CN101776710A - 一种高压直流输电线路雷电绕击电流波形反演恢复方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种高压直流输电线路雷电绕击电流波形反演恢复方法。线路遭受雷击，其暂态行波经输电线路传播和传变，在保护安装处的暂态响应也不同。线路相当于一个天然的雷电流接闪器，发生绕击时，现有行波测距技术可以精确对雷击点定位；输电线路参数可在线测量分析获得；借助本发明推导的输电线路传递函数，通过对输电线路保护安装处经高速采集获得的暂态电压进行相模变换、降噪以及Prony拟合处理，并进行反卷积运算，最终可获得雷击点处的雷电流波形。

Description

一种高压直流输电线路雷电绕击电流波形反演恢复方法

技术领域

本发明涉及电力系统雷电电磁暂态监测技术领域，具体地说是一种高压直流输电线路雷电绕击电流波形反演恢复方法。

背景技术

雷击是导致线路跳闸、供电中断的主要原因。输电线路雷击跳闸在总的跳闸率中所占的比例随电压等级提高而增加，对于特高压直流输电线路，由雷击引起的事故不容忽视。云广特高压直流输电工程线路全长1438km，已单极半压运行，2010年将双极建成，由于没有同类工程经验作参考，防止线路雷击跳闸是一个难点，且该工程所处部分地区海拔高、气候多变、雷暴活动频繁，使得线路遭受雷击，特别是绕击导致绝缘子闪络的概率大大增加，迫切需要根据实测雷击数据建立适用于高海拔地区的雷击模型和线路耐雷计算方法，有针对性地提出防雷措施，实现输电线路“差异化防雷”。

雷电参数是研究雷电规律，指导线路防雷的基础。准确获得线路走廊的实测雷电参数，对于增强雷击跳闸率计算的针对性，分析线路引雷程度，确定易受雷击段、易闪段，判断线路故障的雷击相关性，均有着极其重要的作用。

为获取雷电流参数，先后出现了磁钢棒法、磁带式和罗柯夫斯基线圈等测量技术，对雷电基础数据的获得，起到了较好的作用。但此类测量装置安装在杆塔上，造价高，维护困难，特别对于远距离输电线路，通常只能在易闪段进行有选择性的装设，难以获得整条线路走廊的雷电参数。此外，由于其本质是测量闪络电流，因而对于未造成闪络的线路雷击，此类测量方法将失效。雷电定位系统相继在国内30个省网公司得到了应用，借助于该系统，能够获取雷电流极性、幅值基础数据，进而得到雷电日、雷电时、地闪密度、地面落雷密度、地闪频度、雷电流幅值概率分布等重要雷电参数，但由于雷电电磁波传播衰减与变形，以及电磁波波形反演缺乏基本边界条件，该系统目前仍无法给出正确的雷电流波形及陡度等参数，且对于远距离跨多省区的特高压输电线路，还需解决省网之间雷电定位系统的兼容性和系统运行维护工作的协调性。以上雷电(参数)测量方法均存在各自的局限性，使得当前对于高压输电线路全走廊的雷电流参数的获取，仍缺少合适的方法。因而，电力系统迫切需要一种经济可行的雷电流参数测量方法。

发明内容

本发明的目的在于针对现有技术的不足，提供一种高压直流输电线路雷电流波形反演恢复方法。

输电线路遭受雷击时，雷击点将产生向线路两侧换流站传播的行波。国内外学者做了大量卓有成效的研究，挖掘行波中包含着的雷电信息，并取得了一系列成果：行波到达保护安装处说明雷击已发生；根据到达两侧保护安装处的时间差可以对雷击点进行定位；根据暂态波形的能量分布可对雷击故障和雷电干扰进行辨识，根据初始波形的时域、频率特征对绕击与反击进行辨识等。输电线路作为一个系统，对于不同类型的故障激励，如故障位置、绕击与反击、普通短路与雷击等，其在保护安装处的观测到的暂态电压响应不同。输电线路发生绕击时，对于不同的雷电流激励，如幅值、极性、上升时间、波长等，其在保护安装处的观测到的暂态电压响应也应不同。如果该系统的传递函数是唯一存在并且是可解析的，则通过保护安装处的响应来求取雷击点处的雷电流激励是可行的。

雷电冲击作用于输电线路，根据过电压的形成过程可以分为两大类：感应雷和直击雷。其中，直击雷引起的故障有可分为绕击和反击两类。雷击塔顶和避雷线时，雷电流沿杆塔流入大地，杆塔波阻抗和接地电阻的存在，将在杆塔上产生暂态电位升高，当塔顶电位高于导线电位时，将引起绝缘子闪络，称之为反击；雷电流绕过避雷线击中导线引起绝缘子闪络，称之为绕击。本发明主要针对绕击雷电流波形的反演恢复。

系统模型如图1所示，雷电流选用2.6/50μs标准雷电流波形，如图2所示。

长为l的输电线路在相域的传递参数A(s)、B(s)、C(s)、D(s)可表示为：

$\left(\begin{array}{cc}A\left(s\right)& B\left(s\right)\\ C\left(\text{s}\right)& D\left(s\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{ch}\left(\sqrt{Z\left(s\right)Y\left(s\right)}l\right)& \mathrm{sh}\left(\sqrt{Z\left(s\right)Y\left(s\right)}l\right)Z_c\left(s\right)\\ \mathrm{sh}\left(\sqrt{Y\left(s\right)Z\left(s\right)}l\right)Z_c^{-1}\left(s\right)& \mathrm{ch}\left(\sqrt{Y\left(s\right)Z\left(s\right)}l\right)\end{array}\right)---\left(1\right)$

其中，Z(s)、Y(s)、Z_c(s)分别为线路单位长度的阻抗矩阵、导纳矩阵和波阻抗矩阵，l为线路全长，s为拉普拉斯算子。

在传播常数矩阵P(s)＝Z(s)Y(s)可对角化的情况下，线路可变换为模量上的相互独立的单个模进行计算，惯常用单极高压直流输电线路进行解析。

发生雷电绕击高压直流输电线路时，可得图3所示故障等效网络，其中i_f为雷击点雷电流，x、y分别为雷击点距线路M、N两侧的距离(线路全长为l)，R_M、R_N、L_M、L_N分别为两侧电源的等值电阻和电感，E_M、E_N为线路M、N两侧的等值电源电动势，U_M、U_N为线路M、N两侧保护安装处观测到的暂态电压。由叠加定理可得图4所示故障分量网络，图4所示的故障分量网络的运算电路如图5。其中，M、N两侧电源等值运算阻抗Z_M(s)、Z_N(s)为：Z_M(s)＝R_M+sL_M，Z_N(s)＝R_N+sL_N，其中，s为拉普拉斯算子，R_M、R_N为M、N两侧电源的等值电阻，L_M、L_N为M、N两侧电源的等值电感。分别由线路两侧保护安装处的电压、电流计算雷击点处的电压、电流：

$\left(\begin{array}{c}{U}_f\left(s\right)\\ I_x\left(s\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{A}_x\left(s\right)& B_x\left(s\right)\\ C_x\left(s\right)& D_x\left(s\right)\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{U}_M\left(s\right)\\ I_M\left(s\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\cosh \left(\sqrt{Z\left(s\right)Y\left(s\right)}x\right)& \sinh \left(\sqrt{Z\left(s\right)Y\left(s\right)}x\right)Z_c\left(s\right)\\ \sinh \left(\sqrt{Y\left(s\right)Z\left(s\right)}x\right)/Z_c\left(s\right)& \cosh \left(\sqrt{Y\left(s\right)z\left(s\right)}x\right)\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{U}_M\left(s\right)\\ I_M\left(s\right)\end{array}\right)---\left(2\right)$

$\left(\begin{array}{c}{U}_f\left(s\right)\\ I_y\left(s\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{A}_y\left(s\right)& B_y\left(s\right)\\ C_y\left(s\right)& D_y\left(s\right)\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{U}_N\left(s\right)\\ I_N\left(s\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\cosh \left(\sqrt{Z\left(s\right)Y\left(s\right)}y\right)& \sinh \left(\sqrt{Z\left(s\right)Y\left(s\right)}y\right)Z_c\left(s\right)\\ \sinh \left(\sqrt{Y\left(s\right)Z\left(s\right)}y\right)/Z_c\left(s\right)& \cosh \left(\sqrt{Y\left(s\right)z\left(s\right)}y\right)\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{U}_N\left(s\right)\\ I_N\left(s\right)\end{array}\right)---\left(3\right)$

其中，x、y分别为故障点距线路两端保护安装处的距离，Z(s)、Y(s)、Z_c(s)分别为线路单位长度的阻抗、导纳和波阻抗，

在雷击点f及线路两侧保护安装处M、N，满足边界条件：

I_x(s)+I_y(s)+I_f(s)＝0    (4)

U_M(s)+I_M(s)Z_M(s)＝0     (5)

U_N(s)+I_N(s)Z_N(s)＝0     (6)

其中，I_x(s)、I_y(s)为线路故障点两侧电流，I_M(s)、I_N(s)为线路两侧保护安装处电流，I_f(s)为雷电绕击电流，均取指向故障点为电流正方向；U_M(s)、U_N(s)为线路两侧保护安装处电压。

联立(2)-(6)可得：

$\left(\begin{array}{ccccccc}-C_y\left(s\right)& 0& D_y\left(s\right)& 0& 0& 0& 1\\ C_x{\left(s\right)}_{}& D_x\left(s\right)& 0& 0& -1& 0& 0\\ 0& -1& 1& 0& 0& 0& 0\\ -A_x\left(s\right)& -B_x\left(s\right)& 0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& Z_M\left(s\right)& 0& 0\\ -A_y\left(s\right)& 0& B_y\left(s\right)& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 1& Z_N\left(s\right)\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{U}_f\left(s\right)\\ I_x\left(s\right)\\ I_y\left(s\right)\\ U_M\left(s\right)\\ I_M\left(s\right)\\ U_N\left(s\right)\\ I_N\left(s\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ I_f\left(s\right)\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right)---\left(7\right)$

其中，A_x(s)、B_x(s)、C_x(s)、D_x(s)和A_y(s)、B_y(s)、C_y(s)、D_y(s)分别为雷击点左右两侧线路的传递参数，Z_M(s)、Z_N(s)为两侧电源的运算阻抗。

利用克拉姆法则求该解方程组，化简后可得：

$U_M\left(s\right)=I_f\left(s\right)Z_l\left(s\right)=I_f\left(s\right)\frac{Z_M\left(s\right)[Z_N\left(s\right)\cosh \left(\mathrm{\γ}\left(s\right)(l-x)\right)+Z_t\left(s\right)\sinh \left(\mathrm{\γ}\left(s\right)(l-x)\right)]}{Z_t\left(s\right)[Z_M\left(s\right)+Z_N\left(s\right)]{\cosh }_{}\left(\mathrm{\γ}\left(s\right)l\right)+[Z_c^2\left(s\right)+Z_M\left(s\right)Z_N\left(s\right)]\sinh {\left(\mathrm{\γ}\left(s\right)l\right)}_{}}---\left(8\right)$

即传输线的传递函数为Z_l(s)，在雷电流的I_f(s)激励下，其输出为保护安装处的故障电压U_M(s)，其中

为线路传播常数、

为线路波阻抗。

对应地，时域中表示为雷电流的I_f(t)和传输线的传递特性Z(t)的卷积：

$U_M\left(t\right)=I_f\left(t\right)\⊗Z\left(t\right)---\left(9\right)$

其中，Z(t)为传输线的传递函数Z_l(s)的时域表示，可通过数值拉普拉斯逆变换求得，I_f(t)为时域的雷击点雷电流，U_M(t)为保护安装处观测到的时域暂态电压。

适用于计算机处理的离散化卷积公式表示为：

$u_M\left(t\right)=\underset{r=1}{\overset{N_1}{\mathrm{\Σ}}}{i}_f(t-r)z\left(r\right)+\mathrm{\ϵ}\left(t\right)---\left(10\right)$

其中，ε(t)为考虑传变及测量环节引入的误差，t＝1，2，3…，N₁+N₂-1。N₁、N₂为传输线的传变特性Z(t)与雷电流i_f(t)离散化时采样点数。

将公式(10)改写为如下矩阵形式：

u＝zi_f+ε            (11)

其中，i_f＝[i_f(0)，i_f(1)，i_f(2)，…]^T ，u＝[u(0)，u(1)，u(2)，…]^T，ε＝[ε(0)，ε(1)，ε(2)…]^T，

一般来讲，z不是方阵，式(11)为一个线性超定方程，定义估计误差为：

e＝|u-zi_f |        (12)

在式(12)所示的2范数最小的约束下，利用公式(13)得到式(11)的最优解

即为反演恢复的雷击电流。

${\hat{i}}_f={\left(z^{T}z\right)}^{-1}{z}^{T}u---\left(13\right)$

可见，线路保护安装处获得的暂态电压与雷击点处的雷电流存在对应关系。在线路参数、电源内阻、雷击点已知的前提下，保护安装处必然存在一个暂态故障电压与雷击电流相对应，并且是可以解析的，属于反卷积问题。当前，行波双端定位技术已较为成熟，雷击点容易精确获得，线路参数和两侧电源内阻可在线测量分析获得，此时线路的传递函数Z_l(s)可以确定，对应的时域下的Z(t)可借助数值拉普拉斯逆变换求得。故借助最小二乘算法能够根据保护安装处获得的暂态电压恢复雷击点处的雷击电流波形。

需要指出，输电线路雷电流传变特性Z(t)包含幅值信息和相位信息，幅值信息反应了观测点故障电压与雷击点雷电流间的转移阻抗，相位信息反应了行波从雷击点传播到观测点所需的时间，如图6所示。当前，双端行波定位技术已能够较准确地确定雷击点和行波到达时刻，雷电参数识别重点在于雷电流波形的恢复。因而，为提高计算速度和便于装置实现，仅截取线路传变特性Z(t)和暂态电压故障分量u(t)的非零数据进行计算，恢复雷电流波形。此外受雷击冲击电晕长度不确定、互感器传变特性以及量化误差、随机干扰等影响，实际中采集到的暂态电压信号中含有高频噪声，在恢复雷电流波形时，高频噪声会被放大，仅采用单一的最小二乘逼近方法，所得结果将远离真实解，为尽可能获得真实解，必须在信号恢复和噪声放大之间作适当的折衷。考虑到雷电流以及线路传变函数均为双指数函数的形式，本发明对高速采集到含噪电压行波采用小波降噪后，对其进行Prony拟合后，再按公式(13)进行时域的最小二乘反卷积的求解，以最大限度地恢复出雷击点处真实的绕击雷电流波形。

本发明的高压直流输电线路雷电绕击电流波形反演恢复方法如下：

1)当电压变化率du/dt大于整定值时，线路M侧、N侧保护安装处采样频率为1MHz的高速数据采集与录波装置启动并记录故障后5ms的电压行波波形；

2)运用Karenbauer变换计算线路两侧保护安装处获得的M侧、N侧的暂态电压线模分量U_M(t)、U_N(t)和零模分量U_M0(t)、U_N0(t)，如式(14)所示：

$U_M\left(t\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}(U_{M+}\left(t\right)-U_{M-}\left(t\right))$

$U_{M0}\left(t\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}(U_{M+}\left(t\right)+U_{M-}\left(t\right))---\left(14\right)$

$U_N\left(t\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}(U_{N+}\left(t\right)-U_{N-}\left(t\right))$

$U_{N0}\left(t\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}(U_{N+}\left(t\right)+U_{N-}\left(t\right))$

其中U_M+(t)、U_N+(t)分别为M侧、N侧检测到的正极直流暂态电压，U_M-(t)、U_N-(t)分别为M侧、N侧检测到的负极直流暂态电压；

3)借助已有技术对雷击点进行行波定位，得到故障点与观测点间的距离x，l为线路全长，获取线路传播常数γ(s)、波阻抗Z_c(s)以及M、N两侧电源内阻Z_M(s)、Z_N(s)；

4)利用式(15)计算线路的传递函数Z_l(s)，并由已有的拉普拉斯逆变换数值解法求得Z_l(s)在时域中的传变特性Z(t)；

$Z_l\left(s\right)=\frac{Z_M\left(s\right)[Z_N\left(s\right)\cosh \left(\mathrm{\γ}\left(s\right)(l-x)\right)+Z_c\left(s\right)\sinh \left(\mathrm{\γ}\left(s\right)(l-x)\right)]}{Z_c\left(s\right)[Z_M\left(s\right)+Z_N\left(s\right)]{\cosh }_{}\left(\mathrm{\γ}\left(s\right)l\right)+[Z_c^2\left(s\right)+Z_M\left(s\right)Z_N\left(s\right)]\sinh {\left(\mathrm{\γ}\left(s\right)l\right)}_{}}---\left(15\right)$

5)截取线路M侧暂态电压线模故障分量U_M(t)的非零元素，进行小波降噪和Prony拟合，将该平滑后的暂态电压线模分量记为u_M(t)；

6)截取时域中的传变特性Z(t)，并改写成式(16)所示的矩阵形式，按式(17)求解得到雷击点处的雷击电流

${\hat{i}}_f={\left(z^{T}z\right)}^{-1}{z}^{T}u---\left(17\right)$

本发明与现有技术相比具有如下优点：

本发明的理论基础较为直观，容易实现，通过大量的电磁暂态仿真验证了本方法可靠、有效。本发明利用线路两侧保护安装处高速暂态采集电压波形对高压直流线路全线的雷电绕击雷电流波形进行恢复，无需在线路沿线走廊就地安装观测装置，容易实现，维护方便。

附图说明

图1为特高压直流系统示意图；

图2为雷电流波形；

图3为故障等效网络；

图4为故障附加网络；

图5为绕击电流激励分量运算网络；

图6为线路传变特性；

图7为发生绕击时，M侧的正极、负极暂态电压波形；

图8为发生绕击时，N侧的正极、负极暂态电压波形；

图9为发生绕击时，M侧线模、零模暂态电压波形；

图10为发生绕击时，N侧线模、零模暂态电压波形；

图11为发生绕击时，M侧的线模电压故障分量；

图12为线路传变特性；

图13为经消噪和Prony拟合后的M侧线模电压故障分量；

图14为计算得到的雷电流波形。

具体实施方式

高压直流输电线路发生雷击故障时，利用上述原理可以实现高压直流输电线路雷电绕击电流波形反演恢复。

具体步骤如下：

1)当电压变化率du/dt大于整定值时，线路M侧、N侧保护安装处采样频率为1MHz的高速数据采集与录波装置启动并记录故障后5ms的电压行波波形；

2)运用Karenbauer变换计算线路两侧保护安装处获得的M侧、N侧的暂态电压线模分量U_M(t)、U_N(t)和零模分量U_M0(t)、U_N0(t)，如式(19)所示：

$U_M\left(t\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}(U_{M+}\left(t\right)-U_{M-}\left(t\right))$

$U_{M0}\left(t\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}(U_{M+}\left(t\right)+U_{M-}\left(t\right))---\left(19\right)$

$U_N\left(t\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}(U_{N+}\left(t\right)-U_{N-}\left(t\right))$

$U_{N0}\left(t\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}(U_{N+}\left(t\right)+U_{N-}\left(t\right))$

其中U_M+(t)、U_N+(t)分别为M侧、N侧检测到的正极直流暂态电压，U_M-(t)、U_N-(t)分别为M侧、N侧检测到的负极直流暂态电压；

3)借助已有技术对雷击点进行行波定位，得到故障点与观测点间的距离x，在线获得线路传播常数γ(s)、波阻抗Z_c(s)以及M、N两侧电源内阻Z_M(s)、Z_N(s)；

4)利用式(20)计算线路的传递函数Z_l(s)，并由已有的拉普拉斯逆变换数值解法求得其在时域中的传变特性Z(t)；

$Z_l\left(s\right)=\frac{Z_M\left(s\right)[Z_N\left(s\right)\cosh \left(\mathrm{\γ}\left(s\right)(l-x)\right)+Z_c\left(s\right)\sinh \left(\mathrm{\γ}\left(s\right)(l-x)\right)]}{Z_c\left(s\right)[Z_M\left(s\right)+Z_N\left(s\right)]{\cosh }_{}\left(\mathrm{\γ}\left(s\right)l\right)+[Z_c^2\left(s\right)+Z_M\left(s\right)Z_N\left(s\right)]\sinh {\left(\mathrm{\γ}\left(s\right)l\right)}_{}}---\left(20\right)$

5)截取线路M侧暂态电压线模故障分量U_M(t)的非零元素，进行小波降噪和Prony拟合，将该平滑后的暂态电压线模分量记为u_M(t)；

6)截取时域中的传变特性Z(t)，并改写成式(21)所示的矩阵形式，按式(22)求解得到雷击点处的雷击电流

${\hat{i}}_f={\left(z^{T}z\right)}^{-1}{z}^{T}u---\left(22\right)$

实施例说明如下：考虑图1所示全长l为1000km的直流输电系统，已知其线路的传播常数γ(s)＝3.4*10^-9s、波阻抗Z_c(s)＝483，M、N两侧电源内阻Z_M(s)、Z_N(s)均为200+0.15s。雷击距整流站(M侧)100km处线路，雷电流波形如图2所示，线路M、N两侧采集到的暂态电压波形如图7，8所示，经式(19)计算得到M、N两侧的电压行波U_M(t)、U_N(t)和零模分量U_M0(t)、U_N0(t)如图9，10所示，根据现有技术可求取雷击故障位置x为距离M侧100km处，取M侧线模电压故障分量如图11，将线路的传播常数γ(s)、波阻抗Z_c(s)、线路全长l，以及电源内阻代入公式(20)，利用现有拉普拉斯数值逆变换求得线路传变特性Z(t)如图12所示。截取线路M侧暂态电压线模故障分量的非零元素，进行小波降噪和Prony拟合，将平滑后的暂态电压线模分量记为u_M(t)，如图13，将Z(t)、u_M(t)写成矩阵形式u、z，并代入公式(22)求得雷击电流波形如图14。

Claims (1)

1.一种高压直流输电线路雷电绕击电流波形反演恢复方法，其特征在于按以下步骤进行：

1)当电压变化率du/dt大于整定值时，线路M侧、N侧保护安装处采样频率为1MHz的高速数据采集与录波装置启动并记录故障后5ms的电压行波波形；

2)运用Karenbauer变换计算线路两侧保护安装处获得的M侧、N侧的暂态电压线模分量U_M(t)、U_N(t)和零模分量U_M0(t)、U_N0(t)，如式(14)所示：

$U_M\left(t\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}(U_{M+}\left(t\right)-U_{M-}\left(t\right))$

$U_{M0}\left(t\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}(U_{M+}\left(t\right)+U_{M-}\left(t\right))---\left(14\right)$

$U_N\left(t\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}(U_{N+}\left(t\right)-U_{N-}\left(t\right))$

$U_{N0}\left(t\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}(U_{N+}\left(t\right)+U_{N-}\left(t\right))$

其中U_M+(t)、U_N+(t)分别为M侧、N侧检测到的正极直流暂态电压，U_M-(t)、U_N-(t)分别为M侧、N侧检测到的负极直流暂态电压；

3)借助已有技术对雷击点进行行波定位，得到故障点与观测点间的距离x，l为线路全长，在线获得线路传播常数γ(s)、波阻抗Z_c(s)以及M、N两侧电源内阻Z_M(s)、Z_N(s)；

4)利用式(15)计算线路的传递函数Z_l(s)，并由已有的拉普拉斯逆变换数值解法求得其在时域中的传变特性Z(t)；

$Z_l\left(s\right)=\frac{Z_M\left(s\right)[Z_N\left(s\right)\cosh \left(\mathrm{\γ}\left(s\right)(l-x)\right)+Z_c\left(s\right)\sinh \left(\mathrm{\γ}\left(s\right)(l-x)\right)]}{Z_c\left(s\right)[Z_M\left(s\right)+Z_N\left(s\right)]\cosh \left(\mathrm{\γ}\left(s\right)l\right)+[Z_c^2\left(s\right)+Z_M\left(s\right)Z_N\left(s\right)]\sinh \left(\mathrm{\γ}\left(s\right)l\right)}---\left(15\right)$

5)截取线路M侧暂态电压线模故障分量U_M(t)的非零元素，进行小波降噪和Prony拟合，将该平滑后的暂态电压线模分量记为u_M(t)；

6)截取时域中的传变特性Z(t)，并改写成式(16)所示的矩阵形式，按式(17)求解得到雷击点处的雷击电流

$z=\left[\begin{array}{cccccc}z\left(0\right)& 0& \·\·\·& \·\·\·& 0& 0\\ z\left(1\right)& z\left(0\right)& \·\·\·& \·\·\·& 0& 0\\ z\left(2\right)& z\left(1\right)& \·\·\·& \·\·\·& \begin{array}{c}\·\\ \·\\ \·\end{array}& \begin{array}{c}\·\\ \·\\ \·\end{array}\\ \begin{array}{c}\·\\ \·\\ \·\end{array}& z\left(2\right)& \·\·\·& \·\·\·& \begin{array}{c}\·\\ \·\\ \·\end{array}& \begin{array}{c}\·\\ \·\\ \·\end{array}\\ \begin{array}{c}\·\\ \·\\ \·\end{array}& \begin{array}{c}\·\\ \·\\ \·\end{array}& \·\·\·& \·\·\·& z\left(0\right)& \begin{array}{c}\·\\ \·\\ \·\end{array}\\ \begin{array}{c}\·\\ \·\\ \·\end{array}& \begin{array}{c}\·\\ \·\\ \·\end{array}& \·\·\·& \·\·\·& z\left(1\right)& z\left(0\right)\\ \begin{array}{c}\·\\ \·\\ \·\end{array}& \begin{array}{c}\·\\ \·\\ \·\end{array}& \·\·\·& \·\·\·& z\left(2\right)& z\left(1\right)\\ & & \·\·\·& \·\·\·& \begin{array}{c}\·\\ \·\\ \·\end{array}& \begin{array}{c}\·\\ \·\\ \·\end{array}\end{array}\right]---\left(16\right)$

${\hat{i}}_f={\left(z^{T}z\right)}^{-1}{z}^{T}u---\left(17\right)$

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