CN101840453B - 薄壁曲面结构的有限元网格生成方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种薄壁曲面结构的有限元网格生成方法，其目的是解决现有的带孔薄壁圆锥曲面结构有限元模型设计方法等效应力大的技术问题。技术方案是首先在参数平面上采用实体建模法生成平面有限元网格，再采用直接生成法通过参数化映射关系产生空间薄壁曲面结构的网格节点，并利用参数平面上对应的单元拓扑信息生成空间薄壁曲面结构的有限元网格。使得相同体积的带孔薄壁圆锥曲面结构有限元模型的最大等效应力相对于现有技术有较大的下降。

Description

薄壁曲面结构的有限元网格生成方法

技术领域

本发明涉及一种有限元网格生成方法，特别是薄壁曲面结构的有限元网格生成方法。 

背景技术

文献“Release 11.0 Documentation for ANSYS.ANSYS Incorporated，2005.”公开了一种实体建模生成法与直接生成法两种有限元网格的生成方法。采用实体建模生成法时，首先需要建立几何模型以描述模型的几何边界，再控制单元大小及形状，最后令ANSYS程序自动生成有限元网格的所有的节点和单元。采用直接生成方法时，需要首先确定每个节点的位置，然后生成有限元网格的所有节点，再确定各个单元的大小、形状与连接形式，生成有限元网格的所有单元。 

实体建模生成法一般比较有效和通用，是一般建模的首选方法。但对于带孔薄壁曲面结构，由于优化设计的需要，其孔洞位置与形状一般为可变参量，则其几何模型较复杂，此时仅几何模型的精确建立本身就存在困难，所以不便于采用实体建模法生成有限元网格。直接生成法使用户对每个节点和单元的编号有完全的控制，但由于存在不能用于自适应网格划分，不便于优化设计，较难满足参数变化时，孔洞等局部几何特征始终位于给定曲面上的特定几何约束要求等缺点不适用于带孔薄壁曲面结构的有限元网格生成。 

发明内容

现有技术中，对于带孔薄壁曲面结构由于几何模型复杂、网格节点位置存在特定几何约束等原因较难采用实体建模生成法或直接生成法生成有限元网格。为了解决这一技术问题，本发明提出了一种薄壁曲面结构的有限元网格生成方法，首先在参数平面上采用实体建模法生成平面有限元网格，再采用直接生成法通过参数化映射关系产生空间薄壁曲面结构的网格节点，并利用参数平面上对应的单元拓扑信息生成空间薄壁曲面结构的有限元网格。 

本发明解决其技术问题所采用的技术方案是：一种薄壁曲面结构的有限元网格生成方法，其特点是包括下述步骤： 

(a)根据空间薄壁曲面结构的几何特征，建立其参数方程： 

$\left\{\begin{array}{cc}x=x(s^{\′},t^{\′})& \\ y=y(s^{\′},t^{\′})& ,0\≤s^{\′}\≤s_0,0\≤t^{\′}\≤t_0.\\ z=z(s^{\′},t^{\′})& \end{array}\right.---\left(1\right)$

式中，(x，y，z)为空间薄壁曲面结构上一点，(x’，t’)为其参数平面上对应一点。从而在s-t平面上建立了宽为s₀，长为t₀的矩形映射域。 

母线在y-z平面上的旋转曲面的参数化方程可通过式(2)建立： 

$\left\{\begin{array}{c}x=R\left(z\left(t\right)\right)\cos [{\mathrm{\θ}}_0+({\mathrm{\θ}}_1-{\mathrm{\θ}}_0)s/s_0]\\ y=R\left(z\left(t\right)\right)\sin [{\mathrm{\θ}}_0+({\mathrm{\θ}}_1-{\mathrm{\θ}}_0)s/s_0]\\ z=H_0+(H_1-H_0)t/t_0\end{array}\right.(0\≤s\≤s_0,0\≤t\≤t_0)---\left(2\right)$

式中，θ₀为旋转面片的起始角度，θ₁为旋转面片的终止角度；H₀为旋转面的最小轴向坐标，H₁为旋转面的最大轴向坐标，R为旋转面上任一点的径向坐标。 

采用控制点坐标拟合生成的曲面结构的参数化方程为： 

$\left\{\begin{array}{c}x=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{B}_i(s,t)\·x_i\\ y=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{B}_i(s,t)\·y_i\\ z=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{B}_i(s,t)\·z_i\end{array}\right.0\≤s\≤s_0,0\≤t\≤t_0---\left(3\right)$

式中，B_i(s，t)为第i个控制顶点处的拟合函数，满足 

$\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{B}_i(s,t)=1---\left(4\right)$

(b)根据空间曲面结构的形状特点确定实际平面映射域的形状。二边曲面结构对应的实际平面映射域选用一般四边形，三边曲面结构对应的实际平面映射域选用三角形，四边曲面结构对应的实际平面映射域选用矩形或一般四边形，多于四边的曲面结构分解为二边曲面结构、三边曲面结构或四边曲面结构，再分别进行映射。 

(c)实际平面映射域不是矩形时，建立矩形映射域与实际映射域之间的映射关系，并保证空间曲面结构与s-t平面上的实际映射域Ω之间具有一一对应的映射关系。 

假设(s’，t’)为矩形映射域内任一点，(s，t)为实际映射域内任一点，则矩形映射域与实际映射域之间的映射关系为 

$\left\{\begin{array}{c}s=s(s^{\′},t^{\′})\\ t=t(s^{\′},t^{\′})\end{array}\right.,0\≤s^{\′}\≤s_0,0\≤t^{\′}\≤t_0.---\left(5\right)$

于是空间曲面结构与s-t平面上的实际映射域Ω之间一一对应的映射关系为 

$\left\{\begin{array}{c}x=x(s^{\′}(s,t),t^{\′}(s,t))\\ y=y(s^{\′}(s,t),t^{\′}(s,t))\\ z=z(s^{\′}(s,t),t^{\′}(s,t))\end{array}\right.,(s,t)\∈\mathrm{\Ω}.---\left(6\right)$

四边形映射域的四个顶点的坐标分别为(s₂，0)、(0，t₁)、(s₁，t₀)和(s₀，t₁)。常数t₁满足0＜t₁＜t₀。则矩形映射域与一般四边形映射域之间的映射关系为： 

$\left\{\begin{array}{c}s=s_{\mathrm{mid}}+\frac{(s^{\′}-s_{\mathrm{mid}})(t^{\′}-t_{\mathrm{peak}})}{t_1-t_{\mathrm{peak}}}\\ t=t^{\′}\end{array}\right.,0\≤s^{\′}\≤s_0,0\≤t^{\′}\≤t_0.---\left(7\right)$

其中 

$\left\{\begin{array}{ccc}{s}_{\mathrm{mid}}=s_2,t_{\mathrm{peak}}=0,& \mathrm{if}& t^{\&prime;}<t_1;\\ s_{\mathrm{mid}}=s_1,t_{\mathrm{peak}}=t_0,& \mathrm{else}.& \end{array}\right.$

当t₁＝0时，(7)式可简化为(8)式， 

$\left\{\begin{array}{c}s=\frac{1}{t_0}(s_1{t}^{\&prime;}+s^{\&prime;}(t_0-t^{\&prime;}))\\ t=t^{\&prime;}\end{array}\right.,0\&le;s^{\&prime;}\&le;s_0,0\&le;t^{\&prime;}\&le;t_0.---\left(8\right)$

即式(8)为矩形映射域内任一点(s’，t’)与三角形映射域内任一点(s，t)之间的映射关系。 

三角形映射域的三个顶点坐标分别为(0，0)、(s₀，0)和(s₁，t₀)。则空间曲面结构与s-t平面上的实际一般四边形映射域Ω之间一一对应的映射关系为： 

$\left\{\begin{array}{c}x=x(s^{\&prime;}(s,t),t^{\&prime;}(s,t))=x(s_{\mathrm{mid}}+\frac{(s-s_{\mathrm{mid}})(t_1-t_{\mathrm{peak}})}{t-t_{\mathrm{peak}}},t)\\ y=y(s^{\&prime;}(s,t),t^{\&prime;}(s,t))=y(s_{\mathrm{mid}}+\frac{(s-s_{\mathrm{mid}})(t_1-t_{\mathrm{peak}})}{t-t_{\mathrm{peak}}},t)\\ z=z(s^{\&prime;}(s,t),t^{\&prime;}(s,t))=z(s_{\mathrm{mid}}+\frac{(s-s_{\mathrm{mid}})(t_1-t_{\mathrm{peak}})}{t-t_{\mathrm{peak}}},t)\end{array}\right.,(s,t)\&Element;\mathrm{\&Omega;}.---\left(9\right)$

其中， 

$\left\{\begin{array}{ccc}{s}_{\mathrm{mid}}=s_2,t_{\mathrm{peak}}=0,& \mathrm{if}& t<t_1;\\ s_{\mathrm{mid}}=s_1,t_{\mathrm{peak}}=t_0,& \mathrm{else}.& \end{array}\right.$

且当t＝0时，令 当t＝t₀时，令 

空间曲面结构与s-t平面上的实际三角形映射域Ω之间一一对应的映射关系为： 

$\left\{\begin{array}{c}x=x(s^{\&prime;}(s,t),t^{\&prime;}(s,t))=x(\frac{s_{1}t-s{t}_0}{t-t_0},t)\\ y=y(s^{\&prime;}(s,t),t^{\&prime;}(s,t))=y(\frac{s_{1}t-s{t}_0}{t-t_0},t)\\ z=z(s^{\&prime;}(s,t),t^{\&prime;}(s,t))=z(\frac{s_{1}t-s{t}_0}{t-t_0},t)\end{array}\right.,\frac{s_{1}t}{t_0}\&le;s\&le;\frac{1}{t_0}(s_{1}t+s_0(t_0-t)),0\&le;t\&le;t_0.---\left(10\right)$

当t＝t₀时，令 

(d)如果空间曲面结构上存在孔、槽等局部几何特征，在s-t平面中建立平面孔周曲线的参数方程： 

$\left\{\begin{array}{c}{s}^{\&prime;}=s^{\&prime;}\left(u\right)\\ t^{\&prime;}=t^{\&prime;}\left(u\right)\end{array}\right.,0\&le;u\&le;1---\left(11\right)$

再根据式(5)在实际映射域中建立平面孔周曲线的参数方程： 

$\left\{\begin{array}{c}s=s(s^{\&prime;}\left(u\right),t^{\&prime;}\left(u\right))\\ t=t(s^{\&prime;}\left(u\right),t^{\&prime;}\left(u\right))\end{array}\right.,0\&le;u\&le;1---\left(12\right)$

或直接在实际映射域中建立平面孔周曲线的参数方程： 

$\left\{\begin{array}{c}s=s\left(u\right)\\ t=t\left(u\right)\end{array}\right.,0\&le;u\&le;1---\left(13\right)$

(e)利用有限元分析软件，建立带有局部几何特征的实际映射域的几何模型，并根据实际精度需要设定单元大小与单元划分方式，在带有局部几何特征的实际平面映射域内划分网格，确定网格拓扑关系与节点坐标。 

(f)根据式(6)将实际平面映射域中的节点映射到空间坐标中，并按照实际平面映射域内相应的网格拓扑关系，建立空间曲面结构的有限元网格。如果整体有限元网格具有循环对称性，则先生成单胞结构的有限元网格，再通过单胞网格的阵列操作，生成整体结构的有限元网格。 

本发明的有益效果是：实现了带有参数化孔、槽等几何特征的复杂空间曲面结构的有限元网格的生成，便于后续的优化设计等进一步操作。实施例1与实施例2采用本发明方法实现了带有孔洞的三边曲面结构的有限元网格生成。实施例3、实施例4、实施5与实施例6采用本发明方法实现了带有孔洞且边长关系较接近矩形的四边曲面结构的有限元网格生成。实施例7与实施例8采用本发明方法实现了带有孔洞的一般四边曲面结构的有限元网格生成。其中实施例4实现了空间曲面结构的映射网格生成，其他实施例实现了空间曲面结构的自由网格生成。实施例9给出了这种参数化有限元网格用于结构优化设计的实例，并在保证结构重量不变的前提下，将其有限元模型的单元最大等效应力由715.765MPa降低到464.490MPa。 

下面结合附图和实施例对本发明进一步说明。 

附图说明

图1是实际映射域为一般四边形的示意图。 

图2是实际映射域为三角形的示意图。 

图3(a)是本发明方法实施例1的三角形映射域中的有限元网格，图3(b)是实施例1的空间曲面结构的有限元网格。 

图4(a)是本发明方法实施例2的三角形映射域中的有限元网格，图4(b)是实施例2的空间曲面结构的有限元网格。 

图5(a)是本发明方法实施例3的矩形映射域中的有限元网格，图5(b)是实施例3的空间曲面结构的有限元网格。 

图6(a)是本发明方法实施例4的矩形映射域中的有限元网格，图6(b)是实施例4的空间曲面结构的有限元网格。 

图7(a)是本发明方法实施例5的矩形映射域中的有限元网格，图7(b)是实施例5的空间曲面结构的有限元网格。 

图8(a)是本发明方法实施例6的矩形映射域中的有限元网格，图8(b)是实施例6的空间曲面结构的有限元网格。 

图9(a)是本发明方法实施例7的四边形映射域中的有限元网格，图9(b)是实施例7的空间曲面结构的有限元网格。 

图10(a)是本发明方法实施例8的四边形映射域中的有限元网格，图10(b)是实施例8的空间曲面结构的有限元网格。 

图11(a)是本发明方法实施例9的初始空间曲面结构的有限元网格，图11(b)是实施例9的优化后的空间曲面结构的有限元网格。 

具体实施方式

以下实施例参照图1～图11。四边形映射域的四个顶点分别位于矩形映射域的四条不同的边上。其中位于t向坐标始终为0的矩形边上的顶点的s向坐标为s₂，位于t向坐标始终为t₀的矩形边上的顶点的s向坐标为s₁，位于s向坐标始终为0的矩形边上的顶点与位于s向坐标始终为s₀的矩形边上的顶点的t向坐标均为t₁。三角形映射域的三个顶点坐标分别为(0，0)、(s₀，0)和(s₁，t₀)。 

实施例1：带孔洞的薄壁圆锥曲面结构。 

薄壁圆锥曲面结构上有12个循环对称的孔，其基本参数如表1所示。 

表1 

(a)根据圆锥曲面结构的几何特征，建立其十二分之一单胞结构的参数方程： 

$\left\{\begin{array}{c}x=200(1-t^{\&prime;})\cos \left(1.4999s^{\&prime;}\right)\\ y=200(1-t^{\&prime;})\sin \left({1.4999s}^{\&prime;}\right)\\ z=300t^{\&prime;}\end{array}\right.,0\&le;s^{\&prime;}\&le;\mathrm{0.3491,0}\&le;t^{\&prime;}\&le;1.---\left(14\right)$

从而建立s-t参数平面，与s-t平面上的宽为0.3491，长为1的矩形映射域。 

(b)该薄壁圆锥曲面十二分之一单胞结构为三边曲面结构，所以将其实际平面映射域选用三角形。 

(c)假设(s’，t’)为矩形映射域内任一点，(s，t)为实际映射域内任一点，则矩形映射域与实际三角形映射域之间的映射关系为 

$\left\{\begin{array}{c}s=0.1746t^{\&prime;}+s^{\&prime;}(1-t^{\&prime;})\\ t=t^{\&prime;}\end{array}\right.,0\&le;s^{\&prime;}\&le;\mathrm{0.3491,0}\&le;t^{\&prime;}\&le;1.---\left(15\right)$

即(5)式为矩形映射域内任一点(s’，t’)与三角形映射域内任一点(s，t)之间的映射关系。 

则空间圆锥曲面单胞结构与s-t平面上的实际三角形映射域Ω之间一一对应的映射关系为： 

$\left\{\begin{array}{c}x=200(1-t)\cos \left(\frac{1.4999s-0.02619t}{1-t}\right)\\ y=200(1-t)\sin \left(\frac{1.4999s-0.02619t}{1-t}\right)\\ z=300t\end{array}\right.,0.1746t\&le;s\&le;0.3491(1-0.5t),0\&le;t\&le;1.---\left(16\right)$

当t＝1时，令(x，y，z)＝(0，0，300)。 

(d)对应圆锥曲面单胞结构中的槽孔，在s-t平面的矩形映射域中建立采用三次B样条函数拟合控制顶点的方式建立平面孔周曲线的参数方程： 

$\left\{\begin{array}{c}{s}^{\&prime;}=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{N}_{3,i}\left(u\right)\&CenterDot;{s_i}^{\&prime;}\\ t^{\&prime;}=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{N}_{3,i}\left(u\right)\&CenterDot;{t_i}^{\&prime;}\end{array}\right.,0\&le;u\&le;1---\left(17\right)$

其中，N_3，i(u)为第i个控制顶点对应的三次B样条函数的基函数，(s_i’，t_i’)为第i个控制顶点的坐标。这里，共采用8个控制点，其坐标分别为：(0.1745，0.7)，(0.2545，0.6)，(0.2745，0.5)，(0.2545，0.325)，(0.1745，0.15)，(0.0945，0.325)，(0.0745，0.5)，(0.0945，0.6)。 

根据矩形映射域与实际映射域之间的映射关系(13)，在实际三角形映射域中建立平面孔周曲线的参数方程： 

$\left\{\begin{array}{c}s=(0.1746\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{N}_{3,i}\left(u\right)\&CenterDot;{t_i}^{\&prime;}+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{N}_{3,i}\left(u\right)\&CenterDot;{s_i}^{\&prime;}(1-\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{N}_{3,i}\left(u\right)\&CenterDot;{t_i}^{\&prime;}))\\ t=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{N}_{3,i}\left(u\right)\&CenterDot;{t_i}^{\&prime;}\end{array}\right.,0\&le;u\&le;1.---\left(18\right)$

(e)利用有限元分析软件ANSYS，建立带孔实际映射域的几何模型，并根据实际精度需要设定单元大小，在带有孔洞的实际三角形映射域内划分自由网格，确定网格拓扑关系与节点坐标。 

(f)根据实际平面三角形映射域与空间圆锥曲面单胞结构一一对应的映射关系(16)，将实际平面映射域中的节点映射到空间坐标中，并按照实际平面映射域内对应的网格拓扑关系，采用壳单元建立空间曲面结构的自由网格。再根据整体结构的循环对称性，阵列单胞网格，生成整体结构的有限元网格。 

实施例2：带孔洞的薄壁半球曲面结构。 

薄壁半球曲面结构上有4个循环对称的孔洞，其基本参数如表2所示。 

表2 

(a)根据带孔薄壁半球曲面结构循环对称的结构特点，建立其四分之一单胞结构的参数方程： 

$\left\{\begin{array}{c}x=300\cos 0.5{\mathrm{\&pi;t}}^{\&prime;}\cos 0.5{\mathrm{\&pi;s}}^{\&prime;}\\ y=300\cos 0.5{\mathrm{\&pi;t}}^{\&prime;}\sin 0.5{\mathrm{\&pi;s}}^{\&prime;}\\ z=300\sin 0.5{\mathrm{\&pi;t}}^{\&prime;}\end{array}\right.,0\&le;s^{\&prime;},t^{\&prime;}\&le;1.---\left(19\right)$

从而建立了s-t参数平面，与s-t平面上的宽为1，长为1的矩形映射域。 

(b)带有一个孔洞的薄壁半球曲面单胞结构为三边曲面结构，所以将其实际平面映射域选用三角形。 

(c)假设(s’，t’)为矩形映射域内任一点，(s，t)为实际映射域内任一点，则矩形映射域与实际映射域之间的映射关系为 

$\left\{\begin{array}{c}s=0.5t^{\&prime;}+s^{\&prime;}(1-t^{\&prime;})\\ t=t^{\&prime;}\end{array}\right.,0\&le;s^{\&prime;},t^{\&prime;}\&le;1.---\left(20\right)$

即(5)式为矩形映射域内任一点(s’，t’)与三角形映射域内任一点(s，t)之间的映射关系。 

则空间半球曲面单胞结构与s-t平面上的实际三角形映射域Ω之间一一对应的映射关系为： 

$\left\{\begin{array}{c}x=300\cos 0.5\mathrm{\&pi;}t\cos 0.25\mathrm{\&pi;}\left(\frac{t-2s}{t-1}\right)\\ y=300\cos 0.5\mathrm{\&pi;}t\sin 0.25\mathrm{\&pi;}\left(\frac{t-2s}{t-1}\right)\\ z=300\sin 0.5\mathrm{\&pi;t}\end{array}\right.,0.5t\&le;s\&le;(1-0.5t),0\&le;t\&le;1.---\left(21\right)$

当t＝1时，令(x，y，z)＝(0，0，300)。 

(d)对应半球曲面单胞结构中的槽孔，在s-t平面的矩形映射域中建立采用三次B样条函数拟合控制顶点的方式建立平面孔周曲线的参数方程： 

$\left\{\begin{array}{c}{s}^{\&prime;}=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{N}_{3,i}\left(u\right)\&CenterDot;{s_i}^{\&prime;}\\ t^{\&prime;}=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{N}_{3,i}\left(u\right)\&CenterDot;{t_i}^{\&prime;}\end{array}\right.,0\&le;u\&le;1---\left(22\right)$

其中，N_3，i(u)为第i个控制顶点对应的三次B样条函数的基函数，(s_i’，t_i’)为第i个控制顶点的坐标。这里，共采用8个控制点，其在s-t平面上以(0.5，0.5)为原点的局部极坐标系中的坐标分别为：(0.3，π/2)，(0.2，π/4)，(0.25，2π)，(0.45，7π/4)，(0.35，3π/2)，(0.45，5π/4)，(0.25，π)，(0.2，3π/4)。 

根据矩形映射域与实际映射域之间的映射关系(21)，在实际映射域中建立平面孔周曲线的参数方程： 

$\left\{\begin{array}{c}s=0.5\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{N}_{3,i}\left(u\right)\&CenterDot;{t_i}^{\&prime;}+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{N}_{3,i}\left(u\right)\&CenterDot;{s_i}^{\&prime;}(1-\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{N}_{3,i}\left(u\right)\&CenterDot;{t_i}^{\&prime;})\\ t=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{N}_{3,i}\left(u\right)\&CenterDot;{t_i}^{\&prime;}\end{array}\right.,0\&le;u\&le;1.---\left(23\right)$

(e)利用有限元分析软件ANSYS，建立带孔实际映射域的几何模型，并根据实际精度需要设定单元大小，在带有孔洞的实际三角形映射域内划分自由网格，确定网格拓扑关系与节点坐标。 

(f)根据实际平面三角形映射域与空间圆锥曲面单胞结构一一对应的映射关系(21)，将实际平面映射域中的节点映射到空间坐标中，并按照实际平面映射域内对应的网格拓扑关系，采用壳单元建立空间曲面结构的自由网格。再根据整体结构的循环对称性，阵列单胞网格，生成整体结构的有限元网格。 

实施例3：带孔的薄壁圆柱曲面片结构(自由网格)。 

一个薄壁圆柱曲面片结构上有一个孔，其基本参数如表3所示。 

表3 

(a)建立空间薄壁圆柱曲面片结构的参数化方程： 

$\left\{\begin{array}{c}x=400\cos \left(2.5s^{\&prime;}\right)\\ y=400\sin \left(2.5s^{\&prime;}\right)\\ z={1000t}^{\&prime;}\end{array}\right.,0\&le;s^{\&prime;},t^{\&prime;}\&le;1.---\left(24\right)$

从而建立了s-t参数平面，与s-t平面上宽为1，长为1的矩形映射域。 

(b)该圆柱曲面片为四边曲面结构，这里将其实际平面映射域选用矩形。 

(c)此时矩形映射域即为圆柱曲面片结构在s-t平面中的实际映射域，满足 

$\left\{\begin{array}{c}s=s^{\&prime;}\\ t=t^{\&prime;}\end{array}\right.0\&le;s^{\&prime;},t^{\&prime;}\&le;1.---\left(25\right)$

(d)对应圆柱曲面片结构中的槽孔，在s-t平面的矩形映射域中采用椭圆孔方程建立平面孔周曲线的参数方程： 

$\left\{\begin{array}{c}s=0.5+r_1\cos \left(2\mathrm{\&pi;u}\right)\\ t=0.5+r_2\sin \left(2\mathrm{\&pi;u}\right)\end{array}\right.,0\&le;u\&le;1---\left(26\right)$

其中，r₁与r₂分别为椭圆孔洞沿s向和t向的轴半径，取值为0.6和0.3。 

(e)利用有限元分析软件ANSYS，建立带孔实际映射域的几何模型，并根据实际精度需要设定单元大小，在带有孔洞的实际矩形映射域内划分自由网格，确定网格拓扑关系与节点坐标。 

(f)根据实际矩形映射域与空间圆柱曲面片结构一一对应的映射关系(24)，将实际平面映射域中的节点映射到空间坐标中，并按照实际平面矩形映射域内相应的网格拓扑关系，采用壳单元建立空间曲面结构的自由网格。 

实施例4：带孔的薄壁圆柱曲面片结构(映射网格)。 

结构形式及尺寸同实施例4中的圆柱曲面片结构。步骤(a)～(d)与实施例3完全相同。 

(e)利用有限元分析软件ANSYS，建立带孔实际映射域的几何模型，并根据实际精度需要设定单元大小，选定映射网格四边形，设定各边网格划分份数，在带有孔洞的实际矩形映射域内划分映射网格，确定网格拓扑关系与节点坐标。 

(f)根据实际平面矩形映射域与空间圆柱曲面片结构一一对应的映射关系(24)，将实际平面映射域中的节点映射到空间坐标中，并按照实际平面映射域内相应的网格拓扑关系，采用壳单元建立空间曲面结构的映射网格。 

实施例5：带孔洞的薄壁旋转单叶双曲面结构。 

薄壁旋转单叶双曲面结构上有12个循环对称分布的孔洞，基本参数如表4所示。 

表4 

(a)薄壁旋转单叶双曲面为旋转曲面结构，其母线方程为： 

$\left\{\begin{array}{c}\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1\\ x=0\end{array}\right.---\left(27\right)$

则极坐标系下旋转面上任一点径向坐标R与轴向坐标z之间的关系满足： 

$R\left(z\right)=b\sqrt{1+\frac{z^2}{c^2}}=200\sqrt{1+\frac{z^2}{{150}^2}}---\left(28\right)$

所以，该旋转单叶双曲面十二分之一单胞结构的参数方程为： 

$\left\{\begin{array}{c}x=200\sqrt{1+{(-300+500t^{\&prime;})}^2/{150}^2}\cos (0.5236s^{\&prime;}/0.2261)\\ y=200\sqrt{1+{(-300+500t^{\&prime;})}^2/150^2}\sin (0.5236s^{\&prime;}/0.2261)\\ z=-300+500t^{\&prime;}\end{array}\right.,0\&le;s^{\&prime;}\&le;\mathrm{0.2261,0}\&le;t^{\&prime;}\&le;---\left(29\right)$

从而建立了s-t参数平面，与s-t平面上宽为0.2261，长为1的矩形映射域。 

(b)旋转单叶双曲面单胞结构为四边曲面结构，并且两条长边较接近，所以将实际平面映射域设定为矩形。 

(c)此时矩形映射域即为旋转单叶双曲面单胞结构在s-t平面中的实际映射域，满足 

$\left\{\begin{array}{c}s=s^{\&prime;}\\ t=t^{\&prime;}\end{array}\right.,0\&le;s^{\&prime;},t^{\&prime;}\&le;1.---\left(30\right)$

(d)对应旋转单叶双曲面单胞结构中的槽孔，在s-t平面的矩形映射域中建立采用三次样条函数拟合控制顶点的方式建立其平面孔周曲线的参数方程： 

$\left\{\begin{array}{c}s=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{N}_i\left(u\right)\&CenterDot;s_i\\ t=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{N}_i\left(u\right)\&CenterDot;t_i\end{array}\right.,0\&le;u\&le;1---\left(31\right)$

其中，N_i(u)为第i个控制顶点对应的三次样条函数的基函数，(s_i，t_i)为第i个控制顶点的坐标。这里，共采用12个控制点，其在s-t平面上中的坐标分别为：(0.1130，0.75)，(0.1830，0.6667)，(0.1430，0.5833)，(0.1730，0.5)，(0.1730，0.4)，(0.1630，0.3)，(0.1130，0.2)，(0.0630，0.3)，(0.0530，0.4)，(0.0530，0.5)，(0.0830，0.5833)，(0.0430，0.6667)。 

(e)利用有限元分析软件ANSYS，建立带孔实际映射域的几何模型，并根据实 际精度需要设定单元大小，在带有孔洞的实际矩形映射域内划分自由网格，确定网格拓扑关系与节点坐标。 

(f)根据实际矩形映射域与薄壁旋转单叶双曲面单胞结构一一对应的映射关系(29)，将实际平面映射域中的节点映射到空间坐标中，并按照实际平面映射域内相应的网格拓扑关系，采用壳单元建立空间曲面结构的自由网格。再根据整体结构的循环对称性，阵列单胞网格，生成整体结构的有限元网格。 

实施例6：双二次Bezier曲面片上的孔洞形状优化设计。 

薄壁双二次Bezier曲面片上有1个孔洞，其基本参数如表5所示。 

表5 

(a)建立双二次Bezier曲面片结构的参数化方程： 

$\left\{\begin{array}{c}x=\left[\begin{array}{ccc}{B}_{\mathrm{0,2}}\left(s^{\&prime;}\right)& B_{\mathrm{1,2}}\left(s^{\&prime;}\right)& B_{\mathrm{2,2}}\left(s^{\&prime;}\right)\end{array}\right]B_x{\left[\begin{array}{ccc}{B}_{\mathrm{0,2}}\left(t^{\&prime;}\right)& B_{\mathrm{1,2}}\left(t^{\&prime;}\right)& B_{\mathrm{2,2}}\left(t^{\&prime;}\right)\end{array}\right]}^T\\ y=\left[\begin{array}{ccc}{B}_{\mathrm{0,2}}\left(s^{\&prime;}\right)& B_{\mathrm{1,2}}\left(s^{\&prime;}\right)& B_{\mathrm{2,2}}\left(s^{\&prime;}\right)\end{array}\right]B_y{\left[\begin{array}{ccc}{B}_{\mathrm{0,2}}\left(t^{\&prime;}\right)& B_{\mathrm{1,2}}\left(t^{\&prime;}\right)& B_{\mathrm{2,2}}\left(t^{\&prime;}\right)\end{array}\right]}^T\\ z=\left[\begin{array}{ccc}{B}_{\mathrm{0,2}}\left(s^{\&prime;}\right)& B_{\mathrm{1,2}}\left(s^{\&prime;}\right)& B_{\mathrm{2,2}}\left(s^{\&prime;}\right)\end{array}\right]B_z{\left[\begin{array}{ccc}{B}_{\mathrm{0,2}}\left(t^{\&prime;}\right)& B_{\mathrm{1,2}}\left(t^{\&prime;}\right)& B_{\mathrm{2,2}}\left(t^{\&prime;}\right)\end{array}\right]}^T\end{array}\right.,0\&le;s^{\&prime;},t^{\&prime;}\&le;1---\left(32\right)$

其中， 

$B_x=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 20& 20& 20\\ 40& 40& 40\end{array}\right],$ $B_y=\left[\begin{array}{ccc}20& 40& 10\\ 30& 50& 40\\ 20& 40& 10\end{array}\right],$ $B_z=\left[\begin{array}{ccc}0& 30& 50\\ 0& 30& 50\\ 0& 30& 50\end{array}\right]$

从而建立了s-t参数平面，与s-t平面上的宽为1，长为1的矩形映射域。 

(b)该双二次Bezier曲面片结构为四角大小较为接近直角的四边曲面结构，所以这里将其实际平面映射域选用矩形。 

(c)此时矩形映射域即为圆柱曲面片结构在s-t平面中的实际映射域，满足 

$\left\{\begin{array}{c}s=s^{\&prime;}\\ t=t^{\&prime;}\end{array}\right.,0\&le;s^{\&prime;},t^{\&prime;}\&le;1.---\left(33\right)$

(d)对应双二次Bezier曲面片结构中的槽孔，在s-t平面的矩形映射域中建立采用三次样条函数拟合控制顶点的方式建立平面孔周曲线的参数方程： 

$\left\{\begin{array}{c}s=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{N}_i\left(u\right)\&CenterDot;s_i\\ t=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{N}_i\left(u\right)\&CenterDot;t_i\end{array}\right.,0\&le;u\&le;1---\left(34\right)$

其中，N_i(u)为第i个控制顶点对应的三次样条函数的基函数，(s_i，t_i)为第i个控制顶点的坐标。这里，共采用8个控制点，其在s-t平面上以(0.5，0.5)为原点的局部极坐标系中的坐标分别为：(0.25，π/2)，(0.25，π/4)，(0.25，2π)，(0.25，7π/4)，(0.25，3π/2)，(0.25，5π/4)，(0.25，π)，(0.25，3π/4)。 

(e)利用有限元分析软件ANSYS，建立带孔实际映射域的几何模型，并根据实际精度需要设定单元大小，在带有孔洞的实际矩形映射域内划分自由网格，确定网格拓扑关系与节点坐标。 

(f)根据实际矩形映射域与薄壁双二次Bezier曲面片结构一一对应的映射关系(32)，将实际平面映射域中的节点映射到空间坐标中，并按照实际平面映射域内相应的网格拓扑关系，采用壳单元建立空间曲面结构的自由网格。 

实施例7：带孔薄壁椭球曲面结构。 

薄壁椭球曲面结构上有8个循环对称的孔洞，其基本参数如表6所示。 

表6 

(a)考虑到该空间薄壁椭球曲面结构的循环对称性，建立其八分之一单胞结构的参数方程： 

$\left\{\begin{array}{c}x=a\cos 0.5\mathrm{\&pi;}({2t}^{\&prime;}-1)\cos 3.0000s^{\&prime;}\\ y=b\cos 0.5\mathrm{\&pi;}({2t}^{\&prime;}-1)\sin 3.0000s^{\&prime;}\\ z=c\sin 0.5\mathrm{\&pi;}({2t}^{\&prime;}-1)\end{array}\right.,0\&le;s^{\&prime;}\&le;\mathrm{0.2618,0}\&le;t^{\&prime;}\&le;1.---\left(35\right)$

从而建立了s-t参数平面，与s-t平面上的宽为0.2618，长为1的矩形映射域。 

(b)带有一个孔洞的薄壁半球曲面单胞结构为二边曲面结构，所以将其实际平面映射域选用四边形。 

(c)假设(s’，t’)为矩形映射域内任一点，(s，t)为实际四边形映射域内任一点，则矩形映射域与实际映射域之间的映射关系为 

$\left\{\begin{array}{c}s=0.1309+\frac{(s^{\&prime;}-0.1309)(t^{\&prime;}-t_{\mathrm{peak}})}{0.5-t_{\mathrm{peak}}}\\ t=t^{\&prime;}\end{array}\right.,0\&le;s^{\&prime;}\&le;\mathrm{0.2618,0}\&le;t^{\&prime;}\&le;1.---\left(36\right)$

其中 

$\left\{\begin{array}{ccc}{t}_{\mathrm{peak}}=0,& \mathrm{if}& t^{\&prime;}<0.5;\\ t_{\mathrm{peak}}=1,& \mathrm{else}.& \end{array}\right.$

则该薄壁半球曲面单胞结构与s-t平面上的实际四边形映射域Ω之间一一对应的映射关系为： 

$\left\{\begin{array}{c}x=a\cos 0.5\mathrm{\&pi;}(2t-1)\cos (0.3927+3(s-0.1309)(0.5-t_{\mathrm{peak}})/(t-t_{\mathrm{peak}}))\\ y=b\cos 0.5\mathrm{\&pi;}(2t-1)\sin (0.3927+3(s-0.1309)(0.5-t_{\mathrm{peak}})/(t-t_{\mathrm{peak}}))\\ z=c\sin 0.5\mathrm{\&pi;}(2t-1)\end{array}\right.,(s,t)\&Element;\mathrm{\&Omega;}.---\left(37\right)$

其中 

$\left\{\begin{array}{ccc}{t}_{\mathrm{peak}}=0,& \mathrm{if}& t<0.5;\\ t_{\mathrm{peak}}=1,& \mathrm{else}.& \end{array}\right.$

且当t＝0时，令(x，y，z)＝(0，0，-300)；当t＝1时，令(x，y，z)＝(0，0，300)。 

(d)对应椭球曲面单胞结构中的槽孔，在s-t平面的矩形映射域中建立采用三次B样条函数拟合控制顶点的方式建立平面孔周曲线的参数方程： 

$\left\{\begin{array}{c}{s}^{\&prime;}=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{N}_{3,i}\left(u\right)\&CenterDot;{s_i}^{\&prime;}\\ t^{\&prime;}=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{N}_{3,i}\left(u\right)\&CenterDot;{t_i}^{\&prime;}\end{array}\right.,0\&le;u\&le;1---\left(38\right)$

其中，N_3，i(u)为第i个控制顶点对应的三次B样条函数的基函数，(s_i’，t_i’)为第i个控制顶点的坐标。这里，共采用8个控制点，其在s-t平面上的坐标分别为：(0.1314，0.85)，(0.1814，0.675)，(0.2114，0.5)，(0.1814，0.375)，(0.1314，0.25)，(0.0814，0.375)，(0.0514，0.5)，(0.0814，0.675)。 

根据矩形映射域与实际映射域之间的映射关系(38)，在实际映射域中建立平面孔周曲线的参数方程： 

$\left\{\begin{array}{c}s=0.1309+\frac{(\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{N}_{3,i}\left(u\right)\&CenterDot;{s_i}^{\&prime;}-0.1309)(\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{N}_{3,i}\left(u\right)\&CenterDot;{t_i}^{\&prime;}-t_{\mathrm{peak}})}{0.5-t_{\mathrm{peak}}}\\ t=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{N}_{3,i}\left(u\right)\&CenterDot;{t_i}^{\&prime;}\end{array}\right.,0\&le;u\&le;1.---\left(39\right)$

(e)利用有限元分析软件ANSYS，建立带孔实际映射域的几何模型，并根据实际精度需要设定单元大小，在带有孔洞的实际矩形映射域内划分自由网格，确定网格拓扑关系与节点坐标。 

(f)根据实际矩形映射域与薄壁旋转单叶双曲面单胞结构一一对应的映射关系(37)，将实际平面映射域中的节点映射到空间坐标中，并按照实际平面映射域内网格的拓扑关系，采用壳单元建立空间曲面结构的自由网格。再根据整体结构的循环对称性，阵列单胞网格，生成整体结构的有限元网格。 

实施例8：带孔薄壁椭球曲面结构(直接在实际四边形映射域中定义孔周曲线)。 

结构形式及尺寸同实施例7中的带孔薄壁椭球曲面结构，实际矩形映射域内有限元网格分布参照图10(a)，整体结构的有限元网格分布参照图10(b)。具体操作中仅第四步不同，本实施例的第四步的具体操作如下： 

(d)对应椭球曲面单胞结构中的槽孔，直接在s-t平面的实际四边形映射域中建立采用三次B样条函数拟合控制顶点的方式建立平面孔周曲线的参数方程： 

$\left\{\begin{array}{c}s=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{N}_{3,i}\left(u\right)\&CenterDot;s_i\\ t=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{N}_{3,i}\left(u\right)\&CenterDot;t_i\end{array}\right.,0\&le;u\&le;1---\left(40\right)$

其中，N_3，i(u)为第i个控制顶点对应的三次B样条函数的基函数，(s_i，t_i)为第i个控制顶点的坐标。这里采用的8个控制点坐标与实施例7中的控制点坐标完全相同。 

实施例9：带孔薄壁椭球曲面结构的孔形优化设计 

在实施例7所示的结构形式与尺寸下，进行带孔薄壁椭球曲面结构的孔形优化设计。材料的样式模量设定为210GPa，泊松比设定为0.3。 

首先按照本发明步骤根据精度要求，建立孔周曲线的参数方程并按照实体建模法生成有限元网格，具体操作步骤与实施例7相同。完全固定带孔椭球曲面结构轴向坐标最小的一端，并在轴向坐标最大的一端施加10kN轴向拉力。采用四分之一孔形设定设计变量，将矩形映射域内孔周曲线控制点与参考点之间的距离设置为设计变量，共设置3个设计变量。选取孔周最大等效应力最小为优化目标，曲面面积作为约束函数，约束上限为初始曲面面积0.39118m²，建立带孔薄壁曲面结构孔洞优化设计问题的优化模型。在通用优化设计平台Boss-Quattro中，选取GCMMA优化算法进行优化设计。 

优化前，整体结构的有限元网格分布参照图11(a)；优化后，整体结构的有限元网格分布参照图11(b)。优化前后该结构有限元模型的最大等效应力与曲面片面积如表7所示。 

表7 

Claims (1)

1.一种薄壁曲面结构的有限元网格生成方法，其特征在于包括下述步骤：

(a)根据空间薄壁曲面结构的几何特征，建立其参数方程：

$\left\{\begin{array}{c}x=x(s^{\&prime;},t^{\&prime;})\\ y=y(s^{\&prime;},t^{\&prime;})\\ z=z(s^{\&prime;},t^{\&prime;})\end{array}\right.,0{\&le;s}^{\&prime;}\&le;s_0,0\&le;t^{\&prime;}\&le;t_0;---\left(1\right)$

式中，(x，y，z)为空间薄壁曲面结构上一点，(s’，t’)为其参数平面上对应一点；从而在s-t平面上建立了宽为s₀，长为t₀的矩形映射域；

母线在y-z平面上的旋转曲面的参数化方程可通过式(2)建立：

$\left\{\begin{array}{c}x=R\left(z\left(t\right)\right)\cos [{\mathrm{\&theta;}}_0+({\mathrm{\&theta;}}_1-{\mathrm{\&theta;}}_0)s/s_0]\\ y=R\left(z\left(t\right)\right)\sin [{\mathrm{\&theta;}}_0+({\mathrm{\&theta;}}_1-{\mathrm{\&theta;}}_0)s/s_0]\\ z=H_0+(H_1-H_0)t/t_0\end{array}\right.(0\&le;s\&le;s_0,0\&le;t\&le;t_0)---\left(2\right)$

式中，θ₀为旋转面片的起始角度，θ₁为旋转面片的终止角度；H₀为旋转面的最小轴向坐标，H₁为旋转面的最大轴向坐标；R为旋转面上任一点的径向坐标；

采用控制点坐标拟合生成的曲面结构的参数化方程为：

$\left\{\begin{array}{c}x=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{B}_i(s,t)\&CenterDot;x_i\\ y=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{B}_i(s,t)\&CenterDot;y_i\\ z=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{B}_i(s,t)\&CenterDot;z_i\end{array}\right.0\&le;s\&le;s_0,0\&le;t\&le;t_0---\left(3\right)$

式中，B_i(s，t)为第i个控制顶点处的拟合函数，满足

$\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{B}_i(s,t)=1---\left(4\right)$

(b)根据空间曲面结构的形状特点确定实际平面映射域的形状；二边曲面结构对应的实际平面映射域选用一般四边形，三边曲面结构对应的实际平面映射域选用三角形，四边曲面结构对应的实际平面映射域选用矩形或一般四边形，多于四边的曲面结构分解为二边曲面结构、三边曲面结构或四边曲面结构，再分别进行映射；

(c)实际平面映射域不是矩形时，建立矩形映射域与实际映射域之间的映射关系，并保证空间曲面结构与s-t平面上的实际映射域Ω之间具有一一对应的映射关系；

假设(s’，t’)为矩形映射域内任一点，(s，t)为实际映射域内任一点，则矩形映射域与实际映射域之间的映射关系为

$\left\{\begin{array}{c}s=s(s^{\&prime;},t^{\&prime;})\\ t=t(s^{\&prime;},t^{\&prime;})\end{array}\right.,0{\&le;s}^{\&prime;}{\&le;s}_0,0\&le;t^{\&prime;}\&le;t_0;---\left(5\right)$

于是空间曲面结构与s-t平面上的实际映射域Ω之间一一对应的映射关系为

$\left\{\begin{array}{c}x=x(s^{\&prime;}(s,t),t^{\&prime;}(s,t))\\ y=y(s^{\&prime;}(s,t),t^{\&prime;}(s,t))\\ z=z(s^{\&prime;}(s,t),t^{\&prime;}(s,t))\end{array}\right.,(s,t)\&Element;\mathrm{\&Omega;};---\left(6\right)$

四边形映射域的四个顶点的坐标分别为(s₂，0)、(0，t₁)、(s₁，t₀)和(s₀，t₁)；常数t₁满足0＜t₁＜t₀；则矩形映射域与一般四边形映射域之间的映射关系为：

$\left\{\begin{array}{c}s=s_{\mathrm{mid}}+\frac{(s^{\&prime;}-s_{\mathrm{mid}})(t^{\&prime;}-t_{\mathrm{peak}})}{t_1-t_{\mathrm{peak}}}\\ t=t^{\&prime;}\end{array}\right.,0\&le;s^{\&prime;}\&le;s_0,0\&le;t^{\&prime;}\&le;t_0;---\left(7\right)$

其中

$\left\{\begin{array}{cc}{s}_{\mathrm{mid}}=s_2,t_{\mathrm{peak}}=0,& \mathrm{if\; t}{<t}_1;\\ s_{\mathrm{mid}}=s_1,t_{\mathrm{peak}}=t_0,& \mathrm{else};\end{array}\right.$

当t₁＝0时，(7)式可简化为(8)式，

$\left\{\begin{array}{c}s=\frac{1}{t_0}(s_1{t}^{\&prime;}+s^{\&prime;}(t_0-t^{\&prime;}))\\ t=t^{\&prime;}\end{array}\right.,0\&le;s^{\&prime;}{\&le;s}_0,0\&le;t^{\&prime;}\&le;t_0;---\left(8\right)$

即式(8)为矩形映射域内任一点(s’，t’)与三角形映射域内任一点(s，t)之间的映射关系；

三角形映射域的三个顶点坐标分别为(0，0)、(s₀，0)和(s₁，t₀)；则空间曲面结构与s-t平面上的实际一般四边形映射域Ω之间一一对应的映射关系为：

$\left\{\begin{array}{c}x=x(s^{\&prime;}(s,t),t^{\&prime;}(s,t))=x(s_{\mathrm{mid}}+\frac{(s-s_{\mathrm{mid}})(t_1-t_{\mathrm{peak}})}{t-t_{\mathrm{peak}}},t)\\ y=y(s^{\&prime;}(s,t),t^{\&prime;}(s,t))=y(s_{\mathrm{mid}}+\frac{(s-s_{\mathrm{mid}})(t_1-t_{\mathrm{peak}})}{t-t_{\mathrm{peak}}},t)\\ z=z(s^{\&prime;}(s,t),t^{\&prime;}(s,t))=z(s_{\mathrm{mid}}+\frac{(s-s_{\mathrm{mid}})(t_1-t_{\mathrm{peak}})}{t-t_{\mathrm{peak}}},t)\end{array}\right.,(s,t)\&Element;\mathrm{\&Omega;};---\left(9\right)$

其中， $\left\{\begin{array}{cc}{s}_{\mathrm{mid}}=s_2,t_{\mathrm{peak}}=0,& \mathrm{if\; t}{<t}_1;\\ s_{\mathrm{mid}}=s_1,t_{\mathrm{peak}}=t_0,& \mathrm{else};\end{array}\right.$

且当t＝0时，令 $\left\{\begin{array}{c}x=x(s^{\&prime;},t^{\&prime;})=x(s_2,0)\\ y=y(s^{\&prime;},t^{\&prime;})=y(s_2,0)\\ z=z(s^{\&prime;},t^{\&prime;})=z(s_2,0)\end{array}\right.;$ 当t＝t₀时，令 $\left\{\begin{array}{c}x=x(s^{\&prime;},t^{\&prime;})=x(s_1,t_0)\\ y=y(s^{\&prime;},t^{\&prime;})=y(s_1,t_0)\\ z=z(s^{\&prime;},t^{\&prime;})=z(s_1,t_0)\end{array}\right.;$ 空间曲面结构与s-t平面上的实际三角形映射域Ω之间一一对应的映射关系为：

$\left\{\begin{array}{c}x=x(s^{\&prime;}(s,t),t^{\&prime;}(s,t))=x(\frac{s_{1}t-s{t}_0}{t-t_0},t)\\ y=y(s^{\&prime;}(s,t),t^{\&prime;}(s,t))=y(\frac{s_{1}t-s{t}_0}{t-t_0},t)\\ z=z(s^{\&prime;}(s,t),t^{\&prime;}(s,t))=z(\frac{s_{1}t-{\mathrm{st}}_0}{t-t_0},t)\end{array}\right.,\frac{s_{1}t}{t_0}\&le;s\&le;\frac{1}{t_0}(s_{1}t+s_0(t_0-t)),0\&le;t{\&le;t}_0;---\left(10\right)$

当t＝t₀时，令 $\left\{\begin{array}{c}x=x(s^{\&prime;},t^{\&prime;})=x(s_1,t)\\ y=y(s^{\&prime;},t^{\&prime;})=y(s_1,t)\\ z=z(s^{\&prime;},t^{\&prime;})=z(s_1,t)\end{array}\right.;$

(d)如果空间曲面结构上存在孔、槽局部几何特征，在s-t平面中建立平面孔周曲线的参数方程：

$\left\{\begin{array}{c}{s}^{\&prime;}=s^{\&prime;}\left(u\right)\\ t^{\&prime;}=t^{\&prime;}\left(u\right)\end{array}\right.,0\&le;u\&le;1---\left(11\right)$

再根据式(5)在实际映射域中建立平面孔周曲线的参数方程：

$\left\{\begin{array}{c}s=s(s^{\&prime;}\left(u\right),t^{\&prime;}\left(u\right))\\ t=t(s^{\&prime;}\left(u\right),t^{\&prime;}\left(u\right))\end{array}\right.0\&le;u\&le;1---\left(12\right)$

或直接在实际映射域中建立平面孔周曲线的参数方程：

$\left\{\begin{array}{c}s=s\left(u\right)\\ t=t\left(u\right)\end{array}\right.0\&le;u\&le;1---\left(13\right)$

(e)利用有限元分析软件，建立带有局部几何特征的实际映射域的几何模型，并根据实际精度需要设定单元大小与单元划分方式，在带有局部几何特征的实际平面映射域内划分网格，确定网格拓扑关系与节点坐标；

(f)根据式(6)将实际平面映射域中的节点映射到空间坐标中，并按照实际平面映射域内相应的网格拓扑关系，建立空间曲面结构的有限元网格；如果整体有限元网格具有循环对称性，则先生成单胞结构的有限元网格，再通过单胞网格的阵列操作，生成整体结构的有限元网格。

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