CN101887068B - 三轴矢量传感器及两轴矢量传感器的标定补偿方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及矢量传感器的误差修正，具体是一种三轴矢量传感器及两轴矢量传感器的标定补偿方法。解决了现有多轴矢量传感器的标定补偿方法未同时兼顾引起测量误差的所有因素等问题，方法依照矢量传感器实测输出S^m、理论输出S^e的关系式S^m＝KS^e+S₀及误差系数矩阵K＝K₁K₂，构建矢量传感器误差修正数学模型：

K₁、K₂分别为三轴矢量传感器的灵敏度误差系数矩阵、三测量轴间不正交误差系数矩阵；以有效方法获得误差修正数学模型中的零偏S₀、修正系数矩阵K^-1，最终得到所测矢量传感器的误差修正数学模型，对矢量传感器的测量结果进行标定补偿。兼顾引起多轴矢量传感器测量误差的所有因素进行标定补偿，提高测量结果精度；过程简洁方便、对硬件设备没有过高要求，适用于多种矢量传感器。

Description

三轴矢量传感器及两轴矢量传感器的标定补偿方法

技术领域

本发明涉及矢量传感器的误差修正，具体是一种三轴矢量传感器及两轴矢量传感器的标定补偿方法。

背景技术

随着现代科学技术的进步，许多工业领域对测量精度的要求越来越高，所以简单准确的仪器校准技术就显得至关重要。对于多轴矢量传感器(一般指三轴矢量传感器及两轴矢量传感器)来说，其测量结果的精度与构成多轴矢量传感器的各单轴传感器的零偏误差、灵敏度误差、以及各单轴传感器安装误差相关；其中，各单轴传感器的安装误差导致各单轴传感器的测量轴不正交(单轴传感器测量轴与正交坐标系坐标轴间的夹角一般在几十分到几度之间)，是引起多轴矢量传感器的测量误差的主要原因。因此，现有多轴矢量传感器测量结果的标定补偿方法，都主要针对各单轴传感器的安装误差进行补偿，以获得较高精度的测量结果，而忽略构成多轴矢量传感器的各单轴传感器的零偏误差、灵敏度误差，至少未同时兼顾进行补偿；而且现有标定补偿方法都比较复杂，实现不易，例如：标定MEMS加速度计的六位置法，需要将待标定MEMS加速度计固定安装于位置转台台面上，并且待标定MEMS加速度计的被测试轴向需要与位置转台台面的中心轴线垂直安装，同时从六个标准位置采集数据，实现上存在难度；另外，对于多轴矢量传感器中矢量磁传感器的现有标定补偿方法来说，除存在着操作时间长、场地要求面积大等问题外，不但要求转台无磁性，而且由于方法中需要转台转动精确，因而对设备要求极高。

发明内容

本发明为了解决现有多轴矢量传感器的标定补偿方法未同时兼顾引起测量误差的所有因素，且方法复杂、实现不易、对设备要求极高等问题，提供了一种修正过程简便、修正结果精确的三轴矢量传感器及两轴矢量传感器的标定补偿方法。分别适用于三轴矢量加速度计、三轴矢量磁传感器、以及两轴矢量加速度计和两轴矢量磁传感器的误差校准。

本发明是采用如下技术方案实现的：三轴矢量传感器的标定补偿方法，设三轴矢量传感器的实测输出为

理论输出为则有三轴矢量传感器实测输出S^m、理论输出S^e的关系式：

S^m＝KS^e+S₀        (1-1)

即S^e＝K^-1(S^m-S₀)  (1-2)

其中，K为误差系数矩阵，K^-1为修正系数矩阵-误差系数矩阵K的逆矩阵，S₀＝[S_0x S_0y S_0z]^T为三轴矢量传感器的零偏；

误差系数矩阵K＝K₁K₂    (1-3)

K₁为三轴矢量传感器的灵敏度误差系数矩阵，且

$K_1=k\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}{\mathrm{\δk}}_x& 0& 0\\ 0& {\mathrm{\δk}}_y& 0\\ 0& 0& {\mathrm{\δk}}_z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{k}_x& 0& 0\\ 0& k_y& 0\\ 0& 0& k_z\end{array}\right]---(1-4)$

其中，k为i(i＝x，y，z)轴向上传感器的额定灵敏度；δk_i为i(i＝x，y，z)轴向上传感器的灵敏度偏差；K_i为i(i＝x，y，z)轴向上传感器的实际灵敏度；

K₂为三轴矢量传感器的三测量轴间不正交误差系数矩阵，且

$K_2=\left[\begin{array}{ccc}\cos \mathrm{\α}& 0& \sin \mathrm{\α}\\ \sin \mathrm{\β}\cos \mathrm{\γ}& \cos \mathrm{\β}\cos \mathrm{\γ}& \sin \mathrm{\γ}\\ 0& 0& 1\end{array}\right]---(1-5)$

其中，如图1所示，K₂的确定前提：设三轴矢量传感器三测量轴中的z轴、坐标圆心o与正交坐标系的z^e轴、坐标圆心o重合，且x轴处于正交坐标系的x^eoz^e平面，则夹角α为三轴矢量传感器三测量轴中x轴与正交坐标系x^e轴间的夹角，夹角γ为三轴矢量传感器三测量轴中y轴与正交坐标系x^eoy^e平面间的夹角，夹角β为三轴矢量传感器三测量轴中y轴在正交坐标系x^eoy^e平面的投影与正交坐标系y^e轴间的夹角；

则有修正系数矩阵

$K^{-1}=K_2^{-1}{K}_1^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}\sec \mathrm{\α}/k_x& 0& -\tan \mathrm{\α}/k_z\\ -\sec \mathrm{\α}\tan \mathrm{\β}/k_x& \sec \mathrm{\β}\sec \mathrm{\γ}/k_y& (-\sec \mathrm{\β}\tan \mathrm{\γ}+\sec \mathrm{\α}\tan \mathrm{\β})/k_z\\ 0& 0& 1/k_z\end{array}\right]---(1-6)$

将式(1-6)代入式(1-2)，即可得到三轴矢量传感器误差修正数学模型：

$S^e=K^{-1}(S^m-S_0)=K_2^{-1}{K}_1^{-1}\left({S^m-S}_0\right)=$

$\left[\begin{array}{ccc}\sec \mathrm{\α}/k_x& 0& -\tan \mathrm{\α}/k_z\\ -\sec \mathrm{\α}\tan \mathrm{\β}/k_x& \sec \mathrm{\β}\sec \mathrm{\γ}/k_y& (-\sec \mathrm{\β}\tan \mathrm{\γ}+\sec \mathrm{\α}\tan \mathrm{\β})/k_z\\ 0& 0& 1/k_z\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{S}_x^m-S_{0x}\\ S_y^m-S_{0y}\\ S_z^m-S_{0z}\end{array}\right]---(1-7)$

三轴矢量传感器的零偏S₀、修正系数矩阵K^-1的获取方法如下：

1)、选取某一已知准确测量结果-即理论输出S^e的地点作为三轴矢量传感器的测量点，该测量点的理论输出S^e表示为S^b，则三轴矢量传感器的理论输出S^e满足：(S^e)^TS^e＝[K^-1(S^m-S₀)]^T[K^-1(S^m-S₀)]＝||S^b||²，

即 ${(S^m-S_0)}^T\frac{{\left(K^{-1}\right)}^T{K}^{-1}}{{\left|\right|S^b\left|\right|}^2}(S^m-S_0)=1---(1-8);$

2)、在步骤1)所述测量点随机旋转三轴矢量传感器进行实时测量，使其姿态角的跨度覆盖三轴矢量传感器所在三维空间，从而获得一系列的测量值

i＝x，y，z，j＝1，2，…，n；

3)、根据步骤2)获得的测量值

进行椭球曲面拟合，获得最佳拟合椭球曲面的二次型函数

F(ξ，Z)＝ξ^TZ＝ax²+by²+cz²+2dxy+2exz+2fyz+2px+2qy+2rz+g＝0，拟合参数ξ＝[a，b，c，d，e，f，p，q，r，g]^T；

4)、将步骤3)获得的最佳拟合椭球曲面的二次型函数F(ξ，Z)用矩阵记号表示为：(X-X₀)^TA(X-X₀)＝1    (1-9)，

其中，形状参数矩阵

最佳拟合椭球曲面的的中心点坐标

为参数矩阵A的逆矩阵；

5)、根据式(1-8)和式(1-9)可得到：

$A=\frac{{\left(K^{-1}\right)}^T{K}^{-1}}{{\left|\right|S^b\left|\right|}^2}---(1-10)$

$S_0=X_0=-A^{-1}\left[\begin{array}{c}p\\ q\\ r\end{array}\right]---(1-11)$

根据式(1-6)、式(1-10)可以计算得到式(1-6)中参数k_x、k_y、k_z、α、β、γ的估计值如下：

$\left\{\begin{array}{c}{\hat{k}}_x=\sqrt{a^{\′}}/\left|\right|S^b\left|\right|\\ {\hat{k}}_y=\sqrt{b^{\′}}/\left|\right|S^b\left|\right|\\ {\hat{k}}_z=\sqrt{c^{\′}}/\left|\right|S^b\left|\right|\\ \widehat{\mathrm{\α}}=\arcsin (e^{\′}/\sqrt{a^{\′}{c}^{\′}})\\ \widehat{\mathrm{\β}}=\arcsin [(d^{\′}{c}^{\′}-e^{\′}{f}^{\′})/\sqrt{(a^{\′}{c}^{\′}-e^{\′2})(b^{\′}{c}^{\′}-f^{\′2})}]\\ \widehat{\mathrm{\γ}}=\arcsin (f^{\′}/\sqrt{b^{\′}{c}^{\′}})\end{array}\right.---(1-12)$

将式(1-12)、式(1-11)的计算结果代入式(1-7)，最终得到所测三轴矢量传感器的误差修正数学模型，依据所获得的误差修正数学模型即可对该三轴矢量传感器的测量结果进行标定补偿。

两轴矢量传感器的标定补偿方法，设两轴矢量传感器的实测输出为

理论输出为则有两轴矢量传感器实测输出S^m、理论输出S^e的关系式：

S^m＝KS^e+S₀        (2-1)

即S^e＝K^-1(S^m-S₀)  (2-2)

其中，K为误差系数矩阵，K^-1为修正系数矩阵-误差系数矩阵K的逆矩阵，S₀＝[S_0x S_0y]^T为两轴矢量传感器的零偏；

误差系数矩阵K＝K₁K₂    (2-3)

K₁为两轴矢量传感器的灵敏度误差系数矩阵，且

$K_1=k\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{\δk}}_x& 0\\ 0& {\mathrm{\δk}}_y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{k}_x& 0\\ 0& k_y\end{array}\right]---(2-4)$

其中，k为i(i＝x，y)轴向上传感器的额定灵敏度；δk_i为i(i＝x，y)轴向上传感器的灵敏度偏差；k_i为i(i＝x，y)轴向上传感器的实际灵敏度；

K₂为两轴矢量传感器的两测量轴间不正交误差系数矩阵，且

$K_2=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ \sin \mathrm{\α}& \cos \mathrm{\α}\end{array}\right]---(2-5)$

其中，如图2所示，K₂的确定前提：设两轴矢量传感器两测量轴中的x轴、坐标圆心o与正交坐标系的x^e轴、坐标圆心o重合，则夹角α为两轴矢量传感器两测量轴中y轴与正交坐标系y^e轴间的夹角；

则有修正系数矩阵

$K^{-1}=K_2^{-1}{K}_1^{-1}=\left[\begin{array}{cc}1/k_x& 0\\ -\tan \mathrm{\α}/k_x& \sec \mathrm{\α}/k_y\end{array}\right]---(2-6)$

将式(2-6)代入式(2-2)，即可得到两轴矢量传感器误差修正数学模型：

$S^e=K^{-1}(S^m-S_0)=K_2^{-1}{K}_1^{-1}(S^m-S_0)=\left[\begin{array}{cc}1/k_x& 0\\ -\tan \mathrm{\α}{/k}_x& \sec \mathrm{\α}/k_y\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{S}_x^m-S_{0x}\\ S_y^m-S_{0y}\end{array}\right]---(2-7)$

两轴矢量传感器的零偏S₀、修正系数矩阵K^-1的获取方法如下：

1)、选取某一已知准确测量结果-即理论输出S^e的地点作为两轴矢量传感器的测量点，该测量点的理论输出S^e表示为S^b，则两轴矢量传感器的理论输出S^e满足：(S^e)^TS^e＝[K^-1(S^m-S₀)]^T[K^-1(S^m-S₀)＝||S^b||²，

即 ${(S^m-S_0)}^T\frac{{\left(K^{-1}\right)}^T{K}^{-1}}{{\left|\right|S^b\left|\right|}^2}(S^m-S_0)=1---(2-8);$

2)、在步骤1)所述测量点设置两轴矢量传感器，使两轴矢量传感器的测量平面平行于其所测参数的方向矢量，在两轴矢量传感器的测量平面内随机旋转两轴矢量传感器进行实时测量，使其旋转角的跨度覆盖两轴矢量传感器的测量平面，从而获得一系列的测量值

i＝x，y，j＝1，2，…，n；

3)、根据步骤2)获得的测量值

进行椭圆曲线拟合，获得最佳拟合椭圆曲线的二次型函数F(ξ，z)＝ξ^Tz＝ax²+by²+cxy+dx+ey+f＝0，拟合参数ξ＝[a，b，c，d，e，f]^T；

4)、将步骤3)获得的最佳拟合椭圆曲线的二次型函数F(ξ，Z)用矩阵记号表示为：(X-X₀)^TA(X-X₀)＝1    (2-9)，

其中，形状参数矩阵最佳拟合椭圆曲线的的中心点坐标

为参数矩阵A的逆矩阵；

5)、根据式(2-8)和式(2-9)可得到：

$A=\frac{{\left(K^{-1}\right)}^T{K}^{-1}}{{\left|\right|S^b\left|\right|}^2}---(2-10)$

$S_0=X_0=-\frac{1}{2}{A}^{-1}\left[\begin{array}{c}d\\ e\end{array}\right]---(2-11)$

根据式(2-6)、式(2-10)可以计算得到式(2-6)中参数k_x、k_y、α的估计值如下：

$\left\{\begin{array}{c}{\hat{k}}_x=\sqrt{a^{\′}}/\left|\right|S^b\left|\right|\\ {\hat{k}}_y=\sqrt{b^{\′}}\left|\right|S^b\left|\right|\\ \widehat{\mathrm{\α}}=\arcsin (c^{\′}/\sqrt{a^{\′}{b}^{\′}})\end{array}\right.---(2-12)$

将式(2-12)、式(2-11)的计算结果代入式(2-7)，最终得到所测两轴矢量传感器的误差修正数学模型，依据所获得的误差修正数学模型即可对该两轴矢量传感器的测量结果进行标定补偿。

与现有技术相比，本发明兼顾引起多轴矢量传感器测量误差的所有因素：构成多轴矢量传感器的各单轴传感器的零偏误差、灵敏度误差、以及各单轴传感器的安装误差进行误差标定、补偿，能有效修正、校准矢量传感器的测量误差，明显提高多轴矢量传感器测量结果的精度；应用当前广泛用于处理实验数据的拟合方法来确定多轴矢量传感器的误差修正参数，使得修正过程简洁方便、实现容易、对硬件设备没有过高要求；适用于多种矢量传感器的校准工作，比如三轴矢量加速度计、三轴矢量磁传感器、以及两轴矢量加速度计和两轴矢量磁传感器。

附图说明

图1为三轴矢量传感器三测量轴与正交坐标系的关系图；

图2为两轴矢量传感器两测量轴与正交坐标系的关系图；

具体实施方式

下面分别以校准三轴矢量加速度计和两轴矢量磁传感器为例来对本发明所述方法作进一步说明：

1、应用本发明所述三轴矢量传感器的标定补偿方法校准三轴矢量加速度计

设三轴矢量加速度计的实测加速度输出为

理论加速度输出为

则有三轴矢量加速度计实测加速度输出G^m、理论加速度输出G^e的关系式：

G^m＝KG^e+G₀        (1-1)

即G^e＝K^-1(G^m-G₀)  (1-2)

其中，K为误差系数矩阵，K^-1为修正系数矩阵-误差系数矩阵K的逆矩阵，G₀＝[G_0x G_0y G_0z]^T为三轴矢量加速度计的零偏；

误差系数矩阵K＝K₁K₂    (1-3)

K₁为三轴矢量加速度计的灵敏度误差系数矩阵，且

$K_1=k\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}{\mathrm{\δk}}_x& 0& 0\\ 0& {\mathrm{\δk}}_y& 0\\ 0& 0& {\mathrm{\δk}}_z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{k}_x& 0& 0\\ 0& k_y& 0\\ 0& 0& k_z\end{array}\right]---(1-4)$

其中，k为i(i＝x，y，z)轴向上加速度计的额定灵敏度；δk_i为i(i＝x，y，z)轴向上加速度计的灵敏度偏差；k_i为i(i＝x，y，z)轴向上加速度计的实际灵敏度；

K₂为三轴矢量加速度计的三测量轴间不正交误差系数矩阵，且

$K_2=\left[\begin{array}{ccc}\cos \mathrm{\α}& 0& \sin \mathrm{\α}\\ \sin \mathrm{\β}\cos \mathrm{\γ}& \cos \mathrm{\β}\cos \mathrm{\γ}& \sin \mathrm{\γ}\\ 0& 0& 1\end{array}\right]---(1-5)$

其中，如图1所示，K₂的确定前提：设三轴矢量加速度计三测量轴中的z轴、坐标圆心o与正交坐标系的z^e轴、坐标圆心o重合，且x轴处于正交坐标系的x^eoz^e平面，则夹角α为三轴矢量加速度计三测量轴中x轴与正交坐标系x^e轴间的夹角，夹角γ为三轴矢量加速度计三测量轴中y轴与正交坐标系x^eoy^e平面间的夹角，夹角β为三轴矢量加速度计三测量轴中y轴在正交坐标系x^eoy^e平面的投影与正交坐标系y^e轴间的夹角；

则有修正系数矩阵

$K^{-1}=K_2^{-1}{K}_1^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}\sec \mathrm{\α}/k_x& 0& -\tan \mathrm{\α}/k_z\\ -\sec \mathrm{\α}\tan \mathrm{\β}/k_x& \sec \mathrm{\β}\sec \mathrm{\γ}/k_y& (-\sec \mathrm{\β}\tan \mathrm{\γ}+\sec \mathrm{\α}\tan \mathrm{\β})/k_z\\ 0& 0& 1/k_z\end{array}\right]---(1-6)$

将式(1-6)代入式(1-2)，即可得到三轴矢量加速度计误差修正数学模型：

$G^e=K^{-1}(G^m-G_0)=K_2^{-1}{K}_1^{-1}\left({G^m-G}_0\right)=$

$\left[\begin{array}{ccc}\sec \mathrm{\α}/k_x& 0& -\tan \mathrm{\α}/k_z\\ -\sec \mathrm{\α}\tan \mathrm{\β}/k_x& \sec \mathrm{\β}\sec \mathrm{\γ}/k_y& (-\sec \mathrm{\β}\tan \mathrm{\γ}+\sec \mathrm{\α}\tan \mathrm{\β})/k_z\\ 0& 0& 1/k_z\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{G}_x^m-G_{0x}\\ G_y^m-G_{0y}\\ G_z^m-G_{0z}\end{array}\right]---(1-7)$

三轴矢量加速度计的零偏G₀、修正系数矩阵K^-1的获取方法如下：

1)、选取已知准确重力加速度G^b的地点作为三轴矢量加速度计的测量点，则三轴矢量加速度计的理论加速度输出G^e满足：

(G^e)^TG^e＝[K^-1(G^m-G₀)]^T[K^-1(G^m-G₀)]＝||G^b||²，

即 ${(G^m-G_0)}^T\frac{{\left(K^{-1}\right)}^T{K}^{-1}}{{\left|\right|G^b\left|\right|}^2}(G^m-G_0)=1---(1-8);$

2)、在步骤1)所述测量点随机旋转三轴矢量加速度计进行实时测量，使其姿态角的跨度覆盖三轴矢量加速度计所在三维空间，从而获得一系列的测量值

i＝x，y，z，j＝1，2，…，n；

3)、根据步骤2)获得的测量值进行椭球曲面拟合，获得最佳拟合椭球曲面的二次型函数

F(ξ，Z)＝ξ^TZ＝ax²+by²+cz2+2dxy+2exz+2fyz+2px+2qy+2rz+g＝0，拟合参数ξ＝[a，b，c，d，e，f，p，q，r，g]^T；

4)、将步骤3)获得的最佳拟合椭球曲面的二次型函数F(ξ，Z)用矩阵记号表示为：(X-X₀)^TA(X-X₀)＝1    (1-9)，

其中，形状参数矩阵

最佳拟合椭球曲面的的中心点坐标

为参数矩阵A的逆矩阵；

5)、根据式(1-8)和式(1-9)可得到：

$A=\frac{{\left(K^{-1}\right)}^T{K}^{-1}}{{\left|\right|S^b\left|\right|}^2}---(1-10)$

$G_0=X_0=-A^{-1}\left[\begin{array}{c}p\\ q\\ r\end{array}\right]---(1-11)$

根据式(1-6)、式(1-10)可以计算得到式(1-6)中参数k_x、k_y、k_z、α、β、γ的估计值如下：

$\left\{\begin{array}{c}{\hat{k}}_x=\sqrt{a^{\′}}/\left|\right|S^b\left|\right|\\ {\hat{k}}_y=\sqrt{b^{\′}}/\left|\right|S^b\left|\right|\\ {\hat{k}}_z=\sqrt{c^{\′}}/\left|\right|S^b\left|\right|\\ \widehat{\mathrm{\α}}=\arcsin (e^{\′}/\sqrt{a^{\′}{c}^{\′}})\\ \widehat{\mathrm{\β}}=\arcsin [(d^{\′}{c}^{\′}-e^{\′}{f}^{\′})/\sqrt{(a^{\′}{c}^{\′}-e^{\′2})(b^{\′}{c}^{\′}-f^{\′2})}]\\ \widehat{\mathrm{\γ}}=\arcsin (f^{\′}/\sqrt{b^{\′}{c}^{\′}})\end{array}\right.---(1-12)$

将式(1-12)、式(1-11)的计算结果代入式(1-7)，最终得到所测三轴矢量加速度计的误差修正数学模型，依据所获得的误差修正数学模型即可对该三轴矢量加速度计的测量结果进行标定补偿。

2、应用本发明所述两轴矢量传感器的标定补偿方法校准两轴矢量磁传感器，设两轴矢量磁传感器的实测地磁场强度输出为

理论地磁场强度输出为

则有两轴矢量磁传感器实测地磁场强度输出H^m、理论地磁场强度输出H^e的关系式：

H^m＝KH^e+H₀        (2-1)

即H^e＝K^-1(H^m-H₀)  (2-2)

其中，K为误差系数矩阵，K^-1为修正系数矩阵-误差系数矩阵K的逆矩阵，H₀＝[H_0x H_0y]^T为两轴矢量磁传感器的零偏；

误差系数矩阵K＝K₁K₂    (2-3)

K₁为两轴矢量磁传感器的灵敏度误差系数矩阵，且

$K_1=k\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{\δk}}_x& 0\\ 0& {\mathrm{\δk}}_y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{k}_x& 0\\ 0& k_y\end{array}\right]---(2-4)$

其中，k为i(i＝x，y)轴向上传感器的额定灵敏度；δk_i为i(i＝x，y)轴向上传感器的灵敏度偏差；k_i为i(i＝x，y)轴向上传感器的实际灵敏度；

K₂为两轴矢量磁传感器的两测量轴间不正交误差系数矩阵，且

$K_2=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ \sin \mathrm{\α}& \cos \mathrm{\α}\end{array}\right]---(2-5)$

其中，如图2所示，K₂的确定前提：设两轴矢量磁传感器两测量轴中的x轴、坐标圆心o与正交坐标系的x^e轴、坐标圆心o重合，则夹角α为两轴矢量磁传感器两测量轴中y轴与正交坐标系y^e轴间的夹角；

则有修正系数矩阵

$K^{-1}=K_2^{-1}{K}_1^{-1}=\left[\begin{array}{cc}1/k_x& 0\\ -\tan \mathrm{\α}/k_x& \sec \mathrm{\α}/k_y\end{array}\right]---(2-6)$

将式(2-6)代入式(2-2)，即可得到两轴矢量磁传感器误差修正数学模型：

$H^e=K^{-1}(H^m-H_0)=K_2^{-1}{K}_1^{-1}(H^m-H_0)=\left[\begin{array}{cc}1/k_x& 0\\ -\tan \mathrm{\α}{/k}_x& \sec \mathrm{\α}/k_y\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{H}_x^m-H_{0x}\\ H_y^m-H_{0y}\end{array}\right]---(2-7)$

两轴矢量磁传感器的零偏H₀、修正系数矩阵K^-1的获取方法如下：

1)、在地磁场短期变化较小的时间段内，选取已知准确地磁场强度H^b的地点作为两轴矢量磁传感器的测量点，则两轴矢量磁传感器的理论地磁场强度输出H^e满足：(H^e)^TH^e＝[K^-1(H^m-H₀)]^T[K^-1(H^m-H₀)]＝||H^b||²，

即 ${(H^m-H_0)}^T\frac{{\left(K^{-1}\right)}^T{K}^{-1}}{{\left|\right|H^b\left|\right|}^2}(H^m-H_0)=1---(2-8);$

2)、在步骤1)所述测量点设置两轴矢量磁传感器，使两轴矢量磁传感器的测量平面平行于测量点处的地磁场方向(考虑到地磁场方向与地表平行，因此，使两轴矢量磁传感器的测量平面平行于测量点处的水平面即可)，在两轴矢量磁传感器的测量平面内随机旋转两轴矢量传感器进行实时测量，使其旋转角的跨度覆盖两轴矢量磁传感器的测量平面，从而获得一系列的测量值

i＝x，y，j＝1，2，…，n；

3)、根据步骤2)获得的测量值

进行椭圆曲线拟合，获得最佳拟合椭圆曲线的二次型函数

F(ξ，z)＝ξ^Tz＝ax²+by²+cxy+dx+ey+f＝0，拟合参数ξ＝[a，b，c，d，e，f]^T；

4)、将步骤3)获得的最佳拟合椭圆曲线的二次型函数F(ξ，Z)用矩阵记号表示为：(X-X₀)^TA(X-X₀)＝1    (2-9)，

其中，参数矩阵最佳拟合椭圆曲线的的中心点坐标

为参数矩阵A的逆矩阵；

5)、根据式(2-8)和式(2-9)可得到：

$A=\frac{{\left(K^{-1}\right)}^T{K}^{-1}}{\left|\right|{S^b\left|\right|}^2}---(2-10)$

$H_0=X_0=-\frac{1}{2}{A}^{-1}\left[\begin{array}{c}d\\ e\end{array}\right]---(2-11)$

根据式(2-6)、式(2-10)可以计算得到式(2-6)中参数k_x、k_y、α的估计值如下：

$\left\{\begin{array}{c}{\hat{k}}_x=\sqrt{a^{\′}}/\left|\right|S^b\left|\right|\\ {\hat{k}}_y=\sqrt{b^{\′}}\left|\right|S^b\left|\right|\\ \widehat{\mathrm{\α}}=\arcsin (c^{\′}/\sqrt{a^{\′}{b}^{\′}})\end{array}\right.---(2-12)$

将式(2-12)、式(2-11)的计算结果代入式(2-7)，最终得到所测两轴矢量磁传感器的误差修正数学模型，依据所获得的误差修正数学模型即可对该两轴矢量磁传感器的测量结果进行标定补偿。

Claims (2)

1.一种三轴矢量传感器的标定补偿方法，其特征在于：设三轴矢量传感器的实测输出为 $S^m={\left[\begin{array}{ccc}{S}_x^m& S_y^m& S_z^m\end{array}\right]}^T,$ 理论输出为 $S^e={\left[\begin{array}{ccc}{S}_x^e& S_y^e& S_z^e\end{array}\right]}^T,$ 则有三轴矢量传感器实测输出S^m、理论输出S^e的关系式：

S^m＝KS^e+S₀       (1-1)

即S^e＝K^-1(S^m-S₀) (1-2)

其中，K为误差系数矩阵，K^-1为修正系数矩阵-误差系数矩阵K的逆矩阵，S₀＝[S_0x S_0y S_0z]^T为三轴矢量传感器的零偏；

误差系数矩阵K＝K₁K₂             (1-3)

K₁为三轴矢量传感器的灵敏度误差系数矩阵，且

$K_1=k\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}{\mathrm{\δk}}_x& 0& 0\\ 0& \mathrm{\δ}{k}_y& 0\\ 0& 0& \mathrm{\δ}{k}_z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{k}_x& 0& 0\\ 0& k_y& 0\\ 0& 0& k_z\end{array}\right]---(1-4)$

其中，k为i轴向上传感器的额定灵敏度；δk_i为i轴向上传感器的灵敏度偏差；k_i为i轴向上传感器的实际灵敏度，i＝x，y，z；

K₂为三轴矢量传感器的三测量轴间不正交误差系数矩阵，且

$K_2=\left[\begin{array}{ccc}\cos \mathrm{\α}& 0& \sin \mathrm{\α}\\ \sin \mathrm{\β}\cos \mathrm{\γ}& \cos \mathrm{\β}\cos \mathrm{\γ}& \sin \mathrm{\γ}\\ 0& 0& 1\end{array}\right]---(1-5)$

其中，K₂的确定前提：设三轴矢量传感器三测量轴中的z轴、坐标圆心o与正交坐标系的z^e轴、坐标圆心o重合，且x轴处于正交坐标系的x^eoz^e平面，则夹角α为三轴矢量传感器三测量轴中x轴与正交坐标系x^e轴间的夹角，夹角γ为三轴矢量传感器三测量轴中y轴与正交坐标系x^eoy^e平面间的夹角，夹角β为三轴矢量传感器三测量轴中y轴在正交坐标系x^eoy^e平面的投影与正交坐标系y^e轴间的夹角；

则有修正系数矩阵

$K^{-1}=K_2^{-1}{K}_1^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}\sec \mathrm{\α}/k_x& 0& -\tan \mathrm{\α}/k_z\\ -\sec \mathrm{\α}\tan \mathrm{\β}/k_x& \sec \mathrm{\β}\sec \mathrm{\γ}/k_y& (-\sec \mathrm{\β}\tan \mathrm{\γ}+\sec \mathrm{\α}\tan \mathrm{\β})/k_z\\ 0& 0& 1/k_z\end{array}\right]---(1-6)$

将式(1-6)代入式(1-2)，即可得到三轴矢量传感器误差修正数学模型：

$S^e=K^{-1}(S^m-S_0)=K_2^{-1}{K}_1^{-1}(S^m-S_0)=$

$\left[\begin{array}{ccc}\sec \mathrm{\α}/k_x& 0& -\tan \mathrm{\α}/k_z\\ -\sec \mathrm{\α}\tan \mathrm{\β}/k_x& \sec \mathrm{\β}\sec \mathrm{\γ}/k_y& (-\sec \mathrm{\β}\tan \mathrm{\γ}+\sec \mathrm{\α}\tan \mathrm{\β})/k_z\\ 0& 0& 1/k_z\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{S}_x^m-S_{0x}\\ S_y^m-S_{0y}\\ S_z^m-S_{0z}\end{array}\right]---(1-7)$

三轴矢量传感器的零偏S₀、修正系数矩阵K^-1的获取方法如下：

1)、选取某一已知准确测量结果-即理论输出S^e的地点作为三轴矢量传感器的测量点，该测量点的理论输出S^e表示为S^b，则三轴矢量传感器的理论输出S^e满足：(S^e)^TS^e＝[K^-1(S^m-S₀)]^T[K^-1(S^m-S₀)]＝||S^b||²，

即 ${(S^m-S_0)}^T\frac{{\left(K^{-1}\right)}^T{K}^{-1}}{{\left|\right|S^b\left|\right|}^2}(S^m-S_0)=1---(1-8);$

2)、在步骤1)所述测量点随机旋转三轴矢量传感器进行实时测量，使其姿态角的跨度覆盖三轴矢量传感器所在三维空间，从而获得一系列的测量值 $S_{i,j}^m={\left[\begin{array}{ccc}{S}_{x,j}^m& S_{y,j}^m& S_{z,j}^m\end{array}\right]}^T,$ i＝x，y，z，j＝1，2，…，n；

3)、根据步骤2)获得的测量值

进行椭球曲面拟合，获得最佳拟合椭球曲面的二次型函数

F(ξ，Z)＝ξ^TZ＝ax²+by²+cz²+2dxy+2exz+2fyz+2px+2qy+2rz+g＝0，拟合参数ξ＝[a，b，c，d，e，f，p，q，r，g]^T；

4)、将步骤3)获得的最佳拟合椭球曲面的二次型函数F(ξ，Z)用矩阵记号表示为：(X-X₀)^TA(X-X₀)＝1            (1-9)，

其中，参数矩阵 $A=\left[\begin{array}{ccc}a& d& e\\ d& b& f\\ e& f& c\end{array}\right];$ 最佳拟合椭球曲面的中心点坐标 $X_0=A^{-1}\left[\begin{array}{c}p\\ q\\ r\end{array}\right],$ $A^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}{a}^{\′}& d^{\′}& e^{\′}\\ d^{\′}& b^{\′}& f^{\′}\\ e^{\′}& f^{\′}& c^{\′}\end{array}\right]$ 为参数矩阵A的逆矩阵；

5)、根据式(1-8)和式(1-9)可得到：

$A=\frac{{\left(K^{-1}\right)}^T{K}^{-1}}{{\left|\right|S^b\left|\right|}^2}---(1-10)$

$S_0=X_0=-A^{-1}\left[\begin{array}{c}p\\ q\\ r\end{array}\right]---(1-11)$

根据式(1-6)、式(1-10)可以计算得到式(1-6)中参数k_x、k_y、k_z、α、β、γ的估计值如下：

$\left\{\begin{array}{c}{\hat{k}}_x=\sqrt{a^{\′}}/\left|\right|S^b\left|\right|\\ {\hat{k}}_y=\sqrt{b^{\′}}/\left|\right|S^b\left|\right|\\ {\hat{k}}_z=\sqrt{c^{\′}}/\left|\right|S^b\left|\right|\\ \widehat{\mathrm{\α}}=\arcsin (e^{\′}/\sqrt{a^{\′}{c}^{\′}})\\ \widehat{\mathrm{\β}}=\arcsin [(d^{\′}{c}^{\′}-e^{\′}{f}^{\′})/\sqrt{(a^{\′}{c}^{\′}-e^{\′2})(b^{\′}{c}^{\′}-f^{\′2})}]\\ \widehat{\mathrm{\γ}}=\arcsin (f^{\′}/\sqrt{b^{\′}{c}^{\′}})\end{array}\right.---(1-12)$

将式(1-12)、式(1-11)的计算结果代入式(1-7)，最终得到所测三轴矢量传感器的误差修正数学模型，依据所获得的误差修正数学模型即可对该三轴矢量传感器的测量结果进行标定补偿。

2.一种两轴矢量传感器的标定补偿方法，其特征在于：设两轴矢量传感器的实测输出为 $S^m={\left[\begin{array}{cc}{S}_x^m& S_y^m\end{array}\right]}^T,$ 理论输出为 $S^e={\left[\begin{array}{cc}{S}_x^e& S_y^e\end{array}\right]}^T,$ 则有两轴矢量传感器实测输出S^m、理论输出S^e的关系式：

S^m＝KS^e+S₀        (2-1)

即S^e＝K^-1(S^m-S₀)  (2-2)

其中，K为误差系数矩阵，K^-1为修正系数矩阵-误差系数矩阵K的逆矩阵，S₀＝[S_0x S_0y]^T为两轴矢量传感器的零偏；

误差系数矩阵K＝K₁K₂          (2-3)

K₁为两轴矢量传感器的灵敏度误差系数矩阵，且

$K_1=k\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}\mathrm{\δ}{k}_x& 0\\ 0& \mathrm{\δ}{k}_y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{k}_x& 0\\ 0& k_y\end{array}\right]---(2-4)$

其中，k为i轴向上传感器的额定灵敏度；δk_i为i轴向上传感器的灵敏度偏差；k_i为i轴向上传感器的实际灵敏度，i＝x，y；

K₂为两轴矢量传感器的两测量轴间不正交误差系数矩阵，且

$K_2=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ \sin \mathrm{\α}& \cos \mathrm{\α}\end{array}\right]---(2-5)$

其中，K₂的确定前提：设两轴矢量传感器两测量轴中的x轴、坐标圆心o与正交坐标系的x^e轴、坐标圆心o重合，则夹角α为两轴矢量传感器两测量轴中y轴与正交坐标系y^e轴间的夹角；

则有修正系数矩阵

$K^{-1}=K_2^{-1}{K}_1^{-1}=\left[\begin{array}{cc}1/k_x& 0\\ -\tan \mathrm{\α}/k_x& \sec \mathrm{\α}/k_y\end{array}\right]---(2-6)$

将式(2-6)代入式(2-2)，即可得到两轴矢量传感器误差修正数学模型：

$S^e=K^{-1}(S^m-S_0)=K_2^{-1}{K}_1^{-1}(S^m-S_0)=\left[\begin{array}{cc}1/k_x& 0\\ -\tan \mathrm{\α}/k_x& \sec \mathrm{\α}/k_y\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{S}_x^m-S_{0x}\\ S_y^m-S_{0y}\end{array}\right]---(2-7)$

两轴矢量传感器的零偏S₀、修正系数矩阵K^-1的获取方法如下：

1)、选取某一已知准确测量结果-即理论输出S^e的地点作为两轴矢量传感器的测量点，该测量点的理论输出S^e表示为S^b，则两轴矢量传感器的理论输出S^e满足：(S^e)^TS^e＝[K^-1(S^m-S₀)]^T[K^-1(S^m-S₀)]＝||S^b||²，

即 ${(S^m-S_0)}^T\frac{{\left(K^{-1}\right)}^T{K}^{-1}}{{\left|\right|S^b\left|\right|}^2}(S^m-S_0)=1---(2-8);$

2)、在步骤1)所述测量点设置两轴矢量传感器，使两轴矢量传感器的测量平面平行于其所测参数的方向矢量，在两轴矢量传感器的测量平面内随机旋转两轴矢量传感器进行实时测量，使其旋转角的跨度覆盖两轴矢量传感器的测量平面，从而获得一系列的测量值 $S_{i,j}^m={\left[\begin{array}{cc}{S}_{x,j}^m& S_{y,j}^m\end{array}\right]}^T,$ i＝x，y，j＝1，2，…，n；

3)、根据步骤2)获得的测量值进行椭圆曲线拟合，获得最佳拟合椭圆曲线的二次型函数

F(ξ，Z)＝ξ^TZ＝ax²+by²+cxy+dx+ey+f＝0，拟合参数ξ＝[a，b，c，d，e，f]^T；

4)、将步骤3)获得的最佳拟合椭圆曲线的二次型函数F(ξ，Z)用矩阵记号表示为：(X-X₀)^TA(X-X₀)＝1          (2-9)，

其中，参数矩阵 $A=\left[\begin{array}{cc}a& c/2\\ c/2& b\end{array}\right];$ 最佳拟合椭圆曲线的中心点坐标 $X_0=-\frac{1}{2}{A}^{-1}\left[\begin{array}{c}d\\ e\end{array}\right],$ $A^{-1}=\left[\begin{array}{cc}{a}^{\′}& c^{\′}\\ c^{\′}& b^{\′}\end{array}\right]$ 为参数矩阵A的逆矩阵；

5)、根据式(2-8)和式(2-9)可得到：

$A=\frac{{\left(K^{-1}\right)}^T{K}^{-1}}{{\left|\right|S^b\left|\right|}^2}---(2-10)$

$S_0=X_0=-\frac{1}{2}{A}^{-1}\left[\begin{array}{c}d\\ e\end{array}\right]---(2-11)$

根据式(2-6)、式(2-10)可以计算得到式(2-6)中参数k_x、k_y、α的估计值如下：

$\left\{\begin{array}{c}{\hat{k}}_x=\sqrt{a^{\′}}/\left|\right|S^b\left|\right|\\ {\hat{k}}_y=\sqrt{b^{\′}}/\left|\right|S^b\left|\right|\\ \widehat{\mathrm{\α}}=\arcsin (c^{\′}/\sqrt{a^{\′}{b}^{\′}})\end{array}\right.---(2-12)$

将式(2-12)、式(2-11)的计算结果代入式(2-7)，最终得到所测两轴矢量传感器的误差修正数学模型，依据所获得的误差修正数学模型即可对该两轴矢量传感器的测量结果进行标定补偿。

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