,p}\right)\}---\left(5\right)$

$f_{R,b}=\left[\begin{array}{cc}{Z}_{R,\mathrm{bi}}& Z_{R,\mathrm{bp}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{r}_{R,i}\\ r_{R,p}\end{array}\right]+Z_{R,\mathrm{bb}}{r}_{R,b}---\left(6\right)$

由式(5)可以求出转子内部振动响应r_R，i，转子和轴承间的振动响应r_R，b，代入式(6)可以求出转子与轴承作用力f_R，b；

第五步，通过支承动刚度表达式计算出支承动刚度实部与虚部表达式KM_B(ω)与C_B(ω)；

对式(2)分离实部和虚部有：

$[K_B\left(\mathrm{\ω}\right)-{\mathrm{\ω}}^2{M}_B\left(\mathrm{\ω}\right)]r_{R,b}^r\left(\mathrm{\ω}\right)-\mathrm{\ω}{C}_B\left(\mathrm{\ω}\right)r_{R,b}^i=P^r\left(\mathrm{\ω}\right)---\left(7\right)$

$[K_B\left(\mathrm{\ω}\right)-{\mathrm{\ω}}^2{M}_B\left(\mathrm{\ω}\right)]r_{R,b}^i\left(\mathrm{\ω}\right)+\mathrm{\ω}{C}_B\left(\mathrm{\ω}\right)r_{R,b}^r=P^i\left(\mathrm{\ω}\right)---\left(8\right)$

由于对于特定旋转设备质量矩阵一定，因此，在转速ω下，[K_B(ω)-ω²M_B(ω)]可作为整体，以KM_B(ω)表示，

其中，

KM_B(ω)＝{km_xx(ω)km_xy(ω)km_yx(ω)km_yy(ω)}^T    (9)

C_B(ω)＝{c_xx(ω)c_xy(ω)c_yx(ω)c_yy(ω)}^T         (10)

第六步，将第一步所测得的振动量r_R，px、r_R，py分别依次代入式(5)、式(6)、式(7)、式(8)中，有：

$\left[\begin{array}{cc}{B}_0^p\left(\mathrm{\ω}\right)& B_1^p\left(\mathrm{\ω}\right)\end{array}\right]{\mathrm{\β}}_B\left(\mathrm{\ω}\right)=q^p\left(\mathrm{\ω}\right)---\left(11\right)$

其中：

$B_0^p\left(\mathrm{\ω}\right)=\left[\begin{array}{cccc}{r}_{R,\mathrm{bpx}}^r& r_{R,\mathrm{bpy}}^r& 0& 0\\ 0& 0& r_{R,\mathrm{bpx}}^r& r_{R,\mathrm{bpy}}^r\\ r_{R,\mathrm{bpx}}^i& r_{R,\mathrm{bpy}}^i& 0& 0\\ 0& 0& r_{R,\mathrm{bpx}}^i& r_{R,\mathrm{bpy}}^i\end{array}\right]---\left(12\right)$

$B_1^p\left(\mathrm{\ω}\right)=\mathrm{\ω}\left[\begin{array}{cccc}-r_{R,\mathrm{bpx}}^i& -r_{R,\mathrm{bpy}}^i& 0& 0\\ 0& 0& {-r}_{R,\mathrm{bpx}}^i& {-r}_{R,\mathrm{bpy}}^i\\ r_{R,\mathrm{bpx}}^r& r_{R,\mathrm{bpy}}^r& 0& 0\\ 0& 0& r_{R,\mathrm{bpx}}^r& r_{R,\mathrm{bpy}}^r\end{array}\right]---\left(13\right)$

r_R，bpx表示由p点x方向振动响应r_R，px计算得到的转子与轴承间x方向振动响应r_R，b，r_R，bpy表示由p点y方向振动响应r_R，py计算得到的转子与轴承间y方向振动响应r_R，b；

β_B(ω)＝[KM_B(ω)C_B(ω)]^T

＝{km_xx(ω)km_xy(ω)km_yx(ω)km_yy(ω)c_xx(ω)c_xy(ω)c_yx(ω)c_yy(ω)}^T

(14)

$q^p\left(\mathrm{\ω}\right)={\left\{\begin{array}{cccc}{P}_{\mathrm{bpx}}^r\left(\mathrm{\ω}\right)& P_{\mathrm{bpy}}^r\left(\mathrm{\ω}\right)& P_{\mathrm{bpx}}^i\left(\mathrm{\ω}\right)& P_{\mathrm{bpy}}^i\left(\mathrm{\ω}\right)\end{array}\right\}}^T---\left(15\right)$

第七步，将第一步所测得的振动量r_R，qx、r_R，qy，重复第六步操作，有：

$\left[\begin{array}{cc}{B}_0^q\left(\mathrm{\ω}\right)& B_1^q\left(\mathrm{\ω}\right)\end{array}\right]{\mathrm{\β}}_B\left(\mathrm{\ω}\right)=q^q\left(\mathrm{\ω}\right)---\left(16\right)$

其中：

$B_0^q\left(\mathrm{\ω}\right)=\left[\begin{array}{cccc}{r}_{R,\mathrm{bqx}}^r& r_{R,\mathrm{bqy}}^r& 0& 0\\ 0& 0& r_{R,\mathrm{bqx}}^r& r_{R,\mathrm{bqy}}^r\\ r_{R,\mathrm{bqx}}^i& r_{R,\mathrm{bqy}}^i& 0& 0\\ 0& 0& r_{R,\mathrm{bqx}}^i& r_{R,\mathrm{bqy}}^i\end{array}\right]---\left(17\right)$

$B_1^q\left(\mathrm{\ω}\right)=\mathrm{\ω}\left[\begin{array}{cccc}-r_{R,\mathrm{bqx}}^i& -r_{R,\mathrm{bqy}}^i& 0& 0\\ 0& 0& {-r}_{R,\mathrm{bqx}}^i& {-r}_{R,\mathrm{bqy}}^i\\ r_{R,\mathrm{bqx}}^r& r_{R,\mathrm{bqy}}^r& 0& 0\\ 0& 0& r_{R,\mathrm{bqx}}^r& r_{R,\mathrm{bqy}}^r\end{array}\right]---\left(18\right)$

β_B(ω)＝[KM_B(ω)C_B(ω)]^T

＝{km_xx(ω)km_xy(ω)km_yx(ω)km_yy(ω)c_xx(ω)c_xy(ω)c_yx(ω)c_yy(ω)}^T

                                                            (19)

$q^q\left(\mathrm{\ω}\right)={\left\{\begin{array}{cccc}{P}_{\mathrm{bqx}}^r\left(\mathrm{\ω}\right)& P_{\mathrm{bqy}}^r\left(\mathrm{\ω}\right)& P_{\mathrm{bqx}}^i\left(\mathrm{\ω}\right)& P_{\mathrm{bqy}}^i\left(\mathrm{\ω}\right)\end{array}\right\}}^T---\left(20\right)$

第八步，由式(11)和式(16)联立可以计算出

的8个参数km_xx(ω)、km_xy(ω)、km_yx(ω)、km_yy(ω)、c_xx(ω)、c_xy(ω)、c_yx(ω)、c_yy(ω)；

第九步，通过计算出的不同工作转速下的旋转设备支承动刚度参数，可以建立标准，对旋转设备的运行进行安全评定。

由于本方法采用了精确的有限元建模方法，同时采用了合理的传感器进行振动测试，使得本方法测试以及计算得到的数据准确性高，提高了动刚度参数的辨识精度，故而具有测试精度高，操作简便的优点。

附图说明

附图为本发明四个电涡流传感器的安装示意图。

具体实施方法

下面结合附图对本发明作进一步详细描述。

一种基于有限元模型的旋转设备支承动刚度参数测量方法，包括以下步骤：

第一步，参照附图，在旋转设备主轴5上的轴承转子7两侧，沿轴线方向选取两点p、q，在p点所在截面分别安装第一电涡流传感器1和第二电涡流传感器2，使第一电涡流传感器1、第二电涡流传感器2与测点p的连线呈90度，即两传感器测得位移信号相位相差90度，在q点所在截面分别安装第三电涡流传感器3和第四电涡流传感器4，使第三电涡流传感器3、第四电涡流传感器4与测点q的连线呈90度，即两传感器测得位移信号相位相差90度，四个电涡流传感器的信号输出端分别与安装在机柜6上的工控机8相连，对转子振动情况进行测试，得到p测点两相互垂直位移量分别为r_R，px、r_R，py，q测点两相互垂直位移量分别为r_R，qx、r_R，qy，传送至工控机8进行处理，储存；

第二步，运用矩阵实验室(MATLAB)软件建立转子有限元模型，得到转子刚度矩阵

并计算出不平衡力f_u；

其中，p表示轴承转子上的测点的自由度，b和i分别表示轴承和转子内部的自由度；

第三步，以支承和轴承整体为对象，建立动刚度矩阵方程

从而推导出支承动刚度Z_BF；

展开 $\left[\begin{array}{cc}{Z}_{R,\mathrm{ii}}& Z_{R,\mathrm{ib}}\\ 0& Z_{\mathrm{BF}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{r}_{R,i}\\ r_{R,b}\end{array}\right]=\left\{\begin{array}{c}{f}_u\\ -f_{R,b}\end{array}\right\}$ 可得到：

Z_BFr_R，b＝-f_R，b    (1)

式(1)即为轴承支承刚度Z_BF的表达式。式(1)可表示为：

[K_B(ω)+(jω)²M_B(ω)+jωC_B(ω)]r_R，b(ω)＝P(ω)    (2)

其中：

r_R，i为转子内部振动响应，r_R，b为转子和轴承间的振动响应，f_R，b为转子和轴承间的作用力；

P(ω)＝-f_R，b        (3)

K_B，C_B和M_B分别表示轴承刚度，阻尼和质量矩阵，ω表示转子转速，

第四步，将旋转设备支承动刚度分解为转子内部、轴承和测点p进行分析，求得转子内部振动响应r_R，i，转子和轴承间的振动响应r_R，b，转子和轴承间的作用力f_R，b：

将旋转设备支承动刚度分解为转子内部、轴承和测点p进行分析，建立刚度方程：

$\left[\begin{array}{ccc}{Z}_{R,\mathrm{ii}}& Z_{R,\mathrm{ip}}& Z_{R,\mathrm{ib}}\\ Z_{R,\mathrm{pi}}& Z_{R,\mathrm{pp}}& Z_{R,\mathrm{pb}}\\ Z_{R,\mathrm{bi}}& Z_{R,\mathrm{bp}}& Z_{R,\mathrm{bb}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{r}_{R,i}\\ r_{R,p}\\ r_{R,b}\end{array}\right]=\left\{\begin{array}{c}{f}_u\\ 0\\ f_{R,b}\end{array}\right\}---\left(4\right)$

展开式(4)可以得到：

$\left(\begin{array}{c}{r}_{R,i}\\ r_{R,b}\end{array}\right)={\left[\begin{array}{cc}{Z}_{R,\mathrm{ii}}& Z_{R,\mathrm{ib}}\\ Z_{R,\mathrm{pi}}& Z_{R,\mathrm{pb}}\end{array}\right]}^{-1}\{\left(\begin{array}{c}{f}_u\\ 0\end{array}\right)-\left[\begin{array}{c}{Z}_{R,\mathrm{ip}}\\ Z_{R,\mathrm{pp}}\end{array}\right]\left(r_{R,p}\right)\}---\left(5\right)$

$f_{R,b}=\left[\begin{array}{cc}{Z}_{R,\mathrm{bi}}& Z_{R,\mathrm{bp}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{r}_{R,i}\\ r_{R,p}\end{array}\right]+Z_{R,\mathrm{bb}}{r}_{R,b}---\left(6\right)$

由式(5)可以求出转子内部振动响应r_R，i，转子和轴承间的振动响应r_R，b，代入式(6)可以求出转子与轴承作用力f_R，b；

第五步，通过支承动刚度表达式计算出支承动刚度实部与虚部表达式KM_B(ω)与C_B(ω)；

对式(2)分离实部和虚部有：

$[K_B\left(\mathrm{\ω}\right)-{\mathrm{\ω}}^2{M}_B\left(\mathrm{\ω}\right)]r_{R,b}^r\left(\mathrm{\ω}\right)-\mathrm{\ω}{C}_B\left(\mathrm{\ω}\right)r_{R,b}^i=P^r\left(\mathrm{\ω}\right)---\left(7\right)$

$[K_B\left(\mathrm{\ω}\right)-{\mathrm{\ω}}^2{M}_B\left(\mathrm{\ω}\right)]r_{R,b}^i\left(\mathrm{\ω}\right)+\mathrm{\ω}{C}_B\left(\mathrm{\ω}\right)r_{R,b}^r=P^i\left(\mathrm{\ω}\right)---\left(8\right)$

由于对于特定旋转设备质量矩阵一定，因此，在转速ω下，[K_B(ω)-ω²M_B(ω)]可作为整体，以KM_B(ω)表示。

其中，

KM_B(ω)＝{km_xx(ω)km_xy(ω)km_yx(ω)km_yy(ω)}^T    (9)

C_B(ω)＝{c_xx(ω)c_xy(ω)c_yx(ω)c_yy(ω)}^T         (10)

第六步，将第一步所测得的振动量r_R，px、r_R，py分别依次代入式(5)、式(6)、式(7)、式(8)中，有：

$\left[\begin{array}{cc}{B}_0^p\left(\mathrm{\ω}\right)& B_1^p\left(\mathrm{\ω}\right)\end{array}\right]{\mathrm{\β}}_B\left(\mathrm{\ω}\right)=q^p\left(\mathrm{\ω}\right)---\left(11\right)$

其中：

$B_0^p\left(\mathrm{\ω}\right)=\left[\begin{array}{cccc}{r}_{R,\mathrm{bpx}}^r& r_{R,\mathrm{bpy}}^r& 0& 0\\ 0& 0& r_{R,\mathrm{bpx}}^r& r_{R,\mathrm{bpy}}^r\\ r_{R,\mathrm{bpx}}^i& r_{R,\mathrm{bpy}}^i& 0& 0\\ 0& 0& r_{R,\mathrm{bpx}}^i& r_{R,\mathrm{bpy}}^i\end{array}\right]---\left(12\right)$

$B_1^p\left(\mathrm{\ω}\right)=\mathrm{\ω}\left[\begin{array}{cccc}-r_{R,\mathrm{bpx}}^i& -r_{R,\mathrm{bpy}}^i& 0& 0\\ 0& 0& {-r}_{R,\mathrm{bpx}}^i& {-r}_{R,\mathrm{bpy}}^i\\ r_{R,\mathrm{bpx}}^r& r_{R,\mathrm{bpy}}^r& 0& 0\\ 0& 0& r_{R,\mathrm{bpx}}^r& r_{R,\mathrm{bpy}}^r\end{array}\right]---\left(13\right)$

r_R，bpx表不由p点x方向振动响应r_R，px计算得到的转子与轴承间x方向振动响应r_R，b，r_R，bpy表示由p点y方向振动响应r_R，py计算得到的转子与轴承间y方向振动响应r_R，b；

β_B(ω)＝[KM_B(ω)C_B(ω)]^T

＝{km_xx(ω)km_xy(ω)km_yx(ω)km_yy(ω)c_xx(ω)c_xy(ω)c_yx(ω)c_yy(ω)}^T

                                                            (14)

$q^p\left(\mathrm{\ω}\right)={\left\{\begin{array}{cccc}{P}_{\mathrm{bpx}}^r\left(\mathrm{\ω}\right)& P_{\mathrm{bpy}}^r\left(\mathrm{\ω}\right)& P_{\mathrm{bpx}}^i\left(\mathrm{\ω}\right)& P_{\mathrm{bpy}}^i\left(\mathrm{\ω}\right)\end{array}\right\}}^T---\left(15\right)$

第七步，将第一步所测得的振动量r_R，qx、r_R，qy，重复第六步操作，有：

$\left[\begin{array}{cc}{B}_0^q\left(\mathrm{\ω}\right)& B_1^q\left(\mathrm{\ω}\right)\end{array}\right]{\mathrm{\β}}_B\left(\mathrm{\ω}\right)=q^q\left(\mathrm{\ω}\right)---\left(16\right)$

其中：

$B_0^q\left(\mathrm{\ω}\right)=\left[\begin{array}{cccc}{r}_{R,\mathrm{bqx}}^r& r_{R,\mathrm{bqy}}^r& 0& 0\\ 0& 0& r_{R,\mathrm{bqx}}^r& r_{R,\mathrm{bqy}}^r\\ r_{R,\mathrm{bqx}}^i& r_{R,\mathrm{bqy}}^i& 0& 0\\ 0& 0& r_{R,\mathrm{bqx}}^i& r_{R,\mathrm{bqy}}^i\end{array}\right]---\left(17\right)$

$B_1^q\left(\mathrm{\ω}\right)=\mathrm{\ω}\left[\begin{array}{cccc}-r_{R,\mathrm{bqx}}^i& -r_{R,\mathrm{bqy}}^i& 0& 0\\ 0& 0& {-r}_{R,\mathrm{bqx}}^i& {-r}_{R,\mathrm{bqy}}^i\\ r_{R,\mathrm{bqx}}^r& r_{R,\mathrm{bqy}}^r& 0& 0\\ 0& 0& r_{R,\mathrm{bqx}}^r& r_{R,\mathrm{bqy}}^r\end{array}\right]---\left(18\right)$

β_B(ω)＝[KM_B(ω)C_B(ω)]^T

＝{km_xx(ω)km_xy(ω)km_yx(ω)km_yy(ω)c_xx(ω)c_xy(ω)c_yx(ω)c_yy(ω)}^T

                                                            (19)

$q^q\left(\mathrm{\ω}\right)={\left\{\begin{array}{cccc}{P}_{\mathrm{bqx}}^r\left(\mathrm{\ω}\right)& P_{\mathrm{bqy}}^r\left(\mathrm{\ω}\right)& P_{\mathrm{bqx}}^i\left(\mathrm{\ω}\right)& P_{\mathrm{bqy}}^i\left(\mathrm{\ω}\right)\end{array}\right\}}^T---\left(20\right)$

第八步，由式(11)和式(16)联立可以计算出

的8个参数km_xx(ω)、km_xy(ω)、km_yx(ω)、km_yy(ω)、c_xx(ω)、c_xy(ω)、c_yx(ω)、c_yy(ω)；

第九步，通过计算出的不同工作转速下的旋转设备支承动刚度参数，可以建立标准，对旋转设备的运行进行安全评定。

附图中：1为第一电涡流传感器，2为第二电涡流传感器，3为第三电涡流传感器，4为第四电涡流传感器，5为旋转设备主轴，6为机柜，7为轴承转子，8为工控机。

Claims (1)

1.一种基于有限元模型的旋转设备支承动刚度参数测量方法，其特征在于：包括以下步骤：

第一步，在旋转设备主轴(5)上的轴承转子(7)两侧，在主轴(5)上沿轴线方向选取两点p、q，在p点所在截面分别安装第一电涡流传感器(1)和第二电涡流传感器(2)，使第一电涡流传感器(1)、第二电涡流传感器(2)与测点p的连线呈90度，在q点所在截面分别安装第三电涡流传感器(3)和第四电涡流传感器(4)，使第三电涡流传感器(3)、第四电涡流传感器(4)与测点q的连线呈90度，四个电涡流传感器的信号输出端分别与安装在机柜(6)上的工控机(8)相连，对转子振动情况进行测试，得到p测点两相互垂直位移量分别为r_R，px、r_R，py，q测点两相互垂直位移量分别为r_R，qx、r_R，qy，传送至工控机(8)进行处理，储存；

第二步，运用矩阵实验室(MATLAB)软件建立转子有限元模型，得到转子刚度矩阵 $\left[\begin{array}{ccc}{Z}_{R,\mathrm{ii}}& Z_{R,\mathrm{ip}}& Z_{R,\mathrm{ib}}\\ Z_{R,\mathrm{pi}}& Z_{R,\mathrm{pp}}& Z_{R,\mathrm{pb}}\\ Z_{R,\mathrm{bi}}& Z_{r,\mathrm{bp}}& Z_{R,\mathrm{bb}}\end{array}\right],$ 并计算出不平衡力f_u；

其中，Z表示刚度，p表示轴承转子上的测点的自由度，b和i分别表示轴承和转子内部的自由度；

第三步，以支承和轴承整体为对象，建立动刚度矩阵方程 $\left[\begin{array}{cc}{Z}_{R,\mathrm{ii}}& Z_{R,\mathrm{ib}}\\ 0& Z_{\mathrm{BF}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{r}_{R,i}\\ r_{R,b}\end{array}\right]=\left\{\begin{array}{c}{f}_u\\ {-f}_{R,b}\end{array}\right\},$ 从而推导出支承动刚度Z_BF；

展开 $\left[\begin{array}{cc}{Z}_{r,\mathrm{ii}}& Z_{R,\mathrm{ib}}\\ 0& Z_{\mathrm{BF}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{r}_{R,i}\\ r_{R,b}\end{array}\right]=\left\{\begin{array}{c}{f}_u\\ -f_{R,b}\end{array}\right\}$ 可得到：

Z_BFr_R，b＝-f_R，b                 (1)

式(1)即为轴承支承刚度Z_BF的表达式，式(1)可表示为：

[K_B(ω)+(jω)²M_B(ω)+jωC_B(ω)]r_R，b(ω)＝P(ω)           (2)

其中：

r_R，i为转子内部振动响应，r_R，b为转子和轴承间的振动响应，f_R，b为转子和轴承间的作用力；

P(ω)＝-f_R，b                   (3)

K_B，C_B和M_B分别表示轴承刚度，阻尼和质量矩阵，ω表示转子转速， $j=\sqrt{-1};$

第四步，将旋转设备支承动刚度分解为转子内部、轴承和测点p进行分析，求得转子内部振动响应r_R，i，转子和轴承间的振动响应r_R，b，转子和轴承间的作用力f_R，b：

将旋转设备支承动刚度分解为转子内部、轴承和测点p进行分析，建立刚度方程：

$\left[\begin{array}{ccc}{Z}_{R,\mathrm{ii}}& Z_{R,\mathrm{ip}}& Z_{R,\mathrm{ib}}\\ Z_{R,\mathrm{pi}}& Z_{R,\mathrm{pp}}& Z_{R,\mathrm{pb}}\\ Z_{R,\mathrm{bi}}& Z_{R,\mathrm{bp}}& Z_{R,\mathrm{bb}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{r}_{R,i}\\ r_{R,p}\\ r_{R,b}\end{array}\right]=\left\{\begin{array}{c}{f}_u\\ 0\\ f_{R,b}\end{array}\right\}---\left(4\right)$

展开式(4)可以得到：

$\left(\begin{array}{c}{r}_{R,i}\\ r_{R,b}\end{array}\right)={\left[\begin{array}{cc}{Z}_{R,\mathrm{ii}}& Z_{R,\mathrm{ib}}\\ Z_{R,\mathrm{pi}}& Z_{R,\mathrm{pb}}\end{array}\right]}^{-1}\left\{\begin{array}{c}\left(\begin{array}{c}{f}_u\\ 0\end{array}\right)\end{array}-\left[\begin{array}{c}{Z}_{R,\mathrm{ip}}\\ Z_{R,\mathrm{pp}}\end{array}\right]-\left(r_{R,p}\right)\right\}---\left(5\right)$

$f_{R,b}=\left[\begin{array}{cc}{Z}_{R,\mathrm{bi}}& Z_{R,\mathrm{bp}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{r}_{R,i}\\ r_{R,p}\end{array}\right]+Z_{R,\mathrm{bb}}{r}_{R,b}---\left(6\right)$

由式(5)可以求出转子内部振动响应r_R，i，转子和轴承间的振动响应r_R，b，代入式(6)可以求出转子与轴承作用力f_R，b；

第五步，通过支承动刚度表达式计算出支承动刚度实部与虚部表达式KM_B(ω)与C_B(ω)；

对式(2)分离实部和虚部有：

$[K_B\left(\mathrm{\ω}\right)-{\mathrm{\ω}}^2{M}_B\left(\mathrm{\ω}\right)]r_{R,b}^r\left(\mathrm{\ω}\right)-\mathrm{\ω}{C}_B\left(\mathrm{\ω}\right)r_{R,b}^i=P^r\left(\mathrm{\ω}\right)---\left(7\right)$

$[K_B\left(\mathrm{\ω}\right)-{\mathrm{\ω}}^2{M}_B\left(\mathrm{\ω}\right)]r_{R,b}^i\left(\mathrm{\ω}\right)+\mathrm{\ω}{C}_B\left(\mathrm{\ω}\right)r_{R,b}^r=P^i\left(\mathrm{\ω}\right)---\left(8\right)$

由于对于特定旋转设备质量矩阵一定，因此，在转速ω下，[K_B(ω)-ω²M_B(ω)]可作为整体，以KM_B(ω)表示，

其中，

KM_B(ω)＝{km_xx(ω)km_xy(ω)km_yx(ω)km_yy(ω)}^T         (9)

C_B(ω)＝{c_xx(ω)c_xy(ω)c_yx(ω)c_yy(ω)}^T              (10)

第六步，将第一步所测得的振动量r_R，px、r_R，py分别依次代入式(5)、式(6)、式(7)、式(8)中，有：

$\left[\begin{array}{cc}{B}_0^p\left(\mathrm{\ω}\right)& B_1^p\left(\mathrm{\ω}\right)\end{array}\right]{\mathrm{\β}}_B\left(\mathrm{\ω}\right)=q^p\left(\mathrm{\ω}\right)---\left(11\right)$

其中：

$B_0^p\left(\mathrm{\ω}\right)=\left[\begin{array}{cccc}{r}_{R,\mathrm{bpx}}^r& r_{R,\mathrm{bpy}}^r& 0& 0\\ 0& 0& r_{R,\mathrm{bpx}}^r& r_{R,\mathrm{bpy}}^r\\ r_{R,\mathrm{bpx}}^i& r_{R,\mathrm{bpy}}^i& 0& 0\\ 0& 0& r_{R,\mathrm{bpx}}^i& r_{R,\mathrm{bpy}}^i\end{array}\right]---\left(12\right)$

$B_1^p\left(\mathrm{\ω}\right)=\mathrm{\ω}\left[\begin{array}{cccc}-r_{R,\mathrm{bpx}}^i& -r_{R,\mathrm{bpy}}^i& 0& 0\\ 0& 0& -r_{R,\mathrm{bpx}}^i& -r_{R,\mathrm{bpy}}^i\\ r_{R,\mathrm{bpx}}^r& r_{R,\mathrm{bpy}}^r& 0& 0\\ 0& 0& r_{R,\mathrm{bpx}}^r& r_{R,\mathrm{bpy}}^r\end{array}\right]---\left(13\right)$

r_R，bpx表示由p点x方向振动响应r_R，px计算得到的转子与轴承间x方向振动响应r_R，b，r_R，bpy表示由p点y方向振动响应r_R，py计算得到的转子与轴承间y方向振动响应r_R，b；

β_B(ω)＝[KM_B(ω)C_B(ω)]^T

＝{km_xx(ω)km_xy(ω)km_yx(ω)km_yy(ω)c_xx(ω)c_xy(ω)c_yx(ω)c_yy(ω)}^T

                                       (14)

$q^p\left(\mathrm{\ω}\right)={\left\{\begin{array}{cccc}{P}_{\mathrm{bpx}}^r\left(\mathrm{\ω}\right)& P_{\mathrm{bpy}}^r\left(\mathrm{\ω}\right)& P_{\mathrm{bpx}}^i\left(\mathrm{\ω}\right)& P_{\mathrm{bpy}}^i\left(\mathrm{\ω}\right)\end{array}\right\}}^T---\left(15\right)$

第七步，将第一步所测得的振动量r_R，qx、r_R，qy，重复第六步操作，

有：

$\left[\begin{array}{cc}{B}_0^q\left(\mathrm{\ω}\right)& B_1^q\left(\mathrm{\ω}\right)\end{array}\right]{\mathrm{\β}}_B\left(\mathrm{\ω}\right)=q^q\left(\mathrm{\ω}\right)---\left(16\right)$

其中：

$B_0^q\left(\mathrm{\ω}\right)=\left[\begin{array}{cccc}{r}_{R,\mathrm{bqx}}^r& r_{R,\mathrm{bqy}}^r& 0& 0\\ 0& 0& r_{R,\mathrm{bqx}}^r& r_{R,\mathrm{bqy}}^r\\ r_{R,\mathrm{bqx}}^i& r_{R,\mathrm{bqy}}^i& 0& 0\\ 0& 0& r_{R,\mathrm{bqx}}^i& r_{R,\mathrm{bqy}}^i\end{array}\right]---\left(17\right)$

$B_1^q\left(\mathrm{\ω}\right)=\mathrm{\ω}\left[\begin{array}{cccc}-r_{R,\mathrm{bqx}}^i& -r_{R,\mathrm{bqy}}^i& 0& 0\\ 0& 0& -r_{R,\mathrm{bqx}}^i& -r_{R,\mathrm{bqy}}^i\\ r_{R,\mathrm{bqx}}^r& r_{R,\mathrm{bqy}}^r& 0& 0\\ 0& 0& r_{R,\mathrm{bqx}}^r& r_{R,\mathrm{bqy}}^r\end{array}\right]---\left(18\right)$

β_B(ω)＝[KM_B(ω)C_B(ω)]^T

＝{km_xx(ω)km_xy(ω)km_yx(ω)km_yy(ω)c_xx(ω)c_xy(ω)c_yx(ω)c_yy(ω)}^T

                            (19)

$q^q\left(\mathrm{\ω}\right){=\left\{\begin{array}{cccc}{P}_{\mathrm{bqx}}^r\left(\mathrm{\ω}\right)& P_{\mathrm{bqy}}^r\left(\mathrm{\ω}\right)& P_{\mathrm{bqx}}^i\left(\mathrm{\ω}\right)& P_{\mathrm{bqy}}^i\left(\mathrm{\ω}\right)\end{array}\right\}}^T---\left(20\right)$

第八步，由式(11)和式(16)联立可以计算出

的8个参数km_xx(ω)、km_xy(ω)、km_yx(ω)、km_yy(ω)、c_xx(ω)、c_xy(ω)、c_yx(ω)、c_yy(ω)；

第九步，通过计算出的不同工作转速下的旋转设备支承动刚度参数，可以建立标准，对旋转设备的运行进行安全评定。