CN101917003B - 一种电力系统小干扰振荡稳定性分解式模态分析方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种电力系统小干扰振荡稳定性分解式模态分析方法，将常规的计算残差R_i的模态分析进行分解计算，从而实现物理意义清晰的模态分析计算结果，其首先对电力系统稳态数据和电力系统静态数据进行测量后，然后分别对通道因子、重构系数和参与因子进行计算后，得到残差R_i的模态分析进行分解计算结果，基于该结果，可清晰揭示控制器影响阻尼的内部机理，实现对附加阻尼控制器的整定，以有效抑制电力系统低频振荡。本发明的电力系统小干扰振荡稳定性分解式模态分析方法，能够清晰详细地给出指定控制器或装置是如何影响指定的电力系统机电振荡模态，从而为电力系统小干扰振荡稳定性分析和控制设计提供物理意义清晰的指导。

Description

一种电力系统小干扰振荡稳定性分解式模态分析方法

技术领域

本发明涉及电力系统动态稳定性分析方法，尤其涉及电力系统小干扰振荡稳定性分解式模态分析方法。

背景技术

电力系统中发生的低频振荡来源于发电机或发电机群转子之间的相对摇摆。它是当系统中出现局部的有功剩余或缺乏，相关的发电机或发电机群因此而加减速以求达到有功平衡时，由于阻尼缺乏而引起系统中发生的有功功率的持续振荡。振荡的频率范围一般在0.2～2.5Hz之间，故称为低频振荡，或机电振荡。近年来低频振荡在我国时有发生，严重影响了电网间的功率输送和安全稳定运行。在这种情况下，对低频振荡问题的研究备受关注。

电力系统低频振荡的机理分析和控制设计通常可以在系统的线性化模型上进行，然后通过非线性仿真来加以校验。所以，分析和设计面对的实际上是电力系统在小干扰下的低频振荡问题。在实践中，经常需要分析预测系统中某个指定的控制器或装置对系统小干扰下振荡稳定性的影响。而这一方面目前广泛使用的方法有二种：阻尼转矩分析方法(DTA：damping torque analysis)和模态分析方法(MA：modal analysis)。

基于经典控制理论的阻尼转矩分析方法建立在阻尼转矩的物理概念上，它是针对单机无穷大电力系统提出的，简单易懂。模态分析方法来源于现代控制理论的状态空间方法，是目前大规模复杂多机电力系统低频振荡分析和控制设计可以使用的常规方法，因为它适合于大型系统计算和分析，其编程简单，适用于软件的开发。目前流行的商业软件(包括电科院开发的商用软件PSASP和PSD-SSAP)中，低频振荡分析都采用模态分析法。模态分析方法的理论依据是线性系统的振荡模态，应而分析和控制设计都依赖于振荡模态的计算。其中用于分析预测电力系统中某个指定的控制器或装置对系统小干扰下振荡稳定性的影响主要是通过计算模态可控性指标，可观性指标和它们的乘积(残差)进行。

设在一个多机电力系统中，现需要分析预测某个指定的控制器或装置对系统的某个指定机电振荡模态阻尼的影响。该指定的控制器或装置可以是电力系统稳定器(PSS)，某种灵活交流输电控制器(FACTS controller：flexible ac transmission systems controller)，某种储能系统(ESS：energy storage system)，某台电压调节器(AVR：automatic voltageregulator)，或某条直流输电线(HVDC)，等等。记该指定控制器或装置的输出信号为u(本文下文Δ都是指变量的偏差，变量上方加点都表示该变量的导数，变量下标加0都表示该变量在稳态的数值)，输入信号为y，传递函数为T(s)(y＝T(s)u)。指定分析的某个机电振荡模态为λ_i＝-ξ_i±jω_i。设含有指定控制器或装置的开环系统线性化模型为：

$\mathrm{\Δ}\stackrel{\·}{X}=\mathrm{A\ΔX}+\mathrm{b\Δu}---\left(1\right)$

Δy＝CΔX+DΔu

应有：

Av_i＝λ_iv_i，w_i ^TA＝w_i ^Tλ_i    (2)

其中，λ_i为状态矩阵A的特征值(即指定分析的机电振荡模态)，v_i和w_i分别为其相应的左右特征向量。根据模态控制理论，模态可控性指标b_i，可观性指标c_i和残差R_i定义为：

b_i＝w_i ^TB，c_i＝Cv_i，R_i＝b_ic_i    (3)

控制器或装置与模态的关系如图1所示。可见，模态可控性指标b_i度量控制器或装置控制信号对模态能控性的大小；可观性指标c_i度量模态在控制器或装置反馈信号中能被观察的程度。所以，残差R_i可以用来分析预测控制器或装置对模态的总影响。

显而易见，由残差R_i计算的模态分析给出的只是电力系统中控制器或装置与指定机电振荡模态的数学关系，它只是一个数学指标。这种模态分析不能表达指标的来源、分配和传递的物理过程，不能清晰地将分析计算与电力系统的物理量，特别是系统中的发电机这一与低频振荡的来源密切相关的具体装置联系起来，以加深对分析计算的理解。所以这种模态分析对应用于分析探索电力系统中的低频振荡机理，常常较为困难，因为它只给出一个数字计算结果。所以，对电力系统机电振荡的物理过程而言，它实际上是一种黑箱方法。

为使得模态分析与电力系统机电振荡的物理过程联系起来，电力研究和工作者一直在进行着不懈的努力。四十多年来，具有里程碑意义的进展是在八十年代由Perez-Arriaga，Verghese和Schweppe联合提出的选择模态分析方法(Selective modalanalysis with applications to electric power systems，part I and II，IEEE Transactions onpower apparatus and systems，No.9，Vol.PAS-101，pp3117-3134)。选择模态分析方法(由左右特征向量)通过计算参与性因子(participation factor)以揭示电力系统中发电机对机电振荡模态的灵敏度，从而成功地将模态分析与电力系统机电振荡的物理过程联系起来。如今，选择模态分析方法(计算参与性因子)已在大多数商业软件中采用。

发明内容

发明目的：为了克服现有技术中存在的不足，本发明提供一种电力系统小干扰振荡稳定性分解式模态分析方法，将由残差R_i计算的模态分析及其计算结果与控制器或装置向电力系统中发电机提供的阻尼转矩和发电机对指定机电振荡模态的参与性(灵敏度)联系起来，使得残差R_i计算分析更加具有针对性，物理意义更清晰。

技术方案：为实现上述目的，本发明采用的技术方案为：

一种电力系统小干扰振荡稳定性分解式模态分析方法，包括如下步骤：

(1)通过数据采集和监控系统SCADA系统、能量管理系统EMS获得电力系统稳态数据：发电机机端电压、机端有功、母线有功和母线无功；

(2)输入电力系统稳态数据：发电机机端电压、机端有功、母线有功和母线无功；

(3)输入电力系统静态数据：电力网络拓扑数据、线路阻抗导纳数据、变压器阻抗变比数据；

(4)发电机组固有数据：发电机内部电抗数据、励磁系统数据；

(5)利用潮流计算工具和初值计算工具，得到含指定控制器或装置的开环系统的线性化矩阵：

$\mathrm{\Δ}\stackrel{\·}{X}=\mathrm{A\ΔX}+\mathrm{B\Δu}$

Δy＝CΔX

以及：

$\left[\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}\\ \mathrm{\Δ}\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}\\ \mathrm{\Δ}\stackrel{\·}{Z}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0& {\mathrm{\ω}}_{0}I& 0\\ A_{21}& A_{22}& A_{23}\\ A_{31}& A_{32}& A_{33}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\Δ\δ}\\ \mathrm{\Δ\ω}\\ \mathrm{\ΔZ}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ B_2\\ B_3\end{array}\right]\mathrm{\Δu}---\left(4\right)$

其中，X为系统状态变量，A为系统线性化矩阵(不包含控制器自身)，B为控制矩阵，C为输出矩阵，u为控制器输出信号，δ为发电机功角状态变量向量，ω为发电机转速状态变量向量，Z为系统其它状态变量向量，Δ为线性化算子，变量加点为微分算子，如

为功角的导数，ω₀I为对角阵，ω₀为额定角速度；(4)式可如图2所示；

(6)计算指定控制器或装置向各台发电机提供的电磁转矩的通道因子B_j(λ_i)，j＝1，2，…N，即B(λ_i)的第j个分量，其中，N为系统中发电机的台数，λ_i＝-ξ_i±jω_i为系统中指定分析的某个机电的第i个振荡模态，由式(4)可得：

ΔZ＝(sI-A₃₃)^-1(A₃₁Δδ+A₃₂Δω+B₃Δu)      (5)

所以

$\mathrm{\Δ}\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}={\mathrm{\ω}}_0\mathrm{\Δ\ω}$

$\mathrm{\Δ}\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}=[A_{21}+A_{23}{(\mathrm{sI}-A_{33})}^{-1}{A}_{31}]\mathrm{\Δ\δ}+[A_{22}+A_{23}{(\mathrm{sI}-A_{33})}^{-1}{A}_{32}]\mathrm{\Δ\ω}+[B_2+A_{23}{(\mathrm{sI}-A_{33})}^{-1}{B}_3]\mathrm{\Δu}$

$=A_{21}\left(s\right)\mathrm{\Δ\δ}+A_{22}\left(s\right)\mathrm{\Δ\ω}+B\left(s\right)\mathrm{\Δu}---\left(6\right)$

(6)式可如图3所示，根据图3可得针对第i个振荡模态的指定控制器或装置向各台发电机提供的电磁转矩向量为：

$\mathrm{\ΔT}=B\left({\mathrm{\λ}}_i\right)\mathrm{\Δu}=\left[\begin{array}{c}{B}_1\left({\mathrm{\λ}}_i\right)\mathrm{\Δu}\\ B_2\left({\mathrm{\λ}}_i\right)\mathrm{\Δu}\\ .\\ .\\ .\\ B_N\left({\mathrm{\λ}}_i\right)\mathrm{\Δu}\end{array}\right]---\left(7\right)$

B(s)＝B₂+A₂₃(sI-A₃₃)^-1B₃

(7)计算指定控制器或装置的输入反馈信号用各台发电机转速状态变量重构的重构系数γ_j(λ_i)，j＝1，2，…N：

Δy＝γ_j(λ_i)Δω_j，j＝1，2，…N    (8)

因为在开环时，根据线性系统理论有

$X=\underset{k=1}{\overset{L}{\mathrm{\Σ}}}\frac{v_k{a}_k}{s-{\mathrm{\λ}}_k}---\left(9\right)$

其中L为系统总的状态变量个数、λ_k为系统特征值、v_k为相应的右特征向量、a_k为系数。记

$v_k=\left[\begin{array}{c}{v}_{k1}\\ v_{k2}\\ v_{k3}\end{array}\right]---\left(10\right)$

Δω_j，j＝1，2，…N也是系统的状态变量，所以应有

$\mathrm{\Δ}{\mathrm{\ω}}_j\left(s\right)=\underset{k=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\frac{v_{k2j}{a}_k}{s-{\mathrm{\λ}}_k}---\left(11\right)$

其中v_k2j为v_k中对应于Δω_j，j＝1，2，…N的分量。而输出变量为

$\mathrm{\Δy}=\mathrm{CX}=\underset{k=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}\frac{C{v}_k{a}_k}{s-{\mathrm{\λ}}_k}---\left(12\right)$

所以

${\mathrm{\γ}}_j\left(s\right)=\frac{\mathrm{\Δy}\left(s\right)}{\mathrm{\Δ}{\mathrm{\ω}}_j\left(s\right)}=\frac{\underset{k=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}\frac{C{v}_k{a}_k}{s-{\mathrm{\λ}}_k}}{\underset{k=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}\frac{v_{\mathrm{kj}}{a}_k}{s-{\mathrm{\λ}}_k}}=\frac{(s-{\mathrm{\λ}}_i)\underset{k=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}\frac{C{v}_k{a}_k}{s-{\mathrm{\λ}}_k}}{(s-{\mathrm{\λ}}_i)\underset{k=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}\frac{v_{\mathrm{kj}}{a}_k}{s-{\mathrm{\λ}}_k}}---\left(13\right)$

在上式中令s＝λ_i可得

${\mathrm{\γ}}_j\left({\mathrm{\λ}}_i\right)=\frac{\mathrm{\Δy}\left({\mathrm{\λ}}_i\right)}{\mathrm{\Δ}{\mathrm{\ω}}_j\left({\mathrm{\λ}}_i\right)}=\frac{C{v}_i{a}_i}{v_{i2j}{a}_i}=\frac{C{v}_i}{v_{i2j}}---\left(14\right)$

按式(14)即可计算指定控制器或装置的输入反馈信号用各台发电机转速状态变量重构的重构系数γ_j(λ_i)，j＝1，2，…N。

其中v_i为相应于λ_i的右特征向量，v_i2j为v_i中对应于Δω_j，j＝1，2，…N的分量，j为第j台发电机，系统的输出方程为：

Δy＝CX

(8)计算系统中各台发电机相应于指定振荡模态的参与因子S_ij：

如果指定控制器或装置向各台发电机提供的阻尼转矩为D_jΔω_j，j＝1，2，…N，针对第i个振荡模态，可以定义指定振荡模态对提供的阻尼转矩的灵敏度系数s_ij为：

$S_{\mathrm{ij}}=\frac{\∂{\mathrm{\λ}}_i}{\∂D_j}(=w_{i2j}{v}_{i2j}),j=\mathrm{1,2},...N---\left(15\right)$

显然，

$S_{\mathrm{ij}}=\frac{\∂{\mathrm{\λ}}_i}{\∂D_j}=\left[\begin{array}{ccc}{w_{i1}}^T& {w_{i2}}^T& {w_{i3}}^T\end{array}\right]\frac{\∂A}{\∂D_j}\left[\begin{array}{c}{v}_{i1}\\ v_{i2}\\ v_{i3}\end{array}\right]=w_{i2j}{v}_{i2j}---\left(16\right)$

上式表明：计算系统中各台发电机相应于指定振荡模态的参与因子即为式(15)定义的指定振荡模态对控制器或装置向各台发电机提供的阻尼转矩的灵敏度系数s_ij。

其中，D_jΔω_j，j＝1，2，…N为各台发电机上获得的额外阻尼转矩，w_i为相应于λ_i的左特征向量，w_i2j为w_i中对应于Δω_j，j＝1，2，…N的分量；

(9)通过对指定机电振荡模态的分解式模态分析方法计算残差：

$R_i=\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{S}_{\mathrm{ij}}{B}_j\left({\mathrm{\λ}}_i\right){\mathrm{\γ}}_j\left({\mathrm{\λ}}_i\right)---\left(17\right)$

(10)通过输出步骤(9)中得到的残差，安排指定控制器或装置在电力系统中的位置。

通过下面的证明过程可以反向证明式(17)的合理性：

记相应于λ_i的状态矩阵A的左特征向量w_i为

w_i ^T＝[w_i1 ^Tw_i2 ^Tw_i3 ^T]                  (18)

由式(2)可得

$\left[\begin{array}{ccc}{w_{i1}}^T& {w_{i2}}^T& {w_{i3}}^T\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}0& {\mathrm{\ω}}_{0}I& 0\\ A_{21}& A_{22}& A_{23}\\ A_{31}& A_{32}& A_{33}\end{array}\right]={\mathrm{\λ}}_i\left[\begin{array}{ccc}{w_{i1}}^T& {w_{i2}}^T& {w_{i3}}^T\end{array}\right]---\left(19\right)$

由上式可得

w_i3 ^T＝w_i2 ^TA₂₃(λ_iI-A₃₃)                          (20)

由式(3)、(4)、(5)和(7)得到可控性指标为：

$b_i=\left[\begin{array}{ccc}{w_{i1}}^T& {w_{i2}}^T& {w_{i3}}^T\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}0\\ B_2\\ B_3\end{array}\right]={w_{i2}}^T[B_2+A_{23}({\mathrm{\λ}}_{i}I-A_{33})B_3]=\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{w}_{i2j}{B}_j\left({\mathrm{\λ}}_i\right)---\left(21\right)$

由式(14)和(16)可有：

$\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{S}_{\mathrm{ij}}{B}_j\left({\mathrm{\λ}}_i\right){\mathrm{\γ}}_j\left({\mathrm{\λ}}_i\right)=\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{w}_{i2j}{v}_{i2j}{B}_j\left({\mathrm{\λ}}_i\right)\frac{C{v}_i}{v_{i2j}}=\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{w}_{i2j}{B}_j\left({\mathrm{\λ}}_i\right)C{v}_i---\left(22\right)$

由式(3)和(21)可得：

$\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{S}_{\mathrm{ij}}{B}_j\left({\mathrm{\λ}}_i\right){\mathrm{\γ}}_j\left({\mathrm{\λ}}_i\right)=b_{i}C{v}_i=b_i{c}_i=R_i---\left(23\right)$

证明完毕。

由式(7)可见，指定控制器或装置向各台发电机提供的电磁转矩为ΔT_j＝B_j(λ_i)Δu，j＝1，2，…N。因为Δy＝T(s)Δu，根据式(8)，有：

ΔT_j＝B_j(λ_i)γ_j(λ_i)T(λ_i)Δω_j，j＝1，2，…N   (24)

由式(16)和上式可见：在模态分析分解式(17)中，通道因子和重构系数的乘积B_j(λ_i)γ_j(λ_i)度量了指定控制器或装置向各台发电机提供的阻尼转矩；而参与因子度量了所提供的阻尼转矩是如何转化为对指定机电振荡模态的影响的。所以，模态分析分解式(17)的物理意义是：指定控制器或装置向每台发电机提供阻尼转矩，其大小由B_j(λ_i)γ_j(λ_i)度量；再乘以参与因子后，每台发电机获得的阻尼转矩就转化为指定控制器或装置通过各台发电机对指定机电振荡模态的影响，其大小由S_ijB_j(λ_i)γ_j(λ_i)度量。残差R_i就是控制器或装置通过N台发电机对指定机电振荡模态的影响，为N项S_ijB_j(λ_i)γ_j(λ_i)之和。这一模态分析分解式的物理意义如图4所示，指定控制器或装置首先向每台发电机G1、G2…GN提供阻尼转矩度量B_j(λ_i)γ_j(λ_i)，然后每台发电机G1、G2…GN将获得的阻尼转矩转化对指定电机振荡模态影响的度量S_ij。

有益效果：本发明的电力系统小干扰振荡稳定性分解式模态分析方法，能够清晰详细地给出指定控制器或装置是如何影响指定的电力系统机电振荡模态，从而为电力系统小干扰振荡稳定性分析和控制设计提供物理意义清晰的指导。

附图说明

图1为线性系统的模态分解示意图；

图2为系统的线性化状态方程示意图；

图3为系统的线性化状态方程压缩形式示意图；

图4为模态分析分解式的物理意义示意图；

图5为装有一台电池储能装置的简单四机二区域电力系统结构示意图；

图6为电池储能装置的数学模型示意图；

图7为电池储能装置装设阻尼控制器的阻尼控制效果非线性仿真结果示意图；

图8为无功阻尼控制器分解式模态分析结果示意图；

图9为无功阻尼控制器分解式模态分析结果示意图；

图10为一个实测大系统网络接线示意图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明作更进一步的说明。

如附图5所示为简单四机二区域电力系统，通过图5所示系统说明本发明提出的模态分析的分解式计算方法的具体实施过程。模态分析的对象是安装在二区域联络线上的一台电池储能装置(BESS：battery energy storage systems)。模态分析的内容是预测在BESS上加设阻尼控制器的阻尼效果。四机二区域电力系统的参数为：

X_T1＝0.0027，X_T2＝0.0067，X_T3＝0.0027，X_T4＝0.0067，

X₁₂＝0.004，X₂₆＝0.22，X₅₆＝0.22，X₄₅＝0.01，X₃₄＝0.004，

L₂＝0.2，L₅＝4.0

M_i＝8s.，D_i＝0，X_di＝0.8，X_di′＝0.2，X_qi＝0.4，T_d0i′＝5，K_Ai＝100，T_Ai＝0.01

1.BESS线性化模型

根据已发表的文献(Chen Shen，Zhiping Yang，Crow，M.L，et al.，“Control ofSTATCOM with energy storage device”，Proceedings of IEEE PES Winter Meeting，Jan.2000，pp2722-2728)，电池储能装置的数学模型如图6所示，为：

${\stackrel{\‾}{V}}_c=\mathrm{mk}{V}_{\mathrm{dc}}(\cos \mathrm{\γ}+j\sin \mathrm{\γ})=\mathrm{mk}{V}_{\mathrm{dc}}\∠\mathrm{\γ}$

${\stackrel{\·}{V}}_{\mathrm{dc}}=\frac{1}{C_{\mathrm{dc}}}[\mathrm{mk}(I_{\mathrm{sx}}\cos \mathrm{\γ}+I_{\mathrm{sy}}\sin \mathrm{\γ})-\frac{V_{\mathrm{dc}}-V_{\mathrm{BESS}}}{r_{\mathrm{BESS}}}]$

m＝m₀+K_AC(s)(|V_s|-V_sref)+u_q-pss          (25)

φ＝φ₀+K_DC(s)(V_dc-V_dcref)+u_p-pss

$\mathrm{\φ}=\mathrm{ac}{\tan }^{-1}\frac{V_{\mathrm{sy}}}{V_{\mathrm{sx}}}-\mathrm{\γ}$

其中，V_s即为图6中电池储能装置在电力系统中接入点的电压V₆，V_sx和V_sy分别为其在系统公共坐标下的x和y分量；I_sx和I_sy分别为电池储能装置注入电流在系统公共坐标下的x和y分量；C_dc和V_dc分别为AC/DC电压源转换器直流侧的电容和电压；V_BESS和r_BESS分别为电池的电压和等效电阻；m和φ分别为AC/DC电压源转换器脉宽调制算法(pulse width regulation)调制率和相位，m₀和φ₀为其相应的初值；K_AC(s)和K_DC(s)分别为由脉宽调制算法实现的交流和直流电压控制器的传递函数，u_q-pss和u_p-pss分别为叠加在交流和直流电压控制器上的阻尼控制器输出控制信号；|V_s|为电池储能装置在电力系统中接入点电压的幅值；V_sref和V_dcref分别交流和直流电压控制的参考值；k为由AC/DC电压源转换器结构决定的常数。

记式(25)的最后一式的线性化为

Δγ＝-Δφ+a_s ^TΔV_sxy                                           (26)

其中，

由图6可有

V_sx+jV_sy＝jx_s(I_sx+jI_sy)+V_c＝jx_s(I_sx+jI_sy)+mkV_dccosγ+jmkV_dccosγ(27)

由上式可得

$I_{\mathrm{sx}}=\frac{1}{x_s}(V_{\mathrm{sy}}-\mathrm{mk}{V}_{\mathrm{dc}}\cos \mathrm{\γ})---\left(28\right)$

$I_{\mathrm{sy}}=\frac{1}{x_s}(\mathrm{mk}{V}_{\mathrm{dc}}\sin \mathrm{\γ}-V_{\mathrm{sx}})$

利用式(26)，可得上式的线性化为

ΔI_sx＝c_x-dcΔV_dc+c_x-mΔm+c_x-fΔφ+a_sx ^TΔV_sxy                   (29)

ΔI_sy＝c_y-dcΔV_dc+c_y-mΔm+c_y-fΔφ+a_sy ^TΔV_sxy

其中，

$c_{x-\mathrm{dc}}=-\frac{1}{x_s}{m}_{0}k\cos {\mathrm{\γ}}_0,c_{x-m}=-\frac{1}{x_s}{V}_{\mathrm{dc}0}k\cos {\mathrm{\γ}}_0,c_{x-f}=\frac{1}{x_s}{m}_{0}k{V}_{\mathrm{dc}0}\sin {\mathrm{\γ}}_0$

$c_{y-\mathrm{dc}}=\frac{1}{x_s}{m}_{0}k\sin {\mathrm{\γ}}_0,c_{y-m}=\frac{1}{x_s}{V}_{\mathrm{dc}0}k\sin {\mathrm{\γ}}_0,c_{y-f}=-\frac{1}{x_s}{m}_{0}k{V}_{\mathrm{dc}0}\cos {\mathrm{\γ}}_0$

${a_{\mathrm{sx}}}^T=-\frac{1}{x_s}{m}_{0}k{V}_{\mathrm{dc}0}\sin {\mathrm{\γ}}_0{a_s}^T+\left[\begin{array}{cc}0& \frac{1}{x_s}\end{array}\right].$

${a_{\mathrm{sy}}}^T=\frac{1}{x_s}{m}_{0}k{V}_{\mathrm{dc}0}\cos {\mathrm{\γ}}_0{a_s}^T+\left[\begin{array}{cc}-\frac{1}{x_s}& 0\end{array}\right]$

利用式(26)和(29)可得式(25)的第二式的线性化为

$\mathrm{\Δ}{\stackrel{\·}{V}}_{\mathrm{dc}}=c_{d-\mathrm{dc}}\mathrm{\Δ}{V}_{\mathrm{dc}}+c_{d-m}\mathrm{\Δm}+c_{d-f}\mathrm{\Δ\φ}+{a_{\mathrm{sdc}}}^T\mathrm{\Δ}{V}_{\mathrm{sxy}}---\left(30\right)$

其中，

$c_{d-\mathrm{dc}}=-\frac{1}{C_{\mathrm{dc}}{r}_{\mathrm{BESS}}}+\frac{1}{C_{\mathrm{dc}}}{m}_{0}k\cos {\mathrm{\γ}}_0{c}_{x-\mathrm{dc}}+\frac{1}{C_{\mathrm{dc}}}{m}_{0}k\sin {\mathrm{\γ}}_0{c}_{y-\mathrm{dc}}$

$c_{d-m}=\frac{1}{C_{\mathrm{dc}}}k(I_{\mathrm{sx}0}\cos {\mathrm{\γ}}_0+I_{\mathrm{sy}0}\sin {\mathrm{\γ}}_0)+\frac{1}{C_{\mathrm{dc}}}{m}_{0}k\cos {\mathrm{\γ}}_0{c}_{x-m}+\frac{1}{C_{\mathrm{dc}}}{m}_{0}k\sin {\mathrm{\γ}}_0{c}_{y-m}$

$c_{d-f}=\frac{1}{C_{\mathrm{dc}}}{m}_{0}k(I_{\mathrm{sx}0}\sin {\mathrm{\γ}}_0-I_{\mathrm{sy}0}\cos {\mathrm{\γ}}_0)+\frac{1}{C_{\mathrm{dc}}}{m}_{0}k\cos {\mathrm{\γ}}_0{c}_{x-f}+\frac{1}{C_{\mathrm{dc}}}{m}_{0}k\sin {\mathrm{\γ}}_0{c}_{y-f}$

${a_{\mathrm{sdc}}}^T=\frac{1}{C_{\mathrm{dc}}}{m}_{0}k(-I_{\mathrm{sx}0}\sin {\mathrm{\γ}}_0+I_{\mathrm{sy}0}\cos {\mathrm{\γ}}_0){a_s}^T+\frac{1}{C_{\mathrm{dc}}}{m}_{0}k\cos {\mathrm{\γ}}_0{a_{\mathrm{sx}}}^T+\frac{1}{C_{\mathrm{dc}}}{m}_{0}k\sin {\mathrm{\γ}}_0{a_{\mathrm{sy}}}^T$

设：

$\mathrm{\Δ}\left|V_s\right|=\left[\begin{array}{cc}\frac{v_{\mathrm{sx}0}}{V_{s0}}& \frac{v_{\mathrm{sy}0}}{V_{s0}}\end{array}\right]\mathrm{\Δ}{V}_{\mathrm{sxy}}$

交流电压控制器的传递函数K_AC(s)的状态空间实现可以为：

${\stackrel{\·}{X}}_{\mathrm{AC}}=A_{\mathrm{Ac}}{X}_{\mathrm{AC}}+B_{\mathrm{AC}}\mathrm{\Δ}{V}_{\mathrm{sxy}}---\left(31\right)$

Δm＝C_ACX_AC+D_ACΔV_sxy+Δu_q-pss

直流电压控制器的传递函数K_DC(s)的状态空间实现可以为：

${\stackrel{\·}{X}}_{\mathrm{DC}}=A_{\mathrm{DC}}{X}_{\mathrm{DC}}+B_{\mathrm{DC}}\mathrm{\Δ}{V}_{\mathrm{dc}}---\left(32\right)$

Δφ＝C_DCX_DC+D_DCΔV_dc+Δu_p-pss

将式(31)和(32)代入(30)可得

$\mathrm{\Δ}{\stackrel{\·}{V}}_{\mathrm{dc}}=(c_{d-\mathrm{dc}}+c_{d-f}{D}_{\mathrm{DC}})\mathrm{\Δ}{V}_{\mathrm{dc}}+c_{d-m}{C}_{\mathrm{AC}}{X}_{\mathrm{AC}}+c_{d-f}{C}_{\mathrm{DC}}{X}_{\mathrm{DC}}---\left(33\right)$

$+(c_{d-m}{D}_{\mathrm{AC}}+{a_{\mathrm{sdc}}}^T)\mathrm{\Δ}{V}_{\mathrm{sxy}}+c_{d-m}\mathrm{\Δ}{u}_{q-\mathrm{pss}}+c_{d-f}\mathrm{\Δ}{u}_{p-\mathrm{pss}}$

由将式(31)，(32)和(33)可得电池储能装置的状态方程为：

${\stackrel{\·}{X}}_S=A_S{X}_S+B_S\mathrm{\Δ}{V}_{\mathrm{sxy}}+B_{q-\mathrm{pss}}\mathrm{\Δ}{u}_{q-\mathrm{pss}}+B_{p-\mathrm{pss}}\mathrm{\Δ}{u}_{p-\mathrm{pss}}---\left(34\right)$

其中，

$X_S=\left[\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}{V}_{\mathrm{dc}}\\ X_{\mathrm{AC}}\\ X_{\mathrm{DC}}\end{array}\right],A_S=\left[\begin{array}{ccc}{c}_{d-\mathrm{dc}}+c_{d-f}{D}_{\mathrm{DC}}& c_{d-m}{C}_{\mathrm{AC}}& c_{d-f}{C}_{\mathrm{DC}}\\ 0& A_{\mathrm{AC}}& 0\\ B_{\mathrm{DC}}& 0& A_{\mathrm{DC}}\end{array}\right],$

$B_S=\left[\begin{array}{c}{c}_{d-m}{D}_{\mathrm{AC}}+{a_{\mathrm{sdc}}}^T\\ B_{\mathrm{AC}}\\ 0\end{array}\right],B_{q-\mathrm{pss}}=\left[\begin{array}{c}{c}_{d-m}\\ 0\\ 0\end{array}\right],B_{p-\mathrm{pss}}=\left[\begin{array}{c}{c}_{d-f}\\ 0\\ 0\end{array}\right]$

将式(31)和(32)代入(29)可得

ΔI_sx＝(c_x-dc+c_x-fD_DC)ΔV_dc+c_x-mC_ACX_AC+c_x-fC_DCX_DC+(c_x-mD_AC+a_sx ^T)ΔV_sxy+c_x-mΔu_q-pss+c_x-fΔu_p-pss                                                (35)

ΔI_sy＝(c_y-dc+c_y-fD_DC)ΔV_dc+c_y-mC_ACX_AC+c_y-fC_DCX_DC+(c_y-mD_AC+a_sx ^T)ΔV_sxy+c_y-mΔu_p-pss+c_y-fΔu_p-pss

记由式(34)和(35)可得：

ΔI_sxy＝C_SX_S+D_SΔV_sxy+D_q-pssΔu_q-pss+D_p-pssΔu_p-pss                  (36)

其中，

$C_S=\left[\begin{array}{ccc}{c}_{x-\mathrm{dc}}+c_{x-f}{D}_{\mathrm{DC}}& c_{x-m}{C}_{\mathrm{AC}}& c_{x-f}{C}_{\mathrm{DC}}\\ c_{y-\mathrm{dc}}+c_{y-f}{D}_{\mathrm{DC}}& c_{y-m}{C}_{\mathrm{AC}}& c_{y-f}{C}_{\mathrm{DC}}\end{array}\right],$

$D_S=\left[\begin{array}{c}{c}_{x-m}{D}_{\mathrm{AC}}+{a_{\mathrm{sx}}}^T\\ c_{y-m}{D}_{\mathrm{AC}}+{a_{\mathrm{sy}}}^T\end{array}\right],$ $D_{q-\mathrm{pss}}=\left[\begin{array}{c}{c}_{x-m}\\ c_{y-m}\end{array}\right],$ $D_{p-\mathrm{pss}}=\left[\begin{array}{c}{c}_{x-f}\\ c_{y-f}\end{array}\right]$

式(34)和(36)即为BESS线性化模型。

2.全系统的线性化模型

设一个N机M节点电力系统中的节点电压和电流在系统坐标下分别表示为V_jx+jV_jy和I_jx+jI_jy，j＝1，2，…M。不失一般性，设1至N号节点为发电机节点并记：

ΔV_xy＝[ΔV_1x ΔV_1y ΔV_2x ΔV_2y……ΔV_Nx ΔV_Ny]^T

ΔI_xy＝[ΔI_1x ΔI_1y ΔI_2x ΔI_2y……ΔI_Nx ΔI_Ny]^T

发电机的线性化模型是

${\stackrel{\·}{X}}_g=A_{\mathrm{gxy}}{X}_g+B_{\mathrm{gxy}}\mathrm{\Δ}{V}_{\mathrm{xy}}$

ΔI_xy＝C_gxyX_g+D_gxyΔV_xy                                             (37)

其中，X_g是发电机动态的状态变量。记除发电机和BESS接入节点(不失一般性，设为N+1号节点)外系统中的其它节点电压表示成的向量为：

ΔV_oxy＝[ΔV_(N+1)x ΔV_(N+1)y ΔV_(N+2)x ΔV_(N+2)y  ……ΔV_Mx ΔV_My]^T

将系统的网络方程写为：

其中g_ij+jb_ij，i，j＝1，2，…M为系统中i和j号节点之间的导纳。将如上网络方程写为分块矩阵形式：

$\left[\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}{I}_{\mathrm{xy}}\\ \mathrm{\Δ}{I}_{\mathrm{sxy}}\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{Y}_{\mathrm{gg}}& Y_{\mathrm{gs}}& Y_{\mathrm{go}}\\ Y_{\mathrm{sg}}& Y_{\mathrm{ss}}& Y_{\mathrm{so}}\\ Y_{\mathrm{og}}& Y_{\mathrm{os}}& Y_{\mathrm{oo}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}{V}_{\mathrm{xy}}\\ \mathrm{\Δ}{V}_{\mathrm{sxy}}\\ \mathrm{\Δ}{V}_{\mathrm{oxy}}\end{array}\right]---\left(39\right)$

将式(36)和(37)代入(39)可得：

$\left[\begin{array}{c}{C}_{\mathrm{gxy}}{X}_g\\ C_S{X}_S+D_{q-\mathrm{pss}}\mathrm{\Δ}{u}_{q-\mathrm{pss}}+D_{p-\mathrm{pss}}\mathrm{\Δ}{u}_{p-\mathrm{pss}}\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{Y}_{\mathrm{gg}}-D_{\mathrm{gxy}}& Y_{\mathrm{gs}}& Y_{\mathrm{go}}\\ Y_{\mathrm{sg}}& Y_{\mathrm{ss}}-D_S& Y_{\mathrm{so}}\\ Y_{\mathrm{og}}& Y_{\mathrm{os}}& y_{2o}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}{V}_{\mathrm{xy}}\\ \mathrm{\Δ}{V}_{\mathrm{sxy}}\\ \mathrm{\Δ}{V}_{\mathrm{oxy}}\end{array}\right]---\left(40\right)$

由上式可得：

$\mathrm{\Δ}{V}_{\mathrm{oxy}}=-{Y_{\mathrm{oo}}}^{-1}\left[\begin{array}{cc}{Y}_{\mathrm{og}}& Y_{\mathrm{os}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}{V}_{\mathrm{xy}}\\ \mathrm{\Δ}{V}_{\mathrm{sxy}}\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}{V}_{\mathrm{xy}}\\ \mathrm{\Δ}{V}_{\mathrm{sxy}}\end{array}\right]={Y_{\mathrm{gsxy}}}^{-1}(\left[\begin{array}{cc}{C}_{\mathrm{gxy}}& 0\\ 0& C_S\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{X}_g\\ X_S\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ D_{q-\mathrm{pss}}\end{array}\right]\mathrm{\Δ}{u}_{q-\mathrm{pss}}+\left[\begin{array}{c}0\\ D_{p-\mathrm{pss}}\end{array}\right]\mathrm{\Δ}{u}_{p-\mathrm{pss}})---\left(41\right)$

其中，

$Y_{\mathrm{gsxy}}=\left[\begin{array}{cc}{Y}_{\mathrm{gg}}-D_{\mathrm{gxy}}& Y_{\mathrm{gs}}\\ Y_{\mathrm{sg}}& Y_{\mathrm{ss}}-D_S\end{array}\right]-\left[\begin{array}{c}{Y}_{\mathrm{go}}\\ Y_{\mathrm{so}}\end{array}\right]{Y_{\mathrm{oo}}}^{-1}\left[\begin{array}{cc}{Y}_{\mathrm{og}}& Y_{\mathrm{os}}\end{array}\right]$

由式(34)和(37)可得：

$\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{X}}_g\\ {\stackrel{\·}{X}}_S\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{A}_{\mathrm{gxy}}& 0\\ 0& A_S\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{X}_g\\ X_S\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}{B}_{\mathrm{gxy}}& 0\\ 0& B_S\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}{V}_{\mathrm{xy}}\\ \mathrm{\Δ}{V}_{\mathrm{sxy}}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ B_{q-\mathrm{pss}}\end{array}\right]\mathrm{\Δ}{u}_{q-\mathrm{pss}}+\left[\begin{array}{c}0\\ B_{p-\mathrm{pss}}\end{array}\right]\mathrm{\Δ}{u}_{p-\mathrm{pss}}---\left(42\right)$

将式(41)代入(42)可得全系统的状态方程为：

$\stackrel{\·}{X}=\mathrm{AX}+B_q\mathrm{\Δ}{u}_{q-\mathrm{pss}}+B_p\mathrm{\Δ}{u}_{p-\mathrm{pss}}---\left(43\right)$

其中，

$X=\left[\begin{array}{c}{X}_g\\ X_S\end{array}\right],A=\left[\begin{array}{cc}{A}_{\mathrm{gxy}}& 0\\ 0& A_S\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}{B}_{\mathrm{gxy}}& 0\\ 0& B_S\end{array}\right]{Y_{\mathrm{gsxy}}}^{-1}\left[\begin{array}{cc}{C}_{\mathrm{gxy}}& 0\\ 0& C_S\end{array}\right],$

$B_q=\left[\begin{array}{c}0\\ B_{q-\mathrm{pss}}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}{B}_{\mathrm{gxy}}& 0\\ 0& B_S\end{array}\right]{Y_{\mathrm{gsxy}}}^{-1}\left[\begin{array}{c}0\\ D_{q-\mathrm{pss}}\end{array}\right],B_p=\left[\begin{array}{c}0\\ B_{p-\mathrm{pss}}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}{B}_{\mathrm{gxy}}& 0\\ 0& B_S\end{array}\right]{Y_{\mathrm{gsxy}}}^{-1}\left[\begin{array}{c}0\\ D_{p-\mathrm{pss}}\end{array}\right]$

3.阻尼控制器的输出方程

在图6所示电池储能装置上可以叠加二个阻尼控制器。一个叠加在交流电压控制器上，其输出控制信号是u_q-pss，阻尼控制是通过调节电池储能装置和系统的无功功率交换实现的(以下称为无功阻尼控制器)；另一个叠加在直流电压控制器上，其输出控制信号是u_p-pss，阻尼控制是通过调节电池储能装置和系统的有功功率交换实现的(以下称为有功阻尼控制器)。不失一般性，设二个阻尼控制器的反馈信号为电池储能装置安装地点线路上的有功功率偏差ΔP_sj(即图5中所示ΔP₆₅)。因为：

$P_{\mathrm{sj}}=\mathrm{Re}\left(\frac{V_s-V_j}{Z_{\mathrm{sj}}}{V_s}^{*}\right)=\mathrm{Re}\left[(G_{\mathrm{sj}}+j{B}_{\mathrm{sj}})(V_s{V_s}^{*}-V_j{V_s}^{*})\right]=G_{\mathrm{sj}}({V_{\mathrm{sx}}}^2+{V_{\mathrm{sy}}}^2)+B_{\mathrm{ij}}(V_{\mathrm{sx}}{V}_{\mathrm{jy}}-V_{\mathrm{sy}}{V}_{\mathrm{jx}})---\left(44\right)$

其中，*表示变量的共轭。由上式线性化可得：

$\mathrm{\Δ}{P}_{\mathrm{sj}}=\left[\begin{array}{cc}2G_{\mathrm{sj}}{V}_{\mathrm{sx}0}+B_{\mathrm{sj}}{V}_{\mathrm{jy}0}& 2G_{\mathrm{sj}}{V}_{\mathrm{sy}0}-B_{\mathrm{sj}}{V}_{\mathrm{jx}0}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}{V}_{\mathrm{sx}}\\ \mathrm{\Δ}{V}_{\mathrm{sy}}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}{B}_{\mathrm{sj}}{V}_{\mathrm{sx}0}& -B_{\mathrm{sj}}{V}_{\mathrm{sy}0}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}{V}_{\mathrm{jx}}\\ \mathrm{\Δ}{V}_{\mathrm{jy}}\end{array}\right]---\left(45\right)$

$=p_s\mathrm{\Δ}{V}_{\mathrm{sxy}}+{p^{\′}}_s\mathrm{\Δ}{V}_{\mathrm{oxy}}$

利用式(41)，由上式可得：

$\mathrm{\Δ}{P}_{\mathrm{sj}}=(\left[\begin{array}{cc}0& p_s\end{array}\right]-{p_s}^{\′}{Y_{\mathrm{oo}}}^{-1}\left[\begin{array}{cc}{Y}_{\mathrm{og}}& Y_{\mathrm{os}}\end{array}\right]){Y_{\mathrm{gsxy}}}^{-1}(\left[\begin{array}{cc}{C}_{\mathrm{gxy}}& 0\\ 0& C_S\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{X}_g\\ X_S\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ D_{q-\mathrm{pss}}\end{array}\right]\mathrm{\Δ}{u}_{q-\mathrm{pss}}+\left[\begin{array}{c}0\\ D_{p-\mathrm{pss}}\end{array}\right]\mathrm{\Δ}{u}_{p-\mathrm{pss}})---\left(46\right)$

所以，关于阻尼控制器的输出方程为：

Δy＝CX+D_qΔu_q-pss+D_pΔu_p-pss                                   (47)

其中，

$C=(\left[\begin{array}{cc}0& p_s\end{array}\right]-{p_s}^{\′}{Y_{\mathrm{oo}}}^{-1}\left[\begin{array}{cc}{Y}_{\mathrm{og}}& Y_{\mathrm{os}}\end{array}\right]){Y_{\mathrm{gsxy}}}^{-1}\left[\begin{array}{cc}{C}_{\mathrm{gxy}}& 0\\ 0& C_S\end{array}\right]$

$D_q=(\left[\begin{array}{cc}0& p_s\end{array}\right]-{p_s}^{\′}{Y_{\mathrm{oo}}}^{-1}\left[\begin{array}{cc}{Y}_{\mathrm{og}}& Y_{\mathrm{os}}\end{array}\right]){Y_{\mathrm{gsxy}}}^{-1}\left[\begin{array}{c}0\\ D_{q-\mathrm{pss}}\end{array}\right]$

$D_p=(\left[\begin{array}{cc}0& p_s\end{array}\right]-{p_s}^{\′}{Y_{\mathrm{oo}}}^{-1}\left[\begin{array}{cc}{Y}_{\mathrm{og}}& Y_{\mathrm{os}}\end{array}\right]){Y_{\mathrm{gsxy}}}^{-1}\left[\begin{array}{c}0\\ D_{p-\mathrm{pss}}\end{array}\right]$

4.模态分析分析结果及其分解

对图5所示的装有一台电池储能装置的简单四机二区域电力系统中的无功和有功阻尼控制器的阻尼效果预测的模态分析结果如表1所示。模态分析所关心的是系统中的区域振荡模态λ_a。在表1中也给出了阻尼控制器装设以后的特征值的计算结果。由表一结果可见：(1)在不同的联络线功率下，模态分析预测有功阻尼控制器的阻尼控制效果变化不大，而无功阻尼控制器的阻尼控制效果随联络线功率的增加而提高；(2)特征值的计算结果证实了模态分析预测的正确。非线性仿真的证实结果如图7所示，其中图7(a)和7(b)为装设无功阻尼控制器的阻尼控制效果非线性仿真结果；图7(c)和7(d)为装设有功阻尼控制器的阻尼控制效果非线性仿真结果；图7(a)和7(c)的P₆₅₀＝0.1p.u.，图7(b)和7(d)的P₆₅₀＝1.5p.u.。

表1模态分析预测结果和特征值计算验证：

可是，从表1的模态分析和特征值计算的结果无法得知：为什么无功和有功阻尼控制器的阻尼控制效果对联络线功率的改变有着不同的鲁棒性。所以，图8和图9给出了本发明分解式模态分析的计算结果。由图8和图9可见：(1)对无功(图8(a)和8(b))和有功(图9(a)和9(b))阻尼控制器，各台发电机的阻尼转矩灵敏度系数是一样的。这是因为发电机参与性与电池储能装置上装设的阻尼控制器的类型无关；(2)随着联络线输送功率的改变，各台机的阻尼转矩灵敏度系数(参与性)变化是不明显；(3)在不同的联络线功率下，有功阻尼控制器向各台机提供的阻尼转矩变化不大，所以阻尼控制的鲁棒性较好；(4)随着联络线输送功率的提高，无功阻尼控制器向各台机提供的阻尼转矩增加很多，所以阻尼控制的效果明显提高。因此，图8和图9的分解式模态分析分析给出了模态分析结果的物理解释。

从图8给出的分解式模态分析的计算结果还可见：无功阻尼控制器通过发电机G1和发电机G2对区域振荡模态λ_a的影响是正的(数值为负)，但是通过发电机G3和发电机G4对区域振荡模态λ_a的影响却是负的(数值为正)。在联络线轻负荷时(如图8(a)所示P₆₅₀＝0.1p.u.时)，通过发电机G3和发电机G4对区域振荡模态λ_a的影响更大，所以总的影响是负的。在联络线重负荷时(如图8(b)所示P₆₅₀＝1.5p.u.时)，通过发电机G1和发电机G2对区域振荡模态λ_a的影响增加很多而大大超过通过发电机G3和发电机G4对区域振荡模态λ_a的影响，所以总的影响是正的。这也是为什么阻尼控制的效果随着联络线输送功率的提高而明显提高。

本发明提出的分解式模态分析方法在我国某一实际大系统上进行了测试。该实际大系统的简化接线图如图10所示。测试的对象是系统中将装设的一条高压直流线路(ZLC)的控制器(整流侧控制器和逆变侧控制器)，目的是分析直流控制器对系统中的二个低频振荡模态(代码分别为FJM和AHM)的影响。

FJM模式主要表现为(区域1+区域2+区域3+区域4+区域5)对(区域6+区域7)的功率振荡。对FJM的模态分析计算的结果为：(1)ZLC整流侧控制器影响：R_i＝0.4448-0.0509i；(2)ZLC逆变侧控制器影响：R_i＝0.0016-0.0071i。AHM模式主要表现为(区域1)对(区域2+区域3+区域4+区域5区域6+区域7)的功率振荡。对AHM的模态分析计算的结果为：(1)ZLC整流侧控制器影响：R_i＝-0.0630-0.0266i；(2)ZLC逆变侧控制器影响：R_i＝-0.0001-0.0002i。这表明：

a.高压直流线路ZLC的整流侧控制器与其逆变侧控制器相比，对低频振荡模态的影响较大。这是因为整流侧作为功率送端，通过功率的调整，可以有效的影响功率振荡，而逆变侧为功率受端，是被动的功率变化，对功率振荡的影响有限。

b.对FJM而言，高压直流线路ZLC的控制对阻尼的影响是负的，即使得FJM向右半平面移动，阻尼变差；而对AHM而言，却是正的，但是影响与对FJM影响相比却小许多。对这一结果可以做进一步的分解式模态分析如下。

表2给出的是ZLC整流侧控制对FJM的模态分解式分析计算的结果。由表2中的结果可见：ZLC整流侧控制通过在区域6和7中的发电机对FJM的影响是使得FJM的阻尼增加，因为ZLC整流侧控制向区域6和7中的发电机提供正的阻尼转矩；但是，ZLC整流侧控制通过在其它区域中的发电机对FJM的影响却是使得FJM的阻尼减少许多，这样的总的结果是高压直流线路(ZLC)的控制使得FJM模态的阻尼减少。表3给出的是ZLC整流侧控制对AHM的模态分解式分析计算的结果。由表3中的结果可见：ZLC整流侧控制对AHM模态阻尼的影响较为复杂。它向在区域2和5中的大部分发电机(不是区域2和5中的全部发电机)提供正的阻尼转矩，从而使得AHM的阻尼增加较多。虽然ZLC整流侧控制向其它区域中的发电机提供负的阻尼转矩，但是总的影响是使得AHM的阻尼增加。所以，从分解式模态分析的结果可以清晰的看出整流侧控制器对FJM和AHM模态阻尼的影响是在全网如何分配，传递从而形成的。

表2：ZLC整流侧控制器对低频振荡模态FJM的分解式模态分析分析的详细结果

发电机	区域	Bj(λi)γj(λi)	Sij	SijBj(λi)γj(λi)
					G36	7	300-300i	-0.0005886-0.0000289i	-0.1723+0.1860i
G6	2	-600+500i	-0.0001496-0.0000190i	0.1005-0.0643i
					G8	2	-1200+2300i	-0.0000869+0.0000026i	0.0943-0.1993i

G12	3	-2800-700i	-0.0000323+0.0000023i	0.0933+0.0153i
					G32	2	-500+1000i	-0.0001278-0.0000159i	0.0791-0.1155i
G9	2	-2100+500i	-0.0000349+0.0000016i	0.0723-0.0220i
					G34	7	300+100i	-0.0002522-0.0000498i	-0.0646-0.0388i
G35	7	200-200i	-0.0003148-0.0000036i	-0.0641+0.0675i
					G7	1	-1200+1100i	-0.0000437-0.0000046i	0.0590-0.0427i
G11	2	-1500+300i	-0.0000363+0.0000023i	0.0551-0.0130i
					G13	3	-900-5500i	-0.0000184+0.0000050i	0.0444+0.0961i
G33	7	200-300i	-0.0001944+0.0000108i	-0.0435+0.0519i
					G37	7	100-100i	-0.0007400-0.0001082i	-0.0410+0.0574i
G19	1	-900+3800i	-0.0000277-0.0000039i	0.0409-0.1010i
					G18	1	-1000+1000i	-0.0000317-0.0000038i	0.0355-0.0289i
G20	1	-1100+1000i	-0.0000302-0.0000033i	0.0350-0.0273i
					G5	2	-600+1300i	-0.0000533-0.0000030i	0.0339-0.0699i
G28	6	1300-1100i	-0.0000287+0.0000076i	-0.0304+0.0408i
					G31	6	700-700i	-0.0000593+0.0000178i	-0.0303+0.0568i
G29	6	1300-1100i	-0.0000279+0.0000078i	-0.0289+0.0402i
					G14	3	-700-2300i	-0.0000197+0.0000054i	0.0271+0.0419i
G17	1	-800+700i	-0.0000314-0.0000049i	0.0270-0.0173i
					G10	3	-1000+300i	-0.0000252+0.0000014i	0.0257-0.0091i
G2	2	-400+300i	-0.0000483-0.0000029i	0.0200-0.0140i
					G15	3	-1400-100i	-0.0000115+0.0000026i	0.0159-0.0022i
G16	4	-1700-800i	-0.0000074+0.0000027i	0.0149+0.0012i
					G1	2	-300+200i	-0.0000459-0.0000014i	0.0144-0.0089i
G4	2	-300+200i	-0.0000409-0.0000013i	0.0143-0.0063i
					G30	6	600-1000i	-0.0000459+0.0000144i	-0.0129+0.0548i
G3	1	-400+700i	-0.0000237-0.0000035i	0.0123-0.0143i
					G23	5	-4700-600i	-0.0000024-0.0000002i	0.0111+0.0021i
G26	6	1800-3300i	-0.0000111+0.0000036i	-0.0077+0.0433i
					G27	5	-2800+400i	-0.0000024-0.0000011i	0.0071+0.0020i
G25	5	-900+7000i	-0.0000006-0.0000004i	0.0035-0.0039i
					G24	5	-900+6500i	-0.0000005-0.0000003i	0.0028-0.0031i
G22	5	200+1000i	-0.0000055-0.0000019i	0.0017-0.0056i
					G21	4	-50+200i	-0.0000067+0.0000037i	-0.0004-0.0014i
G38	直流	-51900+1336800i	0.0000001+0.0000001i	-0.0001+0.0005i

表3：ZLC整流侧控制器对低频振荡模态AHM的分解式模态分析分析的详细结果

发电机	区域	Bj(λi)γj(λi)	Sij	SijBj(λi)γj(λi)
					G8	2	100-100i	-0.0009926-0.0000137i	-0.0389+0.0985i
G19	1	-100+200i	-0.0002708-0.0000232i	0.0234-0.0514i
					G7	1	-100+100i	-0.0004392+0.0000146i	0.0228-0.0282i
G18	1	-100+100i	-0.0004281+0.0000044i	0.0170-0.0219i
					G20	1	-100+100i	-0.0003719+0.0000068i	0.0158-0.0199i
G17	1	-100+100i	-0.0003831-0.0000014i	0.0117-0.0133i
					G6	2	-200+400i	-0.0000175-0.0000096i	0.0078-0.0054i
G13	3	3500+200i	0.0000019-0.0000002i	0.0067-0.0004i
					G9	2	200-300i	-0.0000116-0.0000087i	-0.0055+0.0016i
G3	1	-100+100i	-0.0001721-0.0000085i	0.0045-0.0069i
					G11	2	200-200i	-0.0000164-0.0000117i	-0.0045+0.0008i
G25	5	100-100i	-0.0000425-0.0000336i	-0.0044+0.0041i
					G22	5	100-200i	-0.0000528+0.0005754i	0.0039+0.0082i
G14	3	1200-400i	0.0000023+0.0000011i	0.0032+0.0004i
					G12	3	-400-500i	-0.0000004+0.0000057i	0.0031-0.0023i
G32	2	-100+500i	-0.0000080-0.0000058i	0.0028-0.0036i
					G24	5	200-200i	-0.0000176-0.0000079i	-0.0019+0.0024i
G5	2	-100-700i	-0.0000033-0.0000025i	-0.0016+0.0023i
					G23	5	400+100i	-0.0000038+0.0000013i	-0.0015-0.0000i
G36	7	-1400-700i	0.0000015+0.0000013i	-0.0012-0.0030i
					G15	3	200-200i	-0.0000018-0.0000038i	-0.0012-0.0005i
G30	6	300-500i	-0.0000035+0.0000044i	0.0011+0.0033i
					G21	4	-100+200i	-0.0000043-0.0000058i	0.0010-0.0004i
G16	4	400-200i	-0.0000017-0.0000029i	-0.0007-0.0011i
					G2	2	100-200i	-0.0000026-0.0000018i	-0.0006+0.0004i
G4	2	100-100i	-0.0000032-0.0000027i	-0.0005+0.0002i
					G1	2	100-100i	-0.0000028-0.0000021i	-0.0005+0.0003i
G28	6	600-500i	-0.0000023+0.0000035i	0.0004+0.0035i
					G26	6	900-1900i	-0.0000009+0.0000006i	0.0004+0.0023i
G29	6	600-500i	-0.0000023+0.0000034i	0.0003+0.0034i
					G37	7	300+500i	0.0000007-0.0000001i	0.0002+0.0003i
G35	7	-1000-1300i	0.0000003+0.0000000i	-0.0002-0.0004i
					G10	3	-300-500i	0.0000011+0.0000004i	-0.0001-0.0007i
G27	5	1600-2800i	0.0000001-0.0000000i	0.0001-0.0003i
					G33	7	400-1300i	-0.0000001-0.0000001i	-0.0001+0.0000i

G31	6	900-1100i	-0.0000008+0.0000007i	0.0000+0.0015i
					G34	7	1800-500i	0.0000001-0.0000001i	0.0000-0.0002i
G38	直流	-642600+3228100i	0.0000000-0.0000000i	0.0000+0.0000i

以上所述仅是本发明的优选实施方式，应当指出：对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以做出若干改进和润饰，这些改进和润饰也应视为本发明的保护范围。

Claims (1)

1.一种电力系统小干扰振荡稳定性分解式模态分析方法，其特征在于：所述分析方法包括如下步骤：

(1)通过数据采集和监控系统SCADA系统、能量管理系统EMS获得电力系统稳态数据：发电机机端电压、机端有功、母线有功和母线无功；

(2)输入电力系统稳态数据：发电机机端电压、机端有功、母线有功和母线无功；

(3)输入电力系统静态数据：电力网络拓扑数据、线路阻抗导纳数据、变压器阻抗变比数据；

(4)获取发电机组固有数据：发电机内部电抗数据、励磁系统数据；

(5)利用潮流计算工具和初值计算工具，得到含指定控制器或装置的开环系统的线性化矩阵：

$\mathrm{\Δ}\stackrel{.}{X}=\mathrm{A\ΔX}+\mathrm{B\Δu}$

Δy＝CΔX

以及：

$\left[\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}\stackrel{.}{\mathrm{\δ}}\\ \mathrm{\Δ}\stackrel{.}{\mathrm{\ω}}\\ \mathrm{\Δ}\stackrel{.}{Z}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0& {\mathrm{\ω}}_{0}I& 0\\ A_{21}& A_{22}& A_{23}\\ A_{31}& A_{32}& A_{33}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\Δ\δ}\\ \mathrm{\Δ\ω}\\ \mathrm{\ΔZ}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ B_2\\ B_3\end{array}\right]\mathrm{\Δu}$

其中，X为系统状态变量，y为输出变量，A为系统线性化矩阵，B为控制矩阵，A₂₁、A₂₂、A₂₃、A₃₁、A₃₂、A₃₃、B₂、B₃为上述公式中的分块矩阵，C为输出矩阵，u为控制器输出信号，δ为发电机功角状态变量向量，ω为发电机转速状态变量向量，Z为系统其它状态变量向量，Δ为线性化算子，变量加点为微分算子，ω₀I为对角阵，ω₀为额定角速度；

(6)计算指定控制器或装置向各台发电机提供的电磁转矩的通道因子B_j(λ_i)，j＝1，2，…N，即B(λ_i)的第j个分量，其中，N为系统中发电机的台数，λ_i＝-ξ_i±jω_i为系统中指定分析的第i个机电振荡模态，根据步骤(5)中得到：

B(s)＝B₂+A₂₃(sI-A₃₃)^-1B₃；

(7)计算指定控制器或装置的输入反馈信号用各台发电机转速状态变量重构的重构系数γ_j(λ_i)，j＝1，2，…N：

${\mathrm{\γ}}_j\left({\mathrm{\λ}}_i\right)=\frac{{\mathrm{Cv}}_i}{v_{i2j}}$

其中v_i为相应于λ_i的右特征向量，v_i2j为v_i中对应于Δω_j，j＝1，2，…N的分量，j为第j台发电机，系统的输出方程为：

Δy＝CX

(8)计算系统中各台发电机相应于指定振荡模态的参与因子S_ij：

$S_{\mathrm{ij}}=\frac{{\∂\mathrm{\λ}}_i}{{\∂D}_j}=w_{i2j}{v}_{i2j},$ j＝1，2，…N

其中，D_jΔω_j，j＝1，2，…N为各台发电机上获得的额外阻尼转矩，w_i为相应于λ_i的左特征向量，w_i2j为w_i中对应于Δω_j，j＝1，2，…N的分量；

(9)通过对指定机电振荡模态的分解式模态分析方法计算残差：

$R_i=\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{S}_{\mathrm{ij}}{B}_j\left({\mathrm{\λ}}_i\right){\mathrm{\γ}}_j\left({\mathrm{\λ}}_i\right)$

(10)通过输出步骤(9)中得到的残差，安排指定控制器或装置在电力系统中的位置。

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