CN101719185A - 磁控式并联电抗器基于动态磁阻的等值电抗暂态建模方法 - Google Patents

Abstract

本发明提出了一种描述超/特高压磁控式并联电抗器MCSR非线性磁饱和特性的实用化解耦电磁暂态建模方法，基于交直流混合励磁下动态磁阻的思想，提出瞬时等值电抗的算法，反应了交直流混合励磁条件下，饱和等值电抗的实时动态变化特性；精确描述了MCSR两个主磁路中，网侧交流电流对反向串联的直流励磁饱和磁路的增磁和去磁效应；以反双曲函数描述非线性磁路特性对耦合磁路方程进行解耦，并用带阻尼的隐式梯形积分算法对瞬时等值电抗进行差分化，建立电磁暂态模型，不仅精确反映了超/特高压磁控式并联电抗器的饱和磁路连续光滑调节特性，避免了分段线性化算法的数值震荡，而且在大范围连续调节情况下，能够满足实时/超实时仿真计算的需要。

Description

磁控式并联电抗器基于动态磁阻的等值电抗暂态建模方法

技术领域

本发明涉及电力系统数字仿真建模领域，可应用于饱和磁路元件的建模方法和控制器设计，和磁控式并联电抗器的数字建模仿真和工程应用，具体涉及一种磁控式并联电抗器基于动态磁阻的等值电抗暂态建模方法。

背景技术

随着三峡水利枢纽电站，酒泉千万千瓦级风电基地、青海/甘肃大规模光伏电站的相继启动建设，为解决煤炭、水利等一次能源与负荷中心分布极不平衡的问题，我国交流电力系统骨干网架宜采用超/特高压紧凑型线路实现远距离、大容量的输电，充分发挥电网大范围优化能源资源配置的重要作用；促进一次能源的高效集约开发和利用；有利于促进电网、电源协调发展；统筹利用环境容量，缓解能源和环境对国民经济发展的制约。

超/特高压交流输电线路的容性充电功率巨大、潮流变化剧烈以及有限的绝缘裕度给系统的无功调节、过电压抑制造成了巨大的挑战。传统的无功补偿装置如：普通高压并联电抗器、可投切低压并联电容器和电抗器组、发电机进相运行和静止无功补偿器(static varcompensator，SVC)等大都无法同时满足无功调节和过电压抑制的需要。

可控并联电抗器(controllable shunt reactor，CSR)能够简化超/特高压电网中的系统无功电压控制、抑制工频过电压和操作过电压、消除发电机自励磁、动态补偿线路充电功率、抑制潜供电流、阻尼系统谐振等，能满足系统多方面需求，因而具有非常广阔的应用前景。

2007年9月首套500kV高压磁控式并联电抗器(magnetically controlled shunt reactor)在湖北江陵(荆州)换流站投运成功，在系统运行中发挥了重要作用，为我国特高压可控电抗器的研制、运行与维护积累了宝贵经验。

高压磁控式并联电抗器具有容量可大范围连续调节(从空载到满载的调节率均可达到90％以上)、高次谐波和有功损耗较小、可靠性高、应用较少的电力电子器件，结构简单、综合成本低的显著特点，技术比较成熟，国内目前研究和工程应用的主要类型。

关于高压磁控式并联电抗器的数学建模方面的理论研究，目前已有的技术中只有中国专利申请200810056973.1公开了一种磁控式并联电抗器数字仿真建模方法，它包括等效磁路的分解方法，根据磁路定律和电路定律，将磁控式并联电抗器模型等效成多个饱和变压器和饱和电抗器模型；其利用现有仿真软件中的饱和变压器和饱和电抗器模型，构建磁控式并联电抗器仿真模型可集成于现有的仿真软件中，扩展相应的仿真功能；可检验系统稳态控制方法和暂态控制方法。该发明的主要原理是用现有的饱和变压器和电抗器拼接来模拟磁控式并联电抗器的特性，对高压磁控式并联电抗器的进一步研究有重要的参考价值，但只是一种离线数字仿真搭建方法，并未建立反应磁控式并联电抗器的连续饱和磁路特性的准确数学模型(数字仿真和数学模型是两个不同的概念)，而且其采用了补偿法和分段线性化方法，补偿法不仅需要反复迭代，对实时/超实时电磁暂态仿真造成障碍，而且规格化的Φ-I磁化曲线与实际励磁特性的差别，造成模型的计算误差很大；分段线性化方法虽然计算简单，但是不同分段之间不可避免的引起数值震荡，而且超/特高压磁控式并联电抗器不是一般的非线性元件在小范围内微调，而是大范围的连续光滑调节，高压磁控式并联电抗器作为智能电网高压柔性输电的组成部分，若采用分段线性化方法既不能满足其大范围调节的计算精度，也不能反应其连续光滑调节的智能柔性特征，抹掉了本体元件的诸多优点和特征，损害了数学模型的精确性；不但无法描述了磁控式并联电抗器的连续光滑调节特性，而且仿真精度误差很大，无法满足电力系统电磁暂态仿真的需要。

电力系统是一个典型的非线性系统，然而，当前大部分非线性电力系统元件的仿真模型都是在某个运行点的线性化模型。理论上，在非线性电力系统中应用这一类线性模型可以保证在该运行点附近的小范围内的仿真精确性；这固然有利于简化模型设计和仿真计算的方便性，但是，当运行点改变时，系统元件动态特性会显著改变，这不可避免的造成暂态仿真误差；而且大量非线性元件的模型误差累计也是造成电力系统整体仿真误差的根源之一，甚至会造成稳定判断的失误，与电力系统仿真中的一些比较棘手的问题如低频振荡、次同步谐振以及大规模稳定性等问题的仿真误差密切相关；所以在系统暂态仿真中，建立既能反映系统元件的非线性特性，又能保证仿真计算的可行性的数学模型，有非常重要的意义。高压磁控式并联电抗器就是一个比较典型的非线性电力元件，各种复杂的饱和磁路电路关系交错耦合，其暂态模型的建模非常棘手和困难。

由于超/特高压磁控式并联电抗器调节范围大，调节频繁，按以往的电磁暂态建模方法，必然频繁的修改导纳矩阵，这将占用大量的内存和时间，对实时/超实时仿真计算造成巨大的困难和挑战。以往的研究都是偏向MCSR的稳态特性，对于暂态调节这种比较棘手的问题，尚未有文献研究见著报道。

由于MCSR存在多磁路交直流混合励磁的饱和特性，这对其磁路和电路的计算分析造成巨大的障碍，尤其是交直流混合励磁下，投入系统的等值电抗是动态变化的，直流励磁反向串联的两个饱和磁路中又同时存在网侧交流电流对直流励磁的增磁和去磁效应。在建模方法中，如果研究仅仅基于经验和测量值的简单外特性机电模型，并没有多少难度和技术含量，也没有更多的实际意义；但如果基于严谨的数学理论来研究MCSR的磁路电路详细的工作原理和精确的电磁暂态建模方法就显得非常困难和棘手。

如果能开创一种既能描述非线性饱和磁化特性，又能反映交直流励磁调节特性的等值电抗解析建模方法，对于仿真建模和控制器设计都有非常重要的意义和实用化的价值。

发明内容

本发明提出了一种描述超/特高压磁控式并联电抗器(magnetically controlled shunt reactor，MCSR)非线性磁饱和特性的实用化解耦电磁暂态建模方法，基于交直流混合励磁下动态磁阻的思想，提出瞬时等值电抗的算法，反应了交直流混合励磁条件下，饱和等值电抗的实时动态变化特性；精确描述了MCSR两个主磁路中，网侧交流电流对反向串联的直流励磁饱和磁路的增磁和去磁效应；以反双曲函数描述非线性磁路特性对耦合磁路方程进行解耦，并用带阻尼的隐式梯形积分算法对瞬时等值电抗进行差分化，建立电磁暂态模型，不仅精确反映了超/特高压磁控式并联电抗器的饱和磁路连续光滑调节特性，避免了分段线性化算法的数值震荡，而且在大范围连续调节情况下，能够满足实时/超实时仿真计算的需要。

本发明的技术方案是一种磁控式并联电抗器基于动态磁阻的等值电抗暂态建模方法，包括以下步骤：

(1)磁控式并联电抗器MCSR是利用交直流混合励磁的特性来改变铁心的饱和程度的，其绕组接线方式为：主磁路心柱中包括两个绕组，U₁、U₂是交流网侧绕组，U_d1、U_d2是直流绕组电压，由于不同磁路的磁导率不同，磁通

所在的两个主磁路的磁阻承担整个系统中主要的励磁磁动势，电阻为r，电流为i，H是磁场强度，μ是磁导率，φ是交流电压初相位，S是磁路等效截面积，l是磁路长度，各个变量下标1，2分别表示左心柱和右心柱绕组侧，3，4，5是旁轭磁路，d表示直流量；

(2)根据基本磁路原理进行如下推导，忽略漏抗，由法拉第电磁感应定律，有：

$U_1\sin (\mathrm{wt}+{\mathrm{\φ}}_1)=r_1{i}_1+N_1\·S_1\·\frac{{\mathrm{dB}}_1}{\mathrm{dt}}---\left(1\right)$

$U_2\sin (\mathrm{wt}+{\mathrm{\φ}}_2)=r_2{i}_2+N_2\·S_2\·\frac{{\mathrm{dB}}_2}{\mathrm{dt}}---\left(2\right)$

由导磁媒质的安培环路定律有：

H₁l₁+H₃l₃＝N₁i₁+N_d1i_d1  (5)

H₂l₂+H₄l₄＝N₂i₂-N_d2i_d2  (6)

H₃l₃＝H₄l₄+H₅l₅         (7)

由磁路基尔霍夫第一定律有：

由导磁媒质的饱和磁化特性有：

由导磁媒质的不饱和特化特性有：

上述是微分方程组、线性方程组和非线性方程组构成的混合方程组；

(3)为解耦计算上述复杂的磁路电路非线性方程组，充分考虑交直流混合励磁下网侧交流电流对反向串联的直流励磁饱和磁路的增磁和去磁效应，以及饱和等值电抗的实时动态变化特性，使用动态磁阻理论方法，把复杂非线性磁路和微分电路方程组解耦，推导出瞬时等值电抗的差分化电磁暂态建模方法，高压磁控式并联电抗器的磁路结构为：交直流混合励磁磁动势F_m1和F_m2在主磁路1，2上产生，同时也造成了主磁路1，2的磁饱和，磁路磁阻分别为R_m1和R_m2，根据磁通连续定律，饱和磁通

在a点分解为

和

磁路磁阻分别为R_m3和R_m5；饱和磁通在b点分解为

和磁路磁阻分别为R_m4和R_m5，由于R_m1≈R_m2处于饱和状态，磁导率显著减少，其磁阻远大于R_m3≈R_m4，消耗了主要的磁动势F_m1和F_m2，根据磁路回路方程有：

公式中下标m表示主磁路，0表示旁轭磁路，其他标注如前所述，因为励磁支路中直流励磁i_d□交流励磁i₀，而且交流磁通和直流磁通的磁路走向不同，所以交直流混合励磁磁动势以系数k_m≈1消耗在励磁主磁路磁阻R_m1和R_m2上；

以反双曲函数描述H-B饱和磁化曲线为一个磁导率大范围动态改变的非线性曲线，交流励磁叠加在直流励磁上共同形成饱和状态，由主磁路安培环路定律可得：

$k_1\·l\·\frac{e^{k_2\·B}-e^{-k_2\·B}}{2}=k_m\·(N_d\·i_d+N\·i_a)---\left(16\right)$

其中，

$k_m=\frac{R_{m1}}{R_{m1}+R_{m2}}---\left(17\right)$

可推导出磁感应强度为：

$B=\frac{1}{k_2}\ln [\frac{k_m\·(N_d\·i_d+N\·i_a)}{l\·k_1}+$

$\sqrt{{\left(\frac{k_m\·(N_d\·i_d+N\·i_a)}{l\·k_1}\right)}^2+1}]---\left(18\right)$

根据磁感应强度和磁场强度的关系，求出饱和主磁路的动态磁导率μ₁：

${\mathrm{\μ}}_1=\frac{B_1}{H_1}=l\·\ln [\frac{k_m\·(N_d\·i_d+N\·i_a)}{l\·k_1}+$

$\sqrt{{\left(\frac{k_m\·(N_d\·i_d+N\·i_a)}{l\·k_1}\right)}^2+1}]/k_2\·$

$k_m\·(N_d\·i_d+N\·i_a)---\left(19\right)$

根据磁阻定义可求得饱和磁路的动态磁阻为：

$R_{m1}=\frac{l}{{\mathrm{\μ}}_1\·S}---\left(20\right)$

同理，不饱和磁路3的动态磁阻也可求得：

$R_{m3}=\frac{l_3}{{\mathrm{\μ}}_3\·S_0}---\left(21\right)$

MCSR的直流磁通是由直流励磁产生，所以有：

左半支路中的交流磁通是由网侧交流励磁产生，其磁路走向为支路1，3，可求得：

由于

和

的值都是在交直流混合励磁的饱和磁路情况下求得，只是分别求出，所以主磁路的磁链可求出为：

于是可求出投入电网的MCSR左磁路静态等值电感为：

$=\frac{\frac{N^2\·i_a}{R_{m1}+R_{m2}}+\frac{{N_d}^2\·i_d}{R_{m1}}}{i_d+\frac{N}{N_d}\·i_d}---\left(25\right)$

考虑交直流混合励磁下左右侧存在相反的增磁和去磁效应，类比可求得右磁路静态等值电感，为：

$=\frac{\frac{N^2\·i_a}{R_{m1}+R_{m2}}-\frac{{N_d}^2\·i_d}{R_{m1}}}{\frac{N}{N_d}\·i_a-i_d}---\left(26\right)$

于是电网侧输出瞬时等值电感为：

$L_{\mathrm{eq}}=\frac{L_{\mathrm{eq}1}\·L_{\mathrm{eq}2}}{L_{\mathrm{eq}1}+L_{\mathrm{eq}2}}---\left(27\right)$

同时，考虑到网侧绕组电阻R，MCSR瞬时等值电感L_md在交流电网中，满足如下微分方程，

$R\·i_a+L_{\mathrm{eq}}\·\frac{{\mathrm{di}}_a}{\mathrm{dt}}=u_a---\left(28\right)$

(4)应用带阻尼的隐式梯形积分法，把(28)式转化为下列差分方程：

i_a(t)＝G_S[u_a(t)]+I_S(t-Δt)(29)

其中，等值导纳G_S为：

$G_S=\frac{1}{R+\frac{2\·L_{\mathrm{eq}}}{\mathrm{\Δt}\·{\mathrm{\ω}}_0\·(1+\mathrm{\α})}}---\left(30\right)$

$I_s(t-\mathrm{\Δt})=G_S\·\{(\frac{2\·L_{\mathrm{eq}}}{\mathrm{\Δt}\·{\mathrm{\ω}}_0\·(1+\mathrm{\α})}-$

$\frac{1-\mathrm{\α}}{1+\mathrm{\α}}\·R)\·i_{\mathrm{km}}(t-\mathrm{\Δt})+\frac{1-\mathrm{\α}}{1+\mathrm{\α}}\·$

$(u_k(t-\mathrm{\Δt})-u_m(t-\mathrm{\Δt}))]---\left(31\right)$

其中α为阻尼系数，网侧等值电抗用等值导纳G_S和等值电流源I_S表示，当步长Δt固定时，等值导纳G_S为定值；由t-Δt时刻的电流电压按照式(31)可递推计算出t时刻的等值电流源I_S(t-Δt)。

其中，把电抗值的调节变化归入等值导纳G_S和等值电流源I_S中，可通过模型数据与网络系统的实时计算进行动态更新，在电抗器频繁调节的情况下，无需修改导纳矩阵结构。

其中，依据本发明的方法还可以使用包括以下的连续函数及其各种形式的组合来描述高压磁控式并联电抗器的非线性磁路饱和特性，从而进行仿真建模：

B＝k₁·H+k₂·arctan(H/k₃)；

B＝k₁·arctan(H/k₃)；

$H=\underset{i=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{a}_{2k+1}\·B^{2k+1};$

$H=\underset{k=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{a}_{2k+1}\·B^{2k+1}+k_1\·\mathrm{sh}(k_2\·B).$

其中，依据本发明的方法，还可以使用包括下列的差分化方法及其各种组合来对高压磁控式并联电抗器的微分方程进行差分化处理：

后退欧拉法；

泰勒展开法；

Runge-Kutta法；

Miline-Hamming法。

其中，可以将本发明的建模方法应用于实时、非实时、电磁、机电暂态的仿真建模和计算中，或者控制系统的设计方法中。

本发明的有益效果是：

(1)本发明基于动态磁阻的思想，提出瞬时等值电抗的算法，反应了交直流混合励磁条件下，饱和等值电抗的实时动态变化特性；精确描述了MCSR两个主磁路中，网侧交流电流对反向串联的直流励磁饱和磁路的增磁和去磁效应，并以可调反双曲函数描述特高压磁控式并联电抗器的非线性磁路饱和特性，具有连续可导且无截断误差的优点；

(2)为解决由此带来的复杂非线性方程组的求解困难，以及充分考虑每相各绕组之间的磁耦合，本发明创新性的提出了动态磁阻的理论算法，把复杂非线性磁路和微分电路方程组解耦，推导出一个瞬时等值电抗的差分化电磁暂态建模方法，满足实时/超实时仿真计算的需求；

(3)已在电力系统全数字实时仿真装置-ADPSS中编程实现了该仿真建模方法的工程化应用。这在国内外电力仿真装置/软件中实现了该领域0的突破，并且拥有完全自主知识产权，为超/特高压MCSR的系统分析提供了必要和有效的仿真手段。已在ADPSS中编程实现，并以西北电网实际运行参数为算例，验证了建模方法的正确性，这在国内外电力仿真装置/软件中实现了该领域0的突破。该建模方法思路巧妙，创新性强，理论清晰，算法简洁，数值稳定，实用性强，为超/特高压磁控式并联电抗器的实时电磁暂态计算和系统分析提供了必要的仿真工具，也为非线性元件的实时电磁暂态建模方法开创了新的思路。

附图说明

为了使本发明的内容被更清楚的理解，并便于具体实施方式的描述，下面给出与本发明相关的附图说明如下：

图1是依据本发明方法的高压磁控式并联电抗器各物理量正方向和磁路电路接线方式示意图；

图2是依据本发明方法的高压磁控式并联电抗器磁路示意图；

图3是依据本发明方法的高压磁控式并联电抗器混合励磁饱和主磁路工作原理图；

图4是依据本发明方法的高压磁控式并联电抗器暂态差分等值计算电路图。

具体实施方式

本发明包括磁控式并联电抗器铁心结构及其工作原理的描述和仿真建模方法。

1MCSR基本磁路电路原理

MCSR是利用交直流混合励磁的特性来改变铁心的饱和程度的，其绕组接线方式如图1所示，主磁路心柱中包括两个绕组，U₁、U₂是交流网侧绕组，U_d1、U_d2是直流绕组电压，由于不同磁路的磁导率不同，磁通所在的两个主磁路的磁阻承担整个系统中主要的励磁磁动势。电阻为r，电流为i，H是磁场强度，μ是磁导率，φ是交流电压初相位，S是磁路等效截面积，l是磁路长度。各个变量下标1，2分别表示左心柱和右心柱绕组侧，3，4，5是旁轭磁路，d表示直流量。

根据基本磁路原理可以进行如下推导，忽略漏抗，由法拉第电磁感应定律，有：

$U_1\sin (\mathrm{wt}+{\mathrm{\φ}}_1)=r_1{i}_1+N_1\·S_1\·\frac{{\mathrm{dB}}_1}{\mathrm{dt}}---\left(1\right)$

$U_2\sin (\mathrm{wt}+{\mathrm{\φ}}_2)=r_2{i}_2+N_2\·S_2\·\frac{{\mathrm{dB}}_2}{\mathrm{dt}}---\left(2\right)$

由导磁媒质的安培环路定律有：

H₁l₁+H₃l₃＝N₁i₁+N_d1i_d1  (5)

H₂l₂+H₄l₄＝N₂i₂-N_d2i_d2  (6)

H₃l₃＝H₄l₄+H₅l₅         (7)

由磁路基尔霍夫第一定律有：

由导磁媒质的饱和磁化特性有：

由导磁媒质的不饱和特化特性有：

上述是微分方程组、线性方程组和非线性方程组构成的混合方程组。

2基于动态磁阻的瞬时等值电抗暂态建模方法

为解耦计算上述复杂的磁路电路非线性方程组，本发明充分考虑交直流混合励磁下网侧交流电流对反向串联的直流励磁饱和磁路的增磁和去磁效应，以及饱和等值电抗的实时动态变化特性，创新性的提出了动态磁阻的理论算法，把复杂非线性磁路和微分电路方程组解耦，推导出一个瞬时等值电抗的差分化电磁暂态建模方法。高压磁控式并联电抗器的磁路结构如下图2所示：高压磁控式并联电抗器的磁路结构为：交直流混合励磁磁动势F_m1和F_m2在主磁路1，2上产生，同时也造成了主磁路1，2的磁饱和，磁路磁阻分别为R_m1和R_m2，根据磁通连续定律，饱和磁通

在a点分解为

和

磁路磁阻分别为R_m3和R_m5；饱和磁通

在b点分解为

和

磁路磁阻分别为R_m4和R_m5。由于R_m1≈R_m2处于饱和状态，磁导率显著减少，其磁阻远大于R_m3≈R_m4，消耗了主要的磁动势F_m1和F_m2，根据磁路回路方程有：

公式中下标m表示主磁路，0表示旁轭磁路，其他标注如前所述。因为励磁支路中直流励磁i_d□交流励磁i₀，而且交流磁通和直流磁通的磁路走向不同，所以交直流混合励磁磁动势以系数k_m≈1消耗在励磁主磁路磁阻R_m1和R_m2上。

以反双曲函数描述H-B饱和磁化曲线如图3，为一个磁导率大范围动态改变的非线性曲线，交流励磁叠加在直流励磁上共同形成饱和状态。由主磁路安培环路定律可得：

$k_1\·l\·\frac{e^{k_2\·B}-e^{-k_2\·B}}{2}=k_m\·(N_d\·i_d+N\·i_a)---\left(16\right)$

其中，

$k_m=\frac{R_{m1}}{R_{m1}+R_{m2}}---\left(17\right)$

可推导出磁感应强度为：

$B=\frac{1}{k_2}\ln [\frac{k_m\·(N_d\·i_d+N\·i_a)}{l\·k_1}+$

$\sqrt{{\left(\frac{k_m\·(N_d\·i_d+N\·i_a)}{l\·k_1}\right)}^2+1}]---\left(18\right)$

根据磁感应强度和磁场强度的关系，可以求出饱和主磁路的动态磁导率μ₁

${\mathrm{\μ}}_1=\frac{B_1}{H_1}=l\·\ln [\frac{k_m\·(N_d\·i_d+N\·i_a)}{l\·k_1}+$

$\sqrt{{\left(\frac{k_m\·(N_d\·i_d+N\·i_a)}{l\·k_1}\right)}^2+1}]/k_2\·$

$k_m\·(N_d\·i_d+N\·i_a)---\left(19\right)$

根据磁阻定义可求得饱和磁路的动态磁阻为

$R_{m1}=\frac{l}{{\mathrm{\μ}}_1\·S}---\left(20\right)$

同理，不饱和磁路3的动态磁阻也可求得

$R_{m3}=\frac{l_3}{{\mathrm{\μ}}_3\·S_0}---\left(21\right)$

MCSR的直流磁通是由直流励磁产生，所以有

左半支路中的交流磁通是由网侧交流励磁产生，其磁路走向为支路1，3，可求得：

由于

和的值都是在交直流混合励磁的饱和磁路情况下求得，只是分别求出，所以主磁路的磁链可求出为：

于是可求出投入电网的MCSR左磁路静态等值电感为：

$=\frac{\frac{N^2\·i_a}{R_{m1}+R_{m2}}+\frac{{N_d}^2\·i_d}{R_{m1}}}{i_d+\frac{N}{N_d}\·i_d}---\left(25\right)$

考虑到如图1和图3所示的交直流混合励磁下左右侧存在相反的增磁和去磁效应，类比可求得右磁路静态等值电感，为

$=\frac{\frac{N^2\·i_a}{R_{m1}+R_{m2}}-\frac{{N_d}^2\·i_d}{R_{m1}}}{\frac{N}{N_d}\·i_a-i_d}---\left(26\right)$

于是电网侧输出瞬时等值电感为

$L_{\mathrm{eq}}=\frac{L_{\mathrm{eq}1}\·L_{\mathrm{eq}2}}{L_{\mathrm{eq}1}+L_{\mathrm{eq}2}}---\left(27\right)$

同时，考虑到网侧绕组电阻R，MCSR瞬时等值电感L_md在交流电网中，满足如下微分方程，

$R\·i_a+L_{\mathrm{eq}}\·\frac{{\mathrm{di}}_a}{\mathrm{dt}}=u_a---\left(28\right)$

应用带阻尼的隐式梯形积分法，把(28)式转化为下列差分方程：

i_a(t)＝G_S[u_a(t)]+I_S(t-Δt)        (29)

其中，等值导纳G_S为：

$G_S=\frac{1}{R+\frac{2\·L_{\mathrm{eq}}}{\mathrm{\Δt}\·{\mathrm{\ω}}_0\·(1+\mathrm{\α})}}---\left(30\right)$

$I_s(t-\mathrm{\Δt})=G_S\·\{(\frac{2\·L_{\mathrm{eq}}}{\mathrm{\Δt}\·{\mathrm{\ω}}_0\·(1+\mathrm{\α})}-$

$\frac{1-\mathrm{\α}}{1+\mathrm{\α}}\·R)\·i_{\mathrm{km}}(t-\mathrm{\Δt})+\frac{1-\mathrm{\α}}{1+\mathrm{\α}}\·$

$(u_k(t-\mathrm{\Δt})-u_m(t-\mathrm{\Δt}))]---\left(31\right)$

其中α为阻尼系数。式(29)中t时刻的电压、电流关系可以用图4所示的暂态等值计算电路来表示，网侧等值电抗可以用等值导纳G_S和等值电流源I_S表示，当步长Δt固定的时候，等值导纳G_S为定值；由t-Δt时刻的电流电压按照式(31)可以递推计算出t时刻的等值电流源I_S(t-Δt)。

本发明把电抗值的调节变化归入等值导纳G_S和等值电流源I_S中，可以通过模型数据与网络系统的实时计算进行动态更新，在电抗器频繁调节的情况下，无需修改导纳矩阵结构，既保证了暂态计算的精度，又节省了计算时间和内存；该建模方法不但能够满足电磁暂态网络计算的模型类型和精度要求，而且能够满足实时计算的速度需要。

上面已经根据特定的示例性实施例对本发明进行了描述。其中，依据本发明的方法还可以使用包括以下的连续函数及其各种形式的组合来描述高压磁控式并联电抗器的非线性磁路饱和特性，从而进行仿真建模：

B＝k₁·H+k₂·arctan(H/k₃)；

B＝k₁·arctan(H/k₃)；

$H=\underset{i=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{a}_{2k+1}\·B^{2k+1};$

$H=\underset{k=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{a}_{2k+1}\·B^{2k+1}+k_1\·\mathrm{sh}(k_2\·B).$

其中，依据本发明的方法，还可以使用包括下列的差分化方法及其各种组合来对高压磁控式并联电抗器的微分方程进行差分化处理：

后退欧拉法；

泰勒展开法；

Runge-Kutta法；

Miline-Hamming法。

本发明的建模方法还可以应用于实时、非实时、电磁、机电暂态的仿真建模和计算中，或者控制系统的设计方法中。

上面通过特别的实施例内容描述了本发明，但是本领域技术人员还可意识到变型和可选的实施例的多种可能性，例如，通过组合和/或改变单个实施例的特征。因此，可以理解的是这些变型和可选的实施例将被认为是包括在本发明中，本发明的范围仅仅被附上的专利权利要求书及其同等物限制。

Claims (5)

1.一种磁控式并联电抗器基于动态磁阻的等值电抗暂态建模方法，包括以下步骤：

(1)磁控式并联电抗器MCSR是利用交直流混合励磁的特性来改变铁心的饱和程度的，其绕组接线方式为：主磁路心柱中包括两个绕组，U₁、U₂是交流网侧绕组，U_d1、U_d2是直流绕组电压，由于不同磁路的磁导率不同，磁通

所在的两个主磁路的磁阻承担整个系统中主要的励磁磁动势，电阻为r，电流为i，H是磁场强度，μ是磁导率，φ是交流电压初相位，S是磁路等效截面积，l是磁路长度，各个变量下标1，2分别表示左心柱和右心柱绕组侧，3，4，5是旁轭磁路，d表示直流量；

(2)根据基本磁路原理进行如下推导，忽略漏抗，由法拉第电磁感应定律，有：

$U_1\sin (\mathrm{wt}+{\mathrm{\φ}}_1)=r_1{i}_1+N_1\·S_1\·\frac{d{B}_1}{\mathrm{dt}}---\left(1\right)$

$U_2\sin (\mathrm{wt}+{\mathrm{\φ}}_2)=r_2{i}_2+N_2\·S_2\frac{d{B}_2}{\mathrm{dt}}---\left(2\right)$

由导磁媒质的安培环路定律有：

H₁l₁+H₃l₃＝N₁i₁+N_d1i_d1(5)

H₂l₂+H₄l₄＝N₂i₂-N_d2i_d2(6)

H₃l₃＝H₄l₄+H₅l₅(7)

由磁路基尔霍夫第一定律有：

由导磁媒质的饱和磁化特性有：

由导磁媒质的不饱和特化特性有：

上述是微分方程组、线性方程组和非线性方程组构成的混合方程组；

(3)为解耦计算上述复杂的磁路电路非线性方程组，充分考虑交直流混合励磁下网侧交流电流对反向串联的直流励磁饱和磁路的增磁和去磁效应，以及饱和等值电抗的实时动态变化特性，使用动态磁阻理论方法，把复杂非线性磁路和微分电路方程组解耦，推导出瞬时等值电抗的差分化电磁暂态建模方法，高压磁控式并联电抗器的磁路结构为：交直流混合励磁磁动势F_m1和F_m2在主磁路1，2上产生，同时也造成了主磁路1，2的磁饱和，磁路磁阻分别为R_m1和R_m2，根据磁通连续定律，饱和磁通

在a点分解为

和

磁路磁阻分别为R_m3和R_m5；饱和磁通

在b点分解为和

磁路磁阻分别为R_m4和R_m5，由于R_m1≈R_m2处于饱和状态，磁导率显著减少，其磁阻远大于R_m3≈R_m4，消耗了主要的磁动势F_m1和F_m2，根据磁路回路方程有：

公式中下标m表示主磁路，0表示旁轭磁路，其他标注如前所述，因为励磁支路中直流励磁i_d□交流励磁i₀，而且交流磁通和直流磁通的磁路走向不同，所以交直流混合励磁磁动势以系数k_m≈1消耗在励磁主磁路磁阻R_m1和R_m2上；

以反双曲函数描述H-B饱和磁化曲线为一个磁导率大范围动态改变的非线性曲线，交流励磁叠加在直流励磁上共同形成饱和状态，由主磁路安培环路定律可得：

$k_1\·l\·\frac{e^{k_2\·B}-e^{-k_2\·B}}{2}=k_m\·(N_d\·i_d+N\·i_a)---\left(16\right)$

其中，

$k_m=\frac{R_{m1}}{R_{m1}+R_{m2}}---\left(17\right)$

可推导出磁感应强度为：

$B=\frac{1}{k_2}\ln [\frac{k_m\·(N_d\·i_d+{N\·i}_a)}{l\·k_1}+$

$\sqrt{{\left(\frac{k_m\·(N_d\·i_d+N\·i_a)}{l\·k_1}\right)}^2}+1]---\left(18\right)$

根据磁感应强度和磁场强度的关系，求出饱和主磁路的动态磁导率μ₁：

${\mathrm{\μ}}_1=\frac{B_1}{H_1}=l\·\ln [\frac{k_m\·(N_d\·i_d+N\·i_a)}{l\·k_1}+$

$\sqrt{{\left(\frac{k_m\·(N_d\·i_d+N\·i_a)}{l\·k_1}\right)}^2}+1]/k_2\·$

$k_m\·(N_d\·i_d+N\·i_a)---\left(19\right)$

根据磁阻定义可求得饱和磁路的动态磁阻为：

$R_{m1}=\frac{l}{{\mathrm{\μ}}_1\·S}---\left(20\right)$

同理，不饱和磁路3的动态磁阻也可求得：

$R_{m3}=\frac{l_3}{{\mathrm{\μ}}_3\·S_0}---\left(21\right)$

MCSR的直流磁通是由直流励磁产生，所以有：

左半支路中的交流磁通是由网侧交流励磁产生，其磁路走向为支路1，3，可求得：

由于

和

的值都是在交直流混合励磁的饱和磁路情况下求得，只是分别求出，所以主磁路的磁链可求出为：

于是可求出投入电网的MCSR左磁路静态等值电感为：

$=\frac{\frac{N^2\·i_a}{R_{m1}+R_{m2}}+\frac{{N_d}^2\·i_d}{R_{m1}}}{i_d+\frac{N}{N_d}\·i_a}---\left(25\right)$

考虑交直流混合励磁下左右侧存在相反的增磁和去磁效应，类比可求得右磁路静态等值电感，为：

$=\frac{\frac{N^2\·i_a}{R_{m1}+R_{m2}}-\frac{{N_d}^2\·i_d}{R_{m1}}}{\frac{N}{N_d}\·i_a-i_d}---\left(26\right)$

于是电网侧输出瞬时等值电感为：

$L_{\mathrm{eq}}=\frac{L_{\mathrm{eq}1}\·L_{\mathrm{eq}2}}{L_{\mathrm{eq}1}+L_{\mathrm{eq}2}}---\left(27\right)$

同时，考虑到网侧绕组电阻R，MCSR瞬时等值电感L_md在交流电网中，满足如下微分方程，

${R\·i}_a+L_{\mathrm{eq}}\·\frac{{\mathrm{di}}_a}{\mathrm{dt}}=u_a---\left(28\right)$

(4)应用带阻尼的隐式梯形积分法，把(28)式转化为下列差分方程：

i_a(t)＝G_S[u_a(t)]+I_S(t-Δt)(29)

其中，等值导纳G_S为：

$G_S=\frac{1}{R+\frac{2\·L_{\mathrm{eq}}}{\mathrm{\Δt}\·{\mathrm{\ω}}_0\·(1+\mathrm{\α})}}---\left(30\right)$

$I_S(t-\mathrm{\Δt})=G_S\·[(\frac{2\·L_{\mathrm{eq}}}{\mathrm{\Δt}\·{\mathrm{\ω}}_0\·(1+\mathrm{\α})}-$

$\frac{1-\mathrm{\α}}{1+\mathrm{\α}}\·R)\·i_{\mathrm{km}}(t-\mathrm{\Δt})+\frac{1-\mathrm{\α}}{1+\mathrm{\α}}\·$

$(u_k(t-\mathrm{\Δt})-u_m(t-\mathrm{\Δt}))]---\left(31\right)$

其中α为阻尼系数，网侧等值电抗用等值导纳G_S和等值电流源I_S表示，当步长Δt固定时，等值导纳G_S为定值；由t-Δt时刻的电流电压按照式(31)可递推计算出t时刻的等值电流源I_S(t-Δt)。

2.如权利要求1所述的建模方法，其特征在于把电抗值的调节变化归入等值导纳G_S和等值电流源I_S中，可通过模型数据与网络系统的实时计算进行动态更新，在电抗器频繁调节的情况下，无需修改导纳矩阵结构。

3.如权利要求1-2所述的建模方法，其特征在于依据本发明的方法还可以使用包括以下的连续函数及其各种形式的组合来描述高压磁控式并联电抗器的非线性磁路饱和特性，从而进行仿真建模：

B＝k₁·H+k₂·arctan(H/k₃)；

B＝k₁·arctan(H/k₃)；

$H=\underset{i=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{a}_{2k+1}\·B^{2k+1};$

$H=\underset{k=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{a}_{2k+1}\·B^{2k+1}+k_1\·\mathrm{sh}(k_2\·B).$

4.如权利要求1-3所述的建模方法，其特征在于依据本发明的方法，还可以使用包括下列的差分化方法及其各种组合来对高压磁控式并联电抗器的微分方程进行差分化处理：

后退欧拉法；

泰勒展开法；

Runge-Kutta法；

Miline-Hamming法。

5.如权利要求1-4所述的建模方法，其特征在于可以将该建模方法应用于实时、非实时、电磁、机电暂态的仿真建模和计算中，或者控制系统的设计方法中。

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