CN106294945B - 一种无参数估计的薄壁结构等几何多片拼接方法 - Google Patents
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Abstract
本发明公开了一种无参数估计的薄壁结构等几何多片拼接方法，该方法基于新型的等几何描述，直接对薄壁结构的模型进行有限元分析，提出薄壁结构多片拼接的无参数估计的Nitsche方法，通过改变Nitsche方法中的一致项的对称性，免去稳定项，从而无需求解局部的特征值问题，提高了计算效率和计算精度。本发明所提出的方法具有简单、高效且精度高的特点，因而较易在工程结构分析中推广使用。
Description
技术领域
本发明属于计算结构力学领域，涉及一种基于等几何方法的无参数估计的薄壁结构多片拼接方法。
背景技术
等几何方法(Isogeometric Analysis)将计算机辅助几何设计(CAGD)中描述几何形状的非均匀有理B样条(NURBS)引入到等参有限元中，消除了产品设计过程中计算机辅助几何设计(CAD)与计算机辅助分析(CAE)之间反复的数据转换过程，节省了大量的前处理时间，其具有几何精确、高阶连续等特性，因此特别适合于薄壁壳体这一类具有曲面特性的结构分析。单片NURBS只能描述相对简单的几何形状，如具有四边形特征的形状等，对于较为复杂的几何形状，往往需要进行多片拼接。
较为常用的等几何多片拼接方法有罚函数法、拉格朗日乘子法以及Nitsche法。罚函数法往往会造成结构刚度矩阵的病态，拉格朗日乘子法增加了结构的自由度数，而Nitsche多片耦合拼接方法不增加结构的自由度数且具有变分一致的优点(Y.Guo,M.Ruess,Nitsche’s Method for a Coupling of Isogeometric Thin Shells andBlended Shell Structures,Computer Methods in Applied Mechanics andEngineering,2015,284:881-905)，其通过在结构控制方程中引入一致项与稳定项以达到施加多片耦合约束的目的。此外，通过选择合适的稳定项系数可以达到最优的收敛速度，但合适的稳定项系数较难获得，往往需要经过多次循环迭代才能得到，较为耗时。因此，人们常常使用估算的方法以获得稳定项系数，常用的估算方法为求解局部特征值问题，但该方法效率低且难以获得最优解，限制了其在等几何多片耦合拼接中的应用。
发明内容
本发明旨在克服现有技术的不足，提供一种新型的基于等几何方法的多片薄壁结构耦合拼接的方法，该方法无需耗时的稳定项系数的估计，且具有变分一致的优点，以及数值稳定性。
本发明提供的一种无参数估计的薄壁结构等几何多片拼接方法，该方法基于新型的等几何描述，直接对薄壁结构的模型进行有限元分析，提出薄壁结构多片拼接的无参数估计的Nitsche方法，通过改变Nitsche方法中的一致项的对称性，免去稳定项，从而无需求解局部的特征值问题，提高了计算效率和计算精度。
具体的，该方法包括以下步骤：
(1)对待分析的薄壁结构进行曲面造型，并根据薄壁结构的几何特点进行分片划分，建立每片子结构的几何模型并提取其NURBS基函数；
(2)确定所述薄壁结构的位移、载荷边界条件，以及其材料属性；
(3)利用虚功原理，对每片子结构写出各自的控制方程的弱形式；
(4)采用具有变分一致特性的非对称Nitsche方法，建立多片子结构之间的耦合约束弱形式并引入到所述步骤(3)所建立的各面片的控制方程弱形式中，建立完整的多片子结构分析的控制方程；
(5)用所述步骤(1)所得到的薄壁结构的几何模型的NURBS基函数，对步骤(4)所得到的完整的多片子结构的控制方程弱形式进行插值离散，得到所述薄壁结构的刚度矩阵、耦合约束矩阵以及外载荷向量；
(6)对所述步骤(5)所建立的线性方程组施加位移边界条件，得到受约束的薄壁结构的离散线性方程组；
(7)对所述步骤(6)所得到的线性方程组进行求解，得到在给定外载荷下薄壁结构的位移响应；
(8)根据所述步骤(7)所得到的位移解，利用NURBS函数进行插值，得到整个薄壁结构的位移场描述；并利用薄壁壳体结构的本构关系可以得到薄壁结构的内力及弯矩分布场。
在所述步骤(5)中，所述薄壁结构的刚度矩阵的大小为Ndof×Ndof，其中Ndof为薄壁结构的自由度数，耦合约束矩阵的大小为Ncoup×Ncoup，其中Ncoup为面片之间耦合界面上的自由度数，外载荷向量的大小为Ndof×1。
在所述步骤(4)中，非对称Nitsche方法使用了非对称的一致项且舍去了稳定项。
本发明采用以上技术方案与现有技术相比，具有以下技术效果：
本发明提出的非对称的Nitsche多片耦合方法通过改变一致项的对称性从而无需添加额外的稳定项，因而不需要进行局部的特征值分析。该非对称的Nitsche方法保持了对称Nitsche耦合方法的变分一致特性，能够获得多片之间位移及其应力应变的连续，因而非常适合板壳这类需要高阶连续的基函数的结构。本发明所提出的方法具有简单、高效且精度高的特点，因而较易在工程结构分析中推广使用。
附图说明
以下将结合附图对本发明作进一步说明：
图1为Scordelis-Lo薄壁壳体实例示意图；
图2为Scordelis-Lo壳体结构的面片划分、控制点、位移和载荷边界条件示意图；
图3为多片耦合约束示意图；
图4为多片耦合结构的z向位移云图；
图5为多片耦合结构的弯矩m11云图；
图6为多片耦合结构的扭矩m12云图；
图7为多片耦合结构的薄膜内力n11云图；
图8为多片耦合结构的薄膜剪切内力n12云图。
具体实施方式
本发明实施例提供一种无参数估计的薄壁结构等几何多片拼接方法，为使本领域技术人员更好地理解本发明的技术方案，下面结合附图和具体实施方式对本发明作进一步详细描述。通过参考附图描述的实施方式是示例性的，仅用于解释本发明，而不能解释为对本发明的限制。
以下结合附图详细叙述本发明的具体实施方式。本发明提供的一种无参数估计的薄壁结构等几何多片拼接方法，其特征在于，首先该方法是基于新型的等几何描述，即可直接对几何造型软件中的模型进行有限元分析，无需再进行网格划分等前处理操作。其次，由于单片NURBS曲面具有张量积的特点，因此对于复杂几何外形结构往往需要多片进行拼接，本发明针对此，提出了一种薄壁结构多片拼接的无参数估计的Nitsche方法，通过改变Nitsche方法中的一致项的对称性，可以免去额外的稳定项，从而无需求解局部的特征值问题，提高了计算效率和计算精度。
具体的，该方法包括以下步骤：
(1)对待分析的薄壁结构进行曲面造型，并根据薄壁结构的几何特点进行分片划分，建立每片子结构的几何模型并提取其NURBS基函数；
(2)确定所述薄壁结构的位移、载荷边界条件，以及其材料属性；
(3)利用虚功原理，对每片子结构写出各自的控制方程的弱形式；
(4)采用具有变分一致特性的非对称Nitsche方法，建立多片子结构之间的耦合约束弱形式并引入到所述步骤(3)所建立的各面片的控制方程弱形式中，建立完整的多片子结构分析的控制方程；
(5)用所述步骤(1)所得到的薄壁结构的几何模型的NURBS基函数，对步骤(4)所得到的完整的多片子结构的控制方程弱形式进行插值离散，得到所述薄壁结构的刚度矩阵、耦合约束矩阵以及外载荷向量；
(6)对所述步骤(5)所建立的线性方程组施加位移边界条件，得到受约束的薄壁结构的离散线性方程组；
(7)对所述步骤(6)所得到的线性方程组进行求解，得到在给定外载荷下薄壁结构的位移响应；
(8)根据所述步骤(7)所得到的位移解，利用NURBS函数进行插值，得到整个薄壁结构的位移场描述；并利用薄壁壳体结构的本构关系可以得到薄壁结构的内力及弯矩分布场。
在所述步骤(5)中，所述薄壁结构的刚度矩阵的大小为Ndof×Ndof，其中Ndof为薄壁结构的自由度数，耦合约束矩阵的大小为Ncoup×Ncoup，其中Ncoup为面片之间耦合界面上的自由度数，外载荷向量的大小为Ndof×1。
在所述步骤(4)中，非对称Nitsche方法使用了非对称的一致项且舍去了稳定项。
实施例1
步骤(1)本发明所示实例为Scordelis-Lo薄壁结构(如图1所示)，在CAD软件Rhino中，对需要进行分析的结构进行曲面造型，其结构的尺寸及材料参数如表1所示。
表1：Scordelis-Lo薄壁结构的尺寸及材料参数
根据薄壁结构的几何特点进行合理的分片划分，建立每片子结构的几何模型，并提取每片子结构的几何模型信息，如控制点坐标Ci(如图2所示)，基函数的阶数及基函数的节点向量，本实例中，Scordelis-Lo薄壁结构被划分为两个子面片，子面片两个方向的基函数的阶数取p1 (1)＝p2 (1)＝p1 (2)＝p2 (2)＝4阶，子面片1的两个方向上的节点向量分别为：
子面片2两个方向上的节点向量分别为：
根据本实例的基函数的阶数p及节点向量Ξ，参照NURBS函数公式可以构造出两个子
面片的基函数Ri (j)。
步骤(2)根据该Scordelis-Lo薄壁结构实例的具体情况，确定薄壁结构的位移及载荷边界条件，其首末两端的y向位移uy及z向位移uz被固定，且结构受自重g的作用，如图2所示。
步骤(3)利用虚功原理，对每一单独的子结构写出各自的控制方程的弱形式。
WI＝WE (3)
即
公式(4)中，n和m代表壳体中面的内力及弯矩，ε及κ分别表示中面的薄膜应变及弯曲应变，δ表示变量的变分，u表示壳体中面的位移，p表示壳体中面的均布压力，t0表示壳体边界所受的边界力，Ωi表示壳体子面片i的中面域，Γti表示壳体子面片i的边界力施加区域，dAi及dSi则分别表示对应的微元。公式(4)等号左边为壳体的内力所做的虚功，等号右边为外力所做的虚功，在壳体达到平衡的条件下，两者应该相等。
步骤(4)根据片与片之间相互耦合的位移及内力连续条件，如图3所示，
u(1)-u(2)＝0 在Γc上 (5)
σ(1)n(1)+σ(2)n(2)＝0 在Γc上 (6)
公式(5)与(6)中的上标(·)(i)表示施加耦合约束的两个面片，(σn)表示面片的边界力，对于壳体的边界力及位移的具体表达形式见下述，Γc是耦合边界。
对于多片壳体的耦合，采用具有变分一致特性的非对称Nitsche方法，建立多片之间的耦合约束弱形式，其具体形式为：
其中
{u(α)}＝(u(α))(1)-(u(α))(2) (11)
{Φ(n)}＝(Φ(n))(1)-(Φ(n))(2) (12)
公式(8)及公式(9)表示相互耦合的两面片的薄膜内力及法向剪切力的合力的平均，公式(10)表示沿耦合边界法向的弯矩的平均，此外，公式(11)及公式(12)表示相互耦合的面片之间的位移及沿耦合边界法向的转动的差值。
非对称Nitsche方法区别于一般的对称Nitsche方法的地方在于非对称Nitsche方法使用了非对称的一致项且舍去了稳定项。从公式(7)中可以看到
为
的转置，通过改变公式(13)和公式(14)之间的“+”号为“—”号，则改变了该附加耦合项的对称性，同理对于公式(7)中其余的项也采用了该方法。通过该方法引入的附加耦合项具有非对称特性，因此称为非对称的Nitsche方法。
将面片之间耦合约束弱形式引入上述步骤(3)所建立的各面片的控制方程弱形式中，建立完整的多片结构分析的控制方程：
WI+Wnit＝WE (15)
步骤(5)利用步骤(1)所得到的薄壁结构的几何模型的NURBS基函数，对步骤(3)所得到的多片结构的控制方程弱形式及步骤(4)所得到的多片耦合控制方程进行插值离散，分别得到各子面片结构的刚度矩阵K(i)，面片之间的耦合约束矩阵Knit以及外载荷向量f。刚度矩阵的大小为Ndof×Ndof，其中Ndof为薄壁多片结构的总的自由度数，耦合约束矩阵的大小为Ncoup×Ncoup，其中Ncoup为面片之间耦合界面上的自由度数，外载荷向量的大小为Ndof×1。最后得到公式(15)对应的矩阵方程：
其中np为薄壁结构所包含的子面片的个数，向量u表示结构的位移。
步骤(6)对步骤(5)所建立的线性方程组施加步骤(2)所确定的位移边界条件，得到受约束的薄壁结构的离散线性方程组。
步骤(7)对上述步骤(6)所得到的线性方程组进行求解，由于所得到的刚度矩阵为非对称的，故可以采用MATLAB等数学软件进行求解，得到在给定外载荷下薄壁结构的位移响应u。
步骤(8)根据上述步骤(7)所得到的位移解进行后处理，利用NURBS函数对求得的控制点的位移值u进行插值，得到整个薄壁结构的位移场描述，如图4所示，可以看到多片薄壁结构的位移场在耦合边界处是光滑连续的。利用薄壁壳体结构的本构关系可以得到薄壁结构的内力n及弯矩m分布场，如图5、图6所示为弯矩m11及扭转力矩m12的分布云图。图7、图8所示为薄膜内力n11及薄膜剪切内力n12的分布云图，从图中可以看出，多片耦合的薄壁壳体模型的弯矩及内力分布在模型的耦合边界处是连续的。综上所述，本发明所提出的无参数估计的等几何多片拼接方法效果良好，能够获得连续的位移及内力和弯矩，且无需额外的稳定项。
传统的多片耦合约束施加方法都有其各自的缺点，比如罚函数法容易造成结构刚度矩阵的病态；拉格朗日乘子法需要增加额外的自由度；对称的Nitsche耦合方法需要增加稳定项且稳定项的系数需要进行局部单元的特征值分析，当需要耦合的单元较多时往往比较耗时。本发明提出的非对称的Nitsche多片耦合方法通过改变一致项的对称性从而无需添加额外的稳定项，因而不需要进行局部的特征值分析。该非对称的Nitsche方法保持了对称Nitsche耦合方法的变分一致特性，能够获得多片之间位移及其应力应变的连续，因而非常适合板壳这类需要高阶连续的基函数的结构。本发明所提出的的方法具有简单、高效且精度高的特点，因而较易在工程结构分析中推广使用。
Claims (3)
1.一种无参数估计的薄壁结构等几何多片拼接方法，其特征在于，该方法基于等几何描述，对薄壁结构的模型进行有限元分析，提出薄壁结构多片拼接的无参数估计的Nitsche方法，通过改变Nitsche方法中的一致项的对称性，免去稳定项；该方法包括以下步骤：
（1）对待分析的薄壁结构进行曲面造型，并根据薄壁结构的几何特点进行分片划分，建立每片子结构的几何模型并提取其NURBS基函数；
（2）确定所述薄壁结构的位移、载荷边界条件，以及其材料属性；
（3）利用虚功原理，对每片子结构写出各自的控制方程的弱形式；
（4）采用具有变分一致特性的非对称Nitsche方法，建立多片子结构之间的耦合约束弱形式并引入到所述步骤（3）所建立的各面片的控制方程弱形式中，建立完整的多片子结构分析的控制方程；
（5）用所述步骤（1）所得到的薄壁结构的几何模型的NURBS基函数，对步骤（4）所得到的完整的多片子结构的控制方程弱形式进行插值离散，得到所述薄壁结构的刚度矩阵、耦合约束矩阵以及外载荷向量；
（6）对所述步骤（5）所建立的线性方程组施加位移边界条件，得到受约束的薄壁结构的离散线性方程组；
（7）对所述步骤（6）所得到的线性方程组进行求解，得到在给定外载荷下薄壁结构的位移响应；
（8）根据所述步骤（7）所得到的位移解，利用NURBS函数进行插值，得到整个薄壁结构的位移场描述；并利用薄壁壳体结构的本构关系可以得到薄壁结构的内力及弯矩分布场。
2.根据权利要求1所述的一种无参数估计的薄壁结构等几何多片拼接方法，其特征在于，在所述步骤（5）中，所述薄壁结构的刚度矩阵的大小为Ndof × Ndof，其中Ndof为薄壁结构的自由度数，耦合约束矩阵的大小为Ncoup×Ncoup，其中Ncoup为面片之间耦合界面上的自由度数，外载荷向量的大小为Ndof×1。
3.根据权利要求1所述的一种无参数估计的薄壁结构等几何多片拼接方法，其特征在于，在所述步骤（4）中，非对称Nitsche方法使用了非对称的一致项且舍去了稳定项。
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Legal Events
| Date | Code | Title | Description |
|---|---|---|---|
| C06 | Publication | ||
| PB01 | Publication | ||
| C10 | Entry into substantive examination | ||
| SE01 | Entry into force of request for substantive examination | ||
| GR01 | Patent grant | ||
| GR01 | Patent grant |