CN101789859A - 机群链路双向异步通信信道的非相干测距/时间同步系统 - Google Patents

Abstract

一种机群链路双向异步通信信道的对称式非相干测距/时间同步系统，属于航空数据链、无线电导航、飞行器自主技术领域。本发明可以在电路板的数字信号处理器DSP和FPGA上实现的对称式非相干测距/时间同步方法和体系构架。本发明基于机群链路成员节点之间的双向异步通信链路，提出了综合信道体制下的双向异步传输帧非相干扩频测距原理，采用基于CCSDS Proximity-1 version-3传输帧，构造出统一形式的机群链路双向异步传输帧非相干扩频测距算法结构，给出了基线测量和时间同步测量控制的两种算法：机间时间同步递推算法、多普勒积分补偿方法。本发明克服了传统相干转发测距、双向同步非相干测距的缺陷，提供一种双向异步通信测距双方均能平等获得测量结果的测距方案。

Description

机群链路双向异步通信信道的非相干测距/时间同步系统

技术领域

本发明涉及一种机群链路双向异步通信信道的非相干测距/时间同步系统，属于航空数据链、无线电导航、飞行器自主技术领域。

背景技术

目前，测距体制一般可归纳为两种体制：传统的相干转发测距体制；双向同步信道非相干测距体制。

第一种体制是测距终端向应答机发出测距信号，应答机接收到信号后通过变频转发环节(即：相干转发)向测距终端转发测距信号，这种方式广泛应用于航天航空领域的测控应答机，仅仅测距终端能获得测距结果，且测距双方径向相对速度较大时多普勒频移效应通过转发过程倍增，且相干转发体制的信噪比不足。

第二种体制是测距终端双方平等，存在双向同步通信链路，对等地向对方发出扩频通信/测距信号，测距双方能够同时获得本地伪距测量值并与对方共享，因此两测距终端能够同时在本地计算出测距结果。这种方式最早应用于同步卫星双向时间传递系统。实际应用中往往多数测距双方的信息传输带宽(符号速率)是不同的，即：通信/测距双方的前向链路与返向链路为异步信道，因此这种测距体制不能应用于多数应用领域；这种测距体制对于测距双方要求都采用高精度频标；另外，测距终端存在相对运动时，测量时机不同步的情况会引起较大的测距误差。这三个问题目前一直没有得到很好地解决。

发明内容

本发明的目的在于提供一种机群链路双向异步通信信道的非相干测距/时间同步系统。本发明提出了综合信道体制下的双向异步传输帧非相干扩频测距原理，采用基于CCSDSProximity-1 version-3传输帧，推导并构造出统一形式的机群链路双向异步传输帧非相干扩频测距算法结构，进行了深入的模型误差理论分析，给出了基线测量和时间同步测量控制的两种算法：机间时间同步递推算法、多普勒积分补偿方法，并提供了计算残差分析。

本发明一种机群链路双向异步通信信道的非相干测距/时间同步系统，可以在机群链路终端机的中频信号处理电路板上的数字信号处理器DSP和FPGA器件上实现整个系统结构和算法。

本发明针对机群编队任务的自主性特点，构造了基于机群链路成员节点之间的双向异步通信链路，推导出对称式非相干测距体制、测量算法、实现结构和设计方法。

本发明中的“双向异步通信信道”含义是：机群编队内的两成员节点A、B之间存在全双工无线通信信道，且双方发送带宽(基带符号速率)可以不相同。机群编队任务中的主节点(主机)向网内成员(从机)发送信息的信道定义为前向信道、机群编队的网内成员(从机)向主节点(主机)发送信息的信道定义为返向信道，一般任务中返向信道符号速率大于前向信道，一般为整数倍率关系，即：A发送码速率是B发送码速率的M倍，M取大于等于1的整数。

本发明中的“对称式”含义是：对于机群编队内任意两成员节点之间的距离测量，两本地终端在测量过程中地位、作用、结构原理和工作过程完全相同，均能通过非相干模式独立获得的本地伪距观测值和对方伪距观测值计算出二者相对距离。在机群链路的对称式非相干测距系统中，本地伪距观测值通过机群链路向测距对方广播共享。

本发明中的“非相干”含义是：机群编队内任意两成员节点相互独立地向对方发送结构相同的传输帧，基带符号速率为整数倍关系，节点本地基带时钟、发射载波频率由本地频率综合器产生，不与对方相参，双方无频率、相位关系约束。

一、机群链路的双向异步通信信道内实现透明测距与时间同步的原理

首先界定本发明的运动体之间(机间)的测量要素：任意时刻t的两运动体之间(机间)距离、速度、加速度、时间基准差(钟差)、频率基准差(频偏)，等等。一般称距离为基线，这里把空间、时间参数综合考虑，将传统的基线概念延拓到的运动体的空间-时间相对运动参数，包括了距离、钟差的各阶导数，将这些测量要素统称为广义基线。

狭义相对论时空观认为在匀速运动坐标系中三维空间几何距离(欧几里德距离)和时间间隔的测量将遵循Lorenz变换(对非匀速运动坐标系则应采用广义相对论)，本发明限于讨论地球固联坐标系和UTC时间系统联合定义的运动参考系(也可推广至非UTC时间系统)。对于低速宏观运动退化为Galileo变换，但时空物理量测量所遵循的原则不变。航空器作为低速宏观运动质点，相对论效应影响甚微可以形式上忽略。这里根据狭义相对论时空观和空间运动体之间的空间运动和时间-频率参数理论，给出用于推导双向异步传输帧非相干测距方法的四个原则：

①选择地固系和UTC时间系统定义为运动参考系，机群节点之间的基线测量结果不受运动参考系的选择而不同：

②机群节点之间空间运动参数测量遵循狭义相对论时空观的惯性系中的几何距离测量的同时性原则；

③机群节点之间的相对时间基准偏差(即：钟差、同步误差)定义为同时采样机群节点本地钟的钟面时差值，遵循狭义相对论时空观的惯性系中的相对时间-频率参数测量的同时性原则；

④两事件时间间隔测量遵循狭义相对论时空观的惯性系中时差测量同地性原则。

本发明提出的综合链路体制利用机间全双工通信链路在单载波统一信道中实现异步数据交互和双向非相干测距、测速、钟差测量、频偏测量，这种机间通信/基线测量综合链路体制具有如下四个特点：

①机群节点之间的数据交互与基线测量在单载波统一信道内综合实现，不额外配置专用基线测量设备，工作在异步全双工扩频模式，任意两机间通信/基线测量过程对其他节点透明；

②机群节点相互独立地向对方发送结构相同的传输帧，本地基带数据发送码时钟、发射载波频率由本地频率综合器产生，不与对方相参，发送方与接收方之间无频率、相位关系约束；

③机群节点相互独立地提取本地接收单元码跟踪环的历元计数器锁存值和本地时频基准标称值计算出历元形式(Epoch)的本地伪距，将其嵌入本地传输帧向对方发送；

④机群节点利用本地测量伪距和接收到对方经传输帧发来的伪距通过计算获得机间基线测量值和机群节点本地钟差，并实现时间同步调整。

机群节点在取样时刻提取的发送帧历元时与接收帧历元时代数差定义为本地伪距，包含此时刻机群节点之间的几何距离和本地钟面时偏差，二者需通过算法实现解耦。

二、机群链路双向异步通信/测距综合信道的数据协议

多数任务中机群编队组网的拓扑构形一般尺度不大(几十公里范围以内)，任意两成员节点最远距离一般在几十公里左右，因此机间通信链路可参考CCSDS Proximity-1近程空间链路通信协议蓝皮书建议(CCSDS 211.2-B-1、CCSDS 211.1-B-3、CCSDS 211.0-B-4)，参考Version-3的传输帧结构设计用于通信/基线测量综合体制的传输帧(图1)，包括：24bit的帧同步码ASM(0xFAF320)、40bit的结构固定数据帧导头header、长度小于16344bit的数据域、32bit的CRC校验码。CCSDS Proximity-1的Version-3传输帧支持异步/同步综合传输、等时/非等时综合传输、多路虚拟信道统计时分复用传输。数据域前部定义为勤务段，嵌入对应链路标识符、本地钟面时编码和本地伪距编码向对方发送。一般帧长固定，帧频为整数赫兹(一般在1Hz～20Hz)。

将本体制中的机间通信/基线测量综合链路设备称为：异步通信/测距终端(AsynchronousCommunication & Ranging Unit：ACRU)，假定机群编队网内的任意成员机群节点均配置了ACRU。以两颗机群节点A、B为研究对象，ACRU_A、ACRU_B各自独立地向对方发送CCSDS Proximity-1版本-3传输帧，两终端之间的发射载波及发送码时钟均互不相参。机群节点A和机群节点B的ACRU_A、ACRU_B分别于本地传输帧同步码前沿(或者后沿)的发送时刻采样本地时钟计数器、接收通道码跟踪环路的历元计数器，从当前接收对方传输帧的勤务段提取出对方帧同步码前沿发送时刻，并计算出历元形式的本地伪距值。ACRU_A、ACRU_B各自独立地利用本地测量伪距、本地钟面时、接收到对方经传输帧发来的对方本地伪距、对方本地钟面时，通过算法计算出机间距离、同步误差(钟差)、两终端采样时间间隔，进行时间同步调整。

三、机群链路双向异步通信信道的对称式非相干测距与时间同步方法描述

机群链路双向异步通信信道的对称式非相干测距与时间同步方法描述如下：

①机群编队成员节点配置机间异步通信/测距终端(Asynchronous Communication &Ranging Unit：ACRU)，两机之间的数据交互与基线测量在单载波统一信道内综合实现，不额外配置专用基线测量设备，任意两机间通信/基线测量过程对其他节点透明；

②两机相互独立地向对方发送结构相同的CCSDS Proximity-1版本-3传输帧，本地基带时钟、发射载波频率由本地频率综合器产生，不与对方相参，双方无频率、相位关系约束；

③两机分别于本地传输帧同步码前沿发送时刻提取本地接收单元码跟踪环路的历元计数值计算出历元形式(Epoch)的本地伪距，将其嵌入本地传输帧向对方发送；

④机群节点在取样时刻提取的发送帧历元时与接收帧历元时代数差定义为本地伪距，包含此时刻机群节点之间的几何距离和本地钟面时偏差，二者需通过算法实现解耦；

⑤两机各自独立地利用本地测量伪距和接收到对方经传输帧发来的伪距通过计算获得机间基线测量值。

在ACRU_A、ACRU_B的接收解扩/解调单元的载波跟踪环路、码跟踪环路对接收信号良好锁定、位同步帧同步条件下，ACRU_A、ACRU_B各自独立地于本地传输帧同步码前沿的发送时刻采样本地时钟计数器、接收通道码跟踪环路的历元计数器，从当前接收对方传输帧的勤务段提取出对方帧同步码前沿发送时刻，并计算出历元形式的本地伪距值。ACRU_A、ACRU_B各自独立地利用本地测量伪距、本地钟面时、接收到对方经传输帧发来的对方本地伪距、对方本地钟面时，计算出机间距离、两终端采样时间间隔。

图2的参数定义：①ACRU_A发送的传输帧同步码(0xFAF320)；②ACRU_A本地伪距测量值；③ACRU_B接收的传输帧同步码；④ACRU_B接收到的ACRU_A发出传输帧内的ACRU_A本地伪距测量值；⑤ACRU_B发送的传输帧同步码(0xFAF320)；⑥ACRU_B本地伪距测量值；⑦ACRU_A接收的传输帧同步码；⑧ACRU_A接收到的ACRU_B发出传输帧内的ACRU_B本地伪距测量值。

图3的参数定义：①ρ_A(t₁)：t₁时刻ACRU_A帧头采样获得的本地伪距；③ρ_B(t₂)：t₂时刻ACRU_B帧头采样获得的本地伪距；③τ_As：ACRU_A发送时延；④τ_Br：ACRU_B接收时延；⑤τ_Bs：ACRU_B发送时延；⑥τ_Ar：ACRU_A接收时延；⑦τ(t₁)：t₁时刻电波在ACRU_A与ACRU_B的天线相位中心之间传输时延；⑧τ(t₂)：t₂时刻电波在ACRU_A与ACRU_B的天线相位中心之间传输时延；⑨Δt：t₁时刻ACRU_A与ACRU_B之间的钟差。

三、机群链路双向异步通信信道的对称式非相干测距/时间同步算法

1、双向异步信道非相干测距的空间-时间参数测量原理

若把ACRU_B发出的传输帧看作码在机群节点A、机群节点B之间的一把电波尺，传输帧的历元就是电波尺刻度，能测量出机群节点某一瞬间几何距离(历元将作为测量读数)。与常规的静态条件下测量两物体之间距离的不同之处在于机群节点之间、机群节点和电波尺之间存在相互运动。此时，需要一个理想的“采样快门”来同时提取某一瞬间的电波尺码在ACRU_A和ACRU_B的刻度，计算出两颗机群节点在某一惯性参考系/UTC时间系统中这一瞬间的几何距离。

定义某一惯性参考系及时间系统(如：UTC时间)，令ACRU_A、ACRU_B各自采样时刻对应的为t₁、t₂，定义两终端的采样时间间隔为Δt＝t₂-t₁。在ACRU_A、ACRU_B的接收解扩/解调单元的载波跟踪环路、码跟踪环路对接收信号良好锁定、位同步帧同步条件下，ACRU_A、ACRU_B各自独立地提取当前时刻接收到的对方传输帧历元计数值和勤务段内的对方帧同步码前沿发送时刻，计算出采样时刻对应对方传输帧到达历元时(见图4)。

图4的参数定义说明：

(1)t₁：ACRU_A的本地理想采样时刻(UTC时间)，单位ns

(2)t_{A_send}(t₁)：t₁时刻被ACRU_A采样的本地传输帧发送历元时(帧同步码前沿)，单位ns；

(3)t_{B_arrive}：(t₁)：t₁时刻被ACRU_A采样的ACRU_B传输帧到达历元时，单位ns；

(4)t₂：ACRU_B的本地理想采样时刻(UTC时间)，单位ns；

(5)t_{B_send}(t₂)：t₂时刻被ACRU_B采样的本地传输帧发送历元时(帧同步码前沿)，单位ns；

(6)t_{A_arrive}(t₂)：t₂时刻被ACRU_B采样的ACRU_A传输帧到达历元时，单位ns；

(7)i：采样时刻提取的传输帧信息位计数，取值范围是0～M-1的整数；

(8)j：采样时刻提取的传输帧扩频码相位计数(码片计数)，取值范围是0～N-1的整数；

(9)k：采样时刻提取的传输帧扩频码片相位计数，取值范围是0～2^R-1的整数；

(10)Δt：UTC时间系统下ACRU_A、ACRU_B的采样时间间隔，定义：Δt＝t₂-t₁；

(11)M、N、R：帧长(信息位数)、扩频码长(码片数)、接收通道码跟踪环路NCO计数器位数；

(12)x、y、z、…：代表不同虚拟信道(用传输帧导头内端口标识符区分)的传输帧计数(帧序号)。

公式(1)定义了ACRU_A、ACRU_B的本地伪距ρ_A(t₁)、ρ_B(t₂)(单位：ns)：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\ρ}}_A\left(t_1\right)=t_{A\_\mathrm{send}}\left(t_1\right)-t_{B\_\mathrm{arrive}}\left(t_1\right)\\ {\mathrm{\ρ}}_B\left(t_2\right)=t_{B\_\mathrm{send}}\left(t_2\right)-t_{A\_\mathrm{arrive}}\left(t_2\right)\end{array}\right.---\left(1\right)$

公式(1)中的t_{A_send}(t₁)、t_{B_arrive}(t₁)、t_{B_send}(t₂)、t_{A_arrive}(t₂)由公式(2)计算：

$\left\{\begin{array}{c}{t}_{A\_\mathrm{send}}\left(t_1\right)=t_{A\_\mathrm{ASM}-\mathrm{send}}\\ t_{B\_\mathrm{arrive}}\left(t_1\right)=t_{B\_\mathrm{ASM}-\mathrm{arrive}}+[i_{B\_\mathrm{arrive}}\left(t_1\right)\·N+j_{B\_\mathrm{arrive}}\left(t_1\right)+k_{B\_\mathrm{arrive}}\left(t_1\right)/2^R]/f_{\mathrm{code}}\\ t_{B\_\mathrm{send}}\left(t_2\right)=t_{B\_\mathrm{ASM}-\mathrm{send}}\\ t_{A\_\mathrm{arrive}}\left(t_2\right)=t_{A\_\mathrm{ASM}-\mathrm{arrive}}+[i_{A\_\mathrm{arrive}}\left(t_2\right)\·N+j_{A\_\mathrm{arrive}}\left(t_2\right)+k_{A\_\mathrm{arrive}}\left(t_2\right)/2^R]/f_{\mathrm{code}}\end{array}\right.---\left(2\right)$

公式(2)中等式右方的各参数由ACRU_A、ACRU_B的本地测量获得并与对方共享，结合图1、图2的参数定义说明，给出公式(2)中的参数说明如下：

(1)i_{B_arrive}(t₁)：t₁时刻被ACRU_A采样的ACRU_B传输帧到达历元信息位计数；

(2)j_{B_arrive}(t₁)：t₁时刻被ACRU_A采样的ACRU_B传输帧到达历元扩频码相位计数；

(3)k_{B_arrive}(t₁)：t₁时刻被ACRU_A采样的ACRU_B传输帧到达历元扩频码片相位计数；

(4)t_{B_ASM-arrive}：t₁时刻ACRU_A接收到的当前ACRU_B传输帧勤务段中嵌入的本帧同步码前沿采样的ACRU_B本地钟面时；

(5)t_{A_ASM-send}：t₁时刻ACRU_A发出的本地传输帧同步码前沿采样的ACRU_A本地钟面时，即t₁时刻的ACRU_A本地钟面时；

(6)i_{A_arrive}(t₂)：t₂时刻被ACRU_B采样的ACRU_A传输帧到达历元信息位计数；

(7)j_{A_arrive}(t₂)：t₂时刻被ACRU_B采样的ACRU_A传输帧到达历元扩频码相位计数；

(8)k_{A_arrive}(t₂)：t₂时刻被ACRU_B采样的ACRU_A传输帧到达历元扩频码片相位计数；

(9)t_{A_ASM-arrive}：t₂时刻ACRU_B接收到的当前ACRU_A传输帧勤务段中嵌入的本帧同步码前沿采样的ACRU_A本地钟面时；

(10)t_{B_ASM-send}：t₂时刻ACRU_B发出的本地传输帧同步码前沿采样的ACRU_B本地钟面时，即t₂时刻的ACRU_B本地钟面时；

(11)f_code：为ACRU_A、ACRU_B的扩频码时钟(由本地时频基准产生)频率标称值。

异地非同时测量机群节点在给定惯性参考系/UTC时间系统中某一时刻的机间基线和钟差，需要建立几何距离、两终端本地钟差、采样时间间隔的关联公式，并对这三者进行解耦计算。下面给出双向异步传输帧非相干测距方法的算法构造及模型误差分析。

2、对称式非相干测距/时间同步算法的构造和模型误差分析

这里给出机间基线计算公式的推导。根据公式(1)进行恒等变换得：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\ρ}}_A\left(t_1\right)=t_{A\_\mathrm{send}}\left(t_1\right)-t_{B\_\mathrm{arrive}}\left(t_1\right)\\ =[t_{B\_\mathrm{send}}\left(t_1\right)-t_{B\_\mathrm{arrive}}\left(t_1\right)]+[t_{A\_\mathrm{send}}\left(t_1\right)-t_{B\_\mathrm{send}}\left(t_1\right)]\\ =[t_{B\_\mathrm{send}}\left(t_1\right)-t_{B\_\mathrm{arrive}}\left(t_1\right)]+[t_{B\_\mathrm{send}}\left(t_2\right)-t_{B\_\mathrm{send}}\left(t_1\right)]+[t_{A\_\mathrm{send}}\left(t_1\right)-t_{B\_\mathrm{send}}\left(t_2\right)]\\ {\mathrm{\ρ}}_B=t_{B\_\mathrm{send}}\left(t_2\right)-t_{A\_\mathrm{arrive}}\left(t_2\right)\\ =[t_{A\_\mathrm{send}}\left(t_2\right)-t_{A\_\mathrm{arrive}}\left(t_2\right)]-[t_{A\_\mathrm{send}}\left(t_2\right)-t_{B\_\mathrm{send}}\left(t_2\right)]\\ =[t_{A\_\mathrm{send}}\left(t_2\right)-t_{A\_\mathrm{arrive}}\left(t_2\right)]-[t_{A\_\mathrm{send}}\left(t_2\right)-t_{A\_\mathrm{send}}\left(t_1\right)]-[t_{A\_\mathrm{send}}\left(t_1\right)-t_{B\_\mathrm{send}}\left(t_2\right)]\end{array}\right.---\left(3\right)$

根据数字微波通信和无线电测距理论，经解析分析、推衍得公式(3)中“[…]”内各项如下：

$\left\{\begin{array}{c}{t}_{A\_\mathrm{send}}\left(t_1\right)-t_{B\_\mathrm{send}}\left(t_1\right)=\mathrm{\Δ}{t}_{\mathrm{AB}}\left(t_1\right)\\ t_{A\_\mathrm{send}}\left(t_2\right)-t_{B\_\mathrm{send}}\left(t_2\right)=\mathrm{\Δ}{t}_{\mathrm{AB}}\left(t_2\right)\end{array}\right.---\left(5\right)$

$\left\{\begin{array}{c}{t}_{B\_\mathrm{send}}\left(t_2\right)-t_{B\_\mathrm{send}}\left(t_1\right)=\frac{1}{f_{\mathrm{code}}}\·{\∫}_{t_1}^{t_2}{f}_B\left(t\right)\mathrm{dt}=\mathrm{\Δt}+{\∫}_{t_1}^{t_2}\frac{[f_B\left(t\right)-f_{\mathrm{code}}]}{f_{\mathrm{code}}}\mathrm{dt}=\mathrm{\Δt}+{\∫}_{t_1}^{t_2}\frac{\mathrm{\Δ}{f}_B\left(t\right)}{f_{\mathrm{code}}}\mathrm{dt}\\ t_{A\_\mathrm{send}}\left(t_2\right)-t_{A\_\mathrm{send}}\left(t_1\right)=\frac{1}{f_{\mathrm{code}}}\·\·{\∫}_{t_1}^{t_2}{f}_A\left(t\right)\mathrm{dt}=\mathrm{\Δt}+{\∫}_{t_1}^{t_2}\frac{[f_A\left(t\right)-f_{\mathrm{code}}]}{f_{\mathrm{code}}}\mathrm{dt}=\mathrm{\Δt}+{\∫}_{t_1}^{t_3}\frac{\mathrm{\Δ}{f}_A\left(t\right)}{f_{\mathrm{code}}}\mathrm{dt}\end{array}\right.---\left(6\right)$

t_{A_send}(t₁)-t_{B_send}(t₂)＝Δt_{AB_send}(t₂)＝t_{A_ASM-send}-t_{B_ASM-send}    (7)

公式(3)～公式(7)中的参数定义和解释说明如下：

①t_{B_send}(t₁)-t_{B_arrive}(t₁)代表了在惯性参考系/UTC时间系统中ACRU_B发出的传输帧在t₁时刻同一瞬间位于ACRU_B的发送历元时和位于ACRU_A的到达历元时之差，即：码在ACRU_B与ACRU_A两地的电波尺刻度差，它利用ACRU_B发出传输帧的历元值描述电波行程的时间间隔，这一间隔包括：t₁时刻机群节点天线相位中心之间的空间传输时延τ(t₁)、ACRU_B发送信号内部时延τ_{B_send-delay}、ACRU_A接收信号内部时延τ_{A_arrive-delay}，定义：τ_{BA_delay}＝τ_{B_send-delay}+τ_{A_arrive-delay}；

②t_{A_send}(t₂)-t_{A_arrive}(t₂)代表了在惯性参考系/UTC时间系统中ACRU_A发出的传输帧在t₂时刻同一瞬间位于ACRU_A的发送历元时和位于ACRU_B的到达历元时之差，即：码在ACRU_A与ACRU_B两地的电波尺刻度差，它利用ACRU_A发出传输帧的历元值描述电波行程的时间间隔，这一间隔包括：t₂时刻机群节点天线相位中心之间的空间传输时延τ(t₂)、ACRU_A发送信号内部时延τ_{A_send-delay}、ACRU_B接收信号内部时延τ_{B_arrive-delay}，定义：τ_{AB_delay}＝τ_{A_send-delay}+τ_{B_arrive-delay}；

③f_A(t)、f_B(t)为ACRU_A、ACRU_B的本地扩频码时钟频率的真值(由各自的本地频标产生)，f_code为本地扩频码时钟频率的标称值(名义值)，定义：Δf_A(t)＝f_A(t)-f_code、Δf_B(t)＝f_B(t)-f_code；

④t_{A_send}(t₁)-t_{B_send}(t₁)、t_{A_send}(t₂)-t_{B_send}(t₂)分别代表了在惯性参考系/UTC时间系统中在t₁、t₂时刻同一瞬间ACRU_A传输帧和ACRU_B传输帧的发送历元时之差，即：历元时表示的两本地钟的钟面时偏差(钟差，时间同步误差)，定义为：Δt_AB(t₁)＝t_{A_send}(t₁)-t_{B_send}(t₁)、Δt_AB(t₂)＝t_{A_send}(t₂)-t_{B_send}(t₂)，由于ACRU_A、ACRU_B的本地频标存在频差和钟漂，理论上Δt_AB(t₁)≠Δt_AB(t₂)，且t₂-t₁(即：Δt)越大二者相差越大，但能通过时间同步处理进行补偿和消除；

⑤t_{B_send}(t₂)-t_{B_send}(t₁)代表了ACRU_B发出的传输帧在t₁时刻的发送历元时与t₂的发送历元时之差，t_{A_send}(t₂)-t_{A_send}(t₁)代表了ACRU_A发出的传输帧在t₁时刻的发送历元时与t₂的发送历元时之差，分别为ACRU_B、ACRU_A本地历元时表示的采样时间间隔Δt(UTC时间)；

⑥t_{A_send}(t₁)-t_{B_send}(t₂)代表了t₁时刻被ACRU_A采样的本地发送帧历元时与t₂时刻被ACRU_B采样的本地发送帧历元时之算术差(历元时表示)，参见公式(7)。

将公式(4)～公式(7)带入公式(3)，得到公式(8)：

公式(3)～(8)的推导过程遵循狭义相对论时空观定义的时空物理量测量原则，将电波在两地之间传播这一异地不同时的物理过程解耦为同时不同地和同地不同时的物理过程，满足在惯性系内两物体之间几何距离测量的同时性要求和两事件时间间隔测量的同地性要求。

公式(8)给出了双向异步测距体制的ACRU_A、ACRU_B本地伪距公式，两终端分别将t_{A_send}(t₁)、p_A(t₁)和t_{B_send}(t₂)、p_B(t₂)编码后嵌入本地传输帧勤务段内对应位置向对方发送。两终端各自利用本地伪距、本地钟历元时和接收到对方的本地伪距、本地钟历元时，计算出机群节点在定义的惯性参考系/UTC时间系统中的几何距离、钟差、采样时间间隔，并实现时间同步。以t₁时刻的时空物理量求解为例推导计算公式(t₂同理)，将公式(8)中两式相加、相减并变换得：

设两颗机群节点之间相对速度为v(t)，根据刚体运动学理论，令：

$\mathrm{\Δ\τ}=0.5\·[\mathrm{\τ}\left(t_2\right)-\mathrm{\τ}\left(t_1\right)]=0.5\·{\∫}_{t_1}^{t_2}\frac{v\left(t\right)}{c}\mathrm{dt}---\left(10\right)$

利用公式(6)得：

$\mathrm{\Δ}{t}_{\mathrm{AB}}\left(t_2\right)-\mathrm{\Δ}{t}_{\mathrm{AB}}\left(t_1\right)={\∫}_{t_1}^{t_2}\frac{\mathrm{\Δ}{f}_A\left(t\right)-\mathrm{\Δ}{f}_B\left(t\right)}{f_{\mathrm{code}}}\mathrm{dt}={\∫}_{t_1}^{t_2}\frac{f_A\left(t\right)-f_B\left(t\right)}{f_{\mathrm{code}}}\mathrm{dt}---\left(11\right)$

定义：τ_delay+＝(τ_{AB_delay}+τ_{BA_delay})、τ_delay-＝(τ_{AB_delay}-τ_{BA_delay})为组合零值漂移，能够精确标定(一般标定后误差能够达到＜0.1ns)。令：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\τ}+}=0.5\·[{\∫}_{t_1-[\mathrm{\τ}\left(t_1\right)+{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{BA}\_\mathrm{delay}}]}^{t_1}\frac{\mathrm{\Δ}{f}_B\left(t\right)}{f_{\mathrm{code}}}\mathrm{dt}+{\∫}_{t_2-[\mathrm{\τ}\left(t_2\right)+{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{AB}\_\mathrm{delay}}]}^{t_2}\frac{\mathrm{\Δ}{f}_A\left(t\right)}{f_{\mathrm{code}}}\mathrm{dt}]\\ {\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\τ}-}=0.5\·[{\∫}_{t_1-[\mathrm{\τ}\left(t_1\right)+{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{BA}\_\mathrm{delay}}]}^{t_1}\frac{\mathrm{\Δ}{f}_A\left(t\right)}{f_{\mathrm{code}}}\mathrm{dt}-{\∫}_{\stackrel{}{t_2}-[\mathrm{\τ}\left(t_2\right)+{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{AB}\_\mathrm{delay}}]}^{t_2}\frac{\mathrm{\Δ}{f}_B\left(t\right)}{f_{\mathrm{code}}}\mathrm{dt}]\end{array}\right.---\left(12\right)$

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\Δ}{f}_A}={\∫}_{t_1}^{t_2}\frac{f_A\left(t\right)-f_{\mathrm{code}}}{f_{\mathrm{code}}}\mathrm{dt}={\∫}_{t_1}^{t_2}\frac{\mathrm{\Δ}{f}_A\left(t\right)}{f_{\mathrm{code}}}\mathrm{dt}\\ {\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\Δ}{f}_B}={\∫}_{t_1}^{t_2}\frac{f_B\left(t\right)-f_{\mathrm{code}}}{f_{\mathrm{code}}}\mathrm{dt}={\∫}_{t_1}^{t_2}\frac{\mathrm{\Δ}{f}_B\left(t\right)}{f_{\mathrm{code}}}\mathrm{dt}\\ {\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\Δ}{f}_{\mathrm{AB}+}}=0.5\·{\∫}_{t_1}^{t_2}\frac{\mathrm{\Δ}{f}_A\left(t\right)+\mathrm{\Δ}{f}_B\left(t\right)}{f_{\mathrm{code}}}\mathrm{dt}\\ {\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\Δ}{f}_{\mathrm{AB}-}}=0.5\·{\∫}_{t_1}^{t_2}\frac{\mathrm{\Δ}{f}_A\left(t\right)-\mathrm{\Δ}{f}_B\left(t\right)}{f_{\mathrm{code}}}\mathrm{dt}=0.5\·{\∫}_{t_1}^{t_2}\frac{f_A\left(t\right)-f_B\left(t\right)}{f_{\mathrm{code}}}\mathrm{dt}\end{array}\right.---\left(13\right)$

将公式(3.21)～公式(3.24)带入公式(3.20)得：

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\Δt}=0.5\·[{\mathrm{\ρ}}_A\left(t_1\right)-{\mathrm{\ρ}}_B\left(t_2\right)-2\·\mathrm{\Δ}{t}_{\mathrm{AB}\_\mathrm{send}}\left(t_2\right)+{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{delay}-}]+(\mathrm{\Δ\τ}-{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\Δ}{f}_{\mathrm{AB}+}}+{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\τ}-})\\ \mathrm{\Δ}{t}_{\mathrm{AB}}\left(t_1\right)=0.5\·[{\mathrm{\ρ}}_A\left(t_1\right)-{\mathrm{\ρ}}_B\left(t_2\right)+{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{delay}-}]+(\mathrm{\Δ\τ}-{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\Δ}{f}_{\mathrm{AB}-}}+{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\τ}-})\\ \mathrm{\τ}\left(t_1\right)=0.5\·[{\mathrm{\ρ}}_A\left(t_1\right)+{\mathrm{\ρ}}_B\left(t_2\right)-{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{delay}+}]-(\mathrm{\Δ\τ}-{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\Δ}{f}_{\mathrm{AB}-}}+{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\τ}+})\end{array}\right.---\left(14\right)$

或另一种等价形式：

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\Δt}=0.5\·[{\mathrm{\ρ}}_A\left(t_1\right)-{\mathrm{\ρ}}_B\left(t_2\right)-2\·\mathrm{\Δ}{t}_{\mathrm{AB}\_\mathrm{send}}\left(t_2\right)+{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{delay}-}]+(\mathrm{\Δ\τ}-{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\Δ}{f}_{\mathrm{AB}+}}+{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\τ}-})\\ \mathrm{\Δ}{t}_{\mathrm{AB}}\left(t_1\right)=\mathrm{\Δt}+\mathrm{\Δ}{t}_{\mathrm{AB}\_\mathrm{send}}\left(t_2\right)+{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\Δ}{f}_B}\\ \mathrm{\τ}\left(t_1\right)=0.5\·[{\mathrm{\ρ}}_A\left(t_1\right)+{\mathrm{\ρ}}_B\left(t_2\right)-{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{delay}+}]-(\mathrm{\Δ\τ}-{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\Δ}{f}_{\mathrm{AB}-}}+{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\τ}+})\end{array}\right.---\left(15\right)$

根据公式(10)～公式(13)经推导得：

$\left\{\begin{array}{cc}\left|\mathrm{\Δ\τ}\right|\≤\mathrm{\λ}\·\left|\mathrm{\Δt}\right|& (\mathrm{\λ}=\underset{t}{\max }\frac{\left|v\left(t\right)\right|}{2c})\\ \left|{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\Δ}{f}_A}\right|\≤\mathrm{\μ}\·\left|\mathrm{\Δt}\right|,\left|{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\Δ}{f}_B}\right|\≤\mathrm{\μ}\·\left|\mathrm{\Δt}\right|& (\mathrm{\μ}=\underset{t}{\max }[\frac{\left|\mathrm{\Δ}{f}_A\left(t\right)\right|}{f_{\mathrm{code}}},\frac{\left|\mathrm{\Δ}{f}_B\left(t\right)\right|}{f_{\mathrm{code}}}\left]\right)\\ \left|{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\Δ}{f}_{\mathrm{AB}+}}\right|\≤\mathrm{\μ}\·\left|\mathrm{\Δt}\right|,\left|{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\Δ}{f}_{\mathrm{AB}-}}\right|\≤\mathrm{\μ}\·\left|\mathrm{\Δt}\right|& \\ \left|{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\τ}+}\right|\≤\mathrm{\μ}\·\mathrm{\τ},\left|{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\τ}-}\right|\≤\mathrm{\μ}\·\mathrm{\τ}& (\mathrm{\τ}=\underset{t}{\max }[\mathrm{\τ}\left(t\right)\left]\right)\end{array}\right.---\left(16\right)$

公式(14)、公式(15)给出了t₁时刻机间基线、钟差、采样时间间隔的计算公式(t₂同理)。三个等式右边第一项(“0.5·[…]”内几项)作为算法输入量(各参数由测量、计算和地面标定获得)；第二项(“(…)”内几项)代表理论不确定项(算法的模型误差)。不确定项的影响与四个物理量相关：①本地频率基准的频率真值相对标称值的准确度/稳定度μ；②两终端采样时间间隔Δt；③两颗机群节点在t₁到t₂时间段内的相对运动速度v(t)；④机间几何距离c·τ(t)。结合公式(16)讨论如下：

①机群成员机群节点一般采用超稳晶振或者原子频标，具备优于μ≤1E-11的频率准确度/稳定度(短稳、长稳)指标；

②本体制遵循本地传输帧同步码前沿发出时刻与接收到对方传输帧同步码前沿时间间隔最近的原则实施两地伪距配对计算，这样采样时间间隔Δt最大不超过一个传输帧周期(机间通信帧频一般为1～20Hz，Δt≤1s)，且能够被准确测量并通过时间同步调整后收敛到0；

③由于机群编队构形调整时任意两成员飞机的相对速度将受到限制，一般|v(t)|＜1km/s(编队构形保持时则相对速度更低甚至相对静止)，则λ≤1.7E-6；

④机群用于动目标无源探测定位任务时，机群节点编队拓扑构形的尺度不会太大，成员机群节点一般分布在几十公里范围内，这里认为c·τ≤300km，即：τ≤0.001s，机间基线测量、钟差测量、采样时间间隔测量的算法模型误差跟机群节点的本地频标准确度/稳定度参数μ和机间几何距离τ(t)之积相关，μ·τ≤0.01ps@μ≤1E-11&τ≤300km。

结合公式(14)～公式(16)能够看出，当采样时间间隔Δt＝0时，其他因素引起的模型误差是≤0.1ps的微小量(相当于003mm的基线测量误差)。

因此，要彻底消除动态条件下机间异步体制的基线测量方法模型误差，可以有两种方法：

①机间精密时间同步使得两机钟差(时间同步误差、采样时间差)小于一给定量，即：|Δt|＜ε；

②通过对Δt内的载波多普勒频率积分计算出Δτ。下面分别展开两种方法的推导。

3、基于时间同步递推算法的异步测距误差抑制方法及残差分析

机群编队的动目标无源探测定位任务一般都需要实现机群组网时间同步，对于机群链路双向异步通信信道的非相干测距/时间同步系统，理论意义上的时间同步是满足Δt_AB(t)＝0ns、Δt＝0ns的理想条件，此时任意两终端ACRU_A、ACRU_B的本地传输帧同步码前沿发出时刻(即：本地采样时刻)理想重合且此时各自在本地采样的本地钟钟面时相同(即：同时发出的本地传输帧勤务段嵌入的本地钟钟面时编码相同)。实际操作中不易达到理想条件(钟漂因素将导致过于频繁的同步调整动作)，因此不必遵循如此苛刻的要求。考虑到成员机群节点装备超稳晶振或原子频标，任意两颗机群节点的钟差随时间变化比较缓慢，相当长一段时间内(分钟)钟差变化小于1ns，因此根据任务需求给定钟差阈值(如：Δt_AB(t)≤100ns、Δt≤100ns)，超出阈值时(或者定期)实施机间时间同步处理调整使机间钟差回归到某一目标值(如：Δt_AB(t)≤1ns、Δt≤1ns)。

机间测距和时间同步调整采用交替过程实施计算和时间同步调整，即：每步处理以帧周期为节拍，当前步利用本地传输帧同步码前沿采样发送帧和接收帧当前历元后，先根据公式(14)、公式(15)忽略算法的模型不确定项进行计算，再根据采样时间间隔和钟差的当前计算结果Δt(k)、Δt_AB(k)进行本次时间同步调整；到下一帧周期开始时再进行同样的下一步。利用公式(17)进行计算当前步的采样时间间隔、钟差、机间基线：

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}\tilde{t}\left(k\right)=0.5\·[{\mathrm{\ρ}}_A\left(k\right)-{\mathrm{\ρ}}_B\left(k\right)-2\·\mathrm{\Δ}{t}_{\mathrm{AB}\_\mathrm{send}}\left(k\right)+{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{delay}-}]\\ \mathrm{\Δ}{\tilde{t}}_{\mathrm{AB}}\left(k\right)=0.5\·[{\mathrm{\ρ}}_A\left(k\right)-{\mathrm{\ρ}}_B\left(k\right)+{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{delay}-}]\\ \widetilde{\mathrm{\τ}}\left(k\right)=0.5\·[{\mathrm{\ρ}}_A\left(k\right)+{\mathrm{\ρ}}_B\left(k\right)-{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{delay}+}]\end{array}\right.(k=\mathrm{1,2,3}...)---\left(17\right)$

利用公式(17)的计算结果进行同步调整后，根据公式(15)可得同步调整残差公式(18)：

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\Δt}(k+1)=\mathrm{\Δt}\left(k\right)-\mathrm{\Δ}\tilde{t}\left(k\right)=(\mathrm{\Δ\τ}-{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\Δ}{f}_{\mathrm{AB}+}}+{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\τ}-})\\ \mathrm{\Δ}{t}_{\mathrm{AB}}(k+1)=\mathrm{\Δ}{t}_{\mathrm{AB}}\left(k\right)-\mathrm{\Δ}{\tilde{t}}_{\mathrm{AB}}\left(k\right)=(\mathrm{\Δ\τ}-{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\Δ}{f}_{\mathrm{AB}-}}+{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\τ}-})\\ \mathrm{\δ\τ}\left(k\right)=\mathrm{\τ}\left(k\right)-\widetilde{\mathrm{\τ}}\left(k\right)=-(\mathrm{\Δ\τ}-{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\Δ}{f}_{\mathrm{AB}-}}+{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\τ}+})\end{array}\right.(k=\mathrm{1,2,3}...)---\left(18\right)$

从公式(18)看出：本次时间同步调整后，公式(15)的不确定项(算法模型误差项)成为本次时间同步调整的残差，即：Δt(k+1)、Δt_AB(k+1)，在下一帧周期中再次进行计算-同步调整过程中消除；δτ(k)为机间基线τ(k)的计算残差。结合公式(16)、公式(18)得：

$\left\{\begin{array}{c}\left|\mathrm{\Δt}(k+1)\right|\≤(\mathrm{\λ}+\mathrm{\μ})\·\left|\mathrm{\Δt}\left(k\right)\right|+\left|{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\τ}-}\right|=\mathrm{\β}\·\left|\mathrm{\Δt}\left(k\right)\right|+\left|{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\τ}-}\right|\\ \left|t_{\mathrm{AB}}(k+1)\right|\≤(\mathrm{\λ}+\mathrm{\μ})\·\left|\mathrm{\Δt}\left(k\right)\right|+\left|{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\τ}-}\right|=\mathrm{\β}\·\left|\mathrm{\Δt}\left(k\right)\right|+\left|{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\τ}-}\right|\\ \left|\mathrm{\δ\τ}\left(k\right)\right|\≤(\mathrm{\λ}+\mathrm{\μ})\·\left|\mathrm{\Δt}\left(k\right)\right|+\left|{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\τ}+}\right|=\mathrm{\β}\·\left|\mathrm{\Δt}\left(k\right)\right|+\left|{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\τ}+}\right|\end{array}\right.(\mathrm{\β}=\mathrm{\λ}+\mathrm{\μ},k=\mathrm{1,2,3}...)---\left(19\right)$

由公式(19)第一式经过恒等变换得：

|Δt(k+1)|-α·|δ_τ-|≤β·(|Δt(k)|-α·|δ_τ-|) $(\mathrm{\α}=\frac{1}{1-\mathrm{\β}},k=\mathrm{1,2,3}...)---\left(20\right)$

设 $\left|\mathrm{\Δt}\left(k\right)\right|\≥\mathrm{\α}\·\left|{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\τ}-}\right|(\∀k=\mathrm{1,2,3},...),$ 则有：

||Δt(k+1)|-α·|δ_τ-||≤β·||Δt(k)|-α·|δ_τ-|| $(\mathrm{\α}=\frac{1}{1-\mathrm{\β}},k=\mathrm{1,2,3}...)---\left(21\right)$

根据最优化算法理论，公式(21)给出的迭代算法是收敛因子为β(β＜＜1)的逼近算法，最终将收敛到α·|δ_τ-|。根据公式(21)、公式(19)、公式(16)可知：经几次计算-时间同步调整的迭代过程后两终端ACRU_A、ACRU_B的采样时间间隔Δt(k)的计算残差(测量误差、时间同步误差)将迅速收敛到α·|δ_τ-|：同时，钟差Δt_AB(k)的理论测量误差将收敛到β·(α·|δ_τ-|)+|δ_τ-|、机间基线τ(k)的理论测量误差δτ(k)将收敛到β·(α·|δ_τ-|)+|δ_τ+|。显然，Δt(k)、Δt_AB(k)、δτ(k)的理论测量误差为同一量级(均＜α·μ·τ)，前已讨论此残差为极微小量可以忽略(＜0.1ps)。

根据公式(21)分析收敛性能：设进行时间同步调整之前的初始值为Δt(i)(本地第i帧测量点)，则时间同步调整k次后Δt(i+k)(本地第i+k帧测量点)为：

||Δt(i+k)|-α·|δ_τ-||≤β^k||Δt(i)|-α·|δ_τ-|| $(\mathrm{\α}=\frac{1}{1-\mathrm{\β}},k=\mathrm{1,2,3}...)---\left(22\right)$

若初始值|Δt(i)|＝60s，α·|δ_τ-|＜0.1ps，β＝1.7E-6，则迭代计算-时间同步调整k＝2次后||Δt(i+2)|-0.1ps|≤173.4ps；k＝3次后||Δt(i+3)|-0.1ps|≤2.9578×10^-4ps≈0ps(残差小于收敛点一个量级以上就可以认为已收敛到目标值)，可见收敛速度极快。

4、基于多普勒积分补偿算法的异步测距误差抑制方法及残差分析

利用接收通道的载波跟踪环路的载波NCO连续估计载波多普勒频率，利用多普勒频率计算公式

$\frac{f_D\left(t\right)}{f_C}=\frac{v\left(t\right)}{c}---\left(23\right)$

公式(23)中：f_D(t)为载波多普勒频率、f_C为载波频率、v(t)为机间相对运动速度，带入公式(11)得：

$\mathrm{\Δ\τ}=0.5\·{\∫}_{t_1}^{t_2}\frac{v\left(t\right)}{c}\mathrm{dt}=\frac{1}{2f_C}\·{\∫}_{t_1}^{t_2}{f}_D\left(t\right)\mathrm{dt}=\frac{1}{2f_C}\·{\∫}_{t_2-\mathrm{\Δt}}^{t_2}{f}_D\left(t\right)\mathrm{dt}---\left(24\right)$

公式(24)给出了利用对t₁到t₂时间段(即：采样时间差Δt)的载波多普勒积分计算Δτ的公式。

公式(14)改写为：

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\Δt}=0.5\·[{\mathrm{\ρ}}_A\left(t_1\right)-{\mathrm{\ρ}}_B\left(t_2\right)-2\·\mathrm{\Δ}{t}_{\mathrm{AB}\_\mathrm{send}}\left(t_2\right)+{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{delay}-}+\mathrm{\Δ\τ}]-({\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\Δ}{f}_{\mathrm{AB}+}}-{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\τ}-})\\ \mathrm{\Δ}{t}_{\mathrm{AB}}\left(t_1\right)=0.5\·[{\mathrm{\ρ}}_A\left(t_1\right)-{\mathrm{\ρ}}_B\left(t_2\right)+{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{delay}-}+\mathrm{\Δ\τ}]-({\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\Δ}{f}_{\mathrm{AB}-}}-{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\τ}-})\\ \mathrm{\τ}\left(t_1\right)=0.5\·[{\mathrm{\ρ}}_A\left(t_1\right)+{\mathrm{\ρ}}_B\left(t_2\right)-{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{delay}+}-\mathrm{\Δ\τ}]+({\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\Δ}{f}_{\mathrm{AB}-}}-{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\τ}+})\end{array}\right.---\left(25\right)$

对公式(14)的Δt依据下式进行迭代计算：

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}\widehat{\mathrm{\τ}}\left(k\right)=\frac{1}{2f_C}\·{\∫}_{t_2-\mathrm{\Δ}\hat{t}(k-1)}^{t_2}{f}_D\left(t\right)\mathrm{dt}\\ \mathrm{\Δ}\hat{t}\left(k\right)=0.5\·[{\mathrm{\ρ}}_A\left(k\right)-{\mathrm{\ρ}}_B\left(k\right)-2\·\mathrm{\Δ}{t}_{\mathrm{AB}\_\mathrm{send}}\left(k\right)+{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{delay}-}+\mathrm{\Δ}\widehat{\mathrm{\τ}}\left(k\right)]\end{array}\right.(k=\mathrm{1,2,3}...)---\left(26\right)$

令： $\mathrm{\Δ}\hat{t}\left(0\right)=0,$ 则 $\mathrm{\Δ}\widehat{\mathrm{\τ}}\left(1\right)=0,$ $\mathrm{\Δ}\hat{t}\left(1\right)=0.5\·[{\mathrm{\ρ}}_A\left(1\right)-{\mathrm{\ρ}}_B\left(1\right)-2\·\mathrm{\Δ}{t}_{\mathrm{AB}\_\mathrm{send}}\left(1\right)+{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{delay}-}],$ 依次递推。由公式(25)、公式(26)推导得：

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\δ\Δ}\widehat{\mathrm{\τ}}\left(k\right)=\mathrm{\Δ\τ}-\mathrm{\Δ}\widehat{\mathrm{\τ}}\left(k\right)=\frac{1}{2f_C}\·{\∫}_{t_2-\mathrm{\Δt}}^{t_2-\mathrm{\Δ}\hat{t}(k-1)}{f}_D\left(t\right)\mathrm{dt}\\ \mathrm{\δ\Δ}\hat{t}\left(k\right)=\mathrm{\Δt}-\mathrm{\Δ}\hat{t}\left(k\right)=\mathrm{\δ\Δ\τ}\left(k\right)-({\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\Δ}{f}_{\mathrm{AB}+}}-{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\τ}-})\end{array}\right.(k=\mathrm{1,2,3}...)---\left(27\right)$

定义： $\sup \left(\right|{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\Δ}{f}_{\mathrm{AB}+}}|+|{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\τ}-}\left|\right)=\mathrm{\ϵ},$ 由公式(15)可知：ε≤μ·(τ+|Δt|)，利用公式(15)和公式(27)推导出：

$\left\{\begin{array}{c}\left|\mathrm{\δ\Δ}\widehat{\mathrm{\τ}}\left(k\right)\right|\≤\mathrm{\λ}\·\left|\mathrm{\δ\Δ}\widehat{\mathrm{\τ}}(k-1)\right|+\mathrm{\λ\ϵ}\\ \left|\mathrm{\δ\Δ}\hat{t}\left(k\right)\right|\≤\mathrm{\λ}\·\left|\mathrm{\δ}\widehat{\mathrm{\Δ}}(k-1)\right|+\mathrm{\ϵ}\end{array}\right.(k=1,\mathrm{2,3}...)---\left(28\right)$

令： ${\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{\Δt}}=\frac{1}{1-\mathrm{\λ}}\mathrm{\ϵ},$ ${\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{\Δ\τ}}=\frac{1}{1-\mathrm{\λ}}\mathrm{\ϵ},$ 由公式(28)得到公式(29)：

$\left\{\begin{array}{c}\left|\right|\mathrm{\δ\Δ}\widehat{\mathrm{\τ}}\left(k\right)|-{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{\Δ\τ}}|\≤\mathrm{\λ}\·\left|\right|\mathrm{\δ\Δ}\widehat{\mathrm{\τ}}(k-1)|-{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{\Δ\τ}}|\\ \left|\right|\mathrm{\δ\Δ}\hat{t}\left(k\right)|-{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{\Δ\τ}}|\≤\mathrm{\λ}\·\left|\right|\mathrm{\δ\Δ}\hat{t}(k-1)|-{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{\Δt}}|\end{array}\right.(k=1,\mathrm{2,3}...)---\left(29\right)$

即：

$\left\{\begin{array}{c}\left|\right|\mathrm{\δ\Δ}\widehat{\mathrm{\τ}}\left(k\right)|-{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{\Δ\τ}}|\≤{\mathrm{\λ}}^{k-1}\·\left|\right|\mathrm{\δ\Δ}\widehat{\mathrm{\τ}}\left(1\right)|-{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{\Δ\τ}}|\≤{\mathrm{\λ}}^k\·\left|\mathrm{\Δt}\right|\\ \left|\right|\mathrm{\δ\Δ}\hat{t}\left(k\right)|-{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{\Δ\τ}}|\≤{\mathrm{\λ}}^k\·\left|\right|\mathrm{\δ\Δ}\hat{t}\left(0\right)|-{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{\Δt}}|\≤{\mathrm{\λ}}^k\·\left|\mathrm{\Δt}\right|\end{array}\right.(k=1,\mathrm{2,3}...)---\left(30\right)$

由于公式(16)定义的λ≤1.7E-6，是一微小量，公式(30)经几次迭代后即收敛到0。因此，如果不实施机间时间同步，由于采样时间间隔Δt和频率基准偏差的存在，

的迭代计算残差(与真值的偏差)分别收敛到ε_Δt、ε_Δτ，均小于μ·(τ+|Δt|)，是一微小量。这种方法能在高动态条件下不进行时间同步时而获得高精度的基线测量结果，但要求采样时间间隔Δt不能太大，否则频率基准的偏差因素会占主导地位，因此适用于每次时间同步调整后到达同步调整阈值之前的同步间隔期内计算。

本发明一种机群链路双向异步通信信道的非相干测距/时间同步系统，其优先在于：

①本发明提供的机群链路多节点之间的测距与时间同步系统，较之相干转发测距体制、双向同步测距体制等现有测距体制，自主性和隐蔽性更强、抗损毁性更强、集成度与效率更高、精度更高。

②本发明在全双工异步通信信道内实现测距与时间同步，通信、测距功能综合在同一信道内共用终端的信号处理单元，在机群链路终端机的中频信号处理电路板上的DSP和FPGA器件上实现整个系统结构和算法，功能集成度高。

③本发明的方法中，机群编队内的两成员节点A、B之间存在全双工无线通信信道，且双方发送带宽可以不相同，更加适应机群编队成员节点间的异步数据交互任务，灵活性更强。

④本发明的方法中，在机群链路的对称式非相干测距系统中，本地伪距观测值通过机群链路向测距对方广播共享。对于机群编队内任意两成员节点之间的距离测量，两本地终端在测量过程中地位、作用、结构原理和工作过程完全相同，均能通过非相干模式独立获得的本地伪距观测值和对方伪距观测值计算出二者相对距离。因此较之相干转发测距体制，本发明的方法信噪比更高、抗干扰能力更强、能够支持单向测距、可靠性更高。

⑤本发明的方法中，机群编队内任意两成员节点相互独立地向对方发送结构相同的传输帧，基带符号速率为整数倍关系，节点本地基带时钟、发射载波频率由本地频率综合器产生，不与对方相参，双方无频率、相位关系约束。较之相干转发测距体制，本发明的方法信噪比更高、抗干扰能力更强、终端能够支持单向测距、可靠性更高。

⑥本发明为机群编队提供了一种无需外界信息辅助，能够实现机群编队的高精度时间同步的方法，并能够为惯性导航系统提供阻尼其发散的机群编队节点之间测距信息，无需任何外界信息辅助(如GPS)，且不依赖外部接入链路参与，具有更强的自主性、独立性和隐蔽性。

附图说明

图1所示为本发明Proximity-1链路协议定义的Version-3传输帧结构

图2所示为本发明ACRU_A、ACRU_B之间的传输帧格式与时序关系

图3所示为本发明异步传输帧非相干测距、测钟差的原理及时序关系

图4所示为本发明ACRU_A、ACRU_B之间异步测距原理及时序关系

具体实施方式

一种机群链路双向异步通信信道的非相干测距/时间同步系统，可以在机群链路终端机的中频信号处理电路板上的数字信号处理器DSP和FPGA器件上实现整个系统结构和算法。

本发明针对机群编队任务的自主性特点，构造了基于机群链路成员节点之间的双向异步通信链路，推导出对称式非相干测距体制、测量算法、实现结构和设计方法。

本发明中的“双向异步通信信道”含义是：机群编队内的两成员节点A、B之间存在全双工无线通信信道，且双方发送带宽(基带符号速率)可以不相同。机群编队任务中的主节点(主机)向网内成员(从机)发送信息的信道定义为前向信道、机群编队的网内成员(从机)向主节点(主机)发送信息的信道定义为返向信道，一般任务中返向信道符号速率大于前向信道，一般为整数倍率关系，即：A发送码速率是B发送码速率的M倍，M取大于等于1的整数。

本发明中的“对称式”含义是：对于机群编队内任意两成员节点之间的距离测量，两本地终端在测量过程中地位、作用、结构原理和工作过程完全相同，均能通过非相干模式独立获得的本地伪距观测值和对方伪距观测值计算出二者相对距离。在机群链路的对称式非相干测距系统中，本地伪距观测值通过机群链路向测距对方广播共享。

本发明中的“非相干”含义是：机群编队内任意两成员节点相互独立地向对方发送结构相同的传输帧，基带符号速率为整数倍关系，节点本地基带时钟、发射载波频率由本地频率综合器产生，不与对方相参，双方无频率、相位关系约束。一、机群链路的双向异步通信信道内实现透明测距与时间同步的原理

首先界定本发明的运动体之间(机间)的测量要素：任意时刻t的两运动体之间(机间)距离、速度、加速度、时间基准差(钟差)、频率基准差(频偏)，等等。一般称距离为基线，这里把空间、时间参数综合考虑，将传统的基线概念延拓到的运动体的空间-时间相对运动参数，包括了距离、钟差的各阶导数，将这些测量要素统称为广义基线。

狭义相对论时空观认为在匀速运动坐标系中三维空间几何距离(欧几里德距离)和时间间隔的测量将遵循Lorenz变换(对非匀速运动坐标系则应采用广义相对论)，本发明限于讨论地球固联坐标系和UTC时间系统联合定义的运动参考系(也可推广至非UTC时间系统)。对于低速宏观运动退化为Galileo变换，但时空物理量测量所遵循的原则不变。航空器作为低速宏观运动质点，相对论效应影响甚微可以形式上忽略。这里根据狭义相对论时空观和空间运动体之间的空间运动和时间-频率参数理论，给出用于推导双向异步传输帧非相干测距方法的四个原则：

①选择地固系和UTC时间系统定义为运动参考系，机群节点之间的基线测量结果不受运动参考系的选择而不同；

②机群节点之间空间运动参数测量遵循狭义相对论时空观的惯性系中的几何距离测量的同时性原则；

③机群节点之间的相对时间基准偏差(即：钟差、同步误差)定义为同时采样机群节点本地钟的钟面时差值，遵循狭义相对论时空观的惯性系中的相对时间-频率参数测量的同时性原则；

④两事件时间间隔测量遵循狭义相对论时空观的惯性系中时差测量同地性原则。

本发明提出的综合链路体制利用机间全双工通信链路在单载波统一信道中实现异步数据交互和双向非相干测距、测速、钟差测量、频偏测量，这种机间通信/基线测量综合链路体制具有如下四个特点：

①机群节点之间的数据交互与基线测量在单载波统一信道内综合实现，不额外配置专用基线测量设备，工作在异步全双工扩频模式，任意两机间通信/基线测量过程对其他节点透明；

②机群节点相互独立地向对方发送结构相同的传输帧，本地基带数据发送码时钟、发射载波频率由本地频率综合器产生，不与对方相参，发送方与接收方之间无频率、相位关系约束；

③机群节点相互独立地提取本地接收单元码跟踪环的历元计数器锁存值和本地时频基准标称值计算出历元形式(Epoch)的本地伪距，将其嵌入本地传输帧向对方发送；

④机群节点利用本地测量伪距和接收到对方经传输帧发来的伪距通过计算获得机间基线测量值和机群节点本地钟差，并实现时间同步调整。

机群节点在取样时刻提取的发送帧历元时与接收帧历元时代数差定义为本地伪距，包含此时刻机群节点之间的几何距离和本地钟面时偏差，二者需通过算法实现解耦。二、机群链路双向异步通信/测距综合信道的数据协议

多数任务中机群编队组网的拓扑构形一般尺度不大(几十公里范围以内)，任意两成员节点最远距离一般在几十公里左右，因此机间通信链路可参考CCSDS Proximity-1近程空间链路通信协议蓝皮书建议(CCSDS 211.2-B-1、CCSDS 211.1-B-3、CCSDS 211.0-B-4)，参考Version-3的传输帧结构设计用于通信/基线测量综合体制的传输帧(图1)，包括：24bit的帧同步码ASM(0xFAF320)、40bit的结构固定数据帧导头header、长度小于16344bit的数据域、32bit的CRC校验码。CCSDS Proximity-1的Version-3传输帧支持异步/同步综合传输、等时/非等时综合传输、多路虚拟信道统计时分复用传输。数据域前部定义为勤务段，嵌入对应链路标识符、本地钟面时编码和本地伪距编码向对方发送。一般帧长固定，帧频为整数赫兹(一般在1Hz～20Hz)。

将本体制中的机间通信/基线测量综合链路设备称为：异步通信/测距终端(AsynchronousCommunication & Ranging Unit：ACRU)，假定机群编队网内的任意成员机群节点均配置了ACRU。以两颗机群节点A、B为研究对象，ACRU_A、ACRU_B各自独立地向对方发送CCSDS Proximity-1版本-3传输帧，两终端之间的发射载波及发送码时钟均互不相参。机群节点A和机群节点B的ACRU_A、ACRU_B分别于本地传输帧同步码前沿(或者后沿)的发送时刻采样本地时钟计数器、接收通道码跟踪环路的历元计数器，从当前接收对方传输帧的勤务段提取出对方帧同步码前沿发送时刻，并计算出历元形式的本地伪距值。ACRU_A、ACRU_B各自独立地利用本地测量伪距、本地钟面时、接收到对方经传输帧发来的对方本地伪距、对方本地钟面时，通过算法计算出机间距离、同步误差(钟差)、两终端采样时间间隔，进行时间同步调整。

三、机群链路双向异步通信信道的对称式非相干测距与时间同步方法描述

机群链路双向异步通信信道的对称式非相干测距与时间同步方法描述如下：

①机群编队成员节点配置机间异步通信/测距终端(Asynchronous Communication &Ranging Unit：ACRU)，两机之间的数据交互与基线测量在单载波统一信道内综合实现，不额外配置专用基线测量设备，任意两机间通信/基线测量过程对其他节点透明；

②两机相互独立地向对方发送结构相同的CCSDS Proximity-1版本-3传输帧，本地基带时钟、发射载波频率由本地频率综合器产生，不与对方相参，双方无频率、相位关系约束；

③两机分别于本地传输帧同步码前沿发送时刻提取本地接收单元码跟踪环路的历元计数值计算出历元形式(Epoch)的本地伪距，将其嵌入本地传输帧向对方发送；

④机群节点在取样时刻提取的发送帧历元时与接收帧历元时代数差定义为本地伪距，包含此时刻机群节点之间的几何距离和本地钟面时偏差，二者需通过算法实现解耦；

⑤两机各自独立地利用本地测量伪距和接收到对方经传输帧发来的伪距通过计算获得机间基线测量值。

在ACRU_A、ACRU_B的接收解扩/解调单元的载波跟踪环路、码跟踪环路对接收信号良好锁定、位同步帧同步条件下，ACRU_A、ACRU_B各自独立地于本地传输帧同步码前沿的发送时刻采样本地时钟计数器、接收通道码跟踪环路的历元计数器，从当前接收对方传输帧的勤务段提取出对方帧同步码前沿发送时刻，并计算出历元形式的本地伪距值。ACRU_A、ACRU_B各自独立地利用本地测量伪距、本地钟面时、接收到对方经传输帧发来的对方本地伪距、对方本地钟面时，计算出机间距离、两终端采样时间间隔。

图2的参数定义：①ACRU_A发送的传输帧同步码(0xFAF320)；②ACRU_A本地伪距测量值；③ACRU_B接收的传输帧同步码；④ACRU_B接收到的ACRU_A发出传输帧内的ACRU_A本地伪距测量值；⑤ACRU_B发送的传输帧同步码(0xFAF320)；⑥ACRU_B本地伪距测量值；⑦ACRU_A接收的传输帧同步码；⑧ACRU_A接收到的ACRU_B发出传输帧内的ACRU_B本地伪距测量值。

图3的参数定义：①ρ_A(t₁)：t₁时刻ACRU_A帧头采样获得的本地伪距；②ρ_B(t₂)：t₂时刻ACRU_B帧头采样获得的本地伪距；③τ_As：ACRU_A发送时延；④τ_Br：ACRU_B接收时延；⑤τ_Bs：ACRU_B发送时延；⑥τ_Ar：ACRU_A接收时延；⑦τ(t₁)：t₁时刻电波在ACRU_A与ACRU_B的天线相位中心之间传输时延；⑧τ(t₂)：t₂时刻电波在ACRU_A与ACRU_B的天线相位中心之间传输时延；⑨Δt：t₁时刻ACRU_A与ACRU_B之间的钟差。

三、机群链路双向异步通信信道的对称式非相干测距/时间同步算法

1、双向异步信道非相干测距的空间-时间参数测量原理

若把ACRU_B发出的传输帧看作码在机群节点A、机群节点B之间的一把电波尺，传输帧的历元就是电波尺刻度，能测量出机群节点某一瞬间几何距离(历元将作为测量读数)。与常规的静态条件下测量两物体之间距离的不同之处在于机群节点之间、机群节点和电波尺之间存在相互运动。此时，需要一个理想的“采样快门”来同时提取某一瞬间的电波尺码在ACRU_A和ACRU_B的刻度，计算出两颗机群节点在某一惯性参考系/UTC时间系统中这一瞬间的几何距离。

定义某一惯性参考系及时间系统(如：UTC时间)，令ACRU_A、ACRU_B各自采样时刻对应的为t₁、t₂，定义两终端的采样时间间隔为Δt＝t₂-t₁。在ACRU_A、ACRU_B的接收解扩/解调单元的载波跟踪环路、码跟踪环路对接收信号良好锁定、位同步帧同步条件下，ACRU_A、ACRU_B各自独立地提取当前时刻接收到的对方传输帧历元计数值和勤务段内的对方帧同步码前沿发送时刻，计算出采样时刻对应对方传输帧到达历元时(见图4)。

图4的参数定义说明：

(1)t₁：ACRU_A的本地理想采样时刻(UTC时间)，单位ns；

(2)t_{A_send}(t₁)：t₁时刻被ACRU_A采样的本地传输帧发送历元时(帧同步码前沿)，单位ns；

(3)t_{B_arrive}(t₁)：t₁时刻被ACRU_A采样的ACRU_B传输帧到达历元时，单位ns；

(4)t₂：ACRU_B的本地理想采样时刻(UTC时间)，单位ns；

(5)t_{B_send}(t₂)：t₂时刻被ACRU_B采样的本地传输帧发送历元时(帧同步码前沿)，单位ns；

(6)t_{A_arrive}(t₂)：t₂时刻被ACRU_B采样的ACRU_A传输帧到达历元时，单位ns；

(7)i：采样时刻提取的传输帧信息位计数，取值范围是0～M-1的整数；

(8)j：采样时刻提取的传输帧扩频码相位计数(码片计数)，取值范围是0～N-1的整数；

(9)k：采样时刻提取的传输帧扩频码片相位计数，取值范围是0～2^R-1的整数；

(10)Δt：UTC时间系统下ACRU_A、ACRU_B的采样时间间隔，定义：Δt＝t₂-t₁；

(11)M、N、R：帧长(信息位数)、扩频码长(码片数)、接收通道码跟踪环路NCO计数器位数；

(12)x、y、z、…：代表不同虚拟信道(用传输帧导头内端口标识符区分)的传输帧计数(帧序号)。

公式(1)定义了ACRU_A、ACRU_B的本地伪距ρ_A(t₁)、ρ_B(t₂)(单位：ns)：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\ρ}}_A\left(t_1\right)=t_{A\_\mathrm{send}}\left(t_1\right)-t_{B\_\mathrm{arrive}}\left(t_1\right)\\ {\mathrm{\ρ}}_B\left(t_2\right)=t_{B\_\mathrm{send}}\left(t_2\right)-t_{A\_\mathrm{arrive}}\left(t_2\right)\end{array}\right.---\left(1\right)$

公式(1)中的t_{A_send}(t₁)、t_{B_arrive}(t₁)、t_{B_send}(t₂)、t_{A_arrive}(t₂)由公式(2)计算：

$\left\{\begin{array}{c}{t}_{A\_\mathrm{send}}\left(t_1\right)=t_{A\_\mathrm{ASM}-\mathrm{send}}\\ t_{B\_\mathrm{arrive}}\left(t_1\right)=t_{B\_\mathrm{ASM}-\mathrm{arrive}}+[i_{B\_\mathrm{arrive}}\left(t_1\right)\·N+j_{B\_\mathrm{arrive}}\left(t_1\right)+k_{B\_\mathrm{arrive}}\left(t_1\right)/2^R]/f_{\mathrm{code}}\\ t_{B\_\mathrm{send}}\left(t_2\right)=t_{B\_\mathrm{ASM}-\mathrm{send}}\\ t_{A\_\mathrm{arrive}}\left(t_2\right)=t_{A\_\mathrm{ASM}-\mathrm{arrive}}+[i_{A\_\mathrm{arrive}}\left(t_2\right)\·N+j_{A\_\mathrm{arrive}}\left(t_2\right)+k_{A\_\mathrm{arrive}}\left(t_2\right)/2^R]/f_{\mathrm{code}}\end{array}\right.---\left(2\right)$

公式(2)中等式右方的各参数由ACRU_A、ACRU_B的本地测量获得并与对方共享，结合图1、图2的参数定义说明，给出公式(2)中的参数说明如下：

(1)i_{B_arrive}(t₁)：t₁时刻被ACRU_A采样的ACRU_B传输帧到达历元信息位计数；

(2)j_{B_arrive}(t₁)：t₁时刻被ACRU_A采样的ACRU_B传输帧到达历元扩频码相位计数；

(3)k_{B_arrive}(t₁)：t₁时刻被ACRU_A采样的ACRU_B传输帧到达历元扩频码片相位计数；

(4)t_{B_ASM-arrive}：t₁时刻ACRU_A接收到的当前ACRU_B传输帧勤务段中嵌入的本帧同步码前沿采样的ACRU_B本地钟面时；

(5)t_{A_ASM-send}：t₁时刻ACRU_A发出的本地传输帧同步码前沿采样的ACRU_A本地钟面时，即t₁时刻的ACRU_A本地钟面时；

(6)i_{A_arrive}(t₂)：t₂时刻被ACRU_B采样的ACRU_A传输帧到达历元信息位计数；

(7)j_{A_arrive}(t₂)：t₂时刻被ACRU_B采样的ACRU_A传输帧到达历元扩频码相位计数；

(8)k_{A_arrive}(t₂)：t₂时刻被ACRU_B采样的ACRU_A传输帧到达历元扩频码片相位计数；

(9)t_{A_ASM-arrive}：t₂时刻ACRU_B接收到的当前ACRU_A传输帧勤务段中嵌入的本帧同步码前沿采样的ACRU_A本地钟面时；

(10)t_{B_ASM-send}：t₂时刻ACRU_B发出的本地传输帧同步码前沿采样的ACRU_B本地钟面时，即t₂时刻的ACRU_B本地钟面时；

(11)f_code：为ACRU_A、ACRU_B的扩频码时钟(由本地时频基准产生)频率标称值。

异地非同时测量机群节点在给定惯性参考系/UTC时间系统中某一时刻的机间基线和钟差，需要建立几何距离、两终端本地钟差、采样时间间隔的关联公式，并对这三者进行解耦计算。下面给出双向异步传输帧非相干测距方法的算法构造及模型误差分析。

2、对称式非相干测距/时间同步算法的构造和模型误差分析

这里给出机间基线计算公式的推导。根据公式(1)进行恒等变换得：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\ρ}}_A\left(t_1\right)=t_{A\_\mathrm{send}}\left(t_1\right)-t_{B\_\mathrm{arrive}}\left(t_1\right)\\ =[t_{B\_\mathrm{send}}\left(t_1\right)-t_{B\_\mathrm{arrive}}\left(t_1\right)]+[t_{A\_\mathrm{send}}\left(t_1\right)-t_{B\_\mathrm{send}}\left(t_1\right)]\\ =[t_{B\_\mathrm{send}}\left(t_1\right)-t_{B\_\mathrm{arrive}}\left(t_1\right)]+[t_{B\_\mathrm{send}}\left(t_2\right)-t_{B\_\mathrm{send}}\left(t_1\right)]+[t_{A\_\mathrm{send}}\left(t_1\right)-t_{B\_\mathrm{send}}\left(t_2\right)]\\ {\mathrm{\ρ}}_B=t_{B\_\mathrm{send}}\left(t_2\right)-t_{A\_\mathrm{arrive}}\left(t_2\right)\\ =[t_{A\_\mathrm{send}}\left(t_2\right)-t_{A\_\mathrm{arrive}}\left(t_2\right)]-[t_{A\_\mathrm{send}}\left(t_2\right)-t_{B\_\mathrm{send}}\left(t_2\right)]\\ =[t_{A\_\mathrm{send}}\left(t_2\right)-t_{A\_\mathrm{arrive}}\left(t_2\right)]-[t_{A\_\mathrm{send}}\left(t_2\right)-t_{A\_\mathrm{send}}\left(t_1\right)]-[t_{A\_\mathrm{send}}\left(t_1\right)-t_{B\_\mathrm{send}}\left(t_2\right)]\end{array}\right.---\left(3\right)$

根据数字微波通信和无线电测距理论，经解析分析、推衍得公式(3)中“[…]”内各项如下：

$\left\{\begin{array}{c}{t}_{A\_\mathrm{send}}\left(t_1\right)-t_{B\_\mathrm{send}}\left(t_1\right)=\mathrm{\Δ}{t}_{\mathrm{AB}}\left(t_1\right)\\ t_{A\_\mathrm{send}}\left(t_2\right)-t_{B\_\mathrm{send}}\left(t_2\right)=\mathrm{\Δ}{t}_{\mathrm{AB}}\left(t_2\right)\end{array}\right.---\left(5\right)$

$\left\{\begin{array}{c}{t}_{B\_\mathrm{send}}\left(t_2\right)-t_{B\_\mathrm{send}}\left(t_1\right)=\frac{1}{f_{\mathrm{code}}}\·{\∫}_{t_1}^{t_2}{f}_B\left(t\right)\mathrm{dt}=\mathrm{\Δt}+{\∫}_{t_1}^{t_2}\frac{[f_B\left(t\right)-f_{\mathrm{code}}]}{f_{\mathrm{code}}}\mathrm{dt}=\mathrm{\Δt}+{\∫}_{t_1}^{t_2}\frac{\mathrm{\Δ}{f}_B\left(t\right)}{f_{\mathrm{code}}}\mathrm{dt}\\ t_{A\_\mathrm{send}}\left(t_2\right)-t_{A\_\mathrm{send}}\left(t_1\right)=\frac{1}{f_{\mathrm{code}}}\·\·{\∫}_{t_1}^{t_2}{f}_A\left(t\right)\mathrm{dt}=\mathrm{\Δt}+{\∫}_{t_1}^{t_2}\frac{[f_A\left(t\right)-f_{\mathrm{code}}]}{f_{\mathrm{code}}}\mathrm{dt}=\mathrm{\Δt}+{\∫}_{t_1}^{t_3}\frac{\mathrm{\Δ}{f}_A\left(t\right)}{f_{\mathrm{code}}}\mathrm{dt}\end{array}\right.---\left(6\right)$

t_{A_send}(t₁)-t_{B_send}(t₂)＝Δt_{AB_send}(t₂)＝t_{A_ASM-send}-t_{B_ASM-send}    (7)

公式(3)～公式(7)中的参数定义和解释说明如下：

①t_{B_send}(t₁)-t_{B_arrive}(t₁)代表了在惯性参考系/UTC时间系统中ACRU_B发出的传输帧在t₁时刻同一瞬间位于ACRU_B的发送历元时和位于ACRU_A的到达历元时之差，即：码在ACRU_B与ACRU_A两地的电波尺刻度差，它利用ACRU_B发出传输帧的历元值描述电波行程的时间间隔，这一间隔包括：t₁时刻机群节点天线相位中心之间的空间传输时延τ(t₁)、ACRU_B发送信号内部时延τ_{B_send-delay}、ACRU_A接收信号内部时延τ_{A_arrive-delay}，定义：τ_{BA_delay}＝τ_{B_send-delay}+τ_{A_arrive-delay}；

②t_{A_send}(t₂)-t_{A_arrive}(t₂)代表了在惯性参考系/UTC时间系统中ACRU_A发出的传输帧在t₂时刻同一瞬间位于ACRU_A的发送历元时和位于ACRU_B的到达历元时之差，即：码在ACRU_A与ACRU_B两地的电波尺刻度差，它利用ACRU_A发出传输帧的历元值描述电波行程的时间间隔，这一间隔包括：t₂时刻机群节点天线相位中心之间的空间传输时延τ(t₂)、ACRU_A发送信号内部时延τ_{A_send-delay}、ACRU_B接收信号内部时延τ_{B_arrive-delay}，定义：τ_{AB_delay}＝τ_{A_send-delay}+τ_{B_arrive-delay}；

③f_A(t)、f_B(t)为ACRU_A、ACRU_B的本地扩频码时钟频率的真值(由各自的本地频标产生)，f_code为本地扩频码时钟频率的标称值(名义值)，定义：Δf_A(t)＝f_A(t)-f_code、Δf_B(t)＝f_B(t)-f_code；

④t_{A_send}(t₁)-t_{B_send}(t₁)、t_{A_send}(t₂)-t_{B_send}(t₂)分别代表了在惯性参考系/UTC时间系统中在t₁、t₂时刻同一瞬间ACRU_A传输帧和ACRU_B传输帧的发送历元时之差，即：历元时表示的两本地钟的钟面时偏差(钟差，时间同步误差)，定义为：Δt_AB(t₁)＝t_{A_send}(t₁)-t_{B_send}(t₁)、Δt_AB(t₂)＝t_{A_send}(t₂)-t_{B_send}(t₂)，由于ACRU_A、ACRU_B的本地频标存在频差和钟漂，理论上Δt_AB(t₁)≠Δt_AB(t₂)，且t₂-t₁(即：Δt)越大二者相差越大，但能通过时间同步处理进行补偿和消除；

⑤t_{B_send}(t₂)-t_{B_send}(t₁)代表了ACRU_B发出的传输帧在t₁时刻的发送历元时与t₂的发送历元时之差，t_{A_send}(t₂)-t_{A_send}(t₁)代表了ACRU_A发出的传输帧在t₁时刻的发送历元时与t₂的发送历元时之差，分别为ACRU_B、ACRU_A本地历元时表示的采样时间间隔Δt(UTC时间)；

⑥t_{A_send}(t₁)-t_{B_send}(t₂)代表了t₁时刻被ACRU_A采样的本地发送帧历元时与t₂时刻被ACRU_B采样的本地发送帧历元时之算术差(历元时表示)，参见公式(7)。

将公式(4)～公式(7)带入公式(3)，得到公式(8)：

公式(3)～(8)的推导过程遵循狭义相对论时空观定义的时空物理量测量原则，将电波在两地之间传播这一异地不同时的物理过程解耦为同时不同地和同地不同时的物理过程，满足在惯性系内两物体之间几何距离测量的同时性要求和两事件时间间隔测量的同地性要求。

公式(8)给出了双向异步测距体制的ACRU_A、ACRU_B本地伪距公式，两终端分别将t_{A_send}(t₁)、ρ_A(t₁)和t_{B_send}(t₂)、ρ_B(t₂)编码后嵌入本地传输帧勤务段内对应位置向对方发送。两终端各自利用本地伪距、本地钟历元时和接收到对方的本地伪距、本地钟历元时，计算出机群节点在定义的惯性参考系/UTC时间系统中的几何距离、钟差、采样时间间隔，并实现时间同步。以t₁时刻的时空物理量求解为例推导计算公式(t₂同理)，将公式(8)中两式相加、相减并变换得：

设两颗机群节点之间相对速度为v(t)，根据刚体运动学理论，令：

$\mathrm{\Δ\τ}=0.5\·[\mathrm{\τ}\left(t_2\right)-\mathrm{\τ}\left(t_1\right)]=0.5\·{\∫}_{t_1}^{t_2}\frac{v\left(t\right)}{c}\mathrm{dt}---\left(10\right)$

利用公式(6)得：

$\mathrm{\Δ}{t}_{\mathrm{AB}}\left(t_2\right)-\mathrm{\Δ}{t}_{\mathrm{AB}}\left(t_1\right)={\∫}_{t_1}^{t_2}\frac{\mathrm{\Δ}{f}_A\left(t\right)-\mathrm{\Δ}{f}_B\left(t\right)}{f_{\mathrm{code}}}\mathrm{dt}={\∫}_{t_1}^{t_2}\frac{f_A\left(t\right)-f_B\left(t\right)}{f_{\mathrm{code}}}\mathrm{dt}---\left(11\right)$

定义：τ_delay+＝(τ_{AB_delay}+τ_{BA_delay})、τ_delay-＝(τ_{AB_delay}-τ_{BA_delay})为组合零值漂移，能够精确标定(一般标定后误差能够达到＜0.1ns)。令：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\τ}+}=0.5\·[{\∫}_{t_1-[\mathrm{\τ}\left(t_1\right)+{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{BA}\_\mathrm{delay}}]}^{t_1}\frac{\mathrm{\Δ}{f}_B\left(t\right)}{f_{\mathrm{code}}}\mathrm{dt}+{\∫}_{t_2-[\mathrm{\τ}\left(t_2\right)+{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{AB}\_\mathrm{delay}}]}^{t_2}\frac{\mathrm{\Δ}{f}_A\left(t\right)}{f_{\mathrm{code}}}\mathrm{dt}]\\ {\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\τ}-}=0.5\·[{\∫}_{t_1-[\mathrm{\τ}\left(t_1\right)+{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{BA}\_\mathrm{delay}}]}^{t_1}\frac{\mathrm{\Δ}{f}_A\left(t\right)}{f_{\mathrm{code}}}\mathrm{dt}-{\∫}_{\stackrel{}{t_2}-[\mathrm{\τ}\left(t_2\right)+{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{AB}\_\mathrm{delay}}]}^{t_2}\frac{\mathrm{\Δ}{f}_B\left(t\right)}{f_{\mathrm{code}}}\mathrm{dt}]\end{array}\right.---\left(12\right)$

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\Δ}{f}_A}={\∫}_{t_1}^{t_2}\frac{f_A\left(t\right)-f_{\mathrm{code}}}{f_{\mathrm{code}}}\mathrm{dt}={\∫}_{t_1}^{t_2}\frac{\mathrm{\Δ}{f}_A\left(t\right)}{f_{\mathrm{code}}}\mathrm{dt}\\ {\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\Δ}{f}_B}={\∫}_{t_1}^{t_2}\frac{f_B\left(t\right)-f_{\mathrm{code}}}{f_{\mathrm{code}}}\mathrm{dt}={\∫}_{t_1}^{t_2}\frac{\mathrm{\Δ}{f}_B\left(t\right)}{f_{\mathrm{code}}}\mathrm{dt}\\ {\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\Δ}{f}_{\mathrm{AB}+}}=0.5\·{\∫}_{t_1}^{t_2}\frac{\mathrm{\Δ}{f}_A\left(t\right)+\mathrm{\Δ}{f}_B\left(t\right)}{f_{\mathrm{code}}}\mathrm{dt}\\ {\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\Δ}{f}_{\mathrm{AB}-}}=0.5\·{\∫}_{t_1}^{t_2}\frac{\mathrm{\Δ}{f}_A\left(t\right)-\mathrm{\Δ}{f}_B\left(t\right)}{f_{\mathrm{code}}}\mathrm{dt}=0.5\·{\∫}_{t_1}^{t_2}\frac{f_A\left(t\right)-f_B\left(t\right)}{f_{\mathrm{code}}}\mathrm{dt}\end{array}\right.---\left(13\right)$

将公式(3.21)～公式(3.24)带入公式(3.20)得：

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\Δt}=0.5\·[{\mathrm{\ρ}}_A\left(t_1\right)-{\mathrm{\ρ}}_B\left(t_2\right)-2\·\mathrm{\Δ}{t}_{\mathrm{AB}\_\mathrm{send}}\left(t_2\right)+{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{delay}-}]+(\mathrm{\Δ\τ}-{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\Δ}{f}_{\mathrm{AB}+}}+{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\τ}-})\\ \mathrm{\Δ}{t}_{\mathrm{AB}}\left(t_1\right)=0.5\·[{\mathrm{\ρ}}_A\left(t_1\right)-{\mathrm{\ρ}}_B\left(t_2\right)+{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{delay}-}]+(\mathrm{\Δ\τ}-{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\Δ}{f}_{\mathrm{AB}-}}+{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\τ}-})\\ \mathrm{\τ}\left(t_1\right)=0.5\·[{\mathrm{\ρ}}_A\left(t_1\right)+{\mathrm{\ρ}}_B\left(t_2\right)-{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{delay}+}]-(\mathrm{\Δ\τ}-{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\Δ}{f}_{\mathrm{AB}-}}+{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\τ}+})\end{array}\right.---\left(14\right)$

或另一种等价形式：

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\Δt}=0.5\·[{\mathrm{\ρ}}_A\left(t_1\right)-{\mathrm{\ρ}}_B\left(t_2\right)-2\·\mathrm{\Δ}{t}_{\mathrm{AB}\_\mathrm{send}}\left(t_2\right)+{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{delay}-}]+(\mathrm{\Δ\τ}-{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\Δ}{f}_{\mathrm{AB}+}}+{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\τ}-})\\ \mathrm{\Δ}{t}_{\mathrm{AB}}\left(t_1\right)=\mathrm{\Δt}+\mathrm{\Δ}{t}_{\mathrm{AB}\_\mathrm{send}}\left(t_2\right)+{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\Δ}{f}_B}\\ \mathrm{\τ}\left(t_1\right)=0.5\·[{\mathrm{\ρ}}_A\left(t_1\right)+{\mathrm{\ρ}}_B\left(t_2\right)-{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{delay}+}]-(\mathrm{\Δ\τ}-{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\Δ}{f}_{\mathrm{AB}-}}+{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\τ}+})\end{array}\right.---\left(15\right)$

根据公式(10)～公式(13)经推导得：

$\left\{\begin{array}{cc}\left|\mathrm{\Δ\τ}\right|\≤\mathrm{\λ}\·\left|\mathrm{\Δt}\right|& (\mathrm{\λ}=\underset{t}{\max }\frac{\left|v\left(t\right)\right|}{2c})\\ \left|{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\Δ}{f}_A}\right|\≤\mathrm{\μ}\·\left|\mathrm{\Δt}\right|,\left|{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\Δ}{f}_B}\right|\≤\mathrm{\μ}\·\left|\mathrm{\Δt}\right|& (\mathrm{\μ}=\underset{t}{\max }[\frac{\left|\mathrm{\Δ}{f}_A\left(t\right)\right|}{f_{\mathrm{code}}},\frac{\left|\mathrm{\Δ}{f}_B\left(t\right)\right|}{f_{\mathrm{code}}}\left]\right)\\ \left|{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\Δ}{f}_{\mathrm{AB}+}}\right|\≤\mathrm{\μ}\·\left|\mathrm{\Δt}\right|,\left|{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\Δ}{f}_{\mathrm{AB}-}}\right|\≤\mathrm{\μ}\·\left|\mathrm{\Δt}\right|& \\ \left|{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\τ}+}\right|\≤\mathrm{\μ}\·\mathrm{\τ},\left|{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\τ}-}\right|\≤\mathrm{\μ}\·\mathrm{\τ}& (\mathrm{\τ}=\underset{t}{\max }[\mathrm{\τ}\left(t\right)\left]\right)\end{array}\right.---\left(16\right)$

公式(14)、公式(15)给出了t₁时刻机间基线、钟差、采样时间间隔的计算公式(t₂同理)。三个等式右边第一项(“0.5·[…]”内几项)作为算法输入量(各参数由测量、计算和地面标定获得)；第二项(“(…)”内几项)代表理论不确定项(算法的模型误差)。不确定项的影响与四个物理量相关：①本地频率基准的频率真值相对标称值的准确度/稳定度μ；②两终端采样时间间隔Δt；③两颗机群节点在t₁到t₂时间段内的相对运动速度v(t)；④机间几何距离c·τ(t)。结合公式(16)讨论如下：

①机群成员机群节点一般采用超稳晶振或者原子频标，具备优于μ≤1E-11的频率准确度/稳定度(短稳、长稳)指标；

②本体制遵循本地传输帧同步码前沿发出时刻与接收到对方传输帧同步码前沿时间间隔最近的原则实施两地伪距配对计算，这样采样时间间隔Δt最大不超过一个传输帧周期(机间通信帧频一般为1～20Hz，Δt≤1s)，且能够被准确测量并通过时间同步调整后收敛到0；

③由于机群编队构形调整时任意两成员飞机的相对速度将受到限制，一般|v(t)|＜1km/s(编队构形保持时则相对速度更低甚至相对静止)，则λ≤17E-6；

④机群用于动目标无源探测定位任务时，机群节点编队拓扑构形的尺度不会太大，成员机群节点一般分布在几十公里范围内，这里认为c·τ≤300km，即：τ≤0.001s，机间基线测量、钟差测量、采样时间间隔测量的算法模型误差跟机群节点的本地频标准确度/稳定度参数μ和机间几何距离τ(t)之积相关，μ·τ≤0.01ps@μ≤1E-11&τ≤300km。

结合公式(14)～公式(16)能够看出，当采样时间间隔Δt＝0时，其他因素引起的模型误差是≤0.1ps的微小量(相当于0.03mm的基线测量误差)。

因此，要彻底消除动态条件下机间异步体制的基线测量方法模型误差，可以有两种方法：

①机间精密时间同步使得两机钟差(时间同步误差、采样时间差)小于一给定量，即：|Δt|＜ε；

②通过对Δt内的载波多普勒频率积分计算出Δτ。下面分别展开两种方法的推导。

3、基于时间同步递推算法的异步测距误差抑制方法及残差分析

机群编队的动目标无源探测定位任务一般都需要实现机群组网时间同步，对于机群链路双向异步通信信道的非相干测距/时间同步系统，理论意义上的时间同步是满足Δt_AB(t)＝0ns、Δt＝0ns的理想条件，此时任意两终端ACRU_A、ACRU_B的本地传输帧同步码前沿发出时刻(即：本地采样时刻)理想重合且此时各自在本地采样的本地钟钟面时相同(即：同时发出的本地传输帧勤务段嵌入的本地钟钟面时编码相同)。实际操作中不易达到理想条件(钟漂因素将导致过于频繁的同步调整动作)，因此不必遵循如此苛刻的要求。考虑到成员机群节点装备超稳晶振或原子频标，任意两颗机群节点的钟差随时间变化比较缓慢，相当长一段时间内(分钟)钟差变化小于1ns，因此根据任务需求给定钟差阈值(如：Δt_AB(t)≤100ns、Δt≤100ns)，超出阈值时(或者定期)实施机间时间同步处理调整使机间钟差回归到某一目标值(如：Δt_AB(t)≤1ns、Δt≤1ns)。

机间测距和时间同步调整采用交替过程实施计算和时间同步调整，即：每步处理以帧周期为节拍，当前步利用本地传输帧同步码前沿采样发送帧和接收帧当前历元后，先根据公式(14)、公式(15)忽略算法的模型不确定项进行计算，再根据采样时间间隔和钟差的当前计算结果Δt(k)、Δt_AB(k)进行本次时间同步调整；到下一帧周期开始时再进行同样的下一步。利

用公式(17)进行计算当前步的采样时间间隔、钟差、机间基线：

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}\tilde{t}\left(k\right)=0.5\·[{\mathrm{\ρ}}_A\left(k\right)-{\mathrm{\ρ}}_B\left(k\right)-2\·\mathrm{\Δ}{t}_{\mathrm{AB}\_\mathrm{send}}\left(k\right)+{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{delay}-}]\\ \mathrm{\Δ}{\tilde{t}}_{\mathrm{AB}}\left(k\right)=0.5\·[{\mathrm{\ρ}}_A\left(k\right)-{\mathrm{\ρ}}_B\left(k\right)+{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{delay}-}]\\ \widetilde{\mathrm{\τ}}\left(k\right)=0.5\·[{\mathrm{\ρ}}_A\left(k\right)+{\mathrm{\ρ}}_B\left(k\right)-{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{delay}+}]\end{array}\right.(k=\mathrm{1,2,3}...)---\left(17\right)$

利用公式(17)的计算结果进行同步调整后，根据公式(15)可得同步调整残差公式(18)：

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\Δt}(k+1)=\mathrm{\Δt}\left(k\right)-\mathrm{\Δ}\tilde{t}\left(k\right)=(\mathrm{\Δ\τ}-{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\Δ}{f}_{\mathrm{AB}+}}+{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\τ}-})\\ \mathrm{\Δ}{t}_{\mathrm{AB}}(k+1)=\mathrm{\Δ}{t}_{\mathrm{AB}}\left(k\right)-\mathrm{\Δ}{\tilde{t}}_{\mathrm{AB}}\left(k\right)=(\mathrm{\Δ\τ}-{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\Δ}{f}_{\mathrm{AB}-}}+{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\τ}-})\\ \mathrm{\δ\τ}\left(k\right)=\mathrm{\τ}\left(k\right)-\widetilde{\mathrm{\τ}}\left(k\right)=-(\mathrm{\Δ\τ}-{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\Δ}{f}_{\mathrm{AB}-}}+{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\τ}+})\end{array}\right.(k=\mathrm{1,2,3}...)---\left(18\right)$

从公式(18)看出：本次时间同步调整后，公式(15)的不确定项(算法模型误差项)成为本次时间同步调整的残差，即：Δt(k+1)、Δt_AB(k+1)，在下一帧周期中再次进行计算-同步调整过程中消除；δτ(k)为机间基线τ(k)的计算残差。结合公式(16)、公式(18)得：

$\left\{\begin{array}{c}\left|\mathrm{\Δt}(k+1)\right|\≤(\mathrm{\λ}+\mathrm{\μ})\·\left|\mathrm{\Δt}\left(k\right)\right|+\left|{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\τ}-}\right|=\mathrm{\β}\·\left|\mathrm{\Δt}\left(k\right)\right|+\left|{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\τ}-}\right|\\ \left|t_{\mathrm{AB}}(k+1)\right|\≤(\mathrm{\λ}+\mathrm{\μ})\·\left|\mathrm{\Δt}\left(k\right)\right|+\left|{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\τ}-}\right|=\mathrm{\β}\·\left|\mathrm{\Δt}\left(k\right)\right|+\left|{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\τ}-}\right|\\ \left|\mathrm{\δ\τ}\left(k\right)\right|\≤(\mathrm{\λ}+\mathrm{\μ})\·\left|\mathrm{\Δt}\left(k\right)\right|+\left|{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\τ}+}\right|=\mathrm{\β}\·\left|\mathrm{\Δt}\left(k\right)\right|+\left|{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\τ}+}\right|\end{array}\right.(\mathrm{\β}=\mathrm{\λ}+\mathrm{\μ},k=\mathrm{1,2,3}...)---\left(19\right)$

由公式(19)第一式经过恒等变换得：

|Δt(k+1)|-α·|δ_τ-|≤β·(|Δt(k)|-α·|δ_τ-|) $(\mathrm{\α}=\frac{1}{1-\mathrm{\β}},k=\mathrm{1,2,3}...)---\left(20\right)$

设 $\left|\mathrm{\Δt}\left(k\right)\right|\≥\mathrm{\α}\·\left|{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\τ}-}\right|(\∀k=\mathrm{1,2,3},...),$ 则有：

||Δt(k+1)|-α·|δ_τ-||≤β·||Δt(k)|-α·|δ_τ-|| $(\mathrm{\α}=\frac{1}{1-\mathrm{\β}},k=\mathrm{1,2,3}...)---\left(21\right)$

根据最优化算法理论，公式(21)给出的迭代算法是收敛因子为β(β＜＜1)的逼近算法，最终将收敛到α·|δ_τ-|。根据公式(21)、公式(19)、公式(16)可知：经几次计算-时间同步调整的迭代过程后两终端ACRU_A、ACRU_B的采样时间间隔Δt(k)的计算残差(测量误差、时间同步误差)将迅速收敛到α·|δ_τ-|；同时，钟差Δt_AB(k)的理论测量误差将收敛到β·(α·|δ_τ-|)+|δ_τ-|、机间基线τ(k)的理论测量误差δτ(k)将收敛到β·(α·|δ_τ-|)+|δ_τ+|。显然，Δt(k)、Δt_AB(k)、δτ(k)的理论测量误差为同一量级(均＜α·μ·τ)，前已讨论此残差为极微小量可以忽略(＜0.1ps)。

根据公式(21)分析收敛性能：设进行时间同步调整之前的初始值为Δt(i)(本地第i帧测量点)，则时间同步调整k次后Δt(i+k)(本地第i+k帧测量点)为：

||Δt(i十k)|-α·|δ_τ-||≤β^k||Δt(i)|-α·|δ_τ-|| $(\mathrm{\α}=\frac{1}{1-\mathrm{\β}},k=\mathrm{1,2,3}...)---\left(22\right)$

若初始值|Δt(i)|＝60s，α·|δ_τ-|＜0.1ps，β＝1.7E-6，则迭代计算-时间同步调整k＝2次后||Δt(i+2)|-0.1ps|≤173.4ps：k＝3次后||Δt(i+3)|-0.1ps|≤2.9578×10^-4ps≈0ps(残差小于收敛点一个量级以上就可以认为已收敛到目标值)，可见收敛速度极快。

4、基于多普勒积分补偿算法的异步测距误差抑制方法及残差分析

利用接收通道的载波跟踪环路的载波NCO连续估计载波多普勒频率，利用多普勒频率计算公式

$\frac{f_D\left(t\right)}{f_C}=\frac{v\left(t\right)}{c}---\left(23\right)$

公式(23)中：f_D(t)为载波多普勒频率、f_C为载波频率、v(t)为机间相对运动速度，带入公式(11)得：

$\mathrm{\Δ\τ}=0.5\·{\∫}_{t_1}^{t_2}\frac{v\left(t\right)}{c}\mathrm{dt}=\frac{1}{2f_C}\·{\∫}_{t_1}^{t_2}{f}_D\left(t\right)\mathrm{dt}=\frac{1}{2f_C}\·{\∫}_{t_2-\mathrm{\Δt}}^{t_2}{f}_D\left(t\right)\mathrm{dt}---\left(24\right)$

公式(24)给出了利用对t₁到t₂时间段(即：采样时间差Δt)的载波多普勒积分计算Δτ的公式。

公式(14)改写为：

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\Δt}=0.5\·[{\mathrm{\ρ}}_A\left(t_1\right)-{\mathrm{\ρ}}_B\left(t_2\right)-2\·\mathrm{\Δ}{t}_{\mathrm{AB}\_\mathrm{send}}\left(t_2\right)+{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{delay}-}+\mathrm{\Δ\τ}]-({\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\Δ}{f}_{\mathrm{AB}+}}-{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\τ}-})\\ \mathrm{\Δ}{t}_{\mathrm{AB}}\left(t_1\right)=0.5\·[{\mathrm{\ρ}}_A\left(t_1\right)-{\mathrm{\ρ}}_B\left(t_2\right)+{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{delay}-}+\mathrm{\Δ\τ}]-({\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\Δ}{f}_{\mathrm{AB}-}}-{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\τ}-})\\ \mathrm{\τ}\left(t_1\right)=0.5\·[{\mathrm{\ρ}}_A\left(t_1\right)+{\mathrm{\ρ}}_B\left(t_2\right)-{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{delay}+}-\mathrm{\Δ\τ}]+({\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\Δ}{f}_{\mathrm{AB}-}}-{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\τ}+})\end{array}\right.---\left(25\right)$

对公式(14)的Δt依据下式进行迭代计算：

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}\widehat{\mathrm{\τ}}\left(k\right)=\frac{1}{2f_C}\·{\∫}_{t_2-\mathrm{\Δ}\hat{t}(k-1)}^{t_2}{f}_D\left(t\right)\mathrm{dt}\\ \mathrm{\Δ}\hat{t}\left(k\right)=0.5\·[{\mathrm{\ρ}}_A\left(k\right)-{\mathrm{\ρ}}_B\left(k\right)-2\·\mathrm{\Δ}{t}_{\mathrm{AB}\_\mathrm{send}}\left(k\right)+{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{delay}-}+\mathrm{\Δ}\widehat{\mathrm{\τ}}\left(k\right)]\end{array}\right.(k=\mathrm{1,2,3}...)---\left(26\right)$

令： $\mathrm{\Δ}\hat{t}\left(0\right)=0,$ 则 $\mathrm{\Δ}\widehat{\mathrm{\τ}}\left(1\right)=0,$ $\mathrm{\Δ}\hat{t}\left(1\right)=0.5\·[{\mathrm{\ρ}}_A\left(1\right)-{\mathrm{\ρ}}_B\left(1\right)-2\·\mathrm{\Δ}{t}_{\mathrm{AB}\_\mathrm{send}}\left(1\right)+{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{delay}-}],$ 依次递推。由公式(25)、公式(26)推导得：

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\δ\Δ}\widehat{\mathrm{\τ}}\left(k\right)=\mathrm{\Δ\τ}-\mathrm{\Δ}\widehat{\mathrm{\τ}}\left(k\right)=\frac{1}{2f_C}\·{\∫}_{t_2-\mathrm{\Δt}}^{t_2-\mathrm{\Δ}\hat{t}(k-1)}{f}_D\left(t\right)\mathrm{dt}\\ \mathrm{\δ\Δ}\hat{t}\left(k\right)=\mathrm{\Δt}-\mathrm{\Δ}\hat{t}\left(k\right)=\mathrm{\δ\Δ\τ}\left(k\right)-({\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\Δ}{f}_{\mathrm{AB}+}}-{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\τ}-})\end{array}\right.(k=\mathrm{1,2,3}...)---\left(27\right)$

定义： $\sup \left(\right|{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\Δ}{f}_{\mathrm{AB}+}}|+|{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\τ}-}\left|\right)=\mathrm{\ϵ},$ 由公式(15)可知：ε≤μ·(τ+|Δt|)，利用公式(15)和公式(27)

推导出：

$\left\{\begin{array}{c}\left|\mathrm{\δ\Δ}\widehat{\mathrm{\τ}}\left(k\right)\right|\≤\mathrm{\λ}\·\left|\mathrm{\δ\Δ}\widehat{\mathrm{\τ}}(k-1)\right|+\mathrm{\λ\ϵ}\\ \left|\mathrm{\δ\Δ}\hat{t}\left(k\right)\right|\≤\mathrm{\λ}\·\left|\mathrm{\δ}\widehat{\mathrm{\Δ}}(k-1)\right|+\mathrm{\ϵ}\end{array}\right.(k=1,\mathrm{2,3}...)---\left(28\right)$

令： ${\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{\Δt}}=\frac{1}{1-\mathrm{\λ}}\mathrm{\ϵ},$ ${\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{\Δ\τ}}=\frac{1}{1-\mathrm{\λ}}\mathrm{\ϵ},$ 由公式(28)得到公式(29)：

$\left\{\begin{array}{c}\left|\right|\mathrm{\δ\Δ}\widehat{\mathrm{\τ}}\left(k\right)|-{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{\Δ\τ}}|\≤\mathrm{\λ}\·\left|\right|\mathrm{\δ\Δ}\widehat{\mathrm{\τ}}(k-1)|-{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{\Δ\τ}}|\\ \left|\right|\mathrm{\δ\Δ}\hat{t}\left(k\right)|-{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{\Δ\τ}}|\≤\mathrm{\λ}\·\left|\right|\mathrm{\δ\Δ}\hat{t}(k-1)|-{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{\Δt}}|\end{array}\right.(k=1,\mathrm{2,3}...)---\left(29\right)$

即：

$\left\{\begin{array}{c}\left|\right|\mathrm{\δ\Δ}\widehat{\mathrm{\τ}}\left(k\right)|-{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{\Δ\τ}}|\≤{\mathrm{\λ}}^{k-1}\·\left|\right|\mathrm{\δ\Δ}\widehat{\mathrm{\τ}}\left(1\right)|-{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{\Δ\τ}}|\≤{\mathrm{\λ}}^k\·\left|\mathrm{\Δt}\right|\\ \left|\right|\mathrm{\δ\Δ}\hat{t}\left(k\right)|-{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{\Δ\τ}}|\≤{\mathrm{\λ}}^k\·\left|\right|\mathrm{\δ\Δ}\hat{t}\left(0\right)|-{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{\Δt}}|\≤{\mathrm{\λ}}^k\·\left|\mathrm{\Δt}\right|\end{array}\right.(k=1,\mathrm{2,3}...)---\left(30\right)$

由于公式(16)定义的λ≤1.7E-6，是一微小量，公式(30)经几次迭代后即收敛到0。因此，如果不实施机间时间同步，由于采样时间间隔Δt和频率基准偏差的存在，

的迭代计算残差

(与真值的偏差)分别收敛到ε_Δt、ε_Δτ，均小于μ·(τ+|Δt|)，是一微小量。这种方法能在高动态条件下不进行时间同步时而获得高精度的基线测量结果，但要求采样时间间隔Δt不能太大，否则频率基准的偏差因素会占主导地位，因此适用于每次时间同步调整后到达同步调整阈值之前的同步间隔期内计算。

Claims (1)

1.一种机群链路双向异步通信信道的非相干测距/时间同步系统，是在机群链路终端机的中频信号处理电路板上的数字信号处理器DSP和FPGA器件上实现整个系统结构和方法；针对机群编队任务的自主性特点，构造了基于机群链路成员节点之间的双向异步通信链路，推导出对称式非相干测距体制、测量算法、实现结构和设计方法；其中“双向异步通信信道”含义是：机群编队内的两成员节点A、B之间存在全双工无线通信信道，且双方发送带宽(基带符号速率)可以不相同；机群编队任务中的主节点(主机)向网内成员(从机)发送信息的信道定义为前向信道、机群编队的网内成员(从机)向主节点(主机)发送信息的信道定义为返向信道，一般任务中返向信道符号速率大于前向信道，一般为整数倍率关系，即：A发送码速率是B发送码速率的M倍，M取大于等于1的整数；

其中“对称式”含义是：对于机群编队内任意两成员节点之间的距离测量，两本地终端在测量过程中地位、作用、结构原理和工作过程完全相同，均能通过非相干模式独立获得的本地伪距观测值和对方伪距观测值计算出二者相对距离；在机群链路的对称式非相干测距系统中，本地伪距观测值通过机群链路向测距对方广播共享；

其中“非相干”含义是：机群编队内任意两成员节点相互独立地向对方发送结构相同的传输帧，基带符号速率为整数倍关系，节点本地基带时钟、发射载波频率由本地频率综合器产生，不与对方相参，双方无频率、相位关系约束；

特征在于：

一、机群链路的双向异步通信信道内实现透明测距与时间同步的原理

首先界定本发明的运动体之间即机间的测量要素：任意时刻t的两运动体之间距离、速度、加速度、时间基准差即钟差、频率基准差即；一般称距离为基线，这里把空间、时间参数综合考虑，将传统的基线概念延拓到的运动体的空间-时间相对运动参数，包括了距离、钟差的各阶导数，将这些测量要素统称为广义基线；

这里根据狭义相对论时空观和空间运动体之间的空间运动和时间-频率参数理论，给出用于推导双向异步传输帧非相干测距方法的四个原则：

①选择地固系和UTC时间系统定义为运动参考系，机群节点之间的基线测量结果不受运动参考系的选择而不同；

②机群节点之间空间运动参数测量遵循狭义相对论时空观的惯性系中的几何距离测量的同时性原则；

③机群节点之间的相对时间基准偏差，即：钟差、同步误差，定义为同时采样机群节点本地钟的钟面时差值，遵循狭义相对论时空观的惯性系中的相对时间-频率参数测量的同时性原则；

④两事件时间间隔测量遵循狭义相对论时空观的惯性系中时差测量同地性原则；

综合链路体制利用机间全双工通信链路在单载波统一信道中实现异步数据交互和双向非相干测距、测速、钟差测量、频偏测量，这种机间通信/基线测量综合链路体制具有如下四个特点：

①机群节点之间的数据交互与基线测量在单载波统一信道内综合实现，不额外配置专用基线测量设备，工作在异步全双工扩频模式，任意两机间通信/基线测量过程对其他节点透明；

②机群节点相互独立地向对方发送结构相同的传输帧，本地基带数据发送码时钟、发射载波频率由本地频率综合器产生，不与对方相参，发送方与接收方之间无频率、相位关系约束；

③机群节点相互独立地提取本地接收单元码跟踪环的历元计数器锁存值和本地时频基准标称值计算出历元形式(Epoch)的本地伪距，将其嵌入本地传输帧向对方发送；

④机群节点利用本地测量伪距和接收到对方经传输帧发来的伪距通过计算获得机间基线测量值和机群节点本地钟差，并实现时间同步调整；

机群节点在取样时刻提取的发送帧历元时与接收帧历元时代数差定义为本地伪距，包含此时刻机群节点之间的几何距离和本地钟面时偏差，二者需通过算法实现解耦；

二、机群链路双向异步通信/测距综合信道的数据协议

多数任务中机群编队组网的拓扑构形一般尺度在几十公里范围以内，任意两成员节点最远距离一般在几十公里左右，因此机间通信链路可参考CCSDS Proximity-1近程空间链路通信协议蓝皮书建议，参考Version-3的传输帧结构设计用于通信/基线测量综合体制的传输帧，包括：24bit的帧同步码ASM(0xFAF320)、40bit的结构固定数据帧导头header、长度小于16344bit的数据域、32bit的CRC校验码；CCSDS Proximity-1的Version-3传输帧支持异步/同步综合传输、等时/非等时综合传输、多路虚拟信道统计时分复用传输；数据域前部定义为勤务段，嵌入对应链路标识符、本地钟面时编码和本地伪距编码向对方发送；一般帧长固定，帧频为整数赫兹，一般在1Hz～20Hz；

将本体制中的机间通信/基线测量综合链路设备称为：异步通信/测距终端即ACRU，假定机群编队网内的任意成员机群节点均配置了ACRU；以两颗机群节点A、B为研究对象，ACRU_A、ACRU_B各自独立地向对方发送CCSDS Proximity-1版本-3传输帧，两终端之间的发射载波及发送码时钟均互不相参；机群节点A和机群节点B的ACRU_A、ACRU_B分别于本地传输帧同步码前沿或后沿的发送时刻采样本地时钟计数器、接收通道码跟踪环路的历元计数器，从当前接收对方传输帧的勤务段提取出对方帧同步码前沿发送时刻，并计算出历元形式的本地伪距值；ACRU_A、ACRU_B各自独立地利用本地测量伪距、本地钟面时、接收到对方经传输帧发来的对方本地伪距、对方本地钟面时，通过算法计算出机间距离、同步误差、两终端采样时间间隔，进行时间同步调整；

三、机群链路双向异步通信信道的对称式非相干测距与时间同步方法

机群链路双向异步通信信道的对称式非相干测距与时间同步方法描述如下：

①机群编队成员节点配置机间异步通信/测距终端ACRU，两机之间的数据交互与基线测量在单载波统一信道内综合实现，不额外配置专用基线测量设备，任意两机间通信/基线测量过程对其他节点透明；

②两机相互独立地向对方发送结构相同的CCSDS Proximity-1版本-3传输帧，本地基带时钟、发射载波频率由本地频率综合器产生，不与对方相参，双方无频率、相位关系约束；

③两机分别于本地传输帧同步码前沿发送时刻提取本地接收单元码跟踪环路的历元计数值计算出历元形式的本地伪距，将其嵌入本地传输帧向对方发送；

④机群节点在取样时刻提取的发送帧历元时与接收帧历元时代数差定义为本地伪距，包含此时刻机群节点之间的几何距离和本地钟面时偏差，二者需通过算法实现解耦；

⑤两机各自独立地利用本地测量伪距和接收到对方经传输帧发来的伪距通过计算获得机间基线测量值；

在ACRU_A、ACRU_B的接收解扩/解调单元的载波跟踪环路、码跟踪环路对接收信号良好锁定、位同步帧同步条件下，ACRU_A、ACRU_B各自独立地于本地传输帧同步码前沿的发送时刻采样本地时钟计数器、接收通道码跟踪环路的历元计数器，从当前接收对方传输帧的勤务段提取出对方帧同步码前沿发送时刻，并计算出历元形式的本地伪距值；ACRU_A、ACRU_B各自独立地利用本地测量伪距、本地钟面时、接收到对方经传输帧发来的对方本地伪距、对方本地钟面时，计算出机间距离、两终端采样时间间隔；

三、机群链路双向异步通信信道的对称式非相干测距/时间同步算法

(i)、双向异步信道非相干测距的空间-时间参数测量原理

若把ACRU_B发出的传输帧看作码在机群节点A、机群节点B之间的一把电波尺，传输帧的历元就是电波尺刻度，能测量出机群节点某一瞬间几何距离，历元将作为测量读数，与常规的静态条件下测量两物体之间距离的不同之处在于机群节点之间、机群节点和电波尺之间存在相互运动；此时，需要一个理想的“采样快门”来同时提取某一瞬间的电波尺码在ACRU_A和ACRU_B的刻度，计算出两颗机群节点在某一惯性参考系/UTC时间系统中这一瞬间的几何距离；

定义某一惯性参考系及时间系统，令ACRU_A、ACRU_B各自采样时刻对应的为t₁、t₂，定义两终端的采样时间间隔为Δt＝t₂-t₁；在ACRU_A、ACRU_B的接收解扩/解调单元的载波跟踪环路、码跟踪环路对接收信号良好锁定、位同步帧同步条件下，ACRU_A、ACRU_B各自独立地提取当前时刻接收到的对方传输帧历元计数值和勤务段内的对方帧同步码前沿发送时刻，计算出采样时刻对应对方传输帧到达历元时；

公式(1)定义了ACRU_A、ACRU_B的本地伪距ρ_A(t₁)、ρ_B(t₂)(单位：ns)：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\ρ}}_A\left(t_1\right)=t_{A\_\mathrm{send}}\left(t_1\right)-t_{B\_\mathrm{arrive}}\left(t_1\right)\\ {\mathrm{\ρ}}_B\left(t_2\right)=t_{B\_\mathrm{send}}\left(t_2\right)-t_{A\_\mathrm{arrive}}\left(t_2\right)\end{array}\right.---\left(1\right)$

公式(1)中的t_{A_send}(t₁)、t_{B_arrive}(t₁)、t_{B_send}(t₂)、t_{A_arrive}(t₂)由公式(2)计算：

$\left\{\begin{array}{c}{t}_{A\_\mathrm{send}}\left(t_1\right)=t_{A\_\mathrm{ASM}-\mathrm{send}}\\ t_{B\_\mathrm{arrive}}\left(t_1\right)=t_{B\_\mathrm{ASM}-\mathrm{arrive}}+[i_{B\_\mathrm{arrive}}\left(t_1\right)\·N+j_{B\_\mathrm{arrive}}\left(t_1\right)+k_{B\_\mathrm{arrive}}\left(t_1\right)/2^R]/f_{\mathrm{code}}\\ t_{B\_\mathrm{send}}\left(t_2\right)=t_{B\_\mathrm{ASM}-\mathrm{send}}\\ t_{A\_\mathrm{arrive}}\left(t_2\right)=t_{A\_\mathrm{ASM}-\mathrm{arrive}}+[i_{A\_\mathrm{arrive}}\left(t_2\right)\·N+j_{A\_\mathrm{arrive}}\left(t_2\right)+k_{A\_\mathrm{arrive}}\left(t_2\right)/2^R]/f_{\mathrm{code}}\end{array}\right.---\left(2\right)$

公式(2)中等式右方的各参数由ACRU_A、ACRU_B的本地测量获得并与对方共享，公式(2)中的参数说明如下：

(1)i_{B_arrive}(t₁)：t₁时刻被ACRU_A采样的ACRU_B传输帧到达历元信息位计数；

(2)j_{B_arrive}(t₁)：t₁时刻被ACRU_A采样的ACRU_B传输帧到达历元扩频码相位计数；

(3)k_{B_arrive}(t₁)：t₁时刻被ACRU_A采样的ACRU_B传输帧到达历元扩频码片相位计数；

(4)t_{B_ASM-arrive}：t₁时刻ACRU_A接收到的当前ACRU_B传输帧勤务段中嵌入的本帧同步码前沿采样的ACRU_B本地钟面时；

(5)t_{A_ASM-send}：t₁时刻ACRU_A发出的本地传输帧同步码前沿采样的ACRU_A本地钟面时，即t₁时刻的ACRU_A本地钟面时；

(6)i_{A_arrive}(t₂)：t₂时刻被ACRU_B采样的ACRU_A传输帧到达历元信息位计数；

(7)j_{A_arrive}(t₂)：t₂时刻被ACRU_B采样的ACRU_A传输帧到达历元扩频码相位计数；

(8)k_{A_arrive}(t₂)：t₂时刻被ACRU_B采样的ACRU_A传输帧到达历元扩频码片相位计数；

(9)t_{A_ASM-arrive}：t₂时刻ACRU_B接收到的当前ACRU_A传输帧勤务段中嵌入的本帧同步码前沿采样的ACRU_A本地钟面时；

(10)t_{B_ASM-send}：t₂时刻ACRU_B发出的本地传输帧同步码前沿采样的ACRU_B本地钟面时，即t₂时刻的ACRU_B本地钟面时；

(11)f_code：为ACRU_A、ACRU_B的扩频码时钟频率标称值；

异地非同时测量机群节点在给定惯性参考系/UTC时间系统中某一时刻的机间基线和钟差，需要建立几何距离、两终端本地钟差、采样时间间隔的关联公式，并对这三者进行解耦计算；下面给出双向异步传输帧非相干测距方法的算法构造及模型误差分析；

(ii)、对称式非相干测距/时间同步算法的构造和模型误差分析

这里给出机间基线计算公式的推导；根据公式(1)进行恒等变换得：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\ρ}}_A\left(t_1\right)=t_{A\_\mathrm{send}}\left(t_1\right)-t_{B\_\mathrm{arrive}}\left(t_1\right)\\ =[t_{B\_\mathrm{send}}\left(t_1\right)-t_{B\_\mathrm{arrive}}\left(t_1\right)]+[t_{A\_\mathrm{send}}\left(t_1\right)-t_{B\_\mathrm{send}}\left(t_1\right)]\\ =[t_{B\_\mathrm{send}}\left(t_1\right)-t_{B\_\mathrm{arrive}}\left(t_1\right)]+[t_{B\_\mathrm{send}}\left(t_2\right)-t_{B\_\mathrm{send}}\left(t_1\right)]+[t_{A\_\mathrm{send}}\left(t_1\right)-t_{B\_\mathrm{send}}\left(t_2\right)]\\ {\mathrm{\ρ}}_B\left(t_2\right)=t_{B\_\mathrm{send}}\left(t_2\right)-t_{A\_\mathrm{arrive}}\left(t_2\right)\\ =[t_{A\_\mathrm{send}}\left(t_2\right)-t_{A\_\mathrm{arrive}}\left(t_2\right)]-[t_{A\_\mathrm{send}}\left(t_2\right)-t_{B\_\mathrm{send}}\left(t_2\right)]\\ =[t_{A\_\mathrm{send}}\left(t_2\right)-t_{A\_\mathrm{arrive}}\left(t_2\right)]-[t_{A\_\mathrm{send}}\left(t_2\right)-t_{A\_\mathrm{send}}\left(t_1\right)]-[t_{A\_\mathrm{send}}\left(t_1\right)-t_{B\_\mathrm{send}}\left(t_2\right)]\end{array}\right.---\left(3\right)$

根据数字微波通信和无线电测距理论，经解析分析、推衍得公式(3)中“[...]”内各项如下：

$\left\{\begin{array}{c}{t}_{A\_\mathrm{send}}\left(t_1\right)-t_{B\_\mathrm{send}}\left(t_1\right)=\mathrm{\Δ}{t}_{\mathrm{AB}}\left(t_1\right)\\ t_{A\_\mathrm{send}}\left(t_2\right)-t_{B\_\mathrm{send}}\left(t_2\right)=\mathrm{\Δ}{t}_{\mathrm{AB}}\left(t_2\right)\end{array}\right.---\left(5\right)$

$\left\{\begin{array}{c}{t}_{B\_\mathrm{send}}\left(t_2\right)-t_{B\_\mathrm{send}}\left(t_1\right)=\frac{1}{f_{\mathrm{code}}}\·{\∫}_{t_1}^{t_2}{f}_B\left(t\right)\mathrm{dt}=\mathrm{\Δt}+{\∫}_{t_1}^{t_2}\frac{[f_B\left(t\right)-f_{\mathrm{code}}]}{f_{\mathrm{code}}}\mathrm{dt}=\mathrm{\Δt}+{\∫}_{t_1}^{t_2}\frac{\mathrm{\Δ}{f}_B\left(t\right)}{f_{\mathrm{code}}}\mathrm{dt}\\ t_{A\_\mathrm{send}}\left(t_2\right)-t_{A\_\mathrm{send}}\left(t_1\right)=\frac{1}{f_{\mathrm{code}}}\·\·{\∫}_{t_1}^{t_2}{f}_A\left(t\right)\mathrm{dt}=\mathrm{\Δt}+{\∫}_{t_1}^{t_2}\frac{[f_A\left(t\right)-f_{\mathrm{code}}]}{f_{\mathrm{code}}}\mathrm{dt}=\mathrm{\Δt}+{\∫}_{t_1}^{t_3}\frac{\mathrm{\Δ}{f}_A\left(t\right)}{f_{\mathrm{code}}}\mathrm{dt}\end{array}\right.---\left(6\right)$

t_{A_send}(t₁)-t_{B_send}(t₂)＝Δt_{AB_send}(t₂)＝t_{A_ASM-send}-t_{B_ASM-send}       (7)

公式(3)～公式(7)中的参数定义和解释说明如下：

①t_{B_send}(t₁)-t_{B_arrive}(t₁)代表了在惯性参考系/UTC时间系统中ACRU_B发出的传输帧在t₁时刻同一瞬间位于ACRU_B的发送历元时和位于ACRU_A的到达历元时之差，即：码在ACRU_B与ACRU_A两地的电波尺刻度差，它利用ACRU_B发出传输帧的历元值描述电波行程的时间间隔，这一间隔包括：t₁时刻机群节点天线相位中心之间的空间传输时延τ(t₁)、ACRU_B发送信号内部时延τ_{B_send-delay}、ACRU_A接收信号内部时延τ_{A_arrive-delay}，定义：τ_{BA_delay}＝τ_{B_send-delay}+τ_{A_arrive-delay}；

②t_{A_send}(t₂)-t_{A_arrive}(t₂)代表了在惯性参考系/UTC时间系统中ACRU_A发出的传输帧在t₂时刻同一瞬间位于ACRU_A的发送历元时和位于ACRU_B的到达历元时之差，即：码在ACRU_A与ACRU_B两地的电波尺刻度差，它利用ACRU_A发出传输帧的历元值描述电波行程的时间间隔，这一间隔包括：t₂时刻机群节点天线相位中心之间的空间传输时延τ(t₂)、ACRU_A发送信号内部时延τ_{A_send-delay}、ACRU_B接收信号内部时延τ_{B_arrive-delay}，定义：τ_{AB_delay}＝τ_{A_send-delay}+τ_{B_arrive-delay}；

③f_A(t)、f_B(t)为ACRU_A、ACRU_B的本地扩频码时钟频率的真值(由各自的本地频标产生)，f_code为本地扩频码时钟频率的标称值(名义值)，定义：Δf_A(t)＝f_A(t)-f_code、Δf_B(t)＝f_B(t)-f_code；

④t_{A_send}(t₁)-t_{B_send}(t₁)、t_{A_send}(t₂)-t_{B_send}(t₂)分别代表了在惯性参考系/UTC时间系统中在t₁、t₂时刻同一瞬间ACRU_A传输帧和ACRU_B传输帧的发送历元时之差，即：历元时表示的两本地钟的钟面时偏差(钟差，时间同步误差)，定义为：Δt_AB(t₁)＝t_{A_send}(t₁)-t_{B_send}(t₁)、Δt_AB(t₂)＝t_{A_send}(t₂)-t_{B_send}(t₂)，由于ACRU_A、ACRU_B的本地频标存在频差和钟漂，理论上Δt_AB(t₁)≠Δt_AB(t₂)，且t₂-t₁(即：Δt)越大二者相差越大，但能通过时间同步处理进行补偿和消除；

⑤t_{B_send}(t₂)-t_{B_send}(t₁)代表了ACRU_B发出的传输帧在t₁时刻的发送历元时与t₂的发送历元时之差，t_{A_send}(t₂)-t_{A_send}(t₁)代表了ACRU_A发出的传输帧在t₁时刻的发送历元时与t₂的发送历元时之差，分别为ACRU_B、ACRU_A本地历元时表示的采样时间间隔Δt(UTC时间)；

⑥t_{A_send}(t₁)-t_{B_send}(t₂)代表了t₁时刻被ACRU_A采样的本地发送帧历元时与t₂时刻被ACRU_B采样的本地发送帧历元时之算术差(历元时表示)，参见公式(7)；

将公式(4)～公式(7)带入公式(3)，得到公式(8)：

公式(3)～(8)的推导过程遵循狭义相对论时空观定义的时空物理量测量原则，将电波在两地之间传播这一异地不同时的物理过程解耦为同时不同地和同地不同时的物理过程，满足在惯性系内两物体之间几何距离测量的同时性要求和两事件时间间隔测量的同地性要求；

公式(8)给出了双向异步测距体制的ACRU_A、ACRU_B本地伪距公式，两终端分别将t_{A_send}(t₁)、ρ_A(t₁)和t_{B_send}(t₂)、ρ_B(t₂)编码后嵌入本地传输帧勤务段内对应位置向对方发送；两终端各自利用本地伪距、本地钟历元时和接收到对方的本地伪距、本地钟历元时，计算出机群节点在定义的惯性参考系/UTC时间系统中的几何距离、钟差、采样时间间隔，并实现时间同步；以t₁时刻的时空物理量求解为例推导计算公式(t₂同理)，将公式(8)中两式相加、相减并变换得：

设两颗机群节点之间相对速度为v(t)，根据刚体运动学理论，令：

$\mathrm{\Δ\τ}=0.5\·[\mathrm{\τ}\left(t_2\right)-\mathrm{\τ}\left(t_1\right)]=0.5\·{\∫}_{t_1}^{t_2}\frac{v\left(t\right)}{c}\mathrm{dt}---\left(10\right)$

利用公式(6)得：

$\mathrm{\Δ}{t}_{\mathrm{AB}}\left(t_2\right)-\mathrm{\Δ}{t}_{\mathrm{AB}}\left(t_1\right)={\∫}_{t_1}^{t_2}\frac{\mathrm{\Δ}{f}_A\left(t\right)-\mathrm{\Δ}{f}_B\left(t\right)}{f_{\mathrm{code}}}\mathrm{dt}={\∫}_{t_1}^{t_2}\frac{f_A\left(t\right)-f_B\left(t\right)}{f_{\mathrm{code}}}\mathrm{dt}---\left(11\right)$

定义：τ_delay+＝(τ_{AB_delay}+τ_{BA_delay})、τ_delay-＝(τ_{AB_delay}-τ_{BA_delay})为组合零值漂移，能够精确标定(一般标定后误差能够达到＜0.1ns)；令：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\τ}+}=0.5\·[{\∫}_{t_1-[\mathrm{\τ}\left(t_1\right)+{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{BA}\_\mathrm{delay}}]}^{t_1}\frac{\mathrm{\Δ}{f}_B\left(t\right)}{f_{\mathrm{code}}}\mathrm{dt}+{\∫}_{t_2-[\mathrm{\τ}\left(t_2\right)+{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{AB}\_\mathrm{delay}}]}^{t_2}\frac{\mathrm{\Δ}{f}_A\left(t\right)}{f_{\mathrm{code}}}\mathrm{dt}]\\ {\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\τ}-}=0.5\·[{\∫}_{t_1-[\mathrm{\τ}\left(t_1\right)+{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{BA}\_\mathrm{delay}}]}^{t_1}\frac{\mathrm{\Δ}{f}_A\left(t\right)}{f_{\mathrm{code}}}\mathrm{dt}-{\∫}_{t_2-[\mathrm{\τ}\left(t_2\right)+{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{AB}\_\mathrm{delay}}]}\frac{\mathrm{\Δ}{f}_B\left(t\right)}{f_{\mathrm{code}}}\mathrm{dt}]\end{array}\right.---\left(12\right)$

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\Δ}{f}_A}={\∫}_{t_1}^{t_2}\frac{f_A\left(t\right)-f_{\mathrm{code}}}{f_{\mathrm{code}}}\mathrm{dt}={\∫}_{t_1}^{t_2}\frac{\mathrm{\Δ}{f}_A\left(t\right)}{f_{\mathrm{code}}}\mathrm{dt}\\ {\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\Δ}{f}_B}={\∫}_{t_1}^{t_2}\frac{f_B\left(t\right)-f_{\mathrm{code}}}{f_{\mathrm{code}}}\mathrm{dt}={\∫}_{t_1}^{t_2}\frac{\mathrm{\Δ}{f}_B\left(t\right)}{f_{\mathrm{code}}}\mathrm{dt}\\ {\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\Δ}{f}_{\mathrm{AB}+}}=0.5\·{\∫}_{t_1}^{t_2}\frac{\mathrm{\Δ}{f}_A\left(t\right)+\mathrm{\Δ}{f}_B\left(t\right)}{f_{\mathrm{code}}}\mathrm{dt}\\ {\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\Δ}{f}_{\mathrm{AB}-}}=0.5\·{\∫}_{t_1}^{t_2}\frac{\mathrm{\Δ}{f}_A\left(t\right)-\mathrm{\Δ}{f}_B\left(t\right)}{f_{\mathrm{code}}}\mathrm{dt}=0.5\·{\∫}_{t_1}^{t_2}\frac{f_A\left(t\right)-f_B\left(t\right)}{f_{\mathrm{code}}}\mathrm{dt}\end{array}\right.---\left(13\right)$

将公式(3.21)～公式(3.24)带入公式(3.20)得：

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\Δt}=0.5\·[{\mathrm{\ρ}}_A\left(t_1\right)-{\mathrm{\ρ}}_B\left(t_2\right)-2\·\mathrm{\Δ}{t}_{\mathrm{AB}\_\mathrm{send}}\left(t_2\right)+{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{delay}-}]+(\mathrm{\Δ\τ}-{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\Δ}{f}_{\mathrm{AB}+}}+{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\τ}-})\\ \mathrm{\Δ}{t}_{\mathrm{AB}}\left(t_1\right)=0.5\·[{\mathrm{\ρ}}_A\left(t_1\right)-{\mathrm{\ρ}}_B\left(t_2\right)+{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{delay}-}]+(\mathrm{\Δ\τ}-{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\Δ}{f}_{\mathrm{AB}-}}+{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\τ}-})\\ \mathrm{\τ}\left(t_1\right)=0.5\·[{\mathrm{\ρ}}_A\left(t_1\right)+{\mathrm{\ρ}}_B\left(t_2\right)-{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{delay}+}]-(\mathrm{\Δ\τ}-{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\Δ}{f}_{\mathrm{AB}-}}+{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\τ}+})\end{array}\right.---\left(14\right)$

或另一种等价形式：

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\Δt}=0.5\·[{\mathrm{\ρ}}_A\left(t_1\right)-{\mathrm{\ρ}}_B\left(t_2\right)-2\·\mathrm{\Δ}{t}_{\mathrm{AB}\_\mathrm{send}}\left(t_2\right)+{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{delay}-}]+(\mathrm{\Δ\τ}-{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\Δ}{f}_{\mathrm{AB}+}}+{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\τ}-})\\ \mathrm{\Δ}{t}_{\mathrm{AB}}\left(t_1\right)=\mathrm{\Δt}+\mathrm{\Δ}{t}_{\mathrm{AB}\_\mathrm{send}}\left(t_2\right)+{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\Δ}{f}_B}\\ \mathrm{\τ}\left(t_1\right)=0.5\·[{\mathrm{\ρ}}_A\left(t_1\right)+{\mathrm{\ρ}}_B\left(t_2\right)-{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{delay}+}]-(\mathrm{\Δ\τ}-{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\Δ}{f}_{\mathrm{AB}-}}+{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\τ}+})\end{array}\right.---\left(15\right)$

根据公式(10)～公式(13)经推导得：

$\left\{\begin{array}{cc}\left|\mathrm{\Δ\τ}\right|\≤\mathrm{\λ}\·\left|\mathrm{\Δt}\right|& (\mathrm{\λ}=\underset{t}{\max }\frac{\left|v\left(t\right)\right|}{2c})\\ \left|{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\Δ}{f}_A}\right|\≤\mathrm{\μ}\·\left|\mathrm{\Δt}\right|,\left|{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\Δ}{f}_B}\right|\≤\mathrm{\μ}\·\left|\mathrm{\Δt}\right|& (\mathrm{\μ}=\underset{t}{\max }[\frac{\left|\mathrm{\Δ}{f}_A\left(t\right)\right|}{f_{\mathrm{code}}},\frac{\left|\mathrm{\Δ}{f}_B\left(t\right)\right|}{f_{\mathrm{code}}}\left]\right)\\ \left|{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\Δ}{f}_{\mathrm{AB}+}}\right|\≤\mathrm{\μ}\·\left|\mathrm{\Δt}\right|,\left|{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\Δ}{f}_{\mathrm{AB}-}}\right|\≤\mathrm{\μ}\·\left|\mathrm{\Δt}\right|& \\ \left|{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\τ}+}\right|\≤\mathrm{\μ}\·\mathrm{\τ},\left|{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\τ}-}\right|\≤\mathrm{\μ}\·\mathrm{\τ}& (\mathrm{\τ}=\underset{t}{\max }\left[\mathrm{\τ}\left(t\right)\right])\end{array}\right.---\left(16\right)$

公式(14)、公式(15)给出了t₁时刻机间基线、钟差、采样时间间隔的计算公式，t₂同理，三个等式右边第一项(“0.5·[...]”内几项)作为算法输入量；第二项(“(...)”内几项)代表理论不确定项；不确定项的影响与四个物理量相关：①本地频率基准的频率真值相对标称值的准确度/稳定度μ；②两终端采样时间间隔Δt；③两颗机群节点在t₁到t₂时间段内的相对运动速度v(t)；④机间几何距离c·τ(t)；结合公式(16)讨论如下：

①机群成员机群节点一般采用超稳晶振或者原子频标，具备优于μ≤1E-11的频率准确度/稳定度指标；

②本体制遵循本地传输帧同步码前沿发出时刻与接收到对方传输帧同步码前沿时间间隔最近的原则实施两地伪距配对计算，这样采样时间间隔Δt最大不超过一个传输帧周期，机间通信帧频一般为1～20Hz，Δt≤1s，，且能够被准确测量并通过时间同步调整后收敛到0；

③由于机群编队构形调整时任意两成员飞机的相对速度将受到限制，一般|v(t)|＜1km/s，编队构形保持时则相对速度更低甚至相对静止，则λ≤1.7E-6；

④机群用于动目标无源探测定位任务时，机群节点编队拓扑构形的尺度不会太大，成员机群节点一般分布在几十公里范围内，这里认为c·τ≤300km，即：τ≤0.001s，机间基线测量、钟差测量、采样时间间隔测量的算法模型误差跟机群节点的本地频标准确度/稳定度参数μ和机间几何距离τ(t)之积相关，μ·τ≤0.01ps@μ≤1E-11&τ≤300km；

结合公式(14)～公式(16)能够看出，当采样时间间隔Δt＝0时，其他因素引起的模型误差是≤0.1ps的微小量；

因此，要彻底消除动态条件下机间异步体制的基线测量方法模型误差，可以有两种方法：

①机间精密时间同步使得两机钟差小于一给定量，即：|Δt|＜ε；②通过对Δt内的载波多普勒频率积分计算出Δτ；

(iii)、基于时间同步递推算法的异步测距误差抑制方法及残差分析

机群编队的动目标无源探测定位任务一般都需要实现机群组网时间同步，对于机群链路双向异步通信信道的非相干测距/时间同步系统，理论意义上的时间同步是满足Δt_AB(t)＝0ns、Δt＝0ns的理想条件，此时任意两终端ACRU_A、ACRU_B的本地传输帧同步码前沿发出时刻即：本地采样时刻，理想重合且此时各自在本地采样的本地钟钟面时相同，即：同时发出的本地传输帧勤务段嵌入的本地钟钟面时编码相同；实际操作中不易达到理想条件，因此不必遵循如此苛刻的要求；考虑到成员机群节点装备超稳晶振或原子频标，任意两颗机群节点的钟差随时间变化比较缓慢，相当长一段时间内钟差变化小于1ns，因此根据任务需求给定钟差阈值，超出阈值时或定期实施机间时间同步处理调整使机间钟差回归到某一目标值；

机间测距和时间同步调整采用交替过程实施计算和时间同步调整，即：每步处理以帧周期为节拍，当前步利用本地传输帧同步码前沿采样发送帧和接收帧当前历元后，先根据公式(14)、公式(15)忽略算法的模型不确定项进行计算，再根据采样时间间隔和钟差的当前计算结果Δt(k)、Δt_AB(k)进行本次时间同步调整；到下一帧周期开始时再进行同样的下一步；利用公式(17)进行计算当前步的采样时间间隔、钟差、机间基线：

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}\tilde{t}\left(k\right)=0.5\·[{\mathrm{\ρ}}_A\left(k\right)-{\mathrm{\ρ}}_B\left(k\right)-2\·\mathrm{\Δ}{t}_{\mathrm{AB}\_\mathrm{send}}\left(k\right)+{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{delay}-}]\\ \mathrm{\Δ}{\tilde{t}}_{\mathrm{AB}}\left(k\right)=0.5\·[{\mathrm{\ρ}}_A\left(k\right)-{\mathrm{\ρ}}_B\left(k\right)+{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{delay}-}]\\ \widetilde{\mathrm{\τ}}\left(k\right)=0.5\·[{\mathrm{\ρ}}_A\left(k\right)+{\mathrm{\ρ}}_B\left(k\right)-{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{delay}+}]\end{array}\right.(k=\mathrm{1,2,3}...)---\left(17\right)$

利用公式(17)的计算结果进行同步调整后，根据公式(15)可得同步调整残差公式(18)：

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\Δt}(k+1)=\mathrm{\Δt}\left(k\right)-\mathrm{\Δ}\tilde{t}\left(k\right)=(\mathrm{\Δ\τ}-{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\Δ}{f}_{\mathrm{AB}+}}+{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\τ}-})\\ \mathrm{\Δ}{t}_{\mathrm{AB}}(k+1)=\mathrm{\Δ}{t}_{\mathrm{AB}}\left(k\right)-\mathrm{\Δ}{\tilde{t}}_{\mathrm{AB}}\left(k\right)=(\mathrm{\Δ\τ}-{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\Δ}{f}_{\mathrm{AB}-}}+{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\τ}-})\\ \mathrm{\δ\τ}\left(k\right)=\mathrm{\τ}\left(k\right)-\widetilde{\mathrm{\τ}}\left(k\right)=-(\mathrm{\Δ\τ}-{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\Δ}{f}_{\mathrm{AB}-}}+{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\τ}+})\end{array}\right.(k=\mathrm{1,2,3}...)---\left(18\right)$

从公式(18)看出：本次时间同步调整后，公式(15)的不确定项成为本次时间同步调整的残差，即：Δt(k+1)、Δt_AB(k+1)，在下一帧周期中再次进行计算-同步调整过程中消除；δτ(k)为机间基线τ(k)的计算残差；结合公式(16)、公式(18)得：

$\left\{\begin{array}{c}\left|\mathrm{\Δt}(k+1)\right|\≤(\mathrm{\λ}+\mathrm{\μ})\·\left|\mathrm{\Δt}\left(k\right)\right|+\left|{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\τ}-}\right|=\mathrm{\β}\·\left|\mathrm{\Δt}\left(k\right)\right|+\left|{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\τ}-}\right|\\ \left|t_{\mathrm{AB}}(k+1)\right|\≤(\mathrm{\λ}+\mathrm{\μ})\·\left|\mathrm{\Δt}\left(k\right)\right|+\left|{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\τ}-}\right|=\mathrm{\β}\·\left|\mathrm{\Δt}\left(k\right)\right|+\left|{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\τ}-}\right|\\ \left|\mathrm{\δ\τ}\left(k\right)\right|\≤(\mathrm{\λ}+\mathrm{\μ})\·\left|\mathrm{\Δt}\left(k\right)\right|+\left|{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\τ}+}\right|=\mathrm{\β}\·\left|\mathrm{\Δt}\left(k\right)\right|+\left|{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\τ}+}\right|\end{array}\right.(\mathrm{\β}=\mathrm{\λ}+\mathrm{\μ},k=\mathrm{1,2,3}...)---\left(19\right)$

由公式(19)第一式经过恒等变换得：

$\left|\mathrm{\Δt}(k+1)\right|-\mathrm{\α}\·\left|{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\τ}-}\right|\≤\mathrm{\β}\·\left(\right|\mathrm{\Δt}\left(k\right)|-\mathrm{\α}\·|{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\τ}-}\left|\right),(\mathrm{\α}=\frac{1}{1-\mathrm{\β}},k=\mathrm{1,2,3}...)---\left(20\right)$

设 $\left|\mathrm{\Δt}\left(k\right)\right|\≥\mathrm{\α}\·\left|{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\τ}-}\right|(\∀k=\mathrm{1,2,3},...),$ 则有：

$\left|\right|\mathrm{\Δt}(k+1)|-\mathrm{\α}\·|{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\τ}-}\left|\right|\≤\·\mathrm{\β}\left|\right|\mathrm{\Δt}\left(k\right)|-\mathrm{\α}\·|{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\τ}-}\left|\right|,(\mathrm{\α}=\frac{1}{1-\mathrm{\β}},k=\mathrm{1,2,3}...)---\left(21\right)$

根据最优化算法理论，公式(21)给出的迭代算法是收敛因子为β(β＜＜1)的逼近算法，最终将收敛到α·|δ_τ-|；根据公式(21)、公式(19)、公式(16)可知：经几次计算-时间同步调整的迭代过程后两终端ACRU_A、ACRU_B的采样时间间隔Δt(k)的计算残差(测量误差、时间同步误差)将迅速收敛到α·|δ_τ-|；同时，钟差Δt_AB(k)的理论测量误差将收敛到β·(α·|δ_τ-|)+|δ_τ-|、机间基线τ(k)的理论测量误差δτ(k)将收敛到β·(α·|δ_τ-|)+|δ_τ+|；显然，Δt(k)、Δt_AB(k)、δτ(k)的理论测量误差为同一量级(均＜α·μ·τ)，前已讨论此残差为极微小量可以忽略(＜0.1ps)；

根据公式(21)分析收敛性能：设进行时间同步调整之前的初始值为Δt(i)——本地第i帧测量点，则时间同步调整k次后Δt(i+k)(本地第i+k帧测量点)为：

$\left|\right|\mathrm{\Δt}(i+k)|-\mathrm{\α}\·|{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\τ}-}\left|\right|\≤{\mathrm{\β}}^k\·\left|\right|\mathrm{\Δt}\left(i\right)|-\mathrm{\α}\·|{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\τ}-}\left|\right|,(\mathrm{\α}=\frac{1}{1-\mathrm{\β}},k=\mathrm{1,2,3}...)---\left(22\right)$

若初始值|Δt(i)|＝60s，α·|δ_τ-|＜0.1ps，β＝1.7E-6，则迭代计算-时间同步调整k＝2次后||Δt(i+2)|-0.1ps|≤173.4ps；k＝3次后||Δt(i+3)|-0.1ps|≤2.9578×10^-4ps≈0ps，可见收敛速度极快；

(iv)、基于多普勒积分补偿算法的异步测距误差抑制方法及残差分析

利用接收通道的载波跟踪环路的载波NCO连续估计载波多普勒频率，利用多普勒频率计算公式

$\frac{f_D\left(t\right)}{f_C}=\frac{v\left(t\right)}{c}---\left(23\right)$

公式(23)中：f_D(t)为载波多普勒频率、f_C为载波频率、v(t)为机间相对运动速度，带入公式(11)得：

$\mathrm{\Δ\τ}=0.5\·{\∫}_{t_1}^{t_2}\frac{v\left(t\right)}{c}\mathrm{dt}=\frac{1}{2f_C}\·{\∫}_{t_1}^{t_2}{f}_D\left(t\right)\mathrm{dt}=\frac{1}{2f_C}\·{\∫}_{t_2-\mathrm{\Δt}}^{t_2}{f}_D\left(t\right)\mathrm{dt}---\left(24\right)$

公式(24)给出了利用对t₁到t₂时间段，即：采样时间差Δt的载波多普勒积分计算Δτ的公式；

公式(14)改写为：

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\Δt}=0.5\·[{\mathrm{\ρ}}_A\left(t_1\right)-{\mathrm{\ρ}}_B\left(t_2\right)-2\·\mathrm{\Δ}{t}_{\mathrm{AB}\_\mathrm{send}}\left(t_2\right)+{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{delay}-}+\mathrm{\Δ\τ}]-({\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\Δ}{f}_{\mathrm{AB}+}}-{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\τ}-})\\ \mathrm{\Δ}{t}_{\mathrm{AB}}\left(t_1\right)=0.5\·[{\mathrm{\ρ}}_A\left(t_1\right)-{\mathrm{\ρ}}_B\left(t_2\right)+{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{delay}-}+\mathrm{\Δ\τ}]-({\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\Δ}{f}_{\mathrm{AB}-}}-{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\τ}-})\\ \mathrm{\τ}\left(t_1\right)=0.5\·[{\mathrm{\ρ}}_A\left(t_1\right)+{\mathrm{\ρ}}_B\left(t_2\right)-{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{delay}+}-\mathrm{\Δ\τ}]+({\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\Δ}{f}_{\mathrm{AB}-}}-{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\τ}+})\end{array}\right.---\left(25\right)$

对公式(14)的Δt依据下式进行迭代计算：

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}\widehat{\mathrm{\τ}}\left(k\right)=\frac{1}{2f_C}\·{\∫}_{t_2-\mathrm{\Δ}\hat{t}(k-1)}^{t_2}{f}_D\left(t\right)\mathrm{dt}\\ \mathrm{\Δ}\hat{t}\left(k\right)=0.5\·[{\mathrm{\ρ}}_A\left(k\right)-{\mathrm{\ρ}}_B\left(k\right)-2\·\mathrm{\Δ}{t}_{\mathrm{AB}\_\mathrm{send}}\left(k\right)+{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{delay}-}+\mathrm{\Δ}\widehat{\mathrm{\τ}}\left(k\right)]\end{array}\right.(k=\mathrm{1,2,3}...)---\left(26\right)$

令： $\mathrm{\Δ}\hat{t}\left(0\right)=0,$ 则 $\mathrm{\Δ}\widehat{\mathrm{\τ}}\left(1\right)=0,$ $\mathrm{\Δ}\hat{t}\left(1\right)=0.5\·[{\mathrm{\ρ}}_A\left(1\right)-{\mathrm{\ρ}}_B\left(1\right)-2\·\mathrm{\Δ}{t}_{\mathrm{AB}\_\mathrm{send}}\left(1\right)+{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{delay}-}],$ 依次递推；由公式(25)、公式(26)推导得：

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\δ\Δ}\widehat{\mathrm{\τ}}\left(k\right)=\mathrm{\Δ\τ}-\mathrm{\Δ}\widehat{\mathrm{\τ}}\left(k\right)=\frac{1}{2f_C}\·{\∫}_{t_2-\mathrm{\Δt}}^{t_2-\mathrm{\Δ}\hat{t}(k-1)}{f}_D\left(t\right)\mathrm{dt}\\ \mathrm{\δ\Δ}\hat{t}\left(k\right)=\mathrm{\Δt}-\mathrm{\Δ}\hat{t}\left(k\right)=\mathrm{\δ\Δ\τ}\left(k\right)-({\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\Δ}{f}_{\mathrm{AB}+}}-{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\τ}-})\end{array}\right.(k=\mathrm{1,2,3}...)---\left(27\right)$

定义： $\sup \left(\right|{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\Δ}{f}_{\mathrm{AB}+}}|+|{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\τ}-}\left|\right)=\mathrm{\ϵ},$ 由公式(15)可知：ε≤μ·(τ+|Δt|)，利用公式(15)和公式(27)推导出：

$\left\{\begin{array}{c}\left|\mathrm{\δ\Δ}\widehat{\mathrm{\τ}}\left(k\right)\right|\≤\mathrm{\λ}\·\left|\mathrm{\δ\Δ}\widehat{\mathrm{\τ}}(k-1)\right|+\mathrm{\λ\ϵ}\\ \left|\mathrm{\δ\Δ}\hat{t}\left(k\right)\right|\≤\mathrm{\λ}\·\left|\mathrm{\δ}\widehat{\mathrm{\Δ}}(k-1)\right|+\mathrm{\ϵ}\end{array}\right.(k=1,\mathrm{2,3}...)---\left(28\right)$

令： ${\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{\Δt}}=\frac{1}{1-\mathrm{\λ}}\mathrm{\ϵ},$ ${\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{\Δ\τ}}=\frac{1}{1-\mathrm{\λ}}\mathrm{\ϵ},$ 由公式(28)得到公式(29)：

$\left\{\begin{array}{c}\left|\right|\mathrm{\δ\Δ}\widehat{\mathrm{\τ}}\left(k\right)|-{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{\Δ\τ}}|\≤\mathrm{\λ}\·\left|\right|\mathrm{\δ\Δ}\widehat{\mathrm{\τ}}(k-1)|-{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{\Δ\τ}}|\\ \left|\right|\mathrm{\δ\Δ}\hat{t}\left(k\right)|-{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{\Δ\τ}}|\≤\mathrm{\λ}\·\left|\right|\mathrm{\δ\Δ}\hat{t}(k-1)|-{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{\Δt}}|\end{array}\right.(k=1,\mathrm{2,3}...)---\left(29\right)$

即：

$\left\{\begin{array}{c}\left|\right|\mathrm{\δ\Δ}\widehat{\mathrm{\τ}}|-{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{\Δ\τ}}|\≤{\mathrm{\λ}}^{k-1}\·\left|\right|\mathrm{\δ\Δ}\widehat{\mathrm{\τ}}\left(1\right)|-{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{\Δ\τ}}|\≤{\mathrm{\λ}}^k\·\left|\mathrm{\Δt}\right|\\ \left|\right|\mathrm{\δ\Δ}\hat{t}\left(k\right)|-{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{\Δt}}|\≤{\mathrm{\λ}}^k\·\left|\right|\mathrm{\δ\Δ}\hat{t}\left(0\right)|-{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{\Δt}}|\≤{\mathrm{\λ}}^k\·\left|\mathrm{\Δt}\right|\end{array}\right.(k=\mathrm{1,2,3}...)---\left(30\right)$

由于公式(16)定义的λ≤1.7E-6，是一微小量，公式(30)经几次迭代后即收敛到0；因此，如果不实施机间时间同步，由于采样时间间隔Δt和频率基准偏差的存在，

的迭代计算残差

分别收敛到ε_Δt、ε_Δτ，均小于μ·(τ+|Δt|)，是一微小量；这种方法能在高动态条件下不进行时间同步时而获得高精度的基线测量结果，但要求采样时间间隔Δt不能太大，否则频率基准的偏差因素会占主导地位，因此适用于每次时间同步调整后到达同步调整阈值之前的同步间隔期内计算。

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