CN101840452B - 带孔薄壁曲面结构的空间孔洞优化设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种带孔薄壁曲面结构的空间孔洞优化设计方法，其目的是解决现有的曲面结构上的孔洞优化设计中存在的孔周拟合曲线无法保证始终位于给定曲面上和空间孔周曲线难于解析表达的技术问题。技术方案是将设计变量定义在曲面内部参数平面上，采用参数映射的方法将空间孔洞优化设计问题等效简化为平面孔洞优化设计问题，解决了任意薄壁曲面结构上的孔洞优化设计问题，使得相同体积的带孔薄壁圆锥曲面结构有限元模型的最大等效应力相对于现有技术有较大的下降。

Description

带孔薄壁曲面结构的空间孔洞优化设计方法

技术领域

本发明涉及一种空间孔洞形状优化设计方法，特别涉及一种带孔薄壁曲面结构的空间孔洞优化设计方法，适用于空间任意薄壁曲面结构上孔洞的优化设计。 

背景技术

航空航天飞行器动力装备设计中，存在大量维修孔、工艺孔、冷却孔等薄壁曲面结构上的孔洞优化设计的工程应用实例。孔洞的存在，不可避免会导致孔周应力集中等问题，直接影响到结构的使用寿命。另外，孔洞大小的选取与结构的重量直接相关，对于宇航结构减重尤为重要。 

文献1“The coupling of geometric descriptions and finite elements using NURBS-A study in shape optimization.Schramm U and Pilkey WD.Finite elements in analysis and design，1993，15：11-34.”公开了一种采用NURBS曲线拟合孔周曲线，进行孔形优化设计的方法。这种孔洞优化设计方法首先采用NURBS曲线拟合建立孔洞边界曲线的几何参数方程，其次选用参数方程的控制点坐标作为设计变量，通过修改这些控制点的位置，优化孔洞边界的拟合曲线。对于平面上的孔洞设计问题，这种方法可以实现。但对于空间问题，即使控制点的修改始终保证位于给定的空间曲面上，但对应的拟合曲线仍无法保证也位于给定的曲面上。 

文献2“On the optimum shape of fillets in plates subjected to multiplein-plane loading cases.Kristensen ES and Madsen NF.Internat ional journalfor numerical methods in engineering，1976，10：1007-1019.”公开了一种采用不同孔周曲线解析方程组合参数作为设计变量，进行孔形优化设计的方法。这种孔洞优化设计方法首先采用解析方法建立几种典型孔洞边界曲线的几何参数方程，其次对这几种解析方程进行加权组合建立最终的孔周边界曲线的几何参数方程，然后选用加权组合参数作为设计变量，最后通过修改这些组合参数，优化孔洞边界的解析曲线。对于平面上的孔洞设计问题，这种方法较简便。但对于空间问题，孔周曲线变化十分复杂，一般较难直接采用解析表达式表达。 

发明内容

现有技术中，曲面上的孔洞优化设计中存在孔洞边界曲线控制顶点的拟合曲线无法保证始终位于给定曲面上和空间孔周曲线难于解析表达的问题。为了解决这一技术 问题，本发明提出了一种带孔薄壁曲面结构的空间孔洞优化设计方法，将设计变量定义在曲面内部参数平面上，采用参数映射的方法将空间孔洞优化设计问题等效简化为平面孔洞优化设计问题，可以解决任意薄壁曲面结构上的孔洞优化设计问题。 

本发明解决其技术问题所采用的技术方案是：一种带孔薄壁曲面结构的空间孔洞优化设计方法，其特点是包括下述步骤： 

(a)建立空间薄壁曲面结构的参数方程： 

$\left\{\begin{array}{cc}x=x(s^{\′},t^{\′})& \\ y=y(s^{\′},t^{\′})& ,0\≤s^{\′}\≤s_0,0\≤t^{\′}\≤t_0.\\ z=z(s^{\′},t^{\′})& \end{array}\right.---\left(1\right)$

从而建立s-t参数平面，与s-t平面上的s₀宽，t₀长的矩形映射域。 

(b)根据空间曲面结构的形状特点确定实际平面映射域的形状。二边曲面结构对应的实际平面映射域选用一般四边形，三边曲面结构对应的实际平面映射域选用三角形，四边曲面结构对应的实际平面映射域选用矩形或一般四边形，多于四边的曲面结构分解为二边曲面结构、三边曲面结构或四边曲面结构，再进行映射。 

(c)如果实际平面映射域不是矩形，则需要建立矩形映射域与实际映射域之间的映射关系，并保证空间曲面结构与s-t平面上的实际映射域Ω之间具有一一对应的映射关系。 

假设(s’，t’)为矩形映射域内任一点，(s，t)为实际映射域内任一点，则矩形映射域与实际映射域之间的映射关系为 

$\left\{\begin{array}{c}s=s(s^{\′},t^{\′})\\ t=t(s^{\′},t^{\′})\end{array}\right.,0\≤s^{\′}\≤s_0,0\≤t^{\′}\≤t_0.---\left(2\right)$

于是空间曲面结构与s-t平面上的实际映射域Ω之间一一对应的映射关系为 

$\left\{\begin{array}{c}x=x(s^{\′}(s,t),t^{\′}(s,t))\\ y=y(s^{\′}(s,t),t^{\′}(s,t))\\ z=z(s^{\′}(s,t),t^{\′}(s,t))\end{array},(s,t)\∈\mathrm{\Ω}.---\left(3\right)\right.$

一般四边形映射域的四个顶点的坐标分别为(s₂，0)、(0，t₁)、(s₁，t₀)和(s₀，t₁)。常数t₁满足0＜t₁＜t₀。则矩形映射域与一般四边形映射域之间的映射关系为： 

$\left\{\begin{array}{c}s=s_{\mathrm{mid}}+\frac{(s^{\′}-s_{\min })(t^{\′}-t_{\mathrm{peak}})}{t_1-t_{\mathrm{peak}}}\\ t=t^{\′}\end{array}\right.,0\≤s^{\′}\≤s_0,0\≤t^{\′}\≤t_0.---\left(4\right)$

其中 

$\left\{\begin{array}{ccc}{s}_{\mathrm{mid}}=s_2,t_{\mathrm{peak}}=0,& \mathrm{if}& t^{\&prime;}<t_1;\\ s_{\mathrm{mid}}=s_1,t_{\mathrm{peak}}=t_0,& \mathrm{else}.& \end{array}\right.$

当t₁＝0时，(4)式可简化为(5)式， 

$\left\{\begin{array}{c}s=\frac{1}{t_0}(s_1{t}^{\&prime;}+s^{\&prime;}(t_0-t^{\&prime;}))\\ t=t^{\&prime;}\end{array}\right.,0\&le;s^{\&prime;}\&le;s_0,0\&le;t^{\&prime;}\&le;t_0.---\left(5\right)$

即(5)式为矩形映射域内任一点(s’，t’)与三角形映射域内任一点(s，t)之间的映射关系。 

则空间曲面结构与s-t平面上的实际一般四边形映射域Ω之间一一对应的映射关系为： 

$\left\{\begin{array}{c}x=x(s^{\&prime;}(s,t),t^{\&prime;}(s,t))=x(s_{\mathrm{mid}}+\frac{(s-s_{\mathrm{mid}})(t_1-t_{\mathrm{peak}})}{t-t_{\mathrm{peak}}},t)\\ y=y(s^{\&prime;}(s,t),t^{\&prime;}(s,t))=y(s_{\mathrm{mid}}+\frac{(s-s_{\mathrm{mid}})(t_1-t_{\mathrm{peak}})}{t-t_{\mathrm{peak}}},t)\\ z=z(s^{\&prime;}(s,t),t^{\&prime;}(s,t))=z(s_{\mathrm{mid}}+\frac{(s-s_{\mathrm{mid}})(t_1-t_{\mathrm{peak}})}{t-t_{\mathrm{peak}}},t)\end{array}\right.,(s,t)\&Element;\mathrm{\&Omega;}.---\left(6\right)$

其中 

$\left\{\begin{array}{ccc}{s}_{\mathrm{mid}}=s_2,t_{\mathrm{peak}}=0,& \mathrm{if}& t<t_1;\\ s_{\mathrm{mid}}=s_1,t_{\mathrm{peak}}=t_0,& \mathrm{else}.& \end{array}\right.$

且当t＝0时，令 

当t＝t₀时，令 

三角形映射域的三个顶点坐标分别为(0，0)、(s₀，0)和(s₁，t₀)。空间曲面结构与s-t平面上的实际三角形映射域Ω之间一一对应的映射关系为： 

$\left\{\begin{array}{c}x=x(s^{\&prime;}(s,t),t^{\&prime;}(s,t))=x(\frac{s_{1}t-s{t}_0}{t-t_0},t)\\ y=y(s^{\&prime;}(s,t),t^{\&prime;}(s,t))=y(\frac{s_{1}t-s{t}_0}{t-t_0},t)\\ z=z(s^{\&prime;}(s,t),t^{\&prime;}(s,t))=z(\frac{s_{1}t-s{t}_0}{t-t_0},t)\end{array}\right.,\frac{s_{1}t}{t_0}\&le;s\&le;\frac{1}{t_0}(s_{1}t+s_0(t_0-t)),0\&le;t\&le;t_0.---\left(7\right)$

当t＝t₀时，令 $\left\{\begin{array}{c}x=x(s^{\&prime;},t^{\&prime;})=x(s_1,t)\\ y=y(s^{\&prime;},t^{\&prime;})=y(s_1,t)\\ z=z(s^{\&prime;},t^{\&prime;})=z(s_1,t)\end{array}\right..$

(d)在s-t平面的矩形映射域中建立平面孔周曲线的参数方程： 

$\left\{\begin{array}{c}{s}^{\&prime;}=s^{\&prime;}\left(u\right)\\ t^{\&prime;}=t^{\&prime;}\left(u\right)\end{array}\right.,0\&le;u\&le;1---\left(8\right)$

采用拟合平面控制点方式确定的孔周曲线参数方程： 

$\left\{\begin{array}{c}{s}^{\&prime;}=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{N}_i\left(u\right)\&CenterDot;{s_i}^{\&prime;}\\ t^{\&prime;}=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{N}_i\left(u\right)\&CenterDot;{t_i}^{\&prime;}\end{array}\right.,0\&le;u\&le;1---\left(9\right)$

其中，N_i(u)为第i个控制顶点对应的拟合方程的基函数，(s_i’，t_i’)为第i个控制顶点的坐标。 

则根据矩形映射域与实际映射域之间的映射关系(2)，在实际映射域中建立平面孔周曲线的参数方程： 

$\left\{\begin{array}{c}s=s(s^{\&prime;}\left(u\right),t^{\&prime;}\left(u\right))\\ t=t(s^{\&prime;}\left(u\right),t^{\&prime;}\left(u\right))\end{array}\right.,0\&le;u\&le;1---\left(10\right)$

则空间曲面结构上的孔周曲线方程为： 

$\left\{\begin{array}{c}x=x(s^{\&prime;}(s\left(u\right),t\left(u\right)),t^{\&prime;}(s\left(u\right),t\left(u\right)))\\ y=y(s^{\&prime;}(s\left(u\right),t\left(u\right)),t^{\&prime;}(s\left(u\right),t\left(u\right)))\\ z=z(s^{\&prime;}(s\left(u\right),t\left(u\right)),t^{\&prime;}(s\left(u\right),t\left(u\right)))\end{array}\right.,0\&le;u\&le;1---\left(11\right)$

(e)利用有限元分析软件，在带有孔洞的实际平面映射域内划分网格，并根据空间曲面结构与s-t平面上实际映射域之间一一对应的映射关系，采用壳单元划分空间带孔曲面结构的网格，建立三维带孔薄壁曲面结构的有限元模型。 

(f)在有限元模型的基础上施加边界条件与载荷，建立带孔薄壁曲面结构的力学模型。 

(g)根据结构特点及受载形式，确定设计变量的分布，对称结构采用二分之一孔形设定设计变量，双对称结构采用四分之一孔形设定设计变量。在s-t平面内选取若干参考点，将矩形映射域内孔周曲线控制点与参考点之间的距离设置为设计变量。 

(h)设定设计变量初始值与变化范围，综合结构应力分布、重量综合性能，建立带孔薄壁曲面结构孔洞优化设计问题的优化模型，选取孔周最大等效应力最小为优化目标，曲面面积作为约束函数。 

(i)采用基于梯度的优化算法或智能优化算法进行优化设计。 

本发明相比现有技术的有益效果是：采用本发明方法的设计流程进行优化设计后，实施例1中相同体积的带孔薄壁圆锥曲面结构有限元模型的最大等效应力由初始的330.107MPa降低到87.526MPa；实施例2中相同体积的带孔薄壁半球曲面结构有限元模型的最大等效应力由初始的446.172MPa降低到178.402MPa；实施例3中相同体积的带孔薄壁圆柱面片结构有限元模型的最大等效应力由初始的328.072MPa降低到164.050MPa；实施例4中相同体积的带孔双二次Bezier曲面结构有限元模型的最大等效应力由初始的342.505MPa降低到227.581MPa；实施例5中相同体积的带孔薄壁旋转椭球曲面结构有限元模型的最大等效应力由初始的715.765MPa降低到464.490MPa。实施例6为采用遗传算法对鼠笼式弹性支座进行槽孔优化设计，与传统的长方形槽孔相比，在保证结构刚度与重量要求的前提下，优化后结构的单元最大等效应力由163.635MPa下降到123.891MPa。 

下面结合附图和实施例对本发明进一步说明。 

附图说明

图1是实际映射域为一般四边形的示意图。 

图2是实际映射域为三角形的示意图。 

图3(a)是本发明实施例1矩形映射域及其上的初始孔周曲线，图3(b)是实施例1三角形映射域及其上的初始孔周曲线，图3(c)是实施例1初始结构示意图，图3(d)是实施例1矩形映射域及其上的优化后的孔周曲线，图3(e)是实施例1三角形映射域及其上的优化后的孔周曲线，图3(f)是实施例1优化结构示意图。 

图4(a)是本发明实施例2矩形映射域及其上的初始孔周曲线，图4(b)是实施例2三角形映射域及其上的初始孔周曲线，图4(c)是实施例2初始结构示意图，图4(d)是实施例1矩形映射域及其上的优化后的孔周曲线，图4(e)是实施例2三角形映射域及其上的优化后的孔周曲线，图4(f)是实施例2优化结构示意图。 

图5(a)是本发明实施例3矩形映射域及其上的初始孔周曲线，图5(b)是实施例3初始结构示意图，图5(c)是实施例3矩形映射域及其上的优化后的孔周曲线，图5(d)是实施例3优化结构示意图。 

图6(a)是本发明实施例4矩形映射域及其上的初始孔周曲线，图6(b)是实施例4初 始结构示意图，图6(c)是实施例4矩形映射域及其上的优化后的孔周曲线，图6(d)是实施例4优化结构示意图。 

图7(a)是本发明实施例5矩形映射域及其上的初始孔周曲线，图7(b)是实施例5四边形映射域及其上的初始孔周曲线，图7(c)是实施例5二分之一初始结构示意图，图7(d)是实施例5矩形映射域及其上的优化后的孔周曲线，图7(e)是实施例5四边形映射域及其上的优化后的孔周曲线，图7(f)是实施例5二分之一优化结构示意图。 

具体实施方式

以下实施例参照图1～图7。图1所示的一般四边形映射域的四个顶点分别位于矩形映射域的四条不同的边上。其中位于t向坐标始终为0的矩形边上的顶点的s向坐标为s ₂，位于t向坐标始终为t₀的矩形边上的顶点的s向坐标为s₁，位于s向坐标始终为0的矩形边上的顶点与位于s向坐标始终为s₀的矩形边上的顶点的t向坐标均为t₁。图2所示的三角形映射域的三个顶点坐标分别为(0，0)、(s₀，0)和(s₁，t₀。图3～图7分别给出了实施例1到实施例5中优化前后孔洞边界曲线在平面矩形映射域与平面实际映射域的形状，并给出了对应的带孔空间曲面结构的有限元模型。 

实施例1：薄壁圆锥曲面上的孔洞形状优化设计。 

薄壁圆锥曲面结构上有12个循环对称的孔，其基本参数如表1所示。 

表1 

(a)建立空间薄壁圆锥曲面十二分之一单胞结构的参数方程： 

$\left\{\begin{array}{c}x=200(1-t^{\&prime;})\cos \left(1.4999s^{\&prime;}\right)\\ y=200(1-t^{\&prime;})\sin \left({1.4999s}^{\&prime;}\right)\\ z=300t^{\&prime;}\end{array}\right.,0\&le;s^{\&prime;}\&le;\mathrm{0.3491,0}\&le;t^{\&prime;}\&le;1.---\left(12\right)$

建立s-t参数平面，与s-t平面上的宽为0.3491，长为1的矩形映射域。 

(b)该薄壁圆锥曲面单胞结构为三边曲面结构，所以将其实际平面映射域选用三角形。 

(c)假设(s’，t’)为矩形映射域内任一点，(s，t)为实际映射域内任一点，则 矩形映射域与实际映射域之间的映射关系为 

$\left\{\begin{array}{c}s=0.1746t^{\&prime;}+s^{\&prime;}(1-t^{\&prime;})\\ t=t^{\&prime;}\end{array}\right.,0\&le;s^{\&prime;}\&le;\mathrm{0.3491,0}\&le;t^{\&prime;}\&le;1.---\left(13\right)$

即(5)式为矩形映射域内任一点(s’，t’)与三角形映射域内任一点(s，t)之间的映射关系。 

则空间圆锥曲面片结构与s-t平面上的实际三角形映射域Ω之间一一对应的映射关系为： 

$\left\{\begin{array}{c}x=200(1-t)\cos \left(\frac{1.4999s-0.02619t}{1-t}\right)\\ y=200(1-t)\sin \left(\frac{1.4999s-0.02619t}{1-t}\right)\\ z=300t\end{array}\right.,0.1746t\&le;s\&le;0.3491(1-0.5t),0\&le;t\&le;1.---\left(14\right)$

当t＝1时，令(x，y，z)＝(0，0，300)。 

(d)在s-t平面的矩形映射域中建立采用三次B样条函数拟合控制顶点的方式建立平面孔周曲线的参数方程： 

$\left\{\begin{array}{c}{s}^{\&prime;}=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{N}_{3,i}\left(u\right)\&CenterDot;{s_i}^{\&prime;}\\ t^{\&prime;}=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{N}_{3,i}\left(u\right)\&CenterDot;{t_i}^{\&prime;}\end{array}\right.,0\&le;u\&le;1---\left(15\right)$

其中，N_3，i(u)为第i个控制顶点对应的三次B样条函数的基函数，(s_i’，t_i’)为第i个控制顶点的坐标。 

根据矩形映射域与实际映射域之间的映射关系(13)，在实际映射域中建立平面孔周曲线的参数方程： 

$\left\{\begin{array}{c}s=(0.1746\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{N}_{3,i}\left(u\right)\&CenterDot;{t_i}^{\&prime;}+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{N}_{3,i}\left(u\right)\&CenterDot;{s_i}^{\&prime;}(1-\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{N}_{3,i}\left(u\right)\&CenterDot;{t_i}^{\&prime;}))\\ t=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{N}_{3,i}\left(u\right)\&CenterDot;{t_i}^{\&prime;}\end{array}\right.,0\&le;u\&le;1.---\left(16\right)$

则空间圆锥曲面结构上的孔周曲线方程为： 

$\left\{\begin{array}{c}x=x(s^{\&prime;}(s\left(u\right),t\left(u\right)),t^{\&prime;}(s\left(u\right),t\left(u\right)))\\ y=y(s^{\&prime;}(s\left(u\right),t\left(u\right)),t^{\&prime;}(s\left(u\right),t\left(u\right)))\\ z=z(s^{\&prime;}(s\left(u\right),t(u\left)\right),t^{\&prime;}(s\left(u\right),t\left(u\right)))\end{array}\right.,0\&le;u\&le;1---\left(17\right)$

(e)利用有限元分析软件，在带有孔洞的实际平面映射域内划分网格，并根据空 间曲面结构与s-t平面上实际映射域之间一一对应的映射关系，采用壳单元划分空间带孔曲面单胞结构的网格，并利用其循环对称性建立三维带孔薄壁曲面结构的有限元模型。 

(f)在有限元模型的基础上，完全固定带孔圆锥曲面结构轴向坐标最小的一端，设置重力加速度，建立承受自重的带孔薄壁圆锥曲面结构的力学模型。 

(g)采用二分之一孔形设定设计变量，将矩形映射域内孔周曲线控制点与参考点之间的距离设置为设计变量。在s-t平面内选取(0.1476，0.5)为局部坐标系的原点并设为一个参考点，沿局部坐标系的t正向与t负向依次选取两个参考点，共设置5个参考点。以原点为参考点，t轴上的两个控制顶点与该参考点的距离设置为t向设计变量，与其他参考点t坐标相同的控制点与相应参考点的距离设为s向设计变量。共设置2个t向设计变量，3个s向设计变量。 

(h)t向设计变量的初始值为0.35，变化范围为[0.05，0.45]，s向设计变量的初始值为0.1，变化范围为[0.05，0.15]。选取孔周最大等效应力最小为优化目标，曲面面积作为约束函数，约束上限为初始曲面面积0.16726m²，建立带孔薄壁圆锥曲面结构孔洞优化设计问题的优化模型。 

(i)在通用优化设计平台Boss-Quattro中，选取GCMMA优化算法进行优化设计。 

优化前后该结构有限元模型的单元最大等效应力与曲面片面积如表2所示。 

表2 

实施例2：薄壁半球曲面上的孔洞形状优化设计。 

薄壁半球曲面结构上有4个循环对称的孔洞，其基本参数如表3所示。 

表3 

(a)建立空间薄壁半球曲面四分之一单胞结构的参数方程： 

$\left\{\begin{array}{c}x=300\cos 0.5{\mathrm{\&pi;t}}^{\&prime;}\cos 0.5{\mathrm{\&pi;s}}^{\&prime;}\\ y=300\cos 0.5{\mathrm{\&pi;t}}^{\&prime;}\sin 0.5{\mathrm{\&pi;s}}^{\&prime;}\\ z=300\sin 0.5{\mathrm{\&pi;t}}^{\&prime;}\end{array}\right.,0\&le;s^{\&prime;},t^{\&prime;}\&le;1.---\left(18\right)$

从而建立了s-t参数平面，与s-t平面上的宽为1，长为1的矩形映射域。 

(b)该薄壁半球曲面单胞结构为三边曲面结构，所以将其实际平面映射域选用三角形。 

(c)假设(s’，t’)为矩形映射域内任一点，(s，t)为实际映射域内任一点，则矩形映射域与实际映射域之间的映射关系为 

$\left\{\begin{array}{c}s=0.5t^{\&prime;}+s^{\&prime;}(1-t^{\&prime;})\\ t=t^{\&prime;}\end{array}\right.,0\&le;s^{\&prime;},t^{\&prime;}\&le;1.---\left(19\right)$

即(5)式为矩形映射域内任一点(s’，t’)与三角形映射域内任一点(s，t)之间的映射关系。 

则空间圆锥曲面片结构与s-t平面上的实际三角形映射域Ω之间一一对应的映射关系为： 

$\left\{\begin{array}{c}x=300\cos 0.5\mathrm{\&pi;}t\cos 0.25\mathrm{\&pi;}\left(\frac{t-2s}{t-1}\right)\\ y=300\cos 0.5\mathrm{\&pi;}t\sin 0.25\mathrm{\&pi;}\left(\frac{t-2s}{t-1}\right)\\ z=300\sin 0.5\mathrm{\&pi;t}\end{array}\right.,0.5t\&le;s\&le;(1-0.5t),0\&le;t\&le;1.---\left(20\right)$

当t＝1时，令(x，y，z)＝(0，0，300)。 

(d)在s-t平面的矩形映射域中建立采用三次B样条函数拟合控制顶点的方式建立平面孔周曲线的参数方程： 

$\left\{\begin{array}{c}{s}^{\&prime;}=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{N}_{3,i}\left(u\right)\&CenterDot;{s_i}^{\&prime;}\\ t^{\&prime;}=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{N}_{3,i}\left(u\right)\&CenterDot;{t_i}^{\&prime;}\end{array}\right.,0\&le;u\&le;1---\left(21\right)$

其中，N_3，i(u)为第i个控制顶点对应的三次B样条函数的基函数，(s_i’，t_i’)为第i个控制顶点的坐标。 

根据矩形映射域与实际映射域之间的映射关系(19)，在实际映射域中建立平面孔周曲线的参数方程： 

$\left\{\begin{array}{c}s=0.5\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{N}_{3,i}\left(u\right)\&CenterDot;{t_i}^{\&prime;}+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{N}_{3,i}\left(u\right)\&CenterDot;{s_i}^{\&prime;}(1-\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{N}_{3,i}\left(u\right)\&CenterDot;{t_i}^{\&prime;})\\ t=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{N}_{3,i}\left(u\right)\&CenterDot;{t_i}^{\&prime;}\end{array}\right.,0\&le;u\&le;1.---\left(22\right)$

则半球曲面结构上的孔周曲线方程为： 

$\left\{\begin{array}{c}x=x(s^{\&prime;}(s\left(u\right),t\left(u\right)),t^{\&prime;}(s\left(u\right),t\left(u\right)))\\ y=y(s^{\&prime;}(s\left(u\right),t\left(u\right)),t^{\&prime;}(s\left(u\right),t\left(u\right)))\\ z=z(s^{\&prime;}(s\left(u\right),t(u\left)\right),t^{\&prime;}(s\left(u\right),t\left(u\right)))\end{array}\right.,0\&le;u\&le;1---\left(23\right)$

(e)利用有限元分析软件，在带有孔洞的实际平面映射域内划分网格，并根据空间曲面结构与s-t平面上实际映射域之间一一对应的映射关系，采用壳单元划分空间带孔曲面单胞结构的网格，并根据其循环对称性建立三维带孔薄壁曲面结构的有限元模型。 

(f)在有限元模型的基础上，完全固定带孔半球结构轴向坐标最小的一端，在轴向坐标最大的一端施加20kN轴向拉力，建立带孔薄壁半球曲面结构的力学模型。 

(g)采用二分之一孔形设定设计变量，将矩形映射域内孔周曲线控制点与参考点之间的距离设置为设计变量。在s-t平面内选取(0.5，0.5)为局部坐标系的原点。以原点为参考点，将四等分半周极角处控制顶点与参考点之间的距离设置为设计变量，共五个设计变量。 

(h)设计变量的初始值为0.25，变化范围为[0.05，0.45]。选取孔周最大等效应力最小为优化目标，曲面面积作为约束函数，约束上限为初始曲面面积0.46696m²，建立带孔薄壁曲面结构孔洞优化设计问题的优化模型。 

(i)在通用优化设计平台Boss-Quattro中，选取GCMMA优化算法进行优化设计。 

优化前后该结构有限元模型的单元最大等效应力与曲面片面积如表4所示。 

表4 

实施例3：薄壁圆柱曲面片上的孔洞形状优化设计。 

薄壁圆柱曲面片结构上有一个孔，其基本参数如表5所示。 

表5 

(a)建立空间薄壁圆柱曲面结构的参数化方程： 

$\left\{\begin{array}{c}x=400\cos \left(2.5s^{\&prime;}\right)\\ y=400\sin \left(2.5s^{\&prime;}\right)\\ z={1000t}^{\&prime;}\end{array}\right.,0\&le;s^{\&prime;},t^{\&prime;}\&le;1.---\left(24\right)$

从而建立了s-t参数平面，与s-t平面上宽为1，长为1的矩形映射域。 

(b)该圆柱曲面片为四边曲面结构，这里将其实际平面映射域选用矩形。 

(c)假设(s’，t’)为矩形映射域内任一点，(s，t)为实际映射域内任一点，则 

$\left\{\begin{array}{c}s=s^{\&prime;}\\ t=t^{\&prime;}\end{array}\right.0\&le;s^{\&prime;},t^{\&prime;}\&le;1.---\left(25\right)$

(d)在s-t平面的矩形映射域中采用椭圆孔方程建立平面孔周曲线的参数方程： 

$\left\{\begin{array}{c}s=0.5+r_1\cos \left(2\mathrm{\&pi;u}\right)\\ t=0.5+r_2\sin \left(2\mathrm{\&pi;u}\right)\end{array}\right.,0\&le;u\&le;1---\left(26\right)$

其中，r₁与r₂分别为椭圆孔洞沿s向和t向的轴半径。 

则空间圆柱曲面结构上的孔周曲线的参数方程为： 

$\left\{\begin{array}{c}x=400\cos (1.25+2.5r_1\cos \left(2\mathrm{\&pi;u}\right))\\ y=400\sin (1.25+2.5r_1\cos \left(2\mathrm{\&pi;u}\right))\\ z=1000(0.5+r_2\sin \left(2\mathrm{\&pi;u}\right))\end{array}\right.,0\&le;u\&le;1.---\left(27\right)$

(e)利用有限元分析软件ANSYS，在带有孔洞的实际平面映射域内划分网格，并根据空间曲面结构与s-t平面上矩形映射域之间一一对应的映射关系，得到空间带孔曲面结构的网格，建立三维带孔薄壁圆柱曲面片结构的有限元模型。 

(f)在有限元模型的基础上固定结构中轴向坐标最小的一端，在结构另一端施加均布轴向拉力，轴向拉力之和为100kN，建立带孔薄壁圆柱曲面结构的力学模型。 

(g)采用椭圆孔的长短轴半径坐标作为两个设计变量，即式(26)中的r₁与r₂。。 

(h)设定r₁与r₂的初始值均为0.5，变化范围均为[0.2，0.8]。选取孔周最大等效应力最小为优化目标，圆柱曲面片面积作为约束函数，约束上限为0.8m²，建立带孔薄壁圆柱曲面结构孔形优化设计问题的优化模型。 

(i)在通用优化设计平台Boss-Quattro中，选取GCMMA优化算法进行优化设计。 优化前后该结构有限元模型的单元最大等效应力与曲面片面积如表6所示。 

表6 

实施例4：双二次Bezier曲面片上的孔洞形状优化设计。 

薄壁双二次Bezier曲面片上有1个孔洞，其基本参数如表7所示。 

表7 

(a)建立双二次Bezier曲面片结构的参数方程： 

$\left\{\begin{array}{c}x=\left[\begin{array}{ccc}{B}_{\mathrm{0,2}}\left(s^{\&prime;}\right)& B_{\mathrm{1,2}}\left(s^{\&prime;}\right)& B_{\mathrm{2,2}}\left(s^{\&prime;}\right)\end{array}\right]B_x{\left[\begin{array}{ccc}{B}_{\mathrm{0,2}}\left(t^{\&prime;}\right)& B_{\mathrm{1,2}}\left(t^{\&prime;}\right)& B_{\mathrm{2,2}}\left(t^{\&prime;}\right)\end{array}\right]}^T\\ y=\left[\begin{array}{ccc}{B}_{\mathrm{0,2}}\left(s^{\&prime;}\right)& B_{\mathrm{1,2}}\left(s^{\&prime;}\right)& B_{\mathrm{2,2}}\left(s^{\&prime;}\right)\end{array}\right]B_x{\left[\begin{array}{ccc}{B}_{\mathrm{0,2}}\left(t^{\&prime;}\right)& B_{\mathrm{1,2}}\left(t^{\&prime;}\right)& B_{\mathrm{2,2}}\left(t^{\&prime;}\right)\end{array}\right]}^T\\ z=\left[\begin{array}{ccc}{B}_{\mathrm{0,2}}\left(s^{\&prime;}\right)& B_{\mathrm{1,2}}\left(s^{\&prime;}\right)& B_{\mathrm{2,2}}\left(s^{\&prime;}\right)\end{array}\right]B_x{\left[\begin{array}{ccc}{B}_{\mathrm{0,2}}\left(t^{\&prime;}\right)& B_{\mathrm{1,2}}\left(t^{\&prime;}\right)& B_{\mathrm{2,2}}\left(t^{\&prime;}\right)\end{array}\right]}^T\end{array}\right.,0\&le;s,t\&le;1---\left(28\right)$

其中， 

$B_{j,l}\left(t\right)=\begin{array}{}\left\{\begin{array}{cc}{C}_l^j{t}^j{(1-t)}^{l-j},& \mathrm{if\; j}=\mathrm{0,1},...,l\\ 0,& \mathrm{otherwise}.\end{array}\right.\end{array}$

$B_x=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 20& 20& 20\\ 40& 40& 40\end{array}\right],$ $B_y=\left[\begin{array}{ccc}20& 40& 10\\ 30& 50& 40\\ 20& 40& 10\end{array}\right],$ $B_z=\left[\begin{array}{ccc}0& 30& 50\\ 0& 30& 50\\ 0& 30& 50\end{array}\right]$

从而建立了s-t参数平面，与s-t平面上的宽为1，长为1的矩形映射域。 

(b)该双二次Bezier曲面片结构为四边曲面结构，这里将其实际平面映射域选用矩形。 

(c)假设(s’，t’)为矩形映射域内任一点，(s，t)为实际映射域内任一点，则 

$\left\{\begin{array}{c}s=s^{\&prime;}\\ t=t^{\&prime;}\end{array}\right.,0\&le;s^{\&prime;},t^{\&prime;}\&le;1.---\left(29\right)$

(d)在s-t平面的矩形映射域中建立采用三次样条函数拟合控制顶点的方式建立平面孔周曲线的参数方程： 

$\left\{\begin{array}{c}s=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{N}_i\left(u\right)\&CenterDot;s_i\\ t=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{N}_i\left(u\right)\&CenterDot;t_i\end{array}\right.,0\&le;u\&le;1---\left(30\right)$

其中，N_i(u)为第i个控制顶点对应的三次样条函数的基函数，(s_i，t_i)为第i个控制顶点的坐标。 

则空间圆柱曲面结构上的孔周曲线方程为： 

$\left\{\begin{array}{c}x=x(s\left(u\right),t\left(u\right))\\ y=y(s\left(u\right),t\left(u\right))\\ z=z(s\left(u\right),t\left(u\right))\end{array}\right.,0\&le;u\&le;1---\left(31\right)$

(e)利用有限元分析软件ANSYS，在带有孔洞的实际平面映射域内划分网格，并根据空间曲面结构与s-t平面上实际映射域之间一一对应的映射关系，采用壳单元划分空间带孔曲面结构的网格，建立三维带孔薄壁曲面结构的有限元模型。 

(f)在有限元模型的基础上，完全固定Bezier曲面片四边，沿曲面法向作用5MPa的压力，建立带孔薄壁Bezier曲面片结构的力学模型。 

(g)采用整个孔形设定设计变量，将矩形映射域内孔周曲线控制点与参考点之间的距离设置为设计变量。在s-t平面内选取(0.5，0.5)为局部坐标系的原点。以原点为参考点，将八等分圆周极角处控制顶点与参考点之间的距离设置为设计变量，共八个设计变量。 

(h)设计变量的初始值为0.25，变化范围为[0.1，0.45]。选取孔周最大等效应力最小为优化目标，曲面面积作为约束函数，约束上限为初始曲面面积1602.164mm²，建立带孔薄壁曲面结构孔洞优化设计问题的优化模型。 

(i)在通用优化设计平台Boss-Quattro中，选取GCMMA优化算法进行优化设计。 

优化前后该结构有限元模型的单元最大等效应力与曲面片面积如表8所示。 

表8 

实施例5：薄壁椭球面上的孔洞形状优化设计。 

薄壁椭球曲面结构上有8个循环对称的孔洞，其基本参数如表9所示。 

表9 

(a)建立空间薄壁椭球曲面单胞结构的参数方程： 

$\left\{\begin{array}{c}x=a\cos 0.5\mathrm{\&pi;}({2t}^{\&prime;}-1)\cos 3.0000s^{\&prime;}\\ y=b\cos 0.5\mathrm{\&pi;}({2t}^{\&prime;}-1)\sin 3.0000s^{\&prime;}\\ z=c\sin 0.5\mathrm{\&pi;}({2t}^{\&prime;}-1)\end{array}\right.,0\&le;s^{\&prime;}\&le;\mathrm{0.2618,0}\&le;t^{\&prime;}\&le;1.---\left(32\right)$

从而建立了s-t参数平面，与s-t平面上的宽为0.2618，长为1的矩形映射域。 

(b)带有一个孔洞的薄壁半球曲面单胞结构为二边曲面结构，所以将其实际平面映射域选用四边形。 

(c)假设(s’，t’)为矩形映射域内任一点，(s，t)为实际四边形映射域内任一点，则矩形映射域与实际映射域之间的映射关系为 

$\left\{\begin{array}{c}s=0.1309+\frac{(s^{\&prime;}-0.1309)(t^{\&prime;}-t_{\mathrm{peak}})}{0.5-t_{\mathrm{peak}}}\\ t=t^{\&prime;}\end{array}\right.,0\&le;s^{\&prime;}\&le;\mathrm{0.2618,0}\&le;t^{\&prime;}\&le;1.---\left(33\right)$

其中 

$\left\{\begin{array}{ccc}{t}_{\mathrm{peak}}=0,& \mathrm{if}& t^{\&prime;}<0.5;\\ t_{\mathrm{peak}}=1,& \mathrm{else}.& \end{array}\right.$

则该薄壁半球曲面单胞结构与s-t平面上的实际四边形映射域Ω之间一一对应的映射关系为： 

$\left\{\begin{array}{c}x=a\cos 0.5\mathrm{\&pi;}(2t-1)\cos (0.3927+3(s-0.1309)(0.5-t_{\mathrm{peak}})/(t-t_{\mathrm{peak}}))\\ y=b\cos 0.5\mathrm{\&pi;}({2t}^{\&prime;}-1)\sin (0.3927+3(s-0.1309)(0.5-t_{\mathrm{peak}})/(t-t_{\mathrm{peak}}))\\ z=c\sin 0.5\mathrm{\&pi;}(2t^{\&prime;}-1)\end{array}\right.,(s,t)\&Element;\mathrm{\&Omega;}.---\left(34\right)$

其中， 

$\left\{\begin{array}{ccc}{t}_{\mathrm{peak}}=0,& \mathrm{if}& t<0.5;\\ t_{\mathrm{peak}}=1,& \mathrm{else}.& \end{array}\right.$

且当t＝0时，令(x，y，z)＝(0，0，-300)；当t＝1时，令(x，y，z)＝(0，0，300)。 

(d)在s-t平面的矩形映射域中建立采用三次B样条函数拟合控制顶点的方式建立平面孔周曲线的参数方程： 

$\left\{\begin{array}{c}{s}^{\&prime;}=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{N}_{3,i}\left(u\right)\&CenterDot;{s_i}^{\&prime;}\\ t^{\&prime;}=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{N}_{3,i}\left(u\right)\&CenterDot;{t_i}^{\&prime;}\end{array}\right.,0\&le;u\&le;1---\left(35\right)$

其中，N_3，i(u)为第i个控制顶点对应的三次B样条函数的基函数，(s_i’，t_i’)为第i个控制顶点的坐标。 

根据矩形映射域与实际映射域之间的映射关系(33)，在实际映射域中建立平面孔周曲线的参数方程： 

$\left\{\begin{array}{c}s=0.1309+\frac{(\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{N}_{3,i}\left(u\right)\&CenterDot;{s_i}^{\&prime;}-0.1309)(\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{N}_{3,i}\left(u\right)\&CenterDot;{t_i}^{\&prime;}-t_{\mathrm{peak}})}{0.5-t_{\mathrm{peak}}}\\ t=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{N}_{3,i}\left(u\right)\&CenterDot;{t_i}^{\&prime;}\end{array}\right.,0\&le;u\&le;1.---\left(36\right)$

则空间圆柱曲面结构上的孔周曲线方程为： 

$\left\{\begin{array}{c}x=x(s(s^{\&prime;}\left(u\right),t^{\&prime;}\left(u\right)),t(s^{\&prime;}\left(u\right),t^{\&prime;}\left(u\right)))\\ y=y(s(s^{\&prime;}\left(u\right),t^{\&prime;}\left(u\right)),t(s^{\&prime;}\left(u\right),t^{\&prime;}\left(u\right)))\\ z=z(s(s^{\&prime;}\left(u\right),t^{\&prime;}(u\left)\right),t(s^{\&prime;}\left(u\right),t^{\&prime;}\left(u\right)))\end{array}\right.,0\&le;u\&le;1---\left(37\right)$

(e)利用有限元分析软件，在带有孔洞的实际平面映射域内划分网格，并根据空间曲面结构与s-t平面上实际映射域之间一一对应的映射关系，采用壳单元划分空间带孔曲面单胞结构的网格，并根据其循环对称性建立三维带孔薄壁曲面结构的有限元模型。 

(f)在有限元模型的基础上，完全固定带孔椭球结构轴向坐标最小的一端，在轴向坐标最大的一端施加10kN轴向拉力，建立带孔薄壁椭球曲面结构的力学模型。 

(g)采用四分之一孔形设定设计变量，将矩形映射域内孔周曲线控制点与参考点之间的距离设置为设计变量。在s-t平面内选取(0.1314，0.5)为局部坐标系的原点。在s-t平面内选取(0.1314，0.5)为局部坐标系的原点并设为一个参考点，沿局部坐标系的t正向选取两个参考点，共设置三个参考点。以原点为参考点，四分之一孔形的t轴上的控制顶点与该参考点的距离设置为t向设计变量，与其他参考点t坐标相同的控制点与相应参考点的距离设为s向设计变量。共设置1个t向设计变量，2个s向设计变量。 

(h)t向设计变量的初始值为0.35，变化范围为[0.01，0.45]，s向设计变量的初始值为0.08，变化范围为[0.01，0.13]。选取孔周最大等效应力最小为优化目标，曲 面面积作为约束函数，约束上限为初始曲面面积0.39118m²，建立带孔薄壁曲面结构孔洞优化设计问题的优化模型。 

(i)在通用优化设计平台Boss-Quattro中，选取GCMMA优化算法进行优化设计。 

优化前后该结构有限元模型的单元最大等效应力与曲面片面积如表10所示。 

表10 

实施例6：采用遗传算法进行鼠笼式弹性支座上的槽孔形状优化设计。 

一个鼠笼式弹性支座结构上循环对称分布有24个槽孔，其基本参数如表11所示。 

表11 

符号    名称          大小 

N       鼠笼笼条数    24 

E       弹性模量      210000MPa 

μ      泊松比        0.3 

T       厚度          5.16mm 

R₀      套筒半径      60mm 

L_c      套筒长度      120mm 

(a)鼠笼式弹性支座曲面结构套筒为圆柱结构，选取其二十四分之一单胞结构的设计域建立参数化方程： 

$\left\{\begin{array}{c}x=60\cos \left({1.5s}^{\&prime;}\right)\\ y=60\sin \left({1.5s}^{\&prime;}\right)\\ z=15+90t^{\&prime;}\end{array}\right.,(0\&le;s^{\&prime;}\&le;\mathrm{0.1745,0}\&le;t^{\&prime;}\&le;1)---\left(38\right)$

(b)该鼠笼式弹性支座单胞结构的设计域为四边曲面结构，这里将其实际平面映射域选用矩形。 

(c)假设(s’，t’)为矩形映射域内任一点，(s，t)为实际映射域内任一点，则 

$\left\{\begin{array}{c}s=s^{\&prime;}\\ t=t^{\&prime;}\end{array}\right.,0\&le;s^{\&prime;},t^{\&prime;}\&le;1.---\left(39\right)$

(d)在s-t平面的矩形映射域中采用椭圆孔方程建立平面孔周曲线的参数方程： 

$\left\{\begin{array}{c}s=0.0875+r_1\cos \left(2\mathrm{\&pi;u}\right)\\ t=0.5+r_2\sin \left(2\mathrm{\&pi;u}\right)\end{array}\right.,0\&le;u\&le;1---\left(40\right)$

其中，r₁与r₂分别为椭圆孔洞沿s向和t向的轴半径。 

则空间圆柱曲面结构上的孔周曲线的参数方程为： 

$\left\{\begin{array}{c}x=60\cos (0.1313+1.5r_1\cos \left(2\mathrm{\&pi;u}\right))\\ y=60\sin (0.1313+1.5r_1\cos \left(2\mathrm{\&pi;u}\right))\\ z=15+90(0.5+r_2\sin \left(2\mathrm{\&pi;u}\right))\end{array}\right.,0\&le;u\&le;1.---\left(41\right)$

(e)利用有限元分析软件ANSYS，在带有孔洞的实际矩形平面映射域内划分网格，并根据空间曲面结构与s-t平面上矩形映射域之间一一对应的映射关系，得到空间带孔鼠笼式弹性支座单胞结构设计域的网格，再建立其非设计域网格，从而合并得到结构单胞网格，并根据其循环对称性建立完整的鼠笼式弹性支座结构的有限元模型。 

(f)在有限元模型的基础上固定鼠笼式弹性支座的安装边，采用刚体梁单元在套筒悬臂端施加3kN的径向载荷，建立带孔薄壁鼠笼式弹性支座结构的力学模型。 

(g)采用椭圆孔的长短轴半径坐标作为两个设计变量，即式(41)中的r₁与r₂。。 

(h)设定r₁的变化范围为[0.0333，0.0778]，r₂的变化范围为[0.2889，0.3333]。选取孔周最大等效应力最小为优化目标；套筒面积与结构刚度系数作为约束函数，套筒面积的约束上限为32561.2mm²，刚度系数的约束范围为[19656，21726]N/mm；建立带孔薄壁圆柱曲面结构孔形优化设计问题的优化模型。 

(i)采用遗传算法进行优化设计，其中种群大小设定为设计变量个数的10倍，随机种子的产生概率设定为0.12221，交叉概率设定为0.8，设计变量的变异概率设定为0.143，遗传100代终止计算。 

优化前后该鼠笼式弹性支座结构有限元模型的单元最大等效应力与套筒曲面面积如表12所示。 

表12 

Claims (1)

1.一种带孔薄壁曲面结构的空间孔洞优化设计方法，其特征在于包括下述步骤：

(a)建立空间薄壁曲面结构的参数方程：

$\left\{\begin{array}{c}x=x(s^{\&prime;},t^{\&prime;})\\ y=y(s^{\&prime;},t^{\&prime;})\\ z=z(s^{\&prime;},t^{\&prime;})\end{array}\right.,$ 0≤s′≤s₀，0≤t′≤t₀.(1)

从而建立s-t参数平面，与s-t平面上的s₀宽，t₀长的矩形映射域；

(b)根据空间曲面结构的形状特点确定实际平面映射域的形状；二边曲面结构对应的实际平面映射域选用一般四边形，三边曲面结构对应的实际平面映射域选用三角形，四边曲面结构对应的实际平面映射域选用矩形或一般四边形，多于四边的曲面结构分解为二边曲面结构、三边曲面结构或四边曲面结构，再进行映射；

(c)如果实际平面映射域不是矩形，则需要建立矩形映射域与实际映射域之间的映射关系，并保证空间曲面结构与s-t平面上的实际映射域Ω之间具有一一对应的映射关系；

假设(s’，t’)为矩形映射域内任一点，(s，t)为实际映射域内任一点，则矩形映射域与实际映射域之间的映射关系为

$\left\{\begin{array}{c}s=s(s^{\&prime;},t^{\&prime;})\\ t=t(s^{\&prime;},t^{\&prime;})\end{array}\right.,$ 0≤s′≤s₀，0≤t′≤t₀.(2)

于是空间曲面结构与s-t平面上的实际映射域Ω之间一一对应的映射关系为

$\left\{\begin{array}{c}x=x(s^{\&prime;}(s,t),t^{\&prime;}(s,t))\\ y=y(s^{\&prime;}(s,t),t^{\&prime;}(s,t))\\ z=z(s^{\&prime;}(s,t),t^{\&prime;}(s,t))\end{array}\right.,$ (s，t)∈Ω.(3)

一般四边形映射域的四个顶点的坐标分别为(s₂，0)、(0，t₁)、(s₁，t₀)和(s₀，t₁)；常数t₁满足0＜t₁＜t₀；则矩形映射域与一般四边形映射域之间的映射关系为：

$\left\{\begin{array}{c}s=s_{\mathrm{mid}}+\frac{(s^{\&prime;}-s_{\mathrm{mid}})(t^{\&prime;}-t_{\mathrm{peak}})}{t_1-t_{\mathrm{peak}}}\\ t=t^{\&prime;}\end{array}\right.,$ 0≤s′≤s₀，0≤t′≤t₀.(4)

其中

$\left\{\begin{array}{cc}{s}_{\mathrm{mid}}=s_2,t_{\mathrm{peak}}=0,& \mathrm{if}{t}^{\&prime;}<t_1;\\ s_{\mathrm{mid}}=s_1,t_{\mathrm{peak}}=t_0,& \mathrm{else}.\end{array}\right.$

当t₁＝0时，(4)式可简化为(5)式，

$\left\{\begin{array}{c}s=\frac{1}{t_0}(s_1{t}^{\&prime;}+s^{\&prime;}(t_0-t^{\&prime;}))\\ t=t^{\&prime;}\end{array}\right.,$ 0≤s′≤s₀，0≤t′≤t₀.(5)

即(5)式为矩形映射域内任一点(s’，t’)与三角形映射域内任一点(s，t)之间的映射关系；

则空间曲面结构与s-t平面上的实际一般四边形映射域Ω之间一一对应的映射关系为：

$\left\{\begin{array}{c}x=x(s^{\&prime;}(s,t),t^{\&prime;}(s,t))=x(s_{\mathrm{mid}}+\frac{(s-s_{\mathrm{mid}})(t_1-t_{\mathrm{peak}})}{t-t_{\mathrm{peak}}},t)\\ y=y(s^{\&prime;}(s,t),t^{\&prime;}(s,t))=y(s_{\mathrm{mid}}+\frac{(s-s_{\mathrm{mid}})(t_1-t_{\mathrm{peak}})}{t-t_{\mathrm{peak}}},t)\\ z=z(s^{\&prime;}(s,t),t^{\&prime;}(s,t))=z(s_{\mathrm{mid}}+\frac{(s-s_{\mathrm{mid}})(t_1-t_{\mathrm{peak}})}{t-t_{\mathrm{peak}}},t)\end{array}\right.,$ (s，t)∈Ω.(6)

其中

$\left\{\begin{array}{cc}{s}_{\mathrm{mid}}=s_2,t_{\mathrm{peak}}=0,& \mathrm{if\; t}<t_1;\\ s_{\mathrm{mid}}=s_1,t_{\mathrm{peak}}=t_0,& \mathrm{else}.\end{array}\right.$

且当t＝0时，令 $\left\{\begin{array}{c}x=x(s^{\&prime;},t^{\&prime;})=x(s_2,0)\\ y=y(s^{\&prime;},t^{\&prime;})=y(s_2,0)\\ z=z(s^{\&prime;},t^{\&prime;})=z(s_2,0)\end{array}\right.;$ 当t＝t0时，令 $\left\{\begin{array}{c}x=x(s^{\&prime;},t^{\&prime;})=x(s_1,t_0)\\ y=y(s^{\&prime;},t^{\&prime;})=y(s_1,t_0)\\ z=z(s^{\&prime;},t^{\&prime;})=z(s_1,t_0)\end{array}\right.;$

三角形映射域的三个顶点坐标分别为(0，0)、(s₀，0)和(s₁，t₀)；空间曲面结构与s-t平面上的实际三角形映射域Ω之间一一对应的映射关系为：

$\left\{\begin{array}{c}x=x(s^{\&prime;}(s,t),t^{\&prime;}(s,t))=x(\frac{s_{1}t-{\mathrm{st}}_0}{t-t_0},t)\\ y=y(s^{\&prime;}(s,t),t^{\&prime;}(s,t))=y(\frac{s_{1}t-{\mathrm{st}}_0}{t-t_0},t)\\ z=z(s^{\&prime;}(s,t),t^{\&prime;}(s,t))=z(\frac{s_{1}t-{\mathrm{st}}_0}{t-t_0},t)\end{array}\right.,$ $\frac{s_{1}t}{t_0}\&le;s\&le;\frac{1}{t_0}(s_{1}t+s_0(t_0-t)),$ 0≤t≤t₀.(7)

当t＝t₀时，令 $\left\{\begin{array}{c}x=x(s^{\&prime;},t^{\&prime;})=x(s_1,t)\\ y=y(s^{\&prime;},t^{\&prime;})=y(s_1,t)\\ z=z(s^{\&prime;},t^{\&prime;})=z(s_1,t)\end{array}\right.;$

(d)在s-t平面的矩形映射域中建立平面孔周曲线的参数方程：

$\left\{\begin{array}{c}{s}^{\&prime;}=s^{\&prime;}\left(u\right)\\ t^{\&prime;}=t^{\&prime;}\left(u\right)\end{array}\right.,$ 0≤u≤1            (8)

采用拟合平面控制点方式确定的孔周曲线参数方程：

$\left\{\begin{array}{c}{s}^{\&prime;}=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{N}_i\left(u\right)\&CenterDot;{s_i}^{\&prime;}\\ t^{\&prime;}=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{N}_i\left(u\right)\&CenterDot;{t_i}^{\&prime;}\end{array}\right.,$ 0≤u≤1            (9)

其中，N_i(u)为第i个控制顶点对应的拟合方程的基函数，(s_i’，t_i’)为第i个控制顶点的坐标；

则根据矩形映射域与实际映射域之间的映射关系(2)，在实际映射域中建立平面孔周曲线的参数方程：

$\left\{\begin{array}{c}s=s(s^{\&prime;}\left(u\right),t^{\&prime;}\left(u\right))\\ t=t(s^{\&prime;}\left(u\right),t^{\&prime;}\left(u\right))\end{array}\right.,$ 0≤u≤1                (10)

则空间曲面结构上的孔周曲线方程为：

$\left\{\begin{array}{c}x=x(s^{\&prime;}(s\left(u\right),t\left(u\right)),t^{\&prime;}(s\left(u\right),t\left(u\right)))\\ y=y(s^{\&prime;}(s\left(u\right),t\left(u\right)),t^{\&prime;}(s\left(u\right),t\left(u\right)))\\ z=z(s^{\&prime;}(s\left(u\right),t\left(u\right)),t^{\&prime;}(s\left(u\right),t\left(u\right)))\end{array}\right.,$ 0≤u≤1                (11)

(e)利用有限元分析软件，在带有孔洞的实际平面映射域内划分网格，并根据空间曲面结构与s-t平面上实际映射域之间一一对应的映射关系，采用壳单元划分空间带孔曲面结构的网格，建立三维带孔薄壁曲面结构的有限元模型；

(f)在有限元模型的基础上施加边界条件与载荷，建立带孔薄壁曲面结构的力学模型；

(g)根据结构特点及受载形式，确定设计变量的分布，对称结构采用二分之一孔形设定设计变量，双对称结构采用四分之一孔形设定设计变量；在s-t平面内选取若干参考点，将矩形映射域内孔周曲线控制点与参考点之间的距离设置为设计变量；

(h)设定设计变量初始值与变化范围，综合结构应力分布、重量综合性能，建立带孔薄壁曲面结构孔洞优化设计问题的优化模型，选取孔周最大等效应力最小为优化目标，曲面面积作为约束函数；

(i)采用基于梯度的优化算法或智能优化算法进行优化设计。

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