CN101996280B - 用于力触觉再现的板弹簧虚拟模型的建模方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种用于力触觉再现的板弹簧虚拟模型的建模方法，其特征是当检测到虚拟代理碰撞到虚拟柔性体表面上任何一点时，在给定的虚拟接触拉力作用下，虚拟代理与虚拟柔性体交互的局部区域内部填充板弹簧虚拟模型，在交互过程中，输出反馈为采用板弹簧虚拟模型计算出来的反应在拉力作用下虚拟柔性体实时变形仿真的力触觉信息的信号；用于力触觉再现的板弹簧虚拟模型中所有单板弹簧变形量之和的叠加对外等效为虚拟柔性体表面的变形，所有单板弹簧被拉伸时消耗的拉力之和等效为给定的虚拟接触拉力；该建模方法准确可靠、计算简便、实时性好、通用性强，能真实的将力触觉信息反馈给操作者，实时逼真地实现对虚拟柔性体的变形仿真。

Description

用于力触觉再现的板弹簧虚拟模型的建模方法

技术领域

本发明涉及一种力触觉再现的建模方法，尤其涉及一种用于虚拟手术仿真过程中，人机交互的基于物理意义的用于柔性体实时力触觉再现的板弹簧虚拟模型的建模方法。

背景技术

虚拟手术具有交互性、无损伤性、可重复性和可定制性等优点。它使得医生可在计算机建立的虚拟环境中进行实时仿真，设计手术过程，进刀的部位、角度、力的大小、提高医生的协作能力等，且可使医生在虚拟手术系统上观察专家手术过程、重复实习、节约成本、规避风险及减少手术并发症。

虚拟手术作为一种新式的手术训练手段，准确快速的力触觉再现的建模方法是虚拟手术成功的关键。采用基于物理意义的力触觉再现的建模方法，实现操作者与操作对象之间的力触觉反馈信息的交互，对柔性体的变形进行实时仿真，一直是虚拟手术仿真的焦点和难点。

目前，常用的基于物理意义的柔性体实时力触觉再现的建模方法主要有如下5种：①弹簧-质点模型具有网格构建直观、简单、联合方程组易于求解的优点，但递归求解时容易引起不稳定的振荡现象，造成仿真结果不够精确。②有限元模型具有较高的仿真精度和真实度，然而计算量较大成为其应用于实时仿真的主要障碍。③锁链模型离散化精度依然不高，且形变由锁链的几何结构来决定，因而所仿真的物体不够真实，此外，该模型的实现不可避免地需要较高的计算量。④边界元模型在求解过程中，虽系统仿真规模较小，但在稳定性方面却存在一定的困难。⑤形状保持链模型具有实时性较好的优点，但是基于链元素为刚性体这个假设，故精度不高。以上说明，这些常用的柔性体实时力触觉再现的建模方法，均存在计算较为繁杂和仿真精度不高等问题，继而影响了计算的实时性和有效性。再加上由于人体柔性体的复杂性、差异性和多样性，使现有常用的基于物理意义的柔性体实时力触觉再现的建模方法在变形效果上不够理想。

鉴于上述问题，为了使虚拟手术仿真过程中力触觉人机交互过程更加符合人们自身的习惯，提高交互的沉浸感和真实感，提出了用于力触觉再现的板弹簧虚拟模型的建模方法。

发明内容

本发明提出一种基于物理意义的用于力触觉再现的板弹簧虚拟模型的建模方法，并适用于柔性体实时虚拟手术仿真过程中。该建模方法计算简单，力触觉表达真实，能快速准确的计算变形，逼真地模拟柔性体实时按压变形仿真，人机交互过程更加真实自然。

本发明采用如下技术方案：

1、一种用于力触觉再现的板弹簧虚拟模型的建模方法，其特征在于该建模方法的主要步骤如下：

步骤1对虚拟场景进行初始化；

步骤2当检测到虚拟代理碰撞到虚拟柔性体表面上任何一点时，在给定的虚拟接触拉力F作用下，虚拟代理与虚拟柔性体交互的局部区域内部填充板弹簧虚拟模型，在交互过程中，输出反馈为采用板弹簧虚拟模型计算出来的反应在拉力作用下虚拟柔性体实时变形仿真的力触觉信息的信号，所述板弹簧虚拟模型的建模方法为：

(1)参数初始化，

(2)在给定的虚拟接触拉力F作用下，当虚拟代理碰撞到虚拟柔性体表面上的任意点时，在碰撞点处下悬挂第一层板弹簧，所述第一层板弹簧为n₁＝1片单板弹簧，单板弹簧的宽度为b、厚度为h₁、长度为l₁，n₁为第一层板弹簧中单板弹簧的片数；在第一层的板弹簧下悬挂第二层板弹簧，所述第二层板弹簧由n₂＝3片单板弹簧叠加构成，单板弹簧的宽度为b、厚度为h₂＝h₁α、长度分别为l₁q、l₁q²、l₁q³，n₂为第二层板弹簧中单板弹簧的片数；在第二层的板弹簧下悬挂第三层板弹簧，所述第三层板弹簧由n₃＝5片单板弹簧叠加构成，单板弹簧的宽度为b、厚度为h₃＝h₁α²、长度分别为l₁q⁴、l₁q⁵、l₁q⁶、l₁q⁷、l₁q⁸，n₃为第三层板弹簧中单板弹簧的片数；依此类推，在第i-1层的板弹簧下悬挂第i层板弹簧，所述第i层板弹簧由n_i＝2i-1片单板弹簧叠加构成，单板弹簧的宽度为b、厚度为h_i＝h₁α^i-1、长度分别为

n_i为第i层板弹簧中单板弹簧的片数，i＝1，2，3，……N，N为自然数；各层板弹簧厚度构成以h₁为首项，以α为公比的等比数列，α＝1～2，组成板弹簧的所有单板弹簧长度构成以l₁为首项，以q为公比的等比数列，q＝1～1.5，用一宽度为B的簧箍，将组成板弹簧的所有单板弹簧夹紧在一起，b≤B≤b+0.1，

采用簧箍夹紧时，组成力触觉再现的板弹簧虚拟模型中的所有单板弹簧均有一段无效部分，在计算弹簧刚度时，应考虑其影响并进行必要的修正，且假定处于第i层板弹簧中n_i片单板弹簧的弹簧刚度均相同，修正后第i层板弹簧中n_i片单板弹簧的等效弹簧刚度

为：

${\tilde{P}}_i={\left(\frac{2L_i^{\′}}{2L_i^{\′}-0.6B}\right)}^3\·P_i---\left(1\right)$

其中，L′_i、P_i、B分别表示第i层板弹簧中n_i片单板弹簧的等效长度、第i层板弹簧中n_i片单板弹簧在未考虑无效部分时的等效弹簧刚度、簧箍宽度，

$L_i^{\′}=\frac{l_1{q}^{{(i-1)}^2}+l_1{q}^{{(i-1)}^2+1}+l_1{q}^{{(i-2)}^2+2}+......+l_1{q}^{i^2-1}}{n_i}---\left(2\right)$

n_i为第i层板弹簧中单板弹簧的片数，即：

n_i＝2i-1                            (3)

第i层板弹簧中n_i片单板弹簧在未考虑无效部分时的等效弹簧刚度P_i为：

$P_i=\frac{3{\mathrm{EI}}_i^{\′}}{L_i^{\′3}}---\left(4\right)$

E、I′_i分别为弹性模量、第i层板弹簧中n_i片单板弹簧的等效截面惯性矩，第i层板弹簧中n_i片单板弹簧的等效截面惯性矩I′_i满足：

$I_i^{\′}=\frac{{\mathrm{bH}}_i^{\′3}}{12}---\left(5\right)$

b、H′_i分别为单板弹簧的宽度、第i层板弹簧中n_i片单板弹簧的等效厚度，

H′_i＝h_i＝h₁α^i-1                        (6)

h_i、h₁、α分别为第i层板弹簧中n_i片单板弹簧的厚度、第一层板弹簧中n₁片单板弹簧的厚度，各层板弹簧厚度构成的等比数列的公比；

假定给定的虚拟接触拉力F的作用线和组成力触觉再现的板弹簧虚拟模型的中心线一致，且在给定的虚拟接触拉力F作用下，若柔性体中共有M层的力触觉再现的板弹簧虚拟模型产生变形，则第M层称为变形截止层，

若给定的虚拟接触拉力F能使第一层板弹簧中n₁＝1片单板弹簧被拉伸时产生的变形量X₁达到第一层板弹簧中n₁＝1片单板弹簧给定的挠度值X_C1，这种情况下假定前M-1层板弹簧中的所有单板弹簧被拉伸时产生的变形量与第一层板弹簧中n₁＝1片单板弹簧给定的挠度值相同，变形截止层第M层板弹簧中n_M片单板弹簧被同时拉伸时任一单板弹簧产生的变形量均不大于第一层板弹簧中n₁＝1片单板弹簧给定的挠度值X_C1，

第一层板弹簧中n₁＝1片单板弹簧被拉伸时消耗的拉力F₁为：

其中，X_C1、

分别表示第一层板弹簧中n₁＝1片单板弹簧给定的挠度值、修正后第一层板弹簧中n₁＝1片单板弹簧的等效弹簧刚度，

${\tilde{P}}_1={\left(\frac{2L_1^{\′}}{2L_1^{\′}-0.6B}\right)}^3\·P_1---\left(8\right)$

其中，L′₁、P₁、B分别表示第一层板弹簧中n₁片单板弹簧的等效长度、第一层板弹簧中n₁片单板弹簧在未考虑无效部分时的等效弹簧刚度、簧箍宽度，

根据：

L′₁＝l₁                                (9)

第一层板弹簧中n₁片单板弹簧在未考虑无效部分时的等效弹簧刚度P₁满足

$P_1=\frac{3{\mathrm{EI}}_1^{\′}}{L_1^{\′3}}---\left(10\right)$

E、I₁′分别为弹性模量、第一层板弹簧中n₁片单板弹簧的等效截面惯性矩，第一层板弹簧中n₁片单板弹簧的等效截面惯性矩I₁′满足：

$I_1^{\′}=\frac{{\mathrm{bH}}_1^{\′3}}{12}---\left(11\right)$

b、H₁′分别为单板弹簧的宽度、第一层板弹簧中n₁片单板弹簧的等效厚度，

H′₁＝h₁                            (12)

h₁为第一层板弹簧中n₁片单板弹簧的厚度，

除第一层板弹簧和变形截止层第M层板弹簧外，其余第j层板弹簧中n_j片单板弹簧被同时拉伸时消耗的拉力F_j为：

$F_j=\frac{48E\·I_j^{\′}\·X_{C1}}{\mathrm{\δ}\·L_j^{\′3}}---\left(13\right)$

j的取值范围为2～M-1，

其中，E、I′_j、X_C1、δ、L′_j分别表示弹性模量、第j层板弹簧中n_j片单板弹簧的等效截面惯性矩、第一层板弹簧中n₁＝1片单板弹簧给定的挠度值、挠度增大系数、第j层板弹簧中n_j片单板弹簧的等效长度，

第j层板弹簧中n_j片单板弹簧的等效截面惯性矩I_j′满足：

$I_j^{\′}=\frac{{\mathrm{bH}}_j^{\′3}}{12}---\left(14\right)$

b、H_j′分别为单板弹簧的宽度、第j层板弹簧中n_j片单板弹簧的等效厚度，

H′_j＝h_j＝h₁α^j-1                            (15)

h_j、h₁、α分别为第j层板弹簧中n_j片单板弹簧的厚度、第一层板弹簧中n₁片单板弹簧的厚度，各层板弹簧厚度构成的等比数列的公比，

第j层板弹簧中n_j片单板弹簧的等效长度满足：

$L_j^{\′}=\frac{l_1{q}^{{(j-1)}^2}+l_1{q}^{{(j-1)}^2+1}+l_1{q}^{{(j-1)}^2+2}+......+l_1{q}^{j^2-1}}{n_j}---\left(16\right)$

n_j为第j层板弹簧中单板弹簧的片数，即：

n_j＝2j-1                        (17)

变形截止层第M层板弹簧中n_M片单板弹簧被同时拉伸时产生的变形量之和X_M为：

$X_M=\frac{F-\underset{i=1}{\overset{M-1}{\mathrm{\Σ}}}{F}_i}{{\tilde{P}}_M}---\left(18\right)$

变形截止层第M层板弹簧中n_M片单板弹簧被同时拉伸时任一单板弹簧产生的变形量为：

${\stackrel{\‾}{X}}_M=\frac{X_M}{n_M}=\frac{X_M}{2M-1}---\left(19\right)$

为修正后变形截止层第M层板弹簧中n_M＝2M-1片单板弹簧的等效弹簧刚度，

${\tilde{P}}_M={\left(\frac{2L_M^{\′}}{2L_M^{\′}-0.6B}\right)}^3\·P_M---\left(20\right)$

其中，L′_M、P_M、B分别表示变形截止层第M层板弹簧中n_M片单板弹簧的等效长度、变形截止层第M层板弹簧中n_M片单板弹簧在未考虑无效部分时的等效弹簧刚度、簧箍宽度，

变形截止层第M层板弹簧中n_M片单板弹簧的等效长度满足：

$L_M^{\′}=\frac{l_1{q}^{{(M-1)}^2}+l_1{q}^{{(M-1)}^2+1}+l_1{q}^{{(M-1)}^2+2}+......+l_1{q}^{M^2-1}}{n_M}---\left(21\right)$

n_M为变形截止层第M层板弹簧中单板弹簧的片数，即：

n_M＝2M-1                                (22)

变形截止层第M层板弹簧中n_M片单板弹簧在未考虑无效部分时的等效弹簧刚度P_M为：

$P_M=\frac{3{\mathrm{EI}}_M^{\′}}{{L_M^{\′}}^3}---\left(23\right)$

E、I_M′分别为弹性模量、变形截止层第M层板弹簧中n_M片单板弹簧的等效截面惯性矩，

变形截止层第M层板弹簧中n_M片单板弹簧的等效截面惯性矩I_M′满足：

${I_M}^{\′}=\frac{{{\mathrm{bH}}_M^{\′}}^3}{12}---\left(24\right)$

b、H_M′分别为单板弹簧的宽度、第M层板弹簧中n_M片单板弹簧的等效厚度，

H′_M＝h_M＝h₁α^M-1                        (25)

h_M、h₁、α分别为变形截止层第M层板弹簧中n_M片单板弹簧的厚度、第一层板弹簧中n₁片单板弹簧的厚度，各层板弹簧厚度构成的等比数列的公比；

(3)使给定的虚拟接触拉力F作用于虚拟柔性体碰撞点，第i层板弹簧中n_i片单板弹簧被同时拉伸，如果前i层板弹簧中的所有单板弹簧被拉伸时消耗的拉力F_i之和小于给定的虚拟接触拉力F，且前i层板弹簧中的所有单板弹簧被同时拉伸变形总计需要的时延时间满足刷新频率1000Hz以上的要求，设共计经过时延T_i后，第i层板弹簧中n_i片单板弹簧被同时拉伸，相应的n_i片单板弹簧同时产生拉伸变形，只有当第i层板弹簧中n_i片单板弹簧被同时拉伸时产生的变形量达到与第一层板弹簧中n₁＝1片单板弹簧给定的挠度值后，第i+1层板弹簧中n_i+1片单板弹簧才开始被同时拉伸，相应的n_i+1片单板弹簧才开始同时产生拉伸变形，依此类推，直到前M层板弹簧中的所有单板弹簧被拉伸时消耗的拉力之和不小于给定的虚拟接触拉力F，或第M层板弹簧中n_M片单板弹簧被同时拉伸变形总计需要的时延时间不满足刷新频率的要求；

用t_i、T_i分别表示第i层板弹簧中n_i片单板弹簧被同时拉伸变形需要的时延时间、前i层板弹簧中的所有单板弹簧被拉伸变形总计需要的时延时间，且令层间的时延时间满足以第一层板弹簧中n₁片单板弹簧被拉伸变形需要的时延时间t₁为首项，以ω为公比的等比数列，即：

t_i＝ω^i-1t₁                            (26)

从虚拟代理碰撞接触到虚拟柔性体表面算起，假定前i层板弹簧中的所有单板弹簧被拉伸变形总计需要的时延时间为t_i，且其须满足T_i＜T，其中

$T_i=t_1+t_2+t_3+...+t_{i-1}+t_i$

$=\frac{1-{\mathrm{\ω}}^i}{1-\mathrm{\ω}}\·t_1---\left(27\right)$

T为力触觉再现刷新频率的倒数；

所述用于力触觉再现的板弹簧虚拟模型中所有单板弹簧变形量之和的叠加对外等效为虚拟柔性体表面的变形，

其中，X为前M层板弹簧中的所有单板弹簧被拉伸时产生的变形量之和，X_i为前M-1层板弹簧中任意第i层板弹簧中n_i片单板弹簧被同时拉伸时产生的变形量之和，X_M为变形截止层第M层板弹簧中n_M片单板弹簧被同时拉伸时产生的变形量之和，n_i为第i层板弹簧中单板弹簧的片数，X_C1为第一层板弹簧中n₁＝1片单板弹簧给定的挠度值，F为给定的虚拟接触拉力，

为修正后第一层板弹簧中n₁＝1片单板弹簧的等效弹簧刚度。

本发明的优点：

(1)和以往常用的基于物理意义的用于柔性体实时力触觉再现的建模方法相比，该建模方法中，若给定的虚拟接触拉力能使第一层板弹簧中n₁＝1片单板弹簧被拉伸时产生的变形量X₁达到第一层板弹簧中n₁＝1片单板弹簧给定的挠度值X_C1，即最大变形量，这种情况下假定前M-1层板弹簧中的所有单板弹簧被拉伸时产生的变形量与第一层板弹簧中n₁＝1片单板弹簧给定的挠度值相同，从而减少变形计算量，使运算速度加快。

(2)在变形计算过程中，将第i层板弹簧中叠加在一起的n_i片单板弹簧采用等效的方法，进一步简化了计算，提高了运算效率。

(3)通过改变建模方法中单板弹簧的宽度b、第一层板弹簧中单板弹簧的片数n₁、厚度h₁、长度l₁、第i层板弹簧中单板弹簧的片数n_i、各层板弹簧厚度构成的等比数列的公比α、各层板弹簧长度构成的等比数列的公比q，就可对不同的虚拟柔性体进行变形仿真，建模方法通用性好。

(4)在学术研究上，该建模方法对于虚拟现实技术、临场感技术、人机交互技术等领域有重要意义；在实际应用上，该建模方法在医疗、军事、教育、空间探索等领域具有广泛的应用前景。

附图说明

图1是力触觉再现的板弹簧虚拟模型的柔性体变形仿真流程图；

图2是力触觉再现的板弹簧虚拟模型的建模方法流程图；

图3是用于力触觉再现的板弹簧虚拟模型的建模方法中，拉力、变形层数与时延时间关系示意图；

图4是板弹簧虚拟模型的建模方法示意图，(a)是原始状态，(b)是拉伸下的状态，(c)为该建模方法各层与虚拟柔性体表面的对应关系及各层对应边界点的受力等效图。

具体实施方式：

具体实施例1：

一种用于力触觉再现的板弹簧虚拟模型的建模方法，其特征在于该建模方法的主要步骤如下：

1、一种用于力触觉再现的板弹簧虚拟模型的建模方法，其特征在于该建模方法的主要步骤如下：

步骤1对虚拟场景进行初始化；

步骤2当检测到虚拟代理碰撞到虚拟柔性体表面上任何一点时，在给定的虚拟接触拉力F作用下，虚拟代理与虚拟柔性体交互的局部区域内部填充板弹簧虚拟模型，在交互过程中，输出反馈为采用板弹簧虚拟模型计算出来的反应在拉力作用下虚拟柔性体实时变形仿真的力触觉信息的信号，所述板弹簧虚拟模型的建模方法为：

(1)参数初始化，

(2)在给定的虚拟接触拉力F作用下，当虚拟代理碰撞到虚拟柔性体表面上的任意点时，在碰撞点处下悬挂第一层板弹簧，所述第一层板弹簧为n₁＝1片单板弹簧，单板弹簧的宽度为b、厚度为h₁、长度为l₁，n₁为第一层板弹簧中单板弹簧的片数；在第一层的板弹簧下悬挂第二层板弹簧，所述第二层板弹簧由n₂＝3片单板弹簧叠加构成，单板弹簧的宽度为b、厚度为h₂＝h₁α、长度分别为l₁q、l₁q²、l₁q³，n₂为第二层板弹簧中单板弹簧的片数；在第二层的板弹簧下悬挂第三层板弹簧，所述第三层板弹簧由n₃＝5片单板弹簧叠加构成，单板弹簧的宽度为b、厚度为h₃＝h₁α²、长度分别为l₁q⁴、l₁q⁵、l₁q⁶、l₁q⁷、l₁q⁸，n₃为第三层板弹簧中单板弹簧的片数；依此类推，在第i-1层的板弹簧下悬挂第i层板弹簧，所述第i层板弹簧由n_i＝2i-1片单板弹簧叠加构成，单板弹簧的宽度为b、厚度为h_i＝h₁α^i-1、长度分别为

n_i为第i层板弹簧中单板弹簧的片数，i＝1，2，3，……N，N为自然数；各层板弹簧厚度构成以h₁为首项，以α为公比的等比数列，α＝1～2，组成板弹簧的所有单板弹簧长度构成以l₁为首项，以q为公比的等比数列，q＝1～1.5，用一宽度为B的簧箍，将组成板弹簧的所有单板弹簧夹紧在一起，b≤B≤b+0.1，

采用簧箍夹紧时，组成力触觉再现的板弹簧虚拟模型中的所有单板弹簧均有一段无效部分，在计算弹簧刚度时，应考虑其影响并进行必要的修正，且假定处于第i层板弹簧中n_i片单板弹簧的弹簧刚度均相同，修正后第i层板弹簧中n_i片单板弹簧的等效弹簧刚度

为：

${\tilde{P}}_i={\left(\frac{2L_i^{\′}}{2L_i^{\′}-0.6B}\right)}^3\·P_i---\left(1\right)$

其中，L′_i、P_i、B分别表示第i层板弹簧中n_i片单板弹簧的等效长度、第i层板弹簧中n_i片单板弹簧在未考虑无效部分时的等效弹簧刚度、簧箍宽度，

$L_i^{\′}=\frac{l_1{q}^{{(i-1)}^2}+l_1{q}^{{(i-1)}^2+1}+l_1{q}^{{(i-2)}^2+2}+......+l_1{q}^{i^2-1}}{n_i}---\left(2\right)$

n_i为第i层板弹簧中单板弹簧的片数，即：

n_i＝2i-1                            (3)

第i层板弹簧中n_i片单板弹簧在未考虑无效部分时的等效弹簧刚度P_i为：

$P_i=\frac{3{\mathrm{EI}}_i^{\′}}{L_i^{\′3}}---\left(4\right)$

E、I′_i分别为弹性模量、第i层板弹簧中n_i片单板弹簧的等效截面惯性矩，第i层板弹簧中n_i片单板弹簧的等效截面惯性矩I′_i满足：

$I_i^{\′}=\frac{{\mathrm{bH}}_i^{\′3}}{12}---\left(5\right)$

b、H′_i分别为单板弹簧的宽度、第i层板弹簧中n_i片单板弹簧的等效厚度，

H′_i＝h_i＝h₁α^i-1                            (6)

h_i、h₁、α分别为第i层板弹簧中n_i片单板弹簧的厚度、第一层板弹簧中n₁片单板弹簧的厚度，各层板弹簧厚度构成的等比数列的公比；

假定给定的虚拟接触拉力F的作用线和组成力触觉再现的板弹簧虚拟模型的中心线一致，且在给定的虚拟接触拉力F作用下，若柔性体中共有M层的力触觉再现的板弹簧虚拟模型产生变形，则第M层称为变形截止层，

若给定的虚拟接触拉力F能使第一层板弹簧中n₁＝1片单板弹簧被拉伸时产生的变形量X₁达到第一层板弹簧中n₁＝1片单板弹簧给定的挠度值X_C1，这种情况下假定前M-1层板弹簧中的所有单板弹簧被拉伸时产生的变形量与第一层板弹簧中n₁＝1片单板弹簧给定的挠度值相同，变形截止层第M层板弹簧中n_M片单板弹簧被同时拉伸时任一单板弹簧产生的变形量均不大于第一层板弹簧中n₁＝1片单板弹簧给定的挠度值X_C1，

第一层板弹簧中n₁＝1片单板弹簧被拉伸时消耗的拉力F₁为：

其中，X_C1、

分别表示第一层板弹簧中n₁＝1片单板弹簧给定的挠度值、修正后第一层板弹簧中n₁＝1片单板弹簧的等效弹簧刚度，

${\tilde{P}}_1={\left(\frac{2L_1^{\′}}{2L_1^{\′}-0.6B}\right)}^3\·P_1---\left(8\right)$

其中，L₁′、P₁、B分别表示第一层板弹簧中n₁片单板弹簧的等效长度、第一层板弹簧中n₁片单板弹簧在未考虑无效部分时的等效弹簧刚度、簧箍宽度，

根据：

L′₁＝l₁                        (9)

第一层板弹簧中n₁片单板弹簧在未考虑无效部分时的等效弹簧刚度P₁满足

$P_1=\frac{3{\mathrm{EI}}_1^{\′}}{L_1^{\′3}}---\left(10\right)$

E、I₁′分别为弹性模量、第一层板弹簧中n₁片单板弹簧的等效截面惯性矩，第一层板弹簧中n₁片单板弹簧的等效截面惯性矩I₁′满足：

$I_1^{\′}=\frac{{\mathrm{bH}}_1^{\′3}}{12}---\left(11\right)$

b、H₁′分别为单板弹簧的宽度、第一层板弹簧中n₁片单板弹簧的等效厚度，

H′₁＝h₁                            (12)

h₁为第一层板弹簧中n₁片单板弹簧的厚度，

除第一层板弹簧和变形截止层第M层板弹簧外，其余第j层板弹簧中n_j片单板弹簧被同时拉伸时消耗的拉力F_j为：

$F_j=\frac{48E\·I_j^{\′}\·X_{C1}}{\mathrm{\δ}\·L_j^{\′3}}---\left(13\right)$

j的取值范围为2～M-1，

其中，E、I′_j、X_C1、δ、L′_j分别表示弹性模量、第j层板弹簧中n_j片单板弹簧的等效截面惯性矩、第一层板弹簧中n₁＝1片单板弹簧给定的挠度值、挠度增大系数、第j层板弹簧中n_j片单板弹簧的等效长度，

第j层板弹簧中n_j片单板弹簧的等效截面惯性矩I_j′满足：

$I_j^{\′}=\frac{{\mathrm{bH}}_j^{\′3}}{12}---\left(14\right)$

b、H_j′分别为单板弹簧的宽度、第j层板弹簧中n_j片单板弹簧的等效厚度，

H′_j＝h_j＝h₁α^j-1                        (15)

h_j、h₁、α分别为第j层板弹簧中n_j片单板弹簧的厚度、第一层板弹簧中n₁片单板弹簧的厚度，各层板弹簧厚度构成的等比数列的公比，

第j层板弹簧中n_j片单板弹簧的等效长度满足：

$L_j^{\′}=\frac{l_1{q}^{{(j-1)}^2}+l_1{q}^{{(j-1)}^2+1}+l_1{q}^{{(j-1)}^2+2}+......+l_1{q}^{j^2-1}}{n_j}---\left(16\right)$

n_j为第j层板弹簧中单板弹簧的片数，即：

n_j＝2j-1                    (17)

变形截止层第M层板弹簧中n_M片单板弹簧被同时拉伸时产生的变形量之和X_M为：

$X_M=\frac{F-\underset{i=1}{\overset{M-1}{\mathrm{\Σ}}}{F}_i}{{\tilde{P}}_M}---\left(18\right)$

变形截止层第M层板弹簧中n_M片单板弹簧被同时拉伸时任一单板弹簧产生的变形量

为：

${\stackrel{\‾}{X}}_M=\frac{X_M}{n_M}=\frac{X_M}{2M-1}---\left(19\right)$

为修正后变形截止层第M层板弹簧中n_M＝2M-1片单板弹簧的等效弹簧刚度，

${\tilde{P}}_M={\left(\frac{2L_M^{\′}}{2L_M^{\′}-0.6B}\right)}^3\·P_M---\left(20\right)$

其中，L′_M、P_M、B分别表示变形截止层第M层板弹簧中n_M片单板弹簧的等效长度、变形截止层第M层板弹簧中n_M片单板弹簧在未考虑无效部分时的等效弹簧刚度、簧箍宽度，

变形截止层第M层板弹簧中n_M片单板弹簧的等效长度满足：

$L_M^{\′}=\frac{l_1{q}^{{(M-1)}^2}+l_1{q}^{{(M-1)}^2+1}+l_1{q}^{{(M-1)}^2+2}+......+l_1{q}^{M^2-1}}{n_M}---\left(21\right)$

n_M为变形截止层第M层板弹簧中单板弹簧的片数，即：

n_M＝2M-1                        (22)

变形截止层第M层板弹簧中n_M片单板弹簧在未考虑无效部分时的等效弹簧刚度P_M为：

$P_M=\frac{3{\mathrm{EI}}_M^{\′}}{{L_M^{\′}}^3}---\left(23\right)$

E、I_M′分别为弹性模量、变形截止层第M层板弹簧中n_M片单板弹簧的等效截面惯性矩，

变形截止层第M层板弹簧中n_M片单板弹簧的等效截面惯性矩I_M′满足：

${I_M}^{\′}=\frac{{{\mathrm{bH}}_M^{\′}}^3}{12}---\left(24\right)$

b、H_M′分别为单板弹簧的宽度、第M层板弹簧中n_M片单板弹簧的等效厚度，

H′_M＝h_M＝h₁α^M-1                    (25)

h_M、h₁、α分别为变形截止层第M层板弹簧中n_M片单板弹簧的厚度、第一层板弹簧中n₁片单板弹簧的厚度，各层板弹簧厚度构成的等比数列的公比；

(3)使给定的虚拟接触拉力F作用于虚拟柔性体碰撞点，第i层板弹簧中n_i片单板弹簧被同时拉伸，如果前i层板弹簧中的所有单板弹簧被拉伸时消耗的拉力F_i之和小于给定的虚拟接触拉力F，且前i层板弹簧中的所有单板弹簧被同时拉伸变形总计需要的时延时间满足刷新频率1000Hz以上的要求，设共计经过时延T_i后，第i层板弹簧中n_i片单板弹簧被同时拉伸，相应的n_i片单板弹簧同时产生拉伸变形，只有当第i层板弹簧中n_i片单板弹簧被同时拉伸时产生的变形量达到与第一层板弹簧中n₁＝1片单板弹簧给定的挠度值后，第i+1层板弹簧中n_i+1片单板弹簧才开始被同时拉伸，相应的n_i+1片单板弹簧才开始同时产生拉伸变形，依此类推，直到前M层板弹簧中的所有单板弹簧被拉伸时消耗的拉力之和不小于给定的虚拟接触拉力F，或第M层板弹簧中n_M片单板弹簧被同时拉伸变形总计需要的时延时间不满足刷新频率的要求；

用t_i、T_i分别表示第i层板弹簧中n_i片单板弹簧被同时拉伸变形需要的时延时间、前i层板弹簧中的所有单板弹簧被拉伸变形总计需要的时延时间，且令层间的时延时间满足以第一层板弹簧中n₁片单板弹簧被拉伸变形需要的时延时间t₁为首项，以ω为公比的等比数列，即：

t_i＝ω^i-1t₁                        (26)

从虚拟代理碰撞接触到虚拟柔性体表面算起，假定前i层板弹簧中的所有单板弹簧被拉伸变形总计需要的时延时间为T_i，且其须满足T_i＜T，其中

$T_i=t_1+t_2+t_3+...+t_{i-1}+t_i$

$=\frac{1-{\mathrm{\ω}}^i}{1-\mathrm{\ω}}\·t_1---\left(27\right)$

T为力触觉再现刷新频率的倒数；

所述用于力触觉再现的板弹簧虚拟模型中所有单板弹簧变形量之和的叠加对外等效为虚拟柔性体表面的变形，

其中，X为前M层板弹簧中的所有单板弹簧被拉伸时产生的变形量之和，X_i为前M-1层板弹簧中任意第i层板弹簧中n_i片单板弹簧被同时拉伸时产生的变形量之和，X_M为变形截止层第M层板弹簧中n_M片单板弹簧被同时拉伸时产生的变形量之和，n_i为第i层板弹簧中单板弹簧的片数，X_C1为第一层板弹簧中n₁＝1片单板弹簧给定的挠度值，F为给定的虚拟接触拉力，

为修正后第一层板弹簧中n₁＝1片单板弹簧的等效弹簧刚度。

具体实施例2：

1、构建虚拟医用中弯钳模型和虚拟胃模型，对虚拟场景进行初始化。

本实例中所有虚拟医用中弯钳和虚拟胃模型都直接采用从3DS MAX 9.0软件中导出的OBJ格式，以327个质点，645个三角网格构成的虚拟医用中弯钳和2308个质点，4614个三角网格构成的虚拟胃模型为例来进行变形仿真，实验过程中模型获取和修改非常方便；操作系统为Windows 2000，以3DS MAX 9.0、OpenGL图形库为基础，在VC++6.0软件开发平台上进行仿真。

2、当检测到虚拟医用中弯钳碰撞到虚拟胃表面上任何一点时，在给定虚拟接触拉力F＝2.45N作用下，虚拟医用中弯钳与虚拟胃交互的局部区域内部填充板弹簧虚拟模型，在交互过程中，输出反馈为采用板弹簧虚拟模型计算出来的反应在拉力作用下虚拟胃实时变形仿真的力触觉信息的信号，

板弹簧虚拟模型中所有单板弹簧的宽度均相同，假定单板弹簧的宽度b＝1.5mm，第一层板弹簧为n₁＝1片单板弹簧，单板弹簧的厚度h₁＝1.2mm、长度l₁＝3mm，各层板弹簧厚度构成以h₁＝1.2mm为首项，以α＝1.5为公比的等比数列，各层板弹簧长度构成以l₁＝3mm为首项，以q＝1.2为公比的等比数列，用一宽度为B＝1.55mm的簧箍，将组成板弹簧的所有单板弹簧夹紧在一起，计算的中间过程、最后的数据均按四舍五入法保留小数点后3位。

假定给定的虚拟接触拉力F的作用线和组成力触觉再现的板弹簧虚拟模型的中心线一致，且在给定的虚拟接触拉力F作用下，若柔性体中共有M层的力触觉再现的板弹簧虚拟模型产生变形，则第M层称为变形截止层，

若给定的虚拟接触拉力F能使第一层板弹簧中n₁＝1片单板弹簧被拉伸时产生的变形量达到第一层板弹簧中n₁＝1片单板弹簧给定的挠度值X_C1＝0.65mm，这种情况下假定前M-1层板弹簧中的所有单板弹簧被拉伸时产生的变形量与第一层板弹簧中n₁＝1片单板弹簧给定的挠度值X_C1＝0.65mm相同，变形截止层第M层板弹簧中n_M片单板弹簧被同时拉伸时任一单板弹簧产生的变形量均不大于第一层板弹簧中n₁＝1片单板弹簧给定的挠度值X_C1＝0.65mm，

组成力触觉再现的板弹簧虚拟模型中的所有单板弹簧的材质均相同，即取E＝3.24×10⁷Pa，

第一层板弹簧中n₁＝1片单板弹簧的等效厚度H′₁＝h₁＝1.2mm，

第一层板弹簧中n₁＝1片单板弹簧的等效截面惯性矩I₁′满足：

$I_1^{\′}=\frac{{\mathrm{bH}}_1^{\′3}}{12}=\frac{1.5\×{1.2}^3}{12}=0.216{\mathrm{mm}}^4---\left(1\right)$

第一层板弹簧中n₁＝1片单板弹簧的等效长度L′₁＝l₁＝3mm，

第一层板弹簧中n₁片单板弹簧在未考虑无效部分时的等效弹簧刚度P₁满足

$P_1=\frac{3{\mathrm{EI}}_1^{\′}}{L_1^{\′3}}=\frac{3\×3.24\×{10}^7\×0.216}{3^3}=0.778N/\mathrm{mm}---\left(2\right)$

采用簧箍夹紧时，组成力触觉再现的板弹簧虚拟模型中的所有单板弹簧均有一段无效部分，在计算弹簧刚度时，应考虑其影响并进行必要的修正，修正后第一层板弹簧中n₁＝1片单板弹簧的等效弹簧刚度

${\tilde{P}}_1={\left(\frac{2L_1^{\′}}{2L_1^{\′}-0.6B}\right)}^3\·P_1={\left(\frac{2\×3}{2\×3-0.6\×1.55}\right)}^3\×0.778=1.288N/\mathrm{mm}---\left(3\right)$

若给定的虚拟接触拉力F能使第一层板弹簧中n₁＝1片单板弹簧被拉伸时产生的变形量与第一层板弹簧中n₁＝1片单板弹簧给定的挠度值相同，则第一层板弹簧中n₁＝1片单板弹簧被拉伸时消耗的拉力F₁为：

$F_1=X_{C1}\·{\tilde{P}}_1=0.65\×1.288=0.837N---\left(4\right)$

F₁＝0.837N＜F＝2.45N，

假定第一层板弹簧中n₁＝1片单板弹簧被拉伸变形需要的时延时间t₁＝10^-5s，

假定力触觉再现刷新频率为1200Hz，则力触觉再现刷新频率的倒数

第一层板弹簧中n₁＝1片单板弹簧被拉伸变形总计需要的时延时间T₁＝t₁＝10^-5s＜T，

因此，第一层板弹簧中n₁＝1片单板弹簧被拉伸时消耗的拉力F₁＝0.837N＜F＝2.45N，且第一层板弹簧中n₁＝1片单板弹簧被拉伸变形总计需要的时延时间T₁满足力触觉再现刷新频率1000Hz以上的要求；只有当第一层板弹簧中n₁＝1片单板弹簧被拉伸到第一层板弹簧中n₁＝1片单板弹簧给定的挠度值后，第二层板弹簧中n₂＝3片单板弹簧才开始被同时拉伸。

第二层板弹簧由n₂＝3片单板弹簧叠加构成，厚度h₂＝h₁α＝1.2×1.5＝1.8mm、长度分别为l₁q＝3×1.2＝3.6mm、l₁q²＝3×1.2²＝4.32mm、l₁q³＝3×1.2³＝5.184mm，

第二层板弹簧中n₂＝3片单板弹簧的等效长度L′₂：

$L_2^{\′}=\frac{l_{1}q+l_1{q}^2+l_1{q}^3}{3}=\frac{3.6+4.32+5.184}{3}=4.368\mathrm{mm}---\left(5\right)$

第二层板弹簧中n₂＝3片单板弹簧的等效厚度，

H′₂＝h₂＝h₁α＝1.2×1.5＝1.8mm                (6)

第二层板弹簧中n₂＝3片单板弹簧的等效截面惯性矩I₂′：

$I_2^{\′}=\frac{{\mathrm{bH}}_2^{\′3}}{12}=\frac{1.5\×{1.8}^3}{12}=0.729{\mathrm{mm}}^4---\left(7\right)$

假定挠度增大系数δ＝6，

若给定的虚拟接触拉力F能使第二层板弹簧中n₂＝3片单板弹簧被同时拉伸时产生的变形量与第一层板弹簧中n₁＝1片单板弹簧给定的挠度值相同，则第二层板弹簧中n₂＝3片单板弹簧被同时拉伸时消耗的拉力F₂为：

$F_2=\frac{48E\·I_2^{\′}\·X_{C1}}{\mathrm{\δ}\·L_2^{\′3}}=\frac{48\×3.24\×{10}^7\×0.729\×0.65}{6\×{4.368}^3}=1.474N---\left(8\right)$

前两层板弹簧中的所有的单板弹簧被拉伸时消耗的拉力之和为：

F₁+F₂＝0.837+1.474＝2.311N＜F＝2.45N

且令层间的时延时间满足以第一层板弹簧中n₁＝1片单板弹簧被拉伸变形需要的时延时间t₁为首项，以w＝1.1为公比的等比数列，

前两层板弹簧中的所有的单板弹簧产生拉伸变形总计需要的时延时间：T₂＝t₁+t₂＝(1+w)t₁＝2.1×10^-5s＜T，这里T为力触觉再现刷新频率的倒数，

因前两层板弹簧中的所有的单板弹簧被拉伸时消耗的拉力之和小于给定的虚拟接触拉力，且前两层板弹簧中的所有的单板弹簧产生拉伸变形总计需要的时延时间T₂满足刷新频率1000Hz以上的要求；只有当第二层板弹簧中n₂＝3片单板弹簧被同时拉伸到第一层板弹簧中n₁＝1片单板弹簧给定的挠度值后，第三层板弹簧中n₃＝5片单板弹簧才开始被同时拉伸。

第三层板弹簧由n₃＝5片单板弹簧叠加构成，厚度h₃＝h₁α²＝1.2×1.5²＝2.7mm、长度分别为l₁q⁴＝3×1.2⁴＝6.221mm、l₁q⁵＝3×1.2⁵＝7.465mm、l₁q⁶＝3×1.2⁶＝8.958mm、l₁q⁷＝3×1.2⁷＝10.750mm、l₁q⁸＝3×1.2⁸＝12.899mm，

第三层板弹簧中n₃＝5片单板弹簧的等效长度L′₃：

$L_3^{\′}=\frac{l_1{q}^4+l_1{q}^5+l_1{q}^6+l_1{q}^7+l_1{q}^8}{5}$

$=\frac{6.221+7.465+8.958+10.750+12.899}{5}---\left(9\right)$

$=9.259\mathrm{mm}$

第三层板弹簧中n₃＝5片单板弹簧的等效厚度，

H′₃＝h₃＝h₁α²＝1.2×1.5²＝2.7mm                    (10)

第三层板弹簧中n₃＝5片单板弹簧的等效截面惯性矩I₃′：

$I_3^{\′}=\frac{{\mathrm{bH}}_3^{\′3}}{12}=\frac{1.5\×{2.7}^3}{12}=2.460{\mathrm{mm}}^4---\left(11\right)$

若给定的虚拟接触拉力F能使第三层板弹簧中n₃＝5片单板弹簧被同时拉伸时产生的变形量与第一层板弹簧中n₁＝1片单板弹簧给定的挠度值相同，则第三层板弹簧中n₃＝5片单板弹簧被同时拉伸时消耗的拉力F₃为：

$F_3=\frac{48E\·I_3^{\′}\·X_{C1}}{\mathrm{\δ}\·L_3^{\′3}}=\frac{48\×3.24\×{10}^7\×2.460\×0.65}{6\×{9.259}^3}=0.522N---\left(12\right)$

前三层板弹簧中的所有的单板弹簧被拉伸时消耗的拉力之和为：

F₁+F₂+F₃＝0.837+1.474+0.522＝2.833N＞F＝2.45N

由于前三层板弹簧中所有的单板弹簧被拉伸时消耗的拉力之和不小于给定的虚拟接触拉力，则第三层为变形截止层，不需要再判断是否满足刷新频率的要求，此时前二层板弹簧中所有的单板弹簧被拉伸时产生的变形量与第一层板弹簧中n₁＝1片单板弹簧给定的挠度值，

变形截止层第三层板弹簧中n₃＝5片单板弹簧在未考虑无效部分时的等效弹簧刚度P₃为：

$P_3=\frac{3{\mathrm{EI}}_3^{\′}}{L_3^{\′3}}=\frac{3\×3.24\×{10}^7\×2.460}{{9.259}^3}=0.301N/\mathrm{mm}---\left(13\right)$

修正后变形截止层第三层板弹簧中n₃＝5片单板弹簧的等效弹簧刚度

${\tilde{P}}_3={\left(\frac{2L_3^{\′}}{2L_3^{\′}-0.6B}\right)}^3\·P_3$

$={\left(\frac{2\×9.259}{2\×9.259-0.6\×1.55}\right)}^3\×0.301---\left(14\right)$

$=0.351N/\mathrm{mm}$

变形截止层第三层板弹簧中n₃＝5片单板弹簧被同时拉伸时产生的变形量之和X₃为：

$X_3=\frac{F-(F_1+F_2)}{{\tilde{P}}_3}=\frac{2.45-(0.837+1.474)}{0.351}=0.396\mathrm{mm}---\left(115\right)$

变形截止层第三层板弹簧中n₃＝5片单板弹簧被同时拉伸时任一单板弹簧产生的变形量

为：

${\stackrel{\‾}{X}}_3=\frac{X_3}{n_3}=\frac{X_3}{5}=\frac{0.396}{5}=0.0792\mathrm{mm}---\left(16\right)$

故在给定的虚拟接触拉力F＝2.6N作用下，用于力触觉再现的板弹簧虚拟模型的建模方法中，前三层板弹簧中所有的单板弹簧被拉伸时产生的变形量之和的叠加对外等效为虚拟柔性体表面的变形，变形量之和为：

X＝X₁+X₂+X₃

＝X_C1+X_C1+X₃                        (17)

＝0.65+0.65+0.396

＝1.696mm

注意：在采用力触觉再现的板弹簧虚拟模型的建模方法来计算在给定虚拟接触拉力作用下柔性体实时变形仿真的过程中，若b、h₁、l₁、α、q、δ这些参数选取的过大，则力触觉再现的板弹簧虚拟模型的建模方法中变形的层数就少，计算量小，实时性好，但变形仿真效果不佳；如果b、h₁、l₁、α、q、δ这些参数选取的过小，则力触觉再现的板弹簧虚拟模型的建模方法中变形的层数就越多，计算量大，实时性不佳，但变形仿真效果较好；同时在选择这些参数时，要不断调试，否则将第i层板弹簧中叠加在一起的n_i片单板弹簧采用等效的方法计算时可能会出现计算数据异常的现象；另外在设置t₁和t_i之间的比例关系时，要考虑到程序运行时计算机本身的硬件配置，故在调试整个程序的过程中，要折中选择这些参数，不断反复调试，从而使变形效果更加逼真。

为验证本发明的实施效果，操作者通过PHANTOM OMNI手控器端部的手柄来触摸、感知和控制虚拟医用镊子对虚拟肾进行拉拽的变形仿真，并将交互过程中产生的力触觉信息实时反馈给操作者。实验结果表明：该建模方法是有效的，在交互过程中，操作者可实时对虚拟肾进行拉拽操作，真实地感知到变形仿真过程中虚拟医用镊子与虚拟肾之间的自然交互操作。

Claims (1)

1.一种用于力触觉再现的板弹簧虚拟模型的建模方法，其特征在于，所述板弹簧虚拟模型的建模方法为：

(1)参数初始化，

(2)在给定的虚拟接触拉力F作用下，当虚拟代理碰撞到虚拟柔性体表面上的任意点时，在碰撞点处下悬挂第一层板弹簧，所述第一层板弹簧为n₁＝1片单板弹簧，单板弹簧的宽度为b、厚度为h₁、长度为l₁，n₁为第一层板弹簧中单板弹簧的片数；在第一层的板弹簧下悬挂第二层板弹簧，所述第二层板弹簧由n₂＝3片单板弹簧叠加构成，单板弹簧的宽度为b、厚度为h₂＝h₁α、长度分别为l₁q、l₁q²、l₁q³，n₂为第二层板弹簧中单板弹簧的片数；在第二层的板弹簧下悬挂第三层板弹簧，所述第三层板弹簧由n₃＝5片单板弹簧叠加构成，单板弹簧的宽度为b、厚度为h₃＝h₁α²、长度分别为l₁q⁴、l₁q⁵、l₁q⁶、l₁q⁷、l₁q⁸，n₃为第三层板弹簧中单板弹簧的片数；依此类推，在第i-1层的板弹簧下悬挂第i层板弹簧，所述第i层板弹簧由n_i＝2i-1片单板弹簧叠加构成，单板弹簧的宽度为b、厚度为h_i＝h₁α^i-1、长度分别为 $l_1{q}^{{(i-1)}^2},l_1{q}^{{(i-1)}^2+1},l_1{q}^{{(i-1)}^2+2},......l_1{q}^{i^2-1},$ n_i为第i层板弹簧中单板弹簧的片数，i＝1，2，3，……N，N为自然数；各层板弹簧厚度构成以h₁为首项，以α为公比的等比数列，α＝1～2，组成板弹簧的所有单板弹簧长度构成以l₁为首项，以q为公比的等比数列，q＝1～1.5，用一宽度为B的簧箍，将组成板弹簧的所有单板弹簧夹紧在一起，b≤B≤b+0.1，

采用簧箍夹紧时，组成力触觉再现的板弹簧虚拟模型中的所有单板弹簧均有一段无效部分，在计算弹簧刚度时，应考虑其影响并进行必要的修正，且假定处于第i层板弹簧中n_i片单板弹簧的弹簧刚度均相同，修正后第i层板弹簧中n_i片单板弹簧的等效弹簧刚度为：

${\tilde{P}}_i={\left(\frac{2L_i^{\′}}{2L_i^{\′}-0.6B}\right)}^3\·P_i---\left(1\right)$

其中，L′_i、P_i、B分别表示第i层板弹簧中n_i片单板弹簧的等效长度、第i层板弹簧中n_i片单板弹簧在未考虑无效部分时的等效弹簧刚度、簧箍宽度，

$L_i^{\′}=\frac{l_1{q}^{{(i-1)}^2}+l_1{q}^{{(i-1)}^2+1}+l_1{q}^{{(i-1)}^2+2}+......+l_1{q}^{i^2-1}}{n_i}---\left(2\right)$

n_i为第i层板弹簧中单板弹簧的片数，即：

n_i＝2i-1                                            (3)

第i层板弹簧中n_i片单板弹簧在未考虑无效部分时的等效弹簧刚度P_i为：

$P_i=\frac{3{\mathrm{EI}}_i^{\′}}{L_i^{\′3}}---\left(4\right)$

E、I′_i分别为弹性模量、第i层板弹簧中n_i片单板弹簧的等效截面惯性矩，第i层板弹簧中n_i片单板弹簧的等效截面惯性矩I′_i满足：

$I_i^{\′}=\frac{b{H}_i^{\′3}}{12}---\left(5\right)$

b、H′_i分别为单板弹簧的宽度、第i层板弹簧中n_i片单板弹簧的等效厚度，

H′_i＝h_i＝h₁α^i-1                                  (6)

h_i、h₁、α分别为第i层板弹簧中n_i片单板弹簧的厚度、第一层板弹簧中n₁片单板弹簧的厚度，各层板弹簧厚度构成的等比数列的公比；

假定给定的虚拟接触拉力F的作用线和组成力触觉再现的板弹簧虚拟模型的中心线一致，且在给定的虚拟接触拉力F作用下，若虚拟柔性体中共有M层的力触觉再现的板弹簧虚拟模型产生变形，则第M层称为变形截止层，

若给定的虚拟接触拉力F能使第一层板弹簧中n₁＝1片单板弹簧被拉伸时产生的变形量X₁达到第一层板弹簧中n₁＝1片单板弹簧给定的挠度值X_C1，这种情况下假定前M-1层板弹簧中的所有单板弹簧被拉伸时产生的变形量与第一层板弹簧中n₁＝1片单板弹簧给定的挠度值相同，变形截止层第M层板弹簧中n_M片单板弹簧被同时拉伸时任一单板弹簧产生的变形量均不大于第一层板弹簧中n₁＝1片单板弹簧给定的挠度值X_C1，

第一层板弹簧中n₁＝1片单板弹簧被拉伸时消耗的拉力F₁为：

i＝M＞1第M层板弹簧为变形截止层

$F_1=\left\{\begin{array}{c}{X}_{C1}\·{\tilde{P}}_1\\ F\end{array}\right.$                                               (7)

i＝M＝1第一层板弹簧为变形截止层

其中，X_C1、

分别表示第一层板弹簧中n₁＝1片单板弹簧给定的挠度值、修正后第一层板弹簧中n₁＝1片单板弹簧的等效弹簧刚度，

${\tilde{P}}_1={\left(\frac{2L_1^{\′}}{2L_1^{\′}-0.6B}\right)}^3\·P_1---\left(8\right)$

其中，L′₁、P₁、B分别表示第一层板弹簧中n₁片单板弹簧的等效长度、第一层板弹簧中n₁片单板弹簧在未考虑无效部分时的等效弹簧刚度、簧箍宽度，

根据：

L′₁＝l₁                                       (9)

第一层板弹簧中n₁片单板弹簧在未考虑无效部分时的等效弹簧刚度P₁满足

$P_1=\frac{3E{I}_1^{\′}}{L_1^{\′3}}---\left(10\right)$

E、I₁′分别为弹性模量、第一层板弹簧中n₁片单板弹簧的等效截面惯性矩，第一层板弹簧中n₁片单板弹簧的等效截面惯性矩I₁′满足：

$I_1^{\′}=\frac{b{H}_1^{\′3}}{12}---\left(11\right)$

b、H₁′分别为单板弹簧的宽度、第一层板弹簧中n₁片单板弹簧的等效厚度，

H′₁＝h₁                                       (12)

h₁为第一层板弹簧中n₁片单板弹簧的厚度，

除第一层板弹簧和变形截止层第M层板弹簧外，其余第j层板弹簧中n_j片单板弹簧被同时拉伸时消耗的拉力F_j为：

$F_j=\frac{48E\·I_j^{\′}\·X_{C1}}{\mathrm{\δ}\·L_j^{\′3}}---\left(13\right)$

j的取值范围为2～M-1，

其中，E、I′_j、X_C1、δ、L′_j分别表示弹性模量、第j层板弹簧中n_j片单板弹簧的等效截面惯性矩、第一层板弹簧中n₁＝1片单板弹簧给定的挠度值、挠度增大系数、第j层板弹簧中n_j片单板弹簧的等效长度，

第j层板弹簧中n_j片单板弹簧的等效截面惯性矩I′_j满足：

$I_j^{\′}=\frac{b{H}_j^{\′3}}{12}---\left(14\right)$

b、H′_j分别为单板弹簧的宽度、第j层板弹簧中n_j片单板弹簧的等效厚度，

H′_j＝h_j＝h₁α^j-1                                   (15)

h_j、h₁、α分别为第j层板弹簧中n_j片单板弹簧的厚度、第一层板弹簧中n₁片单板弹簧的厚度，各层板弹簧厚度构成的等比数列的公比，

第j层板弹簧中n_j片单板弹簧的等效长度满足：

$L_j^{\′}=\frac{l_1{q}^{{(j-1)}^2}+l_1{q}^{{(j-1)}^2+1}+l_1{q}^{{(j-1)}^2+2}+......+l_1{q}^{j^2-1}}{n_j}---\left(16\right)$

n_j为第j层板弹簧中单板弹簧的片数，即：

n_j＝2j-1                                            (17)

变形截止层第M层板弹簧中n_M片单板弹簧被同时拉伸时产生的变形量之和X_M为：

$X_M=\frac{F-\underset{i=1}{\overset{M-1}{\mathrm{\Σ}}}{F}_i}{{\tilde{P}}_M}---\left(18\right)$

变形截止层第M层板弹簧中n_M片单板弹簧被同时拉伸时任一单板弹簧产生的变形量

为：

${\stackrel{\‾}{X}}_M=\frac{X_M}{n_M}=\frac{X_M}{2M-1}---\left(19\right)$

为修正后变形截止层第M层板弹簧中n_M＝2M-1片单板弹簧的等效弹簧刚度，

${\tilde{P}}_M={\left(\frac{2L_M^{\′}}{2L_M^{\′}-0.6B}\right)}^3\·P_M---\left(20\right)$

其中，L′_M、P_M、B分别表示变形截止层第M层板弹簧中n_M片单板弹簧的等效长度、变形截止层第M层板弹簧中n_M片单板弹簧在未考虑无效部分时的等效弹簧刚度、簧箍宽度，

变形截止层第M层板弹簧中n_M片单板弹簧的等效长度满足：

$L_M^{\′}=\frac{l_1{q}^{{(M-1)}^2}+l_1{q}^{{(M-1)}^2+1}+l_1{q}^{{(M-1)}^2+2}+......+l_1{q}^{M^2-1}}{n_M}---\left(21\right)$

n_M为变形截止层第M层板弹簧中单板弹簧的片数，即：

n_M＝2M-1                                            (22)

变形截止层第M层板弹簧中n_M片单板弹簧在未考虑无效部分时的等效弹簧刚度P_M为：

$P_M=\frac{3{\mathrm{EI}}_M^{\′}}{{L_M^{\′}}^3}---\left(23\right)$

E、I_M′分别为弹性模量、变形截止层第M层板弹簧中n_M片单板弹簧的等效截面惯性矩，

变形截止层第M层板弹簧中n_M片单板弹簧的等效截面惯性矩I_M′满足：

${I_M}^{\′}=\frac{b{H_M^{\′}}^3}{12}---\left(24\right)$

b、H_M′分别为单板弹簧的宽度、第M层板弹簧中n_M片单板弹簧的等效厚度，

H′_M＝h_M＝h₁α^M-1                                    (25)

h_M、h₁、α分别为变形截止层第M层板弹簧中n_M片单板弹簧的厚度、第一层板弹簧中n₁片单板弹簧的厚度，各层板弹簧厚度构成的等比数列的公比；

(3)使给定的虚拟接触拉力F作用于虚拟柔性体碰撞点，第i层板弹簧中n_i片单板弹簧被同时拉伸，如果前i层板弹簧中的所有单板弹簧被拉伸时消耗的拉力F_i之和小于给定的虚拟接触拉力F，且前i层板弹簧中的所有单板弹簧被同时拉伸变形总计需要的时延时间满足刷新频率1000Hz以上的要求，设共计经过时延T_i后，第i层板弹簧中n_i片单板弹簧被同时拉伸，相应的n_i片单板弹簧同时产生拉伸变形，只有当第i层板弹簧中n_i片单板弹簧被同时拉伸时产生的变形量达到与第一层板弹簧中n₁＝1片单板弹簧给定的挠度值后，第i+1层板弹簧中n_i+1片单板弹簧才开始被同时拉伸，相应的n_i+1片单板弹簧才开始同时产生拉伸变形，依此类推，直到前M层板弹簧中的所有单板弹簧被拉伸时消耗的拉力之和不小于给定的虚拟接触拉力F，或第M层板弹簧中n_M片单板弹簧被同时拉伸变形总计需要的时延时间不满足刷新频率的要求；

用t_i、T_i分别表示第i层板弹簧中n_i片单板弹簧被同时拉伸变形需要的时延时间、前i层板弹簧中的所有单板弹簧被拉伸变形总计需要的时延时间，并且，令：层间的时延时间满足以第一层板弹簧中n₁片单板弹簧被拉伸变形需要的时延时间t₁为首项，以ω为公比的等比数列，即：

t_i＝ω^i-1t₁                                            (26)

从虚拟代理碰撞接触到虚拟柔性体表面算起，假定前i层板弹簧中的所有单板弹簧被拉伸变形总计需要的时延时间为T_i，且其须满足T_i＜T，其中

$T_i=t_1+t_2+t_3+...+t_{i-1}+t_i$

$=\frac{1-{\mathrm{\ω}}^i}{1-\mathrm{\ω}}\·t_1---\left(27\right)$

T为力触觉再现刷新频率的倒数；

所述用于力触觉再现的板弹簧虚拟模型中所有单板弹簧变形量之和的叠加对外等效为虚拟柔性体表面的变形，

$X=\left\{\begin{array}{c}\underset{i=1}{\overset{M-1}{\mathrm{\Σ}}}{X}_i+X_M=\underset{i=1}{\overset{M-1}{\mathrm{\Σ}}}{n}_i\·X_{C1}+X_M=\underset{i=1}{\overset{M-1}{\mathrm{\Σ}}}(2i-1)\·X_{C1}+X_M\\ \frac{F}{{\tilde{P}}_1}\end{array}\right.$ i＝M＞1第M层为变形截止层i＝M＝1第一层为变形截止层(28)

其中，X为前M层板弹簧中的所有单板弹簧被拉伸时产生的变形量之和，X_i为前M-1层板弹簧中任意第i层板弹簧中n_i片单板弹簧被同时拉伸时产生的变形量之和，X_M为变形截止层第M层板弹簧中n_M片单板弹簧被同时拉伸时产生的变形量之和，n_i为第i层板弹簧中单板弹簧的片数，X_C1为第一层板弹簧中n₁＝1片单板弹簧给定的挠度值，F为给定的虚拟接触拉力，

为修正后第一层板弹簧中n₁＝1片单板弹簧的等效弹簧刚度。

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